平面直角坐标系中求面积

图1图2图3平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、 求三角形的面积1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你能求出三角形ABC 的面积吗2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。

二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。

归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。

怎样确定点的坐标一、 象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。

例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。

例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ）A 、（0，-2）B 、（2,0）C 、（4,0）D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。

解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。

A
A
（1） 能否通过小房子的各点坐标求出小房子的面积引入课题 回顾旧知
1.若P （-2,4）则点P 到x 轴的距离为 点P 到y 轴的距离为
2.若A （2,0） B （5,0） 则AB=
若A （0,3），B （0,-5） 则AB=
若A （2,3），B （2,6） 则AB=
若A （4,1），B （-3,1） 则AB=
3.已知：A （1,4），B （-4,0），C （2,0）则三角形ABC 的面积
（二）探索方法
若A （4,0），B （3,3），C （0,2）求四边形OABC 的面积
复习在平面直角坐标系内①两点在
轴上；②两点不在轴上却与坐标轴平行；
两点间的距离。

为解
决简单三角形面积
做铺垫。

通过小组合作交流，不仅可以突破难点，学习更多解题方
法。

同时，利用面积和差求得.渗透转化
思想解；通过不同方法的选择，培养学生设计解决问题方案
时要考虑可行性的习惯；通过一题多解发展学生的创新思维.
（三）巩固练习
已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．学生体验解题方法和技巧，感受解题的快乐。

通过自我展示，提高学生的语言表达能力，锻炼他们的胆识。

（四）归纳方法
1、知识方面
在平面直角坐标系中，求面积的方法有：2、数学思想方面1、通过自己的归纳总结，逐步提高学生提炼方法和技巧的
意识。

2、通过学生的表述，。

在平面直角坐标系中三角形面积的求法在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。

本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。

一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。

假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：s = (a + b + c) / 2通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。

下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。

例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。

计算三条边的长度：AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3然后，计算半周长s：s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2代入海伦公式求得三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。

二、向量法向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。

我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。

假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * |a × b|其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。

通过向量法，我们可以将三角形的面积转化为向量的计算问题，进而简化计算过程。

下面通过一个具体的例子来演示向量法的应用。

例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。

计算两条边的向量：AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)AC = (4-1, 1-1) = (3, 0)然后，计算向量的叉乘：a ×b = AB × AC = (1 * 0 - 3 * 2) = -6代入向量法公式求得三角形的面积：S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * |-6| = 3通过以上计算，我们可以得到三角形的面积为3。

平面直角坐标系中三角形面积的计算设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

我们可以利用向量的性质和行列式的方法求出三角形的面积。

首先，我们计算向量AB和向量AC的坐标分量分别为(u,v)和(w,z)。

则有：u=x2-x1v=y2-y1w=x3-x1z=y3-y1然后，根据向量的性质，可以计算向量AB与向量AC的叉积的大小，即面积的两倍：2*面积=，u*z-v*w最后，我们可以通过取绝对值并除以2来得到三角形的面积，即：面积=，u*z-v*w，/2这就是通过向量的方法计算三角形面积的基本公式。

下面我们通过一个具体的例子来演示一下计算三角形面积的过程。

设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(2,3)，B(5,6)，C(8,1)。

我们将依次计算向量AB和向量AC的坐标分量：u=5-2=3v=6-3=3w=8-2=6z=1-3=-2然后，根据公式面积=，u*z-v*w，/2，我们计算：面积=，3*(-2)-3*6，/2=，-6-18，/2=24/2=12所以，三角形ABC的面积为12平方单位。

除了向量方法，我们还可以使用行列式的方式来计算三角形的面积。

具体步骤如下：1.将三个顶点的坐标按照行列式的顺序排列，构成一个3×3的矩阵：x1y1x2y2x3y32.计算矩阵的行列式的值。

3.取行列式的绝对值并除以2，即为三角形的面积。

以上就是使用行列式方法计算三角形面积的基本步骤。

总结起来，平面直角坐标系中三角形的面积可以通过向量或行列式的方法进行计算。

这些方法都是基于向量叉积的性质和行列式的性质进行推导和计算的。

无论是哪一种方法，核心思想都是通过计算向量叉积的大小来获得三角形的面积。

初二数学平面直角坐标系面积问题一、概述在初中数学学习中，平面直角坐标系是一个重要的概念。

在这个坐标系中，我们可以通过两个数值来确定平面上的一个点的位置，进而计算出所需图形的面积。

本文将从初二数学的角度出发，探讨平面直角坐标系下的面积问题，并为大家解析面积问题的解题思路和方法。

希望能够对同学们的学习有所帮助。

二、平面直角坐标系下的基本概念1. 坐标系平面直角坐标系由两条相互垂直的直线，它们被称为坐标轴，通常用x 和y来表示。

这两条坐标轴把平面分成了四个部分，它们分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

2. 点的坐标在平面直角坐标系中，我们可以用一个有序数对(x, y)来表示一个点P 的坐标，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标。

