高中物理有引力定律的应用学案2(粤教版必修2)

3.2 万有引力定律的应用学案2（粤教版必修2）

【学习目标】

【知识和技能】

1、会利用万有引力定律计算天体的质量。

2、理解并能够计算卫星的环绕速度。

3、知道第二宇宙速度和第三宇宙速度及其含义。

【过程和方法】

1、了解万有引力定律在探索宇宙奥秘中的重要作用，感受科学定律的巨大魅力。

2、体会科学探索中，理论和实践的关系。

3、体验自然科学中的人文精神。

【情感、态度和价值观】

培养对万有引力定律的理解和利用有限的已知条件进行近似计算的能力。

【学习重点】

1、利用万有引力定律计算天体质量的思路和方法

2、发现海王星和冥王星的科学案例

3、计算环绕速度的方法和意义

4、第二宇宙速度和第三宇宙速度及其含义

【知识要点】

一、天体的重力加速度：

即：物体在天体表面上方只受天体的引力作用时，自由下落的加速度。

设天体质量为M、半径为R ，质量为m 的物体从距离该天体表面h处自由下落，如果忽略天体自转的影响，则重力加速度g是由天体对它的万有引力产生的．由万有引力定律和牛顿第二定律可得该物体自由下落的加速度，即该天体M的重力加速度为：

2hRGMmFg)(引

由此式可知，天体的重力加速度并非恒量，如果物体距离天体表面的高度变化，则重力加速度的值也会变化。

如果h<

因为地球是一个极半径比赤道半径略小的椭球体，因而物体位于赤道上时，地球对它的引力最小，重力也最小．地球表面的重力加速度值由赤道到两极逐渐增大，而且随着距地表高度的增大，重力加速度值会减小．

*地球表面上物体的重力和地球对物体的万有引力的关系

地球上物体的重力是由于地球的吸引而产生的，它并不等于万有引力．这是因为地球上的物体要随地球自转而做匀速圆周运动，设运动半径r是物体到地轴的距离，所需向心力大小为F需＝mω2r,方向垂直指向地轴，如图所示．物体随地球的自转所需的向心力，是由地球对物体的引力的一个分力提供的，引力的另一个分力才是通常所说的物体受到的重力．

地球上物体的重力会随纬度变化而变化．这里的原因有两个：一是由于在不同的纬度上物体随地球自转时的运动半径不同，因而所需的向心力有所不同；另一个是由于地球并不是一个理想的球体，从精确的测量可知，地球是一个极半径比赤道半径略小的椭球体，因而物体位于不同纬度上，地球对它的引力也就有所不同．所以随着纬度的增加，地球对物体的引力逐渐增大，物体随地球自转所需向心力逐渐减小，物体的重力逐渐增大．

实际上，由于地球的自转很慢，物体随地球的自转所需的向心力，最大也不过是地球对它的引力的千分之几；而且地球的极半径与赤道半径相差极小，物体的重力在两极与赤道相差也不过千分之几，所以在一般情况下，重力和重力加速度随纬度的变化可忽略不计．

二、天体运动的动力学方程

一般情况下，一个天体 （质量为m）绕另一天体（质量为M） 的运动和人造卫星绕地球的运动都近似为匀速圆周运动，其运动所需向心力由它们间的万有引力提供，进而利用万有引力定律、牛顿第二定律及向心加速度公式可求出各类问题的解．通用的动力学方程是：（式中r、ω、T分别是做匀速圆周运动的天体A的轨道半径、角速度、周期.）

rvmrMmG22

或 22mrrMmG

或 22)2(TmrrMmG

三、人造地球卫星的速度、向心加速度、角速度、周期

要求能熟练用上面的动力学方程推导（不要死记硬背）人造地球卫星的速度v、向心加速度a、角速度ω、周期T等，即下列各式(r是卫星的轨道半径)。

rGMv地 2rGMa地 3rGM地

地GMr2T3

如果利用地球表面的重力加速度2RGMg地地地 则以上各式变为（请同学们自己填写）： _____v ____a ____ _____T

四、三种宇宙速度

物理含义 大小

第一宇宙速度

（环绕速度） 发射人造地球卫星所需的最小发射速度。 skm97gRRGMv/.地地地

第二宇宙速度

（脱离速度） 从地球上发射能够绕太阳转的人造天体所需的最小发射速度。（脱离地球引力） skmv/2.11

第三宇宙速度

（逃逸速度） 从地球上发射人造天体，使之挣脱太阳的引力，成为人造“恒星”所需的最小发射速度。 skmv/7.16

如果发射人造地球卫星时的发射速度介于7.9 km/s～11.2 km/s之间，它的轨道就只能是椭圆轨道．如果地球卫星的运行轨道为椭圆轨道，则其轨道上离地球最近的点为“近地点”，最远的点为“远地点”．

