2022(乙卷)数学(理科)-附答案

2023年高考全国乙卷（数学）一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1、设z =2+i 1+i 2+i 5，则z̅=（ ）.2、设集合U =R ，集合M ={x|x <1}，N ={x|−1<x <2}，则{x |x ≥2}=（ ）. A.C U (M ∪N )B.N ∪C U MC.C U (M ∩N )D.M ∪C U N3、如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）. A.24B.26C.28D.304、已知f(x)=xe xe ax−1是偶函数，则a=（）.A.−2B.−1C.1D.25、设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于π4的概率为（）.A.18B.16C.14D.126、已知函数f(x)=sin (ωx+φ)在区间(π6,2π3)单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数y=f(x)的图象的两条对称轴，则f(−5π12)=（）.A.−√32B.−12C.12D.√327、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有（）.A.30种B.60种C.120种D.240种8、已知圆锥PO的底面半径为√3，O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于9√3，则该圆锥的体积为（）.4A.πB.√6πC.3πD.3√6π9、已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）.A.15B.√25C.√35D.2510、已知等差数列{a n}的公差为2π3，集合S={cos a n|n∈N∗}，若S={a,b}，则ab=（）.A.−1B.−12C.0 D.1211、设A,B为双曲线x2−y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）.A.(1,1)B.(−1,2)C.(1,3)D.(−1,−4)12、已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B,C两点，D为BC的中点，若|PO|=√2，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为（）.A.1+√22B.1+2√22C.1+√2D.2+√2二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13、已知点A(1,√5)在抛物线C:y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为 .14、若x,y 满足约束条件{x −3y ≤−1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x −y 的最大值为 .15、已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=−8，则a 7= .16、设a ∈(0,1)，若函数f (x )=a x +(1+a )x 在(0,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是 .三、解答题（共5题，共60分）17、（12分）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对实验，每次配对实验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i,y i(i=1,2,…,10)，实验结果如下：记z i=x i−y i(i=1,2,…,10)，记z1,z2,…,z10的样本平均数为z，样本方差为δ2 .（1）求z，δ2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡有显著提高（如果z≥2√δ210胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18、（12分）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.（1）求sin∠ABC；（2）若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.2，BC=2√2，PB=PC=√6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=√5DO，点F在AC上，BF⊥AO .（1）证明：EF//平面ADO；（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D−AO−C的正弦值 .20、（12分）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，点A(−2,0)在C上.（1）求C的方程；（2）过点(−2,3)的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点 .21、（12分）已知函数f(x)=(1+a)ln (1+x).x（1）当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）是否存在a,b，使得曲线y=f(1)关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存x在，说明理由；（3）若f(x)在(0,+∞)存在极值，求a的取值范围 .四、选做题（共2题，任选1题作答，共10分）22、（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ(π4≤θ≤π2)，曲线C2:{x=2cosαy=2sinα(α为参数，π2<α<π).（1）写出C1的直角坐标方程；（2）若直线y=x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围.23、（10分）已知f(x)=2|x|+|x−2| .（1）求不等式f(x)≤6−x的解集；（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组{f(x)≤yx+y−6≤0所确定的平面区域的面积 . 解：（1）因f(x)={−3x+2 ,x<0 x+2 ,0≤x≤2 3x−2 ,x>2作出y=f(x)和y=6−x图像：易知：当−2≤x≤2时，f(x)≤6−x故不等式f(x)≤6−x的解集为：x∈[−2,2].（2）由图像可知：{f(x)≤yx+y−6≤0所确定的区域图形为Rt△ABC，易知AC⊥BC所以，其确定的平面区域的面积为：S△ABC=12·|AC|·|BC|=12·4√2·2√2=8.。

