辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第二次模拟考试数学理科(含答案)

辽宁省高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣3．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．5．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣646．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．98．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．49．若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．11．实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．112．若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2二、填空题13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于______．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x ﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为______．15．定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x ﹣x2）的最大值为______．16．在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0=______．三、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．19．2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A班和B班）的网页上，A班（实验班，基础较好）共有学生60人，B班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频．（1）完成下列2×2列联表：级有关？ （2）在A 班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式：K 2=参考数据： 20．设椭圆C 1：+y 2=1的右焦点为F ，动圆过点F 且与直线x+1=0相切，M （3，0），设动圆圆心的轨迹为C 2． （1）求C 2的方程；（2）过F 任作一条斜率为k 1的直线l ，l 与C 2交于A ，B 两点，直线MA 交C 2于另一点C ，直线MB 交C 2于另一点D ，若直线CD 的斜率为k 2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f （x ）=e 3x ﹣1，g （x ）=ln （1+2x ）+ax ，f （x ）的图象在x=处的切线与g （x）的图象也相切． （1）求a 的值；（2）当x ＞﹣时，求证：f （x ）＞g （x ）；（3）设p ，q ，r ∈（﹣，+∞）且p ＜q ＜r ，A （p ，g （p ）），B （q ，g （q ）），C （r ，g （r ）），求证：k AB ＞k BC （其中k AB ，k BC 分别为直线AB 与BC 的斜率）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+co sθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}=（2，4），B={x|x2﹣x﹣6≤0}=[﹣2，3]，∴∁U B=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则A∩（∁U B）=（3，4）．故选：B．2．已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=m+i，z2=1﹣2i，且=﹣，∴=，∴，解得m=﹣．故选：D．3．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件进行数量积的计算求出，从而得出cos=，这样即可得出与的夹角．【解答】解：根据条件，==；∴；∴与的夹角为．故选：B．4．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求出，同时化简cos（π+2α）为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由得，，故选B．5．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣64【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出r的值即可得出展开式的常数项．【解答】解：（x3﹣）4的展开式中通项公式为T r+1=•x3（4﹣r）•=（﹣2）r••x12﹣4r，令12﹣4r=0，解得r=3；所以展开式的常数项为T4=（﹣2）3×=﹣32．故选：C．6．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当m=2，两直线方程分别为：3x+4y+5=0与直线2x+2y﹣6=0此时两直线平行，充分性成立．则当m=0时，两直线方程分别为3x+y+7=0或y=0，此时两直线不平行，当m≠0，若两直线平行，则，即m2+m=6且，解得m=2或m=﹣3，且m≠﹣2，即m=2或m=﹣3，即必要性不成立，“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的充分不必要条件，故选：A．7．由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．9【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题意，求出积分的上下限，即可得出结论．【解答】解：由，得：或，所以直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为S==（4x﹣）=9故选：D．8．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC是一个等腰三角形，△ABC是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC是一个等腰三角形，△ABC 是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．该几何体的所有棱中最长的棱的长度是PB==2．故选：B．9．若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．故选：A．10．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B11．实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选：B．12．若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．转化成一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根x1，x2，且0＜x1＜x2，根据根与系数的关系，将x1用x2表示，求得的表达式，再求最值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，∵f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根，由x1+x2=1，x1x2=，则a=2x2（1﹣x2），f（x1）=x12﹣2x1+alnx1=（1﹣x2）﹣2（1﹣x2）+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）．