正(余)弦定理的三角形问题

余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。

在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。

一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。

它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。

1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。

这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。

例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。

根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。

进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。

因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。

2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。

例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。

根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。

计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。

通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。

它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。

二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。

专题02 运用正余弦定理解决三角形问题一、题型选讲题型一 正余弦定理在三角形中的运用正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，在三角形中要恰当的选择正余弦定理，但是许多题目中往往给出多边形，因此，要咋爱多边形中恰当的选择三角形，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。

例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．解析：（1）在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈，所以3sin 5A =．同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． （2）在ABC △中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=．又3AD DB =，所以154BD AB ==． 在BCD △中，由余弦定理得，CD =AB D==例2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值； (2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．解析： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C →＝5013×10＝513. (2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513.因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD ) ＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.题型二 运用正余弦定理解决边角问题正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。

正弦定理与余弦定理解三角形5大题型“解三角形”是每年高考常考内容，在选择题、填空题中考查较多，有时也会出现在解答题中。

对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；而是考查两个定理的综合应用，多与三角变换、平面向量等知识综合命题。

以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为容易题、中档题。

一、解三角形中常用结论及公式1、解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理：A+B+C=π.（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>.2、诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；3、三角形中，最大的角不小于3π，最小的角不大于3π.二、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a 是三角形中最长的边，则（1）若0222>-+a c b ，则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0222=-+a c b ，则ABC ∆是直角三角形；（3）若0222<-+a c b ，则ABC ∆是钝角三角形；或（1）若0sin sin sin 222>-+A C B ,则ABC ∆是锐角三角形；（2）若0sin sin sin 222=-+A C B ,则ABC ∆是直角三角形；（3）若0sin sin sin 222<-+A C B ,则ABC ∆是钝角三角形；三、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。

正余弦定理在解决三角形问题中的应用高考考纲要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；能利用计算器解决三角形的计算问题。

知识点归纳：1．正弦定理：形式一：R 2Csin cB sin b A sin a ===； 形式二：R 2a A sin ＝；R 2b B sin ＝；R2cC sin ＝；（角到边的转换）形式三：A sin R 2a ⋅=，B sin R 2b ⋅=，C sin R 2c ⋅=；（边到角的转换）形式四：B sin ac 21A sin bc 21C sin ab 21S ===；（求三角形的面积）解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。

若给出A ,b a ，那么解的个数为：无解（A sin b a <）；一解（A sin b a A sin b a ≥=或者）；两解（b a A sin b <<）；2．余弦定理：形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，Ccos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3、角平分线定理：DC AD BC AB = ；其中BD 为角B 的角平分线。

典型例题分析：一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若a 2tanB=b 2tanA ；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos Asin2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0∴ A + B=90o 或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBcosC;解: 由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,故△ABC 是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解：(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1[2sin 2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – [2cos 2B A +cos 2B A -+ 2cos 22C - 1]=0[2sin2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – 2cos 2B A +cos 2B A - - 2sin 22B A +=0(sin2B A +- cos 2B A +)(cos 2B A -- sin 2B A +)=0sin(2B A + - 4π)sin 4B C A -+sin 4C B A --=0△ABC 是Rt △。