2023年高考乙卷数学理科21题21. 已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围. 【参考答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）存在11,22a b ==-满足题意，理由见解析. （3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解题思路】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a 的方程，解方程可得实数a 的值，最后检验所得的,a b 是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论0a ≤，12a ≥和102a <<三中情况即可求得实数a 的取值范围. 【参考答案】⑴当1a =-时，()()11ln 1f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭， 据此可得()()10,1ln 2f f '==-，函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.⑵由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的定义域满足1110x x x++=>，即函数的定义域为()(),10,-∞-⋃+∞， 定义域关于直线12x =-对称，由题意可得12b =-， 由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取32m =可得()()12f f =-， 即()()11ln 22ln 2a a +=-，则12a a +=-，解得12a =， 经检验11,22ab ==-满足题意，故11,22a b ==-. 即存在11,22a b ==-满足题意. ⑶由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点; 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 则()()()21ln 10x x x ax-++++=， 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点， ()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=-+-+ 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意; 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,g x g x '''>在区间()0,∞+上单调递增， 所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=， 所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意； 当102a <<时，由()1201g x a x ''=-=+可得1=12x a -， 当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减， 当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增， 故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭'， 令()()1ln 01m x x x x =-+<<，则()10x m x x-+'=>， 函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=，据此可得1ln 0x x -+<恒成立， 则1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+< ⎪'⎝⎭， 令()()2ln 0h x x x x x =-+>，则()221x x h x x-++'=， 当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤-(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'， ()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'，且注意到()00g '=， 根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x .当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()000g x g <=.令()ln n x x =，则()122n x x x=='， 则函数()ln n x x =()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减， 所以()()4ln 420n x n ≤=-<，所以ln x < 所以2222244441=11ln 12141a g a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥+⎣⎦ 22444>1ln 1121a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-++--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222444441ln 11a a a a a ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+>+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝22222164121144110a a ---⎛⎛>+=+> ⎝⎝， 所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z＝，则＝（ ）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【答案】B【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z＝＝＝1﹣2i，∴＝1+2i．故选：B．2．（5分）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（ ）A．∁U（M∪N）B．N∪∁U M C．∁U（M∩N）D．M∪∁U N【答案】A【解答】解：由题意：M∪N＝{x|x＜2}，又U＝R，∴∁U（M∪N）＝{x|x≥2}．故选：A．3．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A．24B．26C．28D．30【答案】D【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4＝30．故选：D．4．（5分）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】D【解答】解：∵f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴，∴，∴ax﹣x＝x，∴a＝2．故选：D．5．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（ ）A．﹣B．﹣C．D．【答案】D【解答】解：根据题意可知＝，∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2，又根据“五点法“可得，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣），∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝．故选：D．7．（5分）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A．30种B．60种C．120种D．240种【答案】C【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为：＝120．故选：C．8．（5分）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB ＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）A．πB．πC．3πD．3π【答案】B【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE、OE，由于圆锥PO的底面半径为，即OA＝OB＝，而∠AOB＝120°，故AB＝＝＝3，同时OE＝OA×sin30°＝，△PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB，又由△PAB的面积等于，即PE•AB＝，变形可得PE＝，而PE＝，则有h2+＝，解可得h＝，故该圆锥的体积V＝π×（）2h＝π．故选：B．9．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C﹣AB﹣D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得AB⊥CE，AB⊥DE，∴二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CED＝150°，∵AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABC，∴平面CED⊥平面ABC，∴CD在平面ABC内的射影为CE，∴直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H，设等腰直角三角形ABC的斜边长为2，则可易得CE＝1，DE＝，又∠DEH＝30°，∴DH＝，EH＝，∴CH＝1+＝，∴tan∠DCE＝＝＝．故选：C．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为，集合S＝{cos a n|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（ ）A．﹣1B．﹣C．0D．【答案】B【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，又公差为，∴，∴，其周期为＝3，又根据题意可知S集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对a n取特值，如a1＝0，，，•，或，，a3＝π，•，代入集合S中计算易得：ab＝．故选：B．11．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）A．（1，1）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，﹣4）【答案】D【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），，①﹣②得k AB＝＝9×＝9×，即﹣3＜9×＜3⇒，即或，故A、B、C错误，D正确．故选：D．12．（5分）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（ ）A．B．C．1+D．2+【答案】A【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，根据题意可得：∠APO＝45°，∴＝＝cos2α﹣sinαcosα＝＝，又，∴当，α＝，cos（）＝1时，取得最大值．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年高三12月大联考（全国乙卷） 理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1230x x (1,)A B ．故选A ．2．C 【解析】由()23i 47i z ，得47i (47i)(23i)12i 23i (23i)(23i)z ，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,2)，故选C ．3．D 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由4716a S ，84a a ，得41847(71)71620a a d a a,即1111372116730a d a d a d a d ，解得151a d ，所以1(1)6,n a a n d n 则104a ，故选D.方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为174474447()7281622a a a a S a a a，所以42a .由840a a 可得60a ，由42,a 60a 得151a d ，，所以5(1)16,n a n n 则104a ，故选D.4．A 【解析】方法一：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点F 的坐标为(1)0，，2p ，又直线1y kx 过 抛物线C 的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线的方程为1y x ，由214y x y x，得2610x x ，设(,),(,),A A B B A x y B x y 所以6A B x x ，所以||628A B AB x x p ．故选A ． 方法二：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点坐标为0(1)F ，，2p ，又直线1y kx 过抛物线的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线1y kx 的倾斜角4，所以22||8sin pAB. 故选A ． 5．D 【解析】因为=(1,3),(3,4) a b ，所以3129 a b ，A 错误；因为(5,9) a b c ，所以|| a b c ，B 错误；因为()190 ，a b a 所以 a b 与a 的夹角为锐角，C 错误；由题意，知(2,7), a b 又=(7,2)c ，所以()0 a b c ，则 a b 与c 垂直，D 正确.故选D ．2283a283，所以1a ，所以该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为1(12)232S，故选B. 8．A 【解析】方法一：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有13C 3 （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 方法二：列举法：所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 9．C 【解析】由31n n S ，得当2n 时，1131n n S ，以上两式相减，得123n n a ，又当1n 时，14a ，所以14,123,2n n n a n ，所以2116,149,2n n n a n ，其前n 项和为121164(999)n n T 99923164192n n ．故选C ．10．C 【解析】211(),(1442222222222)x y x y x y x y x y +++，设(0)22x y t t ，则由题意得22222xyt t ，即22222xyt t ．因为22202222()2x y x y，即22022t t t ，当且仅当22x y ，即1x y 时等号成立，解得24t ，所以1122x y 的取值范围是(1,2]．故选C ． 11．B 【解析】由题意，知21(24)e (12)e 221a b a b b a ，∴21(24)e 21(21)e 2a b a a b b ，∴212(2)e 21(212)e 2a b a a b b ， ∴212[(2)e 2](212)e (21) 2.a b a a b b设()(2)e 2x f x x x ，则()(1)e 1x f x x ，令()()f x g x ，则()e x g x x ，当0x 时，()0g x ，()f x 单调递减，∴()(0)0f x f ，()f x 单调递增，()(0)0f x f ； 当0x 时()0g x ，，()f x 单调递增，∴()(0)0,()f x f f x 单调递增，()(0)0f x f . ∴()(0)0f a f .∴0()2()(21)f a f a f b ，∴()(21)f a f b ，∴21a b ，故选B ．12．C 【解析】由题意，知圆1C 的圆心坐标为(0,3，半径3r，12(2,0),(2,0)F F ，则12||4F F ，在11Rt F C O △（其中O 为坐标原点）中，因为111||||C O C F 所以1160,F C O 所以112120,F C F 121121602F MF F C F（同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半）.在12F MF △中，由余弦定理，得222221212121212||||||2||||cos 60(||||)||||4F F MF MF MF MF MF MF MF MF a12=16 ，所以1,a 又2,c 所以双曲线2C 的离心率为2e ，故选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科综合能力测试注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1B 11C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32Cl 35.5一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、有丝分裂和减数分裂是哺乳动物细胞分裂的两种形式。

某动物的基因型是Aa,若该动物的某细胞在四分体时期一条染色单体上的A和另一条染色单体上的a发生了互换，则通常情况下姐妹染色单体分离导致等位基因A和a进入不同细胞的时期是A.有丝分裂的后期B.有丝分裂的末期C.减数第一次分裂D.减数第二次分裂2、某同学将一株生长正常的小麦置于密闭容器中，在适宜且恒定的温度和光照条件下培养，发现容器内CO?含量初期逐渐降低，之后保持相对稳定。

关于这一实验现象，下列解释合理的是A.初期光合速率逐渐升高，之后光合速率等于呼吸速率B.初期光合速率和呼吸速率均降低，之后呼吸速率保持稳定C.初期呼吸速率大于光合速率，之后呼吸速率等于光合速率D.初期光合速率大于呼吸速率，之后光合速率等于呼吸速率3、运动神经元与骨骼肌之间的兴奋传递过度会引起肌肉痉挛，严重时会危及生命。

下列治疗方法中合理的是A.通过药物加快神经递质经突触前膜释放到突触间隙中B.通过药物阻止神经递质与突触后膜上特异性受体结合C.通过药物抑制突触间隙中可降解神经递质的酶的活性D.通过药物增加突触后膜上神经递质特异性受体的数量4、某种酶P由RNA和蛋白质组成，可催化底物转化为相应的产物。

为探究该酶不同组分催化反应所需的条件，某同学进行了下列5组实验（表中表示有，表示无）。

2022年吉林高考理数真题及答案(解析版)使用人数最多的全国乙卷共有12个省区:河南、安徽、江西、山西、陕西、内蒙古、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、青海、甘肃。

2022年全国乙卷的整体难易比去年有所加大，下面是小编为大家整理了关于2022年吉林高考理数真题及答案(解析版)的相关内容，供大家学习参考!2022年全国乙卷使用省份：河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西，共12省市区全国乙卷的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。

2022年全国乙卷高考理数真题及答案(解析版)2022年全国乙卷理科数学难度今年全国乙卷理科数学有一道考题要求查天坛公园有多少快地钻，天坛是个老考点，可以考的内容很多，不仅仅可以考数学，还可以考物理，考历史，考语文，考政治，考地理。

本次高考理科数学试题难度较上年有所提升。

整体考察重基础，但创新较多。

这之中对学生的计算能力要求较高。

虽然考察内容注重基础，但也很注重学生能力的培养，注重数学的实际应用。

例如对试题的文化包装，考察学生的建模意识与能力，重点培养学生的实际应用能力。

给下一届考生的建议：对于全国乙卷的理科考生来说，要以基础为先，夯实基本知识，掌握基本方法，培养基本能力。

以课本为基础，加强写，算，画的能力，培养良好的独立思考，认真纠错和答题的习惯。

并且在学习过程中多问自己为什么，善于用数学思维去分析和解决问题，只有这样才能真正的掌握数学，才能在最终的高考中取得满意的分数!高考数学是全国统一卷吗全国高考的试卷不是统一的，目前我国大部分省份高考使用的都是全国卷，全国卷还分为甲乙丙卷，还有一些省份高考采取自主命题方式。

全国甲卷：云南、广西、贵州、四川、西藏。

全国乙卷：河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西。

新高考全国卷Ⅰ：山东、福建、广东、河北、湖北、湖南、江苏。

新高考全国卷Ⅱ：海南、辽宁、重庆。

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另外，高考志愿是分批次录取的，本科和专科的填报时间不同，甚至不同的本科批次都有不同的志愿填报时间。