0＜x2＜1，所以=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣．0＜x2＜1，令g（x）=x+2（1﹣x）ln（1﹣x）﹣，0＜x＜1，g′（x）=1﹣2ln（1﹣x）﹣2+=﹣1﹣2ln（1﹣x）+．＞0，所以g（x）是增函数，所以x→0时，g（x）→﹣∞；x→1时，g（x）→0；所以t没有最小值和最大值；故选C．二、填空题13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于或3 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的首项为a1，由已知列关于a1和q的方程组求解．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，由S3=39，a2=9，得，解得：或．∴公比q等于或3．故答案为：或3．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程，利用圆的半径，圆心距，半弦长满足勾股定理求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），可得渐近线方程为：y=2x，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心与半径分别为（2，0），4，该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为：=．故答案为：．15．定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x ﹣x2）的最大值为 4 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据新定义，求出f（x）的表达式，然后利用数形结合求出函数f（x）的最大值即可．【解答】解：由x2=2x﹣x2，得x2=x，解得x=0或x=1，由y=2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，由y=2x﹣x2＜0，得x＜0或x＞2，∴由x2（2x﹣x2）≥0时，解得0≤x≤2，由x2（2x﹣x2）＜0解得x＜0或x＞2，即当0≤x≤2时，f（x）=x2，当x＜0或x＞2时，f（x）=2x﹣x2．作出对应的函数图象∴图象可知当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=4．故答案为：4．16．在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0= 14 ．【考点】数列递推式．【分析】设公差为d，4a12=﹣3a23＞0得到a12=﹣d，d＜0，判断出a17＜0，a16＞0，得到b15=＜0，b16=﹣d＞0，即可得到S16＜S15＜S14，问题得以解决．【解答】解：设公差为d，4a12=﹣3a23＞0，∴4a12=﹣3（a12+11d）＞0，∴a12=﹣d，d＜0，∴a17=a12+5d=d＜0，a16=a12+4d=﹣d＞0，∴a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17∴b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18∵b15=＜0，b16=＞0a15=a12+3d=﹣d＞0，a18=a12+6d=d＜0，∴b15=＜0，b16=﹣d＞0，∴b15+b16=d﹣d＜0，∴S16＜S15＜S14，∴S14最大．故答案为：14三、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinAcosB=sinBcosA，由此可得的值．（Ⅱ）可求tanA=，由（Ⅰ）得tanB=．利用余弦定理，两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理，可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，sinAcosB=sinBcosA，可得=．（Ⅱ）若A=60°，则tanA=，得tanB=．∵cosC=，∴==﹣tan（A+B）==﹣．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立坐标系，证明=0，=0，即可证明DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，以点A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA=AB=BC=2AD=2，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），∴=（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，2，﹣2），∴=0，=0，∴DE⊥PB，DE⊥PC，∵PB∩PC=P，∴DE⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量=（0，2，0）．设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则∵=（1，0，﹣2），=（2，2，﹣2），∴，∴取=（2，﹣1，1），∴cos＜，＞==﹣．19．2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A 班和B 班）的网页上，A 班（实验班，基础较好）共有学生60人，B 班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A 班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B 班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频． （1）完成下列2×2列联表：级有关？ （2）在A 班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式：K 2=参考数据：【分析】（1）根据题目中的数据，完成2×2列联表，计算K 2，对照数表即可得出结论； （2）①利用分层抽样原理求出对应的数值；②计算X 的可能取值以及对应的概率值，列出X 的分布列，求出数学期望值． 【解答】解：（1）根据题目中的数据，完成下列2×2列联表：计算K 2=≈7.5524＞6.635，∴有99%的把握认为学生选择两个视频中的哪一个与班级有关； （2）在A 班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查； ①抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数是6×=4，观看“概率的应用”视频的人数是6×=2；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X ，则X 的可能取值为1、2、3， 计算P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==；∴X 的分布列为：所以X 的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．20．