数字逻辑与计算机组成原理：第二章 数据的表示与运算
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计算机组成原理(第二章3)
浮点运算流水线 80x87 80486、Pentium
谢 谢！
第五步：舍入处理 在对阶、向右规格化时，尾数要向右移位， 这样被右移的尾数的低位部分会丢掉，造 成一定误差，必须进行舍入处理。 “0舍1入”法：“4舍5入”法 “恒置1”法：让尾数的最后一位=1
就近舍入 朝0舍入 朝+∞舍入 朝-∞舍入 阶码上溢： +∞、 -∞ 阶码下溢： 0 尾数上溢： 尾数的绝对值>=2，尾数右移1位 尾数下溢： 尾数右移时，尾数的最低有效位从尾 数域右端移出，要进行舍入处理
74182芯片：DIP16
图2.12
Cn+x=G0+P0Cn Cn+y=G1+P1Cn+x=G1+G0P1+P0P1Cn Cn+z=G2+P2Cn+y=G2+G1P2+G0P1P2+P0P1P2C
n
Cn+4=G3+P3Cn+z =G3+G2P3+G1P1P2+G0P1P2P3+P0P1P2P3Cn
2、逻辑表达式
表2.4
Cn+i+1=XiYi+YiCn+i+Cn+iXi =Yi+YiCn+i+Cn+iXi =Yi(1+Cn+i)+Cn+iXi =Yi+XiCn+i
Cn+1=Y0+X0Cn Cn+2=Y1+X1Cn+1=Y1+Y0X1+X0X1Cn Cn+3=Y2+X2Cn+2=Y2+Y1X1+Y0Y1X2+X0X1X2C
数字逻辑与计算机组成原理：第二章 数据的表示与运算
数字逻辑与计算机组成原理
第二章 数据的表示与运算
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
1、无符号数:
没有符号的数，寄存器中的每一位都可用 来存放数据
机器字长为n位，无符号数的表示范围 为0～2n-1
反映无符号数的表示范围
8位 16 位
0 ~ 255 0 ~ 65535
有两种常用的无符号表示法： ◆ 非负数码：表示0或一个正数
(1) 定义
整数
0，x
2n ＞ x ≥ 0
[x]反 = ( 2n+1 – 1) + x 0 ≥ x ＞ 2n（mod 2n+1 1）
x 为真值
n 为整数的位数
如 x = +1101
x = 1101
[x]反 = 0,1101
[x]反 = (24+1 1) 1101 = 11111 1101
用 逗号 将符号位
= 1,0010
和数值部分隔开
小数 x
[x]反 = ( 2 – 2-n) + x
1＞x≥ 0 0 ≥ x ＞ 1（mod 2 2-n）
x 为真值 n 为小数的位数
如 x = + 0.1101
x = 0.1010
[x]反 = 0.1101
[x]反 = (2 2-4) 0.1010
= 1.1111 0.1010
有符号小数： +0.1011,在机器中表示为
-0.1011,在机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数 2、有符号数
有符号整数： +1101，机器中表示为
-1101， 机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
第二章 数据的表示与运算
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
1、无符号数:
没有符号的数，寄存器中的每一位都可用 来存放数据
机器字长为n位，无符号数的表示范围 为0～2n-1
反映无符号数的表示范围
8位 16 位
0 ~ 255 0 ~ 65535
有两种常用的无符号表示法： ◆ 非负数码：表示0或一个正数
(1) 定义
整数
0，x
2n ＞ x ≥ 0
[x]反 = ( 2n+1 – 1) + x 0 ≥ x ＞ 2n（mod 2n+1 1）
x 为真值
n 为整数的位数
如 x = +1101
x = 1101
[x]反 = 0,1101
[x]反 = (24+1 1) 1101 = 11111 1101
用 逗号 将符号位
= 1,0010
和数值部分隔开
小数 x
[x]反 = ( 2 – 2-n) + x
1＞x≥ 0 0 ≥ x ＞ 1（mod 2 2-n）
x 为真值 n 为小数的位数
如 x = + 0.1101
x = 0.1010
[x]反 = 0.1101
[x]反 = (2 2-4) 0.1010
= 1.1111 0.1010
有符号小数： +0.1011,在机器中表示为
-0.1011,在机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数 2、有符号数
有符号整数： +1101，机器中表示为
-1101， 机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
王道 计组 第二章 数据的表示和运算_思维导图模板免费分享
被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1，这样做可能会使尾数又溢出，此 时需再做一次右规
尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是1还是0，都使右移的尾数末位横置1，这 种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能
阶码上溢
抛出异常(中断)
溢出判断
阶码下溢
按机器0处理
采用双符号位，可拯救尾数溢出
其余内容
强制类型转换
