函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

函 数 的 对 称 性一个函数的自对称定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。

就是该函数的对称轴是x a =。

定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。

就是该函数的对称点是(,0)a 。

定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x +=对称。

就是该函数的对称轴是2a b x +=。

定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点(,0)2a b +对称。

就是该函数的对称点是(,0)2a b +。

还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于(,)22a b m +这个点对称。

周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数.它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1()f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=)(11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。

习 题1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。

2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点）3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根?4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值.5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02f x f x ++=且5()4f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数(C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。

函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。

5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。

2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。

6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。

7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。

初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性函数是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。

在初中数学中，我们学习了函数的奇偶性与周期性的概念。

本文将对这两个概念进行归纳总结，并提供相关的例子，以帮助大家更好地理解和应用这些知识。

一、函数的奇偶性1. 定义一个函数f(x)，若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

2. 性质（1）偶函数的图像关于y轴对称，即关于原点中心对称；奇函数的图像关于坐标原点对称。

（2）偶函数的奇点（f(x) = 0的点）关于y轴对称，奇函数的奇点关于原点对称。

（3）偶函数与偶函数的和、差、积仍为偶函数；奇函数与奇函数的和、差为偶函数，积为奇函数。

（4）若函数可以表示为偶函数与奇函数的和，那么该函数为任意函数。

3. 举例（1）常见的偶函数：f(x) = x^2、f(x) = cos(x)等。

（2）常见的奇函数：f(x) = x、f(x) = sin(x)等。

二、函数的周期性1. 定义一个函数f(x)，若存在正数T，对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数，T称为函数的周期。

2. 性质（1）周期函数的图像在每一个周期内完全重复。

（2）一个函数的周期不唯一，只要存在一个T使得f(x+T) = f(x)，那么T的所有倍数也是f(x)的周期。

（3）若f(x)和g(x)都是周期为T的周期函数，那么f(x) ± g(x)、f(x) × g(x)也是周期为T的周期函数。

3. 举例（1）常见的周期函数：f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)等。

（2）常见的非周期函数：f(x) = x^2、f(x) = e^x等。

三、奇偶性与周期性的关系1. 性质（1）对于一个函数f(x)，若它既是奇函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍。

（2）对于一个函数f(x)，若它既是偶函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍且f(0)为其最小正周期。

函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。

函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。

自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。

命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。

函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。

抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么 函数()f x 就叫做奇函数。

（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。

（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。

（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-； （3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。

（这是判断偶函数的直观方法） 二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。

例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。

（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。

（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。

（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足： （1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称； （2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称； （4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）； （5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称； （6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的 常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期 的周期函数。

探讨函数周期性，对称性，奇偶性关系师：函数是高考的一个热点，对于函数的学习，我们已经经历了两个阶段。

上学期，我们认识了函数的定义，定义域、值域、对称性、单调性等性质。

本学期，通过对三角函数一章的学习，我们又结识了函数的奇偶性与周期性。

函数的对称性、奇偶性、周期性从不同角度向我们展示了函数的丰富内涵。

那么三者之间究竞有什么样的内在联系呢？就让我们带着这样的疑问共同走进函数世界，探究奇偶性、对称性、周期性三者之间的关系。

我们的探究目标是三种性质的关系，对于这样一个抽象的问题，我们如何探究呢？生众：抽象问题具体化。

师：好！请同学们看具体问题：（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数；（2）函数f（x）的图象关于直线x=1对称。

你能构做出一个满足这样两个条件的函数图象吗？生众：独立做图，约半分钟后。

师：好！我看同学们都已经做出图象了，现在大家认真观察自已做出的函数图象，你能告诉我它还有什么性质吗？生众：应该具备周期性。

师：能观察出它的一个周期吗？生众：2。

师：好！通过数形结合，我们得到了一个猜想，那就是具备条件（1）（2）的函数应该是以2为一个周期的周期函数。

这个猜想可靠吗？我们下一步工作该做什么？生众：论证。

师：给一分钟时间，小组讨论完成论证。

一分钟后师：哪个小组能到前面展示自己的论证过程？生1：f（x）=f（ x）=f（x+2）所以函数是以2为一个周期的周期函数。

师：如果将“以2为一个周期的周期函数”做为条件（3）添加上去，你还能提出新的问题吗？思考约半分钟后，一学生举手生2：老师，我想提出的问题是条件（1）（3）组合，能否推得（2）。

师：能说一下你为什么想到这样一个问题吗？生2：既然（1）（2）组合能得（3），那么逆向思维，我就想到了（1）（3）组合能否得（2）。

师：说的很好！既然如此，是否还有一个问题？生众：（2）（3）组合能否得（1）。

师：好！问题提出来了，我们从中间分成两大组，左边的同学探究（1）（3）组合能否推（2），右边的同学探究（2）（3）组合能否推（1），给两分钟时间讨论。

函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系摘要：函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系，如果知道其中两个就能得出另外一个，这对我们研究函数的性质很有帮助。

本文结合例题对此做一简要探讨。

关键词：函数；奇偶性；周期性；对称性；关系函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系，如果知道其中两个就能得出另外一个，这对我们研究函数的性质很有帮助。

