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8-5正交试验的方差分析

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方差分析

方差分析


标的观察值，列于表 1-2。
上一张 下一张
表1-2
因素 B 因素 A
A1 A2

B1 x1 1 x 21

B2 x1 2 x 22



Bj

Bb x1b x2b

x i x 1 x 2

x1 j x2 j



Ai

x i1

xi 2

x ij
x ib

xi




Aa
2 2
X i 1 , X i 2 , , X in ，它们来自具有相同方差 ，均 i
2
i , 均为未知，并且不同水平 Ai 下的样本之间相
互独立。 取下面的线性统计模型：
x ij i ij , 2 ij ~ N ( 0 , ), i 1, 2 , , a , j 1, 2 , , n i (1 .1)
处理 未切去胚乳 切去一半胚乳 切去全部胚乳 每株粒重 21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26
问：每株粒重是否受到切胚乳的影响？（ 0.05 ）
上一张 下一张
解：设每株粒重为
x i j i ,i
上一张 下一张
二、单因素试验的方差分析
设单因素 A 有 a 个水平 A1 , A2 , , Aa ，在水平 Ai ( i 1, 2, , a ) 下，进行 n i 次独立试验，得到试验 指标的观察值列于表 1-1。
表１-１
1
A1 A2 Ai Aa x1 1 x 21 x i1 x a1
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析

第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析

Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
正交检验的极差分析和方差分析

正交检验的极差分析和方差分析


计算各样本平均数 y i 如下:
型号
yi
表 8－2
A
B
C
D
E
F
9.4 5.5 7.9 5.4 7.5 8.8
4.1 方差分析的基本概念和原理
两个总体平均值比较的检验法 把样本平均数两两组成对:

y
(
C
2 6



1与
y
2,
y
与
1
y
15)对。
3,…

y

1与 y
6
,

y

2与 y
3

,…, y

参数 假设 检验 的假 设条 件
观测值(i=1,2,…,k;j=1,2,…,m) 相互独立
在水平Ai条件下, Yij(j=1,2,…m)
服从正态分布N (i ,2)
4.2.4 显著性检验
要判断在因素A的k个水平条件下真值之间是否 有显著性差异, 即检验假设
H0: 12k, H1: 不全相等

我们还可以证明 , i , i分别是参数 ,i ,i 的无
偏估计量。
将和 i 分别用它们的估计量代替,可以得到试 验误差 ij 的估计量 e ij ,
eij Yij Yi
(4-10)
4.2.3 分解定理 自由度
为了由观测值的偏差中分析出各水平的效应,我们 研究三种偏差:Y ij Y ,Yi Y 和 Yij Y i. 根据前面参数估计的讨论,它们分别表示
数学模型和数据结构 参数点估计 分解定理 自由度 显著性检验 多重分布与区间估计
4.2.1 数学模型和数据结构
在单因素试验中,为了考察因素A的k个水平A1, A2,…,Ak对Y的影响(如k种型号对维修时间的影响), 设想在固定的条件Ai下作试验.所有可能的试验结果 组成一个总体Yi,它是一个随机变量.可以把它分解
正交试验的方差分析法

正交试验的方差分析法


C×D
B×D A×D
A
B A×B C A×C D A×D
C×D
B×D
B×C
A
B A×B C A×C D
E
D×E C×D C×E B×D B×E A×E A×B
B×C
(四) 列出试验方案
把正交表中安排原因旳各列(不包括欲考 察旳交互作用列)中旳每个数字依次换成该原 因旳实际水平，就得到一种正交试验方案。
上一张 下一张 主 页 退 出
此例不考察交互作用，可将品种(A)、 密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)旳第1、 2、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。
表11-4 表头设计
列号 1 2 3 4 因素 A B C 空
原因 数 2 3
4
L9（34）表头设计
列
号
1
2
3
4
A A B×C1
C 3 1(3) 2(5) 3(8) 2(5) 3(8) 1(3) 3(8) 1(3) 2(5)
上一张 下一张 主 页 退 出
第二节 正交试验资料旳方差分析
若各号试验处理都只有一种观察值，则称 之为单个观察值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观察 值，则称之为有反复观察值正交试验。
上一张 下一张 主 页 退 出
A原因是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平 ； B原因是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平 ； C原因是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一种3原因每个原因3水平旳试验 ，各原因旳 水平之间全部可能旳组合有27种。
上一张 下一张 主 页 退 出
假如进行全方面试验 ，能够分析各原因 旳效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。
正交试验方差分析

