五年级奥数等差数列

五年级奥数重难点：等差数列什么叫做等差数列？数列中每相邻两个数的差是一个固定值，这样的数列就是等差数列。

这个固定的差值叫做公差，数列中的第一项叫做首项，最后一项叫做末项，数字的个数叫做项数。

知识点一：等差数列求项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1【例1】求下列数列共有多少项？2，5，8，11，...，98，101边学边练：求下列数列共有多少项？①1，4，7，10，...，100 ②4，9，14，19，...，109知识点二：等差数列求末项公式：末项=首项+（项数-1）×公差【例2】等差数列2，7，12，17，22，···的第100项是多少？边学边练：1、有一列数：5，8，11，14，···它的第100项是多少？2、数列：3，8，13，18，···的第80项是多少？知识点三：等差数列求和①基本公式：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2②特殊公式：等差数列和=中间项×项数【例3】计算1+2+3+4+…+78+79+80边学边练：1、计算：3+6+9+…+20012、计算：5+10+15+20+⋯ +190+195的和。

【例4】计算：（1+3+5+...+1997+1999）-(2+4+6+...+1996+1998)边学边练：1、计算：1+3+5+7+...+97+99+97+...+7+5+3+12、计算：1÷1999+2÷1999+3÷1999+...+1998÷1999+1999÷1999知识点四：在很多的问题中，通常都可以转化为等差数列来解决。

【例5】小王和小胡两人比赛赛跑，限时时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜，小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？边学边练：1、四（2）班有45个同学矩形一词联欢会，同学们在一起一一握手，且每两人只能握一次，问同学们共握多少次手？2、阳光影视城的一个放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每一排都比前一排多2个座位。

等差数列知识与方法：像（1）1，2，3，4，5，…；（2）10，20，30，40，50，…从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

在等差数列a1，a2，a3，…a n中，它的公差是d，那么a2=a1+da3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d…a n=a1+（n－1）×d（等差数列的通项公式）由此可见，等差数列从第2项起，每一项都等于第一项加上公差的若干倍，这个倍数等于这项的项数减1的差，利用它可以求出等差数列的任何一项。

例题1：求等差数列3，8，13，18......的第38项和第69项。

练习1：求等差数列1，4，7，10，13.....的第20项和第80项.练习2：超市工作人员在商品上依次编号，分别为4，8，12，16......，请问第34个商品上标注的是什么数字？第58个标注的是什么数字？例题2：36个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数总比前一个同学多报8，已知最后一个同学报的数是286，第一个同学报的数是几？练习1：仓库里有一叠被编上号的书，共40本，已知每下面一本书比上面一本书的号码多5，最后一本书的编号是225，请问第一本书的编号是多少？练习2：幼儿园给小朋友们发玩具，共32个小朋友，每人一个，每个玩具上都有编号，已知最后一个小朋友玩具编号是98，每一个玩具的编号比后一个玩具的编号少3，问第一个小朋友上玩具编号是多少？例题3：等差数列4，12，20......，中的580是第几项？练习1：等差数列3，9，15，21.....中381是第几项？练习2：糖果生产商为机器编号，依次为7，13，19，25......。

问编号为433的机器是第几个？例题4：一批货箱上面的标号是按等差数列排列的。

第1项是3.6，第5项是12，求它的第2项.练习1：有一个等差数列的第1项是2.4，第7项是26.4，求它的第5项.练习2：有一排用等差数列编码的彩色小旗，第1面小旗上的号码为3.7，第8面小旗上的号码为38.7。

（完整）五年级奥数：等差数列等差数列（1）1，2，3，4，5，6，7，8，…（2）2，4，6，8，10，12，14，16，…（3）1，4，9，16，25，36，49，…上⾯三组数都是数列。

数列中称为项，第⼀个数叫第⼀项，⼜叫⾸项，第⼆个数叫第⼆项……以此类推，最后⼀个数叫做这个数列的末项。

项的个数叫做项数。

⼀个数列中，如果从第⼆项起，每⼀项与它前⾯⼀项的差都相等，这样的数列叫等差数列。

后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。

如等差数列：4，7，10，13，16，19，22，25，28。

⾸项是4，末项是28，共差是3。

这⼀讲我们学习有关等差数列的知识。

例题与⽅法：例1、在等差数列1，5，9，13，17，…，401中401是第⼏项？例2、100个⼩朋友排成⼀排报数，每后⼀个同学报的数都⽐前⼀个同学报的数多3，⼩明站在第⼀个位置，⼩宏站在最后⼀个位置。

已知⼩宏报的数是300，⼩明报的数是⼏？例3、有⼀堆粗细均匀的圆⽊，堆成梯形，最上⾯的⼀层有5根圆⽊，每向下⼀层增加⼀根，⼀共堆了28层。

最下⾯⼀层有多少根？例4、1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+10=？例5、求100以内所有被5除余10的⾃然数的和。

