高二数列期中复习题及答案

高中数学《数列》专题练习1．与的关系：，已知求，应分时；n S n a 11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩n S n a 1=n 1a =1S 时，=两步，最后考虑是否满足后面的.2≥n n a 1--n n S S 1a n a 2.等差等比数列等差数列等比数列定义（）1n n a a d--=2n ≥*1()n na q n N a +=∈通项，dn a a n )1(1-+=(),()n m a a n m d n m =+->mn m n n n q a a q a a --==,11中项如果成等差数列，那么叫做与,,a A b A a 的等差中项．。

b 2a b A +=等差中项的设法：da a d a +-,,如果成等比数列，那么叫做与的等,,a G b G a b 比中项．abG =2等比中项的设法：，，aq a aq前项n 和，)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=时；时1=q 1,na S n =1≠q qqa a q q a S n n n --=--=11)1(,11*(,,,,)m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+若，则2m p q =+qp ma a a +=2若，则q p n m +=+qp nm a a a a =2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有性质、、为等差数列n S 2n n S S -32n n S S -、、为等比数列n S 2n n S S -32n n S S -函数看数列12221()()22n n a dn a d An B d d s n a n An Bn=+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq q a as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法(1)定义法：证明为常数；)(*1N n a a n n ∈-+(2)等差中项：证明，*11(2N n a a a n n n ∈+=+-)2≥n (1)定义法：证明为一个常数)(*1N n a a n n ∈+(2)等比中项：证明21n n a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥(3)通项公式：均是不为0常数）(,nn a cq c q =3.数列通项公式求法：(1)定义法(利用等差、等比数列的定义)；(2)累加法；(3)累乘法(型)；n n n c a a =+1(4)利用公式；(5)构造法(型)；(6)倒数法等11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩b ka a n n +=+14.数列求和(1)公式法；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)裂项求和法；(5)倒序相加法。

高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。

2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。

对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。

3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。

4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。

5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。

最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。

1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。

其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。

常用的数列有等差数列和等比数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。

高中数学《数列》专题练习1．n S 与n a 的关系：11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ；2≥n 时，n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a .2.等差等比数列数列通项公式求法。

（）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（）累加法（3）累乘法（n n n c a a =+1型）；(4)利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩；(5)构造法（b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。

5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m ma a的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。

也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的 (B )A.第1006项B.第1007项C. 第1008项D. 第1009项2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于 （A ） A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．5123.若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 B解析 由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B.4.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( A )A.180B.－180C.90D.－905．已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ A ） A ．21-B ．23-C ．21D ．236．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110答案 D解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D. 8．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于A ．0B ．2C ．2 009D ．4 018答案 D解析 各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n ＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.9．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20答案 A解析 由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A. 10．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.11.在△ABC 中，tan A 是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B )A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12.记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0，则当n s 取最大值时，=n （ ）CA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或813.在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为A ．1 006B ．－2 012C ．2 012D ．－1 006答案 C解析 方法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－1 2d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎨⎧ a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012× 2 012－1 2d ＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二 由S 2 011＝2 011 a 1＋a 2 011 2 ＝2 011a 1 006＝－2 011， 解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012 a 1＋a 2 012 2＝2 012 a 1 006＋a 1 0072＝2 012× －1＋3 2＝2 012. 14．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n 2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( ) A ．95 B ．97 C ．105 D ．192答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 20 ＝f 19 ＋192，f 19 ＝f 18 ＋182，……f 2 ＝f 1 ＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（B ） A.)(2*N n a n n ∈= B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a nn C. )(2*1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ）A ．15分钟B ．30分钟C ．45分钟D ．57分钟 二、填空题17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4= 8. 18.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6= . 48 19.在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为 ．7 20.设等比数列{a n }的公比q=2,前n 项和为S n ,则24a S = .21512．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________. 答案 199299解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299.21.数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=22.已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n>19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4. 23.等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 －12解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12.三、解答题24.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 1【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

高二数学数列试题答案及解析1.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意有，即，解得或故或．（Ⅱ）由，知，，故，于是，①．②①-②可得，故．【考点】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题．2.已知数列的前项和构成数列，若，则数列的通项公式________.【答案】【解析】当时，，当时，，综上所述，，故答案为.【考点】数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用.【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.3.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块．【答案】4n+2【解析】第个图案有块，第个图案有块，第个图案有块，所以第个图案有块【考点】观察数列的通项4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【答案】【解析】由题意可知，解得，所以.【考点】等差数列通项公式．5.在等差数列{an }中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 ()．A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.6.已知数列是等比数列，，是和的等差中项.（１）求数列的通项公式；（２）设，求数列的前项和．【答案】（１）（２）【解析】（１）求等比数列通项公式，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可，本题可利用等比数列通项公式广义定义求解，即，而是和的等差中项，都转化为：（２）先代入求解，再根据错位相减法求和，注意项的符号变化，项数的确定.试题解析：（１）设数列的公比为，因为，所以，．因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以（）．（２）因为，所以．所以．则，①. ②①－②得，，所以．【考点】等比数列通项公式，错位相减法求和7.等差数列，的前n项和分别为和，若则＝________．【答案】.【解析】根据等差数列的性质，由.【考点】等差数列的性质.8.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设此数列为，其符号为其绝对值为，可得通项公式．选B【考点】数列的通项公式9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】该数列为等差数列，且，即，解得.【考点】等差数列，数学文化.10.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3B．5C．7D．9【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可．解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项，其和为S奇===（n+1）an+1=4，①偶数项共n项，其和为S偶===nan+1=3，②得，，解得n=3故选A【考点】等差数列的前n项和．11.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】观察数列的前6项知，该数列是以1为首项2为公比的等比数列，所以．故选B．【考点】观察法求数列的通项公式．12.数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，值等于( ）A．11B．17C．19D．21【答案】C【解析】由于前项和有最大值，所以，根据，有，，，所以，，结合选项可知，选C.【考点】等差数列的基本性质.13.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.14.设数列{an }，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为()A．0B．37C．100D．－37【答案】C【解析】数列{an }和{bn}都是等差数列，所以是等差数列，首项，所以数列是常数列，所以第37项的值为100【考点】等差数列15.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．16.设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】设公差为d，则解得a1＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.17.已知等差数列中，，公差，则使前项和为取最小值的正整数的值是（）A．4和5B．5和6C．6和7D．7和8【答案】C【解析】，所以使前项和取最小值的正整数的值为6和7【考点】数列性质18.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．19.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围_________.【答案】【解析】由题意可得，，即求的最大值，所以当n=3时，，所以，填。

高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。

）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。

高二数学数列试题答案及解析1.等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则＝（）A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，∴，∴．【考点】等差数列的性质、等比数列的前n项和．2.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．【答案】【解析】一个骰子连续抛掷三次它落地时向上的点数情况共有种, 若落地时向上的点数依次成等差数列时情况有: 可能为连续的三个数组成的递增数列,还可能不连续的三个数组成的递增数列, ．同理可得以上两种情况的递减数列,另外还有可能是三个数相同的常数列,所以共有种情况,所以所求概率为．【考点】1排列组合；2概率．3.在等比数列中，对于任意都有，则．【答案】【解析】令，得；由等比数列的性质，得.【考点】1.赋值法；2.等比数列的性质.4.已知数列满足，则= （）A．B．C．D．【答案】【解析】∵，∴，∴，所以数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，又，故，所以．【考点】递推公式，等比数列，分组求和，等比数列的前项和5.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，或．设公比为，当时，，当时，综上可得．故D正确．【考点】1等比数列的通项公式；2等比数列的性质．6.已知数列中，函数．（1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明；，且，求证：（2）若正项数列满足（n∈N*），数列的前项和为Tn．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】本题主要考查数列的通项及前n项和等基础知识，考查学生的运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．第一问，通过对两边同时取倒数、变形可知数列是以1为首项、为公比的等比数列，进而计算可得结论；第二问，通过（n∈N*）变形可知，进而累乘得：，进而，通过裂项、放缩可知，并项相加即得结论．试题解析：（1）依题意，，，，由此归纳得出：；证明如下：∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，∴，∴；（2）∵（n∈N*），∴，∴，累乘得：，∴，即，∴，∵，∴．【考点】数列的求和；归纳推理．7.设数列的前项和为，已知（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和为．求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由可得，，而，则（Ⅱ）由及可得利用错位相减即可求出结果，即可求出结果．试题解析：（Ⅰ）由可得，而，则（Ⅱ）由及可得．．【考点】1．数列的递推公式；2．错位相减法求和．【方法点睛】本题主要考查了利用数列递推公式求出数列的通项公式，在解决此类问题时，一般利用来求数列的通项公式；在数列求和时如果通项公式可换成，其中数列分别是等差数列和等比数列，一般采用错位相减法进行求和．8.（本小题满分12分）已知正项数列的首项为，前项和为满足．（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）当时，由代入已知式分解因式可得，由此可证数列是等差数列，并求出数列的通项公式，再由即可求出数列数列的通项公式；（2）由，即用裂项相消法求出，又可得，解之即可．试题解析：（1）当时，，即，数列是首项为，公差为的等差数列，故，故，当时也成立，（6分）（2）, （8分）（10分）又，，解得或，即所求实数的取值范围为（12分）【考点】1．与关系；2．等差数列的定义与性质；3．裂项相消法求和；4．数列与不等式．【名师】本题主要考查数列中与关系、等差数列的定义与性质、裂项相消法求和以及数列与不等式的综合应用等知识．解题时首先利用与关系进行转化，得到数列前后项之间的关系，从而讲明数列是等差数列，进一步求出数列的退项公式；由于数列是等差数列，所以在求数列的前项和为时，可用裂项相消法求解．9.（本小题满分12分）等差数列的前n项和记为，已知，求n．【答案】【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．利用等差数列的通项公式将和展开，列出方程组，解出和d的值，即得到等差数列的通项公式，由，利用等差数列的前n项和得，解方程求得项数n的值．试题解析：由，得方程组，解得，所以．，得，解得或（舍去）．【考点】等差数列的通项公式及前n项和公式．10.数列1，，，，，，，，，……的前100项之和为（）A．10B．C．11D．【答案】A【解析】观察数列特点可知分母为1的有一项，分母为3的有三项，分母为5的有五项，以此类推分母为的有项，所以，即分母为19的分数写完后刚好100项，因此前100项求和时将分母相同的分组求和可得到和为10【考点】数列求和11.在等比数列{an }中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝（）A．80B．90C．95D．100【答案】B【解析】等比数列中【考点】等比数列性质12.（本题满分13分）设数列和满足：，（1）求数列和的通项公式；（2）当时，不等式恒成立，试求常数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，又因为，所以为首项为，公比为的等比数列，从而可得的通项公式；由可得当时，两式相减得，，当时也满足，．记，又因为，所以，再将其左右两边同时乘以得，然后利用错位相减得，，可化简得即，，．试题解析：（1），为首项为，公比为的等比数列，又①令令②①-②得，，当时，满足此式。