正交试验方差分析


1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1 1 2 2 2（7.0） 2（2.4） 3（7.5） 3（2.8 2 3 1 3 2 3
2（55） 1
3（58） 1
8பைடு நூலகம்
9 K1j
3
3 15.76
2
3 25.18
1
2 22.65
3
1 20.74
10.9
8.95
T 65.58
K2j
K3j K1j2 K2j2 K3j2
n
对上式做如下变换
SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )
各式的物理意义
X
所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和
X i.
SSE 表示每一个数据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的
SS A
表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和
再稍做整理
X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF N
2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1
r
n
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
第6章-正交试验设计结果的方差分析

第6章-正交试验设计结果的方差分析


（4）计算F值
• 各均方除以误差的均方，例如：
FABiblioteka VA Ve或FA
VA V e
FAB
VAB Ve
或
FAB
VAB Ve
（5）显著性检验
• 例如： • 若 FAF(fA,f，e)则因素A对试验结果有显著影
响 • 若 F A BF (fA B,fe，)则交互作用A×B对试验结
果有显著影响
（6）列方差分析表
设：
QT
n
x
2 i
i1
n
T xi i1
②各因素引起的离差平方和
• 第j列所引起的离差平方和 ：
Sj
1( m r p1
Kp2j
)T2 n
k
ST S j Se j 1
③交互作用的离差平方和
• 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于 所在列的离差平方和
• 若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占 多列离差平方和之和，
• 例：3时
S S S AB （ AB ） 1 （ AB ） 2
④试验误差的离差平方和
• 方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空 列，即误差列
• 误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和 之和 ：
Se S空列
（2）计算自由度
①总自由度 ：＝n－1 ②任一列离差平方和对应的自由度 ：
＝m－1 ③交互作用的自由度 ：（以A×B为例） ×B＝ × ×B＝(m－1 ) 若m ＝ 2， ×B＝ 若m ＝ 3， ×B＝ 2 ＋ ④误差的自由度：
• 方差分析的基本步骤如下： • (1)计算离差平方和 • (2)计算自由度 • (3)计算平均离差平方和(均方) • (4)计算F 值 • (5)显著性检验
第三章正交试验设计中的方差分析2例题分析

第三章正交试验设计中的方差分析2例题分析

第三章_正交试验设计中的方差分析2-例题分析第三章中的例题分析是关于正交试验设计中的方差分析的。

本例题分析主要涉及到两个因素和一个响应变量，通过正交试验设计的方法，对这两个因素的影响进行分析。

首先，我们需要了解正交试验设计的基本原理。

正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择合适的试验因素和水平，使得每个试验条件都能够得到充分的信息，从而降低试验误差，提高试验效率。