设椭圆C 1：+y 2=1的右焦点为F ，动圆过点F 且与直线x+1=0相切，M （3，0），设动圆圆心的轨迹为C 2． （1）求C 2的方程；（2）过F 任作一条斜率为k 1的直线l ，l 与C 2交于A ，B 两点，直线MA 交C 2于另一点C ，直线MB 交C 2于另一点D ，若直线CD 的斜率为k 2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆方程求出椭圆右焦点，结合题意可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）分别设出AB、AC所在直线方程x=my+1与x=ny+3，联立直线方程与抛物线方程，可得A、B、C的纵坐标的关系，同理得到B、D纵坐标的关系，最后都用A的纵坐标表示，求出AB、CD的斜率（用A的纵坐标表示），可得为定值3．【解答】解：（1）由椭圆C1：+y2=1，得a2=2，b2=1，∴，则F（1，0），由动圆过点F且与直线x+1=0相切，可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）如图，直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4my﹣4=0．∴y1y2=﹣4，则，①设AC所在直线方程为x=ny+3，C（x3，y3），D（x4，y4），联立，得y2﹣4ny﹣12=0．∴y1y3=﹣12，则．同理求得y2y4=﹣12，②联立①②得，，∴，==，∴．21．已知函数f（x）=e3x﹣1，g（x）=ln（1+2x）+ax，f（x）的图象在x=处的切线与g （x）的图象也相切．（1）求a的值；（2）当x＞﹣时，求证：f（x）＞g（x）；（3）设p，q，r∈（﹣，+∞）且p＜q＜r，A（p，g（p）），B（q，g（q）），C（r，g（r）），求证：k AB＞k BC（其中k AB，k BC分别为直线AB与BC的斜率）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，求得切线方程；设出与g（x）图象相切的切点，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点为（0，0），进而得到a的值；（2）由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，求得导数，可得最小值0；再由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，求得导数，可得最大值0，进而得到证明；（3）由直线的斜率公式可得k AB=，k BC=，构造h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g（p））﹣（3+2q）（q﹣p），证明h（q）＞0，可得k AB＞，同理可证：k BC＜，从而可得结论．【解答】解：（1）函数f（x）=e3x﹣1的导数为f′（x）=3e3x﹣1，可得f（x）的图象在x=处的切线斜率为3，切点为（，1），即有切线的方程为y﹣1=3（x﹣），即为y=3x，设与g（x）的图象相切的切点为（m，n），可得n=3m=ln（1+2m）+am，又g′（x）=+a，可得3=+a，消去a，可得（1+2m）ln（1+2m）=2m，令t=1+2m（t＞0），即有tlnt=t﹣1．可令y=tlnt﹣t+1，导数y′=lnt，可得t＞1，函数y递增；0＜t＜1时，函数y递减．则t=1时，函数y=tlnt﹣t+1取得最小值0．则tlnt=t﹣1的解为t=1，则m=0，可得a=1；（2）证明：当x＞﹣时，由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，可得m′（x）=3e3x﹣1﹣3，当x＞时，m（x）递增；当﹣＜x＜时，m（x）递减．可得x=处，m（x）取得极小值，且为最小值0．则f（x）≥3x；由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，可得n′（x）=﹣2=，当x＞0时，n（x）递减；当﹣＜x＜0时，n（x）递增．即有x=0处n（x）取得极大值，且为最大值0，则g（x）≤3x，由于等号不同时取得，则f（x）＞g（x）；（3）证明：k AB=，k BC=，令h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g（p））﹣（3+2q）（q﹣p），则h′（q）=2 （g（q）﹣g（p））+（1+2q）g′（q）﹣2（q﹣p）﹣（3+2q）=2 （g（q）﹣g（p））﹣2（q﹣p）=2（ln（1+2q）﹣ln（1+2p））∵y=ln（1+2x）在（﹣，+∞）上单调递增，且q＞p，∴ln（1+2q）﹣ln（1+2p）＞0，∴h′（q）＞0．∴h（q）在（p，q）上单调递增，∴h（q）＞h（p）=0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））﹣（3+2q）（q﹣p）＞0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））＞（3+2q）（q﹣p），∵q﹣p＞0，1+2q＞0，∴＞，即k AB＞；同理可证k BC＜．∴k AB＞k BC．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由AB是直径，得∠ACB=90°，由此能证明∠BCF=∠CAB．（Ⅱ）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，由此利用切割线定理和勾股定理能求出⊙O半径．【解答】证明：（Ⅰ）因为AB是直径，所以∠ACB=90°又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°﹣∠CBA=∠CAB因此∠BCF=∠CAB．…解：（Ⅱ）直线CF交直线AB于点G，由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC所以FA=FG，且AB=BG由切割线定理得：（1+FG）2=BG×AG=2BG2…①在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2…②由①、②得：FG2﹣2FG﹣3=0解之得：FG1=3，FG2=﹣1（舍去）所以AB=BG=2，所以⊙O半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，得到直线l的普通方程，再将代入能求出直线l的极坐标方程．（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，能求出l与C交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y﹣2=0，再将代入x+y﹣2=0，得ρcosθ+ρsinθ=2．…（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，∵ρ≥0，0≤θ≤2π，∴解得或，∴l与C交点的极坐标分别为（2，0），（2，）．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1））解不等式|x+2a|＜4﹣2a，得到4﹣4a=0，求出a的值即可；（2）问题转化为m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a，∴2a﹣4＜x+2a＜4﹣2a，∴﹣4＜x＜4﹣4a，∴4﹣4a=0，解得：a=1；（2）由（1）得：f（x）=|x+2|，f（﹣2x）=|﹣2x+2|，若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，即m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x=，x≥1时，h（x）=﹣2x+4≤2，﹣2＜x＜1时，h（x）∈（﹣4，2），x≤﹣2时，h（x）=﹣4，∴h（x）的最大值是2，∴m≥2．。

