人教课标版高中数学必修5知识总结：基本不等式复习三大注意事项

高三数学必修五基本不等式及其解法知识点（人教版）
高三数学必修五基本不等式及其解法知识点（人
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数学是一切科学的基础，以下是查字典数学网为大家整理的高三数学必修五基本不等式及其解法知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。

不等式的性质：① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：
(1) a>bb
(2) a>b, b>ca>c (传递性)
(3) a>ba+c>b+c (c∈R)
(4) c>0时，a>bac>bc
cbac
运算性质有：
(1) a>b, c>da+c>b+d。

(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。

(3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。

(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

基本不等式----三大注意事项例题解答基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“(0,0)2a b ab a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面. 一个技巧：运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab +≥逆用就是222a b ab +≤，2a b ab +≥ (0,0)a b >>逆用就是2()2a b ab +≤等． 两个变形： (1) 2221122a b a b ab a b ++≤≤≤+ (,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号） (2) 222()22a b a b ab ++≤≤ (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．例题.一、注意运用不等式链例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2112a b a b +≤+，因为1a b +=，所以21112a b ≤+，所以11a b +4≥，当且仅当12a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.二、注意结论成立的条件 对2221122a b a b ab a b++≤≤≤+来讲，一是要求,a b R +∈，二是和或积或平方和为定值，三是等号要成立即a b =.即所谓的一正、二定、三相等；但是对不等式222()22a b a b ab ++≤≤来讲,a b R ∈均可.例2 求函数()()y x x x=++49的最值. 错解： ()()y x x x x x x =++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x 当且仅当x x=36即x =±6时取等号. 所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值.错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件—两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数()()y x x x =++49的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以必须对x 的正负加以分类讨论.正解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=x x x x y ， 当且仅当x x=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->x x 0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴x x y .当且仅当-=-x x36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.例3 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭. 故 ()min 12x y += .错因分析：解法中两次连用基本不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在1992x y xy+≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.三、注意要掌握三种拼凑方法由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.例4 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：由04x <<知，820x ->，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=. 当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.评注：本题无法直接运用基本不等式，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值. 例5 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->， 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例6 已知x ，y 为正实数，且2212y x +=，求21x y +的最大值. 解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a b ab +≤.同时还应化简21y +中前面的系数为12，22211122222y y x y x x ++==+.下面将x ，2122y +分别看成两个因式：则2211222y x y x +=+2212222y x ++≤324=， 当且仅当2122y x =+且2212y x +=，即32x =，22y =时，等号成立. 所以21x y +的最大值为324. 评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.。

数学必修五 第三章 不等式一、知识点总结：1、 比较实数大小的依照：①作差：a b 0 a b ； a b 0 a b ； a b 0 a b ；变形的方向是化成几个完整平方的形式或一些简单判断符号的因式积的形式，变形经常用因式分解、配方、通分、分子（或 分母）有理化等方法，注意完整平方、平方差、立方差、立方和公式的应用。

②作商：a 0,b 0时 ,a1a b ,a1a b , a1a b ； bbba a 1a b ,a1a ba 0,b 0时，1 a b ,bbb2、 不等式的性质性质详细名称 性质内容 注意1对称性a bb aab,bcac2传达性等号传可是来a b,b ca c 3 可加性 a ba cb c4可乘性a b, c 0 ac bc c 的符号ab, c0 acbc5 同向可加性 a b, cda cb d6 同向同正可乘性a b 0, c d 0acbd7 可乘方性 a ba nb n ( n N *)同正 8 可开方性 a b0 nanb( n N *, n2)同正 9倒数性质ab, ab 01 1 ab 0ab3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为 0 且二次项的系数大于 0；②计算相应的鉴别式；③当0 时，求出相应的一元二次方程的根；④依据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。

（大于 0 取两边，小于 0 取中间） .含参数的不等式如 ax 2 bx c0( a 0) 解题时需依据参数的取值范围挨次进行分类议论：①二次项系数的正负；②方程 ax 2 bx c 0( a0) 中与0的关系；③方程 ax 2bx c 0( a0) 两根的大小。