1．a1＝1，a n＋1＝a n3a n＋1，则数列{a n}的第4项是 ( )A．116 B．117C．110D．1252．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是( ) A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*) C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*) 3．在等差数列{a n}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( ) A．20 B．30 C．40 D．504．在等比数列{a n}中，a3＋a4a2＋a3＝3，a3＝3，则a5＝( )A．3 B．13C．9 D．275．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{b n}的连续三项，则数列{b n}的公比为( )A．2B．4 C．2 D．1 26．等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( ) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根7．若{a n}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( ) A．39 B．20 C．19.5 D．338．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A．5 B．4 C．3 D．29．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7a5＝913，则S13S9＝( )A．1 B．－1 C．2 D．1 210．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝( ) A．3 B．4 C．5 D．611．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n＋1n B.n＋1n C.n－1n D.n＋12n12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝40，S n＝210，S n－4＝130，则n＝( ) A．12 B．14 C．16 D．18A．ab>ac B．bc>ac C．cb2<ab2D．ac(a－c)<014．已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则a，b的值等于( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝115．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－22C ．3－23D ．－116．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin xC ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 8117．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.11218．若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．19．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________. 20．若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (x )的图象为( )21．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积_____．21．等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝___.22．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)23．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________ 24．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值．25．已知p ：∀x ∈R ，2x>m(x 2＋1)，q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．26．已知p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．27．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？28．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：{a n －23}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．29．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .30．数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .31.命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A. ∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B. ∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C. ∀ x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D. ∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －132．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．1．a1＝1，a n＋1＝a n3a n＋1，则数列{a n}的第4项是 ( )答案CA．116 B．117C．110D．1252．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是( )答案 D A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*) C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*) 3．在等差数列{a n}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )答案C A．20 B．30 C．40 D．504．在等比数列{a n}中，a3＋a4a2＋a3＝3，a3＝3，则a5＝( )答案DA．3 B．13C．9 D．27 （q＝3， a1＝13，∴a5＝a1q4＝27）5．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{b n}的连续三项，则数列{b n}的公比为( )A．2B．4 C．2 D．12答案C6．等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )答案A A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根7．若{a n}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝( )答案D A．39 B．20 C．19.5 D．338．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )答案C A．5 B．4 C．3 D．29．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7a5＝913，则S13S9＝( )答案AA．1 B．－1 C．2 D．1 210．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝( )答案C A．3 B．4 C．5 D．611．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )答案BA.2n＋1n B.n＋1n C.n－1n D.n＋12n∵S奇＝＝(n＋1)(a1＋a2n＋1)2，S偶＝n(a2＋a2n)2.又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴S奇S偶＝n＋1n.12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝40，S n＝210，S n－4＝130，则n＝( )答案BA ．12B ．14C ．16D ．18S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝3013．如果a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) 答案C A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0∴A 、B 、D 均正确．∵b 可能等于0，也可能不等于0.∴cb 2<ab 2不一定成立．14．已知不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，则a ，b 的值等于( ) 答案CA ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝115．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) 答案CA ．3B ．3－22C ．3－23D ．－116．下列函数中，最小值为4的函数是( ) 答案CA ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin xC ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 8117．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) 答案BA ．3B ．4 C.92 D.11218．若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．【答案】 219．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 20．若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (x )的图象为( ) 【答案】 B21．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积_____．【解析】 不妨设角A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos 120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin 120°＝15 3.【答案】 153 21．等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝___. 答案 4n -122．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 【答案】 (－4,1)23．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________答案(－3,1)∪(3，＋∞)24．设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值．[解析] (1)设公差为d ，则a 20－a 10＝10d ＝20，∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30，∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋22)2＝n 2＋11n ＝242， ∴n 2＋11n －242＝0，∴n ＝11.25．已知p ：∀x ∈R ，2x>m(x 2＋1)，q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．解：由命题p 为真可知2x>m(x 2＋1)恒成立，即mx 2－2x ＋m<0恒成立，所以⎩⎨⎧m<0，Δ＝4－4m 2<0，解得m<－1. 由命题q 为真可得Δ＝4－4(－m －1)≥0，解得m ≥－2，因为p ∧q 为真，所以p 真且q 真，所以由⎩⎨⎧m<－1，m ≥－2，得－2≤m<－1，所以实数m 的取值范围是[－2，－1)． 26．（变式选讲）已知p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：p 为真时，x 2－a ≥0，即a ≤x 2.∵x ∈ [1，2]时，上式恒成立，而x 2∈[1，4]，∴a ≤1.q 为真时，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，即a ≥1或a ≤－2.∵p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题．∴a ＝1或a ≤－2.即实数a 的取值范围是{a|a ＝1或a ≤－2}.27．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)法一：a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二：由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．28．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：{a n －23}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：∵a n ＋1＝12a n ＋13，∴a n ＋1－23＝12a n ＋13－23＝12(a n －23)．∴a n ＋1－23a n －23＝12. ∴{a n －23}是首项为524，公比为12的等比数列．(2)解：∵a n －23＝524×(12)n －1，∴a n ＝53×(12)n ＋2＋23.29．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .【解】(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1221-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝3，故a 1＝4.从而S n ＝.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛n 21--138 30．数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .【解】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ， 所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．31.命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) 答案：CA. ∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B. ∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C. ∀ x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D. ∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －132．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解：由已知得⌝p ：∀x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立．所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ， 则⎩⎨⎧f （1）≤0，f （2）≤0，所以⎩⎨⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3， 因为⌝p 为假，所以a ＞－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．。