一般情况下都是一个批次录取结束后才开始进行下一个录取批次。

所以考生一定要时刻关注高考志愿填报时间。

从每年的志愿填报时间上来看，一般高考结束后二十天左右成绩就会公布，而成绩公布几天后就会开始填报高考志愿了。

去年大部分的省市的提前批和本科填报志愿时间都是从6 月25号左右开始的，而专科志愿填报时间则是比较晚，可能会在7月末8月初，也可能会在7月份，主要还是要看各省市的安排。

高考志愿填报时间每年都会根据高考录取工作的实际情况来作出一些调整和变化，但是变化不会很大，考生想知道高考后多久填报志愿，也可以去本省市的考试院，参考一下去年的志愿填报时间。

2022高考填志愿流程是什么1、阅读招生计划特别提醒考生注意的是，有些高校对填报志愿的要求以及一些有特殊规定的院校和专业进行了提示，考生一定要全部阅读。

2、拟定志愿草表建议考生上网填报志愿前，先将选报的志愿填写到志愿草表上，再按志愿草表上的内容上网填报，可以减少在网上反复修改的次数，减少出错的可能性。

3、登录指定网页登录省招办指定网页，打开浏览器，输入网报网址，如果网络管理员已经将网报地址设置为浏览器的主页，打开浏览器就可以啦。

2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）压轴真题解读11．双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）AB ．32CD【命题意图】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力【答案】C【解析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，sin a c β=，cos b cβ=，在21F F N 中，()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c cαβαβ+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得21225sin sin 2NF c cαβ==，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯=，2555sin 222c c a a NF c β==⨯=又12345422222a b a b aNF NF a +--=-==，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==C【方法归纳】求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.12．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【命题意图】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【易错提醒】函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.16．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【命题意图】本题主要考查利用导函数研究函数极值点存在大小关系时，导函数图像的问题【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()2ln 2e xf x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>，若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾，故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，∵01a <<,∴函数x y a =的图象是单调递减的指数函数，又∵ln 0a <,∴ln x y a a =⋅的图象由指数函数x y a =向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln xx a a ⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln e ln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11e a <<，综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭.【规律总结】1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.20．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【命题意图】本题考查了直线与椭圆的综合应用【解析】(1)设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得M，(1,N ，代入AB 方程223y x =-，可得26(63,)3T +，由MT TH = 得到26(265,)3H +.求得HN 方程：26(2)23y x =--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-21．已知函数()()ln 1exf x x ax -=++(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力【解析】(1)()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e xx f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =(2)()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x=+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【解后反思】(1)涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．压轴模拟专练1．（2022山东滕州一中高三模拟）已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上的一点，I 为12PF F △的内心，且1222IF IF PI +=，则C 的离心率为（）A ．13B ．25C D ．2【答案】D【解析】如下图示，延长IP 到A 且||||IP PA =，延长2IF 到B 且22||||IF F B =，所以1222IF IF PI +=，即10IF IB IA +=+ ，故I 是△1ABF 的重心，即11AIF BIF AIB S S S == ，又1111222,2,4AIF PIF BIF F IF AIB PIF S S S S S S === ，所以11222PIF F IF PIF S S S == ，而I 是12PF F △的内心，则1122||||2||PF F F PF ==，由21212||||,||2c PF PF a F F -==，则2||2PF a =，故24c a =，即2ce a==.故选：D 2．（2022天津南开中学高三模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆22143x y +=．过椭圆上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A2B C ．2D 【答案】A【解析】由题意得：渐近线方程为b y x a=±，设切线方程为()312y k x -=+，联立22143x y +=得：()2223348412302k x k k x k k ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭，由()()22223Δ64434412302k k k kk ⎛⎫=+-++-= ⎪⎝⎭得：()2210k -=，解得：12k =，所以切线方程为122y x =+，令0y =得：4x =-，所以()4,0M -，联立b y x a =与122y x =+，解得：42Q a x b a =-，联立b y x a =-与122y x =+，解得：42N a x b a=-+，因为N 为MQ 的中点，所以4144222a a b a b a ⎛⎫-=- ⎪+-⎝⎭，解得：32b a =，所以离心率为21312b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：A3．（2022成都七中高三模拟）若函数()f x 满足()()31f x f x +=-，且当[]2,0x ∈-时，()31x f x -=+，则()2022f =（）A ．109B ．10C ．4D ．2【答案】B【解析】由()()31f x f x +=-，得()()4f x f x +=，∴函数()f x 是周期函数，且4是它的一个周期，又当[]2,0x ∈-时，()31xf x -=+，∴()()()20224506229110f f f =⨯-=-=+=；故选：B.4．（2022安徽六中高三模拟）已知直线y kx m =+与函数22()22x x f x --=-图象交于不同三点M ，N ，P ，且17||||4PM PN ==，则实数k 的值为（）A ．14B ．18C ．154D ．158【答案】D【解析】因为函数22x x y -=-为奇函数，且在R 上为增函数，所以函数22()22x x f x --=-关于点(2,0)对称，且在R 上为增函数，设点P 的坐标为(2,0)，且M ，N 关于P 对称，设()00220,22x x M x ---，17||4PM ==，解得00x =或4，不妨设150,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以150154208k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以实数k 的值为158．故选：D ．5．（2022山师大附中高三模拟）设12,x x 是函数()3222f x x ax a x =-+的两个极值点，若122x x <<，则实数a 的取值范围是______．【答案】26a <<【解析】22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--,因为12,x x 是函数()3222f x x ax a x =-+的两个极值点，且122x x <<，所以12,x x 是方一元二次方程()0f x '=的两个实根，且122x x <<，所以(2)0f '<，即(6)(2)0a a --<，解得26a <<.故答案为：26a <<6．（2022山东潍坊一中高三模拟）已知三次函数()3223f x ax ax x =-+的两个极值点1x ，2x 均为正数，()2110g x x x=-，且不等式()()1212ln 21g x g x x x t +-<-对于所有的a 都恒成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】ln 51,2∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭【解析】令()22210f x ax ax =-+='，由题可知21212Δ480102102a a x x a x x a ⎧⎪=->⎪+=>⇒>⎨⎪⎪=>⎩，()()22121212121211ln 1010ln g x g x x x x x x x x x +-=-+--()21212121212102ln x x x x x x x x x x +⎡⎤=+---⎣⎦11012ln 2a aa ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭10102ln 2a a a=--+，令()10102ln 2h a a a a=--+，2a >，()()()222252210a a a a h a a a'--+-++==，当522a <<时，()0h a '>，()h a 单调递增，当52a >时，()0h a '<，()h a 单调递减，∴max 5()1ln 52h a h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴ln 5211ln 512t t ->+⇒>+，故答案为：ln 51,2∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭.7．（2022湖南长沙长郡中学高三模拟）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4e <(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N 两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点.【解析】(1)由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>，则24a =，122c b ⨯⨯=222a b c =+又2e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=(2)设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=，222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434k x x x x k k --+==++，..由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩.是1144x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444(4y x y x x y x y --=--，令0x =，则122114(4)44x y y x y x -=+-1122114(1)4(1(1)4x x kx x kx x -+=++-112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4x x x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=，则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,)5.则点（0，85）即为所求点.8．（2022江苏金陵中学高三模拟）已知抛物线()2:21C y px p =>上的点()0,1P x 到其焦点F 的距离为54.(1)求抛物线C 的方程；(2)点(),4E t 在抛物线C 上，直线l 与抛物线交于()11,A x y 、()()2212,0,0B x y y y >>两点，点H 与点A 关于x 轴对称，直线AH 分别与直线OE 、OB 交于点M 、N （O 为坐标原点），且AM MN =.求证：直线l 过定点.【解析】(1)由点()0,1P x 在抛物线上可得，2012px =，解得012x p=.由抛物线的定义可得0152224p p PF x p =+=+=，整理得22520p p -+=，解得2p =或12p =（舍去）.故抛物线C 的方程为24y x =.(2)由(),4E t 在抛物线C 上可得244t =，解得4t =，所以()4,4E ，则直线OE 的方程为y x =.易知()11,H x y -且1x 、2x 均不为0，易知12y y ≠，因为10y >，20y >，121222121212404AB y y y y k y y x x y y --===--+，所以，直线l 的斜率存在且大于0，设直线l 的方程为()0y kx m k =+>，联立得24y kx my x=+⎧⎨=⎩化为2440ky y m -+=，则16160km ∆=->，且124y y k+=，124m y y k =，由直线OE 的方程为y x =，得()11,M x x .易知直线OB 的方程为22y y x x =，故1212,x y N x x ⎛⎫⎪⎝⎭.由AM MN =，则M 为AN 的中点，所以，12M N y y y =+，即121122x y x y x =+，即1221122x x x y x y =+，所以，()22221212121212844y y y y y y y y y y ++==，化为()12122y y y y =+，则48m =得2m =，所以直线l 的方程为2y kx =+，故直线l 过定点()0,2.9．（2022东北育才中学高三模拟）已知()()1ln af x a x x x=-++(1)若0a <，讨论函数()f x 的单调性；(2)()()ln a g x f x x x =+-有两个不同的零点1x ，()2120x x x <<，若12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭恒成立，求λ的范围．【解析】(1)()f x 定义域为()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x +--+-'=-+-==ⅰ）01a <-<即10a -<<时，()01f x a x '<⇒-<<，()00f x x a '>⇒<<-或1x >ⅱ）1a -=即1a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥恒成立ⅲ）1a ->即1a <-，()01f x x a '<⇒<<-，()001f x x '>⇒<<或x a>-综上：10a -<<时，(),1x a ∈-，()f x 单调递减；()0,a -、()1,+∞，()f x 单调递增1a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 单调递增1a <-时，()1,x a ∈-，()f x 单调递减；()0,1、(),a -+∞，()f x 单调递增(2)()ln g x a x x =+，由题1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，120x x <<则()1221ln ln a x x x x -=-，设()120,1x t x =∈∴212112ln ln ln x x x xa x x t --==-()1a g x x'=+∴122112122221122ln 2x x x x g ax x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'=+=⋅+⎪+++⎝⎭()()()21102ln t t tλλ+-=+>+恒成立()0,1t ∈，∴ln 0t <∴()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立设()()()21ln 2t h t t t λλ+-=++，∴()0h t <恒成立()()()()()()()()22222224122241222t t t t h t t t t t t t λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪++-+⎝⎭'=-==+++ⅰ）24λ≥时，201t λ-<，∴()0h t '>，∴()h t 在()0,1上单调递增∴()()10h t h <=恒成立，∴(][),22,λ∈-∞-+∞ 合题ⅱ）24λ<，20,4t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0h t '>，∴()h t 在20,4λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，∴()h t 在2,14λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减∴2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10h t h >=，不满足()0h t <恒成立综上：(][),22,λ∈-∞-+∞ 10．（2022大连二十四中学高三模拟）已知函数()21e 2=--xf x x ax ax ．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若()()212h x f x ax =+在(),0∞-上单调递增，求a 的取值范围；(3)当1a >时，确定函数()f x 零点的个数.【解析】(1)当2a =时，()2e 2xf x x x x =--，()()()1e 2x f x x =+-'，令()0f x '=有121,ln 2x x =-=，故当(),1x ∈-∞-和()ln 2,+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,ln 2x ∈-时()0f x '<，()f x 单调递减；故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()ln 2,+∞，单调递减区间为()1,ln 2-(2)由题可得()e x h x x ax =-的导函数()()1e 0xh x x a '=+-≥在(),0∞-上恒成立，故()1e x a x ≤+，令()()1e x g x x =+，则()()2e x g x x '=+，易得当2x <-时()0g x '<，()g x 单调递减；当2x >-时()0g x '>，()g x 单调递增；故()()22e g x g -≥-=-，故()()min 2e 12a g x g ≤=-=-，故a 的取值范围为21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦(3)当1a >时，()21e 02xf x x ax ax =--=即1e 02x x a ax ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故()f x 有一根为0x =，令()1e 2x h x ax a =--，则()1e 2x h x a '=-，因为1a >，故令1e 02x a -=有ln 2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故当,ln 2a x ⎛⎫⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当ln ,2a x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增；故()ln 2min 1ln l 22e n 2a a a h x h a a ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11ln 1ln 02222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+<-+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()min 0h x <.故()h x 最多有两个零点.又()00e 10h a a =-=-<，()()2212e 2e 02h a a ---=-⨯--=>，故()h x 在()2,0-之间有1个零点，又()()()2ln 212ln e 2ln ln ln 12a h a a a a a a a a a a a =--=--=--，设()()ln 1,1t x x x x =-->，则()110t x x =->'，故()t x 为增函数，故()()11ln110t x t >=--=，故ln 10a a -->，故()2ln 0h a >，故()h x 在()0,2ln a 上有1个零点，故()h x 有2个零点.故当1a >时，函数()f x 零点的个数为3。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学一、选择题1. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得，则.故选：B.2. 设集合，集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.【详解】由题意可得，则，选项A 正确；，则，选项B 错误；，则或，选项C 错误；或，则或，选项D 错误；故选：A.3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）252i1i i z +=++z =12i -12i+2i-2i+z ()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-12i z =+U =R {}1M x x =<{}12N x x =-<<{}2x x ≥=()U M N ðU N M ð()U M N ðU M N⋃ð{}|2x x ≥{}|2M N x x =< (){}|2U M N x x =≥ ð{}|1U M x x =≥ð{}|1U N M x x =>- ð{}|11M N x x =-<< (){|1U M N x x ⋂=≤-ð}1x ≥{|1U N x x =≤-ð}2x ≥U M N = ð{|1x x <}2x ≥A. 24B. 26C. 28D. 30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体中，，，点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：.故选：D.4. 已知是偶函数，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.1111ABCD A B C D -2AB BC ==13AA =,,,H I J K 1111,,,B C D A ,,,O L M N 1111ABCD A B C D -11ONIC LMHB -()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=e ()e 1xax x f x =-=a 2-1-【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.5. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A ，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，结合对称性可得所求概率.故选：C.6. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）A. B. C.D.()e e 1x ax x f x =-()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---x ()1e e 0a x x --=()1e e a x x -=()1x a x =-11a =-2a =(){}22,14x y xy ≤+≤π418161412(){}22,|14x y xy ≤+≤()0,0O 2R =1r =OA π4π4MON ∠=π2142π4P ⨯==()sin()f x x ωϕ=+π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭π6x =2π3x =()y f x =5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12-12【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则故选：D.7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C.8. 