在正交试验设计中，试验因素之间是相互独立的，这样可以更好地分析每个因素对响应变量的影响。

在本例题中，我们有两个因素，分别记作因素A和因素B，每个因素有两个水平。

我们还有一个响应变量Y，需要确定因素A、因素B和Y之间的关系。

接下来，我们需要进行方差分析。

方差分析是一种用于比较不同因素对响应变量的影响的统计方法。

在本例题中，我们可以使用两因素方差分析来分析因素A和因素B对响应变量Y的影响。

首先，我们需要计算总平方和（SST），表示响应变量的总变异。

然后，我们需要计算因素A的平方和（SSA），表示因素A对响应变量的影响，以及因素B的平方和（SSB），表示因素B对响应变量的影响。

同时，我们还需要计算交互作用的平方和（SSAB），表示因素A和因素B之间的交互作用对响应变量的影响。

接下来，我们可以计算各个平方和的自由度和均方差，从而得到F值。

F值可以用来判断因素对响应变量的影响是否显著。

如果F值大于临界值，则说明该因素对响应变量的影响是显著的。

最后，我们可以进行多重比较，比较每个因素水平之间的差异。

多重比较可以帮助我们确定哪些因素水平之间的差异是显著的。

通过以上的分析，我们可以得出因素A、因素B和响应变量Y之间的关系。

同时，我们还可以根据多重比较的结果，确定哪些因素水平之间的差异是显著的。

总结起来，本例题分析主要涉及到正交试验设计中的方差分析。

通过对两个因素和一个响应变量进行分析，我们可以确定因素对响应变量的影响是否显著，并确定哪些因素水平之间的差异是显著的。

正交试验结果的极差分析与方差分析

正交试验结果的极差分析与方差分析

实验报告实验三：正交试验结果的极差分析与方差分析课程名称考查学期姓名学号专业成绩任课教师实验三：正交试验结果的极差分析与方差分析一、实验目标熟练使用Excel和SPSS软件进行正交试验设计和结果分析二、实验要求按照1人/组的样式，所有成员都应该根据实验内容完成相应的任务。

三、仪器设备笔记本电脑与数据分析软件Excel、SPSS。

四、实验内容1. 正交试验数据的极差分析（Excel）大枣的微波干燥工艺研究，试验因素选取A微波功率（W）、B干燥时间（min）、C载样量（kg/m2），以干燥大枣中总黄酮的含量为指标（越高越好），试选出最优工艺条件。

表3-1. 因素水平表水平试验因素A（微波功率/W）B（干燥时间/min）C（载样量/kg/m2）1150105 22501510 33502015表3-2. 干燥大枣中的总黄酮含量试验号微波功率A干燥时间B空列载样量C总黄酮含量1（mg/g）总黄酮含量2（mg/g）11111272.6 278.9 21222251.7 250.331333245.2 247.2 42123289.7 279.6 52231275.8 268.8 62312258.7 257.7 73132246.6 246.2 83213231.4 232.1 93321222.1 228.6表3-3 干燥大枣中的总黄酮含量极差分析试验号列号重复试样指标和1 2 3 41 2A B C1 1 1 1 1 272.6 278.9 551.52 1 2 2 2 251.7 250.3 5023 1 3 3 3 245.2 247.2 492.44 2 1 2 3 289.7 279.6 569.35 2 2 3 1 275.8 268.8 544.66 2 3 1 2 258.7 257.7 516.47 3 1 3 2 246.6 246.2 492.88 3 2 1 3 231.4 232.1 463.59 3 3 2 1 222.1 228.6 450.7K11545.9 1613.6 1531.4 1546.8K21630.3 1510.1 1522.0 1511.2K31407.0 1459.5 1529.8 1525.2k1257.650 268.933 255.233 257.800k2271.717 251.683 253.667 251.867k3234.500 243.250 254.967 254.200R 37.217 25.683 1.567 5.933较优水平A2B1C1因为指标越大越好，所以为因素A的2水平，即A2较好。

正交试验设计中的方差分析

正交试验设计中的方差分析

方差分析（ANOVA）是一种统计技术， 用于比较三个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
正交试验设计中的方差分析

正交试验设计中的方差分析

个水平，每个水平做p次试验，则n=mp。
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
质量-例88 五因素三水平正交试验