高二数列练习题及解析一、选择题1. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前5项的和。

A. 20B. 22C. 24D. 26解析：将n从1到5代入通项公式an = 3n + 2，得到前5项分别为5，8，11，14，17。

将这五个数相加，得到答案为C. 24。

2. 数列{bn}的通项公式为bn = 2n^2 - n，求该数列的第10项。

A. 174B. 178C. 182D. 186解析：将n代入通项公式bn = 2n^2 - n，计算得到第10项为180。

答案为C. 182。

3. 如果等差数列{cn}的首项为3，公差为4，求该数列的第15项。

A. 56B. 57C. 58D. 59解析：根据等差数列的性质，第n项可以表示为cn = 3 + (n-1)4。

将n=15代入计算得到第15项为59。

答案为D. 59。

4. 已知等比数列{dn}的首项为2，公比为3，求该数列的前5项的和。

A. 242B. 245C. 248D. 251解析：根据等比数列的性质，前n项和可以表示为Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。

将a=2，r=3，n=5代入计算得到前5项和为242。

答案为A. 242。

二、填空题1. 若数列{en}满足通项公式en = 2^n + n，则第3项为________。

解析：将n=3代入通项公式en = 2^n + n，得到第3项为11。

2. 若数列{fn}满足通项公式fn = n^2 - n，则前4项的和为________。

解析：将n从1到4代入通项公式fn = n^2 - n，得到前4项分别为0，2，6，12。

将这四个数相加，得到答案为20。

三、解答题1. 数列{gn}的首项为1，公差为2。

设Sn为该数列的前n项和。

当Sn = 45时，求n的值。

解析：根据等差数列前n项和的公式Sn = (2a + (n-1)d)n / 2，其中a 为首项，d为公差。

一、单选题1．数列，，，，，的一个通项公式为（ ） 3591733⋯A ． B ．C ．D ．2n a n =21nn a =-12n n a +=21nn a =+【答案】D【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式.【详解】解：因为，，，，，……，1321=+2521=+3921=+41721=+53321=+所以数列，，，，，的一个通项公式可以为.3591733⋯21nn a =+故选：D2．在数列中，，，则（ ）{}n a 11a =121n na a +=+5a =A ．2 B ．C ．D ．115532111【答案】D【分析】根据数列递推式，依次计算，可得答案.2345,,,a a a a 【详解】数列中，，, {}n a 11a =121n na a +=+则，34123222521113,1,135a a a a a a =+==+==+=故， 54221111a a =+=故选：D3．在数列中，，则（ ） {}n a 11a =1=n a =A ． B ． C ． Dn 2n 2n +【答案】B【分析】，再由等差数列的定义即可求出通项公式. 1=1=【详解】， 1=1=令，n b =11n n b b +-=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n b 11b =1所以，()111n b n n =+-⨯=n =所以.2n a n =故选：B4．已知函数，则（ ） ()sin2πcos 6x f x x =+π6f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭AB12CD 12-【答案】C【分析】直接对函数求导，再代入求值即可求出结果. 【详解】因为，得到，所以()sin2πcos 6x f x x =+()22cos2sin2x x xf x x ⋅-'= 2πππc 3π6os sin333π6f -⎛⎫'⎭⎪⎝==故选：C.5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属于现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余3且被6除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则（ ） {}n a 10a =A ．115 B ．117C ．119D ．121【答案】A【分析】由题意被4除余3的正整数为，被6除余1的正整数为，令()43N n n ++∈()61N m m ++∈，得，再根据，可求得，即可求得的通项，即可得解. 4361n m +=+312m n -=,N m n +∈m {}n a 【详解】被4除余3的正整数为， ()43N n n ++∈被6除余1的正整数为， ()61N m m ++∈令，得， 4361n m +=+312m n -=因为，所以， ,N m n +∈21,N m k k +=-∈所以， ()6211125n a n n =-+=-所以. 1012105115a =⨯-=故选：A.6．若点P 是曲线上任一点，则点P 到直线的最小距离是（ ）2ln y x x =-20x y --=AB ．3C．D ．【答案】A【分析】设和直线平行的曲线的切线的切点坐标，利用导数的几何意义求20x y --=2ln y x x =-出该点坐标，则该切点到直线的距离即为点P 到直线的最小距离，由此可20x y --=20x y --=求得答案.【详解】由可得，2ln ,(0)y x x x =->12y x x'=-设和直线平行的曲线的切线的切点坐标为， 20x y --=2ln y x x =-000(,),(0)x y x >则，则， 000121,1x x x -=∴=01y =则点到直线的距离即为点P 到直线的最小距离， (1,1)20x y --=20x y --==故选：A7．正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ） {}n a 2023202220212a a a =+2116m n a a a =14m n+A ．1 B ．C ．D ．3253136【答案】B【分析】根据等比数列的性质可得，进而由基本不等式即可求解最值.6m n +=【详解】由等比数列中，设公比为，且， 由得，故{}n a q 0q >2023202220212a a a =+22q q =+2q = ，由得， 2116m n a a a =222111162166m n m n a a qa m n +-+-=⇒=⇒+=，当且仅当，即时等号成()141141413596662n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫++⨯+=++≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==2n m =4,2n m ==立，故最小值为， 14m n +32故选：B8．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）()ln sin f x x ax =-ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦a A ．B ． ⎛-∞ ⎝⎛-∞ ⎝C ．D ． ⎛-∞ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭【分析】求得，由题意转化为在上恒成立，设，()1cos f x a x x '=-1cos a x x ≤ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1cos h x x x =求得，令，利用导数求得单调递增，结合()2cos sin (cos )x x xh x x x -+'=()cos sin g x x x x =-+()g x ，得到在上单调递减，利用，即可求解. π(04g <()h x ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦π4a h ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【详解】由函数，可得， ()ln sin f x x a x =-()1cos f x a x x'=-因为函数在区间上单调递增，可得在上恒成立，()f x ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦()0f x '≥ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦即在上恒成立，1cos a x x ≤ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦设，可得，()1cos h x x x =()2cos sin (cos )x x x h x x x -+'=令，可得()cos sin g x x x x =-+()2sin cos g x x x x '=+当时，，所以单调递增，ππ,64x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦()0g x '>()g x又因为，πππππ()cos sin 044444g =-+=<所以，所以在上单调递减，()0h x '<()h x ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以的取值范围是. π4a h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a ⎛-∞ ⎝故选：C.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二、多选题9．已知等比数列中，满足，，则（ ） {}n a 11a =2q =A ．数列是等比数列 B ．数列是递增数列{}21n a -1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．数列是等差数列D ．数列中，，，仍成等比数列{}2log n a {}n a 5S 10S 15S【分析】根据等比数列的定义以及性质即可根据选项判断ABC,由，成等比数列5S 105,S S -1510S S -即可判断D.【详解】由题意可知，12n n a -=对于A,,所以，故，所以为等比数列，故A 正确，22212n n a --=2212nn a +=21214n n a a +-={}21n a -对于B,，，所以为等比数列，且公比为，首项为1，故1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭11111=22nn n a a +æöç÷=´ç÷èø1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭121n a ⎧⎫⎨⎩⎭是递减数列，对于C,，所以为公差为1的等差数列，故C 正确，122log log 21n n a n -==-{}2log n a 对于D,()55105678910515101112131415678910==,=S S a a a a a q S S S a a a a a q a a a a a -++++-++++=++++所以，成等比数列，，，不成等比数列，故D 错误， 5S 105,S S -1510S S -5S 10S 15S 故选：AC10．公差为d 的等差数列，其前n 项和为，，，下列说法正确的有（ ） {}n a n S 130S >140S <A ． B ． 0d <80a <C ．中最大 D ．{}n S 6S 411a a <【答案】ABD【分析】由等差数列通项的性质和前n 项和公式，对选项中的结论进行判断. 【详解】等差数列中，，，{}n a ()113131302a a S +=>()114141402a a S +=<即，， 113720a a a +=>114780a a a a +=+<∴，，，， 70a >80a <870d a a =-<7676S S a S =+>所以AB 正确，C 错误；，由且，有，所以，D 选项正确. 1144110a a a a +=+<70a >0d <4110a a <<-411a a <故选：ABD 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．函数在区间上单调递增 ()f x (),e -∞B ．函数有极大值点()f xC ．()()34f f >D ．若方程恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是()0f x m -=1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】利用导数研究函数的单调性、极值等性质，即可解决问题. 【详解】由函数， ()()ln ,0xf x x x=>所以 ()()21ln ,0xf x x x -'=>令，得，()0f x '=e x =可得当时，，当时，， ()0,e x ∈()0f x '>()e,x ∈+∞()0f x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()f x ()0,e ()e,+∞在时，取极大值，且极大值为，e x =1e所以A 错误，B 正确；又，所以，C 正确； ()3,4e,∈+∞()()34f f >又因为当时，，x →+∞()0f x →所以若方程恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是，D 错误.()0f x m -=10,e ⎛⎫⎪⎝⎭故选：BC三、单选题12．已知函数，，，若，图象有公共点()2f x x ax b =--()2ln g x a x b =+0a >()y f x =()y g x =P ，且在该点处的切线重合，则实数b 的可能取值为（ ） A ． B ．C ．D ．23e -14ee 223e 【答案】AB【分析】设函数与图象的公共点为，根据题意化简得到()2f x x ax b =--()2ln g x a x b =+00(,)P x y 且，求得，设，利用导数求得函数020202ln x a x x a b =--2002x x a a =-22ln a b a -=()2ln ,0x x h x x =>的单调性和最小值，列出不等式，即可求解.【详解】设函数与图象的公共点为，()2f x x ax b =--()2ln g x a x b =+00(,)P x y可得 ，即，20020ln x a b x a x b =-+-020202ln x a x x a b =--又由与，可得与，()2f x x a '=-()2ag x x'=()002f x x a '=-()20a g x x '=又因为点处切线重合，可得，即，00(,)P x y 2002x x a a =-202020x x a a --=解得或， 0x a =02a x =-因为，所以，0,0x a >>0x a =将代入，可得，其中，0x a =020202ln x a x x a b =--22ln a b a -=0a >设，可得，()2ln ,0x x h x x =>()2ln (2ln 1)x x x x h x x =++'=令，解得，()0h x '=12e x -=当时，，单调递减；12(0,e )x -∈()0h x '<()h x 当时，，单调递增，12(e ,)x -∈+∞()0h x '>()h x 所以当时，函数极小值，也是最小值，即为， 12e x -=()h x ()112221(e )ln e2eh x --==-即，所以，解得，21ln 2e a a ≥-122eb -≥-14e b ≤结合选项，可得A 、B 符合题意. 故选：AB.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、填空题13．设是公差为正数的等差数列，若，，则{}n a 1239a a a ++=12324a a a ⋅⋅=111213a a a ++=_____________． 【答案】39【分析】利用等差数列的性质求得，继而求得，可求出公差，继而利用等差数列性质结合2a 13,a a 通项公式，即可求得答案.【详解】由题意是公差为正数的等差数列，设公差为，{}n a ,0d d >，，1239a a a ++=12324a a a ⋅⋅=则，则， 2239,3a a =∴=13136,8a a a a ⋅+==故，故， 132,4a a ==4212d -==故， 1112131233(2111)39a a a a ++==⨯+⨯=故答案为：3914．已知等比数列的前项和为，且满足，则实数的值是_____________．{}n a n n S 132n n S λ+=+λ【答案】－2【分析】利用求出，再利用等比中项建立方程即可求出结果.n S 123,,a a a 【详解】因为， 所以当时，，当时，，当132n n S λ+=+1n =134a λ=+2n =123()8a a λ+=+3n =时，，1233()16a a a λ++=+由，得到，由，得到，112343()8a a a λλ=+⎧⎨+=+⎩243a =121233()83()16a a a a a λλ+=+⎧⎨++=+⎩383a =又因为数列是等比数列，所以，得到，解得. {}n a 2213a a a =1648933λ+=⨯2λ=-故答案为：. 2-15．定义为n 个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列的前n 项的“均12nnp p p +++ 1p 2p n p {}n a 倒数”为，记，则数列的前n 项和为_____________．1n 12n n a b +=11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】1nn +【分析】根据数列新定义可求得，继而求得，可得的表达式，从而可得数列2n S n =n a 12n n a b +=的通项公式，利用裂项求和法即可求得答案. 11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】设数列的前n 项和为，则，即， {}n a n S 1n n S n=2n S n =当时，，1n =111a S ==当时，，也适合该式，2n ≥221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-11a =故， 21n a n =-所以，则， 12n n a b n +==11111(1)1n n b b n n n n +==-++故数列的前n 项和为， 11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭11111122311111nn n n n -=-=++-+-+++ 故答案为：1nn +16．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有()2e xf x ax =+-R a ∈[)12,2,x x ∈+∞12x x <成立，则实数a 的取值范围是_____________．()()()211212x f x x f x a x x -<-【答案】(2,e 2⎤-∞+⎦【分析】根据题意转化为对任意的恒成立，令()()1212f x a f x a x x ++<[)12,2,x x ∈+∞()()f x ah x x+=，进而转化为恒成立，得到在恒成立，令，利用导数()0h x '≥e e 2x x a x -≤-[)2,+∞()e e x xg x x =-求得函数为单调区间和最小值，得到，即可求解.()g x 22a e -≤【详解】由对于任意的 ，且，都有，[)12,2,x x ∈+∞12x x <()()()211212x f x x f x a x x -<-则对于任意的恒成立， ()()1212f x a f x ax x ++<[)12,2,x x ∈+∞令，则不等式等价于对于任意的恒成立，()()f x a h x x+=()()12h x h x <[)2,x ∞∈+即在区间单调递增，()h x [)2,+∞又由，可得，()2e xf x ax =+-()e 2x ax a h x x+-+=则，即在恒成立，()2e e 2x x x a h x x -+-'=()2e 20e x x x ah x x -+-'=≥[)2,+∞即在恒成立，即在恒成立，e e 20x x x a -+-≥[)2,+∞e e 2x x a x -≤-[)2,+∞令，可得恒成立，()[)e 2,,e x x g x x x =-∈+∞()e 0xg x x '=>所以函数为单调递增函数，所以，()g x ()()22e g x g ≥=则，解得，所以实数的取值范围是.22e a -≤2e 2a ≤+a (2,e 2⎤-∞+⎦故答案为：.(2,e 2⎤-∞+⎦【点睛】知识方法：对于已知函数的单调性求参数问题：（1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立； ()f x D D ()0f x '≥（2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立； ()f x D D ()0f x '≤（3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解； ()f x D ()0f x ¢>D （4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解.()f x D ()0f x '<D五、解答题17．在等差数列中，已知首项，前n 项和为，公差，，．{}n a 10a >n S 2d =10k a =()*30k S k =∈N (1)试求和k ：1a (2)求数列的前n 项和． {}2n a n T 【答案】(1)，12a =5k =(2)222n T n n =+【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）由等差数列的求和公式即可求解.【详解】（1）由，解得，或，， ()()11211012302a k k k ka ⎧+-=⎪⎨-⨯+=⎪⎩12a =5k =10a =6k =因为，所以，．10a >12a =5k =（2）因为，，所以，则，且为等差数列， 12a =5k =2n a n =24n a n ={}2n a 所以．()()222442222n n a a n n n T n n +⋅+===+18．已知数列的前n 项和为，，且，． {}n a n S 12a =122n n S a +=-*N n ∈(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和．(){}21n n a +n T 【答案】(1)123n n a -=⋅(2)23n n T n =⋅【分析】（1）根据数列与的关系，，有，化简求数列的通项公式；n a n S 2n ≥1n n n a S S -=-（2）由（1）得，再利用错位相减法求和.()()1212123n n n a n -+⋅=+⋅⋅【详解】（1）因为，122n n S a +=-所以，()1222n n S a n -=-≥两式相减得，()132n n a a n +=≥当时，，也满足，1n =21226a a =+=213a a =又因为，120a =≠所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，{}n a 所以数列的通项公式为．{}n a 123n n a -=⋅（2）由（1）可得，()()1212123n n n a n -+⋅=+⋅⋅所以，()()01212335373213n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⋅ ， ()()121323353213213n n n T n n -⎡⎤=⨯+⨯++-⋅++⋅⎣⎦ 两式相减得：， ()()121264333423n n n T n --=+⨯+++-+⋅ ， ()()131326442313n n n T n ---=+⨯-+⋅-()()12661342343n n n n T n n --=---+⋅=-⋅.23n n T n =⋅19．某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x 百件，生产过程中总成本w （x ）（万元）是关于x （百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当()157w =()10120w =年产量为x 百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． ()G x ()2720ln 844x G x x x x=-+++(1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x （百件）的函数关系式；()F x (2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？（参考数据：，，，）ln 20.69≈ln 3 1.10≈ln 5 1.61≈ln 7 1.95≈【答案】(1) ()()720ln 3340=-+-+>F x x x x x(2)当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解；（2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数的单调性以及最值.()F x 【详解】（1）设()w x kx b =+由，可得，解得， (1)57(10)120w w =⎧⎨=⎩5710120k b k b +=⎧⎨+=⎩750k b =⎧⎨=⎩所以，()750w x x =+依题意得，()()507F x xG x x =-- 2720ln 844507x x x x x x ⎛⎫=-+++-- ⎪⎝⎭． ()720ln 3340x x x x=-+-+>（2）由（1）得，， ()720ln 334F x x x x=-+-+则， ()()()222231772032073x x x x F x x x x x +--++'=+-==-令，得，，得，()0F x '>07x <<()0F x '<7x >所以在上单调递增，在上单调递减，()F x ()0,7()7,+∞所以当时，有，7x =()()max 720ln 71220 1.951251F x F ==+=⨯+=答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元．20．已知函数． ()()212ln f x a x x =-+(1)若在处取得极大值，求实数a 的值；()y f x =2x =(2)若对恒成立，求实数a 的取值范围.()0f x ≤[)1,x ∞∈+【答案】(1) 14a =-(2)(],1-∞-【分析】（1）求导函数，根据求解a ，然后验证是否在处取得极大值即可； ()20f '=2x =（2）将函数不等式恒成立问题转化为函数的值域范围，根据与分类讨论求解.0a ≥a<0【详解】（1）因为，， ()()212ln f x a x x =-+()0,x ∞∈+所以， ()22f x ax x'=+因为在处取得极大值，()y f x =2x =所以，所以，即， ()20f '=410a +=14a =-此时， ()212422x f x x x x-+=-+='当时，当时，()0,2x ∈()0f x ¢>()2,x ∈+∞()0f x '<此时是的极大值点，符合题意，故. 2x =()f x 14a =-（2）因为，， ()()212ln f x a x x =-+[)1,x ∞∈+所以，， ()22f x ax x'=+[)1,x ∞∈+①当时，，所以在上单调递增，0a ≥()0f x ¢>()f x [)1,+∞所以当时，，不合题意；1x ≥()()10f x f ≥=②当时，， a<0()222ax f x x='+令，得，得()0f x ¢>0x <()0f x '<x >（ⅰ，即时， 1≤1a ≤-所以时，，即单调递减，[)1,x ∞∈+()0f x '<()f x 所以满足题意；()()10f x f ≤=（ⅱ，即时， 1>10a -<<当时，，即单调递增， x ⎡∈⎢⎣()0f x ¢>()f x当时，，即单调递减， )x ∞∈+()0f x '<()f x当时，，不合题意. x ⎡∈⎢⎣()()10f x f ≥=综上，实数a 的取值范围是.(],1-∞-21．已知数列的首项，，. {}n a 145a =1431n n n a a a +=+*n ∈N (1)设，求数列的通项公式； 11n nb a =-{}n b (2)是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等m s n m s n 1m a -1s a -1n a -比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.【答案】(1) ()*14⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭n n b n N (2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据中给出递推公式，先取倒数再配凑的方法，就可以得到数列是等比{}n a 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭数列，进而求解.（2）先假设存在，利用等差中项性质得到，等比中项性质得到，再根据基2m n s +=4424m n s +=⋅本不等式发现时等式成立，但题中条件是，，互不相等，从而得到结论.m n =m s n 【详解】（1）解：（1）因为，， 1431n n n a a a +=+1405a =≠所以，0n a ≠取倒得， 113144n n a a +=+所以， 11111111444n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭因为， 11111104b a =-=≠所以， ()*110n n b n a =-≠∈N 所以是，的等比数列， {}n b 1114b =14q =所以． ()1*11111444n n n n b n a -⎛⎫⎛⎫=-=⨯=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N （2）（2）假设存在，则，， 2m n s +=()()()2111m n s a a a -⋅-=-由（1）得， 441nn n a =+所以， 2444111414141n m s n m s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得，4424m n s +=⋅因为，当且仅当时等号成立，44224m n s +=⋅≥m n =又，，互不相等，m s n 所以，即不存在符合条件的，，.4424m n s +>⋅m s n 22．已知函数有两个不同的零点，且． ()e x f x ax a =--12,x x 12x x <(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：． 12ln 2x x a +<【答案】(1)()2e ,+∞(2)证明见解析【分析】（1）求出函数导数，分类判断函数单调性，继而转化为求函数最大值，结合解不等式可得答案;（2）利用为函数两个不同的零点，可推出，继而将不等式转化为12,x x ()e xf x ax a =--1212e e x x a x x -=-证明，换元令，即证对任意的恒成立，从而13122212e e x x x x x x ---->-12,(0)2x x t t -=<2e e t t t ->-0t <构造函数，利用导数即可证明.【详解】（1）由题意得，，()e x f x ax a =--()e x f x a '=-当时，，所以在上单调递减，不可能有两个零点，0a ≤()0f x '<()f x (,)-∞+∞所以不符合题意，当时，令，解得，0a >()e 0x f x a '=-=ln x a =当时，，当时，，ln x a <()0f x ¢>ln x a >()0f x '<所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞又当时，越来越接近于0，故趋于负无穷小，x →-∞e x ()f x 当时，趋于无穷大，也趋于负无穷小，x →+∞e x ()f x所以要使函数恰有两个不同的零点，()f x 12,x x 则，()()max ln ln 20f x f a a a a ==->解得，所以a 的取值范围为．2e a >()2e ,+∞（2）证明：由已知可得，两式作差可得， 1212e e x x ax a ax a ⎧=-⎨=-⎩1212e e x x a x x -=-要证，即证，其中， 12ln 2x x a +<1212212e e e x x x x a x x +-<=-12x x <即证，1312121222122e e e e e x x x x x x x x x x ---+-->=-令， 12,(0)2x x t t -=<即证对任意的恒成立，2e e t t t ->-0t <构造函数，其中，()e e2t t g t t -=--0t <则，（因为，故取不到等号），()e e 220t t g t -'=+->-=01e t <<对任意的恒成立，0t <故函数在上单调递增，当时，，()g t (),0∞-0t <()()00g t g <=即对任意的恒成立， 2e e t t t ->-0t <所以当时，， 12x x <1212212e e ex x x x x x +-<-故原不等式得证．【点睛】难点点睛：第二问利用导数证明不等式，此类问题的解答难度较大，解答时要利用零点性质得，作差可得，继而将原不等式转化为证明成立，1212e e x x ax a ax a ⎧=-⎨=-⎩1212e e x x a x x -=-13122212e e x x x x x x ---->-采用换元后构造函数，利用导数解决问题.。

