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复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
复数知识点大题型总结一、复数的概念复数是表示两个或两个以上的事物或概念的名称或符号，如“苹果”、“树木”、“星星”等。
在语法学上，复数是动词第三人称单数形式之外的一种形式，如“he plays”（他玩）和“they play”（他们玩）。
二、复数的构成1. 大多数情况下，将名词后面加上“-s”或“-es”构成复数形式。
例子：cat（猫）→cats（猫们）, box（盒子）→boxes（盒子们）2. 以“-y”结尾的名词，如果“-y”前面是元音字母，则构成复数时直接加“-s”;如果“-y”前面是辅音字母，则将“-y”改为“-i”，再加“-es”。
例子：boy（男孩）→boys（男孩们）, baby（婴儿）→babies（婴儿们）3. 以“-f”或“-fe”结尾的名词，通常变“f”为“v”，再加“-es”构成复数。
例子：wolf（狼）→wolves（狼们）, leaf（叶子）→leaves（叶子们）4. 以“-o”结尾的名词，大多数情况下在词尾加“-es”。
例子：potato（土豆）→potatoes（土豆们）, mango（芒果）→mangoes/mangoes（芒果）5. 特殊情况：有些名词的复数形式和单数形式相同。
例子：sheep（羊）→sheep（羊）, fish（鱼）→fish（鱼）三、复数名词的用法1. 表示数量多于一个例子：There are three dogs in the park.（公园里有三只狗。
）2. 表示多种类型例子：She collected various flowers.（她采集了各种花。
）3. 表示所有例子：The students raised their hands.（学生们都举起了手。
）4. 表示家庭成员例子：My parents are in the living room.（我的父母在客厅里。
）四、不规则复数1. 有些名词的复数形式与单数形式完全不同。
单数：man（男人）, woman（女人）, child（孩子）, tooth（牙齿）, foot（脚）复数：men（男人们）, women（女人们）, children（孩子们）, teeth（牙齿们）, feet（脚们）2. 有些名词的单复数形式相同。
复数知识点总结题型复数是指表示两个以上的数量或者多个事物的名词形式。
在英语中，复数形式通常是在名词后面加上-s或-es结尾。
但是也有一些不规则的复数形式需要记忆和掌握。
一、一般规则1. 大多数名词在单数形式后加-s变为复数形式例如：cat - catsdog - dogsbook - books2. 以s, sh, ch, x, z结尾的名词在单数形式后加-es变为复数形式例如：bus - busesdish - disheschurch - churchesfox - foxesquiz - quizzes3. 以辅音+y结尾的名词，变复数时先把y变为i再加-es例如：baby - babiescity - citiesfamily - families4. 以-o结尾的名词，多数情况下在单数形式后加-s变为复数形式例如：photo - photospiano - pianos5. 以辅音+o结尾的名词，变复数时直接加-es例如：tomato - tomatoespotato - potatoes6. 以f或fe结尾的名词，变复数时通常把f或fe变为v再加-es 例如：wife - wivesleaf - leaves7. 以us结尾的名词，变复数时通常把us变为i例如：cactus - cactifocus - foci8. 以-is结尾的名词，变复数时通常把is变为es例如：analysis - analyseshypothesis - hypotheses二、不规则复数形式1. 一些名词的复数形式与单数形式完全不同，需要单独记忆例如：man - menwoman - womenchild - childrenfoot - feettooth - teeth2. 一些名词的复数形式用相同的单数形式表示例如：sheep - sheepdeer - deerfish - fish（当指种类时为复数形式fishes）3. 一些名词既有规则的复数形式，也有不规则的复数形式例如：mouse - mice/mousescactus - cacti/cactuses三、量词和复数形式1. 在不确定数量的情况下，通常用复数名词或者不加冠词来表示例如：I have three cats.Do you like apples?2. 有些量词后面紧接的名词要用单数形式，而有些要用复数形式例如：a pair of shoesthree pieces of caketwo cups of tea四、不可数名词不可数名词是指无法数清具体数量的名词，它们没有复数形式，通常用于表示无法数清的物质、概念和抽象概念例如：water, milk, air, love, music总结复数形式在英语中是非常重要的，它能够帮助我们表达多个事物、数量以及概念。
