[小初高学习]2018-2019学年高中数学 考点34 两条直线平行庖丁解题 新人教A版必修2

考点10 斜二测画法斜二测画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的主要步骤如下：①在已知图形中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，使∠xOy＝90°；②画直观图时，把轴Ox，Oy画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中，平行于x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴．并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了水平放置的平面图形的直观图．【例】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．（4）成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．【方法提炼】画旋转体直观图的关键是画图的直观图，即作两个圆的直观图，平行于z轴的线段的长度保持不变．1．关于直观图的斜二测画法，以下说法不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变1 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的2C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】C【解析】由直观图的画法规则可知选项C中∠x′O′y′可以是45°或135°．2．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是( )3．关于利用斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形【答案】D【解析】由斜二测画法的规则，可知平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法得到的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A ．43a 2B ．83a 2C ．86a 2D ．166a 2【答案】D【规律总结】已知一个平面图形，求其直观图的面积．解决此类问题的关键是利用斜二测画法画出直观图，然后利用面积公式求解．5．如图建立坐标系，得到的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )【答案】C【解析】在A 、B 、D 中，三角形ABC 的直观图的底面边长和高均相等，它们是全等的，只有C 不全等．6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A ．21＋22B ．1＋22C ．1＋D ．2＋【答案】D【解析】如图所示，【易错易混】由直观图还原为原图是画直观图的逆过程，有两个量发生了变化，一是∠x ′O ′y ′由45°恢复为∠xOy ＝90°，二是与O ′y ′平行的线段，在平面xOy 中的长度是原来的2倍．1．下图为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是( )【答案】C【解析】根据直观图，平面图形的一边在x′轴上，另一边与y′轴平行，故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．2．如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【答案】B【解析】由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，所以原三角形为直角三角形．3．如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是( )A．2 B．1C．D．4【答案】C4．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是多少？【答案】2＋．【解析】由题意，知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为1＋，高为2，所以实际图形的面积＝22）×2＝2＋．教你如何看零件图看零件图通常从以下几个方面进行分析：1．分析表达方案．分析视图布局，找出正视图、其它基本视图和辅助视图．根据剖视、断面的剖切方法、位置，分析剖视、断面的表达目的和作用．2．分析形体、想象零件的结构形状．先从正视图出发，联系其它视图进行分析．用形体分析法分析零件各部分的结构形状，难于看懂的结构，运用线面分析法分析，最后想象出整个零件的结构形状．分析时若能结合零件结构功能来进行，会使分析更加容易．3．分析尺寸．先找出零件长、宽、高三个方向的尺寸基准，然后从基准出发，找出主要尺寸．再用形体分析法找出各部分的定形尺寸和定位尺寸．在分析中要注意检查是否有多余和遗漏的尺寸、尺寸是否符合设计和工艺要求．4．分析技术要求．分析零件的尺寸公差、形位公差、表面粗糙度和其他技术要求，弄清哪些尺寸要求高，哪些尺寸要求低，哪些表面要求高，哪些表面要求低，哪些表面不加工，以便进一步考虑相应的加工方法．看零件图实际上就是根据三视图想象它的直观图．。