专题4-3 正余弦定理与解三角形小题归类目录一、热点题型归纳【题型一】正余弦定理 .............................................................................................................................. 2 【题型二】求角 .......................................................................................................................................... 3 【题型三】判断三角形形状 ...................................................................................................................... 4 【题型四】面积与最值 .............................................................................................................................. 6 【题型五】周长与最值 .............................................................................................................................. 8 【题型六】角的最值 .................................................................................................................................. 9 【题型七】最值 ........................................................................................................................................ 11 【题型八】切弦互化求最值 .................................................................................................................... 13 【题型九】解三角形应用题 .................................................................................................................... 14 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 17 三、模拟检测 .. (22)正余弦定理(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 为 外接圆半径 ；注意：正弦定理变式与性质：①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②正弦化边：sin A sin B sin C ＝c2R ； ③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；④a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝ 2R ；(2)余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； ②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(3)三角形面积 ：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc4R②S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径) 三角形中：①sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；②sinA ＋B 2＝cosC 2， cos A ＋B 2＝sin C2；③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；④a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A ＜cos B ．【题型一】正余弦定理【典例分析】（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤ 【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ，又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭， 所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b a c ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D1..（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且656cos a c b C =+，则cos B =（ ）A ．78B ．56C ．34D ．23【答案】B【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得cos B ． 【详解】由656cos a c b C =+，边化角得6sin 5sin 6sin cos A C B C =+， 又()sin sin A B C =+，所以()6sin 5sin 6sin cos B C C B C +=+， 展开得6sin cos 6cos sin 5sin 6sin cos B C B C C B C +=+，所以6cos sin 5sin B C C =， 因为sin 0C >，所以5cos 6B =．故选：B ． 2.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，60,3,90C AC B ==>，则ba 的可能取值为（ ） A ．23B ．43 C ．53D ．73【答案】D【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于A 的三角函数，求出范围即可得结果. 【详解】因为60,3,90C AC B ==>，所以030A <<，0tan A <<1tan A >()1sin sin sin 11222sin sin sin 2tan A AA C bB a A A A A +====>，则b a 的可能取值为73，故选：D. 3.面积（无最值型）【题型二】求角【典例分析】（2022·山西吕梁·三模（文））在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()(),6b c b c ac C π+-==，则B =（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【分析】由22b c ac =+结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出sin 2sin cos sin A C B C -=，再由内角和定理以及三角恒等变换得出B .【详解】由()()b c b c ac +-=得22b c ac =+，结合余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为()()sin 2sin cos sin 2sin cos sin A C B B C C B B C -=+-=-， 所以()sin sin B C C -=，所以B C C -=，得2B C =．因为6C π=，所以3B π=．【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC中，30,1B a b ===，则A 等于（ ） A ．45 B ．135C ．45或135D ．