1.4《角平分线》教案

学习环节 学习目标 学习评价
学习活动
设计意图
目标 1：
通过 自主学习 能够用数
1. 学 生 的 合
探究活动二：
作探究是否
真 正 合 作 是 １. 已经证明角平分线的性质定让学
否充分交流.
生自己说出这个定理的逆命题大
致有两种情况,然后引导学生分析
1.本探究活动 是对上一探究 活动的进一巩 固和练习，老
分钟完成！显示 活动要求具体明 确，组织有序.
5. 关 注 学 生 在定理证明 后用来解决 实际问题时 能否记住不
思路.
4.出示活动要求：同桌合作３分钟完成！ 完成后学生以组为单位，代表发言， 最后出示整理的证明过程以供同学们
4.写出角平分 线性质定理的 几何语言让学 生感知数学语 言简洁明了的
再写出定理 证明环节而 直接利用这 个现成的结 论进行推理 和计算.
决实际问题。
五、教法、学法：
本节课充分运用多媒体和几何画板直观生动的优势，引导学生操作、观察、思考、归纳。 适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习 的积极性。体现新课程标准的要求，让学生成为学习的主体，而教师是学习的组织者、引导 者与合作者。学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，从而实现教与学的最优化，最 终达成本节课的学习目标。
角的平分线上
空间，进一体
(2) 如果一个点到角的两边的距离相 等 ，那么它就在这个角的平分线上.
现学生的主体 地位和老师的 主导作用.
3.经过上一个
探究活动让学
生在老师的参
与和引导下获
取一定的经验
用于本次活动
中，让学生学
2.展示第二个探索活动的要求和完成 任务内容，引导、组织学生以小组为 单位进行探索、合作、交流.

（二）讲授新知
1.概念讲解：介绍角平分线的定义。
教师讲解：“角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。”
2.尺规作图：演示和讲解如何用尺规作图方法作出角的平分线。
教师演示并讲解：“首先，画出角的两边；然后，在角的顶点处分别作两条射线，使这两条射线分别与角的两边相交；最后，连接这两个交点，即可得到角的平分线。”
5.自主学习能力：鼓励学生在课后进行拓展学习，提高对角平分线知识的理解和应用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的几何审美观念，让他们感受到几何图形的美；
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，激发学生对数学学科的兴趣；
3.培养学生严谨、踏实的科学态度，让他们认识到数学知识的严密性和逻辑性；
4.培养学生的创新意识，鼓励他们在解决问题时尝试不同的方法和思路；
3.教师点评：对学生的讨论成果给予肯定和指导。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课所学内容，设计具有梯度性的练习题。
练习题包括：基本概念题、尺规作图题、性质应用题等。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导。
3.选取部分学生进行板演，展示解题过程。
4.针对学生的解答，教师进行点评和讲解。
（五）总结归纳
2.教学策略：
（1）情境创设：以实际问题为背景，创设教学情境，让学生感受角平分线的应用；
（2）逐步引导：从简单的例子入手，逐步引导学生理解和掌握角平分线的性质；
（3）分层教学：针对不同学生的学习水平，设计不同难度的题目，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）总结反思：在课后组织学生进行总结反思，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
2.创设情境：以校园环境为背景，提出实际问题。