已知圆锥POO 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，，若的面，则该圆锥的体积为（ ）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.5π12x =-()sin()f x x ωϕ=+π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭2πππ2362T =-=0ω>πT =2π2w T ==π6x =()f x ππ22π62k ϕ⋅+=-Z k ∈5π2π6k ϕ=-Z k ∈0k =()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5π5πsin 123f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16C 25A 1265C A 120⋅=120AOB ∠=︒PAB π3π【详解】在中，，而取中点，连接，有，如图，，，由，得解得，于是，所以圆锥的体积.故选：B9. 已知为等腰直角三角形，AB 为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，AOB 120AOB ∠=o OA OB ==AC C ,OC PC ,OC AB PC AB ⊥⊥30ABO = ∠23OC AB BC ===PAB132PC ⨯⨯=PC =PO ===2211ππ33V OA PO =⨯⨯=⨯=ABC ABD △C AB D --150︒1525AB E ,CE DE ABC AB CE AB ⊥ABD △DE AB ⊥CED ∠C AB D --150CED ∠=显然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，显然平面平面，直线平面，则直线在平面内的射影为直线，从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得：由正弦定理得，即，显然是锐角，，所以直线与平面故选：C10. 已知等差数列公差为，集合，若，则（ ）A. －1B.C. 0D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又的,,CE DE E CE DE ⋂=⊂CDE AB ⊥CDE AB ⊂ABC CDE ⊥ABC CDE ⋂ABC CE =CD ⊂CDE CD ABC CE DCE ∠CD ABC 2AB =1,CE DE ==CDE CD ===sin sin DE CD DCE CED =∠∠sin DCE ∠==DCE ∠cos DCE ∠===CD ABC {}n a 23π{}*cos N n S a n =∈{},S a b =ab =12-12{}n a 112π2π2π(1)()333n a a n n a =+-⋅=+-12π2πcos[()]33y n a =+-N n *∈cos n a，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选：B11. 设A ，B 为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A ： 可得，则，联立方程，消去y 得，此时，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；{cos |N }{,}n a n a b *∈=123cos ,cos ,cos a a a 123cos cos cos a a a =≠123cos cos cos a a a ≠=2πcos cos(3θθ=+2π()2π,Z 3k k θθ++=∈ππ,Z 3k k θ=-∈Z k ∈2ππ4πππ1cos(πcos[(π)]cos(π)cos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=-=-2219y x -=()1,1()1,2-()1,3()1,4--9AB k k ⋅=()()1122,,,A x y B x y AB 1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+,A B 221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩()2222121209y y x x ---=221222129AB y y k k x x -⋅==-1,9AB k k ==:98AB y x =-229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩272272730x x -⨯+=()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<对于选项B ：可得，则，联立方程，消去y 得，此时，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：，则，联立方程，消去y 得，此时，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.12. 已知的半径为1，直线PA 与相切于点A ，直线PB 与交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若的最大值为（ ）A.B.C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详解】如图所示，，则由题意可知:，92,2AB k k =-=-95:22AB y x =--22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩245245610x x +⨯+=()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<3,3AB k k ==:3AB y x=1,3a b ==:3AB y x =94,4AB k k ==97:44AB y x =-22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2631261930x x +-=21264631930∆=+⨯⨯>O O O PO =PA PD ⋅12PA PD⋅1224πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭PA PD ⋅ 1224πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭PA PD ⋅ 1,OA OP ==45APO ∠=由勾股定理可得当点位于直线异侧时，设，则：，则当时，有最大值.当点位于直线同侧时，设，则：1PA ==,A D PO =,04OPC παα∠≤≤PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭1cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ααα⎫=⎪⎪⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-1224πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭04πα≤≤2444πππα-≤-≤∴ππ244α-=-PA PD ⋅ 1,A D PO =,04OPC παα∠≤≤PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，则当时，.综上可得，故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为.故答案为：.1cos4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭ααα⎫=+⎪⎪⎭2cos sin cosααα=+1cos21sin222αα+=+1224πα⎛⎫=+⎪⎝⎭4πα≤≤2442πππα≤+≤∴242ππα+=PA PD⋅PA PD⋅(A22y px=9454x=-A C221p=⨯25p=25y x=54x=-A C59144⎛⎫--=⎪⎝⎭9414. 若x ，y 满足约束条件，则的最大值为______.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：，移项得，联立有，解得，设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，代入得，故答案为：8.15. 已知为等比数列，，，则______.【答案】【解析】【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.【详解】设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，故答案为：.312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩2z x y =-2z x y =-2y x z =-3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩52x y =⎧⎨=⎩()5,2A 2y x =A z -z 8z ={}n a 24536a a a a a =9108a a =-7a =2-24536a a a a a =11a q =9108a a =-32q =-55712a a q q q =⋅==-{}n a ()0q q ≠3252456a q a a q a a a a ==⋅0n a ≠24a q =321a q q =11a q =9108a a =-89118a q a q ⋅=-()()3315582qq==-=-32q =-55712a a q q q =⋅==-2-16. 设，若函数在上单调递增，则a 的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为，样本方差为．()0,1a ∈()()1xx f x a a =++()0,∞+⎫⎪⎪⎭()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭a a ()()()ln 1ln 10xx f x a a a a '=+++≥()0,∞+()()1ln 1ln xx a a a a ++≥-()1ln ln 1xa a a a +⎛⎫≥-⎪+⎝⎭()0,∞+()01ln 1ln 1a a a a +⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭()11,2a +∈()ln 10a +>()ln 1ln 01a a a ⎧+≥-⎨<<⎩()1101a a a ⎧+≥⎨<<⎩1a ≤<a ⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭i x ()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅i i x iy ()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅1210,,,z z z ⋅⋅⋅z 2s（1）求，；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）【答案】（1），；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出的值，和比较大小即可.【小问1详解】，，，的值分别为: ，故【小问2详解】由（1）知:，，故有所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18. 在中，已知，，.（1）求；（2）若D 为BC 上一点，且，求的面积.【答案】（1； （2.z 2s z ≥11z =261s =,x y i z z 545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==552.3541.311z x y =-=-=i i i z x y =-9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==11z ===z ≥ABC 120BAC ∠=︒2AB =1AC =sin ABC ∠90BAD ∠=︒ADC △【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，最后由同角三角函数基本关系可得；(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：，则，小问2详解】由三角形面积公式可得，则19. 如图，在三棱锥中，，，BP ，AP ，BC的中点分别为D ，E，O ，，点F 在AC 上，.（1）证明：平面；【BC BC =cos B =sin B =4ABD ACD S S =△△15ACD ABC S S =△△ADC △22222cos BC a b c bc A==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= BC =222cos 2a c b B ac +-===sin B ===1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△11121sin120552ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ △△-P ABC AB BC ⊥2AB =BC =PB PC ==AD =BF AO ⊥//EF ADO（2）证明：平面平面BEF ；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接，设，则，，，则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面.