4、一元二次方程根的散布：一般借助二次函数的图象加以剖析，正确找到限制根的散布的等价条 件，经常用以下几个重点点去限制：（1）鉴别式；（ 2）对称轴；（ 3）根所在区间端点函数值的符号。

设 x 1 , x 2 是实系数一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的两个实根，则 x 1 , x 2 的散布状况列表以下： （画出函数图象并在理解的基础上记忆）根的散布二次函数的图象 等价条件x 1 k x 2f ( k) 0x 1 x 2 k（ x 1, x 2 均小于 k 时 0 ）k x 1 x 2（ x 1, x 2 均大于 k 时 0 ）k 1 x 1 x 2 k 2（ x 1, x 2 (k 1, k 2 )时0 ）k 1 x 1 k 2 x 2 k 3f (k)b k2af (k)b k2af ( k 1 ) 0f ( k 2 ) 0bk 1k 22a 0f (k 1 ) 0f (k 2 ) 0 f (k 3 ) 0f (k 1) f (k 2 ) 0或x 1, x 2 (x 1 x 2 ) 中有且仅有f ( k 1 ) 0, k 1b k 1k2或一个在 (k 1, k 2 ) 内2a 2f (k 2 ) 0,k 1k 2 b k 222a5、一元高次不等式 f ( x) 0 常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤以下：①将 f ( x) 最高次项的系数化为正数；②将 f (x) 分解为若干一次因式或二次不行分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下挨次经过每一点画曲线（注意重根状况，偶重根穿而可是，奇重根既穿又过）；④依据曲线展现出的符号变化规律，写出不等式的解集。

《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。

二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。

因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。

对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。

因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。

例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。

基本不等式的“十”注意基本不等式是高中数学的重要内容之一，是培养学生逻辑推理能力的好手段.基本不等式作为函数的核心组成部分，在不等式的证明、求最值、求解参数问题等方面都有广泛的应用，主要以工具知识的出现.但要想灵活应用基本不等式解题，在学习中特别要注意以下几点.一、注意考纲要求利用均值定理求最值，考纲对均值定理要求是掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均的定理，并会简单的应用.高考中常与函数、三角、数列、解析几何、立体几何、应用问题等知识联系.二、注意基本不等式的结构特征均值不等式的主要两种形式：第一种形式：a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab＝ab ＋ab （当且仅当a ＝b 时“＝”号成立）；第二种形式：a ＞0，b ＞0时，a ＋b ≥2ab ＝ab ＋ab （当且仅当a ＝b 时“＝”号成立）.两端的结构、数字具有如下特征：(1)次数相等；(2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；(3)左和右积.这两个公式的结构完全一致，第二种形式可以将条件放宽为但a ≥0，b ≥0，因此在非负实数范围之内，两个公式均成立，当要解决的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式.三、注意从本质上认识基本不等式基本不等式在本质上体现两种转化：(1)在均值不等式中“当且仅当……等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口；(2)基本不等式的一端是两个正数的和，一端是两个正数的积，因此利用基本不等式可以达到两数和与积的不等转化.四、注意把握基本不等式的常见变式(1)ab≤a 2＋b 22，ab≤(a ＋b 2)2，对不等式ab≤a 2＋b 22，还有更一般的表达式：|ab|≤a 2＋b 22； (2)若a ，b 同号，则a b ＋b a2（当且仅当a ＝b 时，取等号）； (3)若x ＞0，则x ＋1x≥2（当且仅当x ＝1时，取等号）. 五、注意联系等比数列与等差数列由数列知识可知，a ＋b 2称为a ，b 的等差中项，ab 称为正数a ，b 的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”.六、注意利用基本不等式求函数的最值的条件利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数，但必须注意其使用三个条件：(1)项项为正：a ＞0，b ＞0；(2)和定或积定：a ＋b 为定值或ab 为定值；(3)项项相等：“a ＝b ”，三个条件缺一不可.少了“项项为正”，就失去了利用均值定理的前提条件；少了“a ＋b 为定值或ab 为定值”，求出的不是一个常数，而是一个变量；少了“项项相等”,求出的最值就失去了基础，成了“空中楼阁”.七、注意多次利用基本不等式求最值的条件求解最值问题时，有时需要同时或连续多次使用均值不等式，这时一定要注意几次使用条件必须一致，即每次取得“＝”号的条件一致，否则所求的最值是错误的.八、注意利用基本不等式求最值时常见凑配技巧在使用重要不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用重要不等式常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数、平方、引参、换元、裂项、折幂等.一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”.九、注意利用基本不等式证明不等式的条件利用均值定理a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)证明不等式时，没有利用其求最值的条件强，一般只需满足一个条件：“项项为正：a ＞0，b ＞0”.十、注意基本不等式的实际应用问题新课标教材与传统教材最大的区别是，新教材淡化了不等式的证明，加强了不等式与日常生活的联系，如实际生活中的方案选择型、材料切割型、造价最低、利润最大等问题.这类问题首先应认真阅读题目、理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用均值不等式加以解决．。

