河南专升本高等数学试题(含答案)

数学河南专升本试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(1)的值：A. -2B. -1C. 0D. 13. 根据题目，若a>b>0，那么下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a^3 > b^3C. a^4 > b^4D. a > b4. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值：A. 9B. 11C. 13D. 155. 若cosθ=0.6，0°<θ<90°，则sinθ的值是：A. 0.8C. 0.7D. 0.96. 根据题目，若x^2-5x+6=0，则x的值为：A. 2B. 3C. 1, 2D. 1, 67. 已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,-1)，且a>0，则a的值是：A. 1/4B. 1/2C. 1D. 28. 根据题目，若sinx=1/√2，x∈[0,2π]，则x的值为：A. π/4B. 3π/4C. π/2D. 5π/49. 根据题目，若方程x^2+4x+4=0有实数根，则判别式的值为：A. 0B. 4C. 16D. -1610. 已知正弦函数y=sin(x)的周期是：A. πC. 3πD. 4π二、填空题（每题2分，共20分）11. 根据题目，若x+y=10，x-y=2，则x^2+y^2的值为________。

12. 已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第4项a4的值是________。

13. 根据题目，若直线y=3x+2与x轴的交点坐标为________。

14. 根据题目，若圆的半径r=5，圆心坐标为(0,0)，则圆的方程是________。

15. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值为________。

河南省专升本（高等数学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数f(x)=的定义域为( )A．x≠0，x≠-3B．x&gt;0C．x&gt;-3D．x≥-3且x≠0正确答案：D解析：使函数有意义，需lg(4+x)≥0且x≠0，即4+x≥1且x≠0，所以x≥-3且x≠0．2．下列各对函数中相同的是( )A．y=，y=x+4B．y=，y=xC．y=lgx4，y=4lgxD．正确答案：D解析：对于A，第一个函数的定义域为x≠4，第二个函数的定义域为全体实数；对于B，第一个函数值域为y≥0，第二个函数值域为全体实数；对于C，第一个函数的定义域为x≠0，第二个函数的定义域为x＞0；对于D，两个函数的定义域、值域、对应法则都相同，所以选D.3．当x→∞时，f(x)=( )A．是无穷小量B．是无穷大量C．有界，但不是无穷小量D．无界，但不是无穷大量正确答案：A解析：当x→∞时，是无穷小量，而是有界变量，所以当x→∞时，f(x)=是无穷小量．4．f(x)=的第二类间断点个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：f(x)=有三个间断点，分别为-1，0，1，因为=∞，所以x=-1是垂直渐近线；又=0，所以x=1不是渐近线；又=-1，所以x=0不是渐近线；又因为=1，y=1是水平渐近线．5．设f(x)=在x=1处连续且可导，则a，b的值分别为( )A．a=-2，b=-1B．a=-2，b=1C．a=2，b=-1D．a=2，b=1正确答案：C解析：因为f(x)在x=1处连续，所以，所以a+b=1；又因f(x)在x=1处可导，所以，整理=2，利用洛必达法则得a=2，所以b=-1．6．下列函数在x=0处可导的是( )A．y=｜3sinx｜B．y=3lnxC．y=｜5x｜D．y=｜6cosx｜正确答案：D解析：对于D，从y=｜6cosx｜图象能看出在x=0处切线为y=6，所以y=｜6cosx｜在x=0处可导．7．下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：对于D，y=在[1，e]上连续，在(1，e)内可导，所以满足拉格朗日定理．8．y=x3(x-2)的拐点的个数为( )A．1B．2C．3D．无拐点正确答案：B解析：y’=3x2(x=2)+x3=4x3-6x2，y’’=12x2-12x=12x(x-1)，当x＜0时，y’’>0；当01时，y’’>0；所以(0，0)，(1，-1)为拐点．9．y=2+的渐近线( )A．只有水平渐近线B．只有垂直渐近线C．既有水平渐近线又有垂直渐近线D．无渐近线正确答案：C解析：因为=3，所以y=3为水平渐近线；又因=+∞，所以x=0为垂直渐近线．10．下列函数中是同一函数的原函数的是( )A．lgx3，lg3xB．arccosx，arcsinxC．sin2x，sin2xD．cos2x，2cos2x正确答案：D解析：同一个函数的原函数只相差一个常数，所以选D.11．设，且f(0)=1，则f(x)= ( )A．e3xB．e3x+1C．3e3xD．正确答案：A解析：对于，两边同时求导，得f(x)=f’(x)，整理得，=∫3dx，所以f(x)=Ce3x，又因为f(0)=1，所以C=1，即f(x)=e3x12．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：对于D，，所以选D.13．设f(x)在[a，b]上连续，则f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积等于( )A．B．C．D．正确答案：D解析：根据定积分的几何意义，知应选D.14．直线与平面4x-2y-2z-3=0的位置关系是( ) A．直线与平面垂直B．直线与平行平面C．直线与平面斜交D．直线在平面内正确答案：B解析：直线的方向向量为={2，7，-3}，平面的法向量为=｛4，-2，-2}，因=2×4+7×(-2)+(-3)×(-2)=0，故这两个向量垂直，即直线与平面平行或重合，又直线过定点(-3，-4，0)不在平面上，所以直线与平面平行，故选B.15．方程x2+y2=3z2在空间直角坐标系下表示的是( )A．柱面B．椭球面C．圆锥面D．球面正确答案：C解析：根据二次曲面的特点知，x2+y2=3z2为圆锥面．16．= ( )A．2B．0C．∞D．-2正确答案：D解析：17．设z=xy，则dz｜(2,1)= ( )A．dx+dyB．dx+2ln2dyC．1+3ln2D．0正确答案：B解析：zx=yxy-1，zy=xylnx，所以dz=yxy-1x+xylnxdy，所以dz｜(2,1)=dx+2ln2dy．18．z=f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都存在，则( )A．z=f(x，y)在(x0，y0)处可微B．z=f(x，y)在(x0，y0)处连续C．z=f(x，y)在(x0，y0)处不连续D．和在(x0，y0)处是否连续无关正确答案：D解析：对于二元函数z=f(x，y)，偏导数在点(x0，y0)处存在与在该点处连续没有关系．19．y=ln(1+x2)的凸区间为( )A．(-∞，-1)B．(-1，1)C．(1，+∞)D．(-∞，-1)∪(1，+∞)正确答案：D解析：y’=，所以x＜-1或x＞120．(x0，y0)=0，(x0，y0)=0是函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极值的( )A．无关条件B．充分条件C．充要条件D．必要条件正确答案：A解析：根据二元函数极值的性质，知应选A.21．函数z=2x3-3y2-6x+6y+1的极值点为( )A．(1，1)B．(-1，1)C．(1，1)和(-1，1)D．(0，0)正确答案：B解析：令=6x2-6=0，=6-6y=0，得驻点为(1，1)，(-1，1)．设P(x，y)==72x，把点(1，1)代人P(x，y)，得P(1，1)=72>0，所以在点(1，1)处没有极值；又P(-1，1)=-72dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：区域D化为极坐标的形式得D：{(r，θ)｜0≤θ≤2π,0≤r≤3)，所以23．设I=f(x，y)dy，交换积分次序后，I=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：如第23题图所示，积分区域D还可表示为：{(x，y)｜0≤y≤4，≤x≤y｝，故积分，交换积分次序后为：I=，所以选A．24．设L由沿圆周x2+y2=2x的上半部分和x轴闭区域边界正方向围成，则∮L2exsinydx+(2excosy+x)dy= ( )A．πB．C．D．不存在正确答案：C解析：2exsinydx+(2excosy+x)dy=(2excosy+1-2excosy)dxdy=dxdy=25．若收敛，则下列级数必收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：例如，收敛，对于A，发散；对于B，发散；对于C，发散，所以选D.26．若a为常数，则级数( )A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性与a有关正确答案：A解析：，根据P级数的特点，因为绝对收敛，所以绝对收敛．27．下列级数中为条件收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：对于A，因=1，所以发散；对于B，因=∞，所以发散；对于C，因，根据P 级数的特点知该极数收敛，所以绝对收敛；对于D，发散，但收敛，所以为条件收敛．故选D．28．xy’’-2y’=x3+x的通解为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：令u=y’，则u’=y’’，原方程可化为u’-2.=x2+1，解得u=y’=x3-x+C1x2，两边积分得y=29．y’’+y=cosx的特解应设为( )A．x(acosx+bsinx)B．x2(acosx+bsinx)C．acosx+bsinxD．acosx正确答案：A解析：y’’+y=cosx化为标准形式为y’’+y=e0x(cosx+0.sinx)，其特解的形式为y’=xke0x(acosx+bsinx)，其齐次方程的特征方程为r2+1=0，解得r=0±i，又0+i是一个特征根，所以k=1，即特解应设为y’=x(acosx+bsinx)．30．y’’-6y’+8y=0的通解为( )A．C1e2xB．C1e4xC．C1e2x+C2e4xD．e2x+e4x正确答案：C解析：原方程的特征方稗为r2-6r+8=0．特征根为r1=4，r2=2．所以通解为y=C1e2x+C2e4x填空题31．设f(ex)=e2x+ex+1，则f(x+1)=________正确答案：x2+3x+3解析：令t=ex，f(t)=t2+t+1，从而f(x+1)=(x+1)2+(x+1)+1=x2+3x+3．32．设=6，则a=_________正确答案：-1解析：因x→0时，函数的分母以0为极限，从而要使极限为6，应使分子以0为极限，故1+a=0，即a=-1．33．设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则=______正确答案：1解析：方程两边对x求导，得(2x+y’)=3x2y+x3.y’+cosx，因当x=0时，y=1，故=cos0=1．34．曲线y=的渐近线有_________正确答案：y=0及x=-1解析：因=0，故曲线有水平渐近线y=0；又=∞，故曲线有垂直渐近线35．曲线y=xe3x的拐点坐标是__________正确答案：解析：因y’=e3x+x.3e3x=(1+3x)e3x，y’’=(6+9x)e3x，令y’’=0，得x=，且x＜时，y’’时，y’’>0，故曲线的拐点为36．设a={3．-2．1}，b={p．-4．-5}．已知a⊥b，则a×b=__________正确答案：｛14,14，-14｝解析：因a⊥b，于是有3×P+8-5=0，从而p=-1，即b={-1，-4，-5}，故a ×b==14i+14j-14k={14，14，-14}．37．设z=xexy，则=______正确答案：(2x+x2y)exy解析：因=exy+xyexy=(1+xy)exy．故=xexy+(1+xy)xexy=(2x+x2y)exy38．设曲线C：x2+y2=1取逆时针方向，则曲线积分=________ 正确答案：-2π解析：39．通解为y=C1ex+C2的二阶常系数齐次微分方程是________正确答案：y’’-y’=0解析：由题设知特征根为r1=0，r2=1，故特征方程为r2-r=0 所以该二阶常系数齐次微分方程为y’’-y’=0．40．幂级数的和函数s(x)=_________正确答案：x33e-x解析：=x3e-x 即和函数5(x)=x3e-x解答题解答时应写出推理、演算步骤。