120 【答案】C【分析】根据正弦定理，结合三角形中的边角关系，即可求得答案.【详解】由正弦定理sin sina b A B=,得1sin 2sin 12a B Ab ===， 因为1,(0,π)a b A ==∈，故45A =或135， 故选：C2.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C ．2D ．1【答案】A【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角C ，由此可求sin 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为()22a b c =+-，又in 12s S ab C =，所以222sin 2C ab a b c -=+-，22212a b c C ab +--=，又222cos 2a b c C ab+-=cos 1C C -=，所以1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,C π∈，所以3C π=，所以sin =sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎭⎝⎭所以sin 44C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.3.（2023·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+2sin 0A B -=，则sin C = （ ）A ．12B C D 【答案】C【分析】根据给定条件利用正弦定理角化边，求出角A ，再求出角B 即可计算作答.【详解】在ABC 中，由22(sin sin )sin (2sin B C A B C +=+及正弦定理得：22()(2b c a bc +=+，即222b c a +-=，由余弦定理得：222cos 2b c a A bc +-==0180A <<，解得135A =，2sin 0A B -=得1sin 2B A ==，显然090B <<，则30B =，15C =，所以6sin sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 454C -=-=-=. 故选：C【题型三】判断三角形形状【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c -=且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形【答案】A【分析】由222a b c -=结合余弦定理可求得π4A =，由cos sin =b C a B 结合正弦定理可求得π4C =，从而可判断出三角形的形状【详解】由222a b c -=，得222b c a +-，所以由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===， 因为(0,π)A ∈，所以π4A =，因为cos sin =b C a B ，所以由正弦定理得sin cos sin sin B C A B =，因为sin 0B ≠，所以πcos sin sin 4C A ===，因为(0,π)C ∈，所以π4C =，所以πππππ442B AC =--=--=,所以ABC 为等腰直角三角形， 故选：A【变式演练】1..(2021·广东·高三阶段练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】先依据条件222b c a bc +=+求得π3A =，再利用2sin sin sinBC A =可以求得b c =，从而判断△ABC 的形状是等边三角形【详解】△ABC 中，222b c a bc +=+，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== 又0πA <<，则π3A =由2sin sin sin B C A =，可得2a bc =，代入222b c a bc +=+则有222b c bc bc bc +=+=，则()20b c -=，则b c = 又π3A =，则△ABC 的形状是等边三角形故选：C2.（2023·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（ ）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B =，而cos cos a b A B =，△ sin sin cos cos A B A B=，即tan tan A B =，又△A 、B 为ABC ∆的内角，△A B =，又△222c a b ab =+-，△222ab a b c =+-，△由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，△3C π=，△ABC ∆为等边三角形.故选：B.3.（2023·全国·高三专题练习）已知三角形ABC ，则“222cos cos cos 1A B C +->”是“三角形ABC 为钝角三角形”的（ ）条件.A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【分析】利用同角的三角函数的基本关系式、正余弦定理可判断两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.【详解】因为222cos cos cos 1A B C +->，故2221sin 1sin 1sin 1A B C -+--+>， 故222sin sin sin C A B >+，故222c a b >+，故222cos 02a b c C ab+-=<，而C 为三角形内角，故C 为钝角，但若三角形ABC 为钝角三角形，比如取2,63C B A ππ===，此时2221cos cos cos 14A B C +-=<，故222cos cos cos 1A B C +->不成立，故选：A.【题型四】面积与最值【典例分析】（2021·江苏·高三课时练习）在锐角三角形ABC 中,cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C +=，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）AB ．C ．D ．【答案】Ccos 2B B +=结合同角三角函数基本关系，可求出B ，根据正余弦定理由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C +=可得b ,再利用余弦定理及均值不等式求ac 最大值，代入面积公式即可.cos 2B B +=得cos 2B B =,所以2221cos sin 44sin B B B B =+=+-，即2(2sin 0B =,解得sin B =由锐角三角形知3B π=,cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=， 22222222a c b a b c abc abc +-+-∴+=，即222a abc =b =2222126cos 122a c b ac B ac ac ac+--∴=≥=-，当且仅当a c =时等号成立，解得12ac ≤，11sin 1222ABC S ac B ∆=≤⨯=当且仅当a c =时等号成立，故选：C【变式演练】1.（2020·全国·高三课时练习）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，b =且ABC ∆面积为222)S b a c --，则ABC ∆面积S 的最大值为( ) A．2 B．4-C．8-D．16-【答案】B【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ，可得cos B ，sin B 的值，由余弦定理，基本不等式可求8(23)ac -，根据三角形的面积公式即可求解其最大值． 【详解】解：222331()(2cos )sin12122S b a c ac B ac B =--=-=，tan B ∴=，56B π=，cos B=，1sin 2B =， 又22b =228(23)a c ac =++，88(223ac∴=+， 当且仅当a c =时取等号，111sin 8(24222ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=- ∴面积S 的最大值为4-B ．