2019-2020学年高中数学(人教版必修五)教师文档：第一章 §1.2 应用举例 (一) Word版含答案

学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．

知识点一 常用角

思考 试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．

答案

梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：

(1)方向角

指北或指南方向线与目标方向所成的小于90度的角．

(2)仰角与俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)

知识点二 测量方案

思考 如何不登月测量地月距离？

答案 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．

梳理 测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量地月距离．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．

类型一 测量可到达点与不可到达点间的距离

例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B两点间的距离．(精确到0.1m)

解 根据正弦定理，得ABsinC＝ACsinB，

AB＝ACsinCsinB＝ACsinCsin(180°－A－C)

＝55sin75°sin(180°－51°－75°)

＝55sin75°sin54°≈65.7(m)．

所以A，B两点间的距离为65.7m.

反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．

跟踪训练1 在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为______千米．

答案 6

解析 如图所示，

由题意知C＝180°－A－B＝45°，

由正弦定理得ACsin60°＝2sin45°，

∴AC＝222·32＝6(千米)．

类型二 测量两个不可到达点间的距离

例2 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法．

解 测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD＝a，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ，

在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得

AC＝asin(γ＋δ)sin[180°－(β＋γ＋δ)]＝asin(γ＋δ)sin(β＋γ＋δ)，

BC＝asinγsin[180°－(α＋β＋γ)]＝asinγsin(α＋β＋γ).

计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离AB＝AC2＋BC2－2AC×BCcosα.

引申探究

对于例2，给出另外一种测量方法．

解 测量者可以在河岸边选定点E、C、D，使A、E、C三点共线，测得EC＝a，ED＝b，并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，

在△AED和△BEC中，应用正弦定理得

AE＝bsinγsin[π－(α＋γ)]＝bsinγsin(α＋γ)，

BE＝asinβsin[π－(α＋β)]＝asinβsin(α＋β).

在△ABE中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离

AB＝AE2＋BE2＋2AE×BEcosα.

反思与感悟 本方案的实质是：把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为类型一．

跟踪训练2 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是(

)

A．202米 B．203米 C．402米 D．206米

答案 D

解析 在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，

∠BCD＝45°，

∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，

∴BD＝CD＝40，BC＝BD2＋CD2＝402.

在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，

∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.

由正弦定理，得AC＝CDsin30°sin45°＝202.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA

＝(402)2＋(202)2－2×402×202cos60°＝2400，

∴AB＝206，

故A，B两点之间的距离为206米．

1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(

)

A．502m B．503m

C．252m D.2522m

答案 A

解析 ∠B＝180°－45°－105°＝30°，

在△ABC中，由ABsin45°＝50sin30°，

得AB＝100×22＝502.

2．某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x的值是________．

答案 4

解析 由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，

整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.

3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.

答案 7

解析 因为A，B，C，D四点共圆，

所以D＋B＝π.

在△ABC和△ADC中，

由余弦定理可得

82＋52－2×8×5×cos(π－D)

＝32＋52－2×3×5×cosD，

整理得cosD＝－12，

代入得AC2＝32＋52－2×3×5×－12＝49，

故AC＝7.

1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．

2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

40分钟课时作业

一、选择题

1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )

A．a，c，α B．b，c，α

C．c，a，β D．b，α，β

答案 D

解析 由α、β、b，可利用正弦定理求出BC.

2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )

A．403 B．203

C．402 D．202

答案 A

解析 设另两边长为8x,5x，

则cos60°＝64x2＋25x2－14280x2，解得x＝2.

两边长是16与10，

三角形的面积是12×16×10×sin60°＝403.

3．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)( )

A．3.4km B．2.3km

C．5.1km D．3.2km

答案 A

解析 过点C作CD⊥AB，垂足为D.

在Rt△CAD中，

∠A＝30°，AC＝10km，

CD＝AC·sin30°＝5(km)，

AD＝AC·cos30°＝53(km)．

在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)， BC＝CDsin45°＝52(km)．

AB＝AD＋BD＝(53＋5)(km)，

AC＋BC－AB＝10＋52－(53＋5)

＝5＋52－53

≈5＋5×1.41－5×1.73＝3.4(km)．

4．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为(

)

A．230m B．240m

C．50m D．60m

答案 D

解析 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，

∴∠ACB＝75°，∠ACB＝∠ABC.

∴AC＝AB＝120(m)．

如图，

作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．

在Rt△ACD中，由正弦定理，得

ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，

∴120sin90°＝CDsin30°，

∴CD＝60(m)，

∴河的宽度为60m.

5．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )

A．103nmile B.1063nmile

C．52nmile D．56nmile

答案 D

解析 在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°.