高二《数列》专题1．n S 与n a 的关系：11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ；2≥n 时，n a =两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2.等差等比数列 3.数列通项公式求法。

（1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（2）累加法（3）累乘法（n n n c a a =+1型）；(4)利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩；(5)构造法（b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等 4.数列求和 （1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。

5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m S 取最大值.(2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。

也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的 ( B ) A.第1006项B.第1007项C. 第1008项D. 第1009项2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于 （A ） A ．1023 B ．1024 C ．511 D ．5123．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B.4.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( A )A.180B.－180C.90D.－905.（2010青岛市）已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ A ） A ．21-B ．23-C ．21D ．236．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3 解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D.8各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于A ．0B ．2C ．2 009D ．4 018解析 各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n ＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.9．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20解析 由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A.10. 首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.11.在△ABC 中，tan A 是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B ) A.钝角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12、（2009澄海）记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0，则当n s 取最大值时，=n （ )CA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或813．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为A ．1 006B ．－2 012C ．2 012D ．－1 006答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得，即⎩⎨⎧ a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝－4 021，d ＝4. 所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012×(2 012－1)2d＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012.方法二 由S 2 011＝2 011(a 1＋a 2 011)2＝2 011a 1 006＝－2 011， 解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012(a 1＋a 2 012)2＝2 012(a 1 006＋a 1 007)2＝2 012×(－1＋3)2＝2 012.14．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f (n )＋n 2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( B ) A ．95 B ．97 C ．105D ．192 解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (20)＝f (19)＋192，f (19)＝f (18)＋182，……f (2)＝f (1)＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（B ）A.)(2*N n a n n ∈= B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a n nC. )(2*1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ） A ．15分钟 B ．30分钟 C ．45分钟 D ．57分钟 二、填空题1、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4= 8.2.（2008·广东理，2）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6= . 48 3..（2010广州一模）．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为 ．74.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则24a S = . 215 5.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________.答案 199299 解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝1992996、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=7．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n .由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4.8．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 －12 解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12.三、解答题1（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 1【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