3. 面积的计算在平面直角坐标系中，我们可以通过连接坐标轴上的点和直线，来确定一个图形的面积。

面积的计算方法有很多种，例如利用基本几何图形的面积公式进行计算，或者利用积分的方法进行计算。

三、常见的面积计算题型1. 长方形的面积计算我们来看一个简单的例子。

如果给出了一个长方形的两个顶点的坐标，我们要计算这个长方形的面积该怎么做呢？解题思路：（1）首先计算长方形的边长，可以利用坐标点之间的距离公式进行计算。

（2）根据长方形的面积公式S=长×宽，计算出长方形的面积。

2. 三角形的面积计算另外一个常见的题型是给出三角形的三个顶点的坐标，要求计算三角形的面积。

解题思路：（1）利用三角形的面积公式S=（1/2）×底边长度×高，计算出三角形的面积。

（2）可以利用向量运算的方法进行计算，例如计算三角形的两条边的向量，然后利用向量叉乘的方法得到三角形的面积。

3. 多边形的面积计算对于给出多边形的各个顶点的坐标，要求计算多边形的面积这样的题型，我们可以采用分割成若干个三角形，再分别计算每个三角形的面积，最后将各个三角形的面积相加来得到多边形的面积。

（苏科版）八年级上册数学《第5章 平面直角坐标系》专题训练 在平面直角坐标系中求图形的面积【例题1】（2023春•青龙县期中）如图，已知三角形ABC 如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C （﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（ ）A．4B．6C．8D．1【变式1-1】如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C（﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（ ）A．4B．6C．12D．24【变式1-2】（2023•岳麓区校级开学）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（0，3），C（0，﹣1），则△ABC的面积为（ ）A．4B．6C．4.5D．5【变式1-3】（2023春•思明区校级期中）已知点A（1，2a+1），B（﹣a，a﹣3），若线段AB∥x轴，则三角形AOB的面积为（ ）A．21B．28C．14D．10.5【变式1-4】（2022春•巴音郭楞州期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点A1的坐标；（2）求三角形ABC的面积．【变式1-5】如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化：（1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？（2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？（3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？【例题2】如图，A（3，0），B（0，3），C（1，4），求△ABC的面积．【变式2-1】如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积．【变式2-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．（1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标．（2）求出此三角形的面积．【变式2-3】（2023春•双柏县期中）在直角坐标系中，已知A（﹣3，4），B（﹣1，﹣2），O（0，0），画出三角形并求三角形AOB的面积．【变式2-4】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，（1）请写出△ABC各点的坐标；．（2）求出S△ABC【变式2-5】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；（2）请把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角形A′B′C′；（3）求三角形ABC的面积．【变式2-6】（2023秋•浏阳市期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（﹣2，0），点C 的坐标为（﹣1，2）．（1）请面出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）直接写出A 1，B 1，C 1三点的坐标；（3）求△ABC 的面积．【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A （4，0），B （3，4），C （0，2），则四边形ABCO 的面积为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【变式3-1】（2022春•商南县期末）如图，有一块不规则的四边形图形ABCD，各个顶点的坐标分别为A （﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0）（比例尺为1：100），现在想对这块地皮进行规划，需要确定它的面积．（1）确定这个四边形的面积（2）如果把原来四边形ABCD的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标加2，所得的四边形面积又是多少？【变式3-2】（2022秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣2）．（1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积．【变式3-3】如图，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（1，7），C（5，5），D（7，0）．试求这个四边形的面积．【变式3-4】如图，面积为12cm 2的△ABC 向x 轴正方向平移至△DEF 的位置，相应的坐标如图所示（a ，b 为常数），（1）求点D 、E 的坐标；（2）求四边形ACED 的面积．【变式3-5】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A （2，4），B （6，6），C （8，2），求四边形OABC 的面积．【例题4】（2021秋•围场县期末）已知点O （0，0），点A （﹣3，2），点B 在y 轴上，若△AOB 的面积为12，则点B 的坐标为（ ）A ．（0，8）B ．（0，4）C ．（8，0）D ．（0，﹣8）或（0，8）【变式4-1】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）A．（0，﹣4）B．（0，﹣8）C．（﹣4，0）D．（6，0）【变式4-2】（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．（1）求S；四边形ABCO；（2）连接AC，求S△ABC＝8？若存在，请求点P坐标．（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB【变式4-4】（2022•天津模拟）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-5】（2022秋•渭滨区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C （4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．【变式4-6】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝ ，b＝　；（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m=−32时，在x轴上是否存在点P（不与点A重合），使得S三角形PBM＝S三角形ABM，若存在请求出点P的坐标，不存在说明理由．1．（2022春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）在图中画出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′的坐标；（3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积．2．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积．专题难点突破练3．（2022春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），把线段AB先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ ，　）．（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 ．（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点，线段BF的最小值为　．4．（2022春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2022秋•竞秀区期末）已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为（﹣4，1），点B坐标为（1，1）．（1）请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为 ；（2）依次连接A，B，C，A，得到△ABC，请判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点C关于直线AB的对称点为点D．则点D的坐标为 ；（4）在y轴上找一点F，使△ABF的面积等于△ABD的面积，点F的坐标为 ．6．（2022春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）如图1，△ABC的面积为 ；（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求△ACD的面积；②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标．7．（2022春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．（1）直接写出A、B、C的坐标；（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的16，求点M的坐标；（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时①CP＝ ，AQ＝ （用含t的式子表示）．②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．8．（2023春•涵江区期中）如图1，点A（0，a），B（b，0），且a，b满足（a﹣4）2=0．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图2，点C（m，n）在线段AB上，且满足n﹣m＝5，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且S△MBC ＝S△MOD，求点D的坐标；（3）平移直线AB，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线EF上且位于第三象限内的一个点，过点P作PG⊥x轴于点G，若S△PAB＝20，且GE＝12，求点P的坐标．9．（2023春•武汉期中）在平面直角坐标系中，点A 、B 分别是x 轴和y 轴的正半轴上的点，C 点在第一象限，它们的坐标分别是A （a ，0），B （0，b ），C （a ﹣1，2b ），且满足|a−4|+=0．（1）直接写出四边形AOBC 的面积 ；（2）点P 是x 轴上一个动点，当△APC 的面积等于8时，求点P 的坐标；（3）将线段AC 平移至线段MN （点A 的对应点为M ，点C 的对应点为N ），且点M 在线段OB 上，当△MAC 的面积为152时，求点N 的坐标．。