高数试题练习一、函数、极限连续1．函数)(x f y 的定义域是（）A ．变量x 的取值范围B ．使函数)(x f y 的表达式有意义的变量x 的取值范围C ．全体实数D ．以上三种情况都不是2．以下说法不正确的是（）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数3．两函数相同则（）A ．两函数表达式相同B ．两函数定义域相同C ．两函数表达式相同且定义域相同D ．两函数值域相同4．函数42y x x 的定义域为（）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．(2,4]D ．[2,4)5．函数3()23sin f x x x 的奇偶性为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶D ．无法判断6．设,121)1(x xx f 则)(x f 等于( )A ．12x xB ．xx212C ．121x xD ．xx2127．分段函数是()A ．几个函数B ．可导函数C ．连续函数D ．几个分析式和起来表示的一个函数8．下列函数中为偶函数的是()A ．xey B ．)ln(x yC ．xx y cos 3D ．xy ln 9．以下各对函数是相同函数的有()A ．xx g x x f )()(与B ．x x g x x f cos )(sin 1)(2与C ．1)()(x g x x x f 与D ．2222)(2)(xxx xx g xx f 与10．下列函数中为奇函数的是()A ．)3cos(x y B ．xx y sin C ．2xxe eyD ．23xxy 11．设函数)(x f y的定义域是[0,1],则)1(x f 的定义域是( )A ．]1,2[B ．]0,1[ C ．[0,1]D ．[1,2]12．函数20200022)(2xxx x xx f 的定义域是( )A ．)2,2(B ．]0,2(C ．]2,2(D ．(0,2]13．若)1(,23321)(f xxx xx f 则( )A ．3B ．3C ．1D ．114．若)(x f 在),(内是偶函数,则)(x f 在),(内是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(x f 15．设)(x f 为定义在),(内的任意不恒等于零的函数,则)()()(x f x f x F 必是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．)(x F 16．设42,021,1211,1)(2xx x x x x f 则)2(f 等于( )A ．12B ．182C ．D ．无意义17．函数x x ysin 2的图形（）A ．关于ox 轴对称B ．关于oy 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x y 对称18．下列函数中,图形关于y 轴对称的有()A ．xx ycos B ．13xx y C ．2xxe eyD ．2xxe ey19.函数)(x f 与其反函数)(1x f的图形对称于直线( )A ．y B ．x C ．xy D ．xy 20. 曲线)1,0(log aax y a y a x与在同一直角坐标系中,它们的图形()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x y 轴对称D ．关于原点对称21．对于极限)(lim 0x f x ，下列说法正确的是（）A ．若极限)(lim 0x f x存在，则此极限是唯一的B ．若极限)(lim 0x f x 存在，则此极限并不唯一C ．极限)(lim 0x f x 一定存在D ．以上三种情况都不正确22．若极限A )(lim 0x f x存在，下列说法正确的是（）A ．左极限)(lim 0x f x不存在B ．右极限)(lim 0x f x不存在C ．左极限)(lim 0x f x和右极限)(lim 0x f x存在，但不相等D ．A)(lim )(lim )(lim 0x f x f x f x xx23．极限ln 1limxex xe的值是()A ．1B ．1eC ．0D ．e24．极限ln cot lim ln x x x＋０的值是()．A ．0B ． 1C ．D ．125．已知2sin lim2xx bax x，则（）A ．,2ba B ．1,1ba C ．1,2b a D ．,2b a 26．设b a，则数列极限limn nnnab是A ．aB ．bC ．1D ．ba 27．极限x x1321lim的结果是A ．0B ．21C ．51D ．不存在28．xlim xx 21sin为()A ．2B ．21C ．1 D ．无穷大量29．nm nxmxx ,(sin sin lim 0为正整数）等于（）A ．n mB ．m n C ．nm nm )1(D ．mn mn )1(30．已知1tan lim23xx bax x，则（）A ．0,2b a B ．,1b aC ．,6b a D ．1,1b a 31．极限xxx x xcos cos lim()A ．等于 1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在32．设函数10001sin )(xexx x x f x则)(lim 0x f x( )A ．1B ．0C ．1D ．不存在33．下列计算结果正确的是()A ．ex xx1)41(lim B ．41)41(lim ex xxC ．41)41(lim ex xxD ．4110)41(lim e x x x34．极限xx xtan 0)1(lim 等于()A ． 1B ．C ．0D ．2135．极限xxxx xsin 11sinlim 0的结果是A ．1B ．1C ．0D ．不存在36．1sinlim k kxx x为()A ．kB ．k1C ．1 D ．无穷大量37．极限xxsin lim 2=()A ．0B ．1C ．1D ．238．当x 时,函数xx)11(的极限是( )A ．eB ．eC ．1D ．139．设函数1cos 0001sin )(xx x x x x f ，则)(lim 0x f xA ．1B ．0C ．1D ．不存在40．已知a xax xx 则,516lim 21的值是()A ．7B ．7C ． 2D ．341．设20tan )(xxx xaxx f ,且)(lim 0x f x 存在,则a 的值是( )A ．1B ．1C ．2D ．242．无穷小量就是（）A ．比任何数都小的数B ．零C ．以零为极限的函数D ．以上三种情况都不是43．当0x 时，)2sin(3x x与x 比较是()A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小44．当0x时，与x 等价的无穷小是（）A ．xxsin B ．)1ln(x C ．)11(2x x D ．)1(2x x45．当0x 时，)3tan(3x x 与x 比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小46．设,1)(,)1(21)(x x g x x x f 则当1x 时（）A ．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B ．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C ．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小D ．)(x f 与)(x g 为等价无穷小47．当x时,11)(ax x f 是比x 高阶的无穷小,则( )A ．1aB ．aC ．a 为任一实常数D ．1a 48．当0x时，x 2tan 与2x比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小49．“当0x x，A x f )(为无穷小”是“A x f x x)(lim”的（）A ．必要条件，但非充分条件B ．充分条件，但非必要条件C ．充分且必要条件D ．既不是充分也不是必要条件50．下列变量中是无穷小量的有()A ．)1ln(1limx xB ．)1)(2()1)(1(lim1x xx x xC ．x x x1cos 1limD ．xx x1sincos lim51．设时则当0,232)(x x f xx()A ．)(x f 与x 是等价无穷小量B ．)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．)(x f 是比x 较高阶的无穷小量D ．)(x f 是比x 较低阶的无穷小量52．当0x时,下列函数为无穷小的是( )A ．xx 1sinB ．xe1C ．xln D ．xxsin 153．当0x时,与2sin x等价的无穷小量是( )A ．)1ln(x B ．xtan C ．xcos 12D ．1xe54．函数,1sin)(xx x f y当x时)(x f ( )A ．有界变量B ．无界变量C ．无穷小量D ．无穷大量55．当0x时,下列变量是无穷小量的有( )A ．xx3B ．xx cos C ．x ln D ．xe56．当0x 时,函数xx ysec 1sin 是( )A ．不存在极限的B ．存在极限的C ．无穷小量D ．无意义的量57．若0x x 时, )(x f 与)(x g 都趋于零,且为同阶无穷小,则()A ．)()(limx g x f x xB ．)()(limx g x f x xC ．)1,0()()(limc c x g x f x xD ．)()(limx g x f x x不存在58．当0x时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( ) A ．x 3tan B ．112xC ．xx cot csc D ．xx x 1sin259．函数)(x f 在点0x 有定义是)(x f 在点0x 连续的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即非充分又非必要条件60．若点0x 为函数的间断点，则下列说法不正确的是（）A ．若极限A )(lim 0x f xx 存在，但)(x f 在0x 处无定义，或者虽然)(x f 在0x 处有定义，但)(A0x f ，则0x 称为)(x f 的可去间断点B ．若极限)(lim 0x f x x与极限)(lim 0x f x x都存在但不相等，则0x 称为)(x f 的跳跃间断点C ．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点D ．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点61．下列函数中,在其定义域内连续的为()A ．xx x f sin ln )(B ．00sin )(x ex x x f xC ．10101)(xx x x x x f D ．01)(xx x x f 62．下列函数在其定义域内连续的有()A ．x x f 1)(B ．0cos 0sin )(x x x x x f C ．10001)(xx x x xx f D ．01)(xx x x f 63．设函数21ar c t an)(xx x x f 则)(x f 在点0x 处()A ．连续B ．左连续C ．右连续D ．既非左连续,也非右连续64．下列函数在0x处不连续的有( )A ．0)(2xx e x f x B ．1sin )(21xx x x x f C ．0)(2x xx x x f D ．0)1ln()(2xxx x x f 65．设函数12111)(2xx x xx f , 则在点)(1x f x 处函数()A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导,但导数不连续D ．可导,且导数连续66．设分段函数101)(2xx x xx f ,则)(x f 在0x 点()A ．不连续B ．连续且可导C ．不可导D ．极限不存在67．设函数)(x f y,当自变量x 由0x 变到y x x 相应函数的改变量时,0=()A ．)(0x x f B ．xx f )('0C ．)()(00x f x x f D ．xx f )(068．已知函数12000)(xxxx ex f x，则函数)(x f ( )A ．当0x 时,极限不存在B ．当0x 时,极限存在C ．在0x处连续D ．在0x 处可导69．函数)1ln(1x y的连续区间是( )A ．),2[]2,1[B ．),2()2,1(C ．),1(D ．),1[70．设nxnx x f x13lim)(,则它的连续区间是()A ．),(B ．处为正整数)(1n nx C ．)()0,(D ．处及n xx1071．设函数31011)(xx xx x f ，则函数在0x 处()A ．不连续B ．连续不可导C ．连续有一阶导数D ．连续有二阶导数72．设函数0xx x xy，则)(x f 在点0x 处()A ．连续B ．极限存在C ．左右极限存在但极限不存在D ．左右极限不存在73．设11cot)(2x arc xx f ，则1x 是)(x f 的（）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点74．函数2xy e x zy的间断点是( )A ．)1,1(),1,1(),0,1(B ．是曲线yey 上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(D ．曲线2xy上的任意点75．设2)1(42xx y,则曲线( )A ．只有水平渐近线2y B ．只有垂直渐近线x C ．既有水平渐近线2y ,又有垂直渐近线0x D ．无水平,垂直渐近线76．当0x 时, xx y1sin()A ．有且仅有水平渐近线B ．有且仅有铅直渐近线C ．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D ．既无水平渐近线,也无铅直渐近线二、一元函数微分学77．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（）A ．xy x f x 00lim )('B ．xx f x x f x f x)()(lim)('000C ．00)()(lim)('0x xx f x f x f x xD ．hx f h x f x f h )()21(lim )('00078．若e cos xy x ，则'(0)y ( )A ．0B ．1C ．1D ．279．设x x g e x f xsin )(,)(，则)]('[x g f ()A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 80．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0x f ,则hx f h x f h)()21(lim00等于()A ．1B ．2C ．1D ．2181．设)(x f 在a x处可导,则xx af x a f x)()(lim=()A ．)('a f B ．)('2a f C ．0D ．)2('a f 82．设)(x f 在2x 处可导，且2)2('f ，则hh f h f h)2()2(lim（）A ．4B ．0C ．2D ．383．设函数)3)(2)(1()(xx x x x f ，则)0('f 等于（）A ．0B ．6C ．1D ．384．设)(x f 在0x 处可导，且1)0('f ，则hh f h f h )()(lim 0（）A ．1B ．0C ．2D ．385．设函数)(x f 在0x 处可导,则0limhhx f f )()h - x (00( )A ．与0x ,h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关,而与0x 无关D ．与0x ,h 都无关86．设)(x f 在1x处可导，且21)1()21(lim 0h f h f h ，则)1('f （）A ．21B ．21C ．41D ．4187．设)0('')(2f ex f x则( ) A ．1B ．1C ．2D ．288．导数)'(log x a 等于( )A ．a x ln 1B ．a x ln 1C ．xxa log 1D ．x189．若),1()2(249102x xx xy则)29(y=()A ．30B ．29!C ．0D ．30×20×1090．设',)(',)()(y x f ee f y x f x 则存在且=( )A ．)()()()('x f xx f xee f e e f B ．)(')(')(x f ee f x f xC ．)(')()(')()(x f ee f ee f x f x x f x xD ．)()('x f xee f 91．设)0('),100()2)(1()(f x xx x x f 则()A ．100B ．100!C ．！100D ．10092．若',y x yx则( )A ．1x xx B ．xx xln C ．不可导D ．)ln 1(x x x93．处的导数是在点22)(xx x f ( ) A ．1 B ．0C ．1D ．不存在94．设',)2(y x yx则()A ．)1()2(x x x B ．2ln )2(xx C ．)2ln 21()2(x x xD ．)2ln 1()2(x x x95．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(b f a f 则( )A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,f 使C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,f 使D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的)(',f 使96．设,)()(x g x f y则dx dy ( )A ．])()(')()('[2x g x g x f x f y B ．])(1)(1[2x g x f yC ．)()('21x g x f yD ．)()('2x g x f y 97．若函数)(x f 在区间)b a,(内可导，则下列选项中不正确的是（）A ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加B ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调减少C ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加D ．)(x f 在区间)b a,(内每一点处的导数都存在98．若)(yx f 在点0x 处导数存在，则函数曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为（）A ．)('0x f B ．)(0x f C ．0 D ．199．设函数)(y x f 为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为1k ，法线方程的斜率为2k ，则1k 与2k 的关系为（）A ．211k k B ．121k k C ．121k k D ．21k k 100．设0x 为函数)(x f 在区间b a,上的一个极小值点，则对于区间ba,上的任何点x ，下列说法正确的是（）A ．)()(0x f x fB ．)()(0x f x f C ．)()(0x f x f D ．)()(0x f x f 101．