2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题.1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2} 2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．1126．点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）A．y＝12x2B．y＝﹣36x2C．y＝12x2或y＝﹣36x2D．y=112x2或y=−136x27．函数y＝cos2x+sin x﹣1的值域为（）A．[−14，14]B．[0，14]C．[﹣2，14]D．[﹣1，14]8．函数f(x)=e x+1|x|(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位10．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（ ）A ．20√6海里B ．40√6海里C ．20(1+√3)海里D ．40海里11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张 D ．甲得10张，乙得2张12．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（ ）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= ． 14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有 石．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 ．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为 ． 三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =2log 3a n −1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数．求X 的分布列和期望．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． （1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点） （2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，（满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0． （1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|． （Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m+1n的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2}【分析】利用交集性质求出x2＝2，由此能求出M∪N．解：∵集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，M∩N＝{2}，∴x2＝2，∴M∪N＝{0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝|2i|＝2，得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．解：若“|a→|＝|b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是菱形；若“|a→+b→|＝|a→−b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是矩形；故“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“|a→|＝|b→|”与“|a→+b→|＝|a→−b→|”表示的几何意义，是解答的关键．4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定【分析】空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，画出图象，即可判断出结论．解：空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，可得l1与l3平行、相交或为异面直线．则下列结论一定正确的是D．故选：D．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．112【分析】由正三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长，然后求解三棱锥的体积．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．∴（√3）2＝PA 2+PB 2+PC 2＝3PA 2⇒PA ＝PB ＝PC ＝1， 所以三棱锥的体积为：13×12×1×1×1=16，故选：A ．【点评】考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键． 6．点M （5，3）到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ） A ．y ＝12x 2B ．y ＝﹣36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝﹣36x 2D ．y =112x 2或y =−136x 2 【分析】根据点M 到准线的距离为|3+14a|＝6，分a ＞0和a ＜0两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程．解：当a ＞0时，开口向上，准线方程为y =−14a ，则点M 到准线的距离为3+14a =6，求得a =112，抛物线方程为y =112x 2， 当a ＜0时，开口向下，准线方程为y =−14a ，点M 到准线的距离为|3+14a |＝6解得a =−136，抛物线方程为y =−136x 2． 故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题． 7．函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1的值域为（ ） A ．[−14，14]B ．[0，14]C ．[﹣2，14]D ．[﹣1，14]【分析】由条件根据y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．解：∵函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，sin x ∈[﹣1，1]，故当sin x =12时，函数y 取得最大值为14；当sin x ＝﹣1时，函数y 取得最小值为﹣2，故函数y 的值域为[﹣2，14]．故选：C ．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．8．函数f(x)=e x +1|x|(e x −1)（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性，和特值进行验证．解：f （x ）为奇函数，排除A ，B ．又当x ＞0时，f （x ）＞0，且f(x)=1|x|(1+2e x −1)单调递减，故C 符合． 故选：C ．【点评】本题考查函数图象的判断，属于基础题目．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2)的图象可得A＝1，T=2πω=2[π3−(−π6)]=π，∴ω＝2．再由五点法作图可得2×(−π6)+φ＝0，∴φ=π3．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+π3）＝sin2（x+π6）．故把f（x）＝sin2（x+π6）的图象向右平移π6个单位长度，可得g（x）＝sin2x的图象，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A．