湖北省黄冈市高二数学上学期期中试题文

湖北省黄冈市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1. （2 分） (2017·衡阳模拟) 等边三角形 ABC 中，若 （），则当取得最小值时，λ=A.B.C. D.12. （2 分） (2017 高二上·抚州期末) “0＜m＜3”是“方程 （）A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件=1 表示离心率大于 的椭圆”的3. （2 分） (2019 高三上·双流期中) 已知实数 ， 满足不等式组 值为（ ）A.3 B.9 C . 22 D . 25第 1 页 共 12 页，则的最大4. （2 分） 已知圆 ：， 则下列命题：①圆 上的点到最小值为 ；②圆 上有且只有一点 到点的距离与到直线的距离相等；③已知有且只有一点 ， 使得以 为直径的圆与直线 相切.真命题的个数为的最短距离的 ， 在圆 上A.B.C.D.二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)5. （1 分） (2017·辽宁模拟) 若向量 ， 满足：| |=1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ， 则| |=________．6. （1 分） (2019 高二上·上海期中) 若矩阵，，则________.7. （1 分） (2016 高二上·上海期中) 若行列式 a=________．8. （1 分） (2019 高三上·柳州月考) 曲线中第一行第二列元素的代数余子式的值为 4，则在处的切线的倾斜角为________．9. （1 分） 已知线性方程组的增广矩阵为， 若该线性方程组解为 ， 则实数 a=________ ．10. （1 分） (2019 高二上·南湖期中) 直线 l1 ， l2 的斜率 k1 ， k2 是关于 k 的方程 2k2－4k＋m＝0 的两 根，若 l1⊥l2 ， 则 m＝________.若 l1∥l2 ， 则 m＝________.11. （1 分） 以 A（1，2）为圆心，且与圆 x2+y2=45 相切的圆的方程是________．12. （1 分） (2016 高三上·石嘴山期中) 已知直线 l：3x+4y+m=0（m＞0）被圆 C：x2+y2+2x﹣2y﹣6=0 所截 的弦长是圆心 C 到直线 l 的距离的 2 倍，则 m=________．13. （1 分） 在区间（0，1）内随机地取出两个数，则两数之和小于 的概率为________第 2 页 共 12 页14. （1 分） (2018 高一下·重庆期末) 已知圆 上总存在点 ，它关于直线 的对称点在 轴上，则，直线 的取值范围是________．15. （1 分） (2020·南京模拟) 已知集合，集合，如果圆 ，若，则的最小值为________.16. （1 分） (2017·山东) 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为 F的抛物线 x2=2py（p＞0）交于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．三、 解答题 (共 5 题；共 65 分)17. （10 分） (2018·河北模拟) 在矩形中，，一个三等分点，点 ，使得平面是线段上的一个动点，且平面.，点 是线段 .如图，将上靠近点 的沿折起至（1） 当时，求证：；（2） 是否存在 ，使得 请说明理由.与平面所成的角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，18. （10 分） (2019 高一下·湖州月考) 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ． 已知 cosC＝ ．（1） 若，求△ABC 的面积；（2） 设向量，，且，求 sin(B－A)的值．19. （15 分） (2020 高三上·闵行期末) 某地实行垃圾分类后，政府决定为处理站 M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知 在 的正西方向， 在 的北偏东偏西方向，且在 的北偏西方向，小区 与 相距第 3 页 共 12 页与 相距三个小区建造一座垃圾 方向， 在 的北 .（1） 求垃圾处理站 与小区 之间的距离；（2） 假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里 元(其中 为满足是内的正整数) .现有两种运输湿垃圾的方案：方案 1:只用一辆大车运输，从 出发，依次经再由 返回到 ；方案 2:先用两辆小车分别从运送到 ，然后并各自返回到到 .试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位，一辆大车从 直接到 再返回20. （15 分） (2019 高二上·上海期中) 如图，已知直线射线 的一个法向量为，点 为坐标原点，、 上的动点，直线 和 之间的距离为 2，于点和直线 ， ，， ，点 、 分别是直线 于点 ；（1） 若，求的值；（2） 若，求的最大值；第 4 页 共 12 页（3） 若，，求的最小值.21. （15 分） (2017·潍坊模拟) 已知抛物线 C 顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线 C 上一点 Q（a，2）到焦 点的距离为 3，线段 AB 的两端点 A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）在抛物线 C 上．（1） 求抛物线 C 的方程； （2） 若 y 轴上存在一点 M（0，m）（m＞0），使线段 AB 经过点 M 时，以 AB 为直径的圆经过原点，求 m 的值；（3）在抛物线 C 上存在点 D（x3，y3），满足 x3＜x1＜x2，若△ABD 是以角 A 为直角的等腰直角三角形，求△ABD 面 积的最小值．第 5 页 共 12 页一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、参考答案10-1、 11-1、 12-1、 13-1、14-1、第 6 页 共 12 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 5 题；共 65 分)17-1、第 7 页 共 12 页17-2、18-1、第 8 页 共 12 页18-2、 19-1、19-2、 20-1、第 9 页 共 12 页20-2、20-3、 21-1、第 10 页 共 12 页21-2、21-3、。

2021-2022学年湖北省黄冈市蕲春县高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设点，，若，则点B的坐标为( )A. B. C. D.2.已知向量，，则下列结论不正确的是( )A. B.C. D. ，不平行3.直线：，：，若，则a的值为( )A. 3B. 2C. 或2D. 3或4.过点作直线，使、到它的距离相等，则此直线方程为( )A. B.C.或 D. 或5.在四面体ABCD中，点F在AD上，且，E为BC中点，则等于( )A.B.C.D.6.已知、分别为直线、的方向向量、不重合，，分别为平面，的法向量不重合，则下列说法中不正确的是( )A. B. C. D.7.如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论不正确的是( )A. 圆C的方程是B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为C. 在直线上存在异于A，B的两点D，E，使得D. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知空间中三点，，，则正确的有( )A. 与是共线向量B. 的单位向量是C. 与夹角的余弦值是D. 平面ABC的一个法向量是10.如图，已知点G是边长为1的等边内一点，满足，过点G的直线l分别交AB，AC于点D，设，，则下列说法正确的是( )A.B. 点G为的重心C.D.11.以下四个命题表述正确的是( )A. 直线恒过定点B.两平行直线与的距离是C. 若圆：与圆：恰有三条公切线，则D. 若圆：和圆：的交点为A，B，则圆上一动点P到直线AB距离的最大值为12.如图，在菱形ABCD中，，，将沿对角线BD翻折到位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )A. PC与平面BCD所成的最大角为B. 存在某个位置，使得C. 存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为D. 当二面角的大小为时，三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.过点且在x轴上截距是在y轴上截距的两倍的直线的方程为__________.14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，若的边长为，且，则的面积为__________.15.如图，棱长为2的正方体，M是四边形内异于C，D的动点，平面平面则M点的轨迹的长度为__________.16.已知直线与圆有公共点，则t的取值范围为__________，所有的弦中，最长的弦的长度为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2017-2018学年湖北省黄冈市黄梅二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈R，x”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x B．∃x0∈R，xC．∀x∈R，x2=1 D．∀x∈R，x2≠12．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球3．（5分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．84．（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.5x+a，则a=（）A．3.5 B．2.2 C．4.8 D．3.25．（5分）某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03…50进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第7个个体是（）（注：表为随机数表的第8行和第9行）A．02 B．13 C．42 D．446．（5分）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知直线l1：x+y+1=0，l2：2x+2y﹣3=0，则l1，l2之间的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x﹣65=0都内切的圆的圆心的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线一支C．抛物线D．圆9．（5分）若“x∈{a，3}”是“不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立”的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣]∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣]10．（5分）直线（m+1）x+（m﹣1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切11．（5分）“3＜a＜5”是“方程表示椭圆”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆+=1上的一个动点，点A （1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆﹣=1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于．14．（5分）一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为．15．（5分）已知圆C：x2+y2=9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为．16．（5分）给出下列命题：①点P（﹣1，4）到直线3x+4y=2的距离为3．②过点M（﹣3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x﹣y+8=0．③命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；④“x≤1，且y≤1”是“x+y≤2”的充要条件．其中不正确命题的序号是．（把你认为不正确命题的序号都填上）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．18．（12分）已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．19．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．20．（12分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．21．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？22．