复数高考知识点总结一、语文1. 题型：现代文阅读题、古文阅读题、诗歌鉴赏题、作文题等2. 要点：对于现代文阅读题，要重点关注文章的主题思想和作者的写作手法；对于古文阅读题，要重点掌握古文的语言特点和作者的观点；对于诗歌鉴赏题，要分析诗歌的意境和语言表达；对于作文题，要注意结构安排和语言表达。
二、数学1. 题型：选择题、填空题、解答题等2. 要点：要熟练掌握数学知识点，包括代数、几何、概率统计等，对于解答题，要注重问题的分析和解决方法的合理性；对于选择题，要注意题目中的干扰项。
三、英语1. 题型：阅读理解题、完形填空题、语法填空题、翻译题、作文题等2. 要点：要注重阅读理解能力和语言运用能力的培养，对于阅读理解题，要注意文章的主题和细节；对于完形填空题，要注重上下文的逻辑关系；对于语法填空题，要熟练掌握英语语法知识点。
四、物理1. 题型：选择题、填空题、计算题、解答题等2. 要点：要注重物理原理的理解和应用能力的培养，对于计算题，要注意物理公式的运用；对于解答题，要注意问题的分析和解决方法的合理性。
五、化学1. 题型：选择题、填空题、解答题等2. 要点：要注重化学原理的理解和应用能力的培养，对于填空题，要注意化学反应的相关知识；对于解答题，要注意问题的分析和解决方法的合理性。
六、生物1. 题型：选择题、填空题、解答题等2. 要点：要注重生物原理的理解和应用能力的培养，对于填空题，要注意生物知识的细节；对于解答题，要注意问题的分析和解决方法的合理性。
七、政治1. 题型：选择题、判断题、解答题等2. 要点：要注重政治理论的理解和运用能力的培养，对于解答题，要注意解决问题的方法和角度；对于判断题，要注意对政治事件的分析和判断。
总结：高考知识点涵盖了语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治等各方面的知识，考生在备考时要注重基础知识的掌握和解题能力的提高，同时要注重对知识点的串联和综合能力的培养。
希望考生们在高考中取得优异的成绩！。
复数的知识点总结与题型归纳复数是英语中一个重要的语法概念，表示多于一个的数量或者个体。
在英语中，很多名词在表示复数形式时会发生变化，这需要我们掌握一些复数的知识点和应对不同的题型。
本文将对复数的基本规则进行总结，并归纳一些常见的复数题型。
一、复数的基本规则1. 一般情况下，在名词的末尾加上“s”来表示复数，比如：dogs, books, tables, etc.2. 以以下字符结尾的名词，在表示复数时要注意变化：- 以“s”, “x”, “z”, “ch”或“sh”结尾的名词，在末尾加“es”，比如：buses, boxes, quizzes, watches等。
- 以辅音字母+y结尾的名词，将“y”变为“i”，再加“es”，比如：cities, babies, parties等。
- 以“o”结尾的名词有两种情况：①如果辅音字母在“o”之前，直接加“es”，比如：potatoes, tomatoes, heroes等。
②如果是元音字母在“o”之前，直接加“s”，比如：zoos, radios, videos等。
3. 以“f”或“fe”结尾的名词，在表示复数时通常将“f”或“fe”变为“ves”，比如：leaves, knives, wolves等。
4. 一些特殊变化的名词：- 人称名词的复数形式通常要加“s”或“es”，比如：boys, girls, teachers等。
- 一些外来词在表示复数时保持不变，比如：sheep, fish, deer等。
- 一些不规则的名词形式需要进行记忆，比如：men, women, children等。
二、复数题型归纳在学习复数的过程中，我们还需要掌握如何应对不同类型的复数题型。
以下是一些常见的复数题型及解题方法：1. 给出单数名词，要求写出复数形式。
Example: Write the plural form of "mouse".Answer: mice解题方法：根据基本规则，将“s”替换为“es”。
新高考复数知识点总结归纳一、名词的复数形式名词的复数形式通常有以下几种情况：1. 一般情况下，在名词末尾加-s：book→books, dog→dogs。