表示无符号数的加减法是否发生了进位或借位。当CF=1时，说明无符号数加减运 算发生了进位或借位，也即发生了溢出
CF（进位/借位标志）
硬件的计算方法：CF=最高位产生的进位⊕sub
sub=1表示减法 sub=0表示加法
仅对无符号数加减法有意义
注意：CF位对有符号数的加减法无意义
通过改变各个数码位和小数点的相对位置，从而改变各数码位的位权
左移n次，上商n+1次，最后一次上商余数不左移 若余数为负，可直接商0，并让余数左移1位再加上|除数|，得到下一个新余数 若余数位正，则商1，让余数左移1位再减去|除数|，得到下一个新余数
手算模拟
除法运算
原码除法：加减交替法（不恢复余数法）
余数的正负性与商相同
最后一步时若余数为负，需商0，并+[|y|]补
一位全加器的设计
本位和 本位向高位的进位
串行加法器
一位全加器＋进位触发器，只能一位一位地加
串行进位的并行加法器
多个全加器简单串联,可多位同时加 计算速度取决于进位产生和传递的速度
回忆:各种门电路的图形，全加器的图形和输入输出信号
串行进位的并行加法器
把n个全加器串接起来，就可进行两个n位数的相加。
加法器、ALU的改进
数制与编码
运算方法和运算电路
尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是1还是0，都使右移的尾数末位横置1，这 种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能
阶码上溢
抛出异常(中断)
溢出判断
阶码下溢
按机器0处理
采用双符号位，可拯救尾数溢出
其余内容
强制类型转换
表示无符号数的加减法是否发生了进位或借位。当CF=1时，说明无符号数加减运 算发生了进位或借位，也即发生了溢出
CF（进位/借位标志）
硬件的计算方法：CF=最高位产生的进位⊕sub
sub=1表示减法 sub=0表示加法
仅对无符号数加减法有意义
注意：CF位对有符号数的加减法无意义
通过改变各个数码位和小数点的相对位置，从而改变各数码位的位权
左移n次，上商n+1次，最后一次上商余数不左移 若余数为负，可直接商0，并让余数左移1位再加上|除数|，得到下一个新余数 若余数位正，则商1，让余数左移1位再减去|除数|，得到下一个新余数
手算模拟
除法运算
原码除法：加减交替法（不恢复余数法）
余数的正负性与商相同
最后一步时若余数为负，需商0，并+[|y|]补
一位全加器的设计
本位和 本位向高位的进位
串行加法器
一位全加器＋进位触发器，只能一位一位地加
串行进位的并行加法器
多个全加器简单串联,可多位同时加 计算速度取决于进位产生和传递的速度
回忆:各种门电路的图形，全加器的图形和输入输出信号
串行进位的并行加法器
把n个全加器串接起来，就可进行两个n位数的相加。
加法器、ALU的改进
数制与编码
运算方法和运算电路
(完整版)计算机组成原理知识点总结
第2章数据的表示和运算主要内容：（一）数据信息的表示1.数据的表示2.真值和机器数（二）定点数的表示和运算1.定点数的表示：无符号数的表示；有符号数的表示。
2.定点数的运算：定点数的位移运算；原码定点数的加/减运算；补码定点数的加/减运算；定点数的乘/除运算；溢出概念和判别方法。
（三）浮点数的表示和运算1.浮点数的表示：浮点数的表示范围；IEEE754标准2.浮点数的加/减运算（四）算术逻辑单元ALU1.串行加法器和并行加法器2.算术逻辑单元ALU的功能和机构2.3 浮点数的表示和运算2.3.1 浮点数的表示（1）浮点数的表示范围•浮点数是指小数点位置可浮动的数据，通常以下式表示：N=M·RE其中，N为浮点数，M为尾数，E为阶码，R称为“阶的基数（底）”，而且R为一常数，一般为2、8或16。
在一台计算机中，所有数据的R都是相同的，于是不需要在每个数据中表示出来。
浮点数的机内表示浮点数真值：N=M ×2E浮点数的一般机器格式：数符阶符阶码值 . 尾数值1位1位n位m位•Ms是尾数的符号位，设置在最高位上。
•E为阶码，有n+1位，一般为整数，其中有一位符号位EJ，设置在E的最高位上，用来表示正阶或负阶。
•M为尾数，有m位，为一个定点小数。
Ms=0，表示正号，Ms=1，表示负。
•为了保证数据精度，尾数通常用规格化形式表示：当R＝2，且尾数值不为0时，其绝对值大于或等于0.5。
对非规格化浮点数，通过将尾数左移或右移，并修改阶码值使之满足规格化要求。
浮点数的机内表示阶码通常为定点整数，补码或移码表示。
其位数决定数值范围。
阶符表示数的大小。
尾数通常为定点小数，原码或补码表示。
其位数决定数的精度。
数符表示数的正负。
浮点数的规格化字长固定的情况下提高表示精度的措施：•增加尾数位数（但数值范围减小）•采用浮点规格化形式尾数规格化：1/2≤M <1 最高有效位绝对值为1浮点数规格化方法：调整阶码使尾数满足下列关系：•尾数为原码表示时，无论正负应满足1/2 ≤M <1即：小数点后的第一位数一定要为1。
计算机组成原理第二章
是28-1-1=127。所以，指数真值e的表示范围是-127-+128
【例题】P22-23 例6、7、8、9
字符和字符串的表示方法
字符的表示：
用7位二进制码表示27＝128个字符，其中95个图形字 符，33个控制字符
字符串的表示：
连续的一串字符即为字符串，在主存中占用连续的多 个字节。如对于语句IF A>B THEN X=A，则其存储格式可以 为：
0.1001
右移1位(z3) 0.0100
111 0.1
+1•x 0.1101
1.0001
右移1位(z4) 0.1000
1111 0
即，[x•y]原=1.10001111，所以，x•y=-0.10001111。