2.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a bkab +=，则△ABC的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】B【分析】由三角形的面积公式，可得2sin c ab C =， 根据余弦定理，可得22sin 2cos a b ab C ab C +=+，则整理出以k 为函数值的三角函数，根据三角函数的性质，可得k 的最值.【详解】由题意得21sin 22ABC c S ab C ==，所以2sin c ab C =，又因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos sin 2cos a b c ab C ab C ab C +=+=+，所以()22sin 2cos a b k C CC abϕ+==++，其中tan 2ϕ=，且0k >， 所以k 的取值范围为(，故选：B. 3.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若8,sin 2sin cos 0ac B C A =+=，则ABC 面积的最大值为( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 【答案】C【分析】根据sin 2sin cos 0B C A +=利用三角恒等变换和正余弦定理得到2222b a c =-，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据1sin 2ABC S ac B =可求△ABC 面积的最大值．【详解】sin 2sin cos 0B C A +=，()sin 2sin cos 0A C C A ∴++=，即sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C C A ++=， 即sin cos 3cos sin 0A C A C +=，则2222223022b a c b c a a c ab bc+-+-⋅+⨯⨯=，理得2222b a c =-， △2222222223232cos 2244a ca c a cb ac ac B ac ac ac ac -+-+-+====当且仅当a 2=3c 2⇔c =√√3a =√8√3时取等号，π10sin 62B B ⎛⎤∴∈∴ ⎥⎝⎦，，， 则111sin 82222ABCS ac B =⨯⨯=．故选：C ．【题型五】周长与最值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin cos 6A A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．[)6,8B ．[]6,8C ．[)4,6D ．[]4,6【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得3sin A π+=（），结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =- ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】△ sin 6A cos A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭12sinA sinA ∴-=可得：3sin A π+=（）40333A A ππππ∈+∈（，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=，△4b c +=， △由余弦定理可得222222163a bccosA b c bc bc bc =-=+--=-（），△由4b c +=，b c +≥，得04bc ≤＜，△2416a ≤＜，即24a ≤＜．△ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．故选：A ．【变式演练】1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sinA +cos(A +π6)=√32，b +c =4，则ABC ∆周长的取值范围是 A ．[6,8) B ．[6,8] C ．[4,6) D ．(4,6]【答案】A 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin （A +π3）=√32，结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得a 2=16−3bc ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围． 【详解】△sinA +cos(A +π6)=√32，∴sinA +√32cosA −12sinA =√32，可得：sin （A +π3）=√32，∵A ∈（0，π），A +π3∈（π3，4π3），∴A +π3=2π3，解得A =π3，△b +c =4，△由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =（b +c ）2−2bc −bc =16−3bc ，△由b +c =4，b +c ≥2√bc ，得0＜bc ≤4，△4≤a 2＜16，即2≤a ＜4． △ABC 周长L =a +b +c =a +4∈[6，8） ．故选A ．2.（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinsin 2B Cb a B +=，a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故b c +≤b c ==.故△ABC 周长的最大值为a b c ++故答案为：3.（2022·全国·高三专题练习）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin Aa ==，则该三角形周长的最大值为___________.【分析】利用正弦定理化简式子，求出tan B 的值，进而求出B 的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求出a c +≤.【详解】由正弦定理变形有：sin sin A B a b =，又因为sin A a ==sin B B =，则tan 3B B π=2=1b ===又因为()()()()222222212cos 3344a cb ac ac B a c ac a c a c +=+-=+-≥+-⋅=+，所以()2264464a cb ac +≤=⨯=⇒+≤ “a c =”时取等.则该三角形周长的最大值为a b c ++==.【题型六】角的最值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c sin C ＝(a ＋b )(sin B －sin A )，则当角C 取得最大值时，B ＝（ ） A ．3π B ．6πC ．2π D ．23π【答案】D 【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理与基本不等式求得C 的最大值，再通过三角形的形状，即可求得此时对应的B .【详解】由正弦定理得2c 2＝(a ＋b )(b －a )，即b 2－a 2＝2c 2．又cos C ＝2222a b c ab +-＝2234a b ab +当且仅当3a 2＝b 2，即b 时，cos C C 取到最大值6π.当b 时，3a 2－a 2＝2c 2，则a ＝c ．所以A ＝C ＝6π，从而B ＝π－A －C ＝23π．故选：D .【变式演练】1.（2022·安徽淮南·一模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数()()322213f x x bx a c x =+++无极值点，则角B 的最大值是（ ）A ．34πB ．2πC ．4π D ．6π【答案】A【分析】由题知()()22220f x x bx a c '=+++=无解或有两个相等的解，即()()222240b a c ∆=-+≤，再由余弦定理得角B 的范围．【详解】解：因为()()322213f x x bx a c x =+++无极值点，所以()()22220f x x bx a c '=+++=无解或有两个相等的解，所以()()222240b a c ∆=-+≤，所以222cos 2a c b B ac +-=≥，因为()0,B π∈，所以304B π<≤．