2. 以-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，在末尾加-es：dish→dishes,box→boxes。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es：city→cities, baby→babies。
4. 以-f或-fe结尾的名词，将f或fe改为v，再加-es：wolf→wolves, knife→knives。
5. 一些特殊名词的复数形式需要单独记忆：child→children,man→men, woman→women。
二、不可数名词与可数名词1. 不可数名词是指不能用数目进行计数的名词，一般用单数形式。
常见的不可数名词有：water, milk, bread, information等。
2. 可数名词是指可以进行数目上的计数的名词，可以有复数形式。
常见的可数名词有：book, cat, dog, apple等。
3. 有些名词可以既作不可数名词，又作可数名词，表示不同的意思。
比如：glass可以表示"玻璃杯"，是可数名词；也可以表示"玻璃"，是不可数名词。
三、复数名词的用法1. 表示一般复数概念：They have three cats.2. 表示某些事物的一部分：I ate two slices of pizza.3. 表示一种人或一类东西：The Chinese are good at math.4. 表示许多或一定数量的人或物：Many students go to school by bus.5. 表示两种东西：I want both apples and oranges.四、不规则名词的复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要单独记忆。
下面列举一些常见的不规则名词的复数形式：1. child→children2. man→men3. woman→women4. tooth→teeth5. foot→feet6. goose→geese7. mouse→mice8. ox→oxen九、对不可数名词进行量化对不可数名词进行量化时，可以使用以下方法：1. 使用量词或数量短语来修饰：a bottle of water, a piece of cake。
复数高考基础题型总结及解题技巧近年来，随着我国高考改革的深入，考试内容也在不断地进行调整和优化。
其中，复数基础题型一直是考试中的一个重要组成部分。
针对这一主题，我们将就复数高考基础题型进行总结及解题技巧，帮助考生更好地掌握和应对这一考试难点。
一、基础概念总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i^2=-1）的乘积所构成的数，形如a+bi （a、b为实数，i为虚数单位）。
2. 复数的实部和虚部在复数a+bi中，a为实部，b为虚部。
3. 复数的四则运算复数的加法、减法、乘法和除法的运算规则，需要考生熟练掌握。
二、高考基础题型总结1. 复数的加减法复数的加减法考查考生对实部和虚部的分别以及相同部分的相加减的能力。
2. 复数的乘法复数的乘法需要考生掌握实部和虚部相乘的规则，同时避免常见错误。
3. 复数的除法复数的除法同样需要考生掌握实部和虚部相除的规则，以及如何处理除数为复数的情况。
4. 复数的平方和立方考生需要掌握复数的平方和立方的运算技巧，注意复数单位i的运算与化简。
三、解题技巧1. 完全掌握基础概念考生在准备复数基础题型时，首先要完全掌握复数的定义、实部和虚部的概念，以及四则运算的规则。
2. 多做练习题通过大量的练习，考生可以更好地掌握复数基础题型的解题技巧，提高解题速度和准确性。
3. 注意细节在做题过程中，考生需要特别注意运算过程中的细节，避免因计算错误导致最终答案错误。
4. 熟练掌握化简规则在复数的乘法、除法以及平方、立方运算中，化简是非常关键的一步，考生需熟练掌握化简的规则和技巧。
复数高考基础题型在考试中占据重要地位，对考生的基本数学能力和逻辑思维能力提出了很高的要求。
考生需要在复习时充分掌握基础概念，多做练习，并且注重细节和化简的技巧，从而更好地应对考试。
复数基础题型的掌握也对于后续学习和工作中的数学运用具有重要意义。
以上观点仅代表个人观点，仅供参考。
希望对复数高考基础题型的解题技巧和应试能力有所帮助！复数的基础题型总结及解题技巧是高考复习中不可或缺的一部分。