原码并行乘法（不带符号阵列乘法）
与“原码串行乘法运算”相比，原码并行乘法更接近“手算”，更
第二章
运算方法和运算器
数据表示 定点运算 定点运算器 浮点运算教学要求 Nhomakorabea重点和难点
数据的表示和格式 定点加减、乘除运算 定点运算器的组成 浮点运算及浮点运算流水线
实践
运算器组成实验
主要内容
数据与文字的表示方法 定点加减运算 定点乘法运算 定点除法运算 定点运算器的组成 浮点运算方法和浮点运算器 运算器实例
a0 b0 位 积
优点：简单易懂 缺点：加法运算复杂
数的机器码表示
补码表示
若定点整数的补码形式为xnxn-1……x2x0（xn为符号位），则
x
2n>x ≥ 0
定点整数：[x]补=
2n＋1＋x=2n＋1－|x|
（mod 2n ） 0 ≥ x>-2n
【例题】P22-23 例6、7、8、9
字符和字符串的表示方法
字符的表示：
用7位二进制码表示27＝128个字符，其中95个图形字 符，33个控制字符
字符串的表示：
连续的一串字符即为字符串，在主存中占用连续的多 个字节。如对于语句IF A>B THEN X=A，则其存储格式可以 为：
0.1001
右移1位(z3) 0.0100
111 0.1
+1•x 0.1101
1.0001
右移1位(z4) 0.1000
1111 0
即，[x•y]原=1.10001111，所以，x•y=-0.10001111。
原码并行乘法（不带符号阵列乘法）
与“原码串行乘法运算”相比，原码并行乘法更接近“手算”，更
第二章
运算方法和运算器
数据表示 定点运算 定点运算器 浮点运算教学要求 Nhomakorabea重点和难点
数据的表示和格式 定点加减、乘除运算 定点运算器的组成 浮点运算及浮点运算流水线
实践
运算器组成实验
主要内容
数据与文字的表示方法 定点加减运算 定点乘法运算 定点除法运算 定点运算器的组成 浮点运算方法和浮点运算器 运算器实例
a0 b0 位 积
优点：简单易懂 缺点：加法运算复杂
数的机器码表示
补码表示
若定点整数的补码形式为xnxn-1……x2x0（xn为符号位），则
x
2n>x ≥ 0
定点整数：[x]补=
2n＋1＋x=2n＋1－|x|
（mod 2n ） 0 ≥ x>-2n
计算机组成原理逻辑运算
（7）
§1.2 基本逻辑关系
逻辑：指事物的前因和后果所遵循的规律 逻辑状态：逻辑“真”为“１”，逻辑“假”为 “０” 基本逻辑关系：与 ( and ) 或 (or ) 非 ( not ) 与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生（成立） 规定: A E B F 开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0”
=1
提出A 反变量吸收
（38）
利 用 逻 辑 代 数 的 基 本 公 式
例2：F
AB A B BC B C
（AB A B ） (BC B C) AB A B(C C)
五、反演定理
德 • 摩根 (De • Morgan)定理：
AB A B
A B AB
可以用列真值表的方法证明：
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 0 0 0 1
AB
A
1 1 0 0
B
AB
1 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
（24）
反演定理内容：将函数式 F 中所有的
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B C 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
F 0 0 0 0 0 1 1 1
（28）
1.4.2 逻辑函数式
逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关 系写成与、或、非等逻辑运算的组合 式。也称为逻辑函数式，通常采用 “与或”的形式。 例：
F ABC ABC ABC ABC ABC
利用卡诺图化简
卡诺图适用于输入变量为3、4个的逻辑代数式的 化简；化简过程比公式法简单直观。
（37）
利用逻辑代数的基本公式
计算机组成原理第二章运算方法和运算器[一](共88张PPT)
十进制(二-十进制 BCD码)
字符型
逻辑型
2.1.2 数值型数据的表示方法
数值型数据包括无符号数和有符号数两类.
★无符号数:没有符号的数； ★有符号数:符号“+”或“-”在有效数字的前面. 注意:在相同机器字长的情况(qíngkuàng)下,无符号数与 有符号数所对应的数值范围不同. 一、数的机器码表示
最大正整数表示:0,111 111 111 111 111 最大正整数=(215-1)10=(+32767)10
(2)定点原码小数表示:
最大正数值=(1-2-15)10=(+0.111…11)2 15个1 最小负数值=-(1-2-15)10=(-0.111…11)2
精品资料
2.1.2 数值(shùzí)型数据的表示方法
浮点机表示的数的范围:2-11 ×0.0001--211 ×0.1111 即1/128—7.5
精品资料
(2)浮点数与定点数的比较
b)浮点数规格化后,其相对精度远比定点数高. c)浮点数包括阶码和尾数两部分,且结果需要(xūyào) 规格化,故运算较复杂,运算速度比定点数慢. d)在溢出判断的方法上,浮点数是对阶码进行判断, 只有阶码“上溢”时,浮点数溢出; 定点数是当运 算结果超出表示范围即“溢出”.