同学们，今天我们将要学习的是《角平分线》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将角平均分成两个相等角的情况？”比如，在剪纸或拼图时，我们可能需要这样的技巧。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角平分线的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角平分线的基本概念。角平分线是通过角的顶点，将角分成两个相等角的射线。它在几何图形的分割和证明中有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用角平分线来解决实际问题，以及它如何帮助我们解决几何问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和性质这两个重点。对于难点部分，比如性质的应用，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
此外，课后我对学生的作业进行了批改，发现他们在解题过程中对角平分线的应用还不够熟练。为了帮助他们巩固知识点，我计划在下一节课开始时，对一些典型的错误进行讲解，让学生明白自己错在哪里，如何改正。
另外，小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。针对这个问题，我打算在下次课中尝试引入一些生活化的例子，激发学生的兴趣，并引导他们如何进行有效讨论。同时，我也会鼓励学生多与同伴交流，培养他们的团队协作能力。
在学生小组讨论的引导过程中，我意识到提问技巧的重要性。提出的问题既要能够启发学生思考，又要具有一定的开放性，让学生有足够的空间发挥。在今后的教学中，我会更加注意问题的设计，努力提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
首先，我意识到在讲解角平分线性质时，需要更多地结合实际例子来帮助学生理解。例如，在证明角平分线上的点到角的两边距离相等时，我可以准备一些具体的图形，让学生观察、测量并自己推导出这个性质。这样既能提高他们的几何直观能力，也能加深对性质的理解。

课题：1.4.1角平分线学习目标：1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．教学过程一、情境引入如图，要在S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）二、探究新知角平分线的性质（1）实验：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点1.操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：猜想：（2）验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P 在OC 上，PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.（3）性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：应用格式：例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.DS例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.（2）求△APB的面积.（3）求∆PDB的周长.角平分线的判定思考：你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?你能证明它吗?（1）证明猜想已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.（2）判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：应用格式：例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．例4如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)三、当堂练习1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？三、课本例题学习四、五、随堂练习课本第29页1、2题。

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。

本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。

学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。

但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。

三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。

五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。

提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。

教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。

5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。

学生分组讨论，教师巡回指导。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。

8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。

角平分线教案角平分线教案一、学情分析：学生已经学过角的平分线的性质，大致了解平分线的概念和相关定理。

本节课的目标是巩固角的平分线的性质，引导学生通过探究发现角平分线的唯一性质，并能灵活运用这一性质解决问题。

二、教学目标：1. 知识目标：了解角平分线的唯一性质，并能够熟练运用该性质解决问题。

2. 能力目标：培养学生的观察、分析和推理能力，提高解决问题的能力。

3. 情感目标：培养学生的合作意识和创新思维，激发学生对数学的兴趣。

三、教学重难点：重点：角平分线的唯一性质及其应用。

难点：分析和推理的能力培养。

四、教学过程：1.导入新课：通过展示一张关于角平分线的图，引起学生对角平分线的思考。

2.呈现新课：通过观察和讨论，引导学生发现角平分线的唯一性质。

3.讲解新知：讲解角平分线的唯一性质，并解释其推理过程。

4.导向探索：给学生提供一些角平分线的问题，让学生在小组合作中解决问题，并给予必要的指导。

5.总结归纳：让学生在小组内总结角平分线的唯一性质，并汇报给全班。

6.拓展延伸：通过设计一些拓展题目，让学生运用所学知识解决复杂问题。

7.巩固练习：布置一些练习题，让学生独立完成，并互相批改。

8.活动总结：通过一些小活动，对本节课的内容进行总结。

五、教具准备：投影仪、黑板、多媒体课件、教案。

六、教学反思：通过本节课的教学，学生理解了角平分线的唯一性质，并能够熟练运用该性质解决问题。

在教学过程中，通过多种教学手段，如展示、探究、讲解等，激发学生的学习积极性，提高了学生的学习效果。

教学过程中也遇到了一些困难，比如学生在自主探索中存在一定的盲点，因此需要教师及时给予指导，引导学生正确的思考方法。

通过布置巩固练习和小活动，对学生的学习效果进行巩固和总结。

不足之处是教学时间安排较紧，需要进一步考虑如何给学生提供更多练习和拓展的机会，以提高学生的学习能力和兴趣。

总之，通过本节课的教学，学生对角平分线的性质有了更深的理解，解决问题的能力也有所提高。

北师大版八年级下册4角平分线第一章：1.4角平分线课时二教学设计一、教学目标1.知识目标：–能够认识到正方形4个角相等的性质；–理解与证明角平分线的定义、性质；–掌握角平分线的判定方法、运用角平分线解决相关的几何问题。