设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)('0x f （或)('0x f 不存在），下列说法不正确的是（）A ．若0x x 时, 0)('x f ；而0x x 时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值B ．若0x x 时, 0)('x f ；而0x x 时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极小值C ．若0x x时, 0)('x f ；而0x x时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值D ．如果当x 在0x 左右两侧邻近取值时,)('x f 不改变符号,那么函数)(x f 在0x 处没有极值102．0)('0x f ,0)(''0x f ，若0)(''0x f ，则函数)(x f 在0x 处取得（）A ．极大值B ．极小值C ．极值点D ．驻点103．b x a时，恒有0)(x f ，则曲线)(x f y在ba,内（）A ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹104．数()exf x x 的单调区间是() ．A ．在),(上单增B ．在),(上单减C ．在(,0)上单增，在(0,)上单减D ．在(,0)上单减，在(0,)上单增105．数43()2f x xx的极值为（）．A ．有极小值为(3)f B ．有极小值为(0)f C ．有极大值为(1)f D ．有极大值为(1)f 106．xey 在点(0,1)处的切线方程为()A ．x y1B ．xy 1C ．xy 1D ．xy 1107．函数x xxxx f 处的切线与的图形在点)1,0(162131)(23轴交点的坐标是()A ．)0,61(B ．)0,1(C ．)0,61(D ．)0,1(108．抛物线x y 在横坐标4x 的切线方程为()A ．44yx B ．44yxC ．184y x D ．184y x 109．线)0,1()1(2在x y 点处的切线方程是()A ．1x yB ．1x y C ．1x y D ．1x y 110．曲线)(x f y在点x 处的切线斜率为,21)('x x f 且过点(1,1),则该曲线的方程是( )A ．12x xy B ．12x x y C ．12x xy D ．12xxy111．线22)121(x ey x上的横坐标的点0x处的切线与法线方程()A ．063023y x y x 与B ．63023y x y x 与C ．063023yxy x与D ．063023yxy x与112．函数处在点则0)(,)(3xx f x x f ( )A ．可微B ．不连续C ．有切线,但该切线的斜率为无穷D ．无切线113．以下结论正确的是( )A ．导数不存在的点一定不是极值点B ．驻点肯定是极值点C ．导数不存在的点处切线一定不存在D ．0)('0x f 是可微函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件114．若函数)(x f 在0x 处的导数,0)0('f 则0x称为)(x f 的()A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．驻点115．曲线)1ln()(2xx f 的拐点是()A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(B ．)2ln,1(与)2ln ,1(C ．)1,2(ln 与)1,2(ln D ．)2ln ,1(与)2ln ,1(116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的()A ．驻点B ．极值点C ．切线不存在的点D ．拐点117．数)(x f y 在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上()A ．一定有最大值无最小值B ．一定有最小值无最大值C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值118．下列结论正确的有()A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导119．由方程yx exy确定的隐函数)(x y y dxdy ( )A ．)1()1(x y y x B ．)1()1(y x x y C ．)1()1(y x x y D ．)1()1(x y y x 120．xyy xe y',1则()A ．yyxee 1B ．1yyxee C ．yy xee 11D ．yex)1(121．设x x g e x f xsin )(,)(，则)]('[x g f （）A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 122．设x x g e x f xcos )(,)(，则)]('[x g f A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 123．设)(),(x t t f y 都可微，则dyA ．dtt f )('B ．)('x dxC ．)('t f )('x dtD ．)('t f dx124．设,2sin xey则dy（）A ．xd e x2sin B ．xd ex2sinsin 2C ．xxd exsin 2sin 2sin D ．xd exsin 2sin 125．若函数)(x f y 有dy x xxx f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('是()A ．与x 等价的无穷小量B ．与x 同阶的无穷小量C ．比x 低阶的无穷小量D ．比x 高阶的无穷小量126．给微分式21xxdx ,下面凑微分正确的是( )A ．221)1(xx d B ．221)1(xx d C ．2212)1(xx d D ．2212)1(xx d 127．下面等式正确的有( )A ．)(sin sin xxxx e d e dxe e B ．)(1x d dx xC ．)(222x d e dx xex x D ．)(cos sin cos cos x d exdx exx128．设)(sin x f y,则dy()A ．dx x f )(sin 'B ．xx f cos )(sin 'C ．xdxx f cos )(sin 'D ．xdxx f cos )(sin '129．设,2sin xey则dyA ．xd e x2sinB ．x d ex2sinsin2C ．xxd exsin 2sin 2sin D ．xd exsin 2sin 三、一元函数积分学130．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( )A ．)('x f B ．)()(F'x f x C ．)(F'x D ．)(x f 131．若函数)(F x 和函数)(x 都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有()A ．I x x x ),(F )('B ．I x x x ),()(F C ．Ix x x ),()(F'D ．IxC x x ,)()(F 132．有理函数不定积分2d 1x x x等于（）．A ．2ln 12xx x CB ．2ln 12xx x CC ．2ln 12xx x CD ．2ln 122xx x C133．不定积分22d 1x x等于（）．A ．2arcsin x CB ．2arccosx C C ．2arctan x CD ．2cot arc x C134．不定积分2e e (1)d x xx x等于（）．A ．1e xC xB ．1e xC x C ．1exC xD ．1exCx135．函数xe xf 2)(的原函数是( )A ．4212xeB ．xe22C ．3312xeD ．xe231136．xdx 2sin 等于()A ．cx2sin 21B ．cx 2sin C ．cx2cos 2D ．cx 2cos 21137．若xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（）A ．xsin B ．xx sin C ．xcos D ．xx cos 138．设xe是)(x f 的一个原函数，则dxx xf )('（）A ．cx e x)1(B ．cx e x)1(C ．cx e x)1(D ．cx e x)1(139．设,)(xe xf 则dxx x f )(ln '()A ．cx1B ．cx1C ．cx ln D ．cx ln 140．设)(x f 是可导函数，则')(dxx f 为（）A ．)(x f B ．cx f )(C ．)('x f D ．cx f )('141．以下各题计算结果正确的是( )A ．xxdx arctan 12B ．cxdxx 21C ．cx xdx cos sin D ．cx xdx 2sec tan142．在积分曲线族dx x x 中,过点(0,1)的积分曲线方程为( )A ．12x B ．1)(525x C ．x2D ．1)(255x 143．dx x31=()A ．cx 43B ．cx221C ．cx221D ．cx221144．设)(x f 有原函数x xln ,则dx x xf )(=()A ．cx x )ln 4121(2B ．cx x )ln 2141(2C ．cx x )ln 2141(2D ．cx x )ln 4121(2145．xdxxcos sin ()A ．c x 2cos 41B ．cx 2cos 41C ．cx2sin 21D ．cx2cos 21146．积分dxx]'11[2()A ．211xB ．cx211C ．xtan arg D ．cx arctan 147．下列等式计算正确的是()A ．cx xdx cos sin B ．cx dx x 43)4(C ．cxdxx 32D ．cdxxx22148．极限xx xxdxtdt00sin lim的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．1149．极限xxxdxx tdt202sin lim的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．1150．极限403sin limxdtt xx=( )A ．41B ．31C ．21D ．1151．2ln 01x t dte dxd （）A ．)1(2xe B ．exC ．ex2D ．12xe152．若xtdt dx dx f 0sin )(，则（）A ．x x f sin )(B ．x x f cos 1)(C ．cx x f sin )(D ．xx f sin 1)(153．函数xdt t t tx213在区间]10[，上的最小值为（）A ．21B ．31C ．41D ．0154．若xtxc dt te xf e x xg 02122213)(,)(，且23)(')('lim x g x f x则必有（）A ．0cB ．1cC ．1cD ．2c155．x dt t dxd 14)1(()A ．21xB ．41xC ．2121xxD ．xx121156．]sin [2dt t dxd x ( )A ．2cos xB ．2cos 2xx C ．2sin xD ．2cost157．设函数0sin )(2xa x x tdtx f x在0x 点处连续,则a 等于（）A ．2B ．21C ．1D ．2158．设)(x f 在区间],[b a 连续, ),()()(b xadt t f x F x a则)(x F 是)(x f 的( )A ．不定积分B ．一个原函数C ．全体原函数D ．在],[b a 上的定积分159．设则为连续函数其中,)(,)()(2x f dt t f axx x F xa)(lim x F ax=()A ．2a B ．)(2a f a C ．0 D ．不存在160．函数x2sin 1的原函数是()A ．cx tan B ．cxcot C ．cxcot D ．xsin 1161．函数)(x f 在[a,b]上连续, x adt t f x )()(,则()A ．)(x 是)(x f 在[a,b]上的一个原函数B ．)(x f 是)(x 的一个原函数C ．)(x 是)(x f 在[a,b]上唯一的原函数D ．)(x f 是)(x 在[a,b]上唯一的原函数162．广义积分dxe x( ) A ．0 B ．2C ．1D ．发散163．dxx 02cos 1( )A ．0B ．2C ．22D ．2164．设)(x f 为偶函数且连续,又有等于则)(,)()(0x F dt t f x F x( )A ．)(x F B ．)(x F C ．0D ．2)(x F 165．下列广义积分收敛的是（）A ．1xdx B ．1xx dx C ．dxx 1D ．132xdx166．下列广义积分收敛的是（）A ．13xdx B ．1cosxdxC ．dxx 1ln D ．1dxe x167．apxp dx e)0(等于()A ．paeB ．paea1C ．paep1D ．)1(1paep168．ex x dx2)(ln ( )A ．1B ．e1C ．eD ．(发散)169．积分dx e kx收敛的条件为（）A ．kB ．0k C ．0k D ．k 170．下列无穷限积分中,积分收敛的有()A ．dxe xB ．1x dxC ．dxe xD ．cos xdx171．广义积分edx xxln 为()A ．1B ．发散C ．21D ．2172．下列广义积分为收敛的是( )A ．edxxxln B ．exx dxlnC ．edxx x 2)(ln 1D ．edxx x 21)(ln 1173．下列积分中不是广义积分的是()A ．0)1ln(dxx B ．42211dxx C ．11-21dxxD ．3-11dxx174．函数()f x 在闭区间[a,b]上连续是定积分badx x f )(在区间[a,b]上可积的（）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又飞必要条件175．定积分121sin 1x dx x等于（）．A ．0B ．1C ．2D ．1176．定积分122d ||xx x 等于（）．A ．0B ． 1C ．174D ．174177．定积分x x xd e )15(45等于（）．A ．0B ．5eC ．5-eD ．52e178．设)(x f 连续函数，则22)(dxx xf （）A ．4)(21dx x f B ．20)(21dxx f C ．40)(2dxx f D ．4)(dxx f 179．积分11sin 2xdxx e exx（）A ．0B ．1C ．2D ．3180．设)(x f 是以T 为周期的连续函数,则定积分Tl ldx x f I)(的值()A ．与l有关B ．与T 有关C ．与l ,T 均有关D ．与l ,T 均无关181．设)(x f 连续函数，则2)(dxxx f （）A ．21)(21dxx f B ．210)(2dxx f C ．20)(dxx f D ．2)(2dxx f 182．设)(x f 为连续函数,则1)2('dx x f 等于（）A ．)0()2(f f B ．)0()1(21f f C ．)0()2(21f f D ．)0()1(f f 183．C 数)(x f 在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分b adx x f )(的值必定()A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．不等于零184．下列定积分中,积分结果正确的有()A ．cx f dx x f ba )()('B ．)()()('a f b f dxx f baC ．)]2()2([21)2('a f b f dxx f baD ．)2()2()2('a f b f dx x f ba185．以下定积分结果正确的是()A ．2111dx xB ．21112dx xC ．211dx D ．211xdx 186．adxx 0)'(arccos ()A ．211xB ．cx211C ．ca2arccos D ．arccos arccosa 187．下列等式成立的有( )A ．0sin 11xdx x B ．11dxe xC ．abxdx abtan tan ]'tan [D ．xdxxdxdxsin sin 0188．比较两个定积分的大小()A ．213212dx x dx x B ．213212dx x dx x C ．213212dxx dxx D ．213212dxx dxx 189．定积分22221sin dx xx x 等于()A ．1B ．-1C ．2D ．0190．11-x dx( )A ．2B ．2C ．1D ．1191．下列定积分中,其值为零的是()A ．22-sin xdx x B ．20cos xdx x C ．22-)(dx x e xD ．22-)sin (dxx x192．积分21dxx ()A ．0B ．21C ．23D ．25193．下列积分中,值最大的是()A ．12dx x B ．13dxx C ．14dxx D ．15dxx 194．曲线x y42与y 轴所围部分的面积为（）A ．2224dyy B ．224dyy C ．44dxx D ．444dxx 195．曲线xey 与该曲线过原点的切线及y 轴所围形的为面积（）A ．e xxdxxe e1B ．10ln ln dyy y y C ．1dxex exD ．edyy y y 1ln ln 196．曲线2xyx y 与所围成平面图形的面积( )A ．31B ．31C ．1 D ．-1四、常微分方程197．函数y c x （其中c 为任意常数）是微分方程1x y y 的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解198．函数23xy e是微分方程40y y 的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解199．2()sin y y x y x 是（）．A ．四阶非线性微分方程B ．二阶非线性微分方程C ．二阶线性微分方程D ．四阶线性微分方程200．下列函数中是方程0y y 的通解的是（）．A ．12sin cos y C x C xB ．xy Ce C ．yCD ．12xyC eC 专升本高等数学综合练习题参考答案1．B2．C3．C4．B 在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有40x 且20x ，解得24x ，即定义域为[2,4]．5．A 由奇偶性定义，因为33()2()3sin()23sin ()f x x x xx f x ，所以3()23sin f x xx 是奇函数．6．解：令t x 1，则tt tt t f 21212211)(，所以xx x f 212)(，故选 D 7．解：选D8．解：选D 9．解：选B 10．解：选C11．解：110x ，所以01x ，故选 B 12．解：选C13．解：选 B14．解：选 B15．解：选 B16．解：)(x f 的定义域为)4,1[，选D17．解：根据奇函数的定义知选 C18．解：选 C19. 解：选 C20．解：因为函数)1,0(log a ax ya ya x与互为反函数，故它们的图形关于直线x y 轴对称，选 C 21．A 22．D23．解：这是00型未定式ln 1l 1limlimx exex x exe,故选B ．24．解：这是型未定式。