一、单选题1．已知数列满足，，则（ ） {}n a 113a =()1211n na n a ++=-∈+N 2022a =A ．2 B ．C ．D ．3-12-13【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，{}n a 进而求得结果.【详解】由已知得，，， 113a =22111213a =-=-+3213112a =-=--，， 421213a =-=-5211123a =-=+可以判断出数列是以4为周期的数列，故，{}n a 202250542212a a a ⨯+===-故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为13（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解． n 【详解】设最小的一份为个，公差为，，， 1a d 0d >()34541213a a a a a a ++==+由题意，解得．111545100232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩1105a d =⎧⎨=⎩故选：A ．3．等比数列的前项和，则=（ ） {}n a n 12n n S a b -=⋅+abA ．-2B ．C ．2D ．32-32【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出. 1a a b =+2a a =32a a =2ab=-【详解】，当时，，当时，，12n n S a b -=⋅+1n =1a a b =+2n =122a a a b +=+故，当时，，从而，由于是等比数列，2a a =3n =1234a a a a b ++=+32a a ={}n a故，解得：. ()22a a a b =+2ab=-故选：A4．为不超过x 的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若[]x n a ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[)0,x n ∈数列的前n 项和为，则（ ）12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n S 2022S =A ．B ．C ．D ．10121013122021404010111012【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.22,2n n n a n N *-+=∈【详解】当时，，，，故，即， 1n =[)0,1x ∈[]0x =[]0x x =[]0x x ⎡⎤=⎣⎦11a =当时，，，，故，即，2n =[)0,2x ∈[]{}0,1x =[]{}[)01,2x x ∈⋃[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦22a =当时，，，，故，即， 3n =[)0,3x ∈[]{}0,1,2x =[]{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦24a =以此类推，当，时，，2n ≥[)0,x n ∈[]{}0,1,2,,x n = ，故可以取的个数为[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ []x x ⎡⎤⎣⎦， 2211212n n n -+++++-=即，当n=1时也满足上式，故， 22,22n n n a n -+=≥22,2n n n a n N *-+=∈所以，()()2122222321212n a n n n n n n n ===-+++++++，所以. 2222233422211222n n n S n n n -=-=+=-+-+++++ 20222022101120241012S ==故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示13610L 14916L 为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（ ）A ．B ．C ．D ．16171822【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为， 1145+=14712++=故第四个五边形数为. 1471022+++=故选：D. 6．已知函数，其导函数记为，则()()221sin 1x xf x x ++=+()f x '（ ）()()()()2022202220222022f f f f ''++---=A ．-3 B ．3 C ．-2 D ．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.()f x '()()f x f x ''=-()()2f x f x +-=【详解】由已知得， ()()()()22221sin 1sin 11x x x xf x x x -+----==++则，()()()()22221sin 1sin 211x x x x f x f x x x ++--+-=+=++()()()()()222221cos 121sin 1x x x x x x f x x⎡⎤+++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'=+，()()()2222cos 12sin 1x x x xx++-=+则，()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x ++-'-=+即，()()f x f x ''=-则 ()()()()2022202220222022f f f f ''++---，()()()()2022202220222022f f f f ''=+-+--2=7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围 【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图()f x ()0,∞+()12f x ax x'=+()2ln f x x ax =+象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有122ax x +=2112a x x =-+()0,∞+解，∵x >0，∴，∴．2211111112222x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．8．已知R 上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．的最大值为B ．的极大值为 ()f x ()f b ()f x ()f aC ．有两个零点D ．有两个极值点()f x ()f x 【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答. ()f x '()f x '()f x 【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，， ()f x 'x a <x c >()0f x '<a x c <<()0f x ¢>即函数在，上单调递减，在上单调递增， ()f x (,)a -∞(,)c +∞(,)a c 因，即有，A 不正确；(,)b a c ∈()()f b f c <函数在处取得极小值，在处取得极大值，B 不正确，D 正确；()f x x a =x c =由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x 轴的交点个数()f x ()f a ()f c ()f x 就不确定，C 不正确.9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，()f x ¢()0,+∞()f x ()()0xf x f x '->122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的大小关系为（ ）133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． B ．C ．D ．a cb >>a bc >>b c a >>b a c >>【答案】A 【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、()()f x g x x =12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小即可.1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则．()()f xg x x =()()()2xf x f x g x x '-'=因为对于恒成立，()()0xf x f x '->()0,+∞所以，即在上单调递增， ()0g x ¢>()()f xg x x=()0,+∞又，，，且，12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112e 3>>所以，即．1112e 3g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b >>故选：A10．若函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） ()5ln f x x a x x=--[)1,+∞A ．B ．C ．D ．-⎡⎣(,-∞(],6-∞(]0,6【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式()0f x '≥[)1,+∞5a x x≤+[)1,+∞求解即可.【详解】因为函数在上是增函数， ()f x [)1,+∞所以在上恒成立，即，即恒成立， ()0f x '≥[)1,+∞()2510a f x x x '=+-≥5a x x≤+又 5x x +≥=x =所以， a ≤故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的()1sin r a θ=-“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y ，∴此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，()2211x y -+=∴x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x '()g x '该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满()g x ()g x '足．故选：A ．12．函数，的减区间为（ ） ()21cos sin 4f x x x x x =-+()0x ，π∈A ．B ．C ．D ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，56ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与()1sin 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()0x ，π∈0x >()f x '的符号一致，求解可得的减区间． 1sin 2x -1sin 02x -<()f x 【详解】∵， ()11cos sin cos sin 22f x x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎝'⎪⎭()0x ，π∈令得：，()0f x '<1sin 02x -<()0x ，π∈∴即的减区间为．566x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B ．二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##32【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，{}n a 从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差{}n a 113.5a =8 6.5a =，所以夏至的日晷长为． 81 6.513.518181a a d --===---1311213.512 1.5a a d =+=-=故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，}{n a 11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-}{21n a -数列是递增数列，则______．}{2n a 2022a =【答案】20222133-【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.2n >1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数【详解】因为，，， 11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-所以，即，12122a a -=-=-23a =-，且是递减数列，数列是递增数列 232||24a a -== }{21n a -}{2n a 或（舍去），37a ∴=-31a =，， 34343||2a a a a ∴-=-=45445||2a a a a -=-=故可得当 时，2n >，1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数 202120202019120222022202120212020211()()()22221a a a a a a a a ∴=-+-++-+=-+---20212019201732020201820162(2222)(2222)3=++++-++++-321010*********(21)2(21)32121⨯⨯--=----202042433⨯-=- 20222133-=故答案为：20222133-15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则{}n a 1a 2a 3a 1a 2a 4a 1234a a a a ++=___________. 143a a a +=【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出{}n a 1a 1a q 112a q a -21a q 1234a a a a ++=的值，从而可求出的值 q 143a a a +【详解】设四个数为，，，， 1a 1a q 112a q a -21a q 由，1234a a a a ++=即，可得，2111112a a q a q a a q ++-=3q =则. 214111311110225a a a a q a a a q a a ++===-故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则()21ln 2f x x ax x =-+1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-实数a 的取值范围为______． 【答案】(],1-∞-【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则12x x <()()112233f x x f x x -<-()()3F x f x x =-，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式()()12F x F x <()F x ()0F x '≥即可求解.【详解】对于任意，，有，1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-不妨设，则，即， 12x x <()()()12123f x f x x x -<-()()112233f x x f x x -<-设，则，()()3F x f x x =-()()12F x F x <又，所以单调递增，则恒成立， 12x x <()F x ()0F x '≥因为， ()()()2133ln 2F x f x x x a x x =-=-++所以，令，()()()23113x a x F x x a x x-++'=-++=()()231g x x a x =-++要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立， ()0F x '≥()0,∞+()()2310g x x a x =-++≥13a x x+≤+又，所以，即， 12x x +≥=32a +≤1a ≤-故答案为：(],1-∞-三、解答题17．已知数列的前n 项和为，且． {}n a n S 213n n S a +=(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式； {}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和． {}n b n n a b n ={}n b n T 【答案】(1)证明见解析，13n n a -=(2) 1932443n n nT -+=-⋅【分析】（1）利用可得答案； ()12-=-≥n n n a S S n （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n ＝1时，，解得， 11121213S a a +=+=11a =当时，由①，得②， 2n ≥213n n S a +=11213n n S a --+=①－②得，，∴， 13n n a a -=13nn a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列， {}n a ∴数列的通项公式为．{}n a 13n n a -=（2）由（1）知，∴， 13n n a -=13n n n n nb a -==∴，， 01211233333n n n T -=++++ 123111231333333n n n n nT --=+++++ ∴， 01231112111113113333333313nn n n nn n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=⋅-- ∴． 13313932122323443nn n n n n T -⎡⎤+⎛⎫=⋅--⋅=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且. {}n a n n S 1S 2S 4S 663(2)S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和. 1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且1{}nb n n T【答案】(1)42n a n =-(2) 21n n T n =+【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.{}n b 【详解】（1）解：设的公差为， {}n a d 由题意得： 2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得： 211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：， 124a d =⎧⎨=⎩；42n a n ∴=-（2）解：由（1）知，42n a n =-，184n n b b n -∴-=-1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+-(84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=，()2442n n =-≥，，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- 111b a -=，213,41n b b n ∴==-， 1111(22121n b n n ∴=--+ 1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ . 11(122121n n n =-=++19．已知数列，首项，前项和足.{}n a 11a =n n S ()2*n n S n n N a =∈（1）求出，并猜想的表达式；1234,,,S S S S n S （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析 11S =243S =332S =485S =21n n S n =+【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；1a 1234,,,S S S S （2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得： 2n nS n a =()*n N ∈11a =，111S a ==由，得：， ()()2222122441S a S S S ==-=-243S =由，得：， ()23332343993S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭33624S ==由，得：， ()2444343416162S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭485S =猜想的表达式为：； n S 21n n S n =+综上所述，答案为：，，，；； 111S a ==243S =332S =485S =21n n S n =+（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确； 1n =21111⨯=+11S =2.假设当时，猜想正确，即； ()*1,n k k k N =≥∈21k k S k =+那当时，由已知得：1n k =+()22111(1)(1)k k k k S k a k S S +++=+=+-将归纳假设代入上式，得：2112(1)1k k k S k S k ++⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭()2122(1)k k k S k k ++=+∴， 12(1)2(1)2(1)1k k k S k k +++==+++这就是说，当时，猜想正确；1n k =+综上所述1，2知：对一切，都有成立. N*n ∈21k k S k =+【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，． ()313f x x ax a =-+a ∈R (1)讨论的单调性；()f x(2)当a ＝1时，求在上的最值．()f x []22-,【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为 5313【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；()2f x x a '=-0a ≤0a >（2），根据函数的单调性，求函数的最值.()3113f x x x =-+【详解】（1）由题意得，，()2f x x a '=-当时，恒成立，此时在上是增函数，0a ≤()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，令，解得0a >()0f x '=x =令，可得()0f x ¢>x <x令，可得()0f x '<x <<所以在和上是增函数，在上是减函数．()f x (,-∞)+∞⎡⎣（2）由题意得，，()3113f x x x =-+由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．()f x [)2,1--(]1,2[]1,1-又，，()()()311222133f -=⨯---+=()()()315111133f -=⨯---+=，，()311111133f =⨯-+=()315222133f =⨯-+=故在上的最大值为，最小值为．()f x []22-,531321．当时，函数（）有极值，2x =3()4=-+f x ax bx ,a R b R ∈∈203-(1)求函数的解析式；3()4=-+f x ax bx (2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．x ()f x k =k 【答案】(1)32()843f x x x =-+(2)2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础,a b上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围. 32()843h x x x k =-+-k 【详解】（1），2()3f x ax b '=-由题意得：，解得：， ()()21202028243f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩238a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 32()843f x x x ∴=-+经验证，函数在处有极值，故解析式为：． 32()843f x x x =-+2x =203-32()843f x x x =-+（2）令，由得： ()()h x f x k =-(1)32()843h x x x k =-+-2()282(2)(2)h x x x x '=-=-+令得，，()0h x '=122,2x x ==-∴当时，，当时，，当时，，<2x -()0h x '>22x -<<()0h x '<2x >()0h x '>因此，当时， 有极大值， 2x =-()h x 443k -当时，有极小值， 2x =()h x 203k --关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，x ()f x k =()h x 所以 44032003k k ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩． 204433k ∴-<<故实数的取值范围是 k 2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数． 21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-(1)求曲线在点，处的切线方程；()y f x =(0(0))f (2)当时，求的单调区间；0a =()f x (3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围． 0a >()f x [,]2ππa 【答案】(1)1y =(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，． (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π(3)(0,22]π【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；0x =(0)1f =（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出. 22sin 2cos x x x a x +=-【详解】（1），所以，()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+()00k f ='=切又，(0)1f =所以在，处的切线方程：，即．()f x (0(0))f 10y -=1y =（2）当时，，0a =()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=所以在，上，，单调递增， (,)2ππ--(0,2π()0f x '>()f x 在，，，上，，单调递减， (2π-0)(2π)π()0f x '<()f x 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，． ()f x (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π（3）当时，令，得， 0a >()0f x =21sin cos 02x x x ax ++=所以， 22sin 2cos x x x a x +=-令，，， 22sin 2cos ()x x x g x x +=-[2x π∈]π 222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=- 322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当，时，，，即， [2x π∈]πcos 0x <220x -+<()0g x '>所以在，上单调递增， ()g x [2π]π又，， 24()24g ππππ==--2222()g πππ-==-若在区间有一个零点，则， ()f x [,]2ππ242a ππ-……故的取值范围，．a (022π。

高二年级上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（每小题5分；共40分；请将正确选项填到答题栏里面去） 1、设,0<<b a 则下列不等式中不．成立的是 Ab a 11> B ab a 11>- C b a -> D b a ->- 2、原点O 和点A （1；1）在直线x+y=a 两侧；则a 的取值范围是A a ＜0或 a ＞2B 0＜a ＜2C a=0或 a=2D 0≤a ≤23、在⊿ABC 中；已知ba c b a 2222+=+；则∠C= A 300 B 1500 C 450 D 13504、等差数列}a {n 中；已知前15项的和90S 15=；则8a 等于 A245 B 12 C 445 D 6 5、若a ；b ；c 成等比数列；m 是a ；b 的等差中项；n 是b ；c 的等差中项；则=+ncm a A 4 B 3 C 2 D 16、等比数列{a n }中；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1；则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于A 2)12(-nB )12(31-nC 14-nD )14(31-n7、若c b a 、、成等比数列；则关于x 的方程02=++c bx ax A 必有两个不等实根B 必有两个相等实根C 必无实根D 以上三种情况均有可能8、下列结论正确的是A 当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B 21,≥+>x x x 时当C 21,2的最小值为时当x x x +≥D 无最大值时当xx x 1,20-≤<二、填空题（每小题5分；共30分；请将正确选项填到答题栏里面去）9、若0＜a ＜b 且a +b=1则 21； a ； 2a b ； 22b a +；中的最大的是 ．10、若x 、y ∈R +； x +4y =20；则xy 的最大值为 ．11、飞机沿水平方向飞行；在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°；向前飞行10000米；到达B 处；此时测得目标C 的俯角为75°；这时飞机与地面目标的水平距离为12、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥02200y x y x y ；则13+-=x y k 的取值范围为 .13、数列 121； 241； 381； 4161； 5321； …； n n 21； 的前n 项之和等于 ．14、设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ．试 卷 答 题 栏 班级______姓名__________分数_________二、填空题：（每小题5分；共30分）9、 10、 11、12、 13、． 14、三、解答题15、在⊿ABC 中；已知030,1,3===B b c .（Ⅰ）求出角C 和A ； （Ⅱ）求⊿ABC 的面积S ；16、已知等差数列{}n a 的首项为a ；公差为b ；且不等式2)6x 3ax (log 22>+- 的解集为{}1|x x x b <>或 ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 公式 ；（Ⅱ）求数列{11+⋅n n a a }的前n 项和T n17、解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4＜0．18、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱；已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨；每1吨甲种棉纱的利润是600元；每1吨乙种棉纱的利润是900元；工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)；能使利润总额最大?19、设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ .221+=+n n b b （Ⅰ）求证数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比)； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式.20、（Ⅰ）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-m 的一切实数m 的取值都成立；求x 的取值范围；（7分）（Ⅱ）是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-x 的实数x 的取值都成立．（7分）高二年级期中考试数学试卷参考答案二、填空题：（每小题5分；共30分）9、 22b a + 10、 25 11、5000米12、-3≤K ≤31- 13、n n n 21222-++ 14、3+22 15、（1）bcB C =sin sin；23sin =C 000030,120,90,60,,====∴>>A C A C B C b c 此时或者此时（2）S=0.5bcsinA=43,23 16、解 ：（Ⅰ）∵不等式2)6x 3ax (log 22>+-可转化为02x 3ax 2>+-；所给条件表明：02x 3ax 2>+-的解集为{}b x or 1x |x ><；根据不等式解集的意义 可知：方程02x 3ax 2=+-的两根为1x 1=、b x 2=． 利用韦达定理不难得出2b ,1a ==．由此知1n 2)1n (21a n -=-+=；2n s n =（Ⅱ）令)121121(21)12()12(111+--=+⋅-=⋅=+n n n n a a b n n n则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++++=12112171515131)3111(21321n n b b b b T n n =⎪⎭⎫⎝⎛+-121121n17、解：当a ＝0时；不等式的解为x ＞2； 当a ≠0时；分解因式a (x －a2)(x －2)＜0当a ＜0时；原不等式等价于(x －a2)(x －2)＞0；不等式的解为x ＞2或x ＜a2；当0＜a ＜1时；2＜a2；不等式的解为2＜x ＜a2；当a ＞1时；a2＜2；不等式的解为a2＜x ＜2；当a ＝1时；不等式的解为 Φ 。