2.能力目标：–培养学生观察、思考、分析问题及解决问题的能力；–培养学生在有效时间内阅读问题、理解问题的能力；–培养学生合理选择方法解决问题的能力；–培养学生独立思考、交流、合作的能力；–培养学生浓厚的数学兴趣、好奇心和创新精神。

二、教学重点1.角平分线的定义和性质；2.角平分线的判定方法；3.利用角平分线解决相关几何问题。

三、教学难点1.理论知识与实际问题结合；2.综合运用已学知识解决问题；3.通过小组合作、交流，在解决问题中体现个人能力。

四、教学准备1.教案、课件、黑板、彩笔；2.角平分线的板块模型、绕板实验器、量角器、三角板等教学器材。

五、教学过程1. 导入新课教师通过观察、提问导入新课。

例如：•观察正方形的内角后，得到什么结论？•如何判定一个线段是某个角的平分线？•角平分线有什么性质？2. 探究角平分线教师以板块模型及三角板为实例，由学生自主感性地体验角平分线，在感性的基础上，认识到角平分线的含义，知道角平分线的定义及性质，并通过实验划分一个角的平分线。

3. 角平分线的判定方法基于刚刚的体验活动，老师给出三组角，并且分别给出了每组角的长度，现在老师请同学画出每个角的平分线。

最后老师用板块模型验证学生的答案是否正确。

4. 学以致用对于同学提出的问题，例如加深对本章知识点的理解、提高解题能力等问题进行分组讨论，并通过小组合作、交流、展示等方式进行解决。

六、课堂作业1.思考：如何证明一个线段是一个角的平分线？2.利用平行线、相似三角形等运用多种角平分线的思想解决以下问题：–证明：如图，AE是CD的平分线，求AC:AB。

–如何确定一个三角形内部的某一点，使得这个点到三角形3个顶点的距离之和最小？七、教学反思本次课堂教学旨在让学生深入了解角平分线的定义、性质，且掌握角平分线的判定方法，能够熟练运用角平分线解决几何问题。

课题：《§1.4角平分线》（1）导学案【学习目标】1、能够证明角平分线的性质定理以及判定定理。

2、能够用尺规作已知角的平分线。

3、进一步发展学生的推理证明意识和能力 【学习重点】：角平分线的性质及判定方法的掌握及运用【学习难点】: 灵活运用角平分线的判定及性质解决实际问题。

【学习方法】：自主探索、归纳总结。

【学习过程】： 一、课前展示：1、线段垂直平分线的性质定理和逆定理的内容：定理：线段垂直平分线的点到逆定理：到一条线段两个端点的距离 的点，在这条线段的 。

2、什么是角的平分线？ 二、探索新知：1、自主学习：如何用尺规作一个角的平分线。

已知：∠AOB求作：射线OC 使∠AOC=∠BOC 作法：2、合作探究： （1）实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB 的平分线OC , 在OC 上任意一点P ，过P 作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB问题：①比较PD 和PE 的大小关系（量一量）。

②再换一个新的位置看看情况会怎样？（2）猜想的结论是：（3）证明的你的猜想：已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：由此得到角平分线的性质定理：其中题设是： 结论： 利用此性质怎样书写推理过程?结合图形（4）反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 你能证明你的猜想吗？画图试一试。

A BO三、巩固新知：1、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.。

求证:EB=FC.2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．四、拓展提升： 1、教材37页第3、4题：2、已知，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.五、总结评价：附加题：1、如图所示，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE、CD交于O点，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC。

第一章 证明(二)总课时： 11 课时 1.4角平分线（二） 教学目标： 1、知识与技能（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论． （2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．2、过程与方法经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够证明角平分线有关的定理及应用 3、情感态度与价值观能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 教学重点：①三角形三个内角的平分线的性质．②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．教学难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用． 教 学 过 程一、课前复习：（学生口答2分钟）角平分线的定义、定理和逆定理的内容？ 二、导入新课：（学生思考3分钟）问题：我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角形的三个内角的角平分线交于一点。