（12分）已知直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若直线l′：y=﹣x+b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．2017-2018学年湖北省黄冈市黄梅二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈R，x”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x B．∃x0∈R，xC．∀x∈R，x2=1 D．∀x∈R，x2≠1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x”的否定形式是：∀x∈R，x2≠1．故选：D．2．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．故选：D．3．（5分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，第二次判断不满足条件n＞3：第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，第四次判断n＞3不满足条件，第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，第六次判断满足条件n＞3，故输出S=4，故选：B．4．（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且=0.5x+a，则a=（）A．3.5 B．2.2 C．4.8 D．3.2【解答】解：由图表知，=2，=4.5，代入=0.5x+a，得.5=0.5×2+a，解得a=3.5．故选：A．5．（5分）某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03…50进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第7个个体是（）（注：表为随机数表的第8行和第9行）A．02 B．13 C．42 D．44【解答】解：找到第9行第11列数开始向右读，符合条件的是07，42，44，38，15，13，02，故选出的第7个个体是02，故选：A．6．（5分）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，∴共有C42=6种方法，该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》，有1种方法，∴所求概率为，故选：D．7．（5分）已知直线l1：x+y+1=0，l2：2x+2y﹣3=0，则l1，l2之间的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l1：x+y+1=0，l2：2x+2y﹣3=0，∴直线l1转化为：2x+2y+2=0，∴l1，l2之间的距离d==．故选：B．8．（5分）与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x﹣65=0都内切的圆的圆心的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线一支C．抛物线D．圆【解答】解：由x2+y2﹣8x﹣65=0，得（x﹣4）2+y2=81，又圆x2+y2=1，如图，设动圆圆心为M，半径为r，则|MC|=9﹣r，|MO|=r﹣1，则|MC|+|MO|=8＞4，由椭圆定义可知，与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x﹣65=0都内切的圆的圆心的轨迹为椭圆．故选：A．9．（5分）若“x∈{a，3}”是“不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立”的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣]∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣]【解答】解：不等式2x2﹣5x﹣3≥0解得：x≥3或x≤﹣．∵“x∈{a，3}”是“不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立”的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是或a＞3．故选：C．10．（5分）直线（m+1）x+（m﹣1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【解答】解：由，得（2m2+2）y2+2（m﹣1）2y﹣4m=0，故△=4[（m﹣1）4+4m（2m2+2）]=4（m+1）4≥0，故直线和圆相切或相交，故选：D．11．（5分）“3＜a＜5”是“方程表示椭圆”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：根据题意，对于方程，若其表示椭圆，则有a﹣3＞0，5﹣a＞0，且a﹣3≠5﹣a，解可得3＜a＜5，且a≠4；故3＜a＜5”是“方程表示椭圆”的必要条件；方程中，若3＜a＜5，则a﹣3＞0，5﹣a＞0，当a=4时，a﹣3=5﹣a，方程表示圆，当a≠4时，a﹣3≠5﹣a，方程表示椭圆，则3＜a＜5”是“方程表示椭圆”的不充分条件；综合可得，3＜a＜5”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件；故选：B．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆+=1上的一个动点，点A （1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵椭圆+=1，∴焦点坐标为B（0，﹣1）和B'（0，1），连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=4，可得|PB|=4﹣|PB'|，因此|PA|+|PB|=|PA|+（4﹣|PB'|）=4+（|PA|﹣|PB'|）∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤2a+|AB'|=4+1=5．当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立．综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为5．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆﹣=1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于8．【解答】解：根据题意，椭圆﹣=1，长轴在y轴上，则其标准方程为+=1，且有m﹣2＞10﹣m＞0，解可得3＜m＜10，若椭圆的焦距为4，即c=2，则有（m﹣2）﹣（10﹣m）=4，即2m﹣12=4，解可得：m=8；故答案为：8．14．（5分）一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为．【解答】解：一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为：P==．故答案为：．15．（5分）已知圆C：x2+y2=9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为x=3或4x+3y﹣15=0．【解答】解：圆心坐标为（0，0），半径为3，∵点P（3，1）在圆外，∴若直线斜率k不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离为3，满足相切．若直线斜率存在设为k，则直线方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0，则圆心到直线kx﹣y+1﹣3k=0的距离等于半径1，即d==1，解得k=﹣，此时直线方程为4x+3y﹣15=0，综上切线方程为x=3或4x+3y﹣15=0，故答案为：x=3或4x+3y﹣15=016．（5分）给出下列命题：①点P（﹣1，4）到直线3x+4y=2的距离为3．②过点M（﹣3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x﹣y+8=0．③命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”的否定是真命题；④“x≤1，且y≤1”是“x+y≤2”的充要条件．其中不正确命题的序号是①②④．（把你认为不正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，点P（﹣1，4）到直线3x+4y=2的距离为d==．故不正确；对于②，过点M（﹣3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数，当截距为0，所求直线斜率为﹣，方程为y=﹣x，即为5x+3y=0；当截距不为0，设所求直线方程为x﹣y=a，代入M的坐标，可得a=﹣3﹣5=﹣8，即有直线方程为x﹣y+8=0．综上可得所求直线方程为5x+3y=0或x﹣y+8=0．故不正确；对于③，命题“∃x∈R，使得x2﹣2x+1＜0”的否定是“∀x∈R，使得x2﹣2x+1≥0”是真命题．故正确；对于④，“x≤1，且y≤1”可得“x+y≤2”，反之，不成立，比如x=4，y=﹣3，故“x≤1，且y≤1”是“x+y≤2”的充分不必要条件，故不正确．其中不正确的命题为①②④．故答案为：①②④．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，∴a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．18．（12分）已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．【解答】解：（1）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，∴D2+E2﹣4F＞0，即4+16﹣4m＞0解得m＜5，∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．（6分）（2）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心（1，2）到直线x+2y﹣4=0的距离d==，（8分）∵圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，∴，解得m=4．（14分）19．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．【解答】解：（1）由，长轴长为6，得：c=2，a=3，∴b=，∴椭圆方程为y2=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+2，联立，得10x2+36x+27=0，∴，，∴|AB|=•|x1﹣x2|=•==．20．（12分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=∴P（B）==．21．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．22．（12分）已知直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若直线l′：y=﹣x+b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．【解答】解：（I）联立直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0），可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，由题意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即为9mn=m+n，又P在椭圆上，可得4m+n=1，解方程可得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y=b﹣x和椭圆方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0，判别式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0，x1+x2=，x1x2=，y1+y2=2b﹣（x1+x2）=，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2=，由PA⊥PB，即为•=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1=﹣2•+﹣+5=0，解得b=3或，代入判别式，b=3不成立．则b=．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