河南省一般高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一. 单选题（每题2分，合计50分）在每题旳备选答案中选出一种对旳答案，并将其代码写在题干后 面旳括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{旳所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数D n⇒==8223。

2.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(旳定义域为 （ ） A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[解： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-2003111。

3. 当0→x 时，与x 不等价旳无穷小量是 ( ) A.x 2 B.x sin C.1-xe D.)1ln(x + 解：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价旳。

应选A 。

4.当0=x 是函数xx f 1arctan)(= 旳 （ ） A.持续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点解：21arctanlim 0π=+→x x ；C x x ⇒π-=-→21arctan lim 0。

5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim+--→旳值为（ ）A.-1B. -2C. -3D.-4解：C f h f h f hh f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim )1()21(lim00。

6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形 （ ）A ．单调递减且为凸旳B ．单调递增且为凸旳C ．单调递减且为凹旳D ．单调递增且为凹旳 解：⇒>'0)(x f 单调增长；⇒<''0)(x f 凸旳。

2020年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．1．当0→x 时，x x 632-是x 的（）A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶非等价无穷小D ．等价无穷小2．)(x f 是R 上的奇函数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x f 21ln )(sin 在R 上是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断3．极限=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x 411lim （）A ．4e B ．4-e C ．0D ．14．设12)1(+=+x x f ，则=--)5(1x f （）A ．92-x B ．112-x C ．32-xD ．22-x 5．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<--=1,11,21,1)1(2sin )(2x x x x x x x f ，则=→)(lim 1x f x （）A ．0B ．1C ．2D ．不存在6．函数xx y -++=31)1ln(的定义域为（）A ．[]3,1-B ．)3,1(-C ．)3,1[-D ．]3,1(-7．极限=--→xe x xx ln lim 11（）A ．0B ．1C ．2D ．38．设极限6)()()(lim 3=--→a x a f x f ax ，在a x =处（）A ．)(lim x f ax →存在，0)(≠'a f B ．不可导C ．)(x f 有极大值D ．无极值9．极限=+--∞→844lim2x x x x （）A ．1-B ．0C ．1D ．∞10．设21)2(='f ，则极限=+-+→)1ln()2()22(lim0h f h f h （）A ．21B ．1C ．21-D ．1-11．下列式子成立的是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x ad adx 2B ．22221dx e dx xe x x=C ．x d dx x =D ．⎪⎭⎫⎝⎛=x d xdx 1ln 12．设函数)(x f 满足1)(=-xdex df ，则='')(x f （）A ．x xe --B ．x e --C ．xxe D ．x e -13．x x y 33⋅=在0x 处取得极小值，则=0x （）A ．3ln 1-B ．3ln -C ．3ln 1D ．3ln 14．设函数x x y ln =在0M 的切线平行于12+=x y ，则0M 的坐标为（）A ．)0,1(B ．)0,(e C ．)1,(e D ．),(e e15．函数)(x y y =是由方程1332=+-x xy y 所确定的隐函数，则='y （）A ．xy y x 32332--B ．xy x y 32332--C ．yx x y 33322--D ．yx x y 33322--16．函数xx x x f sin )1()(2-=有________个间断点．（）A ．0B ．1C ．2D ．无数17．若不定积分C xdx x f +=⎰1)(，则=')(x f （）A ．x ln B ．x 1C ．21x -D ．32x 18．⎰=-dx x )21sin(（）A ．C x +-)21cos(B ．C x +--)21cos(C ．Cx +-)21cos(21D ．C x +--)21cos(2119．已知dt e x f xt ⎰+=2)1()(连续，则当2≥n 时，=)(x f n （）A ．xe 2B ．x n e 22C ．xn e 212-D ．xn e 212+20．曲线x y 2=，x y =以及1=x 围成的平面图形绕x 轴旋转的旋转体体积为（）A ．π517B ．πC ．π1D ．π17521．下列广义积分收敛的是（）A ．dx x x ⎰+∞+021B ．dxx ⎰+∞1sin C ．dx xe⎰+∞1D ．dx x ⎰+∞-424122．两平面013=++-z y x 和022=++y x 的位置关系是（）A ．垂直B ．斜交C ．平行不重合D ．重合23．曲面方程022=++z y x 表示的是（）A ．椭圆面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．柱面24．已知)sin(2xy z =，则=∂∂22xz（）A ．)cos(24xy yB ．)cos(24xy y -C ．)sin(24xy y D ．)sin(24xy y -25．已知x ye z -=在点)1,0(-沿方向l 上取得最大方向导数，则l 可取（）A ．j i --B ．j i +C ．ji +-D ．ji -26．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+=-=tet y t t x sin cos 所确定，则==0t dx dy（）A ．0B ．1C ．1-D ．2-27．下列级数收敛的是（）A ．∑∞=11n ne B ．nn ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123C ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-13132n n n D ．∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛1132n n n 28．L 是正向圆周622=+y x ，则=++-⎰dy x x dx y y xL)4()23(32（）A ．π6B ．π6-C ．π36D ．π36-29．级数∑∞=0!n nn kx 在0>k 时的收敛区间为（）A ．)1,1(-B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k 1,1C ．),(k k -D ．),(+∞-∞30．用待定系数法求x e y y y x sin 862=+'-''时，*y 应设为（）A ．xCe 2B ．)cos sin (212x C x C e x +C ．)cos sin (212x C x C xe x +D ．)cos sin (2122x C x C e x x +二、填空题(每小题2分，共20分)31．已知x x f arctan )1(=+，[]2)(-=x x g f ，则=+)2(x g ________．32．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,cos 50,)(2sin )(2x x e x x x a xx f x 在0=x 处连续，则=a ________．33．dt t x f x ⎰+=2)3ln()(的单调递增区间为________．34．已知)(lim 2x f x →极限存在且)(lim 3)(23x f x x x f x →+=，则=')(x f ________．35．定积分22-=⎰________．36．⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=xdx x f cos )(sin ________．37．设平面区域{}10,0),(≤≤≤≤=x x y y x D ，则⎰⎰=Dxdxdy ________．38．2ln()z x y =+的全微分dz =________．39．已知0>x ，则∑∞=-0)!2()1(n nn n x 的和函数=)(x S ________．40．微分方程0=+'+''y y y 的通解为________．三、计算题(每小题5分，共50分)41．求极限23)1(1321211lim -∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯n n n n ．42．求函数x x y ln =的导数．43．求不定积分⎰+dx x x )12(1．44．求函数5683)(234++-=x x x x f 的凹凸区间和拐点．45．已知)1ln(1111sin)(x e x x x f x +--+=，求)(x f 的渐近线(不考虑斜渐近线)．46．计算定积分dx x ⎰+4023cos 1π．47．已知{}0,4,4=a ，{}8,2,3=b ，{}6,0,1=c ，求c b a ⋅⨯)(．48．已知函数),(y x z z =由123232=+++z xyz y x 确定，求x z ∂∂，yz∂∂（其中026≠+xyz ）．49．计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 为122=+y x 与坐标轴围成的的第一象限部分．50．求函数25241)(2-+=x x x F 关于x 的展开式．四、应用题(每小题7分，共14分)51．某文物于1972年8月发掘出土，经研究测算该文物出土时C 14（放射性同位素碳-14）标本存量为初始量0R 的7761.0倍．已知C 14的衰变速度与它的现存量成正比，且它的半衰变期（由初始量0R 衰变至2R 所需要的时间）为5730年．（1）试求C 14的现存量与时间t （年）的函数关系（其中涉及的对数不必写出具体数值）．（2）计算该文物至1972年8月大约经历了多少年，能否认为该文物为西汉时期（公元前202年~公元前8年）的作品，并说明理由（计算结果取整数：6931.02ln ≈，2535.07761.0ln -≈）．52．21x y -=与x 轴交A 、B 两点，在它们所围成的平面区域内，以AB 为下底作内接等腰梯形ABCD ，问C 坐标为多少时，梯形ABCD 面积最大？五、证明题(6分)53．函数()f x 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)0(=f ，af +=11)1(，证明：在)1,0(内存在两个不同的实数1ξ，2ξ，使得aaf f 2121)()(ξξξξ+='+'．2020年河南省高等数学试题解析一、单项选择题1．【答案】C 【解析】由于06)63(lim 63lim020≠-=-=-→→x xxx x x ，故x x 632-是x 的同阶非等价无穷小，故应选C ．2．【答案】A【解析】令)(sin )(x f x g =，则[])()(sin )(sin )(sin )(x g x f x f x f x g -=-=-=-=-，故)(sin )(x f x g =是奇函数，又由于⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 21ln 是奇函数，根据四则运算，奇函数+奇函数=奇函数，故应选A ．3．【答案】B 【解析】由于4)4(411lim 11lim --⋅-∞→∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-e x x x x xx ，故应选B ．4．【答案】D 【解析】由于1)1(212)1(-+=+=+x x x f ，故12)(-=x x f ，又由于21)(1+=-x x f ，故22215)5(1-=+-=--xx x f ，故应选D ．5．【答案】D 【解析】由于0)1(lim )(lim 211=-=++→→x x f x x ，21)1(2sin lim )(lim 11=--=--→→x x x f x x ，则)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠，极限不存在，故应选D ．6．【答案】B 【解析】由题意得⎩⎨⎧>->+0301x x ，即⎩⎨⎧<->31x x ，则函数的定义域为)3,1(-，故应选B ．7．【答案】C 【解析】由于2)1(lim 11lim ln lim111111=+=+=--→-→-→x x x x xx e x xe xe x ，故应选C ．8．【答案】D 【解析】由于66)(lim )(6)(lim )(3)(lim )()()(lim 23='''=-''=-'=--→→→→x f a x x f a x x f a x a f x f a x a x a x ax ，可知)()(a f x f =，0)(='a f ，0)(=''a f ，36)(='''a f ，故应选D ．9．【答案】B 【解析】由于0lim 844lim22==+--∞→∞→x xx x x x x ，故应选B ．【解析】由于=⋅-+=-+=+-+→→→22)2()22(lim )2()22(lim )1ln()2()22(lim000hf h f h f h f h f h f h h h 1)2(2='f ，故应选B ．11．【答案】B 【解析】由于dx xe dx x e dx e x x x 222)(212122='⋅=，故应选B ．12．【答案】D 【解析】由题意得，1)()(=-'=--dxe dxx f de x df xx ，则x e x f --=')(，故x e x f -='')(，故应选D ．13．【答案】A 【解析】由于)3ln 1(333ln 3333x x y x x x ⋅+⋅=⋅+⋅='，令0='y ，则3ln 10-=x ，故应选A ．14．【答案】D 【解析】由题意可知，令21ln 00=+='=x y x x ，则e x =0，0M 的坐标),(e e ，故应选D ．15．【答案】B 【解析】令13),(32-+-=x xy y y x F ，则233x y F x +-=，x y F y 32-=，故xy x y x y x y F F dx dy y y x 3233323322--=-+--=-=='，故应选B ．16．【答案】D 【解析】由题可知，当)(Z k k x ∈=π时，0sin =x ，所以)(Z k k x ∈=π均为)(x f 的间断点，故间断点有无数个，故应选D ．17．【答案】D 【解析】由于C x dx x f +=⎰1)(，两边求导得21)(x x f -=，则32)(xx f ='，故应选D ．18．【答案】C 【解析】由于C x x d x dx x +-=---=-⎰⎰)21cos(21)21()21sin(21)21sin(，故应选C ．【解析】由于1)1()(202+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='⎰x xte dt e xf ，x x e e x f 222)1()(='+=''，x x e e x f 2222)2()(='='''， ，xn n e x f 212)(-=，故应选C ．20．【答案】B 【解析】绕x 轴旋转的旋转体体积[]ππππ=⋅==-=⎰⎰131210223)2(xdx x dx x x V x ，故应选B ．21．【答案】D 【解析】对于A ：∞=+=++=+∞++∞+∞⎰⎰0220202)1ln(21)1(11211x x d x dx x x ，发散；对于B ：∞-=-=+∞+∞⎰cos 1cos cos sin 11x dx x ，不存在，发散；对于C ：∞==∞++∞⎰ee xdx x21，发散；对于D ：∞++∞+∞+∞+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=+--=-⎰⎰⎰4444222ln41212141)2)(2(141x x dx x x dx x x dx x31ln 41=，收敛，故应选D ．22．【答案】B 【解析】两平面的法线向量{}3,1,11-=n 和{}0,1,22=n ，由于0121≠=⋅n n ，且两个向量不对应成比例，则两平面斜交，故应选B ．23．【答案】C 【解析】由二次曲面的特点可知其为旋转抛物面，故应选C ．24．【答案】D 【解析】由于)cos(22xy y x z =∂∂，)sin(2422xy y xz -=∂∂，故应选D ．25．【答案】B 【解析】当给定的方向l 与梯度方向一致时，方向导数可以取得最大值．由于梯度{}{}{}j i +==-==-----1,1,,)1,0()1,0()1,0(x x yx e ye z z grad ，故应选B ．26．【答案】D 【解析】由于1sin --=t dt dx ，t e t dt dy +=cos ，故21sin cos 0-=--+===t t t t e t dxdy，故应选D ．27．【答案】C 【解析】由于∑∞=131n n 是公比为31的等比数列，收敛，则∑∞=132n n ，收敛；且∑∞=131n n 为3=p 的-p 级数，收敛，所以级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-13132n n n 收敛，故应选C ．28．【答案】C 【解析】由于π3666)4()23(32===⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=++-⎰⎰⎰⎰⎰DDDLSdxdy dxdy y P x Q dy x x dx y y x ，故应选C ．29．【答案】D 【解析】由于0!)!1(lim lim1=⋅+==∞→+∞→k n n k a a n nn n ρ，则收敛半径为+∞=R ，收敛区间为),(+∞-∞，故应选D ．30．【答案】B 【解析】对应的齐次方程为086=+'-''y y y ，其对应的特征方程为0862=+-r r ，特征根21=r ，42=r ，由于x e x sin 2对应的复根为i ±2，故)cos sin ()cos sin (2122120x C x C e x C x C e x y x x +=+=*，故应选B ．二、填空题31．【答案】x tan 1+【解析】由于x x f arctan )1(=+，则)1arctan()(-=x x f ，故[]2]1)(arctan[)(-=-=x x g x g f ，解得)2tan(1)(-+=x x g ，故x x g tan 1)2(+=+．32．【答案】31【解析】由于)(x f 在0=x 处连续，所以)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==-+→→．又a x ax x x x a x x f x x x 2)1(2lim )(2sin lim )(lim 020=+=+=+++→→→，)0(6)cos 5(lim )(lim 00f x e x f xx x ==+=--→→，故31=a ．33．【答案】),0(+∞【解析】由于)3ln(2)(2+='x x x f ，令0)(>'x f ，则0>x ，故单调递增区间为),0(+∞．34．【答案】52432-x 【解析】令A x f x =→)(lim 2，则A x x x f ⋅+=3)(3，两边同时取极限)3(lim )(lim 322A x x x f x x ⋅+=→→，即A A 68+=，故58-=A ，x x x f 524)(3-=，所以5243)(2-='x x f ．35．【答案】0【解析】由于24x x -是奇函数，根据偶倍奇零，故220-=⎰．36．【答案】C x F +)(sin 【解析】⎰⎰+==C x F x d x f xdx x f )(sin sin )(sin cos )(sin ．37．【答案】31【解析】3112010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x xdy dx xdxdy xD．38．【答案】()212xdx dy x y++【解析】由于y x x x z +=∂∂22，yx y z +=∂∂21，故2221z z x dz dx dy dx dy x y x y x y ∂∂=+=+=∂∂++()212xdx dy x y++．39．【答案】xcos 【解析】∑∞=-=02)!2()1(cos n n n n x x ，由于)0()!2()()1()!2()1()(020>-=-=∑∑∞=∞=x n x n x x S n nn n n n ，故x x S cos )(=．40．【答案】)23sin 23cos(2121x C x C e y x+=-（1C ，2C 为任意常数）【解析】其对应的特征方程为012=++r r ，其特征根为i r 23212,1±-=，故通解为)23sin 23cos(2121x C x C e y x+=-（1C ，2C 为任意常数）．三、计算题41．【答案】3-e 【解析】=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯-∞→-∞→232311141313121211lim )1(1321211lim n n n n n n n n 3123lim )23(11)1(23111lim 111lim -+---⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-∞→-∞→==⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→∞e e n n n n n n n n n n n ．42．【答案】1ln ln 2-⋅='x x x y 【解析】两边同时取对数x x x y 2ln ln ln ln =⋅=，两边同时求导可得xx y y 1ln 21⋅='⋅，故导数1ln ln ln 2ln 2-⋅=⋅='x xx x xxxy ．43．【答案】C x x++12ln 【解析】=++-=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎰⎰⎰⎰C x x x d x dx x dx x x dx x x 12ln ln )12(12111221)12(1C x x++12ln．44．【答案】凸区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和),1(+∞；拐点为1146,327⎛⎫⎪⎝⎭和(1,6)【解析】函数5683)(234++-=x x x x f 的定义域为(,)-∞+∞，由于x x x x f 122412)(23+-='，)1)(13(12124836)(2--=+-=''x x x x x f ，令()0f x ''=得，311=x ，12=x ．把定义域分为三个区间，列表如下：x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭311,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1),1(+∞)(x f ''+0-0+)(x f 凹27146凸6凹故函数的凸区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和),1(+∞；拐点为1146,327⎛⎫⎪⎝⎭和(1,6)．45．【答案】)(x f 仅有水平渐近线1=y 【解析】水平渐近线，+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+∞→+∞→+∞→x x x e x x x f x x x x 1sin lim )1ln(1111sin lim )(lim 1001lim )1ln(1lim 11lim=-+⋅=+--+∞→+∞→+∞→x x x e x x x x ，故水平渐近线为1=y ．垂直渐近线，令0=x ，01=-x e ，0)ln(1=+x ，01=+x ，则0=x ，1-=x ，由于+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=→→→→0)1ln(111lim 1sin lim )1ln(1111sin lim )(lim 0000x e x x x e x x x f x x x x x x ∞≠-=-+-=-+=+-+=-⋅+--+→→→→12)1(1lim 211lim 1)1ln(lim )1()1ln()1()1ln(lim 200200x x x x x x x x x e x x e x x e x e x e x ，故0=x 不是垂直渐近线．又由于∞≠--+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=--→-→++011)1sin()1ln(1111sin lim )(lim 111e x e x x x f x x x ，故1-=x 也不是垂直渐近线．所以)(x f 仅有水平渐近线1=y ．46．【答案】23arctan 63【解析】=+=++=+=+⎰⎰⎰⎰40240224022402tan tan 3411)1(tan 3sec 1sec 3sec 3cos 1ππππx d x dx x x dx x x dx x 23arctan 63tan 23arctan 63tan 23tan 2311324140402=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎰ππx x d x．47．【答案】8【解析】由于{}4,32,3243232823044--=--==⨯k j i kj ib a ，故864132)(=⋅-⋅=⋅⨯c b a ．48．【答案】26322++-=∂∂xyz yz x x z ，263322++-=∂∂xyz xz y yz 【解析】令123),,(232-+++=z xyz y x z y x F ，则232yz x F x +=，2233xz y F y +=，26+=xyz F z ，由于026≠+xyz ，故26322++-=-=∂∂xyz yz x F F x z z x ，263322++-=-=∂∂xyz xz y F F y z zy ．49．【答案】31【解析】令⎩⎨⎧==θθcos sin r y r x ，则31cos 31sin 31sin 20201031020=-=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰πππθθθθθd r rdr r d ydxdy D．50．【答案】n n n nx x F ∑∞=+⎦⎤⎢⎣⎡-+-=01251)1(1261)(，)1,1(-∈x 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛+--=-+=-+=25111261)1)(25(125241)(2x x x x x x x F ，由于∑∞=-=--=-01111n n x x x ，)1,1(-∈xn n n n nn n x x x ∑∑∞=+∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅=+010251)1(25)1(2512511251251，)25,25(-∈x 故n n n nx x F ∑∞=+⎦⎤⎢⎣⎡-+-=01251)1(1261)(，)1,1(-∈x ．四、应用题51．【答案】（1）t eR R 57302ln 0-=；（2）可认为该文物为西汉时代的作品【解析】（1）设现存量为R ，由于C 14的衰变速度与它的现存量成正比，则衰变速度为kR dtdR-=，0>k 为比例恒量．对kR dtdR-=分离变量并积分可得⎰⎰-=kdt dR R 1，所以1ln C kt R +-=，故kt Ce R -=，由题可知⎪⎩⎪⎨⎧==-k Ce R Ce R 57300002，解得0R C =，57302ln =k ，因此t e R R 57302ln 0-=．（2）由于该文物至1972年8月C 14的现存量为初始量0R 的7761.0倍，则有t eR R 57302ln 007761.0-=，解得209657302ln 7761.0ln ≈-=t ，因此该文物至1972年8月大约经历了2096年，大约出现在公元前124年，故可认为该文物为西汉时代的作品．52．【答案】C 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛98,31时，面积最大【解析】由题意可知，)0,1(A ，)0,1(-B ，设C 坐标为)1,(2x x -，则D 坐标为)1,(2x x --，则等腰梯形的面积)1()1()1()22(21)(22x x x x x S -⋅+=-⋅+=)11(<<-x ．令0)31)(1(2)1()1()(2=-+=-⋅++-='x x x x x x S ，则10-=x （舍去），311=x ．又由于04)31(<-=''S ，故在31=x 处取得极大值，由实际问题可知，在31=x 处可取得最大值，故C 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛98,31时，梯形ABCD 面积最大．五、证明题53．【证明】令111)()(++-=a x a x f x F ，将区间]1,0[分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21．由于)(x F 在⎦⎤⎢⎣⎡21,0上连续，在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0内可导，由拉格朗日中值定理可知，⎪⎭⎫⎝⎛∈∃21,01ξ，使得⎪⎭⎫⎝⎛=--⎪⎭⎫⎝⎛='212021)0(21)(1F F F F ξ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛=-'212)(11F f a ξξ；同理，)(x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上连续，在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21内可导，由拉格朗日中值定理可知，⎪⎭⎫⎝⎛∈∃1,212ξ，使得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-='212210221121)1()(2F F F F F ξ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'212)(22F f a ξξ；两式相加，可得0)()(2211=-'+-'aaf f ξξξξ，即aaf f 2121)()(ξξξξ+='+'，故在)1,0(内存在两个不同的实数21,ξξ，使得aaf f 2121)()(ξξξξ+='+'．。