【小问2详解】由（1）可知，则，因此，则，有，又，平面，则有平面，又平面，所以平面平面.ADO ⊥D AO C --ODEF ,DE OF AF tAC =(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+ 12AO BA BC =-+BF AO ⊥2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= 12t =F AC ,,,D E O F ,,,PB PA BC AC 11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==,//DE OF DE OF =ODEF //,EF DO EF DO =EF ⊄,ADO DO ⊂ADO //EF ADO //EF OD AO DO ==AD ==222152OD AO AD +==OD AO ⊥EF AO ⊥,AO BF BF EF F ⊥= ,BF EF ⊂BEF AO ⊥BEF AO ⊂ADO ADO ⊥B EF【小问3详解】过点作交于点，设，由，得，且，又由（2）知，，则为二面角的平面角，因为分别为的中点，因此为的重心，即有，又，即有，，同理得，于是，即有，则，从而，，在中，，于是，所以二面角.20. 已知椭圆，点在上．（1）求的方程；（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的O //OH BF AC H AD BE G = AO BF ⊥HO AO ⊥13FH AH =OD AO ⊥DOH ∠D AO C --,D E ,PB PA G PAB 11,33DG AD GE BE ==13FH AH =32DH GF =cos ABD ∠==PA =BE =2223BE EF BF +==BE EF ⊥2221533GF ⎛=+= ⎝GF =32DH ==DOH △12OH BF OD DH ====cos DOH ∠==sin DOH ∠==D AO C --2222:1(0)C b b x a a y +>>=()2,0A -C C ()2,3-C ,P Q ,AP AQ y ,M N MN中点为定点．【答案】（1）（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y 得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，22194y x +=,,a b c PQ ,M N 2M Ny y +2222b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22194y x +=PQ ()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩()()()222498231630k x k k x k k +++++=()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->0k <()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++()2,0A -()11:22y AP y x x =++0x =1122y y x =+1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭则，所以线段的中点是定点.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线关于直线对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若在存在极值，求a 的取值范围.【答案】（1）；是()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++PQ ()0,31()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭1a =-()y f x =()()1,1f 1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭x b =()f x ()0,∞+()ln 2ln 20x y +-=（2）存在满足题意，理由见解析. （3）.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】由函数的解析式可得，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，11,22a b ==-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭b a a ,a b ()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++0a ≤12a ≥102a <<a 1a =-()()11ln 1f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭()()10,1ln 2f f '==-()()1,1f ()0ln 21y x -=--()ln 2ln 20x y +-=()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1110x x x ++=>()(),10,-∞-⋃+∞12x =-12b =-111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32m =()()12f f =-即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得，由区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，在()()11ln 22ln 2a a +=-12a a +=-12a =11,22ab ==-11,22a b ==-11,22a b ==-()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()f x ()0,∞+()f x '()0,∞+()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()()()21ln 10x x x ax-++++=()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++()f x ()0,∞+()g x ()0,∞+()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=-+-+0a ≤()0g x '<()g x ()0,∞+()()00g x g <=()g x ()0,∞+12a ≥21a ≥111x <+()()''0,g x g x >'()0,∞+()()00g x g ''>=()g x ()0,∞+()()00g x g >=()g x ()0,∞+102a <<()''1201g x a x =-=+1=12x a-10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x ''<()g x '11,2x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭()0g x ''>()g x '()g x '1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭'令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故，即(取等条件为)，所以，，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，，单调减，当时，，单调递增，所以.令，则，则单调递减，注意到，故当时，，从而有，所以，()()1ln 01m x x x x =-+<<()10x m x x-+'=>()m x ()()10m x m <=1ln 0x x -+<1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+< ⎪'⎝⎭()()2ln 0h x x x x x =-+>()221x x h x x-++'=()0,1x ∈()()0,h x h x '>()1,x ∈+∞()()0,h x h x '<()()10h x h ≤=2ln x x x ≤-1x =()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'()00g '=()g x '()0,∞+0x ()00,x x ∈()0g x '<()g x ()0,x x ∈+∞()0g x '>()g x ()()000g x g <=()11ln 2n x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()22211111022x n x x x x--⎛⎫=-+=≤ ⎪⎝⎭'()n x ()10n =()1,x ∈+∞11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++()()211>1121ax x x x x ⎡⎤+-+⨯+-⎢⎥+⎣⎦21122a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令得，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.（1）写出的直角坐标方程；（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意的取值范围；（2）根据曲线的方程，结合图形通过平移直线分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为，即，可得，整理得，表示以为圆心，半径为1的圆，又因为，且，则，则，211022a x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭2x =0g >()g x ()0,∞+a 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭xOy O x 1C ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ2C 2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩α2απ<<π1C y x m =+1C 2C m ()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈()(),0-∞+∞,x y 12,C C y x m =+2sin ρθ=22sin ρρθ=222x y y +=()2211x y +-=()0,12cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθππ42θ≤≤π2π2≤≤θ[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ故.【小问2详解】因（为参数，），整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线过，则，解得；若直线，即与相切，则，解得，若直线与均没有公共点，则或，即实数的取值范围. 【点睛】【选修4-5】（10分）23. 已知.（1）求不等式的解集；（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】为()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩αππ2α<<224x y +=()0,0O y x m =+()1,111m =+0m =y x m =+0x y m -+=2C 20m >⎩m =y x m =+12,C C m >0m <m ()(),0-∞+∞ ()22f x x x =+-()6f x x ≤-xOy ()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩[2,2]-依题意，，不等式化为：或或，解，得无解；解，得，解，得，因此，所以原不等式的解集为：【小问2详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，由，解得，由, 解得，又，所以的面积.32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩()6f x x ≤-2326x x x >⎧⎨-≤-⎩0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩2326x x x >⎧⎨-≤-⎩0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩02x ≤≤0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩20x -≤<22x -≤≤[2,2]-()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩ABC 326y x x y =-+⎧⎨+=⎩(2,8)A -26y x x y =+⎧⎨+=⎩(2,4)C (0,2),(0,6)B D ABC 11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--=三人行教育资源。