高一必修五不等式的知识点不等式是数学中常见的一种数学关系符号，用于表示两个数或两个算式之间的大小关系。

高中数学中，不等式是一个重要的知识点，其中必修五的学习内容涉及到不等式的基本概念、性质、解法等。

下面将介绍高一必修五不等式的主要知识点。

一、不等式的基本概念不等式是用不等号表示两个数或两个算式之间的大小关系。

不等式中的不等号可以是小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）或大于等于号（≥）。

二、不等式的性质1. 加法性性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。

例如，若a > b，则 a + c > b + c。

2. 乘法性性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变；对于不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。

例如，若a > b（a > 0），则 a · c > b · c。

3. 反身性：任何数与自身进行大小比较时都满足等式关系。

例如，a = a。

4. 传递性：若 a > b，b > c，则 a > c。

例如，若a > b，b > c，则 a > c。

5. 两边加或减一个相同的数对不等式关系不会改变。

例如，若a > b，则 a + c > b + c。

三、不等式的解法1. 图解法：通过在数轴上绘制对应数值的数轴图形，来解读不等式的解集。

例如，对于不等式 x > 3，可以在数轴上绘制一个开口向右的箭头，并在箭头右侧标记出无限大的数集。

2. 几何法：利用几何图形，如包含在坐标系上的点、线段、平面等，来求解不等式的解集。

例如，对于不等式 2x + y > 5，可以在坐标系上绘制直线 2x + y = 5，然后根据不等式的要求确定直线上、下两侧的解集。

3. 符号法：通过变量和符号的运算来对不等式进行转化，从而求解不等式的解集。

例如，对于不等式 3x + 2 < 10，可以通过减去2再除以3的方式将不等式转化为 x < 2。

高中基本不等式知识点归纳总结一、基本概念：不等式是数学中的一种关系，表示两个数之间的大小关系。

高中基本不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式和简单的多元不等式。

二、一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。

解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。

常用的解法有图像法、代入法和分段讨论法。

三、一元二次不等式：一元二次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。

解一元二次不等式的关键是找到不等式的根，并确定根的取值范围。

常用的解法有图像法、配方法和开口方向法。

四、基本性质：1. 对称性：如果a>b，则-b>-a。

2. 传递性：如果a>b，并且b>c，则a>c。

3. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

4. 倍数性：如果a>b，并且c>0，则ac>bc；如果a>b，并且c<0，则ac<bc。

五、常用不等式：1. 平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)| <= √(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b| <= |a|+|b|。