小专题（四）《平面直角坐标系中图形面积的求法》方法1 直接利用点的坐标求图形的面积 方法指导当图形有边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可考虑直接将点的坐标转化为线段长，进而计算图形面积.1.如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC 的顶点坐标分别为(3,0),(0,3)A B -，(0,1)C -，则三角形ABC 的面积为___________.2.如图，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为(4,2)A ，(4,6),(1,3)B C -，三角形ABC 的面积为___________.方法2 利用补形法求图形的面积 方法指导ABCOBCOACOABSSSS=+- ABCBCDOABOACD SS SS=--四边形ABCACDOABOBCD SS SS=+-四边形 ABCACDBCEOABOADE SS SSS--=-四边形3.如图，在平面直角坐标系中，已知点(3,1)A --，(1,3),(2,3)B C -，你能求出三角形ABC 的面积吗？方法3 利用分割法求图形的面积ACDOACB ODCB S SS =+四边形四边形 ADEBCFABCD EFCD S SSS =++四边形四边形4.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是(0,0)O ，(4,10),(12,8),(14,0)A B C ---，求四边形OABC 的面积.方法4 根据已知图形的面积利用逆向思维求点的坐标 方法指导已知坐标系中图形的面积，求点的坐标时，可将点的横（纵）坐标转化为到坐标轴的距离，利用面积来解决线段数量关系，从而求出点的坐标.5.如图，(1,0),(1,4)-，点B在x轴上，且3A CAB=.（1）点B的坐标为_____________；（2）三角形ABC的面积为_____________；（3）在y轴上是否存在点P，使以A B P，，三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案 1.6 2.10 3.解：14.4.解：过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，过点B 作BE x ⊥轴，垂足为E ，则(4,0)D -，(12,0)E -.8,10,4,8,2BE AD OD DE CE ∴=====.111()222OABC AOD BCE ABED S S S S OD AD CE BE BE AD DE ∴=++=⋅+⋅++⋅=四边形三角形三角形梯形11141028(810)8100222⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=. 5.解：（1）(2,0)或(4,0)-（2）6（3）设点P 到x 轴的距离为h ，则13102h ⨯=，解得203h =.①当点P 在y 轴正半轴时，点P 的坐标为200,3⎛⎫⎪⎝⎭；②当点P 在y 轴负半轴时，点P 的坐标为200,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，点P 的坐标为20200,0,33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或.。