2019年高考数学（文）考点一遍过（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. （2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的位置关系注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 二、两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合． 三、距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d．（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．四、对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'lP P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．考向一 两直线平行与垂直的判断及应用由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.典例1 若直线21y x =-与直线30x my ++=平行，则m 的值为 A ．12B ．12- C ．2-D ．2【答案】B【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件，列出关于m 的方程求解即可.1．“1a =”是“直线()2110a x ay +++=和直线330ax y -+=垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考向二 两直线的相交问题1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. 2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.典例2 已知直线l 经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P ,且垂直于直线2x+3y+5=0,求直线l 的方程. 【答案】直线l 的方程为3x-2y-4=0.方法二：由2304350x y x y --=⎧⎨--=⎩,解得,即点P 的坐标为(2,1)，因为直线l 与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l 的方程为3x-2y+c =0，把点P 的坐标代入得3×2-2×1+c =0，解得c =-4. 故直线l 的方程为3x-2y-4=0.方法三：直线l 的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0,因为直线l 与直线2x+3y+5=0垂直,所以2413λλ++·(-23)=-1,解得λ=1.故直线l 的方程为3x-2y-4=0.2．已知直线111:1＋＝l a x b y 和直线222:1＋＝l a x b y 相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是________.考向三 距离问题1.求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.典例3 （1）若点A (2，3)，B (－4，5)到直线l 的距离相等，且直线l 过点P (－1,2)，则直线l 的方程为_________；（2）若直线m 被两直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为m 的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________．【答案】（1）x ＋3y －5＝0或x ＝－1；（2）15°或75°方法二：当AB ∥l 时，有k l ＝k AB ＝13-，直线l 的方程为y －2＝13-(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0． 当l 过AB 的中点时，由AB 的中点为(－1,4)，得直线l 的方程为x ＝－1．综上，直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1．（2）显然直线l1∥l 2，直线l 1，l 2之间的距离d ==设直线m 与l 1，l 2分别相交于点B ，A ，则|AB |=过点A 作直线l 垂直于直线l 1，垂足为C ，则|AC |=d ，在Rt ABC △中，sin ∠ABC =||1||2AC AB ==，所以∠ABC =30°， 又直线l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角为45°－30°=15°或45°+30°=75°， 故直线m 的倾斜角θ =15°或75°．3．若动点()()111222,,,P x y P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12P P 的中点P 到原点的距离的最小值是 A ．52B ．1522C ．D ．2考向四 对称问题解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．典例4 已知直线l :3x-y+3=0,求:（1）点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标; （2）直线x-y-2=0关于直线l 对称的直线方程. 【答案】（1）(-2,7)；（2）7x+y+22=0.（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x ,y ,得关于l 对称的直线方程为4393432055x y x y -+-++--=,即7x+y+22=0.4．光线通过点()2,3A ，在直线:10l x y ++=上反射，反射光线经过点()1,1B . （1）求点()2,3A 关于直线l 对称点的坐标； （2）求反射光线所在直线的一般式方程．考向五 直线过定点问题求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.典例5 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】详见解析.【解析】证法一：对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0. 解方程组31104100x y x y --=⎧⎨++=⎩得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝4m －2－3m －9－m ＋11＝0.这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 证法二：以m 为未知数，整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，所以2103110x y x y +-=⎧⎨-++=⎩，解得x ＝2，y ＝－3.所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过定点(2，－3)．5．已知点()20A ，，点()20B -，，直线l ：()()3140x y λλλ++--=（其中λ∈R ）． （1）求直线l 所经过的定点P 的坐标；（2）若分别过A ，B 的两条平行直线截直线l 所得线段的长为l 的方程．1．过两直线3x ＋y −1=0与x ＋2y −7=0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是 A ．x −3y ＋7=0B ．x −3y ＋13=0C ．3x −y ＋7=0D ．3x −y −5=02．已知m 为实数,直线1:10l mx y +-=,()2:3220l m x my -+-=,则“1m =”是“12l l ∥”的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x+2y-3=0垂直,则cos(-2α)的值为A ．B ．-C ．2D ．-4．若直线l 1:x+ay+6=0与l 2:(a-2)x+3y+2a =0平行,则两直线间的距离为A ．2B ．2C ．D ．5．直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，垂足为()1,c ，则a b c ++= A ．2- B ．4- C ．6-D ．8-6．若点102（，）到直线:300l x y m m ++=>（），则m =A ．7B ．172C ．14D ．177．设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A ，12BC 12D ．4，14 8．设直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y ++=的交点为A ，,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为 A ．2 B ．2- C ．3D ．3-9．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为 A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭10．已知点P (m ,n )到点A (0,4)和B (-8,0)的距离相等,则()m +()n的最小值为A ．-3B ．3C ．16D ．411．若直线与直线互相垂直，则实数.12．若直线1:2l y kx k =+-与直线2l 关于直线1y x =-对称，则直线2l 恒过定点________．13．若直线1:10l ax y -+=与直线2:2210l x y --=的倾斜角相等，则实数a = . 14．已知0a >，0b >，若直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，则ab 的最大值是__________．15．若直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=m n +=_________. 16．设()2,P n n是函数2y x=图象上的动点，当点P 到直线1y x =-的距离最小时，n =_________.17．一条光线从()3,2A )发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点()1,6B -，则反射光线所在直线的斜率为________．18．已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是 . 19．已知直线与相交于点（1）求交点的坐标； （2）设直线，分别求过点且与直线平行和垂直的直线方程.20．已知直线.（1）若，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离.21．已知ABC △的三个顶点为()4,0A 、()8,10B 、()0,6C .（1）求过点A 且平行于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与A 、C 距离相等的直线方程.22．已知两条直线l 1:ax-by+4=0和l 2:(a-1)x+y-b =0.（1）若l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1),求实数a ,b 的值.（2）是否存在实数a ,b ,使得l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等?并说明理由.23．已知两条直线l 1:(a-1)x-2y+b =0,l 2:ax+(b-4)y+3=0,其中a >0.若l 1⊥l 2,且l 1过点(1,3).（1）求l 1,l 2的方程;（2）若光线沿直线l 1射入,遇到直线x =0后反射,求反射光线所在的直线方程.24．已知三条直线l 1:2x −y +a =0(a >0)，直线l 2:4x −2y −1=0和直线l 3:x +y −1=0，且l 1和l 2的距离是10. （1）求a 的值.（2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12； ③P 点到l 1的距离与P 点到l 3若能，求出P 点坐标；若不能，请说明理由.1．【答案】A【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212l l k k ⇔=∥；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-，这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 2．【答案】2x ＋3y ＝1【解析】因为P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以1122231231a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点111()，P a b 和222()，P a b 的坐标是方程2x ＋3y ＝1的解，所以经过点111()，P a b 和222()，P a b 的直线方程是2x ＋3y ＝1. 3．【答案】A【解析】因为12l l ∥,所以12P P 的中点P 的轨迹为直线：15502x y +--=，即100x y --=， 因此PA. 4．【答案】（1）()4,3--；（2）4510x y -+=.【解析】（1）设点()23A ，关于直线l 的对称点为()000,A x y ，则0000312231022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩， 解得004,3x y =-=-，即点()23A ，关于直线l 的对称点为()04,3A --． （2）由于反射光线所在直线经过点()04,3A --和()1,1B ， 所以反射光线所在直线的方程为()4115y x -=-即4510x y -+=. 5．【答案】（1）直线l 过定点()1,3；（2）1x =或3y x =-+．（260︒， 又水平线段4AB =，所以两平行线间距离为4sin60d =⋅︒=而直线l被截线段长为所以被截线段与平行线所成夹角为30︒，即直线l 与两平行线所成夹角为30︒， 所以直线l 倾斜角为6030︒±︒30=︒或90︒． 由（1），直线l 过定点()1,3，则所求直线为1x =或3y x =． 【名师点睛】本题考查了直线方程过定点问题，平行线间距离及夹角问题，主要是依据图象判断各条直线的位置关系，属于中档题.（1）根据直线过定点，化简直线方程，得到关于λ 的表达式，令系数与常数分别为0即可求得过定点的坐标.（2）根据平行线间距离公式，求得平行线间距离；由倾斜角与直线的夹角关系，求得直线的方程.1．【答案】B【解析】由310270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得14x y =-⎧⎨=⎩，即交点为(−1,4)．∵第一条直线的斜率为−3，且与所求直线垂直，∴所求直线的斜率为13.∴由点斜式方程得所求直线方程是y −4=13(x ＋1)，即x −3y ＋13=0.2．【答案】A【名师点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.3．【答案】B【解析】由题意可知tan α=2,所以cos(-2α)=cos(1 008π+-2α)=-sin2α=-=-=-.4．【答案】C【解析】由l 1∥l 2知,≠,解得a =-1,所以l 1:x-y+6=0,l 2:x-y+=0,两条平行直线l 1与l 2间的距离d =.故选C.5．【答案】B【解析】∵直线420ax y +-=与直线250x y b -+=垂直，∴2145a -⨯=-，∴10a =， ∴直线420ax y +-=即为5210x y +-=．将点()1,c 的坐标代入上式可得5210c +-=，解得2c =-．将点()1,2-的坐标代入方程250x y b -+=得()2520b -⨯-+=，解得12b =-． ∴101224a b c ++=--=-． 故选B ．【名师点睛】本题考查两直线的位置关系及其应用，考查学生的应用意识及运算能力，解题的关键是灵活运用所学知识解题，即明确点()1,c 是两直线的交点．根据两直线垂直可得a ，然后将点()1,c 的坐标代入直线420ax y +-=可得c ，同理可得b ，于是可得a b c ++的值． 6．【答案】B31710,0,22m m m =∴+=±>∴=.故选B.7．【答案】A故选A.【名师点睛】本题考查了平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查了计算能力，注意a b c ，，之间的关系，利用其关系进行转化，属于中档题. 8．【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示：直线1210l x y -+=：与直线230l mx y ++=：的交点为A ，M 为PQ 的中点， 若12AM PQ =，则PA QA ⊥，即121210l l m ⊥∴⨯+-⨯=，（），解得2m =．故选A ． 9．【答案】D【解析】因为三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，所以直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=平行，或者直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点，直线10mx y --=与2310x y -+=，4350x y ++=分别平行时，23m =，或43-，直线10mx y --=过2310x y -+=与4350x y ++=的交点时，23m =-，所以实数m 的取值集合为422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，故选D. 10．【答案】C11．【答案】【解析】由题得，,解得.故答案为.12．【答案】()3,0【解析】直线1:2l y kx k =+-经过定点()12，，点()12，关于直线1y x =-对称的点为()30，，∴点()30，在直线2l 上，即直线2l 恒过定点()30，，故答案为()30，. 13．【答案】1【解析】直线的倾斜角相等，则两直线平行或重合，据此有：122a -=-，求解关于实数a 的方程可得：1a =.14．【答案】18【解析】因为直线()1210a x y -+-=与直线0x by +=互相垂直，所以()1120a b -⨯+=，21a b +=，又0,0a b >>，所以()2112122228a b ab a b +⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,24a b ==时，等号成立.所以ab 的最大值为18.【名师点睛】本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题.本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式. 15．【答案】0【解析】直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x ny +-=2n =-⎧∴=2n =-，2m =（负值舍去），则220m n +=-=.故答案为0.【名师点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离公式，理解题目意思，运用公式来求解即可，较为基础.16．【答案】12【名师点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．由点到直线的距离公式求得n 的关系式，从而求得距离最小时n 的值． 17．【答案】−2【解析】如图所示：作A 点关于x 轴的对称点A '，则点A '在直线MB 上，由对称性可知()32A '-，， 则光线MB 所在直线的斜率()62213A B k '--==---，故答案为2-.【名师点睛】本题考查的是反射定律，以镜面反射为背景的问题，实质就是对称问题，求解这类问题一般要转化为求对称点的问题，判断点A '在直线MB 上，是解题的关键. 18．【答案】2x-y-3=0【解析】由平面几何知识,得当l 1⊥AB 时,l 1,l 2之间的距离最大.∵A (2,1),B (0,2),∴k AB =-,=2.则直线l 1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 19．【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，得，.（2）与平行直线方程，即. 与垂直的直线方程，即.20．【答案】（1）；（2）.【名师点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系.解答本题时要注意： （1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值； （2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算. 21．【答案】（1）240x y --=；（2）7640x y -+=或32440x y +-=.【解析】（1）直线BC 的斜率为12BC k =， 过点A 与BC 平行的直线方程为()1042y x -=-，即240x y --=.【名师点睛】本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题．22．【答案】（1）a =2,b =2；（2）不存在.【解析】（1）由已知可得l 2的斜率存在,为k 2=1-a . 若k 2=0,则1-a =0,a =1. ∵l 1⊥l 2,∴直线l 1的斜率必不存在,即b =0. 又l 1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾).∴此种情况不存在,∴k2≠0,直线l1的斜率存在,设为k1.∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.①又l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②由①②联立,解得a=2,b=2.（2）不存在,理由如下:∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在.又坐标原点到这两条直线的距离相等,∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=-b,该方程无实数解.∴不存在满足条件的实数a,b，使得l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 23．【答案】（1）l1,l2的方程分别为l1:x-2y+5=0,l2:2x+y+3=0；（2）x+2y-5=0.（2）由,解得入射点A(0,).取直线x-2y+5=0上一点B(-5,0),点B关于直线x=0的对称点B1(5,0)必在反射线上, 所以直线AB1的方程即为所求的反射光线所在的直线方程,由y-0=(x-5),整理得x+2y-5=0.即反射光线所在的直线方程为x+2y-5=0.24．【答案】（1）3；（2）P (137,918). 【解析】（1）l 2的方程即为1202x y --=， ∴l 1和l 2的距离d=， ∴1722a +=. ∵a >0, ∴a =3.【名师点睛】本题考查了直线与直线的平行关系、平行线间的距离、点到直线的距离等，关键计算量比较大，注意不要算错，属于中档题.（1）根据两条直线是平行关系，利用两条平行线的距离公式即可求得a 的值.（2）根据点到直线的距离公式，讨论当P 点满足②与③两种条件下求得参数的取值，并注意最后结果的取舍.。