质量-例88 五因素三水平正交试验

例88 五因素三水平正交实验某聚合反应，用原来的工艺生产的产品粘度是80～85s。

现要求生产年度为90s的产品，需要更换催化剂步骤一：确定因素和水平，并选正交试验表。

该题共有5个因素，3个水平，又要求考虑交互作用，因此选择L27(313)正交试验表。

步骤四：结论1、从方差分析表可以看出，催化剂的种类、使用量、单体活性和催化剂种类与反应强度的交互作用的统2、其他因素可以认为无影响。

3、A*D交互作用有显著影响。

由表一变换后的数据可求出A0D0：-14A0D1：0A0D2：-17A1D0：0A1D1：-7A1D2：4A2D0:13A2D1：-1A2D2：5MAX:13即最大的为A2D0.MIN:-17即最小的为A0D2.4、B和C的值。

B0：-33B1：-2B2：18C0：-16C1：-13C2：12因此，B2和C2是最佳条件。

因此，黏度最大的最佳条件应选择A2B2C2D0其总体均值估计值为û=(A2B2C2D0)=85+13/3+18/9+12/9-2*(-17/27)=93.995%的置信区间为93.9-2.12*（1.32*13/27）^0.5<X<93.9+2.12*（1.32*13/27）^0.5即92.2<X<95.6因此,（ad）11（ad）12（ad）13-334.962963-331.962963-328.6296296（ad）21（ad）22（ad）23-337.2962963-336.6296296-340.2962963（ad）31（ad）32（ad）33-339.2962963-346.2962963-341.962963Max-328.6296296MIN-346.2962963需要更换催化剂，相应要求调整反应条件。

该聚合反应所用溶剂中希望回收20%溶剂。

反应条件如下反应强度的交互作用的统计量F值均大于F分布表的显著性检验临界值，对黏度有高度的影响。

(整理)正交试验结果的方差分析方法

正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目试验指标的加和值=,试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)……(4) k j——同一水平出现的次数。

等于试验的次数除以第j列的水平数.(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节(8)偏差平方和(4-1)(9) fj ——自由度.fj第j列的水平数－1.(10）Vj——方差.Vj =Sj/fj(4-2)（11）Ve——误差列的方差。

(4-3)（12）Fj——方差之比(4-4)（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。

显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。

（14）总的偏差平方和(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。

即(4-6) 式中，m为正交表的列数。

若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。

与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。

在数理统计上，这是一个很重要的问题。

显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。

如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。

因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。

有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。

正交设计试验资料的方差分析


数据整理
将收集到的数据整理成 表格形式，便于后续分 析。
数据筛选
对异常值进行筛选和处 理，确保数据质量。
正交设计试验资料的方差分析过程
确定试验因素和水平
明确试验因素和各因素的水平， 为后续分析提供基础。
计算各因素的效应值
根据试验结果，计算各因素的效 应值。
计算误差平方和
根据效应值和水平，计算误差平 方和。
跨学科融合
标准化与规范化
结合其他学科的理论和方法，拓展正交设 计试验的应用领域，推动多学科交叉融合 发展。
制定和完善正交设计试验的标准和规范， 提高试验的可靠性和可比性。
正交设计试验资料方差分析的实际应用价值
科学研究
在科学研究领域，正交设计 试验资料方差分析可用于探 索和验证科学假设，揭示现 象背后的机制和规律。
正交试验设计的基本原理
1 2
正交性原理
正交试验设计基于正交性原理，即每个因素在试 验中出现的次数相同，且各次出现的概率相等。
均匀分散原理
正交试验设计通过均匀分散原理，确保每个水平 在试验中都有均衡的分布，从而减少结果的偏差。
3
代表性原理
正交试验设计通过代表性原理，选取具有代表性 的样本点进行试验，以反映整体情况。
正交设计试验资料的方差 分析
• 正交设计试验概述 • 方差分析基础 • 正交设计试验资料的方差分析方法 • 实例分析 • 总结与展望
01
正交设计试验概述
正交试验设计的基本概念
正交试验设计是一种统计技术，用于 在多因素、多水平条件下进行试验， 以最小化试验次数，同时最大化信息 收集。
它利用正交表来安排试验，确保每个 因素的每个水平都被等可能地选取， 从而得到全面而均衡的试验结果。