你能证明这个结论吗？三、新课教学（学生共同探究证明过程并总结出结论22分钟）已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交于点P ， 求证：P 点在∠B AC 的角平分线上．证明：过P 点作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中D 、E 、F 是垂足．∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，∴PD =PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE =PF ． ∴PD =PF ．∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ．在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?D FEMNC BA P（PD =PE =PF ，即这个交点到三角形三边的距离相等．） 于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 问题2（要求学生思考、交流）如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可选择的地址有几处？ 你如何发现的?[例1]如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．师生共同分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC=CD+DB ，CD=4 cIn ，而BD 在等腰直角三角形DBE 中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm ，再根据勾股定理便可求出DB 的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE ，所以需证AC=AE ，CD=BE ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∠C=90°，DE⊥AB．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°，∴∠B=12 ×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中 BD=2DE 2.=4 2 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．l 3l 21l CBAADBEC(2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL 定理) ∴AC=AE． ∵BE=D E=CD ， ∴AB=AE+BE=AC+CD．四、知识巩固（学生独立完成10分钟）教科书第39页第1- -2题。

1.4角平分线-----三角形三个内角的平分线1．能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．2．能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．【学习重点】三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等的性质的证明【学习难点】三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等的性质的运用【教学过程】一、先学（15分钟）1.导入课题，出示目标（1）能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．（2）能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．2.出示自学指点请同学们认真看课本P30 --31的内容，思考并完成下列问题：（1）回顾：角平分线的性质定理和角平分线的判定定理的内容；（2）如何证三条直线交于一点？（3）通过例2的证明，你能得到什么结论？（5分钟后进行提问和检测，比比谁学得好。

）（学生自学，老师巡查监督学生自学，调整学习进度）提问：1、角平分线性质定理：学生回答，老师总结：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2、角平分线判定定理：学生回答，老师总结：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3、如何证三条角平分线交于一点？学生回答，老师总结：基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点；要想证明三条角平分线相交于一点, 只要能证明两条的交点在第三条直线上即可。

4、通过例2的证明，你能得到什么结论？学生回答，老师总结：定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.新知探究例2、求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

已知：如图，△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB 、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F。

求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PF=PF.证明：∵BM 是∠ABC的平分线，点P在BM上∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理，PF=PE∴PD=PE=PF∴点P在A的平分线上(在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)即 ∠A 的平分线经过点P ，且PD=PF=PF.新知归纳三角形三条角平分线性质定理： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

课题 1.4、角平分线(2) 教学环节教学内容教学方法(师生活动) 教学预期及调整时间分配教学目标1、要求学生掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些简单问题。

进一步发展学生的推理证明意识和能力三巩固练习四课堂小结五作业如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE同理,PE=PF∴PD=PF∴点P在∠BAC的平分线上∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.1如果C D=4cm,AC的长2求证:AB=AC+CD让学生首先自己思考例题的解决方法。

向学生说明：这是一道综合的题目，例题不光把计算和证明贴在一起，而且需要运用前面所学的多个定理，引导学生在较大的范围内思考问题。

教学重点三角形三条角平分线的性质定理。

教学难点掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明教学关键三角形三条角平分线的性质定理。

教学方法讲练结合法，自主探究法教学环节教学内容教学方法(师生活动) 教学预期及调整时间分配一复习引导二新课回忆我们学过的角平分的性质，本节课继续学习有关角平分线的性质和应用，1．让学生把准备好的三角形拿出来，分别折出三个角的角平分线，然后观察三条角平分线有什么性质。

2让学生动手用直尺和圆学生回答内容，那么，今天的这节课的研究方法和内容还是和线段的垂直平分线很类似，在学习的过程中，要注意对比线段垂直平分线的研究方法来学习。

让学生说出他们的猜想，体会类比的好处。

类比三角形三条垂直平分线的性质，猜测三角形三条角AB CPMNEDABC规画一个三角形，然后画出三条角平分线，观察这三条角平分线有什么性质，3 提问：为了使你们的猜测站得住脚，还需要干什么?4 确认大部分学生已经找到证明的思路，让两位学生到黑板上写出它们完整的证明过程，包括写出已知，求证和证明。