2001年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题 （每小题1 分，共30 分，每小题选项中只有一个是正确的，请 将正确答案的序号填在括号内）. 1．函数 )y x=-的定义域为（ ） A ．[0，3） B ．（0，3） C ．（0，3] D. [0，3]2．已知 2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 等于（ ） A ．22x + B ．()22x + C ．22x - D. ()22x -3．设()1cos 2f x x =-，2()g x x =，则当0→x 时，()x f 是()g x 的（ ） A ．高阶无穷小 B ．低阶无穷小 C ．等价无穷小 D ．同阶但不等价无穷小4．对于函数24(2)x y x x -=-，下列结论中正确的是（ ）A ．0x =是第一类间断点，2x =是第二类间断点；B ．0x =是第二类间断点，2x =是第一类间断点；C ．0x =是第一类间断点，2x =是第一类间断点；D ．0x =是第二类间断点，2x =是第二类间断点.5．设()02f '= ，则()()limh f h f h h→--的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．4 6．设cos x y e =，则dy 等于（ ）A ．sin x x e e dx -B ．sin x x e e -C ．sin x x e e dxD ．sin x e dx - 7．已知椭圆的参数方程为cos ,(0,0)sin ,x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩，则椭圆在4t π=对应点处切线的斜率为（ ）A ．b aB ．a bC ．b a- D ．a b-8．函数()y f x =在点0x 处可导是它在0x 处连续的（ ） A ． 充分必要条件 B ．必要条件 C ． 充分条件 D ．以上都不对 9．曲线323y x x =-的拐点为（ ）A ．(1,2)-B ．1C ．(0,0)D ．(2,4)- 10． 下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ． y x = B ．3x C ．2x D ．1x11．设()F x 是()f x 的一个原函数，则()2f x dx ⎰等于（ ）A ．()12F x C + B ．()122F x C +C ．()F x C +D ．()12F x C +12．下列式子中正确的是（ ）A ．()()dF x F x =⎰B ．()()d dF x F xC =+⎰ C ．()()df x dx f x dx dx=⎰ D ．()()d f x f x dx =⎰ 13．设1210I x dx =⎰，2120x I e dx =⎰，则它们的大小关系是（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．12I I ≥14．定积分203tan limxx tdt x→⎰等于（ ）A ．+∞B ．16C ． 0D ． 1315．下列广义积分中收敛的是（ ） A．1+∞⎰ B．1+∞⎰C ．11dx x +∞⎰ D ．11ln dx x+∞⎰ 16．0x y →→ ） A ． 0 B.12C ．12- D ．+∞17．设3z xy x =+，则11|y x dz ==等于（ ）A ． 4d x d y +B ．dx dy +C ．4dx dy +D ．3dx dy + 18．函数()22,221f x y x y x y =+--+的驻点是（ ）A ．()0,0B ．()0,1C ．()1,0D ．()1,1 19．平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．重合 D ． 斜交20．设(){}222,|,0D x y x y R y =+≤≥，则在极坐标系下，()22Df x y dxdy +⎰⎰可表示为（ ） A. ()2Rd f r dr πθ⎰⎰ B.()222Rd f r rdr ππθ-⎰⎰C.()2Rd f r rdr πθ⎰⎰ D.()220Rd f r dr πθ⎰⎰21．设级数()11n n u ∞=-∑收敛，则lim n n u →∞等于（ ） A ．1 B ．0 C ．+∞ D ．不确定 22．下列级数中收敛的是（ ） A．n ∞= B ．123n n n ∞=∑ C ．12n n n ∞=∑ D ．21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑ 23．设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A ．1n n nu ∞=∑ B．1n ∞= C ．11n nu ∞=∑ D ．21n n u ∞=∑24．下列级数中，条件收敛的是（ ）A ．211sin n n ∞=∑ B ．211(1)n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．11(1)2n n n ∞=-∑ 25．设幂级数n n n x a ∑∞=0（n a 为常数， ,2,1=n ）在点2x =处收敛，则该级数1x =-处（ ）A 发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性无法判定26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ）A ．sin y C x =B ．12sin cos yC x C x =+ C ．sin cos y x x =+D ．()12cos y C C x =+27．下列常微分方程中为线性方程的是（ ）A ．x y y e -'=B ．sin yy y x '+=C ．()22x dx y xy dy '=+D ．20x xy y e '+-=28．微分方程y x '''=的通解是（ ）A ．42123124y x C x C x C =+++ B ．32123112y x C x C x C =+++ C ．42123112y x C x C x C =+++ D ．32123118y x C x C x C =+++29．微分方程40y y ''-=的通解是（ ）A ．2212x x y C e C e -=+B ．()212x yC C x e =+ C ．212x y C C e =+D ．12cos2sin 2y C x C x =+30．对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ）A ．*2.y ax bx c =++B ．()*22y x ax bx c =++C ．()*y x ax b =+D ．()*2y x ax bx c =++ 二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 1．()1lim 1sin xx x →+=________．2．设()33x f x x =+，则()()40f =________．3．曲线arctan 2y x =在()0,0点的法线方程为________． 4．sin x x e e dx ⎰=________．5．由曲线2,0,1y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______． 6．设 y x z x y =+，则zx∂=∂________． 7．交换积分()110,x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I =________．8.幂级数15nn x ∞=-________．9．幂级数02!n nn x n ∞=∑的和函数()s x 为________．10． 方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限0ln cot limln x xx+→2．求函数12(12)x y x +=+的导数.3．已知 (),z f xy x y =+且f 可微分，求,z zx y∂∂∂∂. 4．计算2ln(1)x x dx +⎰.5．计算1.6．计算2DI xy dxdy =⎰⎰，其中D 为224,0x y x +==所围的右半圆.7．计算积分()3(sin )L x y dx x y dy --+⎰，其中L 是曲线2y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段有向弧.8．求过点(1,1,1,)P 且平行于平面1:2340x y z π-+-=与2:60x y z π+--=的直 线方程． 9．将函数()2123f x x x =-+展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间．四、应用题 （每小题5分，共 10 分）1．某工厂生产某产品需两种原料A 、B ，且产品的产量z 与所需A 原料数x 及B 原料数y 的关系式为2287z x xy y =++.已知A 原料数x 的单价为1万元/吨，B 原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点()1,1A 且对于该曲线上的任一点(),P x y ，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为3x ． 求曲线弧的方程．五、证明题 （4 分） 证明方程203021xx dte t--=+⎰在区间()0,1内有唯一实根.答案1，【答案】A. 【解析】0x ≥；ln(3)x -要求30x ->，即 3.x <取二者之交集，得0 3.x ≤<应选A. 2，【答案】C.【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2()2f x x =-，应选C. 3，【答案】D.【解析】因为()()2220001(2)1cos 22lim lim lim 2x x x x f x xg x x x→→→-===，所以由定义知，()x f 是()g x 的同阶但不等价无穷小.选D. 4，【答案】B ．【解析】 因为204lim (2)x x x x →-=∞-，故0x =第二类间断点，且0x =为无穷型间断点； 又因为22224(2)(2)2lim lim lim 2(2)(2)x x x x x x x x x x x x→→→--++===--，故2x =是第一类间断点，且为可去型间断点.所以选B ． 5，【答案】D. 【解析】()()0limh f h f h h →--()()()0(0)0lim h f h f f h f h→----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦= ()()[]000()(0)00limlim h h f h f f h f h h→→+--+-=+- ()()00 4.f f ''=+=选 D.6， 【答案】A.【解析】因为(cos )sin ()sin x x x x x y e e e e e '''==-=-，所以sin x x dy y dx e e dx '==-， 故选A. 7，【答案】C. 【解析】cos dy b t dt = ，sin dx a t dt =- ，所以=dx dy =dt dx dtdy cot .bt a- 故椭圆在4t π=对应点处切线斜率为4by a π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，应选C. 8，【答案】选C. 9，【答案】A.【解析】 ()236f x x x '=-；()()6661f x x x ''=-=-.令()0f x ''=，得1x =；无二阶不可导点.又当1x <时，()0f x ''<，而当1x >时，()0f x ''>，故(1,2)-为拐点，选A. 10，【答案】C ．【解析】（1）．x 在0=x 处不可导，故x 在()1,1-内不可导，排除A ； （2）．3x 在端点1x =-及1x =处的值不相等，排除B ；（3）．1x在0x =处无定义，故1x在[]1,1-上不连续，排除D.选C. 11， 【答案】B ． 【解析】 ()2f x dx ⎰()()1122(2).22f x d x F x C ==+⎰ 选B ． 12， 【答案】D. 13， 【答案】C.【解析】因为当[]0,1x ∈时，21x ≤，而21x e ≥，且2x e 不恒等于2x ，故12I I <，选C.14， 【答案】D.【解析】 203tan lim xx tdt x →⎰222200tan 1lim lim .333x x x x x x →→===选D. 15， 【答案】A. 【解析】1+∞⎰()32112lim 12012x x dx +∞-+∞⎡⎤==-=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰，故1+∞⎰收敛，选 A. 16， 【答案】B.【解析】0x y →→012x y →→==，选 B. 17， 【答案】C. 【解析】23z y x x ∂=+∂；z x y∂=∂.故()23.z zdz dx dy y x dx xdy x y ∂∂=+=++∂∂ 所以，114|y x dz dx dy ===+. 选C ．18，【答案】D. . 【解析】 由方程组()(),220,,220,x yf x y x f x y y '=-=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩ 得1,1,x y =⎧⎨=⎩ 故驻点为()1,1.选D.19， 【答案】B.【解析】 平面 3250x y z +-+=的法向量为{}13,2,1n =-；平面240x y z ---=法向量为{}21,2,1n =--.因为12.0n n =，所以1n ⊥2n ，平面3250x y z +-+=与240x y z ---=垂直，选B .20， 【答案】C.21，【答案】A ．【解析】因为()11n n u ∞=-∑收敛，故由级数收敛的必要条件知()lim 10n n u →∞-= 所以，()lim1lim 110 1.n n n n u u →∞→∞=--=-=选A. 22， 【答案】B. 【解析】 （1）1n ∞=1121n n∞==∑为112p =<的p—级数，故1n ∞=A ；（2）123n n n ∞=∑123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为公比213q =<的等比级数，故收敛，选B ； （3）记2(1,2,...)n n u n n ==，因为1lim 2lim 211n n n nu nu n ρ+→∞→∞===>+，故由达朗贝尔比值审敛法知12nn n∞=∑发散，排除C ；（4）因为211n n ∞=∑为21p =>的p —级数，故211n n ∞=∑收敛；又143nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑为公比的等比级数，故143n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑发散.所以由级数的性质知21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑发散.23， 【答案】D. 【解析】（1）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n nu n ∞∞===∑∑发散，排除A ；（2）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但11n n n∞∞===∑发散，排除，选B ；（3）记21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但2111n n n n u ∞∞===∑∑发散，排除C ；（4）因为1n n u ∞=∑收敛，故lim 0n n u →∞=；所以由2lim lim 0n n n n nu u u →∞→∞==，且1n n u ∞=∑收敛知，21n n u ∞=∑也收敛.选D.24， 【答案】C. 【解析】（1）211sin n n ∞=∑211sin n n ∞==∑，因为2211limsin1n n n →∞=且211n n ∞=∑收敛，故211sin n n ∞=∑绝对收敛，排除A ；（2）211(1)nn n ∞=-∑211n n ∞==∑收敛，故211(1)n n n ∞=-∑绝对收敛，排除B ；（3）11(1)2nn n ∞=-∑112n n ∞==∑收敛，故11(1)2n n n ∞=-∑绝对收敛，排除D ；（4）记1,2,...)n u n ==，则显然{}n u 单减，且lim 0n n u →∞=，所以由莱布尼兹审敛法知1(1)nn ∞=-∑收敛；但1(1)n n ∞=-∑n ∞==发散，故1(1)n n ∞=-∑. 25， 【答案】C.【解析】由题意，nn n x a ∑∞=0在点2x =处收敛，故由Abel 收敛定理知，n n n x a ∑∞=0在22x <=的点x 处均绝对收敛，又因为12-<，所以n n n x a ∑∞=0在点1-=x 处绝对收敛.选C.26，【答案】B . 由通解的定义知，应选B .27，【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .28，【答案】A .【解析】21122y xdx x C ''==+⎰；23112112226y x C dx x C x C ⎛⎫'=+=++ ⎪⎝⎭⎰；34212123112624y x C x C dx x C x C x C ⎛⎫=++=+++⎪⎝⎭⎰ 29，【答案】A .【解析】微分方程40y y ''-=的齐次方程的特征方程为240r -=所以，特征根为：122, 2.r r =-=故通解为2212x x y C e C e -=+，选A. 30， 【答案】A ．【解析】微分方程22y y x ''-=的齐次方程的特征方程为220r -=所以，特征根为：12r r ==这里右端项()220x f x x x e ==，因为0λ=非特征根，故可设()*022.y x ax bx c ax bx c =++=++故选A.填空1，【答案】填e .【解析】()1lim 1sin xx x →+=()sin 11sin 0lim 1sin xxxx x e e →⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦.2，【答案】填4ln 3.【解析】()233ln3x f x x '=+；()263ln 3x f x x ''=+；()363ln 3x f x '''=+； ()()443ln 3x f x =.所以，()()440ln 3f =. 3，【答案】填20x y +=. 【解析】()221221(2)14y x x x ''==++ ；故切线斜率为()02y '=.所以法线方程为 10(0)2y x -=--，即 20x y +=.4，【答案】填cos x e c -+【解析】sin x x e e dx ⎰ ()sin cos .x x x e d e e c ==-+⎰5，【答案】填15π.【解析】 ()212015V x d x ππ==⎰. 6，【答案】填1ln y x yx y y -+.【解析】1ln y x zyx y y x-∂=+∂. 7，【答案】填()100,yI dy f x y dx =⎰⎰.【解析】积分区域D 是由直线,1y x y ==及y 轴所围成的三角形区域，交换积分 次序后()100,yI dy f x y dx =⎰⎰.8，【答案】填1.【解析】记1,2,...)n u n ==，因为1lim 1n n n n a a ρ+→∞===，所以收敛半径为1 1.R ρ==9，【答案】填2x e .【解析】由展式()0,,.!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑知()20022.!!nnnx n n x xe n n ∞∞====∑∑10，【答案】填tan .tan .x y C = 【解析】①式可化为22sec sec tan tan x ydx dy x y=- ②②两边积分，得22sec sec tan tan x ydx dy x y=-⎰⎰，即11(tan )(tan )ln tan ln tan ln .tan tan d x d y x y C x y =-⇒=-+⎰⎰也就是ln tan .tan ln .x y C = 所以原方程的通解为tan .tan .x y C =计算题1， 【解析】0ln cot lim ln x x x +→（洛必达）201cot .(csc )lim 1x x x x +→-=-----------------------------------------2分 0lim sin .cos x xx x+→=- ------------------------------------------3分0lim 1cos x xx x+→=-=---------------------------------------------4分 2， 【解析】()ln 12ln(12)y x x =++ --------------------------------------------------1 分上式两端关于x 求导，得 ()11.2ln(12)(12)..1212y x x x y x ⎡⎤''=++++⎢⎥+⎣⎦-------------------------2分 即 1.2ln(12)2y x y'=++ ----------------------------------------------------3分 所以[]()[]122ln(12)212.2ln(12)2.xy y x x x +'=++=+++---------------4分3，【解析】由微分形式的不变性知()()12..dz f d xy f d x y ''=++-------------------------------------------------------2分即()()12dz f ydx xdy f dx dy ''=+++()()1212yf f dx xf f dy ''''=+++----------------------------------------------- ----4分所以12z yf f x ∂''=+∂；12z xf f y∂''=+∂.---------------------------------------------------5分4，【解析】2ln(1)x x dx +⎰22ln(1)2x x d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰-----------------------------------------------------1分 （分部）2222.ln(1)(ln(1))22x x x d x =+-+⎰----------------------------------------2分 2322.ln(1)21x x x dx x =+-+⎰2322().ln(1)21x x x x x dx x +-=+-+⎰--------3分 222.ln(1)21x x x xdx dx x=+-++⎰⎰ ()222221.ln(1)12221x x x x d x x=+-+++⎰ 22221.ln(1)ln(1).222x x x x C =+-+++------------------------------------4分5，【解析】令tan x t =，则2sec dx dt =----------------------------------------------------1分 原式化为2221441cos .sec tan .sec sin t tdt dt t t t ππ==⎰⎰------------------------2分24411(sin )sin sin |d t t t ππ==-⎰分=-=----------------------------------4分注意：倒数第二步用到(sin=====6，【解析】2DI x y d x d y=⎰⎰122Dxy dxdy=⎰⎰------------------------------------------1 分（极坐标）2222002cos.sin.d r r rdrπθθθ=⎰⎰-------------------------------------------3分2223342200001182cos.sin.2sin.343||d r dr rππθθθθ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.-----------4分7，【解析】L的参数方程为2,:01,y xxx x⎧=→⎨=⎩-----------------------------------------2分故()3(sin)Lx y dx x y dy--+⎰()1322(sin).2x x x x x dx⎡⎤=--+⎣⎦⎰()11322003sin.2x x dx x xdx=--⎰⎰()114322001sin4|x x x d x⎛⎫=--⎪⎝⎭⎰12035cos cos1.44|x=-+=-------------4分8，【解析】1π的法向量是{}12,3,1n=-；2π的法向量是{}21,1,1n=-.--------------1分可取所求直线的方向向量为{}122312352,3,5111ij k s n n i j k =⨯=-=++=-----------------------------3分故所求直线方程为111.235x y z ---== ------------------------------------------4分9，【解析】()()21111232(1)21f x x x x x x x ===--+--------------------------------1分 其中()100111111.,2,22222212122nn n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-=-∈- ⎪-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭∑∑-------------2分 ()011,1,111n n x x x x ∞==-=-∈---∑ -------------------------------------------------------3分 所以()()1011,1,12n n n f x x x ∞+=⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∑.-------------------------------------------4分应用题1，【解析】本题即为求函数()22,87z f x y x xy y ==++在条件2100x y +=下的条件极值问题.宜用拉格朗日乘数法解之.为此令()()22,,872100F x y x xy y x y λλ=++++-.由 280,14820,1000.x y F x y F y x F x y λλλ'⎧=++=⎪'=++=⎨⎪'=+-=⎩解之，100,3200.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于驻点100200,33⎛⎫ ⎪⎝⎭唯一，实际中确有最大值.所以，当1003x =吨，2003y =吨时可使该产品的产量最大.2，【解析】 设所求曲线弧的方程为()(01)y y x x =≤≤.据题意，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为 ()()301.2xy x dx x y x x -=⎰ ① ①式两边关于x 求导，得()()()21.32y x y x x y x x '-+=⎡⎤⎣⎦，即 ()()2.6y x x y x x '-=，亦即所以()()1.6y x y x x x '-=- ② ②为一阶线性微分方程，其通解为()116dx dx x x y x e xe dx C ---⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰[]ln ln 666x x e xe dx C x dx C x x C -⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ③又将()11y =代入③，得7C =.所以，所求曲线弧方程为267y x x =-+.证明题【解析】 构造函数()20321x x dt f x e t =--+⎰ -------------------------------------------1 分 则()x f 在闭区间 []0,1上连续，在开区间()0,1内可导.因()1002f =-<，而()31024f e π=-->----------------------------------------------2分 故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点ξ()0,1∈，使得 ().0=ξf 即方程()0=x f 在()0,1内至少有一个实根------------------------------3分 又()2101x f x e x'=->+，故方程()0=x f 在()0,1内至多有一个实根. ----------4分 因此，方程()0=x f 在()0,1内有且仅有一个实根.注意：证明中用到当()0,1x ∈时，1x e >，且2111x <+，故()2101x f x e x '=->+. .。

