学案8：1.2.1 函数的概念

1.2.1 函数的概念

学

习 目 标 核 心 素 养

1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)

2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)

3.能够正确使用区间表示数集．(易混点) 1．通过学习函数的概念，提升数学抽象素养．

2．借助函数定义域的求解，提升数学运算素养．

3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.

【新知初探】

1．函数的概念

定义 设A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A

定义域 的取值范围

值域 与x的值相对应的y的值的集合

思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？

(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？

2．区间及有关概念

(1)一般区间的表示

设a，b∈R，且a

定义 名称 符号 数轴表示

{x|a≤x≤b} 闭区间

{x|a

{x|a

(2)特殊区间的表示

定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}

符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)

思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？

(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？

【初试身手】

1．函数y＝1x＋1的定义域是( )

A．[－1，＋∞) B．[－1,0)

C．(－1，＋∞) D．(－1,0)

2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.

3．用区间表示下列集合：

(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；

(2){x|x>1}用区间表示为________．

【合作探究】

类型一 函数的概念

【例1】 (1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．

①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；

②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；

③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；

④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．

(2)下列各组函数是同一函数的是( )

①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x； ②f(x)＝x与g(x)＝x2；

③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；

④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.

A．①② B．①③

C．③④ D．①④

[规律方法]

1．判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A，B必须是非空数集．

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2．判断函数相等的方法

(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

[跟进训练]

1.下列四个图象中，不是函数图象的是( )

A B C D

2．下列各组函数中是相等函数的是( )

A．y＝x＋1与y＝x2－1x－1

B．y＝x2＋1与s＝t2＋1

C．y＝2x与y＝2x(x≥0)

D．y＝(x＋1)2与y＝x2 类型二 求函数值

【例2】 (教材改编题)设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，

(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．

(2)求g(f(x))．

思路点拨：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；

(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．

[规律方法]

函数求值的方法

1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值.

2求fga的值应遵循由里往外的原则.

[跟进训练]

3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．

类型三 求函数的定义域

[探究问题]

1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？

2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？

【例3】 求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝x2＋2x－1；

(2)f(x)＝2＋3x－2；

(3)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；

(4)f(x)＝3－x·x－1.

思路点拨：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．

[母题探究]

(变结论)在本例(4)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．

[规律方法]

求函数定义域的常用方法

(1)若f(x)是整式型函数，则定义域为R.

(2)若f(x)是分式型函数，则应考虑使分母不为零．

(3)若f(x)是偶次根式型函数，则被开方数大于或等于零．

(4)函数y＝x0的x≠0.

(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

(6)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

提醒：函数的定义域必须用集合或区间表示．若用区间表示数集，不能用“或”连接，应用并集符号“∪”连接．

【课堂小结】

1．核心要点：(1)函数定义的理解．

(2)函数的三要素：定义域、对应法则、值域．判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算同一函数．

2．数学方法：给出函数解析式，求函数定义域的方法就是使函数表达式有意义的自变量的取值集合．

【学以致用】

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( )

(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． ( )

(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了． ( )

(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应． ( )

(5)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( )

2．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )

A．y＝(x)2 B．y＝x2 C．y＝|x| D．y＝3x3

3．将函数y＝31－1－x的定义域用区间表示为________．

4．已知函数f(x)＝x＋1x，

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(－1)，f(2)的值；

(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．

【参考答案】

【新知初探】 1．函数的概念

数集 任意一个数x 唯一确定

自变量x {f(x)|x∈A}

思考1：

提示：(1)这种看法不对．

符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．

2．区间及有关概念

(1) [a，b] (a，b)

(2) (－∞，＋∞)

思考2：

提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．

(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．

【初试身手】

1．C [由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]

2．－18 [f(3)＝11－9＝－18.]

3．(1)[10,100] (2)(1，＋∞) [结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]

【合作探究】

类型一 函数的概念

【例1】

(1)[解] ①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．