例6、⼩王和⼩胡两个⼈赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。

⼩王第⼀秒跑1⽶，以后每秒都⽐以前⼀秒多跑0.1⽶，⼩胡⾃始⾄终每秒跑1.5⽶，谁能取胜？练习与思考：1.数列4，7，10，……295，298中，198是第⼏项？2.蜗⽜每⼩时都⽐前⼀⼩时多爬0.1⽶，第10⼩时蜗⽜爬了1.9⽶，第⼀⼩时蜗⽜爬多少⽶？3.在树⽴俄，10，13，16，…中，907是第⼏个数？第907个数是多少？4.求⾃然数中所有三位数的和。

5.求所有除以4余1的两位数的和。

6.0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+0 11+0 13+0 15+…0 99的和是多少？7.梯⼦最⾼⼀级宽32厘⽶，最底⼀级宽110厘⽶，中间还有6级，各级的宽度成等差数列，中间⼀级宽多少厘⽶？8.有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是12，求这12个数的和。

五年级奥数等差数列的认识与公式运用教师版一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示；和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ,分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=项,每组3个数,所以共45315÷=组,原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= 知识点拨教学目标五年级奥数等差数列的认识与公式运用教师版(思路2)这道题目,还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）,题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）,题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。

等差数列像（1）1,2,3,4，...（2）10,20,30，...这种从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列。

这种常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。

在等差数列n a a a ,,,21⋅⋅⋅中，它的公差是d ，那么由此可见，等差数列从第2项起，每一项都等于第一项加上公差的若干倍，这个倍数等于这项减1的差，所以d n a a n ⨯-+=)1(1。

这个公式我们称它为等差数列的通项公式，利用它可以求出等差数列中的任何一项。

例1 求等差数列3,8,13,18，...的第38项和第69项。

分析：在这个等差数列中，已知5,31==d a 得：=188 =343举一反三11.求等差数列1,4,7,10,13，...的第20项和第80项。

2.超市工作人员在商品上一次编号，分别为4,8,12,16，...请问第34个商品上标注的是什么数字？第58个呢?3.商店中推行打包促销活动，每6个商品为一包。

第一包中每个商品的编号一次是3,6,9,12,15,18；第二包中编号为21,24,27,30,33,36。

一次类推，请问第20包的第3个商品编号为多少？ 例2 36个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数总比前一个同学多报8，已知最后一个同学报的数是286，第一个同学报的数是几？分析：由题，同学们报的数是一个等差数列，286,8,36===n a d n ，要求1a 可用公式d n a a n ⨯-+=)1(1推导出：d n a a n ⨯--=)1(1举一反三21.仓库里有一叠编上号的书，共40本，已知每下面一本书都比上面一本书的编号多5，最后一本书的编号是225，问第一本书的编号是几？2.幼儿园给小朋友发玩具，共32个小朋友，每人一个，每个玩具商都有编号，已知最后一个小朋友玩具上的编号是98，前一个玩具的编号比后一个玩具的编号总少3，问第一个小朋友手上的玩具是多少号？3.学校举办运动会，共54个人参加，每人都有参赛号码，已知前一个人的号码比后一个人的号码总是少4，最后一个人的号码是215，第一个人的号码是多少？4.。

第五讲等差数列
例1、求等差数列：1，12，23，34，…中的第20项和第100项。

练习：1、举一反三1第2题。

2、举一反三1第2题。

例2、一等差数列：2，5，8，11，14，17，…，问2006是否在此数列中？如果在，那么它是这个数列的第几项？练习：3、举一反三2第2题。

4、举一反三3第2题。

例3、某班同学按等差数列报数，第1个同学报的是3，第7个同学报的是21，求第10个同学报的是几？
练习：5、举一反三4第2题。

6、有一个等差数列的第3项是6，第5项是10，求其首项。

例4、将一条绳子剪断，最短的一段长20厘米，最长的一段长216厘米，剩下的还有13段，各段绳子的长度成等差数列，求最中间的那一段的长度。

练习：7、举一反三5第2题。

8、举一反三5第3题。

例5、计算606605604603602601987654321-++-+++-++-++-+
练习：9、计算：123499100994321++++++++++++
10、小明读一本书，第一天读3页，以后每天比前一天多读3页，25天便读完了这本书，问这本书有多少页？
作业：（1,2题必做，第3题选做）
1、有一个等差数列，首项是4，公差是5，求其第20项。

2、小红读一本小说，每天读的页数成等差数列。

已知她第3天读了15页，第7天读了31页，问：小红第一天读了多少页？
3、一个数列 ,159,127,
95,63,31，问其第100项是多少？。

等差数列五年级奥数练习题等差数列是数学中常见的一种序列形式，它的每一个元素与前一个元素之间具有相等的差值。

在五年级奥数练习题中，等差数列也是一个常见的考点。

下面我们将介绍几个与等差数列相关的五年级奥数练习题。

练习题一：已知等差数列的前四项依次是2，5，8，11，求这个等差数列的通项公式。

解析：我们可以观察到这个等差数列的公差是3，第一项是2。

根据等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

代入已知条件可得：an = 2 + (n-1)3。

简化后得到通项公式为：an = 3n-1。

练习题二：已知等差数列的前五项依次是1，4，7，10，13，求这个等差数列的第十项。

解析：我们可以观察到这个等差数列的公差是3，第一项是1。

根据等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，代入已知条件可得：a10 = 1 + (10-1)3。