高二 《数列 》专题(n 1) S 1 S nS n 求 a n ， 应分 n 1 时 a 1； n 2 时 ，1 ． S n 与 a n 的关系 ： a n， 已知 S n (n 1)1 a n =两步 ， 最后考虑 a 1 是否满足后面的 a n .2. 等差等比数列等差数列 等比数列a n a nN *)1 q(n d （ n2 ）定义a n a n 1通项a na 1 ( n 1)d ， a na m (n m)d ,( n m)，如果 a, G,b 成等比数列 ， 那么 G 叫做 a 与 a, A, b A 叫做 a 与 b 的 等差中如果 成等差数列 ， 那么 a b b 的等比中项 ． 项． 中项 A 。

2aq等比中项的设法 ： ， a ， aq等差中项的设法 ：前 nn 2n( n 1) 2， S n( a 1a n ) S nna 1d项和 m n p q ， 则若 性*a m a na p a q (m, n, p ,q N , m n p q)若2*若 2m q,则有ap a p a q ,( p, q , n , m N )质m2m p q ， 则S n 、 S 2nS n 、 S 3 nS 2 n 为等差数列S n 、 S 2 n S n 、 S 3nS 2n 为等比数列函数a 1 qnq nAqa a ndn 2(a 1 d) An B n看数dd 222 a 1a 1 qs nn( a 1) n An Bnq n Aq n(q s A 1)2n1 q 1 列a n N * ) 1( n为一个常数 （1 ）定义法 ：证明*N ) (n 为一个常数 ； （ 1 ） 定义法 ： 证明 a a a n 1n n（ 2 ） 中项 ： 证 明*（ 2 ） 等 差 中 项 ： 证 明 2a na n a n 1 (n N ，1 2*ana n a n 1 (n N , n 2)判定1 n 2)n(c , q 均是不为 0 常（3 ）通项公式 ： a ncq方法*b ( k , b 为常数 （ 3 ） 通项公式 : a n kn )( n N )数） 2*n( A, B 为常数 )( n N （ 4 ） s nAnBn s n AqA )(A,q（ 4 ）为 常 数 ，0,1 ）A 0,q 3. 数列通项公式求法 。

数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题l、已知a n=n E N*)'则数列忆｝的最大项是旷+1562、在等差数列{a J中，若a4+a6十Gio+ a12 = 90'则知0-—a l4=3、酰廿等比数列包｝，若Gi= l a5 = 4, 则a3的值为4、数列{a J中，a3= 2, a5 = l, 则数列｛｝是等差数列，则a ll=a n +l5、在数列{a J和｛九｝中，b n是a n与a n+I的等差中项，a1=2且对任意nEN*都有3a n+I -a n = Q , 则数列｛九｝的通项公式为6、设等差数列{a n}的公差d不为O,a1 = 9d, a k是a,与a2k的等比中项，则k=7、等差数列{a J的前n项和为S n,若S4�10,S5sl5,则a4的最大值为8、正数数列{a J中，已知a1= 2, 且对任意的s,t EN*, 都有a s+a t= a s+t成立，则1 1+ + +a l a2 a2a3 a n a n+I s9、等差数列{a J的前n项和为S n,且a4-a2 = 8,a3 + a5 = 26 , 记兀＝号－，如果存在正整数M,使得对一切正整数n,T n sM都成立．则M的最小值是10、已知无穷等比数列{a n}中，各项的和为s,且lim[3(a1+a尸+a n)—S]=4,则实n今OO数a l的范围11、设正数数列{a J的前n项和为S n,且存在正数t'使得对千所有自然数n,有寂=n a +t 成立，若lim 瓦< t'则实数t的取值范围为2 n➔ 00a n12、数列{a,)的通项公式为a,={�::3(1:::; n:::; 2)，则lirn s = n之3,n EN*) nn➔oo13、已知数列[a,}的通项三式为a,�2•-1+I, 则a立+a立+a立+a,, 立＝12a n 0:::;;a n<—)14、数列{a }满足a= 2 6n+l � l '若a l=—，则a2001的值为2a n -I —:::;;a n< I)7215、在数列{a J中，如果对任意nEN*都有a n+2—a n+l= k (k为常数），则称{a J为等a n+l -a n差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：(1)等差比数列的公差比一定不为0;(2)等差数列一定是等差比数列；(3)若a n=-3勹2,则数列{aJ是等差比数列；(4)若等比数列是等差比数列，则其公比等千公差比．其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列{a n}的公差为d,前n项的和为S n,当首项a l和d变化时a2+as+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A. s7B. SsC. s l3D. s l517、在等差数列{aJ中，Cli> 0, 5a5 = 17 a10 , 则数列{aJ前n项和凡取最大值时，n的值为（）A.12B.llC.10D.918、设{a n}为等差数列，若生)_<—1,且它的前n项和S n有最小值，那么当凡取得最小正值时，n=a l O（）A 11 B.17 C.19 D. 2019、等差数列{a n}的前n项和为S n,且Ss< S6, S6 = S1 > Ss,则下列结论中错误的是（）A d<O C. S9 > SB. a7 = 0D. S6和S7均为S n的最大值20、已知数列{a J、｛九｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为a l、b l'且a1+ b1 = 5, a1 ,b1 EN*. 设e n= a b,, (n E N勹，则数列{e n}的前10项和等千（）A. 55B. 70C.85D.10021、已知等差数列{a J的前n项和为S n,若OB=CliOA十生OO OC,且A,B,C三点共线（该直线不过原点0),则s200= c )A. 100B. 101C. 200D. 201A 7n+4522、已知两个等差数列{aJ和｛仇｝的前n项和分别为A n和B n,且_____!!.='则使B n+3a得二为整数的正整数n的个数是（b nA. 2三、解答题B. 3C. 4D. 523、设数列忆｝的前n项和为S n,已知a l=a'a n+I =凡+3n,n E N*.(1)设九＝凡_3n,求忱｝的通项公式；(2)若a＊n+I� 化，nEN,求a的取值范围．24、数列曰｝满足a 1=a , a 2 = -a (a > 0) , 且{a n }从第二项起是公差为6的等差数列，凡是{a n }的前n项和.(1)当n �2时，用a与n表示a n 与S n (2)若在s 6与趴两项中至少有一项是凡的最小值，试求a的取值范围；125、数列{aJ中，a l=—，点(n,2a n+l -aJ在直线y =x 上，其中nEN *2(1)设九=a n +l -a n -1, 求证数列｛九｝是等比数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)设S n 、Tn 分别为数列{a小｛九｝的前n项和，是否存在实数入，使得数列｛凡:入T"}为等差数列？若存在，试求出入；若不存在，则说明理由。

高二《数列》专题1．n S 与n a 的关系：11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ；2≥n 时，n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a .2.等差等比数列3.数列通项公式求法。

（1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（2）累加法（3）累乘法（n n n c a a =+1型）；(4)利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩；(5)构造法（b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等 4.数列求和（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。

5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m S 取最大值.(2)当 0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。

也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.训练题 一、选择题1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +，则2011是这个数列的 ( B )A.第1006项B.第1007项C. 第1008项D. 第1009项2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ，则10S 等于 （A ）A ．1023B ．1024C ．511D ．512 3．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ( )A ．－2B ．－12D ．2由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B.4.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( A )B.－180 D.－905.（2010青岛市）已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ A ）A ．21- B ．23-C ．21D ．23 6．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D.8各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于( )A ．0B ．2C．2 009 D．4 018解析各项均不为零的等差数列{a n}，由于a2n－a n－1－a n＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则a2n－2a n＝0，a n＝2，S2 009＝4 018，故选D.9．数列{a n}是等比数列且a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于A．5 B．10C．15 D．20解析由于a2a4＝a23，a4a6＝a25，所以a2·a4＋2a3·a5＋a4·a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25.所以a3＋a5＝±5.又a n>0，所以a3＋a5＝5.所以选A.10. 首项为1，公差不为0的等差数列{a n}中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A．8 B．－8C．－6 D．不确定答案B解析a24＝a3·a6⇒(1＋3d)2＝(1＋2d)·(1＋5d)⇒d(d＋1)＝0⇒d＝－1，∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2.∴a6＝a4·q＝－4，第四项为a6·q＝－8.11.在△ABC中，tan A是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B是1为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B )以3A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12、（2009澄海）记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =，且公差不为0，则当n s 取最大值时，=n （ )CA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或813．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为( )A ．1 006B ．－2 012C ．2 012D ．－1 006答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧S2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－12d ＝－2 011，a1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012×2 012－12d＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012.方法二 由S 2 011＝2 011a 1＋a 2 0112＝ 2 011a 1 006＝－2 011， 解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012a 1＋a 2 0122＝2 012a 1 006＋a 1 0072＝2 012×－1＋32＝2012.14．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( B )A ．95B ．97C ．105D ．192解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧f 20＝f 19＋192，f 19＝f 18＋182，……f 2＝f 1＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为（B ）A.)(2*N n a n n ∈=B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a n nC. )(2*1N n a n n ∈=+D. 以上都不正确16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ）A ．15分钟B ．30分钟C ．45分钟D ．57分钟 二、填空题1、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4= 8.2.（2008·广东理，2）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6= . 483..（2010广州一模）．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为 ．74.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{a n }的公比q=2,前n 项和为S n ,则24a S = . 2155.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________.答案 199299 解析 a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝1992996、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=7．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n .由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4.8．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________． 答案 －12 解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12.三、解答题1（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．1【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

高二数学数列练习题及答案一、选择题1. 已知数列的通项公式为an = 2n + 1，其中n为正整数，则该数列的首项是：a) 1b) 2c) 3d) 42. 数列{an}的前4项依次是3，6，9，12，其通项公式为：a) an = 3nb) an = 3n + 1c) an = 3n - 1d) an = 2n + 13. 数列{an}的公差为2，首项为3，若a4 = 9，则数列的通项公式为：a) an = n + 2b) an = 2n + 1c) an = 3nd) an = 2n + 3二、填空题1. 数列{an}的首项为5，公差为3，若a7 = 23，则数列的通项公式为______。

2. 如果数列{an}满足an + 1 = an + 3，且a2 = 7，那么数列的首项为______。

3. 数列{an}满足公差为-2，首项为6，若a5 = -4，则数列的通项公式为______。

三、解答题1. 求等差数列{an}的前n项和公式。

解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d。

根据等差数列的性质，第n项an可以表示为an = a1 + (n - 1)d。

前n项和Sn可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。

因此，等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + a1 + (n - 1)d) * n / 2。

2. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列的公差为多少？解析：设数列{an}的首项为a1，通项公比为r。

根据等比数列的性质，第n项an可以表示为an = a1 * r^(n - 1)。

因此，已知通项公式为an = 2^n，可得到a1 * r^(n - 1) = 2^n。

考虑到a1 = 2^0 = 1，将其代入上式，得到r^(n - 1) = 2^(n - 1)。

可得到r = 2，因此数列的公差为2。

四、答案选择题：1. c) 32. a) an = 3n3. b) an = 2n + 1填空题：1. an = 172. a1 = 43. an = 12 - 2n解答题：1. 等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。