正交实验设计与方差分析2024

引言概述正交实验设计与方差分析是一种常用于实验设计和数据分析的统计方法。

这种方法能够帮助研究人员系统地设计实验、收集数据，并通过方差分析对数据进行统计分析。

正交实验设计适用于多因素实验设计，能够探究多个因素对结果变量的影响，并确定各个因素对结果变量的相对重要性。

方差分析则是用来比较不同组别之间的均值差异是否显著，并推断这些差异是否由于随机因素引起。

正文内容1.正交实验设计的基本原理1.1.因素和水平1.2.正交实验设计的完备性和平衡性1.3.主效应和交互效应的概念1.4.正交表和正交实验设计的选择1.5.正交实验设计的优点和局限性2.正交实验设计的建立步骤2.1.确定要研究的因素和水平2.2.选择适当的正交表2.3.构建试验方案2.4.进行实验和数据收集2.5.数据分析和结果解释3.方差分析的基本原理3.1.单因素方差分析3.2.多因素方差分析3.3.方差分析中的假设检验3.4.方差分析的效应量和效应大小3.5.方差分析结果的解释和报告4.正交实验设计与方差分析的应用领域4.1.医学研究4.2.工程设计4.3.农业实验4.4.社会科学研究4.5.生产过程优化5.正交实验设计与方差分析的案例分析5.1.一个药物疗效评价的正交实验设计案例5.2.一个工程设计的正交实验设计案例5.3.一个农业实验的正交实验设计案例5.4.一个社会科学研究的正交实验设计案例5.5.一个生产过程优化的正交实验设计案例总结正交实验设计与方差分析是一种重要的统计方法，在实验设计和数据分析中具有广泛的应用。