为扩大数的表示范围而出现了浮点数表示；
计算机应用扩大到商业和事务处理，出现了字符串数据； 堆栈数据表示；
向量(xiàngliàng)数据表示。ຫໍສະໝຸດ 一般介绍数值型数据
(能进行算术运算能得 到明确数值概念的数
字数据)
非数值型数据(以数
字数据形式进入计算 机的声音、图像、文 字等信息)
精品资料
二进制(定点、浮点)
(4)用小数表示-1：原码与反码的小数表示中没有(méi yǒu)-1；补码表示的小数-1为1.0000000
字符型
逻辑型
2.1.2 数值型数据的表示方法
数值型数据包括无符号数和有符号数两类.
★无符号数:没有符号的数； ★有符号数:符号“+”或“-”在有效数字的前面. 注意:在相同机器字长的情况(qíngkuàng)下,无符号数与 有符号数所对应的数值范围不同. 一、数的机器码表示
最大正整数表示:0,111 111 111 111 111 最大正整数=(215-1)10=(+32767)10
(2)定点原码小数表示:
最大正数值=(1-2-15)10=(+0.111…11)2 15个1 最小负数值=-(1-2-15)10=(-0.111…11)2
精品资料
2.1.2 数值(shùzí)型数据的表示方法
浮点机表示的数的范围:2-11 ×0.0001--211 ×0.1111 即1/128—7.5
精品资料
(2)浮点数与定点数的比较
b)浮点数规格化后,其相对精度远比定点数高. c)浮点数包括阶码和尾数两部分,且结果需要(xūyào) 规格化,故运算较复杂,运算速度比定点数慢. d)在溢出判断的方法上,浮点数是对阶码进行判断, 只有阶码“上溢”时,浮点数溢出; 定点数是当运 算结果超出表示范围即“溢出”.
为扩大数的表示范围而出现了浮点数表示；
计算机应用扩大到商业和事务处理，出现了字符串数据； 堆栈数据表示；
向量(xiàngliàng)数据表示。ຫໍສະໝຸດ 一般介绍数值型数据
(能进行算术运算能得 到明确数值概念的数
字数据)
非数值型数据(以数
字数据形式进入计算 机的声音、图像、文 字等信息)
精品资料
二进制(定点、浮点)
(4)用小数表示-1：原码与反码的小数表示中没有(méi yǒu)-1；补码表示的小数-1为1.0000000
计算机组成原理章节义2章节数据表示运算和运算器部
海明校验码：
2.1.3 检错纠错码(续)
循环冗余码
原理：在k个数据位之外拼接r个校验位，关键是如何从k位信息位简单地得到r位校验位编码。以及如何判断k+r位码字是否正确；
方法：由信息表达式及生成表达式生成模２余数表达式，并拼接在信息表达式之后；
特点：能发现并纠正一位、多位出错，用于串行通信。
2.1.3 检错纠错码(续)
计算机组成原理讲义 第2章 数据表示、运算和运算器部件
诀窍 详细内容请参阅王诚主编 “计算机组成原理”
围绕定点运算器的功能、组成、设计和实现来介绍。掌握各种数据在计算机内的表示、存储方式、完成运算所用的算法和实现这些算法所用的逻辑电路。
01
本章从数值化信息编码讲起，引出二进制编码，数制转换，插入部分检错纠错码知识。
2.3 二进制数值数据的编码与运算算法
原码、反码、补码的定义 √
补码加、减运算规则 √
原码一位乘法的实现算法 √
定点补码一位乘法的实现算法
原码一位除法的实现算法 √
定点补码一位除法的实现算法
加速乘除法运算的有关算法介绍
数据的正负符号用一位二进制0和1两个状态表示。
通常称表示一个数值数据的机内编码机器数，而把它所代表的实际值称为机器数的真值。
01
二进制编码的优点： 容易实现； 运算简单； 对应逻辑值。
01
2.1.1 数字化信息编码的概念
2.1.2 二进制编码和码制转换
⒈数制与进位记数法 ⑴基r数制：用r个基本符号通过排列起来的符号串表示数值，称为基r数制，称r为该数制的基。 ⑵有权基r数制：如果每一位的单位值都赋以固定的值Wi，则称Wi为该位的权，此时的数制为有权的基r数制。 ⑶r进位数制（r进制）：如果基r数制符合“逢r进位”的规则，则每位的权为ri，称为r进制。 ⒉二进制编码与二进制数据 ⑴二进制编码方法； ⑵二进制数值数据的计算（十进制展开）。
2.1.3 检错纠错码(续)
循环冗余码
原理：在k个数据位之外拼接r个校验位，关键是如何从k位信息位简单地得到r位校验位编码。以及如何判断k+r位码字是否正确；
方法：由信息表达式及生成表达式生成模２余数表达式，并拼接在信息表达式之后；
特点：能发现并纠正一位、多位出错，用于串行通信。
2.1.3 检错纠错码(续)
计算机组成原理讲义 第2章 数据表示、运算和运算器部件
诀窍 详细内容请参阅王诚主编 “计算机组成原理”
围绕定点运算器的功能、组成、设计和实现来介绍。掌握各种数据在计算机内的表示、存储方式、完成运算所用的算法和实现这些算法所用的逻辑电路。