湖北省黄冈市2020版高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2013·四川理) 抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A .B .C . 1D .2. （2分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A . 不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B . 存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C . 存在x∈R，x3﹣x2+1＞0D . 对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞03. （2分）(2017·福州模拟) 已知△ABC的顶点B，C在椭圆 + =1（a＞b＞0）上，椭圆的一个焦点为A，另一个焦点在边BC上，若△ABC是边长为2的正三角形，则b=（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·洛阳期末) 已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A . y=± xB . y=± xC . y=± xD . y=±2x5. （2分）(2019·肇庆模拟) 已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·陕西期中) 已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A . 0B .C . πD .7. （2分）已知A（3，4，﹣1），B（﹣1，﹣4，3），C（﹣2，1，2），且M为AB中点，则向量的坐标为（）A . （3，﹣1，1）B . （3，1，﹣1）C . （3，﹣1，﹣1）D . （3，1，1）8. （2分） (2015高二上·济宁期末) 已知点P是抛物线x2=4y上的动点，点P在直线y+1=0上的射影是点M，点A的坐标（4，2），则|PA|+|PM|的最小值是（）A .B .C . 3D . 29. （2分）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A .B .C .D .10. （2分）如图所示，在正三棱柱中，是的中点，，则异面直线与所成的角为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一上·潍坊期中) 下列说法正确的是（）A . 0与{x|x≤4且x≠±1}的意义相同B . 高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C . 集合A={（x，y）|3x+y=2，x∈N}是有限集D . 方程x2+2x+1=0的解集只有一个元素12. （2分）(2017·郎溪模拟) 经过抛物线的焦点与圆 x2﹣4x+y2=0相切的直线方程为（）A . 225x﹣64y+4=0或x=0B . 3x﹣4y+4=0C . x=0D . 3x﹣4y+4=0或x=0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·嘉兴期末) 已知空间向量，，若，则________．14. （1分） (2017高二上·泉港期末) 已知点F是抛物线C：y2=4x的焦点，点B在抛物线C上，A（5，4），当△ABF周长最小时，该三角形的面积为________．15. （1分）(2017·金山模拟) 点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是________．16. （1分）(2017·黑龙江模拟) 已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足 =3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）设关于的不等式的解集为函数的定义域为 .若“ ”为假命题,“ ”为真命题,求实数的取值范围．18. （5分） (2018高二上·大连期末) 已知抛物线，焦点到准线的距离为4，过点的直线交抛物线于两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如果点恰是线段的中点，求直线的方程．19. （5分）如图，在底面为菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD= ，点E在PD上，且 =2．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）在棱PC上是否存在点F使得BF∥平面EAC？若存在，指出F的位置；若不存在，请说明理由．20. （10分）设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心．（1）证明：PQ∥平面AA1B1B；（2）求异面直线PQ和B1C所成的角．21. （15分） (2017高三上·伊宁开学考) 如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的：（1）试判断A1是否在平面B1CD内；（回答是与否）（2）求异面直线B1D1与C1D所成的角；（3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积的水．22. （5分） (2017高二上·清城期末) 已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、第11 页共11 页。

2014-2015学年湖北省黄冈市黄梅一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．13 C．D．2．（5分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A．1，3 B．4，1 C．0，0 D．6，03．（5分）已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点（）A．（0，0） B．（2，1.8）C．（3，2.5）D．（4，3.2）4．（5分）观察如图各图形：其中两个变量x、y具有相关关系的图是（）A．①②B．①④C．③④D．②③5．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B 为“偶数点向上”，事件C为“3点或6点向上”，事件D为“4点或6点向上”．则下列各对事件中是互斥但不对立的是（）A．A与B B．B与C C．C与D D．A与D6．（5分）如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．7．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差C．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差8．（5分）如图是计算t=12×22×…×i2的程序，程序中循环体执行的次数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）已知k∈[﹣2，1]，则k的值使得过A（1，1）可以作两条直线与圆x2+y2+kx﹣2y﹣k=0相切的概率等于（）A．B．C．D．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则mn的取值范围是（）A．[3﹣2，3+2]B．（﹣∞，3﹣2]∪[3+2，+∞）C．[1﹣，1+] D．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）某校高级职称教师104人，中级职称教师46人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取42人进行调查，已知从其它教师中共取了12人，则该校共有教师人．13．（5分）在区间[﹣2，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，m=．14．（5分）因乙肝疫苗事件，需要对某种疫苗进行检测，现从800支中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，则得到的第6个样本个体的编号是（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 42 45 76 72 76 33 50 25 83 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．15．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是．16．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．17．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图所示：（Ⅰ）写出y与x的函数关系；（Ⅱ）求排放污水120吨的污水处理费用．19．（13分），先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+4b2，a，b∈R，若a从集合{3，4，5}中任取一个元素，b从集合{1，2，3}中任取一个元素，代入f（x）中形成函数．（1）试列出所有的a与b的组合；（2）求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率．21．（13分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率．（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x﹣y|≤5的事件概率．22．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=x﹣3．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=2x﹣4上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．2014-2015学年湖北省黄冈市黄梅一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．13 C．D．【解答】解：由复数==是纯虚数，则，解得a=﹣6．故选：A．2．（5分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A．1，3 B．4，1 C．0，0 D．6，0【解答】解：∵a=1，b=3∴a=a+b=3+1=4，∴b=a﹣b=4﹣3=1．故输出的变量a，b的值分别为：4，1故选：B．3．（5分）已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点（）A．（0，0） B．（2，1.8）C．（3，2.5）D．（4，3.2）【解答】解：∵==3，==2.5∴这组数据的样本中心点是（3，2.5）根据线性回归方程一定过样本中心点得到线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（3，2.5）故选：C．4．（5分）观察如图各图形：其中两个变量x、y具有相关关系的图是（）A．①②B．①④C．③④D．②③【解答】解：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线（不是一条直线）附近波动，是非线性相关．①②是不相关的，而③④是相关的．故选：C．5．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B 为“偶数点向上”，事件C为“3点或6点向上”，事件D为“4点或6点向上”．则下列各对事件中是互斥但不对立的是（）A．A与B B．B与C C．C与D D．A与D【解答】解：∵记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“3点或6点向上”，事件D为“4点或6点向上”．∴事件A、B既是互斥事件也是对立事件；即A不正确．B与C，C与D是可以同时发生，不是互斥事件．即B、C不正确．A与D是互斥事件，但不是对立事件，故D正确，故选：D．6．（5分）如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则=（）A．B．C．D．【解答】解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即a n=3n﹣3．令S n==++…+=1﹣+﹣+…+﹣=∴=故选：B．7．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差C．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解答】解：由图象可得；；s2甲=；，故选：B．8．（5分）如图是计算t=12×22×…×i2的程序，程序中循环体执行的次数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：执行程序，有i=0，t=1第1次执行循环体，i=1，t=1第2次执行循环体，i=2，t=4第3次执行循环体，i=3，t=4×9=36第4次执行循环体，i=4，t=36×16=576满足条件t＞100，退出执行循环体，输出t的值故选：B．9．（5分）已知k∈[﹣2，1]，则k的值使得过A（1，1）可以作两条直线与圆x2+y2+kx ﹣2y﹣k=0相切的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y﹣1）2=k2+k+1，所以k2++1＞0，解得：k＞﹣1或k＜﹣4，又点（1，1）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：1+1+k﹣2﹣1.25k＞0，解得：k＜0，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）．