六、应用：1. 解实际问题：不等式在解决实际问题中起着重要作用，例如在优化问题、最值问题和约束问题中常常会用到不等式。

2. 推导其他不等式：基本不等式可以推导出其他不等式，例如根据平均值不等式可以推导出均值不等式和加权均值不等式。

七、注意事项：1. 在解不等式时，需要注意不等号的方向，切勿将不等号颠倒。

2. 在使用不等式进行推导时，需要保持不等式的严格性，即不等号不能变为等号，否则可能导致错误的结论。

知识点一：不等式关系与不等式一、不等式的主要性质：1.对称性：a>bob<a2.传递性：a>b,b>c=>a>c3.加法法则：a>b=>a+c>b+c; a>b,c>d=a+c>b+d4.乘法法则：a>b,c>O=>ac>he；a>h,c<0=>ac<hc；a>b>0,c>d>0=>ac>hd5.倒数法则：a>h,ab>0=>—<—6.乘方法则：a>b>0=>a n>b n（neN*⅛w>1）ab7.开方法则：a>b>bn爪>底（JIEN*且冷>1）二、含有绝对值的不等式1.绝对值的几何意义：IX1是指数轴上点X到原点的距离；|玉-々1是指数轴上不，W两点间的距离2、如果。

>0,则不等式：∖x∖>a<=>X> <-a ∖x∖<a<=>-a<x<aIx∣≥α<=>x≥a^x≤-a∣x∣≤«<=>-a≤x<a3.当c>0时，I依+〃|>co双+/?>c或Or+bv-c,∖ax+b∖<c<^>-c<ax+b<c;当CVO时，ItU:+b∣>cox∈R,∖ax+h∖<cx≡φ.4、解含有绝对值不等式的主要方法：①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解;②去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：∣x∣<4（α>0）o-α<x<4,|/|>4（々>0）0]>。

或不<一。

.（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方.三、其他常见不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，贝IJ/(x)>o°"χm>o∙/(χ)≥OOP(X)g(χR0②指数不等式：转化为代数不等式"'3>d3(α>∣)of(x)>g(x);〃⑶>αS3(0<"<1)=f(x)<g(x)/⑺>b(α>O力>0)=/(x)∙1g0>1g∕>③对数不等式：转化为代数不等式］og,j(χ)>iog,g(χ)(α>i)o.g(χ)>O;IOgaf(X)>1og“g(χ)(O<α<1)=,g(x)>O/(x)>g(x) /(x)<g(x)四、三角不等式: ∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣五、不等式证明的几种常用方法比较法(做差法、做商法)、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

