高考聚焦小题——小卷强化训练十二及参考答案

高考聚焦小题——小卷强化训练十二班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________ 一、 填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1. 已知集合A ＝{x ∈R |log 12(x －2)≥－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |2x ＋63－x ≥1，则A ∩B ＝________． 2. 设向量a ＝(2，m )，b ＝(1，－1)，若b ⊥(a ＋2b )，则实数m ＝________． 3. 已知正五边形ABCDE 的边长为23，则AC →·AE →的值为________．4. 正方形铁片的边长为8 cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，剪下一个顶角为π4的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3.5. 等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．6. 已知sin α＝55，α∈(0，π2)，tan β＝13，则tan(α＋2β)＝________．7. 已知a >0，函数f (x )＝x (x －a )2和g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a 存在相同的极值点，则a ＝________.8. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x <a ，－2x ，x ≥a ，若关于x 的不等式f (x )>4a 在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是____________.二、 解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9. (本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1) 求sin B sin C 的值；(2) 若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB＝2CD, AC交BD于点O，锐角三角形PAD所在平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ＝2QC.求证：(1) PA∥平面QBD；(2) BD⊥AD.设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(b，0)，且FB·AB＝6 2.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若AQ PQ＝524sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路CDEF ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0＜t ≤13，8－1t ，13<t <2.(1) 用t 表示线段EF 的长； (2) 求修建该参观线路的最低费用．小卷强化训练十二1. (2，3) 解析：A ＝{x ∈R |log 12(x －2)≥－1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |log 12（x －2）≥log 122＝{x |2＜x ≤4}．B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |2x ＋63－x ≥1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3x ＋3x －3≤0＝{x |－1≤x ＜3}，则A ∩B ＝(2，3)． 2. 6 解析：∵ b ⊥(a ＋2b )，∴ b ·(a ＋2b )＝0，即4－m ＋2＝0，得m ＝6. 3. 6 解析：利用AC →在AE →上的投影，得AC →·AE →＝12AE →2＝6.4. 7π 解析：由题意知弧长为π4×8＝2π，即围成的圆锥形容器的底面圆周长为2π，所以圆锥形容器的底面圆半径r ＝1，可得圆锥形容器的高h ＝37，所以容积V ＝13πr 2×h ＝13π×1×37＝7π.5. 32解析：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q＝74，a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，则a 8＝14×27＝32.6. 2 解析：因为sin α＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255，所以tan α＝sin αcos α＝55255＝12.因为tan β＝13，所以tan 2β＝2tan β1－tan 2β ＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34，所以tan (α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝12＋341－12×34＝2.7. 3 解析：因为f(x)＝x(x －a)2＝x 3－2ax 2＋a 2x ， 所以f′(x)＝3x 2－4ax ＋a 2＝(3x －a)(x －a)．因为g(x)＝－x 2＋(a －1)x ＋a ，所以g′(x)＝－2x ＋(a －1)． 由题意，得a 3＝a －12或a ＝a －12.又a ＞0，所以a ＝3.8. ⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(7，＋∞) 解析：由题意知，f(x)max ＞4a. ① 当a ＜0时，因为f(0)＝0，f(x)max ＞4a 显然成立；② 当a ＝0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ＜0，－2x ，x ≥0，f(x)max ＝f(－1)＝2＞0＝4a ，满足题意；③ 当a ＞0时，令x 3－3x ＝2，解得x 1＝－1，x 2＝2. i ) 当0＜a ＜2时，f(x)max ＝f(－1)＝2＞4a ，解得0＜a ＜12；ii ) 当a ＞2时，f(x)＜a 3－3a ，由题意a 3－3a ＞4a ，解得a ＞7.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(7，＋∞)． 9. 解：(1) 因为△ABC 的面积S ＝a 23sin A 且S ＝12bc sin A ，所以a 23sin A ＝12bc sin A ，即a 2＝32bc sin 2A.(4分)由正弦定理，得sin 2A ＝32sin B sin C sin 2A.由sin A ≠0，得sin B sin C ＝23.(7分)(2) 由(1)，得sin B sin C ＝23.又cos B cos C ＝16，A ＋B ＋C ＝π，所以cos A ＝cos (π－B －C)＝－cos (B ＋C)＝sin B ·sin C －cos B cos C ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝60°，sin A ＝32，cos A ＝12.(10分)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝9 ①.由(1)，得bc ＝2a 23sin 2A＝8 ②.由①②，得b ＋c ＝33，所以a ＋b ＋c ＝3＋33，即△ABC 周长为3＋33.(14分) 10. 证明：(1)连结OQ.因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以AO ＝2OC. 又PQ ＝2QC ，所以PA ∥OQ. 又OQ ⊂平面QBD ，PA ⊄平面QBD ， 所以PA ∥平面QBD.(7分)(2) 在平面PAD 内过点P 作PH ⊥AD 于点H.因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD.又BD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BD.因为△PAD 是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线， 又PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAD. 又AD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥AD.(14分)11. 解：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2可得2a ＝3b.由已知可得FB ＝a ，AB ＝2b.由FB·AB ＝62可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(4分)(2) 设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，故PQ sin ∠AOQ ＝y 1－y 2. 因为AQ ＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，故AQ ＝2y 2. 由AQ PQ ＝524sin ∠AOQ 可得5y 1＝9y 2.(8分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1消去x 可得y 1＝6k9k 2＋4.易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0消去x 可得y 2＝2kk ＋1.(12分)由5y 1＝9y 2，得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方并整理，得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128.所以k 的值为12或1128.(16分)12. 解：设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知OQ ⊥l ，DQ ＝QE ，以OF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.(1) 由题意，得点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫t2，1. 设直线EF 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －t2(k<0)， 即kx －y ＋1－12tk ＝0.因为直线EF 与半圆相切， 所以圆心O 到直线EF 的距离为|1－12tk|k 2＋1＝1， 解得k ＝4tt 2－4.( 3分)代入y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －t 2可得y －1＝4t t 2－4⎝⎛⎭⎫x －t 2， 可得点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫t 4＋1t ，0.(5分)所以EF ＝⎝⎛⎭⎫t 4＋1t －t 22＋1＝t 4＋1t ，即EF ＝t 4＋1t(0<t<2)．所以EF 的长为⎝⎛⎭⎫t 4＋1t 百米．(7分) (2) 设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当0<t ≤13，y ＝5⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫t 4＋1t ＋t ＝5⎝⎛⎭⎫32t ＋2t ， 由y′＝5⎝⎛⎭⎫32－2t 2<0，得y 在⎝⎛⎦⎤0，13上单调递减． 所以当t ＝13时，y 取最小值为32.5；(10分)② 当13<t<2时，y ＝⎝⎛⎭⎫8－1t [2(t 4＋1t )＋t]＝12t ＋16t －32－2t2， 所以y′＝12－16t 2＋4t 3＝4（t －1）（3t 2＋3t －1）t 3，(12分)因为13<t<2，所以3t 2＋3t －1>0，所以当t ∈⎝⎛⎭⎫13，1时，y ′<0；当t ∈(1，2)时，y ′>0.所以y 在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减，在(1，2)上单调递增． 所以当t ＝1时，y 取最小值为24.5. 由①②知，y 的最小值为24.5.所以修建该参观线路的最低费用为24.5万元．(16分)。