考点1. 求函数的定义域 1、函数314arccos)(-=x x f 的定义域为 . 解：由1314≤-x 得121314≤≤-⇒≤-x x ．即它的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21． 2、函数1)1ln(31)(+-+-=x x x x f 的定义域是 （ ） A （+∞-,1) B （+∞,1） C ),3()3,1(+∞⋃- D ),3()3,1(+∞⋃解：选D .由题意： 03≠-x ，01>-x ，01>+x ，所以得到函数 1)1ln(31+-+-=x x x y 的定义域为),3()3,1(+∞⋃． 3、设()11f x x=+，则()f f x ⎡⎤⎣⎦的定义域为 解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞.4、)(x f 的定义域是[]1,0，)4()4()(++-=x f x f x ϕ的定义域是（ ） A ．[]1,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,41 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41解：定义域4341:4341454114101410:≤≤⎪⎩⎪⎨⎧⇒≤≤-≤≤⎪⎩⎪⎨⎧⇒≤+≤≤-≤x D x x x x D ，因此选C ． 5、如果函数(ln )f x 的定义域为[),e +∞，则函数()f x 的定义域为 （ ） A 、[),e +∞ B 、[)1,+∞ C 、[)1,e D 、(]0,e 解：由1ln e x x ≤<+∞⇒≤<+∞，可知定义域为[)1,+∞.选B. 考点2 求复合函数或函数或复合函数的外层函数 6、已知()1xf x x=+，则[]()f f x =_________.解：根据复合函数可知：[]1()2111xxx f f x x x x+==+++.7、设2(2)1,f x x +=+则(1)f x -= 解：令()22,45x t f t t t +==-+ ()245f x x x =-+；()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+.8、设2cos )(sin 2+==x x f y ，求)(x f ．解：因为x x x f 22sin 32sin 1)(sin -=+-=，所以23)(x x f -=． 9、设函数()12f x x =-，[]1()x g f x x -=，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 解： 由题意知，[]x x x g x f g -=-=1)21()(，题目让求)21(g ，即已知2121=-x ，得41=x ，代入xxx g -=-1)21(即可得到结果3. 10、设()25f x x =+，则[]()1f f x -=_________.解：1345)42(2)42(]1)([,421521)(+=++=+=-+=-+=-x x x f x f f x x x f 则 考点3 函数的奇偶性、有界性等性质的题目 11、函数1y x=在定义域内是 （ ） A 、周期函数 B 、单调函数 C 、有界函数 D 、无界函数 解：根据函数1y x=的图像可知是无界函数.选D. 12、下列函数时奇函数的是 （ ） A 、2sin cos y x x =⋅ B 、2cos sin y x x =⋅C 、223x x y -+= D 、21y x x =-+解：A 、C 是偶函数，Ｂ是奇函数，Ｄ为非奇非偶．故选Ｂ．13、以下结论中正确的是 （ ） Ａ、函数31y x =+是奇函数 B 、函数2sin y x =在定义域内有界 Ｃ、函数ln y x =-在定义域内是单调增加的 D 、函数tan 2y x =的周期是π解：Ａ选项是非奇非偶的，Ｃ在定义域内是单调减少的，Ｄ的周期为2π．故选Ｂ． 14、下列函数中，图形关于y 轴对称的是（）A 、cos y x x =B 、31y x x =++ C 、222x x y --= D 、222x xy -+=15、若()f x 的定义域关于原点对称，则下列函数的图像一定关于y 轴对称的是（） A 、()f x B 、(-)f x C 、()()f x f x +- D 、()()f x f x --解：此题实质也是确定函数奇偶性，利用奇偶函数定义只有()()f x f x +-一定是偶函数，图像关于y 轴对称；()()f x f x --奇函数，图像关于原点对称；另两个无法确定.应选C. 16、若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是A ．(2)f xB ．(2)f x -+C ．(||)f xD ．2()f x解：由奇偶函数的定义易得(||)f x 是偶函数，(2)f x ，2()f x 为奇函数，(2)f x -+为非奇非偶函数，应选C. 考点4 无穷小量阶的比较 17、当n →∞时，21sin n 与1k n为等价无穷小，则k = （ ） A12B 1C 2D -2 解：2211sin limlim 111n n k kn n n n →∞→∞==，2k = 选C 18、当0x →时，2ln(1)x +是比1cos x -的 （ ） Ａ、低阶无穷小 Ｂ、高阶无穷小 Ｃ、等价无穷小 Ｄ、同阶但不等价无穷小解：22ln(1)~x x +，211cos ~2x x -．故选Ｄ． 19、当0x →时，与ｘ不等价的无穷小量是 （ ） Ａ、2x B 、sin x Ｃ、1xe - D 、ln(1)x + 解：根据常用等价关系知，只有2x 与x 比较不是等价的．故选Ａ． 20、当0x →时，2sin x x -是x 的（）A 、高阶无穷小B 、低阶无穷小C 、同阶但非等价无穷小D 、等价无穷小 21、当0x →时，()1cos f x x -与等价，则0()limsin x f x x x→= .考点5 简单函数求极限或极限的反问题22、若105lim 1,knn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k = .解：左式=5lim ()510n kn k ne e e →∞---== 故2k =.23、若()02lim2x f x x →=，则()0lim 3x xf x →= （ ）A ．3B ．13 C ．2 D ．12解：()()002323limlim 32x t tx x t f x f t →→=()021211lim 23323t f t t→==⋅=，∴选B 24、n =解：原式32n =有理化.25、已知216lim 1x x ax x→++-存在，则a =解：()1lim 10x x →-=()21lim 60x x ax →∴++=，160,7a a ++==-26、若()220ln 1lim0sin n x x x x→+=且0sin lim01cos n x xx→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1limlim sin n n x x x x x x xx→→+⋅=20420,lim 02n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n =. 27、20lim(1)xx x →+= （ ）Ａ、１ Ｂ、e Ｃ、2e Ｄ、2e解：221200lim(1)lim(1)xxx x x x e →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦．故选Ｄ．考点6 函数的连续性问题28、设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 解：sin lim 1,x x x →==01lim sin x x a o a x +→⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1a ∴= 选C . 29、函数11,1()0,1x e x f x x --⎧⎪≠=⎨⎪=⎩，在点1x =处 （ ）Ａ、连续 Ｂ、不连续，但右连续Ｃ、不连续，但左连续 Ｄ、左右都不连续 解：111111(1)0,lim ,lim 0(1)x x x x f e e f -+----→→==∞==，所有不连续，但是右连续．选Ｂ．30、设22,1(),1x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩在1x =连续，则a = （ ）Ａ、2- Ｂ、1- Ｃ、１ Ｄ、２解：根据连续的定义有：21lim(2)1x a x -→=-=-．故选Ｂ． 31、如果函数sin (1),1()1arcsin ,1x x f x x x k x π-⎧<⎪=-⎨⎪+≥⎩处处连续，则k = （ ） A 、2π-B 、2π C 、2πD 、2π-解：因为函数处处连续，所以在1x =处也连续，又1sin (1)lim 1x x x ππ-→-=-，1lim(arcsin )2x x k k π+→+=+，从而可知2k π=.选C.32、2,0()sin ,02a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，a 与b 的关系为 .考点7 函数间断点的类型判定 33、0x =是函数1()arctanf x x=的 （ ） Ａ、连续点 Ｂ、可去间断点 Ｃ、跳跃间断点 Ｄ、第二类间断点 解：01lim arctan 2x x π+→=，01lim arctan 2x C x π-→=-⇒．故选Ｃ．34、0x =是221()sinf x x x =的 （ ） A 、连续点 B 、跳跃间断点 C 、可去间断点 D 、第二类间断点 解：函数()f x 在0x =处无定义，又221lim sin0x x x→=，极限存在，故为可取间断点．选Ｃ． 35、设2,0()2,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，则0x =是()f x 的 （ ）A 、连续点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、跳跃间断点 解：0lim(2)2x x -→-=-，0lim(2)2x x +→+=，根据间断点的分类，可知0x =是跳跃间断点.选D.36、设ln ,0()1,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则0x =是()f x 的 （ ）A 、连续点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、跳跃间断点解：000021ln lim ln lim limlim 011x x x x x x x x x x x++++→→→→===-=-，0lim 11x -→=，根据间断点的分类，可知0x =是跳跃间断点.选D.37、0x =是函数1()21xf x =-的（）A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、第二类间断点 考点8 零点定理确定方程根的存在性38、方程310x x +-=在区间()0,1内的实根的个数为 （ ）A 、0B 、1 Ｃ、2 Ｄ、3解：构造函数3()1f x x x =+-， (0)10f =-<，(1)10f =>，根据零点定理知，在()0,1内至少有一个实根；又2()310f x x '=+>，即函数()f x 是单调的。

河南省2020年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项:答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本卷的试题答案必须答在答题卡上,答在试卷上无效。

一、选择题（每小題2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1、当20 , 36x x x x →-时是的A.高阶无穷小 B.等价无穷小 C.同阶无穷小,但不是无穷小 D.低阶无穷小2、设() (,)f x -∞+∞为内的奇函数，则函数)sin ()ln(,)f x x +--∞+∞在内是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性3、极限41lim 1xx x →∞⎛⎫-=⎪⎝⎭A.4e- B.4eC.eD.14、已知函数(1)21f x x +=+，则1(5)fx --=A.29x - B.211x - C.32x - D.22x -5、设函数2sin 2(1),11()2,11,1x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪==⎨⎪->⎪⎩，则1lim ()x f x →为A.0B.1C.2D.不存在6、设函数()sin xf x x=，则0 ()x f x =是的A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点7、设函数0() f x x 在点连续，则下列说法正确的是A.0lim ()x x f x →可能不存在B.0lim ()x x f x →必定存在，但不一定等于()0f x C.当0x x →时，()0()f x f x -必为无穷小 D.()00 f x x 在点必定可导8、设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，若3()()lim6()x af x f a x a →-=-，则在x a =处 A.()f x 导数存在且()0f a '≠ B.()f x 导数不存在C.()f x 取得极小值 D.()f x 不取极值9、24lim48x x x x →∞-=-+A.1- B.0 C.12D.210、设()f x '在点0x 的邻域内存在，且()0f x 为极大值，则()()0002limh f x h f x h→+-=A.0B.12-C.12D.211、设cos ( ),cos sin x t t y t t t=⎧⎨=-⎩为参数则224t d ydxπ==A. B.C.2D.2-12、极限3sin limx x xx →-=A.16-B.6- C.16D.613、设函数33xy x =⋅在点0x 处取得极小值，则0x =A.1ln 3-B.ln 3- C.1ln 3D.ln 314、过曲线ln y x x =上0M 点的切线平行于直线21y x =+，则切点0M 的坐标是A.(1,0)B.(,0)e C.(,1)e D.(,)e e 15、设()yf x =由方程2331y xy x -+=确定，则y '=233A.23x y y x --233 B.23y x y x--223C.33y x x y--232D.33x y x y--16、设函数()y f x =在(,)-∞+∞内连续，其二阶导数()f x ''的图形如图1所示，则曲线()y f x =的拐点的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个17、设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)(1)f f =，则在(0,1)内曲线()y f x =的所有切线中A.至少有一条平等于x 轴B.到少有一条平行于y 轴C.没有一条平行于x 轴D.可能有一条平行于y 轴18、sin(12)x dx -=⎰A.cos(12)x C -+B.cos(12)x C --+1C.cos(12)2x C -+1D.cos(12)2x C--+19、设20()1x x f t dt e =-⎰，其中()f x 为连续函数，则()()n f x =2A.2x e 12B.2n x e -2C.21n x e 12D.2n xe +20、曲线,2 1y x y x x ===与所围成的平面图形绕x 轴旋转所形成旋转体的体积V =7A.15π B. π1C.π15D.7π21、下列广义积分收敛的是2A.1x dx x+∞+⎰B.e+∞⎰1C.sin xdx +∞⎰241D.4dx x+∞-⎰22、平面12:2310 :220x y z x y ππ-++=++=与的位置关系为A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合23、方程220x y z +-=表示的二次曲面是A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面24、设函数()2sin z xy =，则22zx ∂=∂()42A.cos y xy()42B.cos y xy-()42C.sin y xy()42D. sin y xy-25、设函数xz ye -=在点(0,1)-处沿方向l 的方向导数最大，则l =A.i j--B.i j+ C.i j -+ D.i j- 26、二次积分110(,)x dx f x y dy -⎰⎰交换积分次序后是110A.(,)y d y f x y dx-⎰⎰110B.(,)x d y f x y dx -⎰⎰11C.(,)xd y f x y dx-⎰⎰11D.(,)d y f x y dx⎰⎰27、区域D 由曲线221,0,1y x y x x x =+===与所围成，则D)x y dxdy +=⎰⎰（4A.3-4B.33C.4-3D.428、设L 为取正向的圆周226x y +=，则曲线积分()()23324Lxy y dx x x dy -++=⎰ A.6πB. 6π-C.36πD.36π-29、级数0 0!nn kx k n ∞=>∑在时的收敛区间为A.(1,1)-11B. ,k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.(,)k k - D.(,)-∞∞30、用待定系数法求微分方程268sin xy y y e x '''-+=的特解*y 时，下列*y 设法正确的是2A.cos x Ce x[]212B.cos sin x e C x C x +[]212C.cos sin x xe C x C x +[]2212D.cos sin x x e C x C x +二、填空题(每小题2分,共20分)31、已知(1)arctan ,[()]2, (2)f x x f x x x ϕϕ+==-+=则32、设当0x ≠时，sin 2()xf x x=，F(x)在点0x =处连续，当0x ≠时，()()F x f x =，则(0)F =33、函数2()ln(3)d x f x t t =+⎰的单调递增区间是34、设32()3lim ()x f x x x f x →=+，且2lim ()x f x →存在，则()f x '=35、定积分22-=⎰36、设()()f x dx F x C =+⎰，则(sin )cos f x xdx =⎰37、过点0M (1,-1,2)且垂直于平面9 9 0x y z ++=的直线方程为38、设()2ln z x y =+，则全微分 d z =39、当0x >时，幂级数0(1)(2)!n nn n ∞=-∑的和函数()S x =40、微分方程0y y y '''++=的通解为三、计算题（每小题5分，共50分）41、求极限32111lim 1223(1)n n n n -→∞⎡⎤+++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦42、求函数ln xy x=的导数43、求曲线111sin1ln(1)x y x x e x =+--+的渐进线.(不考虑斜渐进线的情况)44、求函数4323865y x x x =-++的凸凹区间与拐点。