高考数学中的几何问题答疑几何学是高中数学中重要的一部分，也是高考数学中的重点之一。

在解答几何题目时，同学们可能会遇到一些困惑和问题。

本文将解答一些高考数学中常见的几何问题，帮助同学们更好地理解和应用几何知识。

问题一：“如何判断两条直线是否平行？”在几何学中，两条直线平行的条件是它们的斜率相等且不相交。

可以通过斜率公式来判断两条直线的斜率是否相等，即斜率相等的直线必定平行。

假设直线L1和直线L2的斜率分别为k1和k2，如果k1 =k2，则直线L1与直线L2平行。

问题二：“如何判断两条直线是否垂直？”在几何学中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。

可以通过斜率公式来判断两条直线的斜率是否满足该条件。

假设直线L1和直线L2的斜率分别为k1和k2，如果k1 * k2 = -1，则直线L1与直线L2垂直。

问题三：“如何判断两个三角形是否相似？”在几何学中，两个三角形相似的条件是它们对应角度相等或者对应边长成比例。

以下是判断两个三角形相似的几个常用方法：1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，则它们相似。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边长成比例，则它们相似。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的两条边的比例相等且夹角相等，则它们相似。

4. AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角度相等，则它们相似。

问题四：“如何求解圆的面积和周长？”圆的面积计算公式是πr²，其中π的近似值为3.14，r表示圆的半径。

圆的周长计算公式是2πr。

给定圆的半径，可以根据这两个公式计算出圆的面积和周长。

问题五：“如何求解三角形的面积？”三角形的面积计算可以使用海伦公式或者高度公式。

海伦公式适用于已知三边长的情况，公式为：面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长，a、b、c为三角形的三边长。