2021年高二上学期期中复习数学试题（数列）一．选择题（每小题５分，共60分）1. 不等式的解集为A. B. C. D.2. 已知x，y满足约束条件，则2x+y的最大值为A.-3B.C.D.33. (文）已知a>0,b>0，则的最小值是A.2B.C.4D.54. 若实数a、b满足ab<0，则有A.|a－b|<|a|－|b|B.|a－b|<|a|+|b|C.|a+b|>|a－b|D.|a+b|<|a－b|5. 若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是A.m＞3B.－3＜m＜3C.2＜m＜3D.－3＜m＜2或m＞326. 已知集合=3},M则集合2||4},{{2x=<--x=N<NMxxxA.{}B.{}C.{}D.{}7. 已知约束条件，目标函数的最小值为，则常数等于A. 2B.9C.D.0[来源:高&考%资(源#网]8. 设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是A. B.C. D.9. 下列函数中，最小值是4的是A. B.C.，，D.10. 不等式的解集为A.(0,2)B. C).(─4,0) D.11. 不等式 | x+1 | (2x-1)≥0的解集为[来源:高&考%资(源#网]}21x -1|D.{x }21x 1- x |C.{x }21x -1B.{x }21x |x .{A ≤≤≥=≥≤≥或或12. 不等式组所表示的平面区域图形是 A.第一象限内的三角形B.四边形C.第三象限内的三角形D.以上都不对第Ⅱ卷（非选择题 共4道填空题6道解答题）二.简答题 （每小题5分，共20分）13. 已知│a │≤1，│b │≤1，则│a ＋b │＋│a －b │_____2(填上≤、≥、＜、＞、＝)．14. 设n 为正整数，则不等式的解集是________________________. 15. (文）若x>0，则的最小值为__________ 16. 不等式的解集是__________.三.解答题 （共70分）17. 某厂生产A 、B 两种产品，需甲、乙、丙三种原料，每生产一吨产品需耗原料 如下表.现有甲原料200吨，乙原料360吨，丙原料300吨，若产品生产后能全 部销售，试问A 、B 各生产多少吨能获最大利润.甲 乙 丙 利润（万元/吨）A 产品 4 9 3 7B 产品 5 4 10 1218. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？19. 解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；20. 某学校拟建一块周长为400的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？21. 已知集合，，，，且，求实数的取值范围22. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？鹿邑三高高二期中复习试题（不等式）参考答案（仅供参考）一．选择题答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A D C D D C DB D DC A3. 解析因为≥当且仅当，且，即时，取“=”号。