20√6海里B．40√6海里C．20(1+√3)海里D．40海里【分析】分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．解：连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=40sin45°，∴AD＝20√2，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD=√2CD＝40√2．在△ABD 中，由余弦定理得AB =√800+3200−2×20√2×40√2×cos60°=20√6． 故选：A ．【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张【分析】由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，从而得到甲乙获胜的概率．解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）． 其中甲获胜有3种，而乙只有1种， 所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14．所以甲得到的游戏牌为12×34=9，乙得到圆心牌为12×14=3； 当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌， 故选：A ．【点评】本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析再赛两局，甲、乙各自获胜的概率．12．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（ ）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)【分析】求出直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0，利用直线与圆的位置关系，结合a ＜b ，即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围．解：由题意可设F （c ，0），B （0，b ），则直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0， ∵在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i ＝1，2），使得∠A 1P i A 2=π2， ∴线段BF 与以A 1A 2为直径的圆相交，即√b 2+c2a ，化为b 2c 2＜a 2（b 2+c 2）， 又b 2＝c 2﹣a 2，即有a 4+a 2b 2﹣b 4＞0，可得0＜b 2a2＜1+√52，在线段BF 上（不含端点）存在两个不同的点P i （i ＝1，2）， 使得∠A 1P i A 2=π2， 可得a ＜b ，可得1＜b 2a2＜1+√52，故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题． 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= 3 ．【分析】推导出f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1，f （0）＝20+1＝2，由此能求出f(√10)+f(0)的值．解：∵函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，∴f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1， f （0）＝20+1＝2，f(√10)+f(0)=1+2＝3． 故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有 170 石．【分析】设这批米内所夹的谷有x 石，由等可能事件概率计算公式得x1530=28252，由此能估计这批米内所夹的谷的数量．解：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．设这批米内所夹的谷有x 石，则x 1530=28252，解得x ＝170，∴估计这批米内所夹的谷有170石． 故答案为：170．【点评】本题考查米内所夹的谷数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 y ＝（12）x5730．【分析】根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式 解：依题意可设y =(12)ax ，当x ＝5730时，y =12，即有12=(12)5730a ，解得a =15730， 故答案为：y ＝（(12)x5730．【点评】本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为 m ≥23e √e −√e ． 【分析】分离参数m ，即要使原式成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立．构造函数h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12，利用导数求该函数的最大值即可．解：由题意，要使对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g （x ）恒成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立，令h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12， 则h′(x)=−x 2+lnx +e −12，易知h′(√e)=0，而h″(x)=−2x +1x =1−2x 2x ，当x ∈[12，√22)时，h ″（x ）＞0，h ′（x ）递增；当x ∈(√22，+∞]时，h ″（x ）＜0，h ′（x ）递减．结合h′(12)=e −ln2−34＞0，h′(√22)=e −1−12ln2＞0，∴x ∈[12，√e)时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增；x ∈(√e ，+∞]时，h （x ）递减．故h(x)max =h(√e)=23e √e −√e ．所以要使原式恒成立，只需m ≥23e √e −√e ．故答案为：m ≥23e √e −√e ．【点评】本题考查导数在研究不等式恒成立问题中的应用，不等式恒成立问题，一般是先转化为函数的最值，然后再利用导数研究函数的单调性来处理，能分离参数的一般要分离参数．同时考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．属于较难的题目．三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=2log3a n−1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1＝3a n，再由a1＝3可求得a n；（2）根据（1）中求出的a n可得b n＝（2n﹣1）（13）n，再利用错位相减法求出T n．解：（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1=32a n+1−32a n，即a n+1＝3a n．又a1＝3，所以数列{a n}是首项、公比均为3的等比数列，∴a n＝3n；（2）由（1）知a n＝3n，∵b n=2log3a n−1a n，∴b n=2n−13n，∴T n=13+3×（13）2+5×（13）3+⋯+2n−13n③，13T n＝（13）2+3×（13）3+…+（2n﹣3）（13）n+2n−13n+1④，由③﹣④可得23T n=13+2[（13）2+（13）3+…+（13）n]−2n−13n+1=13+2×(13)2[1−(13)n−1]1−13−2n−1 3n+1=23−2+2n3n+1，∴T n＝1−1+n 3n．