高度公式适用于已知底边和高的情况，公式为：面积 = 1/2 ×底边 ×高。

考点57 直线和圆的方程的应用直线与圆的方程在生产、生活实践中有着广泛的应用，其具体解题思路是：从实际问题出发，构建数学模型，转化为数学问题中点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及性质探究的问题求解．解题步骤是：（1）建模；（2）建系；（3）引进直线与圆的方程；（4）利用直线与圆的位置关系，借助几何性质求解．【例】如果实数x，y 满足等式2223x y -+=()，那么yx的最大值是（ ） A ．12B C D 【答案】D2，构造直角三角形，求出相切时的倾斜角60°，可得斜率的最大值．1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半径为3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷蓬顶距地面的高度不得超过（ ） A ．1.4 m B ．3.5 m C ．3.6 m D ．2.0 m【答案】C【解析】设圆的方程为2223.6x y +=，将0.8y (，)代入方程的 3.5y ≈．【规律方法】直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题．用坐标法解决平面几何问题的思维过程：2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为（ ）A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h【答案】B【解题技巧】用坐标方法解决几何问题的步骤是：（1）建系，用坐标和方程表示问题中几何元素，将平面问题转化为代数问题； （2）通过代数运算解决代数问题； （3）将代数结构翻译成几何结论．3．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π【答案】D【解析】数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14．4．已知M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r>0)}，且M ∩N ＝N ，则r 的取值范围是( ) A ．(0，2－1) B ．(0,1] C ．(0,2－2] D ．(0,2]【答案】C【解析】因为M ∩N ＝N ，所以两个圆内含或内切，则2－r≥2，得r ∈(0,2－2]，故选C ． 5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的直径为________．【答案】13米6．一束光线l 自A （–3，3）发出，射到x 轴反射到224470C x y x y +--+=：上．（1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； （2）求在x 轴上，反射点M 的范围． 【解析】C ：22221x y -+-=()()．（1）C 关于x 轴的对称点C ' （2，–2），过A 、C '的直线方程：0x y +=为光线l 的方程． （2）A 关于x 轴的对称点A '（–3，–3）．设过A '的直线为33y k x ++=()，当该直线与C 相切时，413k =⇒=或34k =．∴过A '，C 的两条切线为4333y x ++=()，3334y x ++=()令0y =，得123,14x x =-=．∴反射点M 在x 轴上的活动范围是3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．1．点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)4＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【答案】A2．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2【答案】A【解析】由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1,解之得a ＝－43． 3．一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34【答案】D【解析】圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(–3,2),半径r ＝1．(–2,–3)关于y 轴的对称点为(2,–3)．如图所示,反射光线一定过点(2,–3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x –2),即kx –y –2k －3＝0．∵反射光线与已知圆相切,∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1,整理得12k 2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43．4．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h ． 问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)石拱桥石拱桥，用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，这种拱桥有悠久的历史，桥梁又多有附属小品建筑，如桥头常立牌坊，著名者如北京北海琼华岛前的石拱桥，两端就各有一座规模甚大而美丽的牌坊．华表、经幢。