01
本章从数值化信息编码讲起，引出二进制编码，数制转换，插入部分检错纠错码知识。
2.3 二进制数值数据的编码与运算算法
原码、反码、补码的定义 √
补码加、减运算规则 √
原码一位乘法的实现算法 √
定点补码一位乘法的实现算法
原码一位除法的实现算法 √
定点补码一位除法的实现算法
加速乘除法运算的有关算法介绍
数据的正负符号用一位二进制0和1两个状态表示。
通常称表示一个数值数据的机内编码机器数，而把它所代表的实际值称为机器数的真值。
01
二进制编码的优点： 容易实现； 运算简单； 对应逻辑值。
01
2.1.1 数字化信息编码的概念
2.1.2 二进制编码和码制转换
⒈数制与进位记数法 ⑴基r数制：用r个基本符号通过排列起来的符号串表示数值，称为基r数制，称r为该数制的基。 ⑵有权基r数制：如果每一位的单位值都赋以固定的值Wi，则称Wi为该位的权，此时的数制为有权的基r数制。 ⑶r进位数制（r进制）：如果基r数制符合“逢r进位”的规则，则每位的权为ri，称为r进制。 ⒉二进制编码与二进制数据 ⑴二进制编码方法； ⑵二进制数值数据的计算（十进制展开）。
计算机组成原理课件第二章数据的表示2.2.3
– 左移：高位移出，末位补0。移出的位不同于符号位，则溢出。 – 右移：高位补符号位，低位移出。
2补码移位运算
2补码移位运算
3补码取负运算
• 设X0是符号位，X是真值，因为[X]补=2nX0+X，所以 • 对[X]补连同符号位按位取反加1，即可得[-X]补。
4补码填充运算
•பைடு நூலகம்计算机内部，有时需要将短数扩展为一个长数，此时需要 进行填充处理。
反加1。
（2）已知补码求真值
• [例2-29]已知[X]补=1011010，求真值X。 • 解：根据机器数可知n=7； • 最高符号位为1，真值为负数。X=-100110B
2补码移位运算
• 在计算机内部，可以通过移位寄存器对数据进行移位。 • 对机器数右移一位，意味着原数值缩小一倍，为原数的
1/2；而左移一位，原数扩大一倍，为原数的2倍。 • 补码移位规则：
2.2.3机器数表示形式的变换
• 真值是数据的实际值，机器数是数据在机器内的表示、运 算形式
• 需要掌握各种机器数表示形式之间、真值和机器数之间的 转换方法。
1机器数转换为真值
• （1）已知原码求真值：
– 将原码机器数的符号位转换为+、-号，数值部分就是真值的二进 制数值。
• [例2-28]8位原码机中数据为11100111，求真值。 • 解：原码数据最高位是符号位:1表示• 后面7位是真值数据位1100111B。所以二进制真值是-
1100111B=-103D
（2）已知补码求真值
• 设X0为补码符号，X为真值，补码表示规则为[X]补=2n X0+X。则真值X=-2n X0+[X]补。
• 若X0是0，则X=+[X]补。 • 若X0是1，X=-2n +[X]补=-（2n -[X]补）=（2n -1-[X]补+1） • 可见，
2补码移位运算
2补码移位运算
3补码取负运算
• 设X0是符号位，X是真值，因为[X]补=2nX0+X，所以 • 对[X]补连同符号位按位取反加1，即可得[-X]补。
4补码填充运算
•பைடு நூலகம்计算机内部，有时需要将短数扩展为一个长数，此时需要 进行填充处理。
反加1。
（2）已知补码求真值
• [例2-29]已知[X]补=1011010，求真值X。 • 解：根据机器数可知n=7； • 最高符号位为1，真值为负数。X=-100110B
2补码移位运算
• 在计算机内部，可以通过移位寄存器对数据进行移位。 • 对机器数右移一位，意味着原数值缩小一倍，为原数的
1/2；而左移一位，原数扩大一倍，为原数的2倍。 • 补码移位规则：
2.2.3机器数表示形式的变换
• 真值是数据的实际值，机器数是数据在机器内的表示、运 算形式
• 需要掌握各种机器数表示形式之间、真值和机器数之间的 转换方法。
1机器数转换为真值
• （1）已知原码求真值：
– 将原码机器数的符号位转换为+、-号，数值部分就是真值的二进 制数值。
• [例2-28]8位原码机中数据为11100111，求真值。 • 解：原码数据最高位是符号位:1表示• 后面7位是真值数据位1100111B。所以二进制真值是-
1100111B=-103D
（2）已知补码求真值
• 设X0为补码符号，X为真值，补码表示规则为[X]补=2n X0+X。则真值X=-2n X0+[X]补。
• 若X0是0，则X=+[X]补。 • 若X0是1，X=-2n +[X]补=-（2n -[X]补）=（2n -1-[X]补+1） • 可见，
《计算机组成原理》教程第2章数据的表示
最大值 : 2n-1-1 最小值:-(2n-1-1) 表示数的个数: 2n - 1
.