故选：A2. 2.（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2sin sin sin a A c C b B +=，则角A 的最大值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【答案】A【分析】根据正弦定理先将角化边，再运用余弦定理和基本不等式得到cos A 的范围进而得到最后的结果 【详解】因为2sin sin sin a A c C b B += 所以2222a c b +=，进而可得2222a b c =-2222222221()32cos 224b c b c b c a b c A bc bc bc+--+-+===因为223b c +≥=，当且仅当b =时等号成立所以cos A ≥=又因为(0,)A π∈所以角A 的最大值为6π故选：A3.已知锐角△ABC 中,角、、A B C 对应的边分别为a b c 、、,△ABC的面积)222S a b c =+-,若24)tan bc a b B -=（, 则c 的最小值是ABCD【答案】C 【详解】分析：利用余弦定理列出关系式，代入已知等式中，并利用三角形面积公式化简求出C 的度数，再对24)tan bc a b B -=（进行化简整理，最后利用基本不等式求得.详解：)2221cos sin 2S a b c C ab C =+-==，即tan C =，6C π∴=.又A B C π++=，56A B π∴+=,又△ABC 为锐角三角形，∴025062B B πππ<<<-<，解得32B ππ<<， ∴)tan B ∈+∞，又24)tan bc a b B -=（，5sin 24246tan 242424242424sin sin B bc a a sinA B c c c b b B Bπ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴==-=-=-， 即1tan 24242tan B c B ⎛=- ⎝⎭1224tan tan c B B ∴-+≥=，当且仅当12tan tan B B =，即tan B =.24c ∴-≥c ≥故选C.【题型七】最值【典例分析】在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则22a cca c ac a +++的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．14D ．4 四川省成都市成都市石室中学2020-2021学年高三下学期期中数学试题 【答案】A【分析】由1sin 2ABC S ac B =△可解得4ac =，结合基本不等式，知24a c ac +=；经过变形化简可将原式整理为222()2()a c a c ac ca c ac a ac a c +-+=+++，令t a c =+，则[4t ∈，)+∞，2818()()44t f t t t t-==-，结合函数的单调性即可得解．【详解】由1sin 2ABC S ac B =△可知，11122ac =⨯，解得4ac =，由基本不等式得，24a c ac +=．22222()2()()()()a c a c a c a c acca c ac a c a c a c a ac a c ac a c ++-+=+==++++++， 令t a c =+，则[4t ∈，)+∞，∴222818()()44a c t f t t ca c ac a t t-+===-++，在[4，)+∞上单调递增， ()min f t f ∴=（4）12=，即22a c ca c ac a +++的最小值为12． 故选：A ．【变式演练】1..锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2sinA(acosC +ccosA)=√3a ，则cb 的取值范围是（ ） A ．(12,2)B ．(√33,2√33)C ．(1,2)D ．(√32,1)【答案】B【分析】根据正弦定理，结合2sinA(acosC +ccosA)=√3a 可求得角B ．又由三角形为锐角三角形，求得角C 的取值范围，即可求解．【详解】由正弦定理得，2sinA(sinAcosC +sinCcosA)=√3sinA ⇒sin(A +C)=√32⇒B =π3又∵A,C ∈(0,π2)∴π6<C <π2⇒12<sinC <1⇒c b=sinC sinB=2√33sinC ∈(√33,2√33) 故选B.2.在锐角ABC ∆中，A =2B ，则ABAC 的取值范围是A ．(−1,3)B ．(1,3)C ．(√2,√3)D ．(1,2)【答案】D【分析】根据在锐角ABC ∆中，每个角都是锐角确定B 的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求出范围即可.【详解】在锐角ABC ∆中，{0<2∠B <π20<∠B <π20<π−3∠B <π2可得π6<∠B <π4，cosB ∈(√22,√32),cos 2B ∈(12,34)，所以由正弦定理可知AB AC=cb =sinC sinB=sin3B sinB=3sinB−4sin 3BsinB=3−4sin 2B =4cos 2B −1∈(1,2)，故选D.3.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S，若222c a b S --b a 的取值范围为A ．（0，+∞）B ．（1，+∞） C ．(0D．)+∞【答案】A 【分析】根据222c a b S --=2222a b c C ab +-=,可得cos C C =,可得tan C =可得23C π=,再利用正弦定理可得sin sin b B a A =,12,根据A 的范围可得答案.【详解】由222c a b S --=得2221sin2a b c ab C +-= ,所以2222a b c C ab +-=,所以cos C C =,所以tan C =又0C π<<,所以23C π=, 所以sin()sin cos cos sin )sin 333sin sin sin A A A b B a A A A πππ--===1sin 122sin 2A AA -=,因为03A π<<,所以0tan A <<所以1tan A >所以102b a >=, 所以ba 的取值范围为(0,)+∞.故选:A【题型八】切弦互化求最值【典例分析】ABC 中，角,,A B C 的对边长分别为a,b,c ，若acosB −bcosA=35c ，则tan (A −B )的 最大值为 ( ）A ．43B ．1C ．34D 【全国百强校】黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题 【答案】C 【分析】利用正弦定理，将已知等式化简整理得sinAcosB =4sinBcosA ，两边同除以cosAcosB ，得到tanA =4tanB ，利用两角差的正切公式，得tan (A −B )=31tanB+4tanB，最后利用基本不等式求最值 . 【详解】∵acosB −bcosA =35c ，∴结合正弦定理与sinC =sin (A +B )，可得sinAcosB −sinBcosA =35(sinAcosB +cosAsinB )，整理得sinAcosB =4sinBcosA ， 同除以cosAcosB ，得tanA =4tanB ，由此可得tan (A −B )=tanA−tanB 1+tanAtanB =3tanB 1+4tan 2B =31tanB+4tanB ，∵A,B 是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，∴A,B 都是锐角，即tanA >0,tanB >0，∴tan (A −B )=31tanB+4tanB ≤34，当且仅当1tanB=4tanB ，即tanB =12时，tan (A −B )的最大值为34，故选C.【变式演练】1.在ABC ∆中，若111tan tan tan B C A+=，则cos A 的取值范围为 A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】分析：由已知等式正切化为弦，可得2sin cos sin sin AA B C=，结合正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得cos A的最小值，从而可得结果.