复数高考题型一、复数概念1．在复平面内,复数(12)z i i =+对应的点位于 ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位,则复数12()z z i -的实部为 ． 3．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数,则实数x 的值为 ．A ．1-B ．0C ．1D ．1-或14．已知复数12z i =-,那么1z= ．A B C ．1255i +D ．1255i -二、复数相等 1．i 是虚数单位,若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-,则乘积ab 的值是 ． A ．－15B ．－3C ．3D ．152．若21a bi i=+-i 为虚数单位,,a b R ∈ 则a b +=_________． 3．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 ．A1+2i B 1-2i C2+i D2- i 三、复数计算 1．复数31ii--等于 ． A ．i 21+ B ．12i - C ．2i + D ．2i -2．已知复数z 3i z ＝3i ,则z= ．A ．32B. 34C. 32D.34 3．复数32322323i i i i+--=-+ ．A ．0B ．2C ．－2iD ．24．复数2(12)34i i+-的值是 ．A ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－i Ｄ．i 5．设1z i =+i 是虚数单位,则22z z+= ．A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ． 1i +四、其他题型1．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则,p q 的值为 ．A ．4,5p q =-=B ．4,5p q ==C ．4,5p q ==-D ．4,5p q =-=- 2．i 是虚数单位,238i 2i 3i 8i ++++= ．用i a b +的形式表示,a b ∈R ，3．若cos sin z i θθ=+i 为虚数单位,则21z =-的θ值可能是 ．A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π 2006－2009年高考题一．选择题：1.全国一4设a ∈R ,且2()a i i +为正实数,则a = A ．2B ．1C ．0D ．1-2.全国二2设a b ∈R ，且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则 A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3.四川卷复数()221i i +=Ａ4- Ｂ4 Ｃ4i - Ｄ4i 4.安徽卷1复数 32(1)i i +=A ．2B ．－2C ． 2iD ． 2i -5.山东卷2设z 的共轭复数是z ,或z +z =4,z ·z ＝8,则zz 等于 A1 B-i C ±1 D ±i 6．江西卷1在复平面内,复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7.湖北卷11设211z z iz =-其中1z 表示z 1的共轭复数,已知z 2的实部是1-,则z 2的虚部为 ;8.湖南卷1复数31()i i-等于 B.－8D.－8i9.陕西卷1复数(2)12i i i+-等于 A ．iB ．i -C ．1D ．1-10.重庆卷1复数1+22i= A1+2iB1-2i C-1 D311.福建卷1若复数a 2-3a +2+a-1i 是纯虚数,则实数a 的值为B.2或212.广东卷1已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值范围是A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．13.浙江卷1已知a 是实数,iia +-1是春虚数,则a = A1 B-1 C 2 D-2 14.辽宁卷4复数11212i i +-+-的虚部是 A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-15.海南卷2已知复数1z i =-,则21z z =-A. 2B. －2C. 2iD. －2i162006年广东若复数z 满足方程220z +=,则3z = ．A ．±B ．-C ．-D ．± 172007年广东文理2若复数1+bi2+i 是纯虚数i 是虚数单位,b 为实数,则b= ．A ．－2B ．－12C ．12D ．2182008年广东卷1已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则z 的取值范围是 ．