例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。

现举例说明如下。

一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），(0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y 轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离,也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解。

解：因为B（0,3),C（0，—1）,所以BC=3—（—1）=4。

因为A（-3，0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4,5），C（-1，2）,求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长,进而可求得三角形ABC的面积.解:因为A,B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（—1）=5，所以=。

三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1）,B（1，3），C（2，—3），你能求出三角形ABC的面积吗?分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法。

根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形)的上下底(长)与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行。

这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形)内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积。

解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线,与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（—3，—1），B（1，3）,C(2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5。

图1图2图3平面直角坐标系中如何求几何图形的面积一、 求三角形的面积1、 有一边在坐标轴上或平行于坐标轴例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 求出三角形ABC 的面积吗2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。

二、求四边形的面积例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。

归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。

怎样确定点的坐标一、 象限点解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。

例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0二、轴上的点解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。

例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ） A 、（0，-2） B 、（2,0） C 、（4,0） D 、（0，-4）三、象限角平分线上的点所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。

解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。

例3：已知点Q （8,4m 222++++m m m ）在第一象限的角平分线上，则m=_________.四、对称点对称点的横、纵坐标之间有很密切的关系，点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标上（a ，-b ）；关于y 轴对称的点的坐标是（-a ，b ）；关于原点对称的点的坐标是（-a ，-b ）；关于一、三象限角平分线对称的点的坐标是（b ，a ）；关于二、四象限角平分线对称的点的坐标是（-b,-a ）. 例4：点（-1,4）关于原点对称的点的坐标是（ ）A、（-1，-4）B、（1，-4）C、（1,4）D、（4，-1）五、平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上点的横坐标相同。