通过正交实验设计，研究人员能够系统地探究多个因素对结果变量的影响，并确定各个因素的相对重要性。

方差分析则用于比较不同组别之间的均值差异，并推断这些差异是否显著。

正交实验设计与方差分析能够帮助研究人员有效地设计实验、收集数据并进行统计分析，为科学研究和应用提供有力支持。

在不同领域，如医学研究、工程设计、农业实验、社会科学研究和生产过程优化等方面都有广泛的应用。

正交试验中的极差分析与方差分析

表2 回火试验方案表
因素 4 回火温 $ 保温时 %工体质 试验指标
试验
度 (！) 间(min) 量( kg) (弹性）
1
440
3
7.5
2
440
4
9.0
3
440
5
10.5
4
460
3
9.0
5
460
4
10.5
6
460
5
7.5
7
500
3
10.5
8
500
4
7.5
9
500
5
9.0
步骤3 :试验并列出试验结果分析计算表. 列 出 方 案 表 之 后 ，就可以根 据 方 案 表 进 行 试 验 .试 验 过 程 中 ，我们应特别注意:试验的次序尽可能随机化 以减少因素间相互影响造成较大的误差;除了我们需要 考 查 的 因 素 ，其 他 的 试 验 条 件 在 整 个 实 验 过 程 中 尽 量 保 持 相 同 ，增大结论的可靠性;准确记录好每一次试验的 数据. 试 验结束后，对试验数据进行简单的分析计算，列 出实验结果分析表，详见表3.
表 1 因素水平表
水平 " 回40
2
460
3
500
#保温时间 (min) 3 4 5
$工件质量 (kg) 7.5 9.0 10!5
高中 版 十 . ？龙 * 7 31
数坛 在线
教育纵横
2017年 5 月
步骤2 :设计试验方案. 根 据 已 经 制 作 完 成 的 因 素 水 平 表 ，考 虑 试 验 条 件 和 实际的可操作性，选择一张适合的三水平正交表(" 9(34)， 因这张表最多可以考查4个 因素对试验结果的影响，而 此 次 试 验 我 们 只 考 查 3个 因 素 对 试 验 的 影 响 ，所以我们 可任意选择表中的3列进行表头设计并制作试验方案表 安 排 试 验 ，见 表 2.
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数理统计
08-05-01
第五节 正交试验 的方差分析
数理统计
08-05-02
直观分析法 优点：简便、直观、计算量小；
缺点：不能估计误差。
即不能区分是由于各因素的水 平（或交互作用）的变化，而导致 试验结果的差异，还是由于试验的 随机波动而导致试验结果的差异。
数理统计
08-05-03
例 茵陈蒿汤由茵陈蒿、栀子和大
数理统计
08-05-06
列号 1 2 3 4 5 6 7 试验
试验号
A B A×B C A×C B×C
结果
1
1 1 1 1 1 1 1 3.67
2
1 1 1 2 2 2 2 3.00
3
1 2 2 1 1 2 2 9.15
4
1 2 2 2 2 1 1 3.62
5
2 1 2 1 2 1 2 0.35
6
QCT 2.989 32.846 7.980 19.065
5 A×C 17.02 4.97 78.595 18.150
6 B×C 9.97 12.02 60.970 0.525
7
13.16 8.83 62.789 2.344
yi 2计
方差分析表
离差 来源
A
B A×B
黄三味中药组成，它有利胆作用。 为了研究三味中药的最佳配方，取 成年大白鼠做试验，因素和水平见 下表。
数理统计
08-05-04
因素 A
大黄
水平
(g)
1 生 1.8
2 酒炖 1.8
B 栀子 (g)
3
0
C 茵陈蒿
(g)
12
0
数理统计
08-05-05
还要考虑任二个因素之间的交
互作用。 选用正交表 L8(27)，将因素 A，B，C 分别放在正交表的第1，2， 4列上，查相应的交互作用表知： A×B，A×C，B×C 应分别放在第3， 5，6列上，第7列没有安排因素，称 为空白列。
0.525 0.22
2.344 F0.10(1,1)=39.9
数理统计
方差分析表
离差 来源
B A×B
C A×C 误差E 总和
离差 平方和 32.846 7.980 19.065 18.150
5.858 83.899
08-05-11
自由 度 1 1
1 1
3 7
均方
F值 P值
32.846 16.82 <0. 05
7.980 4.09
19.065 18.150
9.76 <0.10 9.29 <0.10
1.953
F0.05(1,3)=10.1 F0.10(1,3)=5.54
数理统计
08-05-12
A1
A2
C1
(3.379.15)/2 (0.354.00)/2
=6.41*
=2.18
C2
(3.003.62)/2 (1.874.00)/2
C A×C B×C 误差E 总和
离差 平方和
2.989 32.846 7.980 19.065 18.150 0.525
2.344 83.899
08-05-10
自由 度
1 1 1 1 1 1 1 7
均方
F值 P值
2.989 32.846
1.28 14.01
7.980 3.40
19.065 8.13 18.150 7.74
SS A
Q CT
K12
K
2 2
m
( yi )2
i 1
n
三水平
n
SS A
Q CT
K12
K
2 2
m
K32
( yi )2
i 1
n
数理统计
08-05-09
1
2
3
4
A
B A×B C
K1 13.44 2.89 7.00 17.17 K2 8.55 19.10 14.99 4.82 Q 63.434 93.291 68.425 79.510
2 1 2 2 1 2 1 1.87
7
2 2 1 1 2 2 1 4.00
8
2 2 1 2 1 1 2 2.33
数理统计
总离差平方和
08-05-07
8
SST ( yi y)2 i 1
SST=SSA+SSB+SSA×B+SSC+ SSA×C+SSB×C+SSE
数理统计
08-05-08
二水平
n
=0.31
=2.10
数理统计
08-05-13
注 在利用正交试验的方差分析法
作分析时，正交表的表头设计中必 须留下空白列（空白列在方差分析 中，常称为误差列），若没有空白 列，则需做重复试验，或者选离差 平方和中最小者作近似估计。
数理统计
小结：方差分析法 作业：P224 习题八 8
08-05-14