30
原码整数的表示范围
若二进制的位数分别是8、16，其原码表示的最大 值、最小值及表示数的个数为：
注意：最高位为符号位，有效数值位分别为7、15 。
8位: 127，-127，255 16位: 32767 , -32767 , 65535
机器数有四种表示方法即原码、补码、反码和 移码。
.
27
1. 原码表示法
原码表示法用“0”表示正号，用“1”表 示负号，数值位用真值的绝对值表示。
整数的符号位与数值位之间用逗号“,”隔开； 小数的符号位与数值位之间用小数点“.”隔
开。
约定：
在本章中，n表示字长的有效位（数值位）， X表示真值。（注意：跟书中有点出入）
基数：进位制的基本特征数，即所用到的数 字符号个数。
例如10进制 ：0-9 十个数码表示，基数为10
权：进位制中各位“1”所表示的值为该位 的权。
常见的进位制：2，8，10，16进制。
.
4
十进制(Decimal)
基数:10 符号: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 计算规律: “逢十进一”或“借一当十”
.
21
十六进制转换成二进制
方法：一位十六进制数用四位二进制数表 示。
例如: (7AC.DE ) 16 =(0111,1010,1100.1101,1110 ) 2 =(11110101100 .1101111 )2
.
22
二进制的优点（见书）
运算规则简单，易于实现 数的状态简单 节省设备，判断方便
.
23
无符号数和有符号数（补充）
.
.
30
原码整数的表示范围
若二进制的位数分别是8、16，其原码表示的最大 值、最小值及表示数的个数为：
注意：最高位为符号位，有效数值位分别为7、15 。
8位: 127，-127，255 16位: 32767 , -32767 , 65535
机器数有四种表示方法即原码、补码、反码和 移码。
.
27
1. 原码表示法
原码表示法用“0”表示正号，用“1”表 示负号，数值位用真值的绝对值表示。
整数的符号位与数值位之间用逗号“,”隔开； 小数的符号位与数值位之间用小数点“.”隔
开。
约定：
在本章中，n表示字长的有效位（数值位）， X表示真值。（注意：跟书中有点出入）
基数：进位制的基本特征数，即所用到的数 字符号个数。
例如10进制 ：0-9 十个数码表示，基数为10
权：进位制中各位“1”所表示的值为该位 的权。
常见的进位制：2，8，10，16进制。
.
4
十进制(Decimal)
基数:10 符号: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 计算规律: “逢十进一”或“借一当十”
.
21
十六进制转换成二进制
方法：一位十六进制数用四位二进制数表 示。
例如: (7AC.DE ) 16 =(0111,1010,1100.1101,1110 ) 2 =(11110101100 .1101111 )2
.
22
二进制的优点（见书）
运算规则简单，易于实现 数的状态简单 节省设备，判断方便
.
23
无符号数和有符号数（补充）
.
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例1：设计算机字长为8位,求下列数的原码
x=+1010B， [x]原=？ x= -1010B， [x]原=？ x=+0.1001B, [x]原=？ x= -0.0101B, [x]原=？
三、数值数据的表示 1、原码表示法
解：根据原码的定义，可得下列数的原码
x=+1010B， [x]原=00001010B x= -1010B， [x]原=10001010B x=+0.1001B, [x]原=0.1001000B x= -0.0101B, [x]原=1.0101000B
机器码分为原码、反码、补码
第一节 数的表示
二、数制及转换
计算机 的信息
控制信息 数据信息
数值信息 字符 非数值 汉字
信息
逻辑数据
所有信息在计算机内均用二进制数表示
第一节 数的表示
二、数制及转换
数制（进位计数制）：按进位的 原则进行计数
数制
基数:数制中选用的基本数码的 个数
位权：数码所在位置表示的数 的大小
用 小数点 将符号位 和数值部分隔开
= 1.0101
(2) 举例
例1 已知 [x]反 = 0,1110 求 x
解： 由定义得 x = + 1110
例2 已知 [x]反 = 1,1110 求 x
解： 由定义得
x = [x]反 (24+1 1)
= 1,1110 11111
例 3 求 0 的反码
= 0001
x = +1110 x = 1110
[x]原 = 0 , 1110
用 逗号 将符号位 和数值部分隔开
[x]原 = 24 + 1110 = 1 , 1110
小数
x [x]原 = 1 – x
x 为真值
1＞x≥0 0≥x＞ 1
如 x = + 0.1101
[x]原 = 0 . 1101
用 小数点 将符号 位和数值部分隔开
(1) 定义
整数
0，x
2n ＞ x ≥ 0
[x]反 = ( 2n+1 – 1) + x 0 ≥ x ＞ 2n（mod 2n+1 1）
x 为真值
n 为整数的位数
如 x = +1101
x =
[x]反 = 0,1101
[x]反 = (24+1 1) 1101 = 11111 1101
用 逗号 将符号位
1、原码表示法（带符号的绝对值表示）