精品文档2001年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题 （每小题1 分，共30 分，每小题选项中只有一个是正确的，请 将正确答案的序号填在括号内）. 1．函数 )y x=-的定义域为（ ） A ．[0，3） B ．（0，3） C ．（0，3] D. [0，3] 2．已知 2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 等于（ ） A ．22x + B ．()22x + C ．22x - D. ()22x -3．设()1cos 2f x x =-，2()g x x =，则当0→x 时，()x f 是()g x 的（ ）A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小4．对于函数24(2)x y x x -=-，下列结论中正确的是（ ）A ．0x =是第一类间断点，2x =是第二类间断点；B ．0x =是第二类间断点，2x =是第一类间断点；C ．0x =是第一类间断点，2x =是第一类间断点；D ．0x =是第二类间断点，2x =是第二类间断点.5．设()02f '= ，则()()limh f h f h h→--的值为（ ）A ．1B ．2C ．0D ．4 6．设cos xy e =，则dy 等于（ ）A ．sin xxe e dx - B ．sin xxe e - C ．sin xxe e dx D ．sin xe dx - 7．已知椭圆的参数方程为cos ,(0,0)sin ,x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩，则椭圆在4t π=对应点处切线的斜率为（ ）A ．b aB ．a bC ．b a -D ．ab-8．函数()y f x =在点0x 处可导是它在0x 处连续的（ ） A ． 充分必要条件 B ．必要条件 C ． 充分条件 D ．以上都不对精品文档9．曲线323y x x =-的拐点为（ ）A ．(1,2)-B ．1C ．(0,0)D ．(2,4)- 10． 下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ． y x = B ．3x C ．2x D ．1x11．设()F x 是()f x 的一个原函数，则()2f x dx ⎰等于（ ）A ．()12F x C + B ．()122F x C + C ．()F x C + D ．()12F x C +12．下列式子中正确的是（ ）A ．()()dF x F x =⎰B ．()()d dF x F xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx dx=⎰ D ．()()d f x f x dx =⎰ 13．设1210I x dx =⎰，2120x I e dx =⎰，则它们的大小关系是（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．12I I ≥14．定积分203tan limxx tdt x →⎰等于（ ）A ．+∞B ．16 C ． 0 D ． 1315．下列广义积分中收敛的是（ ） A．1+∞⎰B．1+∞⎰C ．11dx x +∞⎰D ．11ln dx x+∞⎰16．0x y →→ ）A ． 0 B.12 C ．12- D ．+∞17．设3z xy x =+，则11|y x dz ==等于（ ）A ． 4dx dy +B ．dx dy +C ．4dx dy +D ．3dx dy + 18．函数()22,221f x y x y x y =+--+的驻点是（ ）A ．()0,0B ．()0,1C ．()1,0D ．()1,1 19．平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．重合 D ． 斜交 20．设(){}222,|,0D x y xy R y =+≤≥，则在极坐标系下，()22Df x y dxdy +⎰⎰可表示为（ ）A.()2Rd f r dr πθ⎰⎰ B.()222Rd f r rdr ππθ-⎰⎰C.()2Rd f r rdr πθ⎰⎰ D.()220Rd f r dr πθ⎰⎰21．设级数()11nn u ∞=-∑收敛，则lim n n u→∞等于（）A ．1B ．0C ．+∞D ．不确定 22．下列级数中收敛的是（ ） A．1n ∞= B ．123n n n ∞=∑ C ．12n n n ∞=∑ D ．21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑23．设正项级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A ．1nn nu∞=∑ B．1n ∞= C ．11n n u ∞=∑ D ．21n n u ∞=∑24．下列级数中，条件收敛的是（ ）A ．211sin n n ∞=∑ B ．211(1)n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．11(1)2n n n ∞=-∑ 25．设幂级数n n nx a∑∞=0（n a 为常数，Λ,2,1=n ）在点2x =处收敛，则该级数1x =-处（ ）A 发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性无法判定26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ）A ．sin y C x =B ．12sin cos yC x C x =+C ．sin cos y x x =+D ．()12cos y C C x =+27．下列常微分方程中为线性方程的是（ ） A ．x yy e-'= B ．sin yy y x '+=C ．()22x dx y xy dy '=+D ．20xxy y e'+-=28．微分方程y x '''=的通解是（ ）A ．42123124y x C x C x C =+++ B ．32123112y x C x C x C =+++ C ．42123112y x C x C x C =+++ D ．32123118y x C x C x C =+++29．微分方程40y y ''-=的通解是（ ） A ．2212xx y C eC e -=+ B ．()212x y C C x e =+C ．212xy C C e =+ D ．12cos 2sin 2y C x C x =+30．对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A ．*2.y ax bx c =++ B ．()*22y x ax bx c =++ C ．()*y x ax b =+ D ．()*2y x ax bx c =++二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 1．()1lim 1sin xx x →+=________．2．设()33xf x x =+，则()()40f=________．3．曲线arctan 2y x =在()0,0点的法线方程为________．4．sin x xe e dx ⎰=________．5．由曲线2,0,1y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______． 6．设 yxz x y =+，则zx∂=∂________． 7．交换积分()11,xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I =________．8.幂级数15nn x ∞=-的收敛半径为________．9．幂级数02!n nn x n ∞=∑的和函数()s x 为________．10． 方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限0ln cot lim ln x xx+→ 2．求函数12(12)xy x +=+的导数.3．已知 (),z f xy x y =+且f 可微分，求,z z x y∂∂∂∂. 4．计算2ln(1)x x dx +⎰.5．计算1.6．计算2DI xy dxdy =⎰⎰，其中D 为224,0x y x +==所围的右半圆. 7．计算积分()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是曲线2y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段有向弧.8．求过点(1,1,1,)P 且平行于平面1:2340x y z π-+-=与2:60x y z π+--=的直 线方程． 9．将函数()2123f x x x=-+展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间． 四、应用题 （每小题5分，共 10 分）1．某工厂生产某产品需两种原料A 、B ，且产品的产量z 与所需A 原料数x 及B 原料数y 的关系式为2287z x xy y =++.已知A 原料数x 的单价为1万元/吨，B 原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点()1,1A 且对于该曲线上的任一点(),P x y ，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为3x ． 求曲线弧的方程．五、证明题 （4 分）证明方程203021x xdt e t --=+⎰在区间()0,1内有唯一实根.答案1，【答案】A. 【解析】要求0x ≥；ln(3)x -要求30x ->，即 3.x <取二者之交集，得0 3.x ≤<应选A.2，【答案】C.【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2()2f x x =-，应选C.3，【答案】D.【解析】因为()()2220001(2)1cos 22lim lim lim 2x x x x f x xg x x x→→→-===，所以由定义知，()x f 是()g x 的同阶但不等价无穷小.选D.4，【答案】B ．【解析】 因为204lim(2)x x x x →-=∞-，故0x =第二类间断点，且0x =为无穷型间断点； 又因为22224(2)(2)2limlim lim 2(2)(2)x x x x x x x x x x x x→→→--++===--，故2x =是第一类间断点，且为可去型间断点.所以选B ．5，【答案】D. 【解析】()()0limh f h f h h→--()()()0(0)0lim h f h f f h f h →----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()[]000()(0)00limlim h h f h f f h f h h→→+--+-=+- ()()00 4.f f ''=+=选 D.6，【答案】A.【解析】因为(cos )sin ()sin xxxxxy e e e e e '''==-=-，所以sin xxdy y dx e e dx '==-， 故选A. 7，【答案】C. 【解析】cos dy b t dt = ，sin dx a t dt =- ，所以=dx dy =dt dx dt dy cot .bt a- 故椭圆在4t π=对应点处切线斜率为4b y a π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，应选C.8，【答案】选C. 9，【答案】A.【解析】 ()236f x x x '=-；()()6661f x x x ''=-=-.令()0f x ''=，得1x =；无二阶不可导点.又当1x <时，()0f x ''<，而当1x >时，()0f x ''>，故(1,2)-为拐点，选A.10，【答案】C ． 【解析】（1）．x 在0=x 处不可导，故x 在()1,1-内不可导，排除A ； （2）．3x 在端点1x =-及1x =处的值不相等，排除B ；（3）．1x 在0x =处无定义，故1x在[]1,1-上不连续，排除D.选C.11，【答案】B ．【解析】()2f x dx ⎰()()1122(2).22f x d x F x C ==+⎰ 选B ．12，【答案】D. 13，【答案】C.【解析】因为当[]0,1x ∈时，21x ≤，而21x e≥，且2x e 不恒等于2x ，故12I I <，选C.14，【答案】D.【解析】 203tan limxx tdt x →⎰222200tan 1lim lim .333x x x x x x →→===选D.15，【答案】A. 【解析】1+∞⎰()32112lim 12012x x dx +∞-+∞⎡⎤==-=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰，故1+∞⎰收敛，选 A.16，【答案】B.【解析】00x y →→0012x y →→==，选 B.17，【答案】C. 【解析】23zy x x∂=+∂；z x y ∂=∂.故()23.z z dz dx dy y x dx xdy x y ∂∂=+=++∂∂所以，114|y x dz dx dy ===+. 选C ．18，【答案】D. . 【解析】 由方程组()(),220,,220,x y f x y x f x y y '=-=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩ 得1,1,x y =⎧⎨=⎩ 故驻点为()1,1.选D.19，【答案】B.【解析】 平面 3250x y z +-+=的法向量为{}13,2,1n =-u r；平面240x y z ---=法向量为{}21,2,1n =--u u r .因为12.0n n =u r u u r ，所以1n u r ⊥2n u u r，平面3250x y z +-+=与240x y z ---=垂直，选B .20，【答案】C.21，【答案】A ．【解析】因为()11nn u ∞=-∑收敛，故由级数收敛的必要条件知()lim 10n n u →∞-=所以，()lim 1lim 110 1.n n n n u u →∞→∞=--=-=选A.22，【答案】B. 【解析】 （1）n ∞=1121n n∞==∑为112p =<的p—级数，故1n ∞=发散，排除A ；（2）123n n n ∞=∑123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为公比213q =<的等比级数，故收敛，选B ；（3）记2(1,2,...)n n u n n ==，因为1lim 2lim 211n n n nu nu n ρ+→∞→∞===>+，故由达朗贝尔比值审敛法知12n n n ∞=∑发散，排除C ；（4）因为211n n ∞=∑为21p =>的p —级数，故211n n ∞=∑收敛；又143n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑为公比的等比级数，故143nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑发散.所以由级数的性质知21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑发散.23，【答案】D. 【解析】（1）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n nu n ∞∞===∑∑发散，排除A ；（2）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n ∞∞===∑发散，排除，选B ；（3）记21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但2111n n n n u ∞∞===∑∑发散，排除C ； （4）因为1n n u ∞=∑收敛，故lim 0n n u →∞=；所以由2lim lim 0n n n n nu u u →∞→∞==，且1n n u ∞=∑收敛知，21n n u ∞=∑也收敛.选D.24，【答案】C. 【解析】（1）211sin n n ∞=∑211sin n n ∞==∑，因为2211limsin 1n n n →∞=且211n n ∞=∑收敛，故211sin n n ∞=∑绝对收敛，排除A ；（2）211(1)nn n ∞=-∑211n n ∞==∑收敛，故211(1)n n n ∞=-∑绝对收敛，排除B ； （3）11(1)2nn n ∞=-∑112n n ∞==∑收敛，故11(1)2n n n ∞=-∑绝对收敛，排除D ；（4）记1,2,...)n u n ==，则显然{}n u 单减，且lim 0n n u →∞=，所以由莱布尼兹审敛法知1(1)n n ∞=-∑收敛；但1(1)nn ∞=-∑1n ∞==发散，故1(1)n n ∞=-∑条件收敛.25，【答案】C. 【解析】由题意，nn nx a∑∞=0在点2x =处收敛，故由Abel 收敛定理知，n n n x a ∑∞=0在22x <=的点x 处均绝对收敛，又因为12-<，所以n n nx a∑∞=0在点1-=x 处绝对收敛.选C.26，【答案】B . 由通解的定义知，应选B .27，【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .28，【答案】A . 【解析】21122y xdx x C ''==+⎰； 23112112226y x C dx x C x C ⎛⎫'=+=++⎪⎝⎭⎰； 34212123112624y x C x C dx x C x C x C ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭⎰29，【答案】A .【解析】微分方程40y y ''-=的齐次方程的特征方程为240r -=所以，特征根为：122, 2.r r =-=故通解为2212xx y C e C e -=+，选A.30，【答案】A ．【解析】微分方程22y y x ''-=的齐次方程的特征方程为220r -=所以，特征根为：12r r ==这里右端项()220xf x x x e ==，因为0λ=非特征根，故可设()*022.y x ax bx c ax bx c =++=++故选A.填空1，【答案】填e .【解析】()10lim 1sin xx x →+=()sin 11sin 0lim 1sin xxxx x e e →⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦.2，【答案】填4ln 3.【解析】()233ln3xf x x '=+；()263ln 3xf x x ''=+；()363ln 3xf x '''=+；()()443ln 3x f x =.所以，()()440ln 3f =.3，【答案】填20x y +=. 【解析】()221221(2)14y x x x''==++ ；故切线斜率为()02y '=.所以法线方程为 10(0)2y x -=--，即 20x y +=.4，【答案】填cos xe c -+【解析】sin x x e e dx ⎰ ()sin cos .x x x e d e e c ==-+⎰5，【答案】填15π.【解析】 ()212015V x dx ππ==⎰. 6，【答案】填1ln y x yx y y -+.【解析】1ln y x zyx y y x-∂=+∂. 7，【答案】填()1,yI dy f x y dx =⎰⎰.【解析】积分区域D 是由直线,1y x y ==及y 轴所围成的三角形区域，交换积分 次序后()1,yI dy f x y dx =⎰⎰.8，【答案】填1.【解析】记1,2,...)n u n ==，因为1lim 1n n n na a ρ+→∞===，所以收敛半径为11.R ρ==9，【答案】填2xe .【解析】由展式()0,,.!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑知()20022.!!nn n x n n x x e n n ∞∞====∑∑10，【答案】填tan .tan .x y C = 【解析】①式可化为22sec sec tan tan x ydx dy x y=- ② ②两边积分，得22sec sec tan tan x ydx dy x y=-⎰⎰，即 11(tan )(tan )ln tan ln tan ln .tan tan d x d y x y C x y =-⇒=-+⎰⎰也就是ln tan .tan ln .x y C = 所以原方程的通解为tan .tan .x y C =计算题1，【解析】0ln cot lim ln x x x +→（洛必达）201cot .(csc )lim 1x x x x +→-=-----------------------------------------2分 0lim sin .cos x xx x+→=- ------------------------------------------3分0lim 1cos x xx x+→=-=---------------------------------------------4分2，【解析】()ln 12ln(12)y x x =++ --------------------------------------------------1 分上式两端关于x 求导，得 ()11.2ln(12)(12)..1212y x x x y x ⎡⎤''=++++⎢⎥+⎣⎦-------------------------2分 即 1.2ln(12)2y x y'=++ ----------------------------------------------------3分 所以[]()[]122ln(12)212.2ln(12)2.xy y x x x +'=++=+++---------------4分3，【解析】由微分形式的不变性知()()12..dz f d xy f d x y ''=++-------------------------------------------------------2分即()()12dz f ydx xdy f dx dy ''=+++()()1212yf f dx xf f dy ''''=+++----------------------------------------------- ----4分所以12zyf f x∂''=+∂；12z xf f y ∂''=+∂.---------------------------------------------------5分4，【解析】2ln(1)x x dx +⎰22ln(1)2x x d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰-----------------------------------------------------1分 （分部）2222.ln(1)(ln(1))22x x x d x =+-+⎰----------------------------------------2分 2322.ln(1)21x x x dx x =+-+⎰2322().ln(1)21x x x x x dx x +-=+-+⎰--------3分 222.ln(1)21x x x xdx dx x =+-++⎰⎰ ()222221.ln(1)12221x x x x d x x=+-+++⎰ 22221.ln(1)ln(1).222x x x x C =+-+++------------------------------------4分5，【解析】令tan x t =，则2sec dx dt =----------------------------------------------------1分 原式化为2221441cos .sec tan .sec sin ttdt dt t ttππ==⎰⎰------------------------2分24411(sin )sin sin |d t t t ππ==-⎰-----------------------3分3=-=----------------------------------4分注意：倒数第二步用到(sin arctan =====6，【解析】 2DI xy dxdy =⎰⎰ 122D xy dxdy =⎰⎰ ------------------------------------------1 分（极坐标）222202cos .sin .d r r rdr πθθθ=⎰⎰-------------------------------------------3分222334220001182cos .sin .2sin .343||d r dr r ππθθθθ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.-----------4分7，【解析】 L 的参数方程为2,:01,y x x x x ⎧=→⎨=⎩-----------------------------------------2分 故()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰()13220(sin ).2x x x x x dx ⎡⎤=--+⎣⎦⎰()11322003sin .2x x dx x xdx =--⎰⎰ ()114322001sin 4|x x x d x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰12035cos cos1.44|x =-+=-------------4分8，【解析】1π的法向量是{}12,3,1n =-u r ；2π的法向量是{}21,1,1n =-u u r.--------------1分可取所求直线的方向向量为{}122312352,3,5111i j ks n n i j k =⨯=-=++=-r r r r u r u u r r r r----------------------------3分故所求直线方程为111.235x y z ---== ------------------------------------------4分9，【解析】()()21111232(1)21f x x x x x x x ===--+--------------------------------1分其中()100111111.,2,22222212122nn n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-=-∈- ⎪-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭∑∑-------------2分()011,1,111n n x x x x ∞==-=-∈---∑ -------------------------------------------------------3分 所以()()1011,1,12n n n f x x x ∞+=⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∑.-------------------------------------------4分应用题1，【解析】本题即为求函数()22,87z f x y x xy y ==++在条件2100x y +=下的条件极值问题.宜用拉格朗日乘数法解之.为此令()()22,,872100F x y x xy y x y λλ=++++-.由 280,14820,1000.x y F x y F y x F x y λλλ'⎧=++=⎪'=++=⎨⎪'=+-=⎩解之，100,3200.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于驻点100200,33⎛⎫⎪⎝⎭唯一，实际中确有最大值.所以，当1003x =吨，2003y =吨时可使该产品的产量最大.2，【解析】 设所求曲线弧的方程为()(01)y y x x =≤≤.据题意，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为()()31.2xy x dx x y x x -=⎰ ① ①式两边关于x 求导，得()()()21.32y x y x x y x x '-+=⎡⎤⎣⎦，即 ()()2.6y x x y x x '-=，亦即 所以()()1.6y x y x x x'-=- ② ②为一阶线性微分方程，其通解为()116dxdx xxy x e xe dx C ---⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰[]ln ln 666x x e xe dx C x dx C x x C -⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰③又将()11y =代入③，得7C =.所以，所求曲线弧方程为267y x x =-+.证明题【解析】 构造函数()20321x xdtf x e t=--+⎰ -------------------------------------------1 分 则()x f 在闭区间 []0,1上连续，在开区间()0,1内可导. 因()1002f =-<，而()31024f e π=-->----------------------------------------------2分 故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点ξ()0,1∈，使得().0=ξf 即方程()0=x f 在()0,1内至少有一个实根------------------------------3分 又()2101xf x e x'=->+，故方程()0=x f 在()0,1内至多有一个实根. ----------4分 因此，方程()0=x f 在()0,1内有且仅有一个实根. 注意：证明中用到当()0,1x ∈时，1xe >，且2111x <+，故()2101xf x e x '=->+. .。