简化后得到第十项为：a10 = 28。

练习题三：已知等差数列的第五项是13，公差是4，求这个等差数列的前十项的和。

解析：我们可以观察到这个等差数列的公差是4，第五项是13。

根据等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项的和，a1表示第一项，an表示第n项。

代入已知条件可得：S10 = (10/2)(13 + a10)。

由于已知条件中只给出了第五项，我们需要根据公差和第五项求得第十项a10。

根据等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，代入已知条件可得：13 = a1 + (5-1)4。

解方程得到第一项a1为1。

将a1和公差d代入求和公式，得到S10 = (10/2)(13 + (1 + (10-1)4))/2。

简化后得到前十项的和为：S10 = 265。

练习题四：已知等差数列的前三项之和是12，公差是2，求这个等差数列的前十项的和。

解析：我们可以观察到这个等差数列的公差是2，前三项之和是12。

五年级奥数：等差数列的性质等差数列是数学中常见且重要的概念之一，在奥数竞赛中经常涉及。

本文将介绍五年级奥数中关于等差数列的性质，帮助孩子们更好地理解和应用这一概念。

等差数列的定义等差数列是指一个数列，其中每个数字与前一个数字的差都相等。

差值称为公差，通常用字母"d"表示。

用数学符号表示为：a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...其中，a是数列的首项，d是公差，每一项等于前一项加上公差。

等差数列的性质1. 公差的性质：在等差数列中，任意两项之间的差值都相等，所以公差是数列的重要特征。

公差可以为正、负或零。

2. 前n项和的性质：等差数列的前n项和可以用如下公式表示：S_n = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，S_n表示前n项和，a表示首项，n表示项数，d表示公差。

3. 通项的性质：等差数列中的每一项都可以用通项公式表示：a_n = a + (n-1)d其中，a_n表示第n项，a表示首项，n表示项数，d表示公差。

4. 等差数列的对称性：等差数列中，如果将首项与末项对调位置，公差的正负也会相应改变，但数列仍然保持等差。

5. 等差数列的中项：如果一个等差数列的项数n为奇数，那么数列中的第n/2 + 1项就是它的中项。

等差数列的应用在奥数竞赛中，等差数列经常用于解决数学问题，如找出某一项的值、计算前n项和等。

掌握了等差数列的性质和应用，可以帮助孩子们更好地解答相关题目。

例如，给定一个等差数列的首项为3，公差为2，求这个数列的前10项和。

可以利用前n项和的公式计算得出：S_10 = (10/2)(2*3 + (10-1)*2) = 55通过研究等差数列的性质和运用相关公式，孩子们可以更快速、准确地解答类似的问题。

总结等差数列是数学中的重要概念之一，在五年级奥数竞赛中经常出现。

掌握等差数列的性质和应用，可以帮助孩子们更好地理解和解决相关问题。

通过研究等差数列的定义、公式和特性，孩子们能够提高数学思维和解题能力。

等差数列（1） 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，⋯（2） 2， 4， 6， 8， 10，12，14， 16，⋯（3） 1， 4， 9， 16，25，36， 49，⋯上面三数都是数列。

数列中称，第一个数叫第一，又叫首，第二个数叫第二⋯⋯以此推，最后一个数叫做个数列的末。

的个数叫做数。

一个数列中，如果从第二起，每一与它前面一的差都相等，的数列叫等差数列。

后与前的差叫做个等差数列的公差。

如等差数列： 4，7，10，13， 16，19， 22，25，28。

首是 4，末是 28，共差是 3。

一我学有关等差数列的知。

例与方法：例1、在等差数列1，5，9，13，17，⋯，401中401是第几？例2、100 个小朋友排成一排数，每后一个同学的数都比前一个同学的数多 3，小明站在第一个位置，小宏站在最后一个位置。

已知小宏的数是 300，小明的数是几？例3、有一堆粗均匀的木，堆成梯形，最上面的一有 5 根木，每向下一增加一根，一共堆了28 。

最下面一有多少根？例4、1+2+3+4+5+6+⋯+97+98+99+10=？1例5、求100以内所有被5除余10的自然数的和。

例6、小王和小胡两个人跑，限定 10 秒，跑的距离就。

小王第一秒跑 1 米，以后每秒都比以前一秒多跑 0.1 米，小胡自始至每秒跑 1.5 米，能取？练习与思考：1.数列 4， 7， 10，⋯⋯ 295，298 中， 198 是第几？2.牛每小都比前一小多爬 0.1 米，第 10 小牛爬了 1.9 米，第一小牛爬多少米？3.在立俄， 10，13， 16，⋯中， 907 是第几个数？第 907 个数是多少？4.求自然数中所有三位数的和。

5.求所有除以 4 余 1 的两位数的和。

6. 0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+0 11+0 13+0 15+⋯0 99的和是多少？27.梯子最高一 32 厘米，最底一 110 厘米，中有 6 ，各的度成等差数列，中一多少厘米？8. 有 12 个数成等差数列，第六与第七的和是12，求 12 个数的和。