字长为n位，最高位为符号位，正数 “0”，负数“1”；数值部分的n-1位用二进 制真值的绝对值来表示
第一节 数的表示
三、数值数据的表示
1、原码表示法（带符号的绝对值表示）
0，x 2n ＞ x ≥ 0 整数 [x]原 = 2n x 0 ≥ x ＞ 2n
x 为真值 n 为整数的位数
…… 1111 1111
0 1 …… 127 128 129 …… 255
0 1 …… 127 -128 -127 …… -1
无符号表示的数值
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
2、有符号数 有效数字前有一个符号位， 正数用“0”表示，负数用“1”表 示
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数 2、有符号数
x = 0.1101
[x]原 = 1 ( 0.1101) = 1 . 1101
x = + 0.1000000
[x]原 = 0 . 1000000
用 小数点 将符号 位和数值部分隔开
x = 0.1000000 [x]原 = 1 ( 0.1000000) = 1 . 1000000
三、数值数据的表示 1、原码表示法
n位非负数码的数值范围：0 ～2n-1（所有位都为1） ◆ 2的补码（简称补码）：既能表示正数又能表示负数
n位数的数值范围： -2n-1 ～ 2n-1-1
8位二进制数的非负数码和补码表示的数值
二进制表示
非负数码
补码
0000 0000 0000 0001
…… 0111 1111 1000 0000 1000 0001
有符号小数： +0.1011,在机器中表示为
-0.1011,在机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数 2、有符号数
有符号整数： +1101，机器中表示为
-1101， 机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
★带“+”或“-”符号的数称为真值 ★机器编码中把符号“数字化”的数称为机 器数或机器码
要求 数1 数2
实际操作 结果符号
加法 正 正
加
正
加法 正 负
减
可正可负
加法 负 正
减
可正可负
加法 负 负
加
负
能否 只作加法 ? 找到一个与负数等价的正数 来代替这个负数 就可使 减 加
三、数值数据的表示
2、反码表示法
正数的反码和原码相同 负数的反码是对该数的原码除符号位外的 各位按位取反
反码表示法
数字逻辑与计算机组成原理
第二章 数据的表示与运算
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
1、无符号数:
没有符号的数，寄存器中的每一位都可用 来存放数据
机器字长为n位，无符号数的表示范围 为0～2n-1
反映无符号数的表示范围
8位 16 位
0 ~ 255 0 ~ 65535
有两种常用的无符号表示法： ◆ 非负数码：表示0或一个正数
解： 设 x = + 0.0000
[+0.0000]反= 0.0000
x = 0.0000
[ 0.0000]反= 1.1111
= 1,0010
和数值部分隔开
小数 x
[x]反 = ( 2 – 2-n) + x
1＞x≥ 0 0 ≥ x ＞ 1（mod 2 2-n）
x 为真值 n 为小数的位数
如 x = + 0.1101
x = 0.1010
[x]反 = 0.1101
[x]反 = (2 2-4) 0.1010
= 1.1111 0.1010
例 2 求 x = 0 的原码 解: 设 x = +0.0000 [+0.0000]原 = 0.0000
x = 0.0000 [ 0.0000]原 = 1.0000
同理，对于整数
[+ 0]原 = 0,0000
∴ [+ 0]原 ≠ [ 0]原
[ 0]原 = 1,0000
原码的特点： 简单、直观
但是用原码作加法时，会出现如下问题：
第一节 数的表示
二、数制及转换
数制（进位计数制）：按进位的 原则进行计数
1、十进制 2、二进制 3、八进制 4、十六进制
第一节 数的表示
二、数制及转换
数制转换：
非十进制十进制 例2-1 十进制非十进制
例2-2（整数）除基取余法 例2-3（小数）整数部分用除法
小数部分用乘法
第一节 数的表示
三、数值数据的表示
x=+1010B， [x]原=？ x= -1010B， [x]原=？ x=+0.1001B, [x]原=？ x= -0.0101B, [x]原=？
三、数值数据的表示 1、原码表示法
解：根据原码的定义，可得下列数的原码
x=+1010B， [x]原=00001010B x= -1010B， [x]原=10001010B x=+0.1001B, [x]原=0.1001000B x= -0.0101B, [x]原=1.0101000B
机器码分为原码、反码、补码
第一节 数的表示
二、数制及转换
计算机 的信息
控制信息 数据信息
数值信息 字符 非数值 汉字
信息
逻辑数据
所有信息在计算机内均用二进制数表示
第一节 数的表示
二、数制及转换
数制（进位计数制）：按进位的 原则进行计数
数制
基数:数制中选用的基本数码的 个数
位权：数码所在位置表示的数 的大小
用 小数点 将符号位 和数值部分隔开
= 1.0101
(2) 举例
例1 已知 [x]反 = 0,1110 求 x