2022年高三12月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},0322>-+=x x x A {}1-≥=x x B ，则=B A （）A .()∞+，1B .[)∞+-，1C .(]13，-D .[)11，-2.已知()i i z 7432+-=+⋅，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是（）A .()1,1B .()12，C .()2,1D .()2,23.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1674-=+S a ，48a a -=，则=10a （）A .1B .2C .3D .44.已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线1-=kx y 过点F 且与抛物线C 交于B A ,两点，则=AB （）A .8B .6C .2D .45.已知向量()3,1=a ，()4,3-=b ，()2,7=c，则下列结论正确的是（）A .15-=⋅b aB .55=++c b aC .b a +与a的夹角为钝角D .b a +与c 垂直6.将函数()162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则()x g 图象的对称中心可以为（）A .⎪⎭⎫⎝⎛03πB .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0125πC .⎪⎭⎫⎝⎛13，πD .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1125π7.中国古代“刍童”作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语.关于计算的描述，《九章算术》中记载：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一”.即体积计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，所得结果再与上底面的宽相乘：将下底面的长乘二，与上底面的长相加，所得结果再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，所得结果与高相乘，再取其六分之一.按照此算法，如图，现有体积为328的长方棱台1111D C B A ABCD -，其高为2，上底面矩形的长11B A为a 2，宽11D A 为a ，下底面矩形的长AB 为a 4，则该长方棱台的三视图中侧视图的面积为（）A .7B .3C .17D .1938.将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（）A .24中B .30种C .62种D .41种9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13+=nn S ，则数列{}2na 的前n 项和为（）A .236-⨯nB .22331++n C .2239+n D .23391-+n 10.若实数y x ,满足()yxyx22244+=+，则1122--+y x 的值可以是（）A .21B .1C .23D .2511.已知e 为自然对数的底数，若()()ea b e b e a ba 122214221-->-+--，且0<a ，则下列结论一定正确的是（）A .322+>b aB .12+>b a C .ab <+32D .eb a +<212.已知圆1C ：31633222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x 过双曲线2C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的左、右焦点21F F ，，曲线1C 与曲线2C 在第一象限的交点为M ，若1221=⋅MF MF ，则双曲线2C 的离心率为（）A .2B .3C .2D .3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩ξ作为样本进行分析，成绩ξ近似服从正态分布()273σ，N ，且()78.077=<ξP ，则()=<<7369ξP .14.()51-x 的展开式中所有有理项的系数之和为.15.已知函数()x f 的导函数()()()m x x m x f -+-='2，若()x f 在m x =处取到极小值，则m 的取值范围是.16.如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE ∆沿DE 折起，构成四棱锥BCDE F -，若CD EF ⊥，则四棱锥BCDE F -外接球的表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，2=BD ，4=CD ，AB AC >.（1）若32=AB ，6π=C ，求AD 的长；（2）若32π=∠BAC ，求ACD ∆的面积S 的取值范围.18.（12分）2022年11月12日，在湖北黄石举行的2022年全国乒乓球锦标赛中，樊振东最终以4:2战胜林高远，夺得2022年全国乒乓球锦标赛男子单打冠军.乒乓球单打规则时是首先由发球员合法发球，再由接发球员合法还击，然后两者交替合法还击，胜利者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次合法发球中，得1分的概率为53，乙在一次合法发球中，得1分的概率为52，设在一局比赛中第n 个合法发球出现得分时，甲的累积得分为n a .（假定在每局比赛中双方运动员均为合法发球）（1）求随机变量3a 的分布列及数学期望；（2）求621,,a a a 成等比数列的概率.19.（12分）已知几何体1111D DCC A ABB -为正四棱柱1111D DEE A ABB -沿1DD 和BE 的中点C 截去一个三棱柱后的剩余部分，其中2==BC AB ，如图，平面1CDD 与直线11E B的交点记为1C .（1）过A 点作与平面D BC 1平行的平面α，试确定平面α与11B A 的交点位置，并证明；（2）求二面角B DC A --11的正弦值.20.（12分）已知曲线C 上任意一点()y x P ,满足方程()()4112222=++++-y x y x .（1）求点P 的轨迹方程；（2）如果直线l 交曲线C 于B A ,两点，且0=⋅OB OA ，过原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H .判断OH 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()x x f cos =，其导函数为()x f '.（1）若对任意0≤x ，()ax x f ≤'恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断函数()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x f x g 2ln π的零点个数，并证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 211（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()1sin 1=-θρ.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设()1,1M ，曲线1C ，2C 的交点为B A ,，求MB MA ⋅的值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()124123---=x x x f .（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）若不等式()x k x f ≤恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：由0322>-+x x ，得1>x 或3-<x ，∴{}31-<>=x x x A 或，又{}1-≥=x x B ，∴()∞+=，1B A .2.C解析：由()i i z 7432+-=+⋅，得()()()()i i i i i ii z 21323232743274+=-+-+-=++-=，∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1.3.D解析：设等差数列()n a 的公差为d ，由1674-=+S a ，48a a -=，可得：()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⨯+++016217774814a a d a a ，即⎩⎨⎧=+++-=+++0371621731111d a d a d a d a ，解得⎩⎨⎧=-=151d a ，∴()611-=-+=n d n a a n ，则410=a .4.A解析：由题意知抛物线C ：x y 42=的焦点F 的坐标为()0,1，2=p ，又直线1-=kx y 过抛物线C 的焦点()01，F ，∴01=-k ，解得1=k ，∴直线的方程为1-=x y ，由⎩⎨⎧=-=xy x y 412得0162=+-x x ，设()()B B A A y x B y x A ,,，，∴6=+B A x x ，∴826=+=++=p x x AB B A .5.D 解析：∵()3,1=a，()4,3-=b ，∴9123=+-=⋅b a ，A 错误；∵()9,5=++c b a ，∴1068125=+=++c b a，B 错误；∵()019>=⋅+a b a ，∴b a +与a的夹角为锐角，C 错误；由题意，知()7,2-=+b a ，又()2,7=c，∴()0=⋅+c b a ，则b a +与c 垂直，D 正确.6.D解析：由题意得()162sin 1662sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x g ，令Z k k x ∈=-,62ππ，得122ππ+=k x ，Z k ∈，当1-=k 时，125122πππ-=+-=x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-1125π为函数()x g 图象的一个对称中心.7.B 解析：由题意，的长方棱台的体积()()[]()32832822086122284461222==⨯+=⨯⋅++⋅+⨯=a a a a a a a a a V ，∴1=a ，∴该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为()322121=⨯+⨯=S .8.A解析：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有313=C （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.∴，不同的放法有()242221113=++++⨯C （种）.9.C解析：由13+=n n S 得当2≥n 时，1311+=--n n S ，以上两式相减，得132-⨯=n n a ，又当1=n 时，41=a ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,41n n a n n ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,941,1612n n a n n ，其前n 项和为()2239919941699941121+=--⨯+=+++⨯=+=-n n n n T .10.C 解析：()y x y xyx22222442⋅⋅-+=+，()y xy x 22212211+=+--，设()022>=+t t yx，则由题意得t t yx22222=⋅⋅-，即t t yx22222-=⋅⋅.∵222222220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≤⋅⋅<y x yx ，即42022t t t ≤-<，当且仅当yx22=，即1==y x 时等号成立，解得42≤<t ，∴1122--+y x 的取值范围是(]2,1.11.B 解析：由题意，知()()122214212-->-+-+a b e b e a b a，∴()()b eb a e a b a 212124212+->++-+，∴()()beb a e a b a2212122212+-+>++-+∴()[]()()21221222212+++-+>++-+b eb a e a b a，设()()22++-=x e x x f x ，则()()11+-='x e x x f ，李陵()()x f x g '=，则()xxe x g ='，当0<x 时，()0<'x g ，()x f '单调递减，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f ；当0>x 时，()0>'x g ，()x f '单调递增，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f .∴()()00=<f a f .，∴()()()1220+>>>b f a f a f ，∴()()12+>b f a f ，∴12+>b a .12.C 解析：由题意，知圆1C 的圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3320，，半径334=r ，()()02,0221，，F F -，则421=F F ，在O C F Rt 11∆中（其中O 为坐标原点），∵334332111==F C O C ，，∴︒=∠6011O C F ，∴︒=∠=∠︒=∠602112021121211F C F MF F F C F ，，在21MF F ∆中，由余弦定理得：()221221212221221460cos 2a MF MF MF MF MF MF MF MF F F =+-=︒-+=1612=+，∴1=a ，又2=c ，∴双曲线2C 的离心率为2=e .又11296lg 3125lg 6lg 5lg 5log 45456>==，∴545log 6>=c ，∴c b <.∴c b a <<.二、填空题13.28.0解析：由随机变量ξ服从正态分布()2,73σN ，()78.077=<ξP ，得()()22.06977=≤=≥ξξP P ，∴()28.022.05.07369=-=<<ξP .14.16-解析：由二项式定理，可得()51-x 的展开式通项为()()r rrr x C T 1551-=-+，5,4,3,2,1=r ，当42,05，=-r ，即1,3,5=r 时，1+r T 为有理项，∴所有有理项的系数之和为()()()()16510111115353555-=++-=-+-+-C C C .15.()2,0解析：由题意得0≠m ，当0>m 时，()x f '为图象开口向下的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有20<<m ；当0<m 时，()x f '为图象开口向上的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有2>m ，与0<m 矛盾，不符合题意，故m 的取值范围是()2,0.16.