任取k∈[﹣2，1]，则k的值使得过A（1，1）可以作两条直线与圆x2+y2+kx﹣2y﹣1.25k=0相切的概率为P=，故选：A．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则mn的取值范围是（）A．[3﹣2，3+2]B．（﹣∞，3﹣2]∪[3+2，+∞）C．[1﹣，1+] D．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn，∴（m+n）2=（mn﹣1）2≥4mn，设mn=x，则有x2﹣6x+1≥0，解得：x≥3+2或x≤3﹣2，则mn的取值范围为（﹣∞，3﹣2]∪[3+2，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．12．（5分）某校高级职称教师104人，中级职称教师46人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取42人进行调查，已知从其它教师中共取了12人，则该校共有教师210人．【解答】解：设其他教师为x人，∵按分层抽样从该校的所有教师中抽取42人进行调查，已知从其它教师中共取了12人，∴，解得x=60，∴该校共有教师人数为60+104+46=210．故答案为：210．13．（5分）在区间[﹣2，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，m=3．【解答】解：∵区间[﹣2，5]的区间长度为5﹣（﹣2）=7，∴随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则满足条件的区间长度为7×=5．因此x所在的区间为[﹣2，3]，∵m＞0，得|x|≤m的解集为{m|﹣m≤x≤m}=[﹣m，m]，∴[﹣m，m]与[﹣2，5]的交集为[﹣2，3]时，可得m=3．故答案为：314．（5分）因乙肝疫苗事件，需要对某种疫苗进行检测，现从800支中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，则得到的第6个样本个体的编号是245（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 42 45 76 72 76 33 50 25 83 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【解答】解：找到第7行第10列的数开始向右读，第一个符合条件的是157，第二个数245，第三个数506，第四个数887不合题意舍去，第五个数704符合题意．∴第4，5，6个样本个体的编号是704，744，245故答案为245．15．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是i≤1007或i＜1008．【解答】解：执行程序框图，有s=0，第1次循环：i=1，s=，第2次循环：i=2，s=，第3次循环：i=3，s=，…第1007次循环：i=1007，s=，i=1008，不满足条件，退出循环，输出s的值，故答案为：i≤1007或i＜1008．16．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．【解答】解：∵∴又∵f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）∴，…由此归纳推理：∴===故答案为：17．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围为{2}∪（4，+∞）．【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故答案为：{2}∪（4，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量x吨收取的污水处理费y元，运行程序如图所示：（Ⅰ）写出y与x的函数关系；（Ⅱ）求排放污水120吨的污水处理费用．【解答】解：（Ⅰ）y与x的函数关系为：…（8分）（Ⅱ）因为x=120＞100所以y=150+25（120﹣100）=650故该厂应缴纳污水处理费650元．…（12分）19．（13分），先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．【解答】解：∵，∴f（0）+f（1）=+==，同理可得：f（﹣1）+f（2）=，f（﹣2）+f（3）=．．证明：设x1+x2=1，则f（x1）+f（x2）=+==．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+4b2，a，b∈R，若a从集合{3，4，5}中任取一个元素，b从集合{1，2，3}中任取一个元素，代入f（x）中形成函数．（1）试列出所有的a与b的组合；（2）求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵a取集合{3，4，5}中任一个元素，b取集合{1，2，3}中任一个元素，∴a，b的取值的情况有（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．…（6分）（Ⅱ）设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，当a＞0，b＞0时，方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为a＞2b．当a＞2b时，a，b取值的情况有（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），即A包含的基本事件数为4，而基本事件总数为9．∴方程f（x）=0有两个不相等实根的概率…（13分）21．（13分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155，160）、第二组[160，165）；…第八组[190，195），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率．（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x﹣y|≤5的事件概率．【解答】解：（1）由直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9（人），由直方图得第八组频率为：0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2（人），设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，又第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列，∴m+2=2（7﹣m），∴m=4．∴第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别等于=0.08，=0.06．（2）由（1）知身高在[180，185）内的人数为4人，设为a，b，c，d．身高在[190，195）的人数为2人，设为A，B．若x，y∈[180，185）时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．若x，y∈[190，195）时，有AB共一种情况．若x，y分别在[180，185）和[190，195）内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，∴基本事件总数为6+8+1=15种，事件|x﹣y|≤5所包含的基本事件个数有6+1=7种．∴P（|x﹣y|≤5）=．22．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=x﹣3．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=2x﹣4上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a ﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则，解得：，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或，即x=0或12x+5y﹣15=0…（6分）（2）设点C（a，a﹣3），M（x0，y0），则∵MA=2MO，A（0，3），O（0，0），∴，即，又点M在圆C上，∴，∴M点为与的交点，…（9分）若存在这样的点M，则与有交点，即圆心之间的距离d满足：1≤d≤3，∴1≤≤3，即1≤2a2﹣4a+4≤9，解得：a≤…（14分）。

2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为m →=(1，1，−2)，n →=(2，−2，1)，则这两条直线（ ） A ．相交或异面 B ．相交C ．异面D ．平行2．已知椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1的离心率为12，则m ＝（ ）A ．13B ．1C ．3D ．43．一束光线从点A(−√3，3)射出，沿倾斜角为150°的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A ．y =√3x −2B ．y =−√3x +2C ．y =−√33x +2D ．y =√33x −24．实数x ，y 满足x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，则y−1x+1的取值范围是（ ） A ．[512，+∞)B ．[125，+∞)C ．[0，125]D ．[0，512]5．已知△ABC 的顶点A （﹣2，1），AC 边上的高BE 所在直线方程为x +y ﹣5＝0，AC 边上中线BD 所在的直线方程为3x ﹣5y +1＝0，则高BE 的长度为（ ） A ．√22B ．√2C ．2√2D ．3√26．在四面体ABCD 中，已知△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝4，CD =2√7，则二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0）（b ＞c ），上顶点为B ，直线l ：3√3x ﹣4y ﹣21＝0交椭圆于P ，Q 两点，若F 恰好为△BPQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A ．√55B ．12C ．√22D ．√328．已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为√23的椭圆与经过点C （﹣2，0）的直线l 交于A ，B 两点，若点C 在椭圆内，△OAB 的面积被x 轴分成两部分，且△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则△OAB 面积的最大值为（ ） A ．8√73B ．4√73C ．24√77D ．12√77二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ） A ．椭圆离心率为√32B ．|PF 1|的最小值为1C ．|PF 1|+|PF 2|＝2D ．0≤∠F 1PF 2≤π310．下列说法正确的是（ ）A ．已知点A （2，1），B(−1，2√3)，若过P （1，0）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3]B ．“a ＝1”是“直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行”的充要条件C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有四条公切线，则m 的取值范围为4＜m ＜20D ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有2个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√2211．如图，在多面体ABCDEP 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥P A ，P A ＝AB ＝2DE ＝2，M ，N 分别是线段BC ，PB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（不含端点D ，C ），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得NQ ⊥PBB ．不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°C ．三棱锥Q ﹣AMN 体积的取值范围为(13，23)D ．当点Q 运动到DC 中点时，DC 与平面QMN 所成的余弦值为√6612．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1、F 2．一束光线从F 1射出，经椭圆镜面反射至F 2，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为√53，左顶点和上顶点分别为A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆的标准方程为x 29+y 24=1B ．若点P 在椭圆上，则sin ∠F 1PF 2的最大值为19C ．若点P 在椭圆上，|BP |的最大值为9√55D ．过直线y ＝x +2上一点M 分别作椭圆的切线，交椭圆于P ，Q 两点，则直线PQ 恒过定点(−92，2) 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.13．圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4的公共弦所在的直线方程为 ．14．所有棱长都为1的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，∠BAD ＝60°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝30°，则|BM →|的值为 ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1(a ＞1)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，△PQF 2的周长为4．过F 2作∠F 2AF 1外角平分线的垂线与直线BA 交于点N ，则|ON |＝ ．16．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且|AB|=2√3，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系中，已知射线OA ：x ﹣y ＝0（x ≥0），OB ：x +2y ＝0（x ≥0）．过点P （3，0）作直线分别交射线OA ，OB 于点A ，B ． （1）已知点B （6，﹣3），求点A 的坐标；（2）当线段AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程．18．（12分）如图，ABCD 和ABEF 是不在同一平面上的两个矩形，DM →=13DB →，AN →=13AE →，记AB →=a →，AD →=b →，AF →=c →．请用基底{a →，b →，c →}，表示下列向量： （1）FC →； （2）MN →．19．（12分）已知圆C ，圆C 1：（x +3）2+y 2＝9，圆C 2：(x −1)2+y 2=9，这三个圆有一条公共弦． （1）当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线l 同时满足以下三个条件：（i ）与直线√19x +y −3=0垂直； （ii ）与圆C 相切；（iii ）在y 轴上的截距大于0，若直线l 与圆C 2交于D ，E 两点，求|DE |．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠ABC =π3，H 为BC 的中点，P A ＝PB ＝PH =√2．E 为PD 上的一点，已知PD ＝4PE ． （1）证明：平面P AB ⊥平面ABCD ； （2）求平面EAC 与平面P AB 夹角的余弦值．21．（12分）已知A(−√3，1)，B ，M 是椭圆C 上的三点，其中A 、B 两点关于原点O 对称，直线MA 和MB 的斜率满足k MA •k MB =−13． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若1|PQ|+1|QN|为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为4√3，且点P(2，√3)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 、Q 是椭圆E 上的三点，且直线AB 与x 轴不垂直，点O 为坐标原点，OQ →=λOA →+μOB →，则当△AOB 的面积最大时，求λ2+μ2的值．2023-2024学年湖北省部分重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为m →=(1，1，−2)，n →=(2，−2，1)，则这两条直线（ ） A ．相交或异面 B ．相交C ．异面D ．平行解：令m →=λn →，即（1，1，﹣2）＝λ（2，﹣2，1），则{1=2λ1=−2λ−2=λ，此方程组无解，则直线l 1，l 2不平行，即相交或异面．故选：A ． 2．已知椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1的离心率为12，则m ＝（ ）A ．13B ．1C ．3D ．4解：椭圆C ：x 2m+1+y 2m=1，可得a 2＝m +1，b 2＝m ， 所以该椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√1−m m+1=12，则m ＝3．故选：C ．3．一束光线从点A(−√3，3)射出，沿倾斜角为150°的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A ．y =√3x −2B ．y =−√3x +2C ．y =−√33x +2 D ．y =√33x −2解：由题意知，入射光线所在直线的斜率为tan150°=−√33， 所以入射光线为y ﹣3=−√33（x +√3），整理得y =−√33x +2，令y ＝0，得x =2√3，所以入射光线与x 轴的交点为(2√3，0)， 由对称性知，反射光线的斜率为√33， 所以反射光线的方程为y ﹣0=√33（x ﹣2√3），即y =√33x ﹣2．故选：D ．4．实数x ，y 满足x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，则y−1x+1的取值范围是（ ） A ．[512，+∞) B ．[125，+∞) C ．[0，125] D ．[0，512] 解：方程x 2﹣4x +y 2﹣6y +9＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4，所以（x ，y ）是以（2，3）为圆心，半径为2的圆上的点，y−1x+1表示点（x ，y ）与点（﹣1，1）连线的斜率，设直线y ﹣1＝k （x +1），kx ﹣y +1+k ＝0与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4相切， （2，3）到直线kx ﹣y +1+k ＝0的距离√k 2+1=√k 2+1=2，解得k ＝0或k =125，所以y−1x+1的取值范围是[0，125]． 故选：C ．5．已知△ABC 的顶点A （﹣2，1），AC 边上的高BE 所在直线方程为x +y ﹣5＝0，AC 边上中线BD 所在的直线方程为3x ﹣5y +1＝0，则高BE 的长度为（ ） A ．√22B ．√2C ．2√2D ．3√2解：根据题意，由{x +y −5=03x −5y +1=0，解得{x =3y =2，可知B （3，2）．由直线BE 的方程为x +y ﹣5＝0，且AC 、BE 相互垂直，可知k AC =−1kBE=1，结合点A （﹣2，1），得直线AC 的方程为y ﹣1＝x +2，即x ﹣y +3＝0， 因为点B 到直线AC 的距离d =|3−2+3|1+1=2√2，所以AC 边上的高BE 的长度等于2√2．故选：C ．6．在四面体ABCD 中，已知△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝4，CD =2√7，则二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：如图，取AB 中点M ，连接CM ，DM ，因为△ABD 为等边三角形，△ABC 为等腰直角三角形，所以CM ⊥AB ，DM ⊥AB ， 故∠CMD 即为二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角． 因为AB ＝4，所以CM ＝2，DM =2√3，所以cos ∠CMD =CM 2+DM 2−CD 22⋅CM⋅DM =4+12−282×2×2√3=−√32，所以∠CMD =5π6，即二面角C ﹣AB ﹣D 的大小为5π6．故选：D ．7．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0）（b ＞c ），上顶点为B ，直线l ：3√3x ﹣4y ﹣21＝0交椭圆于P ，Q 两点，若F 恰好为△BPQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A ．√55B ．12C ．√22D ．√32解：不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点M （x 0，y 0），因为点F 是△BPQ 的重心，所以BF →=2FM →，即（c ，﹣b ）＝2（x 0﹣c ，y 0），所以x 0=3c 2，y 0=−b2， 此时x 1+x 2＝2x 0＝3c ，y 1+y 2＝2y 0＝﹣b ， 因为点M 在直线l 上，所以3√3•3c 2−4•（−b2）﹣21＝0，即9√3c +4b ﹣42＝0，①因为P ，Q 两点均在椭圆上，所以{ x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，则直线l 的斜率k =y 2−y 1x 2−x 1=−b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=−b 2⋅3c a 2⋅(−b)=3√34，即√3a 2=4bc ，②又a 2＝b 2+c 2，b ＞c ③联立①②③，解得a ＝2c ，b =√3c ，则椭圆的离心率e =c a =12． 故选：B ．8．已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为√23的椭圆与经过点C （﹣2，0）的直线l 交于A ，B 两点，若点C 在椭圆内，△OAB 的面积被x 轴分成两部分，且△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则△OAB 面积的最大值为（ ） A ．8√73B ．4√73 C ．24√77D ．12√77解：设椭圆的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，设直线l 的方程为x ＝my ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y 2a 2+x 2b 2=1x =my −2，整理得：（b 2+a 2m 2）y 2﹣4ma 2y +4a 2﹣a 2b 2＝0，由椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√23，得b 2=79a 2，代入上式并整理得：（7+9m 2）y 2﹣36my +36﹣7a 2＝0， 则y 1+y 2=36m 7+9m 2，y 1y 2=36−7a 27+9m 2， 由△OAC 与△OBC 的面积之比为3：1，则y 1＝﹣3y 2，则y 2=−18m7+9m 2， 所以△OAB 的面积为S △OAC +S △OBC =12×|OC |×|y 1|+12|OC |×|y 2|＝|y 1﹣y 2|＝4|y 2| =4×18|m|7+9m 2≤4×18|m|2√7×9m 2=4×18|m|6√7|m|=12√77，当且仅当9m 2＝7，即m =±√73时，等号成立， 故△OAB 面积的最大值为12√77．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点．下列说法中正确的是（ ） A ．椭圆离心率为√32B ．|PF 1|的最小值为1C ．|PF 1|+|PF 2|＝2D ．0≤∠F 1PF 2≤π3解：因为椭圆C ：x 24+y 23=1，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，故a ＝2，b =√3，c =√4−3=1，故椭圆离心率为ca=12，A 不对；|PF 1|的最小值为：a ﹣c ＝1，B 对； |PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，C 不对；当P 与A 重合，即为短轴端点时，∠F 1PF 2取最大值，此时|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝|F 2F 1|，故∠F 1PF 2=π3，所以0≤∠F 1PF 2≤π3，故D 正确． 故选：BD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．已知点A （2，1），B(−1，2√3)，若过P （1，0）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3] B ．“a ＝1”是“直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行”的充要条件C ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0恰有四条公切线，则m 的取值范围为4＜m ＜20D ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有2个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22解：A 选项，k P A =1−02−1=1，所以直线P A 的倾斜角为π4， k PB =2√3−0−1−1=−√3，所以直线PB 的倾斜角为2π3， 所以直线l 的倾斜角范围为[π4，2π3]，A 选项正确．B 选项，由a ×（﹣a ）＝（﹣1）×1，解得a ＝±1， 当a ＝1时，两直线为x ﹣y +1＝0，x ﹣y ﹣2＝0，两直线平行；当a ＝﹣1时，两直线为﹣x ﹣y +1＝0．x +y ﹣2＝0，即x +y ﹣1＝0，x +y ﹣2＝0，两直线平行， 所以a ＝1是直线ax ﹣y +1＝0与直线x ﹣ay ﹣2＝0互相平行的充分不必要条件，所以B 选项错误． C ．