北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一课时主要让学生掌握角平分线的性质。

教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生推理、证明的能力。

本课时内容是学生在学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，为后续学习线段平分线、弧平分线等知识打下基础。

二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了角的概念、角的计算等知识，对角有一定的认识。

但是，对于角平分线的性质，学生可能还没有直观的理解。

因此，在教学过程中，教师需要利用直观的教具，引导学生观察、思考，从而发现角平分线的性质。

三. 教学目标1.理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质。

2.培养学生的观察能力、推理能力、证明能力。

3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。

四. 教学重难点1.角平分线的性质。

2.如何引导学生发现并证明角平分线的性质。

五. 教学方法1.采用直观教学法，利用教具引导学生观察、思考。

2.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。

3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流。

4.采用证明教学法，引导学生用几何证明的方法证明角平分线的性质。

六. 教学准备1.准备角平分线的教具，如量角器、直尺、三角板等。

2.准备多媒体课件，展示角平分线的性质。

3.准备练习题，巩固学生对角平分线的理解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师利用教具，如量角器，引导学生观察量角器上的角平分线，让学生直观地感受角平分线的作用。

同时，教师提出问题：“你们认为角平分线有什么性质呢？”引导学生思考。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角平分线的性质。

同时，教师用几何证明的方法，引导学生证明角平分线的性质。

在这个过程中，教师要注意引导学生发现并理解角平分线的性质。

3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。

练习题包括判断题、填空题、解答题等题型，全面巩固学生对角平分线的理解。

1．4 角平分线 第1课时 角平分线1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点)2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)一、情境导入问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE＝CF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．解析：分别过点D作DE、DF、DG垂。

一、情境导入问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .求证：CE ＝CF .解析：由角平分线上的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF . 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL)，∴DE ＝DF .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】 角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F .下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得DE ＝DF ，由此易得△ADE ≌△ADF ，故∠ADE ＝∠ADF ，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE 、AF 距离相等的点，在∠BAC 的角平分线AD 上，到DE 、DF 的距离相等的点在∠EDF 的平分线DA 上，两者同一条直线上，所以到DE 、DF 的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题TQ PN M如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G .∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O .(1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，且AC ＝BC ＝AD ＝BD ；(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO＝∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，AB=4，则D 到BC 的距离是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（第1题） （第2题）OED CBAFE DCB A2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）TQ ＝PQ ． （B ）∠MQT ＝∠MQP ．（C ）∠QTN ＝90o． （D ）∠NQT ＝∠MQT ． 3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，则①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上，以上结论（ ）（A ）都正确． （B ）都不正确． （C ）只有一个正确． （D ）只有一个不正确．（第3题） （第4题）4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o，则∠A 的度数是（ ） （A ）10o． （B ）20o． （C ）30o． （D ）40o． 5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ） （A ）直角三角形． （B ）等腰三角形． （C ）等边三角形． （D ）等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ）（A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．7．已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，BE 、CF 相交于D ，∠A ＝50o ，则∠BDC 的度数是（ ） （第6题）（A ）70o． （B ）120o． （C ）115o． （D ）130o．二、填空题 8．到一个角的两边距离相等的点在 ．9．直角三角形中，两锐角的角平分线所成的锐角等于 ．10．如下图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 .11.已知△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD = .三、解答题DCBAMF ED CB A。

备课组长签名包组领导签名授课教师签名年段八年级学科数学主题单元课题 1.4角平分线课时第1课时教学目标1、进一步发展学生的推理证明意识和能力；2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论3、能够利用尺规作已知角的平分线。

教学流程增删、点评、课后反思出示学习目标：1、进一步发展推理证明意识和能力；2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论3、能够利用尺规作已知角的平分线。