数学·必修5(人教A版)一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x，cos x)的有界性等．不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用不等式解应用题的基本步骤：①审题；②建立不等式模型；③解决数学问题；④作答．本章中，不等式的证明是难点，解不等式是重点，含参数的不等式综合题是高考命题的热点．掌握不等式的意义和实数的符号法则，是分散难点和解决难点的关键．如能熟悉不等式的性质，认清基本不等式的特点，灵活运用比较、分析、综合等基本方法，认真进行思考和探索，是不难找到解题途径的．要善于进行转化变形，即化无理为有理、化分式为整式、化高次为低次、化绝对值为非绝对值等等，以突破解证不等式这一难关．通过本章的学习达到以下基本目标：1．会用不等式(组)表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式(组)表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确基本不等式及其成立条件，会灵活应用基本不等式证明或求解最值．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a >b ，b >c ⇒a >c ；(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(3)a >b ，c >0(c < 0)⇒ac >bc (ac <bc )；(4)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)a >b >0,0<c <d ⇒a c ＞b d ；(6)a >b >0，m ∈N *⇒a m >b m ；(7)a >b >0，n ∈N *，n >1⇒n a >n b .特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即： 若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ；若a ＞b ，c ＜d ，则a －c ＞b －d .但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；若a ＞b ＞0,0＜c ＜d ，则a c ＞b d .(3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a ＞b ＞0，n ∈N *，n >1，则a n ＞b n 或n a ＞nb .(4)若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1b ；若ab ＜0，a ＞b ，则1a ＞1b .如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax 2＋bx ＋c ＞0的形式，②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解，③画出相应的二次函数的图象，④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x 轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x 1，x 2，要分x 1＞x 2、x 1＝x 2、x 1＜x 2讨论．(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝(a>0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2(x1<x2){x|x<x1，或x>x2}{x|x1＜x＜x2}Δ＝0有两相等实根x1＝x2＝－b2a{x|x≠－b2a}∅Δ＜0无实根R∅特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0；②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点；③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值：若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C ＜0所表示的平面区域．也可采用：把二元一次不等式改写成y＞kx ＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．(3)解简单线性规划问题的基本步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．具体来讲有以下5步：a．画图：画出线性约束条件所表示的平面区域即可行域；b．定线：令z＝0，得一过原点的直线；c．平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；d．求最优解：通过解方程组求出最优解；e．求最值：求出线性目标函数的最大或最小值．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax ＋By＋C＜0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方．(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab≤a＋b 2.(1)基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么ab≤a＋b2.当且仅当a＝b时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a＋b2看做是正数a，b的等差中项，ab看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．③基本不等式ab≤a＋b2几何意义是“半径不小于半弦”．(2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a ，b 的和与两正数a ，b 的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义：a ．当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＝b ⇒a ＋b 2＝ab ； b ．仅当a ＝b 时等号成立的含意是：a ＋b 2＝ab ⇒a ＝b ； 综合起来，其含意是：a ＋b 2＝ab ⇔a ＝b . (3)设a ，b ∈R ，不等式a 2＋b 2≥2ab ⇔ab ≤a 2＋b 22⇔ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)基本不等式的几种变式：设a ＞0，b ＞0，则a ＋1a ≥2，b a ＋a b ≥2，a 2b ≥2a －b .(5)常用的几个不等式：① a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a ，b ，c ∈R ，则a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)；③真分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m a ＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．题型1 恒成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min ＞A ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max ＜B .设函数f (x )＝x ，g (x ) ＝x ＋a (a >0)，若x ∈[1,4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－ag (x )f (x )≤1⇔－1≤f (x )－ag (x )f (x )≤1，得0≤ag (x )f (x )≤2， 即ax ＋a 2x ≤2在x ∈[1,4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1,4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1,2]上恒成立，设g (t ) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≤0，g (2)≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0,22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，则等价于在区间D 上的f (x )max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，则等价于在区间D 上的f (x )min ＜B .若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值＜a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．题型3 恰成立问题(1)若不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ；(2)若不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合．解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，⇒x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，得：Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8,0}．题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．已知0＜x ＜2，求函数y ＝x (8－3x )的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6,8－3x ＞0， ∴y ＝x (8－3x )＝13·3x ·(8－3x )≤132+-⎛⎫⎪⎝⎭3x 83x 2＝163， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号，∴当x ＝43时，y ＝x (8－3x )有最大值为163.设函数f (x )＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)．求函数f (x )的最小值．解析：f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1，∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0，∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取最小值． 此时f (x )min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(4m )2－4×2×(3m －1)≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13.∴当m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫m 13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根．题型7 不等式与函数的综合问题定义在(－1,1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f (x )的定义域为(－1,1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f (1－a )＜－f (1－a 2)． 由于f (x )为奇函数，有－f (1－a 2)＝f (a 2－1)， ∴f (1－a )＜f (a 2－1)． 又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.② 由①②可得0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是(0,1)．题型8 求分式函数的最值求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值．解析：y ＝(x 4＋2x 2＋1)＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2(x 2＋1)·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．。

人教版高三数学必修5知识点：《不等式》知识点总结
数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了人教版高三数学必修5知识点，具体请看以下内容。

(1)不等关系
感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。

(2)一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(参见例2)。

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(参见例
3)。

(4)基本不等式：。

①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(参见例4)。

高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理的人教版高三数学必修5知识点，希望大家喜欢。

千里之行，始于足下。

202X年高中数学人教版必修五不等式学问点最完全精炼总结高中数学人教版必修五中的不等式部分是数学中格外重要的一个章节，把握好不等式的学问对于解决很多其他数学问题都是至关重要的。