【点评】本题主要考查由数列的前n项和与第n项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n天，从这n天中任取两天，设X为这两天中客流量超过7万人的天数．求X的分布列和期望．【分析】（1）①由频率分布直方图中的数据即可得解；②设中位数为x，根据中位数的性质列出关于x的方程，解之即可得解；（2）先由频率分布直方图中的数据分别求出100天中客流量超过5万人次和超过7万次的天数，确定X的取值为0，1，2，再根据超几何分布逐一计算每个X的取值所对应的概率即可得到分布列，进而可得数学期望．解：（1）①客流量的平均数为（2.5×0.2+3.5×0.25+4.5×0.4+5.5×0.05+6.5×0.05+7.5×0.05）×1＝4.15；②设中位数为x，则0.20+0.25+0.40（x﹣4）＝0.5，解得x＝4.125，故客流量的中位数为4.125．（2）从频率分布直方图可知，客流量超过5万人次的频率为0.05×3×1＝0.15，∴n＝100×0.15＝15，而客流量超过7万人的天数为100×0.05×1＝5天，∴随机变量X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）=C102C50C152=45105=37，P（X＝0）=C101C51C152=50105=1021，P（X＝0）=C100C52C152=10105=221．∴X的分布列为：X012P371021221数学期望E（X）=0×37+1×1021+2×221=23．【点评】本题考查频率分布直方图中的数字特征、超几何分布和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． （1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．【分析】（1）证明CC 1⊥B 1C 1，B 1C 1⊥C 1E ，可得B 1C 1⊥平面CC 1E ，即可证明结论； （2）连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，求出EH ，利用余弦定理建立方程，即可求线段AM 的长．【解答】（1）证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1C 1．因为AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点， 所以B 1E =√5，B 1C 1=√2，EC 1=√3，从而B 1E 2＝B 1C 12+EC 12，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ．又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE ．（2）解：连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1， 连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH =√26x ，AH =√346x ．在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1=√2，得EH =√2MH =13x ．在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2+EH 2﹣2AE •EH cos 135°，得1718x 2＝1+19x 2+√23x ．整理得5x 2﹣2 √2x ﹣6＝0，解得x =√2（负值舍去）， 所以线段AM 的长为√2．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，考查余弦定理，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题． 20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点） （2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．【分析】（1）设T 的坐标，可得直线TF 的斜率，由题意可得直线PQ 的斜率，进而求出直线PQ 的方程，将直线PQ 与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ 的中点坐标，求出直线OT ，OM 的斜率可得斜率相等可得线段OT 平分线段PQ ； （2）由（1）得|PQ |的长，|TF |的长，求出|TF||PQ|，换元，由均值不等式可得|TF||PQ|最小值，同时求出T 的坐标解：（1）证明：由题意设T （﹣3，m ），椭圆的左焦点F （﹣2，0），所以K FT =m−3+2=−m ， 所以k PQ =1m， 设直线PQ 的直线方程为：y =1m（x +2），即x ＝my ﹣2， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），设PQ 的中点M ，将直线PQ 与椭圆的方程联立{x =my −2x 26+y 22=1整理可得：（3+m 2）y 2﹣4my ﹣2＝0，y 1+y 2=4m 3+m 2，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）﹣4=−123+m 2， 所以中点M （−63+m2，2m 3+m 2），因为k OT =m −3=−m 3，k OM =2m3+m 2−63+m 2=−m3， 所以k OT ＝k OM ，所以线段OT 平分线段PQ ．（2）由（1）可得：|PQ |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√16m 2(3+m 2)2−4⋅−23+m 2=2√6(1+m 2)3+m 2， 而|FT |=√m 2+(−3+2)2=√1+m 2， 所以|FT||PQ|=22√6√1+m 2=2√6⋅2+(√1+m 2)2√1+m 2，令t =√1+m 2≥1，所以2+t 2t=2t+t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号，即m ＝±1，所以|FT||PQ|≥√22√6=√33，这时T （﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用，属于中档题． 21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）【分析】（1）根据切点处的导数为0，可求出a 的值，然后令导数大于0或小于0，即可求出单调区间；（2）根据（1）的结论，将结论转化为证明x 1+x 2＜0，结合f （x 1）＝f （x 2），进一步转化为f （x ）﹣f （﹣x ）＞0，x ∈(0，π2]成立．构造函数h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），利用导数研究单调性容易证明．解：（1）f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣a ，k ＝f ′（0）＝e 0﹣a ＝0，∴a ＝1． ∴f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣1，当x ∈[−π2，0)，f′(x)＜0，f(x)递减； 当x ∈(0，π2]时，f′(x)＞0，f(x)递增．所以函数f （x ）的递增区间为[0，π2]，递减区间为[−π2，0]． （2）由（1）可知，x 1，x 2异号，不妨设−π2≤x 1＜0＜x 2≤π2． 则−π4＜x 1+x 22＜π4，因为f （x ）在[−π2，0]上递减， 故要证f′(x 1+x 22)＜0，只需证x 1+x 22∈[−π2，0]，即证x 1＜﹣x 2． 