选项，C 1：x 2+y 2+2x ＝0即（x +1）2+y 2＝1，是圆心为C 1（﹣1，0），半径r 1＝1， 圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝20﹣m 要表示圆，则20﹣m ＞0即m ＜20， 此时圆心为C 2（2，4），半径为√20−m ，两圆有四条公切线，所以两圆外离，所以5＞1+√20−m ，解得4＜m ＜20，C 选项正确． D 选项，圆x 2+y 2＝2的圆心为（0，0），半径为√2，圆心到直线x ﹣y +1＝0的距离为√2=√22， 所以圆 x 2+y 2＝2上有且仅有3个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22，所以D 选项错误． 故选：AC ．11．如图，在多面体ABCDEP 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且DE ∥P A ，P A ＝AB ＝2DE ＝2，M ，N 分别是线段BC ，PB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（不含端点D ，C ），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得NQ ⊥PBB ．不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°C ．三棱锥Q ﹣AMN 体积的取值范围为(13，23)D ．当点Q 运动到DC 中点时，DC 与平面QMN 所成的余弦值为√66解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），E （0，2，1），P （0，0，2），N （1，0，1），M （2，1，0），对于A ，假设存在点Q （m ，2，0）（0＜m ＜2），使得NQ ⊥PB ， ∵NQ →=（m ﹣1，2，﹣1），PB →=（2，0，﹣2），∴NQ →⋅PB →=2（m ﹣1）+2＝0，解得m ＝0，不合题意，故A 错误；对于B ，假设存在点Q （m ，2，0）（0＜m ＜2），使得异面直线NQ 与PE 所成的角为30°， ∵NQ →=（m ﹣1，2，﹣1），PE →=（0，2，﹣1）， ∴|cos ＜NQ →，PE →＞|=|NQ →⋅PE →||NQ →|⋅|PE →|=5√(m−1)+5⋅√5=cos30°=√32，解得m ＝1±√153，不符合0＜m ＜2， ∴不存在点Q ，使得异面直线NQ 与PE 所成角为30°，故B 正确； 对于C ，连接AQ ，AM ，AN ，DQ ＝m ，（0＜m ＜2），CQ ＝2﹣m ，∵S △AMQ ＝S ABCD ﹣S △ABM ﹣S △QCM ﹣S △ADQ ＝4﹣1−12(2−m)−m =2−m2， 点N 到平面AMQ 的距离为d =12PA =1， ∴V Q ﹣AMN ＝V N ﹣AMQ =13(2−m 2)=23−m 6， ∵0＜m ＜2，∴V Q ﹣AMN ∈（13，23），故C 正确； 对于D ，当点Q 运动到DC 中点时，Q （1，2，0）， ∵N （1，0，1），M （2，1，0），∴NQ →=（0，2，﹣1），NM →=（1，1，﹣1）， 设n →=（x ，y ，z ）是平面QMN 的法向量，则{n →⋅NQ →=2y −z =0n →⋅NM →=x +y −z =0，令y ＝1，则n →=（1，1，2），∵DC →=（2，0，0），设直线DC 与平面QMN 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos ＜DC →，n →＞|=|DC →⋅n →||DC →|⋅|n →|=22×6=√66，故D 错误． 故选：BC ．12．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆C 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1、F 2．一束光线从F 1射出，经椭圆镜面反射至F 2，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为√53，左顶点和上顶点分别为A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆的标准方程为x 29+y 24=1B ．若点P 在椭圆上，则sin ∠F 1PF 2的最大值为19C ．若点P 在椭圆上，|BP |的最大值为9√55D ．过直线y ＝x +2上一点M 分别作椭圆的切线，交椭圆于P ，Q 两点，则直线PQ 恒过定点(−92，2) 解：选项A ，设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），焦距为2c ，由题意知，2a ＝6，离心率e =c a =√53， 所以a ＝3，c =√5，b =√a 2−c 2=2， 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1，即选项A 正确；选项B ，当点P 位于椭圆的上或下顶点时，OP 平分∠F 1PF 2，且sin ∠OPF 2=ca =√53，cos ∠OPF 2=ba =23，所以sin ∠F 1PF 2＝sin2∠OPF 2＝2sin ∠OPF 2•cos ∠OPF 2＝2×√53×23=4√59＞19，即选项B 错误； 选项C ，设点P （x 0，y 0），其中y 0∈[﹣2，2]，则x 029+y 024=1，即x 02=9（1−14y 02），而B （0，2），所以|BP |2=x 02+(y 0−2)2=9（1−14y 02）+y 02−4y 0+4=−54y 02−4y 0+13=−54(y 0+85)2+815，在[﹣2，−85]上单调递增，在[−85，2]上单调递减， 所以当y 0=−85时，|BP |2取得最大值815，此时|BP |max =√815=9√55，即选项C 正确；选项D ，设点M （x 1，y 1），则y 1＝x 1+2①， 过点M 作椭圆的切线，切点弦所在的直线方程为x 1x 9+y 1y 4=1，即直线PQ 的方程为x 1x 9+y 1y 4=1②，联立①②，消去y 1可得，4x 1x +9x 1y +18y ﹣36＝0，整理得，（4x +9y ）x 1+18y ﹣36＝0，令{18y −36=04x +9y =0，解得{x =−92y =2， 所以直线PQ 恒过定点(−92，2)，即选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.13．圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4的公共弦所在的直线方程为 x ﹣2y ﹣1＝0 ． 解：圆C 1：x 2+y 2＝1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y +2）2＝4，两圆方程相减可得x 2+y 2﹣[（x ﹣1）2+（y +2）2]＝1﹣4，即x ﹣2y ﹣1＝0， 则两圆的公共弦所在直线方程为x ﹣2y ﹣1＝0． 故答案为：x ﹣2y ﹣1＝0．14．所有棱长都为1的平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，∠BAD ＝60°，∠DAA 1＝∠BAA 1＝30°，则|BM →|的值为√52． 解：因为BM →=BB 1→+B 1M →=BB 1→+12(B 1A 1→+B 1C 1→)=−12AB →+12AD →+AA 1→，所以BM →2=(−12AB →+12AD →+AA 1→)2=14AB →2+14AD →2+AA 1→2−12AB →⋅AD →−AA 1→⋅AB →+AD →⋅AA 1→=14×1+14×1+1−12×1×1×cos60°−1×1×cos30°+1×1×cos30°=54， 所以|BM →|=√52． 故答案为：√52． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1(a ＞1)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，△PQF 2的周长为4．过F 2作∠F 2AF 1外角平分线的垂线与直线BA 交于点N ，则|ON |＝ √17 ． 解：如图，∵PQ ∥AB ，∴|PQ||AB|=|PF 2||AF 2|=|QF 2||BF 2|=12，∵△PQF 2的周长为4，∴△ABF 2的周长|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|＝4a ＝8 ∴a ＝2，∴椭圆方程为x 24+y 23=1，c 2＝4﹣3＝1，F 1（﹣1，0），直线AB 垂直x 轴，设A （﹣1，y 0），不妨设y 0＞0， 则14+y 023=1，解得y 0=32，即A(−1，32)，∴|AF 2|2=|AF 1|2+|F 1F 2|2=94+4=254，即|AF 2|=52， ∵∠F 2AF 1外角平分线AT 的垂线与直线BA 交于点N ， ∴|AF 2|=|AN|=52，又|AF 1|=32， ∴|NF 1|=52+32=4，则|ON|2=|NF 1|2+|F 1O|2=42+1=17， ∴|ON|=√17， 故答案为：√17．16．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且|AB|=2√3，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为 30 ． 解：|3x 1+4y 1−10|5+|3x 2+4y 2−10|5的几何意义为点A ，B 到直线3x +4y ﹣10＝0的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线3x +4y ﹣10＝0的距离的2倍， 由题可知，圆O ：x 2+y 2＝4的圆心O （0，0），半径为2，|AB|=2√3， 则|OM|=√22−(232)2=1，所以AB 的中点M 的轨迹是以原点O 为圆心，1为半径的圆， 故点M 到直线3x +4y ﹣10＝0的最大距离√32+42+1=3，所以|3x 1+4y 1−10|5+|3x 2+4y 2−10|5的最大值为2×3＝6，则|3x 1+4y 1﹣10|+|3x 2+4y 2﹣10|的最大值为30． 故答案为：30．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系中，已知射线OA ：x ﹣y ＝0（x ≥0），OB ：x +2y ＝0（x ≥0）．过点P （3，0）作直线分别交射线OA ，OB 于点A ，B ． （1）已知点B （6，﹣3），求点A 的坐标；（2）当线段AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程． 解：（1）由题意知，k BP =0−(−3)3−6=−1， 因为P （3，0），所以直线BP 的方程为y ＝﹣（x ﹣3），即x +y ﹣3＝0， 联立{x +y −3=0x −y =0(x ≥0)，解得{x =32y =32，即A(32，32)．（2）不妨设A （a ，a ），B （﹣2b ，b ），a ＞0，b ＜0， 则线段AB 的中点为(a−2b 2，a+b2)， 因为线段AB 的中点为P ，所以{a−2b2=3a+b 2=0，解得{a =2b =−2， 所以A （2，2），B （4，﹣2），所以直线AB 的斜率为2−(−2)2−4=−2，因为直线AB 经过点P （3，0），所以直线AB 的方程为y ＝﹣2（x ﹣3），即2x +y ﹣6＝0， 故直线AB 的方程为2x +y ﹣6＝0．18．（12分）如图，ABCD 和ABEF 是不在同一平面上的两个矩形，DM →=13DB →，AN →=13AE →，记AB →=a →，AD →=b →，AF →=c →．请用基底{a →，b →，c →}，表示下列向量： （1）FC →； （2）MN →．解：（1）FC →=FA →+AB →+BC →=−AF →+AB →+AD →=a →+b →−c →．（2）MN →=AN →−AM →=AN →−（AD →+DM →）=13AE →−（AD →+13DB →）=13（AB →+AF →）﹣[AD →+13（AB →−AD →）] =13（a →+c →）﹣[b →+13（a →−b →）] =(13−1)b →+13c →=−23b →+13c →． 19．（12分）已知圆C ，圆C 1：（x +3）2+y 2＝9，圆C 2：(x −1)2+y 2=9，这三个圆有一条公共弦． （1）当圆C 的面积最小时，求圆C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，直线l 同时满足以下三个条件： （i ）与直线√19x +y −3=0垂直； （ii ）与圆C 相切；（iii ）在y 轴上的截距大于0，若直线l 与圆C 2交于D ，E 两点，求|DE |． 解：（1）依题意，由{(x +3)2+y 2=9(x −1)2+y 2=9，解得{x =−1y =−√5或{x =−1y =√5， 因此圆C 1与圆C 2的公共弦的两个端点坐标分别为M(−1，−√5)，N(−1，√5)， 当圆C 的面积最小时，MN 是圆C 的直径，则圆C 的圆心为（﹣1，0），半径为√5， 所以圆C 的标准方程是（x +1）2+y 2＝5；（2）因为直线l 与直线√19x +y −3=0垂直，则设直线l 的方程为x −√19y +m =0， 而直线l 与圆C 相切，则有d =|−1+0+m|2√5=√5，解得m ＝1或m ＝﹣9，又因为l 在y 轴上的截距大于0，即√190，所以m ＝11，即直线l 的方程为x −√19y +11=0，而圆C 2的圆心C 2（1，0），半径r 2＝3， 点C 2到直线l ：x −√19y +11=0 的距离为d 2=|1+0+11|25=6√55，于是得|DE|=2√r 22−d 22=2√9−(655)2=6√55．