教师资格证考试：2018下高中数学真题

教师资格证考试：2018下高中数学真题

2018年下半年高中数学教师资格证考试真题及解析

一、单选题

1.与向量a（2,3,1）平行的平面是（）

A.x-2y+z=3

B.2x+y+3z=3

C.2x+3y+z=3

D.x-y+z=3

2.lim（1-cosx）/（x^2）的值是（）

A.0

B.1/2

C.1

D.∞

3.函数f（x）在[a，b]上黎曼可积的必要条件是f（x）在[a，b]上（） A.可微

B.连续

C.不连续点个数有限

D.有界

4.定积分∫(-a,a)(1-|x|)/a dx（a＞0）的值是（）

A.πab/2

B.πab

C.πab/3

D.πab/4

5.与向量α（1,0,1），β（1,1,0）线性无关的向量是（）

A.（2,1,1）

B.（3,2,1）

C.（1,2,1）

D.（3,1,2）

6.设f(x)=acosx+bsinx是R到R的函数，V={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,a,b∈R}是线性空间，则V的维数是（） A.1

B.2

C.3

D.∞

7.在下列描述课程目标的行为动词中，要求最高的是（）

A.了解

B.知道

C.掌握

D.应用

8.命题p的逆命题和命题p的否命题的关系是（）

A.同真同假

B.同真不同假

C.同假不同真

D.不确定

二、简答题

9.求函数f（x）=3cosx+4sinx的一阶导数为0的点。

10.设D={(x,y)|xy=1}，若y'表示y在D作用下的象，则yy'/(5-2y')^2满足的方程是什么？

11.设f（x）是[0，1]上的可导函数，且f'(x)有界。证明：存在M＞0，使得对于任意的x1，x2∈[0,1]，有f(x1)-f(x2)≤M|x1-x2|。

12.简述日常数学教学中对学生进行研究评价的目的。

13.给出基本不等式ab≤(a^2+b^2)/2的几何解释，并说明几何解释对学生数学研究的作用。

三、解答题

14.设函数f(x)={0,x2}，求f(x)的反函数f^-1(x)。

15.设随机变量ξ服从[0,1]上的均匀分布，即P{ξ∈[0,x]}=x，0≤x≤1.求P{ξ^2∈[0,x]}。

四、论述题

16.论述数学教学中使用信息技术的作用，并阐述使用信息技术与其他教学手段的关系。

五、案例分析题

暂无。

2.【思考2】旨在引导读者思考数学教材中的问题不仅仅是为了解决问题本身，更重要的是培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。通过这个栏目，教材作者希望学生们能够更深入地理解数学知识，掌握数学方法，提高数学思维水平。

3.高中数学课程中，集合的地位和作用非常重要。集合是数学的基础概念之一，是许多数学分支的基础。在高中数学中，集合论是数学的基础课程之一，它不仅是其他数学分支的基础，还是高中数学知识体系的重要组成部分。通过研究集合论，学生们可以更好地理解和掌握其他数学知识，如函数、关系、数列等。同时，集合论也是培养学生逻辑思维和证明能力的重要手段。

6.（1）设计一个探索该定理的活动成问题情境：假设学生们在一张平面纸上画了两条相交的直线，然后用剪刀将其中一条直线剪下来，再将它沿着直线的中垂线翻转，使得直线的一端与原来的直线相接。学生们需要探究这个操作后，这条直线与平面是否垂直，并给出证明。设计意图是通过实际操作，引导学生们发现直线与平面垂直的判定定理，并培养他们的探究精神和证明能力。

2）设计一个题：在平面直角坐标系中，已知直线L1与x轴交于点A，斜率为k1，直线L2与y轴交于点B，斜率为k2，且L1与L2垂直。请证明：直线L1与平面内的所有点的连线都与直线L2平行。设计意图是让学生们通过运用直线与平面垂直的判定定理，进一步巩固和应用该定理，提高他们的证明能力和应用能力。

3）设计一个题：在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3）、点B（4，5，6）和点C（7，8，9）。请证明：向量AB与向量AC垂直。设计意图是让学生们通过应用直线与平面垂直的判定定理，进一步巩固和应用该定理，提高他们的应用能力。

9.【解析】根据题意，求f(x)的导数f'(x)，其中f'(x)=-3sinx+4cosx。令f'(x)=0，则有f'(x)=-3sinx+4cosx=0，因此3sinx=4cosx，tanx=kπ+arctan(k/3)（k∈Z）。

10.【解析】已知式子为(2x+y)/(5x+2y)=x'/y'，且xy=1，因此可得到以下方程组：x=y'-2x'，y=5x'-2y'，化简后得到(y'-2x')(5x'-2y')=1.