A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．(1192009年广东卷理设z 是复数,()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ,则对虚数单位i ,()a i = ．A ．8B ．6C ．4D ．2二．填空题：1.上海卷3若复数z 满足(2)z i z =- i 是虚数单位,则z = ．2.北京卷9已知2()2a i i -=,其中i 是虚数单位,那么实数a = ;3.江苏卷311ii+-表示为a bi +(),a b R ∈,则a b +== ． 4．已知复数z 与 z +22－8i 均是纯虚数,则 z = ____________． 5．若复数z 满足z 1+i =2,则z 的实部是__________．6．在复平面内,O 是原点,OA ,OC ,AB 表示的复数分别为-+++23215i i i ，，,那么BC 表示的复数为________.7．z z C z z z z z 1212122222402，，，∈-+==||,那么以|z 1|为直径的圆的面积为_______; 三、解答题：1．已知复数z 1满足1+iz 1=－1+5i , z 2=a －2－i , 其中i 为虚数单位,a ∈R , 若21z z -<|z 1|,求a 的取值范围.2．已知复数z 1=c osθ－i ,z 2=s in θ+i ,求| z 1·z 2|的最大值和最小值.3．已知z 、为复数,1+3iz 为实数,=,||2ziωω=+且求． 4、已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =,其中B 、C 为△ABC 的内角,a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边．Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ 若b =,求△ABC 的面积．。
复数一．基本知识【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
高考复数的知识题型总结一、复数的有关概念(1)复数1.定义：形如a+6i (a, 6WR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足f= —1.二i,产三-1, Z，n-3=-i, 小= 1.)2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+6i (a, 6CR),叫做复数的代数形式，a叫做复数z的实部，6叫做复数z的虚部.(注意b是虚部而不是bi)(2)复数集1.定义：全体复数所成的集合叫做复数集.2.表示：大写字母C.(3)复数的分类’3正实数L= 0，-- 是实数QT上;实数0复数z=a+例—负实数一纯虚数hi、3n是虚数1&工°为£2”非纯虚数的虚敷复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系（4 ）复数相等的充要条件a+ 6i = c+ 力=a=c 且b=da+6i = 0=a=6=0. （a, b, c, d 均为实数）说明：要求复数相等要先将复数化为2=&+历（a, 6£R）的形式，即分离实部和虚部.二、复平面的概念点Z的横坐标是a,纵坐标是6,复数*a+6f（a、6£R）可用点Z（a, 6）表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.（1）实轴上的点都表示实数.(2)虚轴上的点都表示纯虚数.(3)原点对应的有序实数对为(0, 0)三、复数的两种几何意义(1)复数z=a+bi (a, Z>GR) -*对应复平而内的点Z (a, b).(2)复数z=a+6i (a, b£R) -*平而向量一OZ复数Z=a+罚(a1亡犬)—寸应点—―->向量无对应四、复数的模复数z=a+6i (a, 6CR)对应的向量为OZ ,则&的模叫做复数z的模，记作;z ,且|z|=^7F 注意：两个虚数是不可以比较大小的，但它们的模表示实数，可以比较大小.五、复数的运算设％=a+6，，z^c+di(a^ b、c、d£R)是任意两个复数，%与Z2 的加法运算律：^+^2= (a^bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i.%与Z2 的减法运算律：4-纥=(a+6f)-(c+d£) = (a-c) + (Zy^£Z1 与诙的乘法运算律：21.乏二(a^bi) (c^di)-(ac— bd)^(bc^ad) i.cic + bd ^bc- ad .Z,与否的除法运算律：2一生二（/方）・（6人）=1+/2 /+/ （分母要利用平方差实数化）六、共甄复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共枕复数，虚部不等于0的两个共枕复数也叫做共枕虚数.通常记复数Z的共辗复数为5 o例如z=3 + 5i与5=3 — 5i互为共辄复数2.共辗复数的性质（1）实数的共规复数仍然是它本身⑵2区=团:团，（3）两个共规复数对应的点关于实轴对称七、常用结论.⑴"i,（2）（l-i）2=-2i⑶- = -/(5)— = -/ 1 + Z(6)(。