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠ABC=π3，H为BC的中点，P A＝PB＝PH=√2．E为PD上的一点，已知PD＝4PE．（1）证明：平面P AB⊥平面ABCD；（2）求平面EAC与平面P AB夹角的余弦值．（1）证明：取AB中点O，连接PO，HO，∵P A＝PB，O为AB中点，∴PO⊥AB，∵PA=√2，OA=12AB=1，∴PO=√PA2−OA2=1，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=π3，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝2，又O，H分别为AB，BC中点，∴OH=12AC=1，∴OH2+PO2＝PH2，即PO⊥OH，∵OH∩AB＝O，OH，AB⊂平面ABCD，PO⊄平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD；（2）解：连接CO，由（1）知：△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，CO=√3，以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，−1，0)，C(√3，0，0)，D(√3，−2，0)，P(0，0，1)，H(√32，12，0)， ∴AC →=(√3，1，0)，PD →=(√3，−2，−1)，PH →=(√32，12，−1)，PA →=(0，−1，−1)， 由PD ＝4PE 得：PE →=(√34，−12，−14)， ∴EA →=PA →−PE →=(−√34，−12，−34)， 设平面EAC 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{AC →⊥m →EA →⊥m →⇒⇒{AC →⋅m →=0EA →⋅m →=0⇒⇒{√3x +y =0−√34x −y 2−34z =0， 令z ＝1，解得：x =√3，y =−3，∴m →=(√3，−3，1)， ∵x 轴⊥平面P AB ，∴平面P AB 的一个法向量ℎ→=(1，0，0)， 设平面EAC 与平面P AB 的夹角为θ， 则cosθ=|cos ＜m →，ℎ→＞|=|m →⋅ℎ→||m →|⋅|ℎ→|=3√13=√3913，所以平面EAC 与平面P AB 夹角的余弦值为√3913． 21．（12分）已知A(−√3，1)，B ，M 是椭圆C 上的三点，其中A 、B 两点关于原点O 对称，直线MA 和MB 的斜率满足k MA •k MB =−13． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若1|PQ|+1|QN|为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由． 解：（1）设M （x ，y ），易知B(√3，−1)， 由k MA ⋅k MB =−13，得x+√3⋅x−√3=−13，化简得x 26+y 22=1，故椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1．（2）∵点Q 是椭圆C 长轴上的不同于A 、B 的任意一点， 故可设直线PN 的方程为x ＝my +x 0，P （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由{x =my +x 0x 26+y 22=1，得(m 2+3)y 2+2mx 0y +x 02−6=0， ∴y 1+y 2=−2mx 0m 2+3，y 1y 2=x 02−6m 2+3，Δ＞0恒成立．又|PQ|=√1+m 2|y 1|，|QN|=√1+m 2|y 2|， ∴1|PQ|+1|QN|=√1+m2(1|y 1|+1|y 2|)=√1+m 212−y 1y 2，=1√1+m 2√(y1+y 2)2−4y 1y 2−y 1y 2=1√1+m 2⋅√(−2mx 0m 2+3)2−4⋅x 02−6m 2+3−x 02−6m 2+3=26−x 02√6m 2−3x 02+18m 2+1=26−x 02√6(m 2+6−x 022)m 2+1， 要使其值为定值，则6−x 022=1，故当x 02=4，即x 0＝±2时，1|PQ|+1|QN|=√6．综上，存在这样的稳定点Q （±2，0）． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦距为4√3，且点P(2，√3)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 、Q 是椭圆E 上的三点，且直线AB 与x 轴不垂直，点O 为坐标原点，OQ →=λOA →+μOB →，则当△AOB 的面积最大时，求λ2+μ2的值．解：（1）由题意得，{2c =4√34a 2+3b 2=1a 2−b 2=c 2，解之得{a 2=16b 2=4c =2√3，故椭圆E 的方程为x 216+y 24=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x 0，y 0），直线AB 的方程为y ＝kx +t ． 将y ＝kx +t 代入x 216+y 24=1，整理得（1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣16＝0，Δ＝（8kt ）2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣16）＞0，即16k 2+4﹣t 2＞0， 则x 1+x 2=−8kt 1+4k2，x 1x 2=4t 2−161+4k2，故|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅4√16k 2−t 2+41+4k2．又原点O 到直线AB 的距离为d =|t|√1+k，所以S △AOB=12|AB|×d =12⋅√1+k 2⋅4√16k 2−t 2+41+4k 2⋅|t|√1+k=2√(16k 2−t 2+4)t 21+4k 2≤16k 2+41+4k 2=4， 当且仅当16k 2﹣t 2+4＝t 2，即2+8k 2＝t 2……①时，等号成立． 由OQ →=λOA →+μOB →，得{x 0=λx 1+μx 2，y 0=λy 1+μy 2，代入x 0216+y 024=1，整理得λ2(x 1216+y 124)+μ2(x 2216+y 224)+2λμ(x 1x 216+y 1y 24)=1，即λ2+μ2+2λμ(x 1x 216+y 1y 24)=1⋯⋯②．而x 1x 216+y 1y 24=x 1x 216+(kx 1+t)(kx 2+t)4=(1+4k 2)x 1x 2+4kt(x 1+x 2)+4t 216=(1+4k 2)×4t 2−161+4k2+4kt×(−8kt 1+4k2)+4t216=t 2−2−8k22(1+4k 2)．由①可知x 1x 216+y 1y 24=0，代入②式得λ2+μ2＝1．故λ2+μ2＝1的值为1．。

2013~2014学年度（上）黄冈中学惠州学校期中考试高二年级数学(文)学科试题说明：1.本卷总分150分，考试时间120分钟2.考生必须用黑色钢笔或签字笔在答题卷指定范围内作答. 一.选择题:(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.已知i b ai a +=-，其中i 为虚数单位，b a ,为实数，则b a += （ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 22.已知曲线122+=x y 在点M 处的切线斜率为-4，则点M 的横坐标是（ ）A ．1B ． -4C ．-1D ．不确定 3．设有一个回归方程为$32y x =-，变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加2个单位 B ．y 平均减少3个单位 C ．y 平均减少2个单位 D ．y 平均增加3个单位4.已知a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，试通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值推测出a n ＝( ) A.32n B.2n C.4nD.3n5．读下面的程序框图，则输出的结果是 ( )A ．0 B.π2 C ．πD ．1＋π26.下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若()bc ac c b a +=+”类推出“()bc ac c ab •=”C ．“若()bc ac c b a +=+”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“()n n nb a ab =”类推出“()nn nb a b a +=+”7.下列有关三段论推理“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是( ) A ．推理正确 B ．推理形式不正确 C ．大前提错误D ．小前提错误8．已知线性回归方程y ＝1＋bx ，若x ＝2，y ＝9，则b 等于( ) A ．0 B ．18 C ．-4D ．49 设函数()223+++=cx bx ax x f 的导函数为()x f '，如果()x f '为偶函数，则一定有( )A. 0≠a ，0=cB. 0,0≠=c aC. 0=bD. 0,0==c b10.函数21f(x)=lnx x 2-的图像大致是（ ）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11. 若复数iiz2131-+=（i 是虚数单位），则z 的模z = . 12.函数xlnx )(=x f 的单调递增区间为___________________．13.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。

湖北省黄冈中学高二上学期期中考试（数学理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.下列命题中，正确的是( )A ．点在区域内B ．点在区域内C ．点在区域内D ．点在区域内2.若关于 ,x y 的方程 2220x y m x y x y n +++-+= 表示的曲线是圆，则 n m + 的取值范围是（A ）5(,)4-∞ （B ）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ （C ）5(,)4+∞ （D ）5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知两条直线和互相垂直，则等于（ ）A ．2B ．1C ．0D ．4. 图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别 为，其大小关系为（ ） A.B. C. D.5．一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.双曲线6.已知为两个不相等的非零实数, 则方程与所表示的曲线可能是（ )7．直线与曲线不相交，则的值为( )A．或3 B． C．3 D．[，3]中的任意值8.设分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．1 B． C．2 D．不确定9.若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（）A. B. C. D.10.过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于、与、，则四边形面积最小值为（）A. B. C. D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．)11.圆心在直线上且与轴相切于点(1，0)的圆的方程为．12.椭圆：的长轴长为，右准线方程为．13.轴上有一点，它与两定点，的距离之差最大，则点坐标是．14.点在椭圆上运动，、分别在两圆和上运动，则的取值范围为_________.15已知椭圆的左焦点为，设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，则在以下四个值中，①；②；③；④0，点横坐标的可能取值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分11分）（I）画出（为参数）表示的图形；（II）求由曲线所围成图形的面积.17.（本小题满分12分）若双曲线过点，其渐近线方程为.（I）求双曲线的方程;（II）已知，,在双曲线上求一点,使的值最小.18.（本小题满分12分）直线过点.（I）若直线的倾斜角的正弦值为，求的方程;（II）若直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，当取最小时，求直线的方程.19.（本小题满分12分）预算用元购买单件为50元的桌子和椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少张才行？本小题满分14分）已知圆.（I）若直线过点，且与圆交于两点、，=，求直线的方程；（II）过圆上一动点作平行于轴的直线，设直线与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程；（Ⅲ）若直线，点A在直线N上，圆上存在点，且(为坐标原点)，求点的横坐标的取值范围.21. （本小题满分14分）已知椭圆上存在一点到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等．（I）求椭圆的离心率的取值范围；（II）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，求椭圆的方程；（Ⅲ）若直线与（II）中所述椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．参考答案AADAC CACCA; 14,; ; ; ②③16. （I）略；（II） 17.（Ⅰ）（II）,最小值为18．（I）或，所以的方程为或（II）设直线方程为，则∵，∴，即时取“=”号．所求直线的方程为．19. 设桌椅分别买X,Y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由∴B点的坐标为(25，)因为X∈N,Y∈N*,故取Y=37 ，故有买桌子25张，椅子37张是最好选择Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，满足题意.②若直线不垂直于轴，设其方程为，即设圆心到此直线的距离为，则∴，，故所求直线方程为，综上所述，所求直线为或（Ⅱ）设点，，则∵，∴即，又∵，∴由已知，直,线M //OX轴，所以，，∴点的轨迹方程是() .（Ⅲ）依题意点，设．过点作圆的切线，切点为，则．从而，即，就是，,,解得．21. （Ⅰ）设点P的坐标为，则|PF|=，∴=，整理得：，而，∴，解得（II），，∴椭圆的方程为．（Ⅲ）设，联立得．则又，∵椭圆的右顶点为，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾．当时，的方程为，直线过定点，∴直线过定点，定点坐标为．。