π211解析：由EF BE AE ==得BF AF ⊥，同理CF AF ⊥，又F CF BF = ，∴⊥AF 平面BCF ，如图，取BC 的中点G ，连接AG FG EG ,,，则AC EG ∥，又AC EF ⊥，∴EG EF ⊥，∴在EFG Rt ∆中，2=FG ，在AFG Rt ∆中，122=-=FG AG AF ，∴三棱锥ADE F -为正四面体，设AG 与ED 的交点为M ，易知M 为ED 的中点，连接FM ，则23==MG FM ，在FMG ∆中，由余弦定理得312cos 222-=⋅-+=∠MG FM FG MG FM FMG ，设正三角形EFD 的中心为I ，易知等腰梯形BCDE 的外接圆圆心为BC 的中点G ，设四棱锥BCDE F -外接球的球心为O ，连接OG OI ,，则⊥OI 平面EFD ，⊥OG 平面BCDE ，连接GI ，在MGI ∆中，131236322363cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠⋅-+=FMG MG MI MG MI GI ，易知I O G M ,,,四点共圆，设四边形MGOI 外接圆的半径为r ，结合正弦定理，得223sin 2=∠==GMI GI r OM ，8322=-=MG OM OG ，设四棱锥BCDE F -外接球的半径为R ，则811831222=+=+=OG BG R，∴四棱锥BCDE F -外接球的表面积为π211.三、解答题17.解：（1）由题意知6=BC ，在ABC ∆中，由余弦定理得C AC BC AC BC AB cos 2222⋅⋅-+=，即236236122⨯⨯⨯-+=AC AC ，即024362=+-AC AC ，解得32=AC 或34=AC ，∵AB AC >，∴34=AC .在ADC ∆中由余弦定理得：C AC DC AC DC AD cos 2222⋅⋅-+=，即1623344248162=⨯⨯⨯-+=AD ，∴4=AD .（2）∵326π=∠=BAC BC ，，∴在ABC ∆中，由正弦定理得34sin sin sin =∠==BACBCB AC C AB ，∴C AB sin 34=，⎪⎭⎫⎝⎛-==C B AC 3sin 34sin 34π，∴C C C AC CD S sin 3sin 34421sin 21⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅⋅=πC C C C C C 2sin 34cos sin 12sin sin 21cos 2338-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=()3262sin 342cos 21322sin 6-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=πC C C .又AB AC >，则60π<<C ，∴2626πππ<+<C ，∴162sin 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πC ，可得320<<S ，∴ACD ∆的面积S 的取值范围为()32,0.18.解：（1）随机变量3a 的可能取值为0,1,2,3.()12585203033=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()12536525312133=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C a P ；()12554525322233=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()125275333333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P .随机变量3a 的分布列为∴()59125273125542125361125803=⨯+⨯+⨯+⨯=a E .（2）若621a a a ，，成等比数列，则11=a ，当12=a 时，则16=a ，()156259652531,1,15621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯====a a a P ；当22=a 时，则46=a ，()1562519445253534,2,122242621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛====C a a a P ∴事件621a a a ，，成等比数列的概率31254081562519441562596=+=P .19.解：（1）由题意，知1C 为11E B 的中点，如图，取11D A 的中点P ，连接AP P C ，1，则1111112C B P A C B P A ∥，==，∴四边形111B PC A 为平行四边形，∴111B A PC ∥，∴AB PC ∥1，又AB PC =1，∴四边形B APC 1为平行四边形，∴1BC AP ∥，又⊄AP 平面D BC 1，⊂1BC 平面D BC 1，∴AP ∥平面D BC 1，连接11D B ，同理可证11D B BD ∥，设11B A 的中点为Q ，连接AQ PQ ,，则11D B PQ ∥，∴BD PQ ∥，又⊄PQ 平面D BC 1，⊂BD 平面D BC 1，∴PQ ∥平面D BC 1，又P PQ AP = ，∴平面APQ ∥平面D BC 1，从而平面APQ 即为平面α，故平面α与11B A 的交点为11B A 的中点Q .（2）以1A 为坐标原点，11111D A B A A A ，，所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，如图所示.3a 0123P1258125361255412527则()()()()0,2,222040200011B C D A ，，，，，，，，，，∴()4021，，=D A ，()22011，，=C A ，()420，，-=BD ，()2021，，-=BC .设平面D C A 11的法向量为()1111,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111n C A n D A ，∴⎩⎨⎧=+=+022*******z y z x ，令11=y ，∴()1,1,21-=n 即平面D C A 11的一个法向量为()1,1,21-=n.设平面D BC 1的法向量为()2222,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00212n BC n BD ，∴⎩⎨⎧=+-=+-022*******z x z y ，令12=x ，∴()1,2,12=n ，∴平面D BC 1的一个法向量为()1,2,12=n.∴21663,cos 212121=⨯=⋅=n n n n n n.设二面角B DC A --11的大小为θ，则23211sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=θ，∴二面角B DC A --11的正弦值为23.20.解：（1）由题意知，点P 的轨迹是椭圆，设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x ，且12==c a ，，∴32=b ，∴点P 的轨迹方程为13422=+y x .（2）当直线l 的斜率不存在时，0=⋅OB OA ，不妨设点A 在第一象限，易得⎪⎪⎭⎫⎝⎛72127212，A ，∴7212=OH .当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：m kx y +=，且与曲线C 的交点分别为()()2211,,y x B y x A ，，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，化简得()0124843222=-+++m kmx x k ，∴()0434822>-+=∆mk ，即2243k m+<，且222122143124438k m x x k km x x +-=+-=+，，由此可得2222143123k k m y y +-=，又0=⋅OB OA ，∴0431********22222121=+-++-=+k k m k m y y x x ，即01212722=--k m ，∴()222431712k k m +<+=，则721271212==+=km OH ，综上，OH 为定值7212.21.解：（1）由()x x f cos =可得()x x f sin -='，令()()ax x ax x f x h --=-'=sin ，则()a x x h --='cos .当1-≤a 时，()0cos 1≥-≥'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递增，故()()00=≤h x h ，符合题意；当1≥a 时，()0cos 1≤--≤'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递减，故()()00=≥h x h ，不符合题意；当11<<-a 时，方程()0='x h 在(]0，∞-上有无数个解，记其中最大的负数解为0x ，则当()0,0x x ∈时，()0<'x h ，故()()00=>h x h ，不符合题意.综上，1-≤a ，即实数a 的取值范围为(]1，∞-.（2）()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛∞+-2π，①当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈2πx 时，1cos ≤x ，1ln 2ln >>⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ，∴()0<x g ，此时函数()x g 无零点.②当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()021sin <+--='xx x g π，()x g 在⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，∵()02ln10>-=πg ，0ln 02<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππg ，∴函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有且仅有1个零点.③当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πx 时，令()2ln 22ln πππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x p ，则()022221>⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+='ππππx xx x p ，∴()x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π上单调递增，故()()00=<p x p ，即2ln 22ln πππ+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x .令()2ln 2cos ππ--=x x x q ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()π2sin --='x x q ，令()π2sin --=x x n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()0cos <-='x x n ，可得()x n 在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上单调递减，又02>⎪⎭⎫ ⎝⎛-πn ，()00<n ，故存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 使()00=x n ，则存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx ，使得()00='x q ，且当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 时，()00>'x q ，()x q 单调递增，当()0,0x x ∈时，()00<'x q ，()x q 单调递减，又()02ln 102>-==⎪⎭⎫⎝⎛-ππq q ，∴当02<<-x π时，()0>x q ，即2ln 2cos ππ+>x x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛+>x x 2ln cos π，即当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 时，()0>x g ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上无零点.综上，函数()x g 有1个零点.（二）选考题22.解：（1）∵曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②，①t y t x 21,1，则①-⨯2②，得122-=-y x ，∴曲线1C 的普通方程为：0212=-+-y .由()1sin 1=-θρ得1sin +=θρρ，两边同时平方得1sin 2sin 222++=θρθρρ，将y =θρsin ，222y x +=ρ代入上式，得12222++=+y y y x ，化简得122+=y x ，∴曲线2C 的直角坐标方程为21212-=x y .（2）将曲线1C 的参数方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t y t x 361331，代入21212-=x y 得()0662322=-'-+'t t ，设B A ,两点对应的参数分别为21t t ''，，则621-=''t t .∴621='⋅'=⋅t t MB MA .23.解：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-<=4,43,2473,x x x x x x x f ，（1）①当3<x 时，2>x ，即32<<x ；②当43≤≤x 时，2247>+-x ，解得722<x ，即7223≤≤x ；③当4>x 时，2>-x ，解得2-<x ，则()2>x f 无解.综上所述，不等式()2>x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛7222，.（2）①当0=x 时，显然成立；②当0≠x 时，不等式()x k x f ≤可化为xx xx x k 124123124123---=---≥.又1124123124123=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤---x x x x ，当且仅当0124123≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 且xx 124123->-时等号成立，∴实数k 的取值范围为[)∞+，1.。