详解：111tan tan tan B C A +=，cos cos cos sin sin sin B C A B C A ∴+=，可得sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin sin C B C B A A B C B C A +==， 2sin cos sin sin A A B C ∴=，又22,cos sin sin sin a b c a R A A B C bc ====，22222b c a a bc bc+-∴=，可得2223a b c =+，222222222223cos 22333b c b c b c a b c bc A bc bc bc bc ++-+-+∴===≥=，cos A ∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B. 2.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若a 2+b 2=2014c 2，则2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)的值为A ．2013B ．1C ．0D ．2014【答案】A 【分析】由a 2+b 2=2014c 2，利用余弦定理可得a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinA cosA ⋅sinBcosB sinC cosC (sinA cosA +sinBcosB)=2sinAsinBcosC sinCsin(A+B)=2abcosCc 2即可得出．【详解】△a 2+b 2=2014c 2，△a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ． △2tanA⋅tanBtanC(tanA+tanB)=2sinA cosA ⋅sinBcosB sinC cosC (sinA cosA +sinBcosB)=2sinAsinBcosC sinCsin(A+B)=2abcosCc 2=2013．故答案为：A3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则1tanA−1的取值范围是A ．⎛ ⎝⎭B ．(1,√2)C ．(2√33,√2) D ．(1,+∞)【答案】A根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、B 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围. 【详解】因为b 2−a 2=ac ，所以c 2−2accosB =ac ∴c −2acosB =a ∴sinC −2sinAcosB =sinA,sin(A +B)−2sinAcosB =sinA,∴sin(B −A)=sinA ∴B −A =A,B =2A因此1tanA−1tanB=1tanA−1tan2A=1tanA−1−tan 2A 2tanA=1+tan 2A 2tanA=12(tanA +1tanA), 因为ΔABC 为锐角三角形，所以0<A <π2,0<B =2A <π2,0<C =π−B −A =π−3A <π2∴π6<A <π4,√33<tanA <1因为y =12(x +1x )在(√33,1)上单调递减，所以1tanA−1tanB∈(1,2√33)，选A.【题型九】解三角形应用题【典例分析】（2022·江苏·高三课时练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（ ）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A B C D 【答案】D【分析】由题可得，20BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，分类讨论，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，可求出PP '和'AP ，从而可得出2320tan 225xx θ-=+，利用函数的单调性，可得出0x =时，取得最大值；若P '在CB 的延长线上，同理求出PP '和'AP ，可得出220tan 225x x θ+=+454x =时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．【详解】解：15,25AB cm AC cm ==，AB BC ⊥，由勾股定理知，20BC =，过点P 作PP BC '⊥交BC 于P '，连结'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x ''=︒-，在直角ABP '△中，AP '220tan 225x x θ-∴+令y =，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴=时，；若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x ''=︒+，在直角ABP '△中，AP '220tan 225xx θ+∴+22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =. 故答案为：539．【变式演练】1.（2022·全国·高三课时练习）如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（ ）A ．)201千米B ．)401千米C ．)201D ．)401【答案】D【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到(22AB ab ≥，使用正弦定理及三角恒等变换得到ab ≥AB 的最短距离. 【详解】在ABC 中，135AOB ∠=︒，设,AO a BO b ==，则(222222cos1352AB a b ab a b ab =+-︒=+≥，当且仅当a b =时取等号，设BAO α∠=，则45ABO α∠=︒-，又O 到AB 的距离为20千米，所以20sin a α=，()20sin 45b α=︒-，故()400sin sin 45ab αα=︒-（22.5α=︒时取等号），所以)221600216001AB ≥=，得)401AB ≥，故选：D2.在一座尖塔的正南方地面某点A ，测得塔顶的仰角为2230'︒，又在此尖塔正东方地面某点B ，测得塔顶的仰角为6730︒'，且A ，B 两点距离为540m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为（ ） A ．90m B ．100m C ．110m D ．270m 【答案】A 【分析】作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项. 【详解】如下图所示，设,,OC z OA x OB y ===，则222540x y +=，22.5,67.5OAP OBP ∠=∠=，则22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-，解得tan 22.521=，22tan 67.5tan13511tan 67.5==--，解得tan 67.52+1=，所以222540+=，解得z =所以1x ==)y ==要使点C 处测得塔顶的仰角为最大，则需tan PCO ∠最大，也即需OC 最小，所以OC AB ⊥，又1122ABOSOA OB AB OC =⨯⨯=⨯⨯，即(90540OA OB OC AB ⨯===， 所以C 点到塔底O 的距离为90m ，故选：A.3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4米，沿AC 折叠使B 到B′位置，AB′交DC 于P ，研究发现，当ΔADP 的面积最大时最节能，则最节能时ABCD 的面积为A ．3−2√2B ．C ．2(√2−1)D ．2【答案】C 【分析】本题可以先通过设AB 、DP 分别为x 、y ，再通过题目所给信息以及AD 2+DP 2=PA 2得出x 、y 之间的关系，然后通过ΔADP 的面积列出算式，当其最大时求出AB 的值，最后得出结果． 