2024年新高二数学提升精品讲义两条直线平行与垂直的判定（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直；3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.知识点1两条直线平行1、直线平行的判定类型斜率存在斜率不存在条件1290︒=≠αα1290︒==αα对应关系1212//＝⇔l l k k 12//⇔l l 两条直线斜率都不存在图示2、对直线平行判定的理解（1）2121//k k l l =⇔成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②21l l 与不重合．（2）1212k k l l =⇒//或21l l 与重合．（3）1212l l k k ⇒=//或两条直线的斜率都不存在．（4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行．知识点2两条直线垂直1、直线垂直的判定对应关系1l 与2l 的斜率都存在，分别为12,k k ，则12121⊥⇔⋅=-l l k k 1l 与2l 中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则1l 与2l 的位置关系是12⊥l l图示2、对直线垂直判定的理解（1）12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；（2）当两条直线的斜率都存在，且121k k ⋅=-时，两条直线垂直；（30，则两条直线也垂直．考点一：两条直线平行的判定例1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点()1,2A 和点()1,2B -的直线与直线3y =的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对【答案】B【解析】过点()1,2A 和点()1,2B -的直线方程为2y =，斜率为0，又因为直线3y =斜率为0，所以两直线平行.故选：B【变式1-1】（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为1k 、2k ，则“12l l //”是“12k k =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题意可知：12,k k 已经存在，若1l ∥2l ，则12k k =，即充分性成立；若12k k =，则12,l l 可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“12l l //”是“12k k =”的充分不必要条件.故选：A ．【变式1-2】（23-24高二上·山西临汾·月考）下列各对直线互相平行的是（）A ．直线1l 经过点()0,1A ，()10B ,，直线2l 经过点()1,3M -，()2,0N B ．直线1l 经过点()1,2--A ，()1,2B ，直线2l 经过点()2,1M --，()0,2N -C ．直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D D ．直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，直线2l 经过点()1,1M -，()3,2N 【答案】A【解析】对于A ，因为1201301,11012l l k k --==-==----，所以12//l l ；对于B ，因为()12122212,11202l l k k -----====-----，所以直线12,l l 不平行；对于C ，由直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D ，得直线12,l l 的斜率都不存在，且两直线重合；对于D ，因为直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，所以直线直线1l 的斜率不存在，而2123132l k --==-，所以直线12,l l 不平行.故选：A.【变式1-3】（23-24高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．(1)1l 经过点()2,3A ，()4,0B -，2l 经过点()3,1M -，()2,2N -；(2)1l 的斜率为12-，2l 经过点()4,2A ，()2,3B ；(3)1l 平行于y 轴，2l 经过点()0,2P -，()0,5Q ；(4)1l 经过点()0,1E ，()2,1F --，2l 经过点()3,4G ，()2,3H ．【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合【解析】（1）301242AB k -==+，21123MN k -==-+，AB MN k k ≠，所以1l 与2l 不平行．（2）1l 的斜率112k =-，2l 的斜率2231422k -==--，12k k =，所以l 1与l 2平行或重合．（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不与y 轴重合，2l 的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以12l l //.（4）由题意，知11120EF k --==--，43132GH k -==-,EF GH k k =，所以1l 与2l 平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，23114FG k --==--.所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．考点二：两条直线平行关系的应用例2.（23-24高二上·贵州黔西·月考）已知直线1l 过()1,4A -，()2,0B ，且12//l l ，则直线2l 的斜率为（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】由题意直线1l 的斜率为1404123k -==---，又因为12//l l ，所以直线2l 的斜率为2143k k ==-.故选：C.【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点(3,),(5,)A n B m 的直线1l 与经过点()()2,0,0,(0)P m Q n mn -≠的直线2l 平行，则mn的值为（）A ．－1B ．－2C ．－1或2D ．－2或1【答案】C【解析】由题意得122,2l l m n n k k m-==，因为12//l l ，所以12l l k k =，即22m n nm-=，化简得2220m mn n --=，所以m n =-或2m n =，又由0mn ≠得mn＝－1或2，故选:C .【变式2-2】（22-23高二上·福建漳州·期中）过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，则m =（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】A【解析】过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以1m ≠-，因此过()(),3,1,A m B m -两点的直线的斜率为31m m---，因为过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以有3tan 45111m m m-==⇒=-- ，故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4-重合，点()2023,2024与点(),a b 重合，则a b +=（）A ．4046B ．4047C ．4048D ．4049【答案】B【解析】设()2,0A ，()2,4B -，则点A ，B 所在直线的斜率为40122AB k -==---，由题意知，过点()2023,2024，(),a b 的直线与直线AB 平行，所以202412023b a -=--，整理得：202320244047a b +=+=.故选：B考点三：两条直线垂直的判定例3.（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且12,k k 是方程210x x +-=的两根，则1l 与2l 的位置关系为（）A ．平行B ．相交且垂直C ．重合D ．相交且不垂直【答案】B【解析】由题意121k k =-，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B ．【变式3-1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中12l l ⊥的是（）A ．1l 的倾斜角为45 ，2l 的斜率为1B ．1l 的斜率为2l经过点()2,0A ，(B C ．1l 经过点()2,1P ，()4,5Q --，2l 经过点()1,2M -，()1,0N D ．1l 的方向向量为()1,m ，2l 的方向向量为11,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】对A ，1tan 451l k =︒=，21l k =，121l l k k ⋅≠-，所以A 不正确；对B ，2l k ==，121l l k k ⋅=-，故B 正确；对C ，151142l k --==--，220111l k -==---，121l l k k ⋅=-，故C 正确；对D ，因为()1,m 11,110m ⎛⎫⋅-=-= ⎝，所以两直线的方向向量互相垂直，故12l l ⊥，故D 正确.故选：BCD【变式3-2】（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)1l 经过点(3,4),(1,3),A B --2l 经过点(4,3),(3,1)M N --；(2)1l 经过点(3,4),(3,10),A B 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -．【答案】(1)不垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析【解析】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别设为12,k k ，()()1347134k --==--，()()2134347k --==--，121k k ∴⋅=，∴1l 与2l 不垂直．（2）由题意知1l 的倾斜角为90°，则1l x ⊥轴；由题知直线2l 的斜率存在，设为3k ，34040010(10)k -==--，则2l x ∥轴，∴12l l ⊥．【变式3-3】（23-24高二上·全国·课堂例题）判断直线1l 与2l 是否垂直．(1)1l 的斜率为10-，2l 经过点()10,2A ，()20,3B ；(2)1l 经过点()3,4A ，()3,10B ，2l 经过点()10,40M -，()10,40N ；(3)1l 经过点()1,2A -，()5,1B -，2l 经过点()1,0C ，()4,6D ．【答案】(1)12l l ⊥；(2)12l l ⊥；(3)12l l ⊥【解析】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则110k =-，2321201010k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥．（2）由点A ，B 的横坐标相等，得1l 的倾斜角为90︒，则1l x ⊥，设直线2l 的斜率为2k ，则()2404001010k -==--，所以2l x ∥轴．故12l l ⊥．（3）方法一：直线1l 的斜率()1121512k --==---，直线2l 的斜率260241k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =- ，直线2l 的方向向量()3,6CD =，因为0AB CD ⋅= ，所以AB CD ⊥，所以12l l ⊥．考点四：两条直线垂直关系的应用例4.（23-24高二上·河南郑州·月考）已知1l 的倾斜角为45°，2l 经过点()()2,1,3,P Q m --．若12l l ⊥，则实数m 为（）A ．6B ．－6C ．5D ．－5【答案】B【解析】因为1tan 451l k =︒=，()()211325l m m k --+==--，且12l l ⊥，所以121115l l m k k +⋅=⨯=-，解得6m =-，故选：B.【变式4-1】（23-24高二上·江西宜春·期中）已知点(3,2),(24,4),(,),(3,32)A m B m C m m D m -----+，若直线AB CD ⊥，则m 的值为（）A ．1或1-B ．3-或1-C ．1-或3D ．3或3-【答案】A【解析】∵A ，B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行.∵AB CD ⊥，则CD 与x 轴不垂直，∴3m -≠，即3m ≠-.当AB 与x 轴垂直时，324m m --=--，解得1m =-，此时，点C ，D 的纵坐标均为1-，则//CD x 轴，此时AB CD ⊥，满足题意；当AB 与x 轴不垂直时，42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+，∵AB CD ⊥，∴1AB CD k k =-，即()()212113m m m +⨯=--++，解得1m =.综上，m 的值为1或1-，故选：A .【变式4-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D【解析】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.【变式4-3】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点()0,2A -，()6,0B ，()0,C a ，且点C 在线段AB 的垂直平分线上，则=a （）A ．2B ．2C ．8D ．8-【答案】C【解析】由点()0,2A -，()6,0B ，可得线段AB 的中点()3,1D -，所以得：线段AB 的斜率为021603AB k +==-，所以得：线段AB 垂直平分线的斜率为1303a k +=-=-，解之得：8a =.故选：C.考点五：直线平行、垂直的综合应用例5.（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点()()()()4,2,6,4,12,6,2,12P Q R S --，则下列结论正确的是（）A ．//PQ SRB ．PQ PS⊥C ．//PS QRD ．PR QS⊥【答案】ABCD【解析】由斜率公式知423645PQ k --==-+，12632125SR k -==--，122532435PS k -==≠-+，PQ SR k k =，且,,,P Q R S 四点不共线，则//PQ SR ，A 选项正确；35153PQ PS k k =⨯⋅-=-，PQ PS ⊥，B 选项正确；6(4)51263QR PS k k --===-，//PS QR ，C 选项正确；124426QS k +==--，6211244PR k -==+，1414QS PR k k ⋅=-⨯=-，PR QS ⊥，D 选项正确．故选：ABCD ．【变式5-1】（22-23高二上·河北石家庄·月考）（多选）直线12,l l 的斜率12,k k 是关于k 的方程2240k k m -+=）A ．若12l l ⊥，则2m =-B ．若12l l ⊥，则=2mC ．若12//l l 则2m =-D ．