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函数、导数及其应用第一讲 函数及其表示1 知识梳理 • 双基自测2 考点突破 • 互动探究3 名师讲坛 • 素养提升知识梳理•双基自测知识点一 函数的概念及表示1．函数与映射的概念非空数集 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个____________设A ，B 是两个____________对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的________一个数x ，在集合B 中有________的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的________一个元素x 在集合B 中有________的元素y 与之对应名称称对应______________为从集合A 到集合B 的一个函数称对应______________为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A 对应f ：A →B 是一个映射非空集合 任意 唯一 任意 唯一 f ：A →B f ：A →B2.函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：__________________________.(3)函数的表示法：__________________________.(4)两个函数只有当____________________都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二 分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．定义域、值域、对应法则 解析法、图象法、列表法 定义域和对应法则1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．ABC题组二 走进教材2．(必修P 23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为( )BA．1B．2C．3D．4[解析] ①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．D4．(必修1P 25BT1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是__________________；值域是___________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是_______________.[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5][－1,7]C考点突破•互动探究考点一 函数的概念及表示考向1 函数与映射的概念——自主练透BC[解析] (1)①是映射，也是函数；②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”；③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数；④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集．(2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C．(3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同一函数；②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同一函数；③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．[答案] (1)①是映射，也是函数②不是映射，更不是函数③不是映射，更不是函数④是映射，但不是函数(3)不同函数①②；同一函数③1.映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数．2．判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．考向2 求函数的解析式——师生共研〔变式训练1〕1－x2，x∈[－1,1](1)已知f(cos x)＝sin2x，则f(x)＝____________________.(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝____________.(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝___________.[解析] (1)(换元法)设cos x＝t，t∈[－1,1]，∵f(cos x)＝sin2x＝1－cos2x，∴f(t)＝1－t2，t∈[－1,1]．即f(x)＝1－x2，x∈[－1,1]．考点二 分段函数及应用——多维探究角度1 分段函数求值问题A角度2 分段函数与方程的交汇问题角度3 分段函数与不等式的交汇问题D[解析] 画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知：①当x＋1≥0且2x≥0，即x≥0时，f(2x)＝f(x＋1)，不满足题意；②当x＋1>0且2x<0，即－1<x<0时，f(x＋1)<f(2x)显然成立；③当x＋1≤0时，x≤－1，此时2x<0，若f(x＋1)<f(2x)，则x＋1>2x，解得x<1.故x≤－1.综上所述，x的取值范围为(－∞，0).分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．A C名师讲坛•素养提升数学抽象——函数新定义问题中的核心素养②③④[解析] 由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数的值域为R，值域关于原点对称，故④符合题意；⑤中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3,1]，不关于原点对称，故⑤不符合题意.以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．D。