11.【解析】证明：不妨设x10，使得f'(x)<=M。因此，f(x1)-f(x2)<=M(x1-x2)。

12.【参考答案】评价的主要目的是为了全面了解学生的数学研究历程，激励学生的研究和改进教师的教学。为此，应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学研究的评价应该关注学生研究的结果，更应该关注他们研究的过程，以及在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。对于课程标准提出的评价理念，可以从以下三个方面理解：（1）评价目标多元化，包括对学生和教师的评价。通过教学过程和学生研究状况的考查，不仅可以看到学生的表现，还可以帮助教师认识教学中存在的问题，及时改进教学方式，调整教学进度和教学目标。（2）评价内容多维性，应该围绕数学素养的四个方面展开，包括知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度。评价的具体内容应该形成多维度、全面性的评价内容体系，可以通过设计反映不同内容的问题、在综合的问题情境中进行评价，或者通过对学生平时研究情况的考查来评价。（3）评价方法多样化，包括定性和定量评价方法，以及不同形式的评价方式，如考试、作业、小组讨论、课堂表现等。评价方法应该根据评价内容和评价目标的不同而灵活运用，以达到全面、客观、公正的评价效果。

评价方法多样化

在教学中，评价是非常重要的一环，而评价方法的多样化也是至关重要的。教师应该根据不同学段学生的特点和具体内容的特征，选择恰当有效的方法进行评价。对于学生知识技能掌握情况的评价，应该将定量评价和定性评价相结合，同时也要将结果评价和过程评价相结合。因为不同的评价方法在教学过程中起着不同的作用，不能单纯地希望一种评价方法会解决所有的问题。例如，封闭式的问题、纸笔式的评价可以简捷方便地了解学生对某些知识技能的掌握情况，而开放式问题、综合性的、在丰富的情境中的评价则有助于了解学生的思考过程和研究过程。

基本不等式ab≤(a+b)²/4的几何解释

基本不等式是初中数学中的一个重要概念，可以通过几何解释来帮助学生更好地理解。以AB为直径的圆，在直径AB上取点C使得AC=a，过点C作直径AB的垂线与半圆交于D点，由射影定理可得CD=ab，由图显然可得CD≤OD（即一个圆的半径大于等于垂直该直径的弦的一半），即得ab≤(a+b)²/4.这种几何解释不仅有助于培养学生数形结合的数学思想，而且可以帮助学生直观地理解数学问题。同时，几何解释还有助于加深学生对基本概念等的理解，激发学生的研究兴趣，并且可以帮助学生产生解题思路，预测问题结果。

关于概率问题P{ξ²∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-x,x)}的解答

对于概率问题P{ξ²∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-x,x)}，当x1时，由于ξ²∈(-∞,x)等价于ξ∈(-∞,-√x)∪(√x,∞)，所以P{ξ²∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-∞,-√x)∪(√x,∞)}=1-2√x。因此，该概率问题的解答为：当x1时，P{ξ²∈(-∞,x)}=1-2√x。 信息技术的发展对数学教育产生了很大的影响，包括价值、目标、内容和教学方式。在设计和实施数学课程时，应合理地运用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的整合，充分考虑信息技术对数学研究内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的研究资源，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。

信息技术可以结合其他多种教学手段，在数学教学中起到互补的作用。例如，在模拟实际情境时，可以结合信息技术手段直接呈现图片或视频；在处理图形的动态变化时，可以结合几何画板等工具直接呈现，这样可以使研究更加直观和连贯。

集合是高中数学必修1第一章节的内容，是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容。在研究集合的基本知识时，学生将感受到集合的数学思想方法，用集合语言表示有关数学对象，并运用集合和对应的语言进一步描述第二章的函数概念，为第二章的函数奠定夯实的基础，使得学生能够初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题。

在导入活动中，可以利用多媒体播放一组学生课前收集的图片，组织学生观察图片中展示事物之间的位置关系，如旗杆与地面垂直、教学楼与地面垂直等。这样可以引导学生思考位置关系的概念，并为后续研究打下基础。

提出问题：旗杆和地面、教学楼和地面之间的位置关系是什么？能否根据它们的位置关系使用直线和平面来绘制几何图形？

探究活动一：垂直关系的定义

提出问题：我们如何定义一条直线与一个平面垂直？是否可以使用一条直线垂直于平面内的直线来定义这条直线与平面的垂直关系？

使用多媒体动画演示旗杆在地面上的影子位置变化，让学生体会到直线与平面内不过垂足的直线也是垂直的。

组织学生观察动画并思考以下问题：

问题1：在阳光下，旗杆和它在地面上的影子所成的角度是多少？

问题2：随着时间的变化，影子的位置会移动，旗杆和影子所成的角度是否发生了变化？

问题3：旗杆AB和地面上不过点B的任意一条直线的位置关系是什么？它们所成的角度是多少？

全班讨论后，教师引导学生总结出直线与平面垂直的定义：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

进一步引导学生思考：如何判断一条直线与一个平面的位置关系是垂直的？

探究活动二：折纸探究垂直关系

组织学生思考如何将一张长方形纸片立起来放在桌面上。