下面是对202X年高中数学人教版必修五不等式学问点的最完全精炼总结，总计。

一、基本概念与性质1. 不等式的基本性质：加减等于一个不等式，两边乘（除）同一个正（负）数不等号方向不变，两边乘（除）同一个非负数不等号方向可能转变。

2. 确定值不等式的性质：|a| < b 等价于 -b < a < b；|a| > b 等价于a < -b 或 a > b。

3. 等式的确定值不等式：若 |a| = b，则 a = b 或 a = -b。

二、一次不等式1. 一次不等式的解集表示法：解集用数学符号表示为 { x | x ∈ R, x >a } 或 (a, +∞)。

2. 一次不等式的求解方法：移项、换边、乘除法求解。

3. 不等式的区间解法：将解集表示为一个或多个区间的并集。

4. 求不等式的整数解：通过查找使不等式成立的整数解来确定整数解集。

第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

5. 不等关系的性质：不等式两边同时加上（减去）一个相同的数不等号方向不变，两边同时乘（除）一个正数不等号方向不变，两边同时乘（除）一个负数不等号方向转变。

三、二次不等式1. 二次不等式的解集表示法：解集用数学符号表示为 { x | x ∈ R, x > a, x < b } 或 (a, b)。

2. 二次函数与二次不等式的关系：二次函数的图像与二次不等式的解集有亲密关系。

3. 二次不等式的判别法：依据二次不等式的判别式Δ = b^2 - 4ac 的正负确定二次不等式的解集。

4. 二次不等式的求解方法：配方法、因式分解法、二次函数法等。

5. 不等式组的解集：将多个不等式组合在一起，求解出满足全部不等式的解。

必修五数学基本不等式知识点总结必修五数学基本不等式知识点总结如下：1. 一次性解决n个一元一次方程组将所有的方程相加得到等式，将所有的不等式相加得到不等式。

2. 均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，则有：（1）算术平均值和几何平均值：(a1+a2+…+an)/n >= (a1×a2×…×an)^(1/n)（2）加权平均值和几何平均值：(a1*w1+a2*w2+…+an*wn)/(w1+w2+…+wn) >= (a1^w1×a2^w2×…×an^wn)^(1/(w1+w2+…+wn))其中，w1、w2、…、wn是正实数，满足w1+w2+…+wn=1。

3. 广义均值不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，m和p同为实数且m < p，则有：(a1^m+a2^m+…+an^m)/n >= (a1^p+a2^p+…+an^p)/n当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。

4. 柯西不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有：(a1*b1+a2*b2+…+an*bn)^2 <= (a1^2+a2^2+…+an^2)*(b1^2+b2^2+…+bn^2)当且仅当ai/k1=bi/k2时，等号成立。

其中，k1和k2是实数。

5. 阿贝尔不等式设有n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，满足a1 >= a2 >= … >= an和b1 <= b2 <= … <= bn，则有：a1*b1+a2*b2+…+an*bn >= a1*bk1+a2*bk2+…+an*bkn，其中，k1、k2、…、kn是排列1、2、…、n的一个排序方式。

6. 连续不等式设有n个正实数a1、a2、…、an，如果a1 <= a2 <= … <= an，则有：（1）(a1+a2+…+an)^2 <= n*(a1^2+a2^2+…+an^2)（2）(a1+a2+…+an)^2 >= n*a1*a2*…*an其中，等号成立当且仅当a1=a2=…=an。