解： 由定义得 x = + 1110
例2 已知 [x]反 = 1,1110 求 x
解： 由定义得
x = [x]反 (24+1 1)
= 1,1110 11111
例 3 求 0 的反码
= 0001
x = +1110 x = 1110
[x]原 = 0 , 1110
用 逗号 将符号位 和数值部分隔开
[x]原 = 24 + 1110 = 1 , 1110
小数
x [x]原 = 1 – x
x 为真值
1＞x≥0 0≥x＞ 1
如 x = + 0.1101
[x]原 = 0 . 1101
用 小数点 将符号 位和数值部分隔开
(1) 定义
整数
0，x
2n ＞ x ≥ 0
[x]反 = ( 2n+1 – 1) + x 0 ≥ x ＞ 2n（mod 2n+1 1）
x 为真值
n 为整数的位数
如 x = +1101
x =
[x]反 = 0,1101
[x]反 = (24+1 1) 1101 = 11111 1101
用 逗号 将符号位
1、原码表示法（带符号的绝对值表示）
字长为n位，最高位为符号位，正数 “0”，负数“1”；数值部分的n-1位用二进 制真值的绝对值来表示
第一节 数的表示
三、数值数据的表示
1、原码表示法（带符号的绝对值表示）
0，x 2n ＞ x ≥ 0 整数 [x]原 = 2n x 0 ≥ x ＞ 2n
x 为真值 n 为整数的位数
…… 1111 1111
0 1 …… 127 128 129 …… 255
0 1 …… 127 -128 -127 …… -1
无符号表示的数值
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
2、有符号数 有效数字前有一个符号位， 正数用“0”表示，负数用“1”表 示
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数 2、有符号数
x = 0.1101
[x]原 = 1 ( 0.1101) = 1 . 1101
x = + 0.1000000
[x]原 = 0 . 1000000
用 小数点 将符号 位和数值部分隔开
x = 0.1000000 [x]原 = 1 ( 0.1000000) = 1 . 1000000
三、数值数据的表示 1、原码表示法
n位非负数码的数值范围：0 ～2n-1（所有位都为1） ◆ 2的补码（简称补码）：既能表示正数又能表示负数
n位数的数值范围： -2n-1 ～ 2n-1-1
8位二进制数的非负数码和补码表示的数值
二进制表示
非负数码
补码
0000 0000 0000 0001
…… 0111 1111 1000 0000 1000 0001
有符号小数： +0.1011,在机器中表示为
-0.1011,在机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数 2、有符号数
有符号整数： +1101，机器中表示为
-1101， 机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
★带“+”或“-”符号的数称为真值 ★机器编码中把符号“数字化”的数称为机 器数或机器码
要求 数1 数2
实际操作 结果符号
加法 正 正
加
正
加法 正 负
减
可正可负
加法 负 正
减
可正可负
加法 负 负
加
负
能否 只作加法 ? 找到一个与负数等价的正数 来代替这个负数 就可使 减 加
三、数值数据的表示
2、反码表示法
正数的反码和原码相同 负数的反码是对该数的原码除符号位外的 各位按位取反
反码表示法
数字逻辑与计算机组成原理
第二章 数据的表示与运算
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
1、无符号数:
没有符号的数，寄存器中的每一位都可用 来存放数据
机器字长为n位，无符号数的表示范围 为0～2n-1
反映无符号数的表示范围
8位 16 位
0 ~ 255 0 ~ 65535
有两种常用的无符号表示法： ◆ 非负数码：表示0或一个正数
解： 设 x = + 0.0000
[+0.0000]反= 0.0000
x = 0.0000
[ 0.0000]反= 1.1111
= 1,0010
和数值部分隔开
小数 x
[x]反 = ( 2 – 2-n) + x
1＞x≥ 0 0 ≥ x ＞ 1（mod 2 2-n）
x 为真值 n 为小数的位数
如 x = + 0.1101
x = 0.1010
[x]反 = 0.1101
[x]反 = (2 2-4) 0.1010
= 1.1111 0.1010
例 2 求 x = 0 的原码 解: 设 x = +0.0000 [+0.0000]原 = 0.0000
x = 0.0000 [ 0.0000]原 = 1.0000
同理，对于整数
[+ 0]原 = 0,0000
∴ [+ 0]原 ≠ [ 0]原
[ 0]原 = 1,0000
原码的特点： 简单、直观
但是用原码作加法时，会出现如下问题：
第一节 数的表示
二、数制及转换
数制（进位计数制）：按进位的 原则进行计数
1、十进制 2、二进制 3、八进制 4、十六进制
第一节 数的表示
二、数制及转换
数制转换：
非十进制十进制 例2-1 十进制非十进制
例2-2（整数）除基取余法 例2-3（小数）整数部分用除法
小数部分用乘法
第一节 数的表示
三、数值数据的表示