若12//l l ，则=2m 【答案】AD【解析】直线1l ，2l 的斜率1k ，2k 是关于k 的方程2240k k m -+=的两根，∴122m k k ⋅=，若12l l ⊥，则1212mk k ==-，得2m =-；若12//l l ，则12k k =，∴1680m ∆=-=，得=2m ，故选：AD【变式5-2】（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线1l 经过()(),1,4,3A m B m ---+，直线2l 经过点()()1,2,4,2C D m --+.(1)若1l //2l ，求m 的值；(2)若12l l ⊥，求m 的值.【答案】(1)1或6；(2)3或4-【解析】（1）由题可知直线2l 的斜率存在且()222143m mk -+==--+，若则直线1l 的斜率也存在，由()2113244m mk k m m --+-+===-+-+，得243m m m -+=--+，即2760m m -+=解得1m =或6，经检验，当1m =或6时，12//l l ；（2）若12l l ⊥，当20k =时，此时10,m l =斜率12142k -==-存在，不符合题意，当20k ≠时，直线2l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的斜率也存在，且121k k ×=-，即2134m mm -+-⋅=--+，即2120m m +-=，解得3m =或4-，所以当3m =或4-时，12l l ⊥.【变式5-3】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线1l 经过()(),3,1,A m B m 两点，2l 经过()()2,1,4,2P Q 两点．(1)若12//l l ，求m 的值；(2)若12,l l 的倾斜角互余，求m 的值．【答案】(1)73m =；(2)53m =【解析】（1）211422PQ k -==-，因为12//l l ，所以3112AB PQ m k k m -===-，得73m =，经检验，符合题意，所以73m =；（2）因为12,l l 的倾斜角互余，设1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为π2α-，所以3121AB PQ m k m k -===-，得53m =．考点六：几何图形的特征的应用例6.（23-24高二上·江苏盐城·期中）以()()()5,1,1,1,2,3A B C -为顶点的三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形【答案】D【解析】直线AB 的斜率1(1)1152AB k --==--，直线BC 的斜率31221BC k -==-，由1AB BC k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，故ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形．故选：D【变式6-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C 三点，试判断ABC 的形状.【答案】直角三角形.【解析】如图所示，边AB 所在直线的斜率111512--==--AB k ，边BC 所在直线的斜率13212BC k -==-.由1AB BC k k ⋅=-，得AB BC ⊥，即90ABC ∠=︒，所以ABC 是直角三角形.【变式6-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为()0,0O ，()1,3A ，()3,2B -，()4,1C --．试判断四边形OABC 的形状，并说明理由.【答案】平行四边形，理由见解析【解析】如下图示：OA 边所在直线的斜率3OA k =，AB 边所在直线的斜率14AB k =，BC 边所在直线的斜率3BC k =，CO 边所在直线的斜率14CO k =．由BC CO k k ≠知：点O 不在BC 上，则OA 与BC 不重合，又OA BC k k =，得//OA BC ．同理，由AB CO k k =且AB 与CO 不重合，得//AB CO ．因此四边形OABC 是平行四边形．【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为()()()()0,0,1,,12,2,2,2O P t Q t t R t -+-，其中0t >.试判断四边形OPQR 是否为矩形.【答案】四边形OPQR 为矩形，理由见解析.【解析】由斜率公式得010OP t k t -==-，()()222121RQ t t t t k t ----+-===-20120OR k t t -==---,2211122PQ t t t k t t-==-=--所以OP RQ k k =，OR PQ k k =，从而OP ∥RQ ，OR ∥PQ .所以四边形OPQR 为平行四边形.又1OP OR k k ⋅=-,所以OP OR ⊥，故四边形OPQR 为矩形.一、单选题1．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知直线1l 过()2,3A ，()0,4B ，且12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．2B ．12-C ．2-D ．12【答案】A【解析】由题设1431022l AB k k -===--，又12l l ⊥，则直线2l 的斜率为2.故选：A 2．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知过(2,)A m -和(,4)B m 的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是（）A ．－8B ．0C ．2D ．10【答案】A【解析】由题意可知，422AB mk m -==-+，解得8m =-．故选：A 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l 经过点()2,1A a --和()2,1B a --，且与斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值是（）A ．23-B ．32C ．23±D ．32±【答案】A【解析】由题意得，直线l 的斜率必存在，且1112(2)AB k a a a=－－＝－－－－－()0a ≠.因为直线l 与斜率为23-的直线垂直所以2113a ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭－，解得23a =-.故选：A .4．（22-23高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点()2,0A -和点()1,3B a 的直线1l 与经过点()0,1P -和点(),2Q a a -的直线2l a 的值为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-或1【答案】C【解析】直线1l 的斜率()13012a k a -==--．①当0a ≠时，直线2l 的斜率()221120a ak a a----==-．因为12l l ⊥，所以121k k =-，即121aa a-⋅=-，解得1a =．②当0a =时，()0,1P -、()0,0Q ，此时直线2l 为y 轴，又()2,0A -、()10B ,，则直线1l 为x 轴，显然12l l ⊥．综上可知，0a =或1.故选：C.5．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB ∠为直角，则点P 坐标为（）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【答案】B【解析】由题意，设点()0,P y ，APB ∠ 为直角，AP BP ∴⊥，由141,12AP BP y y k y k --==-=，()4112AP BP y k k y -⎛⎫∴⋅=-=- ⎪⎝⎭，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B6．（23-24高二上·全国·课后作业）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)A B C D ---为顶点的四边形是（）A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．梯形，但不是直角梯形D ．直角梯形【答案】D 【解析】在坐标系中画出ABCD 点，大致如上图，其中11622,2,,//3224AD BC AD BC k k k k AD BC +-==-==-∴=-+-，211,1,422AB AB BC k k k AB BC +===-⊥+ ，AD BC AD ====≠，所以四边形ABCD 是直角梯形；故选：D.二、多选题7．（23-24高二上·青海西宁·月考）下列各组直线中1l 与2l 一定平行的是（）A ．1l 经过点()()2,1,3,5AB -，2l 经过点()()3,3,8,7CD --B ．1l 经过点()()0,1,2,1EF --，2l 经过点()()3,4,2,3GH C ．1l 的倾斜角为60 ，2l 经过点(2,M N --D ．1l 平行于y 轴，2l 经过点()()0,2,0,5P Q -【答案】AD【解析】对于A ．由题意知12514734,325835k k --+==-==----，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，又5(3)443335BC k --==-≠---，故12//l l ，A 选项正确；对于B ．由题意知1211341,12023k k ---====---，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，4(1)13(2)FG k --==--，故直线1l 与直线2l 重合，B 选项错误；对于C ．由题意知12tan 60k k = ，12k k =，所以直线1l 与直线2l 可能平行可能重合，C 选项错误；对于D ．由题意知1l 的斜率不存在，且不是y 轴，2l 的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以12//l l ，D 选项确．故选：AD8．（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考月考）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A ．23AB k =-B ．14BC k =-C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【解析】对于A ，因为(1,1),(2,1)A B --，所以1(1)2123AB k --==---，所以A 正确，对于B ，因为(2,1),(1,4)B C -，所以1415214BC k --==-≠--，所以B 错误，对于C ，因为23AB k =-，143112AC k -==--，所以22133AB AC k k ⋅=-⨯=-，所以AB AC ⊥，所以ABC 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，对于D ，因为23AB k =-，5BC k =-，所以1AB BC k k ⋅≠-，所以D 错误，故选：AC三、填空题9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若经过点(),3m 和()2,m 的直线l 与斜率为-4的直线互相平行，则m 的值是．【答案】53/213【解析】由题意32l mk m -=-，又因为直线l 与斜率为-4的直线互相平行，所以342m m -=--，解得53m =.10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为．【答案】(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.【解析】由题，(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，所以73231AC k -==-，131512AB k -==--，71335BC k -==--，设D 的坐标为(),x y （1x ≠且5x ≠且3x ≠），分以下三种情况：①当BC 为对角线时，有CD AB k k =，BD AC k k =，所以，125BD y k x -==-，71=32CD y x k -=--，解得75x y =⎧⎨=⎩，即(7,5)D ；②当AC 为对角线时，有CD AB k k =，AD BC k k =，所以331AD y k x -==--，71=32CD y x k -=--，解得19x y =-⎧⎨=⎩，即(1,9)D -；③当AB 为对角线时，有BD AC k k =，AD BC k k =所以132351BD AD y y k k x x --====---，，解得33x y =⎧⎨=-⎩，即(3,3)D -；所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.11．（22-23高二上·北京丰台·月考）在平面直角坐标系中，直线1l 经过()()1,,4,5M m N -两点，2l 经过()6,0,(1,3)R S --两点，若12l l ⊥，则m =；若12l l ∥，则m =．【答案】0345-【解析】由已知()2303165l k -==---，当12l l ⊥时，所以155413l m k --==--，解得0m =，当12l l ∥时，153415l m k --==-，解得345m =-，经验证：当345m =-时，12,l l 不重合.四、解答题12．（23-24高二上·四川·期中）已知()4,0A ，()1,2B ，(),C m m ，()7,1D -.(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；(2)若ABC 为直角三角形，求m 的值.【答案】(1)115；(2)1-或12【解析】（1）依题意可得AB CD k k =，即201147m m---=--，解得115m =.又202143AB k -==--，101743AD k --==--，所以AB AD k k ≠，所以A 、B 、C 、D 四点不共线，所以115m =.（2）若A 为直角，则1AB AC k k =-，即2001144m m --⨯=---，解得12m =.若B 为直角，则1AB BC k k =-，即2021141m m --⨯=---，解得1m =-.若C 为直角，则1AC BC k k =-，即02141m m m m --⨯=---，解得m =综上，m 的值为1-或1213．（22-23高二上·广东广州·期中）已知四边形MNPQ 的顶点(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -.(1)求斜率MN k 与斜率PQ k ；(2)求证：四边形MNPQ 为矩形.【答案】(1)1,1MN PQ k k =-=-；(2)证明见解析【解析】（1）因为(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -，所以1,111203124MN PQ k k ---=-==--=-，即1,1MN PQ k k =-=-.（2）因为1,1MN PQ k k =-=-，所以//MN PQ .又因为01,12112134MQ NP k k -=--=--==，所以//MQ NP ，所以四边形MNPQ 为平行四边形，又因为1MN MQ k k ⋅=-，所以MN MQ ⊥，所以四边形MNPQ 为矩形.。