专题05平面直角坐标系中求图形面积类型一、直接用公式求面积例1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4A b 为y 轴正半轴上一点，点()3,0B b 是x 轴正半轴上一点，其中b 满足()316b +=．（1）求点A ，B 的坐标．（2）点C 为x 轴上一点，且ABC 的面积为12，求C 点的坐标．【答案】（1）()0,4A ，()3,0B ；（2）点C 的坐标为()3,0-或()9,0【解析】（1）由()316b +=得1b =，∴()04A ，，()30B ，．（2）设点C 的坐标为()0x ，，则3BC x =-，由1（）可知4OA =，∴1432ABC S x =⨯⨯-= 12，解得：9x =或3-．∴点C 的坐标为()30-，或()90，．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知点(),0A a ，(),0B b ，a 、b 满足方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一点，且6ABC S = ，请求出C 的坐标．【答案】（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）【解析】（1）解方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩，∴A （-3，0），B （1，0）；（2）由（1）可知：AB =4，∵S △ABC =12AB •OC =6，∴12×4×OC =6，解得OC =3，∴C （0，3）．故答案为：（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）类型二、割补法求面积例1.如图，三角形ABC 的面积等于（）A ．12B ．1122C ．13D ．1132【答案】D【解析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：由题意可得，3BO =，3OC =，6AD =，3CD =，∴6OD =，∴ABC BOC ACDBODA S S S S ∆∆∆=--梯形111()222BO AD OD BO OC CD AD=+⋅-⋅⋅-⋅⋅111(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯54918222=--272=，即272ABC S ∆=，故选：D ．【变式训练1】如图，连接AB 、BC 、AC ，则△ABC 的面积是（）A ．312B ．3C ．212D ．2【答案】C【解析】长方形AGDE 的面积为：3×2=6，AGC 的面积：3×1÷2=1.5，CDB △的面积：2×1÷2=1，ABE △的面积：2×1÷2=1，故ABC 的面积为：6-1.5-1-1=2.5，故答案为：C ；【变式训练2】如图，三角形ABO 中，()2,3A --，()2,1B -，A B O ''' 是ABO 平移之后得到的图形，并且O 的对应点O '的坐标为()5,4．（1）作出ABO 平移之后的图形A B O ''' ，并写出A '、B '两点的坐标分别为A '______，B '_____；（2）()00,P x y 为ABO 中任意一点，则平移后对应点P 的坐标为______．（3）求ABO 的面积；【解析】（1）如图，△A 'B 'O '即为所求，A '、B '两点的坐标分别（3，1），（7，3）．故答案为：（3，1），（7，3）．（2）点P '的坐标为（x 0+5，y 0+4）．故答案为：（x 0+5，y 0+4）．（3）S △ABO =3×4-12×2×3-12×1×2-12×4×2=4．【变式训练3】在平面直角坐标系xoy 中，△ABC 的位置如图所示，点A ，B ，C 都在格点上．（1）分别写出下列顶点的坐标：A ________；B ________；（2）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ′B ′C ′；（3）计算出△ABC 的面积．【答案】（1）(-1,6)，(-2,0)；（2）见解析；（3）152【解析】（1）由图知，点A 的坐标为(-1,6)，点B 的坐标为(-2,0)，故答案为：(-1,6)，(-2,0)（2）由图得，点C 的坐标为(-4,3)，则点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A ′，B ′，C ′坐标分别为(1,6)，(2,0)，(4,3)，依次连接A ′，B ′，C ′，即得△A ′B ′C ′，所得图形如图所示（3）过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E则ABC AOD CED ADEC S S S S =-- 梯形111(36)31623222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯152=类型三、点的存在性问题例1.如图，在平面直角坐标系中，点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，其中0a >，点A 为BC 的中点，若4BC =，解决下列问题：（1）BC 所在直线与x 轴的位置关系是；（2）求出a 的值，并写出点A ，C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形PAC 的面积等于5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）()1,2A ，()3,2C ；（3）存在，P 点坐标为()0,3-或()0,7【解析】（1）∵点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，∴BC 所在直线与x 轴的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）∵4BC =，∴()34a a --=，∴1a =，∴B （-1，2），C （3，2），∵A 为BC 的中点，∴()1,2A ．（3）存在点P ．设()0,P m ，∵2AC =，∴12252m ⨯⨯-=，∴3m =-或7.∴P 为()0,3-或()0,7．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，已知()0,2A ，()3,0B ，()3,4C 三点．（1）求四边形AOBC 的面积；（2）是否存在点()0.5P x x ,，使2ABC AOBC S S = 四边形？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）存在，()189P --,或(18,9)【解析】如图，∵34C （，），∴33CD ==．∵()34C ，，30B （，），∴404CB =-=，∴4312DCBO S =⨯=四边形．∵()04D ，，()02A ，，∴422DA =-=，∴11236322DCA S =⨯⨯=⨯= ．∵DCA AOBC DCBO S S S =- 四边形四边形，∴1239AOBC S =-=四边形．（2）由（1）得1239AOBC S =-=四边形设存在点()0.5P x x ，，使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．∵△AOP 的面积=122x x ⨯⨯=，∴29x =⨯，∴18x =±∴存在点P （18，9）或（-18，-9），使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．【变式训练2】如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，求t 的值；（2）如图2，当t ＝2时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）t 的值为1.5；（2）点M 的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，1）．【解析】（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO=BC=3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=3，∴t=3÷2=1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t=2时，OP=4，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP=PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP=∠PDM，∠APO=∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA=DM=3，OP=PD=4，∴M（8，-3）；②如图，若△ABP≌△MPB，连接AM，则AP=PB=BM，∠APB=∠MBP=90︒，∴AP∥MB，且AP=MB，∴四边形APBM是平行四边形，y轴于点E，又∠APB=∠MBP=90︒，∴四边形APBM是正方形，∴AP=AM，过点M作ME⊥同理可证△AOP≌△MEA（AAS），∴OA=EM=3，OP=AE=4，∴M（3，7）；③如图，若△ABP≌△MPB，则AP=BP=BM，过点M 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、G ，过点M 作MH ⊥BF 于点H ，∴四边形FGMH 是矩形，∴MH =FG ，MG =HF ，同理可证△AOP ≌△PFB ≌△BHM （AAS ），∴OA =PF =BH =3，OP =BF =MH =4，∴MG =HF =BF -BH =1，OG =OP +PF +FG =11，∴M （11，1）；综合以上可得点M 的坐标为（3，7），（8，-3），（11，1）．【变式训练3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作第1个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第2个正方形2221A B C C ，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积是______．【答案】404235(2⨯【解析】()()1,0,0,2,A D 正方形ABCD ，1,2OA OD ∴==,,AD AB ===190,DAO ADO DAO BAA ∠+∠=︒=∠+∠1,ADO BAA ∴∠=∠190,DOA ABA ∠=∠=︒ 1,AOD A BA ∴ ∽1,AO OD A B AB ∴=15,2AO AB A B OD ∴== 正方形111A B C C，1113222A B A C ∴====⨯同理可得：22232442A B ⎛⎫=+==⨯ ⎪⎝⎭33332A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭······20212021202132A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以第2021个正方形的面积是22021404233=5.22⎡⎛⎫⎛⎫⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦故答案为：404235.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。