【详解】设AB 为x ，DP 为y ，因为四边形ABCD 是周长为4的长方形，AB 为x 所以AD 为2−x ，DC 为x ， 因为DP 为y ，所以PC 为x −y ， 由题意可知，PC =PA ，所以有AD 2+DP 2=PA 2，即(2−x )2+y 2=(x −y )2，化简得y =2−2x ， 所以S ΔADP =12(2−x )(2−2x )，化简得S ΔADP =3−(2x +2)，所以当x =√2时ΔADP 面积最大，此时S ABCD =√2(2−√2)=2(√2−1)，故选C ．1．（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C sin cos c B A =，则tan A 等于（ ）A ．3B ．13-C ．3或13- D ．-3或13【答案】A【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===，sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅，sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A. 2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A．1 B C D ．3 【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.3．（2020·全国·高考真题（文））在△ABC 中，cos C =2，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .B 【详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）A ．19B ．13 C ．1 D ．72【答案】D【分析】根据正弦定理边化角求解即可.【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D5．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =.故选：A.6．（2019·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,46422422b c a c c c b A bc bc c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．7．·湖南·高考真题（文））在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A B C D 【答案】B2sin 60sin A A A =⇒==所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=则BC 边上的高h C ===，应选答案B .点睛：解答本题的思路是先运用正弦定理求出cos A ，再运用两角和的正弦公式求得sin C =，再解直角三角形可求得三角形的高h C =，从而使得问题获解.8．（2018·全国·高考真题（理））ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【详解】分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABC a b c S absinC +-==所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.9.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S =a ，b ，c 是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S =S10．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________．1##-【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++44≥=- 当且仅当311m m+=+即1m =时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m =-.故答案为：31-.11．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理：22212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，得BC =△ABC 3sin 3=.故答案为 12．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 60B =︒，223a c +=，则b =________． 【答案】【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，1sin 2ABC S ac B ==，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =.故答案为：13．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185或0 【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】△,,A D P 三点共线，△可设()0PA PD λλ=>，△32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，△32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫-⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，△321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=，△9AP =，△3AD =，△4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，△5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.△根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，△()cos cos 0θπθ+-=，△()()2570665x x x --+=-，解得185x =，△CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185. 14．（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB △AC ，AB △AD ，△CAE =30°，则cos△FCB =______________.【答案】14-【分析】在ACE 中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ，同理得BD BF BD ∴==ACE 中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=，1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-.15．（2019·全国·高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.【答案】34π.【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．16．（2019·全国·高考真题（理））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC的面积为__________.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=1.（2022·江西·模拟预测（文））在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足1cos A A +=，sin 6cos sin A B C =，则bc的值为（ ）A ．1B ．1+C ．1+D ．1+【答案】A【分析】由题设化简1cos A A +=可得120A =︒，余弦定理结合sin 6cos sin A B C =可得(1b c =，即可得出答案.【详解】由题设可得22sin cos 222A A A =，即tan 2A ，则120A =︒，故由余弦定理可得222a b c bc =++；。