高三数学平行线定理知识点在高中数学中，平行线定理是一个重要的知识点。

它涉及到平行线与直线和角度的关系，通过理解和掌握这些定理，我们可以更好地解决平行线相关的问题。

本文将介绍一些常见的平行线定理，包括平行线的判定定理、平行线的性质定理以及平行线与直线的截距定理。

一、平行线的判定定理平行线的判定定理是我们判断两条线是否平行的基础。

根据平行线的定义，我们可以得到以下几个平行线的判定定理：1. 两条直线被一组平行线所截断时，它们是平行线。

也就是说，如果两条直线的截距比相等，那么它们就是平行线。

2. 相交线被一组平行线所截断时，分切线段成相等的部分比相等时，它们是平行线。

3. 若一条线与两条平行线相交，那么它与这两条平行线的交点的两个对内角相等。

这个定理也被称为同位角定理。

以上几个定理给出了平行线的具体判定条件，掌握了这些定理，我们便能够准确地判断给定线段或角之间的平行关系。

二、平行线的性质定理平行线的性质定理是平行线理论的重要组成部分，通过它们，我们可以推导出一些附加的结论。

1. 平行线内的任意一对同位角相等，即同位角定理的逆定理。

2. 平行线外的任意一对同位角相等，即同位旁定理。

3. 两条平行线被一组相交线截得的内部对应角、外部对应角互为补角。

这些定理的掌握是解决平行线问题的基础，通过运用这些定理，我们可以快速推导出平行线相关问题的解答。

三、平行线与直线的截距定理平行线与直线的截距定理是对平行线相关问题的一种重要应用。

这个定理是从平行线的定义中推导出来的。

根据平行线的定义，如果两条平行线分别与同一条直线相交，那么它们与这条直线截取的线段比相等。

基于这个定理，我们可以应用它来解决各种几何问题。

例如，在求解平面几何的图形面积时，我们可以利用平行线与直线的截距定理将一些复杂的图形转化为简单的几何形式，从而求得准确的面积值。

综上所述，平行线定理是高中数学中一个重要的知识点。

通过学习和掌握这些定理，我们能够准确地判断平行线的关系，推导出一系列的附加结论，并应用它们来解决各种几何问题。

高中数学平行线解题技巧在高中数学中，平行线是一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。

解题时，我们常常需要运用一些技巧来判断线段是否平行，或者利用平行线的特性来推导出其他结论。

本文将介绍一些高中数学中常见的平行线解题技巧，并通过具体的例题来说明。

一、平行线的判断判断线段是否平行是解题的第一步。

在实际操作中，我们可以运用以下几种方法来判断两条线段是否平行。

1. 利用线段的斜率对于两条线段，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判断它们是平行线。

例如，已知直线L1过点A(2, 3)和B(4, 7)，直线L2过点C(1, 1)和D(3, 5)，我们可以计算出L1的斜率为(7-3)/(4-2)=2，L2的斜率为(5-1)/(3-1)=2，由此可知L1与L2是平行线。