学习基本不等式注意三事项基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“0,0)2a b a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面.【一个技巧】运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab +≥逆用就是222a b ab +≤，2a b +≥ (0,0)a b >>逆用就是2()2a b ab +≤等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．【两个变形】(1) 2112a b a b +≤≤+ (,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号） (2) 222()22a b a b ab ++≤≤ (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．【三个注意】(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．下面举例析之.一、注意运用不等式链从某种意义上来讲要学好基本不等式的变形关键是掌握上述两个不等式链.不等式中的常见变形主要围绕这两个基本不等式链进行.例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2112a b a b +≤+，因为1a b +=，所以21112a b≤+，所以11a b +4≥，当且仅当12a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.二、注意结论成立的条件对2112a b a b +≤≤≤+来讲，一是要求,a b R +∈，二是和或积或平方和为定值，三是等号要成立即a b =.即所谓的一正、二定、三相等；但是对不等式222()22a b a b ab ++≤≤来讲,a b R ∈均可. 例2 求函数()()y x x x=++49的最值. 错解： ()()y x x x x x x=++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x ，当且仅当x x =36即x =±6时取等号. 所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值.错因分析： 上述解题过程中应用了基本不等式，却忽略了应用基本不等式求最值时的条件—两个数都应大于零，因而导致错误.因为函数()()y x x x=++49的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，所以必须对x 的正负加以分类讨论.正解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=x x x x y ， 当且仅当x x=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->x x 0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴x x y .当且仅当-=-x x36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.评注：在利用基本不等式链时，一定要注意使用范围.例3 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 错解：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭.故 ()min 12x y += .错因分析：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在19x y +≥19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当9y x x y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 评注：在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.三、要掌握三种拼凑方法由基本不等式链可以看出在运用基本不等式解决问题时主要是凑定和、定积或平方和为常数.例4 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：由04x <<知，820x ->，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=. 当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->， 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例6 、已知x ，y 为正实数，且2212y x +=，求.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a b ab+≤.中前面的系数为12，==下面将x分别看成两个因式：则=22122 22yx++≤4=，当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【链接练习】1、已知01x<<，求函数411yx x=+-的最小值.解：因为01x<<，所以10x->.所以[]41414(1)(1)59111x xy x xx x x x x x-⎛⎫=+=+-+=++≥⎪---⎝⎭.当且仅当4(1)1x xx x-=-时，即23x=，上式取“=”，故min9y=.2、已知0,0a b>>，328a b+=.解：利用不等关系2ab+≤4≤=，=且328a b+=，即43a=，2b=时，等号成立.综上可见，许多貌似繁难的不等式问题，运用基本不等式链，恰当拼凑，可创造性地使用基本不等式，轻松获解.这样既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力.。

数学必修五不等式总结在数学学科中，不等式是一个十分重要的概念。

它是用来描述数值关系的一种数学符号组合。

在必修五这门课程中，学生将深入学习不等式的性质和应用。

本文将对数学必修五中的不等式进行总结和探讨。

一、基本概念不等式是数学中用来描述大小关系的一种方式。

与等式不同的是，不等式中的符号可以是大于号（>），小于号（<），大于等于号（≥），小于等于号（≤）等。

例如：2 + 3 > 4，表示“2 + 3的和大于4”。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个变量的一次项的不等式。

在必修五中，学生将学习如何解一元一次不等式，并掌握图像法解不等式的方法。

例如：解不等式2x - 3 > 5，先将不等式转化为等式2x - 3 = 5，然后求出这个等式的解集{x|x > 4}，最后画出这个不等式的解集对应的数轴图，可得解集{x|x > 4}。

三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个变量的二次项的不等式。

解一元二次不等式的方法比较复杂，需要通过一些数学技巧和定理来进行求解。

例如：解不等式x² - 3x + 2 ≥ 0，可以先通过求根公式求得方程x² - 3x + 2 = 0的解集{x|1 ≤ x ≤ 2}，然后根据二次函数的凹凸性可以得出方程的解集{x|x ≥ 2} ∪ {x|1 ≤ x ≤ 2}。

四、绝对值不等式绝对值不等式是指绝对值中含有不等号的不等式。

这种不等式的解法有很多种，可以根据具体情况选择最简单的解法。

例如：解不等式|2x - 1| > 3，可以将其拆分为两个不等式2x - 1 > 3和2x - 1 < -3，然后分别求解这两个不等式得到解集{x|x > 2} ∪ {x|x < -1}。