河南省一般高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己旳姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。

本试卷旳试题答案在答题卡上，答试卷上无效。

一、选择题（每题2分，合计60分）在每题旳四个备选答案中选出一种对旳答案，有铅笔把答题卡上相应旳题目旳标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其她答案标号.1.下列函数相等旳是 （ ）A.2x y x=，y x = B. y =y x =C.x y =，2y =D. y x =，y =【答案】D.解：注意函数旳定义范畴、解析式，应选D.2.下列函数中为奇函数旳是 （ ）A.e e ()2x xf x -+= B. ()tan f x x x =C. ()ln(f x x =D. ()1xf x x=- 【答案】C.解: ()ln(f x x -=-，()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-+==()()f x f x -=-，选C.3．极限11lim1x x x →--旳值是 ( ) A.1 B.1- C.0 D.不存在 【答案】D. 解：11lim 11x x x +→-=-，11lim 11x x x -→-=--，应选D. 4.当0x →时，下列无穷小量中与x 等价是 （ ）A.22x x - C. ln(1)x + D. 2sin x 【答案】C.解: 由等价无穷小量公式，应选C.5.设e 1()x f x x-=，则0=x 是()f x 旳 （ ）A.持续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 【答案】B.解: 00e 1lim ()lim1x x x f x x→→-==⇒0=x 是)(x f 旳可去间断点,应选B. 6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '= （ ）A. 2B. -1C.1D. -2 【答案】D. 解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-，应选D.7.设()f x 具有四阶导数且()f x ''=(4)()f x = （ ）AB C ．1 D ．3214x --【答案】D. 解：1(3)21()2fx x -=，(4)()f x =3214x --，应选D.8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩在π4t =相应点处旳法线方程 （ ）A. x =1y = C. 1y x =+ D. 1y x =- 【答案】A.解：0d 2cos 20d sin y t k x x x t =⇒=⇒==切，应选A. 9.已知d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x = （ ） A ．2e e x x + B. 2e e x x - C. 2e e x x -+ D. 2e e x x -- 【答案】B.解:由d e ()e d x x f x x -⎡⎤=⎣⎦得 2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x x f x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦， 把(0)0f =代入得1C =-,因此2()e e x x f x =-,应选B.10.函数在某点处持续是其在该点处可导旳 （ ） A. 必要条件 B. 充足条件 C. 充足必要条件 D. 无关条件 【答案】A.解:根据可导与持续旳关系知，应选A.11.曲线42246y x x x =-+旳凸区间为 （ ） A.(2,2)- B. (,0)-∞ C.(0,)+∞ D. (,)-∞+∞ 【答案】A.解: 34486y x x '=-+，212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-，应选A.12. 设e xy x= （ ）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线 【答案】B.解: e lim0x x x →-∞=，0e lim xx x→=∞，应选B. 13.下列说法对旳旳是 （ ） A. 函数旳极值点一定是函数旳驻点 B. 函数旳驻点一定是函数旳极值点C. 二阶导数非零旳驻点一定是极值点D. 以上说法都不对 【 答案】D.解: 根据极值点与驻点旳关系和第二充足条件，应选D.14. 设函数()f x 在[,]a b 持续，且不是常数函数,若()()f a f b =，则在(,)a b 内 （ ）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C. 既有极大值又有极小值D. 至少存在一点ξ，使()0f ξ'= 【答案】A.解:根据持续函数在闭区间上旳性质及()()f a f b =旳条件,在相应旳开区间内至少有一种最值,应选A.15.若()f x 旳一种原函数为ln x ，则()f x '= （ ）A. 1xB.21x- C. ln x D. ln x x【答案】B.解: ()1()ln f x x x '==⇒ 21()f x x'=-,应选B.16.若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ （ ） A. 222(1)x C --+ B. 222(1)x C -+C. 221(1)2x C --+D. 221(1)2x C -+【答案】C.解: 2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,应选C. 17.下列不等式不成立旳是（ ）A. 22211ln (ln )xdx x dx >⎰⎰ B. 220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C. 220ln(1)x dx xdx +<⎰⎰ D. 22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D.解: 根据定积分旳保序性定理，应有22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰，应选D.18.1ln eex dx ⎰= （ ）A. 111ln ln e exdx xdx +⎰⎰ B. 111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C. 111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰ D. 111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C.解:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分旳可加性有 1111ln ln ln eeeexdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰，应选C.19．下列广义积分收敛旳是 （ ）A.ln ex dx x +∞⎰B. 1ln e dx x x +∞⎰ C. 21(ln )e dx x x +∞⎰D. e +∞⎰ 【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =旳积分,收敛旳,应选C.20.方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表达旳曲面是 （ ） A.球面 B.圆锥面 C. 旋转抛物面 D.圆柱面 【答案】C.解:根据方程旳特点是抛物面,又因两个平方项旳系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表达旳曲面是旋转抛物面,应选C.21. 设{}1,1,2a =-，{}2,0,1b =，则a 与b 旳夹角为 （ ） A ．0 B ．6π C ．4π D ．2π 【答案】D.解:0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=,应选D.22.直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=旳位置关系是 ( ) A. 平行但直线不在平面内 B. 直线在平面内 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】A.解:因{}2,7,3s =--,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点(3,4,0)--不在平面内.故直线与平面旳位置关系是平行但直线不在平面内,应选A.23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ )A.0B.2(,)x f a b 'C. (,)x f a b 'D. (,)y f a b ' 【答案】B.解:原式00(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=- 应选B. 24．函数x yz x y+=-旳全微dz = （ ） A ．22()()xdx ydy x y -- B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y -- D ．22()()xdy ydx x y -- 【答案】D 解：22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---，应选D25．0(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为 （ ）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰ B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 20(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D.解:积分区域{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有(,)ady f x y dx ⎰20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,应选D.26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点旳三角形区域旳边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰A.-8B.0 C 8 D.20 【答案】A.解: 由格林公式知, (3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰，应选A.27.下列微分方程中，可分离变量旳是 （ ） A ．tan dy y ydx x x=+ B ．22()20x y dx xydy +-= C ．220x y x dx edy y ++= D ． 2x dy y e dx+= 【答案】C.解: 根据可分离变量微分旳特点,220x y xdx e dy y++=可化为 22y x ye dy xe dx -=-知,应选C.28.若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数收敛旳是 （ ）A ．110nn u ∞=∑ B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n n u ∞=∑ D ． 1(10)n n u ∞=-∑【答案】A.解: 由级数收敛旳性质知,110nn u ∞=∑收敛,其她三个一定发散,应选A. 29.函数()ln(1)f x x =-旳幂级数展开为 （ ）A ．23,1123x x x x +++-<≤ B ．23,1123x x x x -+--<≤C ．23,1123x x x x -----≤< D ． 23,1123x x x x -+-+-≤<【答案】C.解: 根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤可知,23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<,应选C.30.级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处 （ ）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法拟定 【答案】B.解: 令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1n n n a t ∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,拟定1t =处与否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛旳,故应选B.二、填空题（每题2分，共30分）31.已知()1xf x x=-，则[()]______f f x =. 解：()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.32.当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim_______sin x f x x x→=. 解：2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============. 33.若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则_______a =. 解：因2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x a x x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此有 38a e =ln 2a ⇒=.34.设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内到处持续，则_______a =.解：函数在(,)-∞+∞内到处持续，固然在0x =处一定持续，又由于0sin lim ()lim1;(0)x x xf x f a x→→===，因此0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=.35.曲线31xy x=+在（2，2）点处旳切线方程为___________. 解：因2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+. 36.函数2()2f x x x =--在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____ξ=. 解：(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.37.函数()f x x =旳单调减少区间是 _________.解：1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f '===则2()______xf x dx ''=⎰.解：222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.39.设向量b 与}{1,2,3a =-共线，且56a b ⋅=,则b =_________. 解：因向量b 与a 共线,b 可设为{},2,3k k k -，5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=,因此{}4,8,12b =-.40.设22x y z e+=，则22zx∂=∂_______.解：22222222222(12)x y x y x y z z z exe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41．函数22(,)22f x y x xy y =+-旳驻点为________.解：40(,)(0,0)40fx y x x y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩.42．区域D 为229x y +≤，则2______Dx yd σ=⎰⎰.解：运用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.43.互换积分顺序后,10(,)_____________xdx f x y dy =⎰.解：积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.44.14x y xe -=-是23x y y y e -'''--=旳特解，则该方程旳通解为_________.解：230y y y '''--=旳通解为312x x y C e C e -=+，根据方程解旳构造,原方程旳通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.45.已知级数1n n u ∞=∑旳部分和3n S n =，则当2n ≥时，_______n u =.解：当2n ≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+.三、计算题（每题5分，共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.解：20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭0011limlim 222x x x e x x x →→-===. 47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=拟定旳隐函数，求dxdy . 解：方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即 ()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++= 2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y '+=--因此 dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+.48.已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰. 解：方程2()x xf x dx e C -=+⎰两边对x 求导得 2()2xxf x e-=-，即22()xe f x x--=，因此211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ 222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.解：40144401|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰1441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰14322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭641164118843323332=++-+--+=. 50.已知22x xy y z e +-= 求全微分dz .解：因222222()(2)x xy y x xy y x ze x xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂,222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都持续，从而函数22xxy y z e +-=可微，并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰，其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成.x x y =→=2yx =2解：积分区域D 如图所示： 把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有22(2)(2)yy Dx y d dy x y dx σ+=+⎰⎰⎰⎰2222025()4yy x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 52.求微分方程22x y xy xe -'-=旳通解. 解：这是一阶线性非齐次微分方程，它相应旳齐次微分方程20y xy '-=旳通解为2x y Ce =， 设原方程旳解为2()x y C x e =代入方程得22()x x C x e xe -'=, 即有 22()x C x xe -'=， 因此 222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程旳通解为2214x x y e Ce -=-+.53.求幂级数212nn n n x ∞=∑旳收敛区间（考虑区间端点）. 解：这是原则缺项旳幂级数，考察正项级数212nn n n x ∞=∑， 因221112limlim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=, 当212x l =<，即||x <212n n n nx ∞=∑是绝对收敛旳； 当212x l =>，即||x >212n n n nx ∞=∑是发散旳； 当212x l ==，即x =212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑，显然是发散旳。

河南省专升本高数练习题### 河南省专升本高数练习题#### 一、选择题1. 函数 \( y = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 4D. 无最小值2. 曲线 \( y = \sin x \) 在 \( x = \frac{\pi}{2} \) 处的切线斜率是（）。

A. 1B. 0C. -1D. 无法确定#### 二、填空题1. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \) 的值是 _______。

2. 函数 \( y = \ln(x+1) \) 的导数是 \( y' = \frac{1}{x+1} \)，那么 \( y'' \) 是 _______。

#### 三、解答题1. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。

2. 求函数 \( y = e^x \) 的二阶导数，并说明其性质。

#### 四、证明题证明：对于任意 \( x \in \mathbb{R} \)，不等式 \( e^x \geq 1 + x \) 成立。

解答：#### 一、选择题1. 答案：B函数 \( y = x^2 - 4x + 4 \) 可以写成 \( y = (x - 2)^2 \)，这是一个开口向上的抛物线，顶点为最小值点，即 \( (2, 0) \)。

2. 答案：A曲线 \( y = \sin x \) 的导数为 \( y' = \cos x \)，所以在\( x = \frac{\pi}{2} \) 处的斜率为 \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \)。

#### 二、填空题1. \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \Big|_0^1 =\frac{1}{3} \)。

2. \( y' = \frac{1}{x+1} \)，再次求导得到 \( y'' = -\frac{1}{(x+1)^2} \)。