+瓦)(。
一")=M +62题型分类题型一：复数定义的考查1.设有下面四个命题：2.p,：若复数n满足建p则ZER；Z3.p二:若复数Z满足z?wR，则ZEN；4.p s：若复数z1，z二满足则4 =5.p4：若复数z e R，则5 e R -6.其中的真命题为（）A.内，p3B. pi，内 C. pc，PsD. p,» p4解：若复数z满足:WH,则zwR,故命题内为真命题：内：复数z = i满足Z?=-1F R,则zWE，故命题p,为假命题；P?：若复数q=i,勺=2i满足W R，但z】于向，故命题内为假命题；P4：若复数zWE,则之二zeR,故命题P4为真命题.故选B.2. F列命题：①若a£R,则（a+1） i是纯虚数；②若a, 6WR,且a>6,则a+i〉6+i；③若（/一4） + （H+3x+2） i是纯虚数，则实数*=±2；④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（）A.①B.②C.③D.®解：对于复数a+6i （a, 5GR）,当a=0且6W0时，为纯虚数.①，若a= - l,则（a+1） i不是纯虚数，即①错误②，两个虚数不能比较大小，则②错误.③，若x=—2,则/一4 = 0, H+3x+2=0,此时（/-4） + （x'+3x+2） i=0,不是纯虚数，则③错误.④，显然正确.故选D.3.给出下列命题:①若ZE。
，则zbO：②若a, b-R，且比>力，则a + Z>b + i；③若a ER,则（a+ I）i是纯虚数：④若z = -i，则* +1在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题是________ （填上所有正确命题的序号）.解：①若ZEC,则/文0不成立.比如F = —1<0；②因为复数不能比较大小，所以a + i>b+i不成立；③aeR,则（a + l）i不一定是纯虚数，比如（一1 + 1/=0就不是纯虚数，故③不成立；④z ”,则z? + l= l + i对应的点（LD在复平面内的第一象限，故④成立.故答案为：④.4.关于复数z = K + *a，yWR），下列命题：①若|Z +t| = 1，则状+ （y+ 1），= 1；②若Z是实数,则y = O；③若zi是纯虚数，则算去0：④若工则％+ y = Lz其中真命题个数为（）解：①若|z+i| 二L即|%+ yi + i|=l,得%+ (y+l川=1,所以%2+(y+1>=1,故① 为真命题：②因为z =式+ *(算,yWR),若z是实数，则y = 0,故②为真命题：③因为z =式+ *(算,7 W R), zi = (%+yi)Z = —y+直，若zi是纯虚数，则算之0，故③: 为真命题：④因为l = l + i,即=*=$一七—,从而可得J z x+yi Cx+yOO-jt) x- +y- x-+y-(^― = 1，解得：y=r,即％+ y = 0,故④假命题.1*二］综上，其中真命题有：①②③，共3个.A. 1B. 2C. 3D. 4题型二、复数分类L 设Z1=2算+1+ (/— 3冥+2)〃 z2 = J2 - 2 + (x2 4- J -6)E(X e /?)•2.(1)若分是纯虚数，求实数x的取值范围；3.(2)若求实数X的取值范围•解：(1)依题意得仔％+1 = 01%二一3才+ 2 w 011% = 一彳 1 2 n 算=一. j * 1且霓* 2所以实数x 的取值范围是,,__三 X - .（2）依题意得件 _ 3% + 2 = 0 n f （r - l ）（x _ 2） = 0 =卜=i 或第=2占二 + % - 6 = 0 n & + 3血- 2） =。
n & = 一3 或X = 2所以算=2检验：当算=2时，ZiuZxZ + luS.ZiuZ 。
一2 = 2，满足Zi>z.符合题意・ 所以实数才的取值范围是工=2・2・当实数a 为何值时z =（1二一 2。