湖北省黄冈市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高一下·合肥期中) 已知数列{an};满足{an}= ，若对于任意的n∈N*都有an＞an+1 ，则实数a的取值范围是（）A . （0，）B . （0，）C . （，）D . [ ，1）2. （2分）(2016·江西模拟) 已知数列{an}满足a1=1，且anan+1=2n ，n∈N* ，则数列{an}的通项公式为（）A . an=（）n﹣1B . an=（）nC . an=D . an=3. （2分） (2018高一下·张家界期末) 已知数列满足则该数列的前18项和为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017高一下·怀仁期末) 在等比数列中，若，，则通项等于（）A .B .C .D .5. （2分）(2015·合肥模拟) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（）A . 4πB . 8πC . 9πD . 36π6. （2分）在△ABC中，若cosA•cosB﹣sinA•sinB＞0，则这个三角形一定是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 以上都有可能7. （2分）在中，已知a,b,c分别为内角A，B，C所对的边，S为的面积.若向量满足，则（）A .B .C . 2D . 48. （2分）不等式4x2﹣4x+1≥0的解集为（）A . {}B . {x|x≥}C . RD . ∅二、填空题 (共4题；共4分)9. （1分） (2016高一下·高淳期中) 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S1 ， 2S2 ， 3S3成等差数列，则公比q等于________．10. （1分）设等比数列{an}的前n和为Sn ，已知则的值是________ ．11. （1分） (2018高一下·北京期中) 在△A BC中，角A，B，C所对边分别为，且，则C＝________.12. （1分）(2016·上饶模拟) △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，其面积S=a2﹣（b﹣c）2 ．若a=2，则BC边上的中线长的取值范围是________．三、简答题 (共3题；共20分)13. （10分） (2017高二上·南通期中) 设等差数列{an}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7．若b6=ak，求k的值．14. （5分） (2016高一下·宁波期中) 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）若b= ，当△ABC周长取最大值时，求△ABC的面积；（Ⅱ）设的取值范围．15. （5分）某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦时)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦时，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？四、加试题 (共7题；共20分)16. （1分）已知圆锥的底面半径为4cm，高为2cm，则这个圆锥的表面积是________ cm2 ．17. （1分）(2018高二下·沈阳期中) 如图，已知三棱锥，，，，、分别是棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为________．18. （1分） (2017高一下·河北期末) 水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，若A1C1=2，△ABC的面积为2 ，则A1B1的长为________．19. （1分）平面直角坐标系中，方程|x|+|y|=1的曲线围成的封闭图形绕y轴旋转一周所形成的几何体的体积为________ ．20. （1分） (2016高一上·天河期末) 已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有________（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若a∥β，m⊂α，则m∥β；④若m⊥n．m⊥α，n∥β，则α⊥β21. （10分） (2017高一上·舒兰期末) 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（1）已知AB=BC，AF=CF，求证：AC⊥平面BEF；（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．22. （5分） (2017高二下·孝感期中) 如图，线段AB在平面α内，线段BD⊥AB，线段AC⊥α，且AB= ，AC=BD=12，CD= ，求线段BD与平面α所成的角．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共4题；共4分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、简答题 (共3题；共20分)13-1、13-2、14-1、15-1、四、加试题 (共7题；共20分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、。

湖北省黄冈市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2016高二下·长治期中) 已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∪B中的元素个数为（）A . 6B . 5C . 4D . 32. （2分） (2017高二下·营口会考) sin300°等于（）A . ﹣B .C . ﹣D .3. （2分）下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（）A . y=B .C . y=xsinxD . y=lg4. （2分）已知函数，则的大小关系是（）A . f(0)<f(0.6)<f(-0.5)B . f(0)<f(-0.5)<f(0.6)C . f(0.6)<f(-0.5)<f(0)D . f(-0.5)<f(0)<f(0.6)5. （2分）已知f（x）对任意x∈[0，+∞）都有f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=x，若函数g（x）=f（x）﹣loga（x+1）（0＜a＜1）在区间[0，4]上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A . []B . [)C . [)D . []6. （2分）(2018·黑龙江模拟) 为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度单位长度：，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（）A . 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B . 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C . 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D . 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐7. （2分） (2018高一下·江津期末) 对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间上为一等品，在区间和上为二等品，在区间和上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A . 0.09B . 0.20C . 0.25D . 0.458. （2分）如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A . k≥6？B . k≥7？C . k≥8？D . k≥9？9. （2分）函数的部分图像如图示，则将y=f(x)的图像向右平移个单位后，得到的图像解析式为（）A . y=sin2xB . y=cos2xC .D .10. （2分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A .B .C . 2D . 911. （2分） (2020高二下·海安月考) 某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（）A . 8年B . 9年C . 10年D . 11年12. （2分） (2020高二下·乌拉特前旗月考) 把函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A .B .C .D .13. （2分）奇函数f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则f（6）+f（﹣3）的值为（）A . 10B . ﹣10C . 9D . 1514. （2分）函数的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点．若△ABC是直角三角形，则w的值为（）A .B .C .D .15. （2分） (2020高一下·宣城期末) 黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间上，其基本定义是：（），若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2019高二上·思明期中) 随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为________.17. （1分） (2018高一上·台州月考) 若函数f(x) 的定义域为R，则实数a的取值范围是________．18. （1分）(2014·上海理) 设常数a使方程sinx+ cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1 ， x2 ，x3 ，则x1+x2+x3=________．19. （1分）已知sinα= ，α∈（，π），则sin2α的值为________．20. （1分）(2018·泉州模拟) 若函数，则 ________．三、解答题 (共4题；共45分)21. （10分）(2018·兴化模拟) 已知向量，，，若，（1）求的值；（2）若，求角的大小．22. （10分） (2016高三上·烟台期中) 已知函数f（x）=cos2x，g（x）= sinxcosx．（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0≤x≤ ，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．23. （15分） (2017高一下·中山期末) 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．24. （10分） (2019高三上·佛山月考) 函数是二次函数，满足 ,且最小值为.（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为 ,求的表达式.参考答案一、选择题 (共15题；共30分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共45分)答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、答案：23-3、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：。