这里说的“发射速度”是指卫星开始进入轨道瞬间的速度（入轨速度）。

以上所说卫星的“速度”、“加速度”等都是相对于“地心”而言的。为了利用地球自转时的线速度（你能求出这个线速度的大小吗？）。

卫星发射时一般是自西向东发射。

五、地球的同步卫星：主要用作通信卫星，转播电视、电话等信号。

1、“同步”的含义：在地球的上空相对地球静止，与地球自转同步

2、地球同步卫星的特点：

（1）同步卫星与地面相对静止，与地球自转同步，周期为24h。

（2）同步卫星的运行方向与地球自转方向相同。

（3）同步卫星定点在赤道正上方，即轨道平面和赤道共面，离地高度、运行速率是唯一确定的。距地面的高度约为 ．

依据万有引力定律、牛顿第二定律和向心加速度公式可知：

22)2)(()(ThRmhRmMG地地地

由此可以得出同步卫星距地面高度为： 地地RTGMh3224

如果用地球表面的重力加速度2RGMg地地地表示,则上式为： 地地R4TgRh3222

其中M地为地球质量，T 为地球自转周期，R地为地球半径，代入相关数值可解得h 为：

km35800h

六、天体质量的计算

1、一个天体m绕另一个天体M作匀速圆周运动时，轨道半径为r，周期为T，线速度为v，角速度为ω ，可以利用万有引力和圆周运动的规律求中心天体的质量。

由222222T2mrrMmGmrrMmGrvmrMmG)(或或 得：

232232GTr4MGrMGrvM或或

因此，要计算某天体M的质量，应选定一颗绕该天体转动的另一天体m ，测定出m的轨道半径和周期，利用上式求出M。因此上式是用测定环绕天体的轨道半径和周期的方法测被环绕天体（中心天体）的质量，但是不能测定环绕天体自身质量。

2、我们还可以利用重力加速度测天体的质量。

例如，利用地球表面的重力加速度2RGMg可求地球质量：GgRM2

【典型例题】

例题1 火星是离地球最近的一颗行星伙伴，目前人类开始对火星进行探索，并取得了一定的进展。2004年2月11日美国宇航局公布，2月５日开始在火星表面行走的“机遇”号火星车当天发回新的火星岩层图像，图像显示：火星岩层并非像笔记本那样平行，如果从某一角度细看，岩层有时相互交错。这些不平行的线条可能因火山活动、风或水的作用形成（如图3-2所示）。这点令“科学家们激动不已”。2004年8月， “机遇”号火星车进一步确证火星上有水的迹象。

火星是绕太阳公转，而火星的周围又有卫星绕火星公转。如果要通过观测或通过“机遇”号火星测量某些数据求得火星的质量，问需要测量哪些量？试推导用这些量表示的火星质量计算式。

图3-2 精析：这是一道开放式题目，比直接给出已知条件求解要求要更高，要求能灵活应用所学知识来解决，要测量火星的质量，可以有多种方法，比如把火星当作中心天体，然后观测某一环绕天体绕中心天体的运动的周期和轨道半径；或者利用火星测量有关数据如重力加速度gˊ等方法皆可以解决问题

解析：方法一、把火星当作中心天体，然后观测某一环绕天体绕中心天体的周期T和轨道半径。将环绕天体的运行轨道近似成圆形，设中心天体和环绕天体的质量分别为M和m，根据万有引力定律和圆周运动规律，万有引力提供环绕天体作圆周运动的向心力：

GMm/r2=m2/r

化简得到：M=4π2r3/GT2

方法二、利用火星车或其他探测装置，设法测量出质量m的物体在火星表面的重力Gˊ,从而求出gˊ= Gˊ/m，在查阅火星的半径R。根据万有引力定律，万有引力产生重力；

GMm/R2= Gˊ=m gˊ

化简得到：M= gˊ R2/G

绿色通道：本题依托万有引力定律，在较熟练掌握万有引力定律的基础上，通过多种思路解决问题，达到一题多解，融会贯通；同时也可以培养发散式思维，提高它们的创新能力。

例题2 2003年10月15日9时，我国神州五号宇宙飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，把中国第一位航天员杨利伟送入太空。飞船绕地球14圈后，于10月16日6时23分安全降落在内蒙古主着陆场。这次成功的发射实现了中华民族千年的飞天梦想，标志着中国成为世界上第三个能够独立开展载人航天活动的国家，为进一步的空间科学研究奠定了坚实的基础。基于此问题情境，请完成下列问题。

（1）飞船在升空过程中，要靠多级火箭加速推进。若飞船内悬挂一把弹簧秤，弹簧秤下悬吊一0.5kg的物体，在火箭上升到某一高度时发现弹簧秤示数为9N，则此时火箭的加速度是多大？（g=10m/s2）

（2）若将飞船的运动理想化成圆周运动，则飞船离地面的高度大约是多少？（已知地球的质量为kgM24100.6，地球的半径kmR3104.6）．

（3）遨游太空的杨利伟在航天飞船里可以见到多少次日落日出？

（4）在太空微重力状态下，在太空舱内，下列测量仪器能否使用？请说明理由。

A、液体温度计 B、天平 C、弹簧秤 D、液体密度计

（5）回收舱着陆过程中，需要多次使用缓冲装置利用空气阻力来减缓降落的速度，假设降落过程中空气阻力与速度的平方成正比，即f=kv2,k是常量，则质量为m的回收舱最小的速度是多少？

解析：（1）飞船在升空过程中不断加速，产生超重现象。以物体为研究对象，物体在随火箭加速过程中，受到重力G和弹簧秤对它的拉力T两个力的作用，根据牛顿第二定律：

F=ma 有

T－G= ma 得到：a=(T-G)/m=8 m/s2

（2）若将飞船的运动理想化成圆周运动，T=21h23min=76980s。设地球质量为M，飞船质量为m，则根据万有引力定律和圆周运动的规律，万有引力提供飞船作圆周运动的向心力：

GMm/r2=mω2r=m(2π/T)2r

有：r=2324/GMT =3.9×107m

所以飞船离地面的高度h=r－R=3.26×107m

(3) 遨游太空的杨利伟随飞船绕地球运行14圈，所以他在航天飞船里可以见到14次日落日出。