五、分式不等式分式不等式是指分式中含有不等号的不等式。

解分式不等式可以通过一些常用的方法，如分式大小关系等等。

例如：解不等式(3x + 1)/(x - 2) ≤ 2，可以通过分式大小关系将不等式转化为等式(3x + 1)/(x - 2) = 2，然后解方程得到一个解集{x|x ≤ 2} ∪ {x|x > 3}，最后根据不等式的性质得到解集{x|x ≤ 2}。

必修五数学基本不等式知识点总结
必修五数学基本不等式的知识点总结如下：
1. 基本不等式的定义：对于任意的实数a和b，有a≤b，即两个数的大小关系。

2. 数轴上的不等式：通过将不等式转化为数轴上的线段表示，可以直观地表示出不等式的解集。

3. 加法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a+c≤b+c。

4. 减法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b，则a-c≤b-c。

5. 乘法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c≥0，则ac≤bc。

如果a≤b且c ≤0，则ac≥bc。

6. 除法性质：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且c>0，则a/c≤b/c。

如果a≤b且c<0，则a/c≥b/c。

7. 对称性：对于任意的实数a和b，如果a≤b，则b≥a，反之亦然。

8. 传递性：对于任意的实数a、b和c，如果a≤b且b≤c，则a≤c。

9. 绝对值不等式：对于任意的实数a，有|a|≥a或|a|≥-a。

10. 三角形不等式：对于任意的三角形的边a、b和c，有a+b>c、a+c>b和b+c>a。

以上就是必修五数学基本不等式的知识点总结。

必修五不等式知识点总结不等式是数学中重要的概念之一，主要用来描述数之间的大小关系。

在必修五的数学学习中，我们学习了不少与不等式相关的知识点。

下面就我所掌握的知识，对必修五不等式的相关内容进行总结。

1.数轴与不等式：在学习不等式之前，我们首先要了解数轴的概念。

数轴是一条直线，用来表示实数的位置。

有了数轴，我们可以很直观地表示不等关系。

对于不等式x<a，我们可以把数轴上小于a的所有数标出来。

2.不等式的基本性质：不等式具有一些基本的性质，可以通过这些性质来进行不等式的推导和运算。

这些性质包括：-两边相等的不等式，若左边大于右边，则右边小于左边。

-不等式两边同时加上（或减去）相同的数，不等号方向不变。

-不等式两边同时乘（或除以）相同的正数，不等号方向不变。

-不等式两边同时乘（或除以）相同的负数，不等号方向改变。

3.一元二次不等式：一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0）的不等式。

其中 a、b、c 是给定的实数，a ≠ 0。

解一元二次不等式的关键是找到不等式左边的二次函数的图像和零点，并结合一次项 b 的正负情况来确定不等式的解集。

4.绝对值不等式：绝对值不等式是指形如x-a，>b（或<b）的不等式。

解绝对值不等式的关键是根据绝对值的定义，对不等式进行拆分，从而得到不等式的解集。

5.一次不等式与二次不等式的综合：在实际问题中，经常会同时用到一次不等式和二次不等式。

这时，我们需要综合运用前面所学的不等式知识，用代数方法来解决问题。

6.不等式的应用：不等式在数学以及实际生活中有着广泛的应用。

在数学中，不等式常用于解析几何、实数范围的确定等方面；在实际生活中，不等式用于描述其中一种数量的上限和下限，如商品折扣、房租优惠等。

7.不等式证明：不等式证明是数学证明的重要内容之一、通过运用不等式的定义和性质，我们可以对不等式进行严谨的证明，从而得到数学上的结论。

高二数学必修5不等式知识点总结不等式是研究数量关系的重要手段和工具，是高二数学教学中的要点，下面小编给大家带来的高二数学必修5不等式知识点总结，希望对你有帮助。

高二数学必修5不等式知识点高中数学学习方法课内重视听讲，课后及时复习。

新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。

上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。

特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。

首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。

认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。

在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。

适当多做题，养成良好的解题习惯。

要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。

刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。

对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。

在平时要养成良好的解题习惯。

让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。

实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。

如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。

调整心态，正确对待考试。

首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。