因为x 1，−x 2∈[−π2，0]，所以只需证f （x 1）＞f （﹣x 2），又x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2）， 只需证f （x 2）＞f （﹣x 2），即f （x 2）﹣f （﹣x 2）＞0． 不妨令h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），x ∈∈[0，π2]．∵h ′（x ）＝f ′（x ）+f ′（﹣x ）＝x cos x +e x ﹣1﹣x cos （﹣x ）+e ﹣x ﹣1 =e x +e −x −2＞2√e x ⋅e −x −2=0．所以h （x ）在[0，π2]递增，∴h （x ）＞h （0）＝0． 所以f(x 1+x 22)＜0． 【点评】本题考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、与不等式有关的问题之应用．同时体现了对学生的逻辑推理、数学运算、以及直观想象等数学核心素养的考查．属于较难的题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．（1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．【分析】（1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一步判定曲线间的位置关系．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）当α=π4，所以曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π）转换为{x =3+tcos π4y =tsin π4，转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣3＝0． 曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．转换为直角坐标方程为x 2+y 2+2x ＝0，转换为（x +1）2+y 2＝1，所以圆心（﹣1，0）到直线的距离d =4√2=2√2＞1，所以曲线C 1和C 2的位置关系为相离．（2）将曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），代入x 2+y 2+2x ＝0，整理得t 2+8t cos θ+15＝0，所以t 1+t 2＝﹣8cos θ，t 1t 2＝15．由于满足|PM |+|PN |＝5|MN |．所以|t 1+t 2|＝5|t 1﹣t 2|，整理得24（﹣8cos θ）2＝100×15．所以cos 2θ=125128， 所以sinθ=√616． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m +1n 的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出a 的值，根据m +n ＝4以及基本不等式的性质求出代数式的值即可．解：（Ⅰ）f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可得当x ＜﹣2时，﹣3x ﹣2≥﹣3x +4，即﹣2≥4，所以无解；当﹣2≤x ≤2时，x +6≥﹣3x +4，得x ≥−12，可得−12≤x ≤2； 当x ＞2时，3x +2≥﹣3x +4，得x ≥13，可得x ＞2．∴不等式的解集为{x|x ≥−12}． （Ⅱ）根据函数f(x)={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可知当x ＝﹣2时，函数取得最小值f （﹣2）＝4，可知a ＝4，∵m +n ＝4，m ＞0，n ＞0，∴1m +1n =14(m +n)(1m +1n )=14(1+1+n m +m n )≥14(2+2)=1． 当且仅当n m =m n ，即m ＝n ＝2时，取“＝”． ∴1m +1n的最小值为1． 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

辽宁省五校协作体2019届高三第二次联合模拟考试数学学科试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（理）已知全集U =R ，{|0M x x =<或2}x >，2{|430}N x x x =-+<，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {|01}x x ≤<B. {|02}x x ≤≤C. {|12}x x <≤D. {|2}x x <2.函数1201x y a a -=<<（）的图象一定过点（ ） A. （1,1） B. （1,2） C. （2,0） D. （2,-1）3.（理）点000(,)P x y 是曲线3ln y x x k =++()k R ∈图象上一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 1-D. 4-4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. sin()6y x π=- B. 2x y = C. x y = D. 3x y -=5.有下列说法：（1）“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（2）“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（3）“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件；（4）“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件。

其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.在ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边,设60,A a ==b =B = ( )A. 45或135B. 0135C. 45D. 以上都不对7.=（ ）其中,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ A. sin θ－cos θ B. cos θ－sin θ C. ±（sin θ－cos θ） D. sin θ+cos θ8.设映射2:21f x x x →-+-是集合{}|2A x x =>到集合B R =的映射。

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2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题
数学（理科）
第1卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知{}0)1(>-=x x x A ，{}1<=x x B ，则A Y B=（ ）
A ．)1,0(
B ．R
C ．)1(，-∞
D ．),1()1(+∞-∞Y ，
2．已知复数2020i i z +=．则z =（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．2
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A ．100，40
B ．100，20
C ．200，40
D ．200，20
4设l 是直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若α∥l ，β∥l ，则βα∥
B ．若α∥l ，β⊥l ，则βα⊥
C ．若βα⊥，α⊥l ，则β⊥l
D ．若βα⊥，α∥l ，则β⊥l
5．已知a>b ．则条件“c≤0”是条件“bc ac <”的（ ）条件．。