二、自学提示：1、阅读P33－34，2、你还记得角平分线上的点有什么性质？这个性质你是怎样得到的？教材中是怎样证明这个定理的3、角平分线性质定理的逆定理是什么，你能证明这个结论吗？请同学们画出图形，根据命题的题设和结论写出已知、求证、思考证明思路.4、用尺规作角的平分线的作法。

三、教师指导：1、 定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

2、 证明：如图OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上3、 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ， ∵∠1=∠2，OP=OP ， ∠PDO=∠PEO=90° ∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE （全等三角形的对应边相等） 2、角平分线性质定理的逆定理的证明（学生讨论、交流） 教学流程增删、点评、课后反思 已知：在∠AOB 内部有一点P ，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，D 、E 为垂足且PD=PE ， 求证：点P 在∠AOB 的角平分线上．证明：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt △ODP 和Rt △OEP 中 OP=OP ，PD=PE ，∴Rt △OD P ≌ Rt △OEP(HL 定理)． ∴∠POC=∠POE(全等三角形对应角相等)． 即点P 在∠AOB 的角平分线上 3、做一做：用尺规作角的平分线。

已知：∠AOB求作：射线OC ，使∠AOC=∠BOC作法：1、在OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD=OE 2、分别以D 、E 为圆心，以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C 。

（2）作业完成情况：评价学生对知识点的掌握程度，以及对尺规作图的熟练程度；
（3）单元测试：通过测试，了解学生对角平分线知识点的掌握情况，以及运用知识解决问题的能力；
（4）课后访谈：了解学生在学习过程中遇到的困难和问题，及时调整教学策略。
4.教学资源：
（1）教材：充分利用课本资源，结合教学目标进行教学设计；
（2）反思自己在学习过程中的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。
作业要求：
1.认真完成作业，保持卷面整洁；
2.思考题要结合所学知识，进行深入分析和研究；
3.遇到问题及时与同学、老师交流，提高解决问题的能力；
4.作业提交时间：下周一下午放学前。
（4）应用：设计有针对性的例题和练习，让学生运用角平分线知识解决问题，巩固所学；
（5）拓展：引导学生思考角平分线在其他几何问题中的应用，培养学生的发散思维；
（6）总结：对本节课的知识点进行梳理，强调重难点，帮助学生巩固记忆。
3.教学评价：
（1）课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度、积极性和合作精神；
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
（1）对本节课的知识点进行梳理，强调重点和难点；
（2）学生分享学习收获和感受，教师给予鼓励和评价；
（3）布置课后作业，巩固所学知识。
2.教学内容：
（1）总结角平分线的定义、性质和判定方法；
（2）回顾尺规作图的方法，强调注意事项；
（3）明确角平分线在实际问题中的应用价值。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的几何思维和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）完成课本第十五章第二节课后练习题1、2、3；
（2）运用尺规作图，作出给定角的平分线，并简要说明作图过程；

第一章三角形的证明1.4角平分线教学设计第1课时一、教学目标1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.2．证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.二、教学重点及难点重点：角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点：灵活运用角的平分线的性质和判定解题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源角平分线的尺规作图动画演示，微课.五、教学过程【情境导入】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20 000）？其中“到公路、铁路的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．角是一个轴对称图形，其中角平分线就是它的对称轴．我们曾经用折纸的方法，根据折叠过程中角两边重合说明了角平分线的一个性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．所以在这个问题中，确定民宅位置利用此性质就能完成．设计意图：通过实际情境，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．【探究新知】1.角的平分线的尺规作图 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ． （2）分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ．射线OC 即为所求．师：思考：为什么要以大于MN 的长为半径画弧？ 生：因为以小于或等于MN 的长为半径画弧时不能形成交点．2．角平分线的性质还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎么得到的？请尝试证明这一性质，并与同伴交流.生：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 生：可用量角器，也可以用对折角的方法．师：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，对折的方法就不行了，那还有别的方法适合吗？生：量角器、尺规作图。