2. 利用线段的比例关系在某些情况下，我们可以通过线段的比例关系来判断它们是否平行。

例如，已知线段AB与线段CD的长度比为3:4，线段AC与线段BD的长度比为2:5，我们可以发现线段AB与线段CD的长度比与线段AC与线段BD的长度比相等，因此可判断AB与CD平行。

二、平行线的性质应用在解题过程中，我们还可以利用平行线的性质来推导出其他结论，从而解决问题。

下面举例说明。

例题1：已知平行线L1和L2分别与直线L相交于点A、B和C、D，证明三角形ABC与三角形ABD的面积之比等于线段AD与线段BC的长度之比。

解析：首先，我们可以利用平行线的性质得到∠CBA=∠BDA（对应角相等），∠ABC=∠ADB（同位角相等）。

然后，我们可以利用三角形面积之比的性质，即面积之比等于底边之比乘以对应高之比，来证明题目中的结论。

设线段AD与线段BC的长度分别为a和b，线段AB的长度为c，则三角形ABC的面积为S1=1/2 * a * c，三角形ABD的面积为S2=1/2 * b * c。

由于∠CBA=∠BDA，所以三角形ABC和三角形ABD的底边AB相等，即c相等。

直线位置关系压轴题解析在数学的广袤天地中，直线位置关系的问题常常作为压轴题出现，成为不少同学心中的“拦路虎”。

今天，咱们就一起来啃一啃这块硬骨头，把这类问题彻底搞清楚。

我们先来看看直线的平行关系。

两条直线平行，意味着它们的斜率相等。

但这里要特别注意一个关键的点，如果两条直线的斜率都不存在，它们也可能平行，比如两条垂直于 x 轴的直线。

比如说，有这样一道题：已知直线＄l_1$ 的方程为＄y ＝ 2x ＋ 3$，直线＄l_2$ 经过点＄A(1, 2)＄，且与直线＄l_1$ 平行，求直线＄l_2$ 的方程。

首先，因为直线＄l_2$ 与直线＄l_1$ 平行，所以直线＄l_2$ 的斜率也为 2。

接下来，我们可以使用点斜式来求直线＄l_2$ 的方程。

点斜式的公式是＄y y_1 ＝ k(x x_1)＄，其中＄（x_1, y_1)＄是直线上的一点，＄k$ 是斜率。

把点＄A(1, 2)＄和斜率 2 代入点斜式，得到＄y 2 ＝ 2(x 1)＄，化简一下就是＄y ＝ 2x$。

再来说说直线的垂直关系。

两条直线垂直，它们的斜率之积为－1。

同样要注意特殊情况，如果其中一条直线的斜率为 0，那么另一条直线的斜率不存在。

举个例子：直线＄l_3$ 的方程为＄y ＝＼frac{1}｛2}x ＋ 1$，直线＄l_4$ 与直线＄l_3$ 垂直，且经过点＄B(2, －1)＄，求直线＄l_4$ 的方程。

因为直线＄l_4$ 与直线＄l_3$ 垂直，直线＄l_3$ 的斜率为＄＼frac{1}｛2}＄，所以直线＄l_4$ 的斜率为－2。

然后再用点斜式，把点＄B(2, －1)＄和斜率－2 代入，得到＄y ＋1 ＝－2(x 2)＄，化简后就是＄y ＝－2x ＋ 3$。

接下来，咱们看一个综合性更强的例子。

已知三角形 ABC 的三个顶点分别为＄A(1, 2)＄，＄B(3, 4)＄，＄C(5, 0)＄，判断直线 AB 与直线 AC 的位置关系。

先分别求出直线 AB 和直线 AC 的斜率。

考点34 两条直线平行要点阐述两条直线平行与斜率的关系设两条不重合的直线，，斜率若存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2．则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系∥两直线斜率都不存在图示典型例题【例】已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），则顶点D的坐标为（）A．（3，4）B．（4，3）C．（3，1）D．（3，8）【答案】A【规律总结】解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用解析几何的方法表示并解决，这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的．若是利用点的坐标和斜率判定两直线平行，则要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，再看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或斜率相等，再看是否重合，若不重合则两直线平行．小试牛刀1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【易错易混】成立的前提条件有两个：①，不重合；②，的斜率都存在．2．过点A（1，2）和点B（–3，2）的直线与轴的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．无法确定【答案】B【解析】两点的纵坐标相等，所以与轴平行．【解题技巧】判断两直线的平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等．教材中的平行条件只有在斜率都存在的情况下方可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．3．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－3B ．3C ．－13D ．13【答案】B【解析】因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－2＝3．4．已知过点P （3，2m ）和点Q （m ，2）的直线与过点M （2，–1）和点N （–3，4）的直线平行，则的值是（ ） A ．1 B ．–1 C ．2D ．–2【答案】B【解析】因为，所以，即，解得．5．已知直线l 1经过点A （0，–1）和点B （，1），直线l 2经过点M （1，1）和点N （0，–2），若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．【答案】–66．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2时，求实数m 的值．【解析】当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3．1．经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与斜率为－1的直线l 2平行，则实数x 的值为( )A ．0B ．－6C ．6D ．3【答案】C【解析】直线l 1的斜率k 1＝x －3－1－2＝3－x 3，由题意可知3－x3＝－1，∴x ＝6． 2．已知A （m ，3），B （2m ，m ＋4），C （m ＋1，2），D （1，0），且直线AB 与直线CD 平行，则m的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．0或2 D ．0或1【答案】D【解析】当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ，当k AB ＝k CD 时，m ＝1，此时AB ∥C D ． 3．已知l 1的斜率是2，l 2过点A (－1，－2)，B (x,6)，且l 1∥l 2，则log 19x ＝________．【答案】－12【解析】∵l 1∥l 2，∴6＋2x ＋1＝2，∴x ＝3．∴log 19 3＝－12．4．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：（1）倾斜角为3π4；（2）与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．考题速递过山车过山车是一种具有刺激性的娱乐工具，那种风驰电掣，有惊无险的快感令不少人着迷．实际上，过山车运动包含了许多数学、物理学原理，人在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．过山车有两条永远平行、起伏的铁轨，它们依靠一根根巨大的且垂直于地面的钢筋支撑着，你能感受到过山车中的平行与垂直吗？。