一、单选题1．已知等比数列的前2项和为，则（ ） {}n a 2424,6a a -=8a =A ．1 B ．C ．D ．121418【答案】D【分析】首先根据题意得到，解方程组得到，，再求即可. ()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩12q =116a =8a 【详解】因为，所以，246a a -=1q ≠由题知：， ()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩所以，解得，所以，即，()141q q =-12q =111242a a +=116a =所以.78111628a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故选：D2．设，则（ ）1ln 2ln 3,,e 23a b c ===A ． B ． C ． D ．b ac <<c<a<b c b a <<b<c<a 【答案】D【分析】构造，利用导数可知函数在单调递减，又，()ln xf x x=()f x ()e,+∞()e a f =，，根据单调性即可得到结果. ()4ln 2ln 424b f ===()3c f =【详解】设，则，()ln x f x x=()21ln xf x x -'=令，则， ()21ln 0xf x x -'==e x =所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； ()0,e x ∈()0f x ¢>()f x ()e,x ∈+∞()0f x '<()f x 又，，， ()1e e af ==()4ln 2ln 424b f ===()ln 333c f ==所以，即. ()()()4e 3f f f >>b<c<a 故选：D.3．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人1314同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（ ）16A ．B ．C ．D ．112122334【答案】C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则，()()()111,,436P A P B P AB ===故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为. ()()()2|3P AB P B A P A ==故选：C.4．如图，已知函数的图象在点处的切线为l ，则（ ）()f x (2,(2))P f (2)(2)f f '+=A ．B ．C ．0D ．22-1-【答案】C【分析】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算. ()()22f f '+【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，， ()0,6()3,060203k -==--()22f '=-切线方程为，则切点坐标为，有，136x y+=()2,2()22f =所以. ()()22220f f '+=-=故选：C.5．中国空间站（China Space Station ）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（ ） A ．72种 B ．90种C ．360种D ．450种【答案】B【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案.6【详解】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱中都有2人,所以共有种； 2223642333C C C A 90A ⋅=故选：B.6．定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数{}n a 211n n n na a d a a +++-=*n ∈N d {}n a 列”．已知在“等差比数列”中，，，则等于 （ ） {}n a 121a a ＝＝33a ＝20232021a a A ． B ．C ．D ．2420221⨯-2420191⨯-2420201⨯-2420211⨯-【答案】D【分析】由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则，利用1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭121n n a n a +=-202320222022202120232021a a a a a a =⨯即可求解．【详解】由题意可得：，，， 323a a =211a a =32212a a a a -=根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭则， 11(1)221n na n n a +=+-⨯=-所以，， 20232022220221220211a a =⨯-=⨯+20222021220211a a =⨯-所以． 2202320222022202120232021(220211)(220211)420211a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-故选：D7．已知函数在定义域内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） ()21ln 62f x a x x x =-+A ． B ． [)9,-+∞()9,-+∞C ． D ．(),9∞--(],9∞--【答案】D【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小()0f x '≤()0,∞+()2min 6a x x ≤-26y x x =-值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】由已知，函数的定义域为，. ()f x ()0,∞+()6af x x x'=-+由在定义域内单调递减，所以在上恒成立， ()21ln 62f x a x x x =-+()0f x '≤()0,∞+即，可转化为在上恒成立，所以． 60a x x-+≤26a x x ≤-()0,∞+()2min 6a x x ≤-因为，所以，所以．()22639y x x x =-=--()2min69x x-=-9a ≤-因此实数a 的取值范围是． (],9-∞-故选：D ．【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为()[]f x x =高斯函数，其中，表示不超过x 的最大整数，例如：，，则方程x ∈R []x []21.1-=-[]2.52=的所有解之和为（ ）[][]214x x x ++=A ． B ．C ．D ．12343274【答案】C【分析】，，使，可得，，分类讨论k 为x ∀∈R k ∃∈Z 211k x k ≤+<+122k kx -≤<2242k x k -≤<奇数和偶数的情况，求出k 的值，再代入求解即可.【详解】解：，，使，则， x ∀∈R k ∃∈Z 211k x k ≤+<+[21]x k +=可得，， 122k kx -≤<2242k x k -≤<若k 为奇数，则，所以，12k -∈Z 1[]2k x -=，则， [][]12142k x x k x -∴++=+=12222k k k k --≤+<解得，或，13k -<≤1k ∴=3k =当时，，，，，1k =102x ≤<[]0x =[21]1x +=111040,42x x ⎡⎫∴+=⇒=∈⎪⎢⎣⎭当时，，，，，3k =312x ≤<[]1x =[21]3x +=331411,2x x ⎡⎫∴+=⇒=∈⎪⎢⎣⎭若k 为偶数，则，所以，2k ∈Z []12kx =-，则， [][]21142kx x k x ∴++=+-=22122k k k k -≤+-<解得，或， 2k -2<≤0k ∴=2k =当时，，，，0k =102x -≤<[]1x ∴=-[21]0x +=11104,042x x ⎡⎫∴-+=⇒=-∈-⎪⎢⎣⎭当时，，，，，2k =112x ≤<[]0x ∴=[21]2x +=10242x x ∴+=⇒=因此，所有解之和为：，111314422+-+=故选：C.【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、多选题9．在的展开式中,下列说法正确的是( )812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．常数项是B ．第四项和第六项的系数相等 1120C ．各项的二项式系数之和为D ．各项的系数之和为256256【答案】AC【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()88218C 21k k kk k T x --+=-4k =对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行3k =5k =8n =82256=判断;对于D,令即可进行判断.1x =【详解】根据二项式定理,的通项公式为, 812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()88218C 21k k kk k T x --+=-对于A,常数项为,故A 正确; ()4448C 211120-=对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B 错误; ()33838C 211792--=-()55858C 21448--=-对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C 正确; 8n =82256=对于D,令,各项的系数之和为,故D 错误. 1x =1故选:AC.10．已知事件满足，则（ ） ,A B ()()0.5,0.2P A P B ==A ．若，则 B A ⊆()0.5P AB =B ．若与互斥，则A B ()0.7P A B +=C ．若，则与相互独立 ()0.2P BA =∣A BD ．若与相互独立，则 A B ()0.9P AB =【答案】BC【分析】根据事件的关系以及运算，互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率公式，条件概率的概率公式等即可求出．【详解】对A ，因为，所以，错误； B A ⊆()()0.2P AB P B ==对B ，因为与互斥，所以，正确；A B ()()()0.7P A B P A P B +=+=对C ，因为，所以，而，()()()0.2P AB P BA P A ==∣()0.1P AB =()()0.5,0.2P A P B ==所以，正确；()()()0.1P AB P A P B ==对D ，因为与相互独立，所以与相互独立，所以， A B A B ，错误．()()()()()10.50.80.4P AB P A P B P A P B ⎡⎤==⨯-=⨯=⎣⎦故选：BC.11．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）{}n a n ()*N n S n ∈14120,a S S >=A ．公差 B ．0d <790a a +<C ．的最大值为 D ．满足的的最小值为16n S 8S 0n S <n 【答案】AC【分析】根据求出与公差的关系即可判断AB ；再根据等差数列前项和公式即14120,a S S >=1a d n 可判断CD.【详解】因为，14120,a S S >=则，即， ()()1411241222a a a a ++=()141123a a a a +=+则，故A 正确；12015d a =-<，故B 错误； 7912140a a a d d +=+=->由，得， 790a a +>80a >, 911802a a d d =+=<因为，100,d a <>所以数列是递减数列，且当时，，当时，， {}n a 8n ≤0n a >9n ≥0n a <所以的最大值为，故C 正确； n S 8S ， 2211116221515n a a d d S n a n n n ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭令，解得，0n S <16n >所以满足的的最小值为，故D 错误. 0n S <n 17故选：AC.12．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x '()()cos sin 0x f x x f x '⋅+⋅<立，则有（ ）A ．Bππ64f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π6πf ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．Dππ63f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ64⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【分析】构造函数，判断其单调性即可判断大小.()()cos f x g x x=【详解】令，则，()()cos f x g x x=()()()2cos sin cos x f x x f x g x x '⋅+⋅'=由已知可得，即在上单调递减.()0g x '<()()cos f x g x x=π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以，πππ346πππcos cos cos346ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<，，即C 、D 选项正确. ππ64⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ63f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：CD三、填空题13．盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取4112球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为___________. 1【答案】13【分析】分别计算“第一次取到红球”的概率和“第一次取到绿球，第二次取到红球”的概率后相加即可.【详解】没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，第二次取到红球”记事件表示第一次取到红球，表示第二次取到红球，表示第一次取到绿球， 1R 2R 1G 则，， ()114P R =()()()12121111|4312P G R P G P R G ==⨯=∴没有取到黄球的概率为. 1114123P =+=故答案为：.1314．在等比数列中，且，则________. {}n a 0n a >10125a =51525202252023log log log log a a a a ++++= 【答案】2023【分析】利用等比数列的下标性质，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】()()2251525202252023512202220235101210121012log log log log log log a a a a a a a a a a a ++++==⋅ ，()1011212255log 555log 52023⨯+=⋅== 故答案为：202315．已知定义在R 上的可导函数的导函数为，满足，且()f x ()f x '()()0f x f x '-<，，则不等式的解集是________． ()()11f x f x +=-()0e f =()1e x f x ->【答案】(),2-∞【分析】利用构造法，构造函数，由其导数可得新函数的单调性，根据函数的对称性，可得新函数的函数值，进而可得答案. 【详解】设，∴，∴在R 上单调递减． ()()x f x g x =e ()()()0xf x f xg x e '-'=<()g x ∵，∴的图象关于直线对称，∴， ()()11f x f x +=-()f x 1x =()()20e f f ==∴．∵，∴，即，∴2， ()()2212e e f g ==()1e x f x ->()1e exf x >()()2g x g >x <故不等式的解集是．()1e xf x ->(),2-∞故答案为：.(),2-∞16．过点与曲线相切的直线方程为______．()1,1-()()ln 13e 2xf x x =+-+【答案】210x y ++=【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，()()1113e xy y n x x -=--11,x y 从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为，，. ()11,x y ()13e 1x f x x '=-+()11113e 1x f x x '=-+则切线方程为，因为在切线上， ()111113e 1x y y x x x ⎛⎫-=--⎪+⎝⎭()1,1-所以，即 ()1111113e 11x y x x ⎛⎫-=---⎪+⎝⎭()1113e 12x y x =-++又，所以，()111ln 13e 2x y x =+-+()111ln 13e 0xx x ++=令，，当时，， ()ln 13e xy x x =++()131e 1x y x x'=+++1x >-0'>y 所以在上单调递增，()ln 13e xy x x =++()1,-+∞所以方程只有唯一解为.()111ln 13e 0xx x ++=10x =即切点坐标为，故所求切线方程为，即. ()0,1-12y x +=-210x y ++=故答案为：210x y ++=四、解答题17．（1）求值：．591C C n nn n --++（2）若，且．求的值．57A 56C n n =()23012312nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+123n a a a a +++⋅⋅⋅+【答案】（1） 时， ； 时， ；（2）4n =591C C 5n n n n --++=5n =591C C 16n nn n --++=2-【分析】（1）根据组合数的性质推出n 的取值范围，再分类求解； （2）先求出n 的值，再运用赋值法求解.【详解】（1）由组合数的性质，可得解得．又因为，05,091,n n n n ≤-≤⎧⎨≤-≤+⎩45n ≤≤*n ∈N 所以或，当时，原式，当时，原式；4n =5n =4n =1545C C 5=+=5n =0456C C 16=+=（2）由，得57A 56C n n =，()()()()()()()()()()1234561234567654321n n n n n n n n n n n n ----------=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯即，解得或（舍去），所以， ()()5690n n --=15n =n =-415n =当时，由已知，得， 15n =()15231501231512x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+令，得，令，得， 1x =012151a a a a +++⋅⋅⋅+=-0x =01a =所以123152a a a a +++⋅⋅⋅+=-18．已知的一个极值点为2.()322126x mx f x x =--+(1)求函数的单调区间.()f x (2)求函数在区间上的最值.()f x []22-,【答案】(1)的递增区间为，递减区间为 ()f x ()(),1,2,-∞-+∞()1,2-(2)函数在区间上的最大值为，最小值为. ()f x []22-,()113f -=()214f =-【分析】（1）由题目极值点为2可以求得解析式中m 的值，并验证确为极值点，则函数表达2x =式确定，根据导数的正负判断函数单调性即可；（2）根据（1）中对函数单调性的研究，可以判断在区间上的单调性，从而得出最大最小值.[]22-,【详解】（1）由题意可得：，则，解得，()26212x x f x m =--'()2441220m f =-'-=3m =当时，，，3m =()3223126x x f x x =--+()26612f x x x '=--令，解得或，()0f x ¢>2x >1x <-则的递增区间为，递减区间为， ()f x ()(),1,2,-∞-+∞()1,2-可得为极小值点，即符合题意，2x =3m =故的递增区间为，递减区间为.()f x ()(),1,2,-∞-+∞()1,2-（2）∵，由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减， []2,2x ∈-()f x []2,1--(]1,2-则函数在区间上的最大值为， ()f x []22-,()113f -=又∵，即， ()()22,214f f -==-()()22f f ->则函数在区间上的最小值为，()f x []22-,()214f =-故函数在区间上的最大值为，最小值为.()f x []22-,()113f -=()214f =-19．已知等差数列的前n 项和为，公差，，，成等差数列，，，成{}n a n S 0d ≠2S 4S 54S +2a 4a 8a 等比数列． (1)求；n S (2)记数列的前n 项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项{}n b n T 22n n n n b T S +-=1n n b S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n b公式．【答案】(1)2n S n n =+(2) 11121n n b n n -=-++【分析】（1）根据等比中项以及等差中项，结合等差数列基本量的计算即可求解公差和首项， （2）根据结合前项和与通项之间的关系即可证明等比数列，由等比数列的定义即22n n n n b T S +-=n 可求解通项.【详解】（1）由，，成等差数列，，，成等比数列可得2S 4S 54S +2a 4a 8a ， ()()()()11152412242811151042246422,237a d a d a d S S S a d a a a a d a d a d ⎧++++=+++=⎧⎪⇒⇒==⎨⎨=+=++⎩⎪⎩ ()21222n n n S n n n -=+⨯=+（2）由得， 22n n n n b T S +-=()111332212,22211n n n n b T b b T T n n n n +-=⇒==+=+-++故，两式相减可得1121212n n b T n n ++=+-++， 11121211111222121121n n n n n b b b b b n n n n n n n n +++⎛⎫-=+--+⇒-+=-+ ⎪++++++⎝⎭而，所以为公比为2的等比数列，且首项为， 1111n n n b b S n n ⎧⎫⎧⎫-=-+⎨⎨⎬+⎩⎭⎩⎭1n n b S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭31122-=故，进而 11121n n b n n --+=+11121n n b n n -=-++20．为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比M 赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为． 352514(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；(2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；X X (3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．M 【答案】(1)1120(2)249100(3) 56125【分析】（1）设“第i 场甲队获胜”，“球员第i 场上场比赛”，，2，3． =i A i B =M 1i =根据对立事件的概率公式即可求解；（2）由题意知的可能取值为2，3，结合对立事件和独立事件的概率公式和数学期望的计算公式X 即可求解；（3）根据对立事件、独立事件的概率公式和条件概率公式计算即可求解.【详解】（1）设“第i 场甲队获胜”，“球员第i 场上场比赛”，，2，3．=i A i B =M 1i =由全概率公式． ()()()()()2222222P A P B P A B P B P A B =+3332111454520⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭（2）的可能取值为2，3．X 由题意知，由（1）知， ()135P A =()21120P A =则，， ()125P A =()2920P A =， ()()()()()()()1212121231129512520520100P X P A A P A A P A P A P A P A ==+=+=⨯+⨯=，． ()()49312100P X P X ==-==()514924923100100100E X =⨯+⨯=（3），此时， ()214P B =()325P A = ()()()()1221232123212212321232P A A B A A A B A A B P A A B P A A A B P A A B ++=++． 3233222255555555=⨯+⨯⨯+⨯⨯56125=21．已知数列满足，，数列满足． {}n a 1322a a a +=13,2,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数{}n c 21n n c a -=(1)求数列和的通项公式；{}n c {}n a (2)求数列的前项和．{}n a n n S 【答案】(1)， 1231n n c -=⋅-122231,233,n n n n a n -⎧⋅-⎪=⎨⎪⋅-⎩为奇数为偶数(2) 2124324,2323,n n n n n S n n +⎧⋅--⎪=⎨⎪⋅--⎩为偶数为奇数【分析】（1）由题意先求出，再根据，得，从而可得，再1a 21n n c a -=11121,n n c a c a ++==132n n c c +=+利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式；{}n c {}n a （2）分为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.n 【详解】（1），得， 13,2,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数213213,232a a a a a ==+=+因为，即，解得，1322a a a +=111326a a a ++=11a =由，得，21n n c a -=111211,n n c a c a ++===又，*2212123,2,k k k k a a a a k -+==+∈N 故，所以，即，212132k k a a +-=+132k k c c +=+132n n c c +=+所以，()1131n n c c ++=+又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，112c +={}1n c +23所以，所以， 1123n n c -+=⋅1231n n c -=⋅-则，故，121231n n a --=⋅-2213233n n n a a -==⋅-所以； 122231,233,n n n n a n -⎧⋅-⎪=⎨⎪⋅-⎩为奇数为偶数（2）当为偶数时，n()()13124n n n S a a a a a a -=+++++++ ()13112244n n a a a c c c -⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭， 2221344324132n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=⨯-=⋅--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦当为奇数时，n ， ()11122211432142332323n n n n n n S S a n n +++++⎛⎫=-=⋅-+--⋅-=⋅-- ⎪⎝⎭综上所述，. 2124324,2323,n n n n n S n n +⎧⋅--⎪=⎨⎪⋅--⎩为偶数为奇数22．已知函数．1()e ln ln x f x a x a -=-+（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；a e =()y f x =()()1,1f （2）若不等式恒成立，求a 的取值范围．()1f x ≥【答案】（1）（2） 21e -[1,)+∞【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根()()1,1f 据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a =1时，由得,符合()f x ()10f '=()()11min f x f ==题意；当a >1时，可证，从而存在零点，使得，得1((1)0f f a''<()f x '00x >01001()0x f x ae x -'=-=到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成min ()f x ()1f x ≥立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围.01a <<()1f 【详解】（1），，. ()ln 1x f x e x =-+Q 1()x f x e x'∴=-(1)1k f e '∴==-，∴切点坐标为(1,1+e ),(1)1f e =+Q ∴函数在点(1,f (1)处的切线方程为,即,()f x 1(1)(1)y e e x --=--()12y e x =-+切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴2(0,2),(,0)1e --∴所求三角形面积为． 1222||=211e e -⨯⨯--（2）［方法一］：通性通法,，且. 1()ln ln x f x ae x a -=-+Q 11()x f x ae x -'∴=-0a >设,则 ()()g x f x ='121()0,x g x ae x -'=+>∴g(x )在上单调递增，即在上单调递增，(0,)+∞()f x '(0,)+∞当时，,∴,∴成立.1a =()01f '=()()11min f x f ==()1f x ≥当时， ，，, 1a >11a <111a e -<∴111((1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<∴存在唯一，使得，且当时，当时00x >01001()0x f x ae x -'=-=0(0,)x x ∈()0f x '<0(,)x x ∈+∞，，， ()0f x '>0101x ae x -∴=00ln 1ln a x x ∴+-=-因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+>1, 001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+∴∴恒成立；()1,f x >()1f x ≥当时， ∴不是恒成立.01a <<(1)ln 1,f a a a =+<<(1)1,()1f f x <≥综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】：同构由得，即，而，所以()1f x ≥1e ln ln 1x a x a --+≥ln 1ln 1ln a x e a x x x +-++-≥+ln ln ln x x x e x +=+．ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+令，则，所以在R 上单调递增．()m h m e m =+()10m h m e +'=>()h m 由，可知，所以，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+(ln 1)(ln )h a x h x +-≥ln 1ln a x x +-≥．max ln (ln 1)a x x ≥-+令，则． ()ln 1F x x x =-+11()1x F x x x-'=-=所以当时，单调递增；(0,1)x ∈()0,()F x F x '>当时，单调递减．(1,)x ∈+∞()0,()F x F x '<所以，则，即．max [()](1)0F x F ==ln 0a ≥1a ≥所以a 的取值范围为．1a ≥［方法三］：换元同构由题意知，令，所以，所以．0,0a x >>1x ae t -=ln 1ln a x t +-=ln ln 1a t x =-+于是．1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x -=-+=-+-+由于，而在时为增函数，故()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥-+-+≥⇔+≥+ln y x x =+,()0x ∈+∞，即，分离参数后有．t x ≥1x ae x -≥1x xa e -≥令，所以． 1()x xg x e -=1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e -------=='当时，单调递增；当时，单调递减．01x <<()0,()g x g x >'1x >()0,()g x g x <'所以当时，取得最大值为．所以．1x =1()x x g x e -=(1)1g =1a ≥［方法四］：因为定义域为，且，所以，即．(0,)+∞()1f x ≥(1)1f ≥ln 1a a +≥令，则，所以在区间内单调递增． ()ln S a a a =+1()10S a a='+>()S a (0,)+∞因为，所以时，有，即．(1)1S =1a ≥()(1)S a S ≥ln 1a a +≥下面证明当时，恒成立．1a ≥()1f x ≥令，只需证当时，恒成立．1()ln ln x T a ae x a -=-+1a ≥()1T a ≥因为，所以在区间内单调递增，则． 11()0x T a e a-=+>'()T a [1,)+∞1min [()](1)ln x T a T e x -==-因此要证明时，恒成立，只需证明即可．1a ≥()1T a ≥1min [()]ln 1x T a e x -=-≥由，得．1,ln 1x e x x x ≥+≤-1,ln 1x e x x x -≥-≥-上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 1ln 1x e x --≥1a ≥()1f x ≥当时，因为，显然不满足恒成立．01a <<(1)ln 1f a a =+<()1f x ≥所以a 的取值范围为．1a ≥【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求()f x min 0f ≥出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+()m h m e m =+单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数1x ae t -=ln ln t t x x +≥+的单调性以及分离参数法求出；ln y x x =+方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． (1)1f ≥a。