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。

C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形： （1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角： （3）已知两边和它们所夹的角： （4）已知三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得 AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。

它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。

在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。

一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。

正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。

2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。

3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。

4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。

由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。

二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。

它可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

直角三角形的正弦定理和余弦定理直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，我们可以利用正弦定理和余弦定理来求解各边长和角度的关系。

本文将详细介绍直角三角形的正弦定理和余弦定理，并给出应用实例。

一、正弦定理在直角三角形中，正弦定理可以用来求解三角形的边长比例关系。

正弦定理的表达式为：sin(θ) = 对边/斜边，其中θ表示一个角的度数。

例如，假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，我们可以使用正弦定理来求解边长比例。

正弦定理的表达式为：sin(θ) = a/c 或者sin(θ) = b/c。

应用实例：已知一直角三角形的直角边长a为3，斜边c为5，我们可以利用正弦定理求解另一个直角边长。

根据正弦定理可得：sin(θ) = a/c，代入已知的数值得：sin(θ) = 3/5，通过反正弦函数求解得角度θ的值。

二、余弦定理在直角三角形中，余弦定理可以用来求解三角形的边长平方和角度之间的关系。

余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcos(θ)，其中θ表示一个角的度数。

例如，假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，我们可以使用余弦定理来求解边长和角度之间的关系。

余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcos(θ)。

应用实例：已知一直角三角形的直角边长a为3，斜边c为5，我们可以利用余弦定理求解另一个直角边长。

根据余弦定理可得：c² = a² + b² -2abcos(θ)，代入已知的数值得：5² = 3² + b² - 2(3)(b)cos(θ)，将已知数值代入并整理得到一个二次方程。

解这个二次方程可以求解出另一个直角边长b的值。

总结：直角三角形的正弦定理和余弦定理为解决三角形问题提供了便利的工具。

通过应用正弦定理和余弦定理，我们可以求解直角三角形中的各边长和角度之间的关系。