+ （ci 2 - 3a + 2）t-（D 为纯虚数：（2）为实数：（3）对应的点在第一象限.解：（1）复数z 是纯虚数，则由值二_ 2a =0 口一3（1 + 2 = 0 （2）若复数z 是实数，则展一 3a+2 = 0,得a = l 或a = 2・（3）在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，则依一 2a >0 ，L 二一 3a + 2 > 0a >2 或Q < 0，解得a <。
或a > 2-a < 1 或 a > 23.当实数所为何值时，复数1g （万一2S―7） + （序+5勿+6） i 是（1）纯虚数：（2）实数.x =~ Xx- l)(x-2)^ 0'得Ja = 0或a = 2'跳a = 0・《工1且a42(3) Tz 所对应的点在第四象限,解: (1) fig (nf — 2a —7) =0, 1万 + 5m+ 6 H= 0, 解得m=\. (2) [序一2m —7>0, [zzf + 5m+6 = 0.解得m= —2或m= —3. 4. 已知复数 z=227(/»—1) + (zzf + 2z »—3) i (mWR). (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求。
的值； (3)若在复平面。
内，N 所对应的点在第四象限，求。
的取值范围. 解： (1)。
2为实数，，序+253=0,解得勿=-3或勿=L ⑵Tz 为纯虚数, m m — 1 =0, m +2zo_3W0. 解得必=0.m m — 1 >0,m +2卬—解得一 3〈水0.型三、复数的相等1 .已知i 是虚数单位，a, b £ R ,得％ = b = 1 "是"他斗状尸=2彳”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：当"a = b = l”时，”(a + bi)，= (1 + [尸=2i"成"， 故"a = b = 1”是“(a +沉尸=2i”的充分条件：当 “(G + hi)2= a 2- b 2+ 2abi = 2i ” 时，"a = b = 1" 或"a = b =-1M »故% = b = 1”不是“(Q + bl)2= 2/的必要条件；综上所述，7 = b = 1"是"(a + bt]- = 2t”的充分不必要条件.2 . (1)若(x+y) +yi= (x+1) i,求实数 x, y 的值；(2)已知第十 (zz?+2i ) a+2 + zni = 0 (m £R)成立，求实数&的值:(2)因为a, 所以由1+m0+2+ (2a+加i = 0, a=也， 4 或,解: (1)由复数相等的充要条件，得x+y=O, hx+l,解得1y=2-+azo+ 2 = 0,可得七十片。
，解得7=一隹q= — 2y[2 l/z?= 2^2,题型四：复平面1、已知复数z= （，-1） + i,其中aWR.当复数Z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）. .（1）在实轴上： （2）在第三象限.解：（1）若对应的点在实轴上，则有2a —1 = 0,解得（2）若z 对应的点在第三象限，则有2、求实数占取什么值时，复平面内表示复数z=/+a-2+ （才一3a+2） i 的点（1）位于第二象限： （2）位于直线尸=*上.解：复平而内表示复数z=a'+a-2+ （£-3&+2） i 的点就是点Z （/+a-2, /—3aa —1<0»解得一 1<W 故a 的取值范围是（一1，i（1）由点Z 位于第二象限，得 +2<0,."一3a+2〉0,故满足条件的实数&的取值范围为（-2, 1）.（2）由点Z 位于直线尸x 上，得a + a —2 = a" — 2,解得 a=l.故满足条件的实数&的值为L型五、复数的模L 已知复数z 满足z+：z =2+8i,求复数z.解：设2=^+历（a, 6£R ）, 则 z =V7T?,代入原方程得a+6i+，Zi 彳=2+8i,根据复数相等的充要条件，得［a+54石一2,解得 力=8,所以z=-15+8i.a= -15, b=8.2.已知复数z满足z+2= 0,则团=解：由z+^=0,得二=-3,电=a + bi(a, b E R),由z? =-3 W(a + bi)2 = ar — b2 + 2abi = -3,峭――3,解得:—:,Z = 土袍.则团=V3.题型六、共朝复数1•复数二_ 0为虚数单位)的共筑复数是()A・ 1 + i B・ 1 —»C・-1 + iD. -1解：化简可得2=三l-i一二岬-1 + ]一0_巩1例_‘十”'•・・2的共挽复数3=1-12 .若复数z 满足2了_三=3十i2i ，其中f 为虚数单位，原是z 的共规复数，则复数 0二（）A.3V5B. 2乃C. 4解：复数z = a + bt ，&、b W R ，•・• 2z - z = 3 + 12i, :,2g + 比）一（。