知识背景：1.奇函数的抽象性质：；2.偶函数的抽象性质：；3.周期函数的抽象性质：；4.对称函数的抽象性质：若或，则函数图象关于直线对称；若或，则函数图象关于点对称.一、由函数的奇偶性和周期性得到函数的对称性例1.若函数是奇函数，周期为2，求证：函数关于点对称.解析：∵函数是奇函数且周期为2，∴且，∴，∴，即，∴函数关于点对称.例2.若函数是偶函数，周期为2，求证：函数关于直线对称.解析：∵函数是偶函数且周期为2，∴且，∴，即，∴函数关于直线对称.二、由函数的奇偶性和对称性得到函数的周期性例3.若函数是奇函数，图象关于直线对称，求证：函数的周期为.解析：∵函数是奇函数且图象关于直线对称，∴且，∴，∴，∴，即函数的周期为.同理：若函数是奇函数，图象关于关于点对称，可求出函数的周期为.例4若函数是偶函数，图象关于直线对称，求证：函数的周期为.解析：∵函数是偶函数且图象关于直线对称，∴且，∴，∴，即函数的周期为.同理：若函数是偶函数，图象关于关于点对称，可求出函数的周期为.三、由函数的周期性和对称性得到函数的奇偶性(有特定条件：周期是对称值的2倍)例5已知函数的周期为，图象关于直线对称，求证：函数为偶函数.解析：∵函数的图象关于直线对称，∴，∴，又∵的周期为，∴，∴，即函数为偶函数.例6已知函数的周期为，图象关于点对称，求证：函数为奇函数.解析：∵函数的图象关于点对称，∴，∴，又∵的周期为，∴，∴，即函数为奇函数.以上结论较多，只要同学们知道函数的奇偶性、周期性与对称性三者之间有着联系，并掌握推导方法即可.作者简介：赵文龙，安徽省来安县第三中学，高中一级教师，滁州市中青年骨干教师，来安县政府授予“来安县名教师”荣誉称号。

函 数 的 对 称 性一个函数的自对称定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。

就是该函数的对称轴是x a =。

定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。

就是该函数的对称点是(,0)a 。

定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x +=对称。

就是该函数的对称轴是2a b x +=。

定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点(,0)2a b +对称。

就是该函数的对称点是(,0)2a b +。

还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于(,)22a b m +这个点对称。

周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数.它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1()f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=)(11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。

习 题1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。

2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点）3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根?4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值.5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02f x f x ++=且5()4f x +为奇函数,下列结论谁正确?①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数(C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。

函数的奇偶性与周期性在我们学习数学的旅程中，函数是一个非常重要的概念。

而函数的奇偶性和周期性，就像是函数世界中的两颗璀璨明珠，它们为我们理解和研究函数的性质提供了有力的工具。

首先，让我们来聊聊函数的奇偶性。

简单来说，奇偶性就是函数关于原点或者 y 轴的对称性质。

如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做偶函数。

这意味着偶函数的图像关于y 轴对称。

比如说，我们常见的二次函数 f(x) ＝ x²就是一个偶函数。

当 x 取某个值时，x对应的函数值和 x 对应的函数值是相等的。

想象一下它的图像，就像一个开口向上或者向下的抛物线，非常漂亮地对称于 y 轴。

相反，如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么这个函数就叫做奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

一个典型的例子是 f(x) ＝ x³。

当 x 取某个值时，x 对应的函数值是 x 对应函数值的相反数。

想象一下这个图像，就像一个旋转了 180 度之后和原来重合的图形，原点就是它的对称中心。

那么，怎么判断一个函数是奇函数还是偶函数呢？这就需要我们通过函数的表达式来进行分析。

一般来说，我们会将 x 代入函数表达式中，然后看得到的结果是与 f(x) 相等还是与 f(x) 相等。

但有时候，函数的表达式可能会比较复杂，这时候就需要我们灵活运用一些数学方法和技巧来进行判断。

接下来，我们再说说函数的周期性。

周期性可以理解为函数在一定的区间内重复出现的性质。

如果存在一个非零常数 T，使得对于函数 f(x)定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期。

比如说，正弦函数 f(x) ＝ sin x 就是一个周期函数，它的周期是2π。

这意味着，每隔2π 的距离，函数的图像就会重复出现一次。

周期函数在我们的生活和科学研究中有着广泛的应用。

抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。

函数的对称轴思行教育：函数的对称轴研究目标：1.理解函数的对称性及对称轴2.掌握奇偶性、周期性、对称性与对称轴的关系重点：理解对称轴、周期性、对称性的关系难点：掌握抽象函数对称性的判定及应用以及函数对称轴的应用知识要点梳理：一、函数图像本身的对称性（自身对称）1.函数y=f(x)的图像关于直线x=T对称的充要条件是f(T-x)=f(T+x)。

2.函数y=f(x)的图像关于直线x=T对称的充要条件是f(x)=f(2T-x)。

3.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(a-x)+f(a+x)=2b。

4.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b。

5.函数y=f(x)的图像关于点A(a,0)对称的充要条件是f(a-x)+f(a+x)=0.二、奇偶性、单调性、周期性的关系1.奇偶性、单调性、周期性之间的关系：1) 奇偶性能推出对称性，对称性不能推出奇偶性；2) 奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；3) 周期函数一个周期内可能具有或不具有单调性，而单调函数一般不具有周期性。

2.多对称条件下的周期性：1) 函数y=f(x)的图像关于直线x=a和直线x=m对称，y=f(x)是以T=2|m-a|为周期的周期函数；2) 函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)和直线x=m对称，y=f(x)是以T=4|m-a|为周期的周期函数；3) 函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)和点B(m,b)对称，y=f(x)是以T=2|m-a|为周期的周期函数。

3.奇偶性、对称性条件下的周期性：1) 奇函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，y=f(x)是以T=4|m|为周期的周期函数；2) 奇函数y=f(x)的图像关于点A(a,0)对称，y=f(x)是以T=2|a|为周期的周期函数；3) 偶函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，y=f(x)是以T=2|m|为周期的周期函数。