数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 1.3.1 Word版含答案

§1.3全称量词与存在量词1.3.1量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．梳理全称量词与全称命题知识点二存在量词、存在性命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m∈Z，m>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．梳理存在量词与存在性命题特别提醒：在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)3．全称命题中一定含有全称量词，存在性命题中一定含有存在量词．(×)类型一判断命题的类型例1将下列命题用“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.考点量词与命题题点全称(存在性)命题的符号表示解(1)∀x∈R，x2≥0.(2)∃x＜0，ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．(3)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.反思与感悟判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤(1)判断此语句是否为命题．(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词．(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)若a＞0且a≠1，则对任意x，a x＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tan x1＜tan x2；(3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sin x|；(4)存在实数x，使得x2＋1＜0.解(1)，(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)，(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．类型二 判断命题的真假 例2 判断下列命题的真假． (1)∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞12；(2)∃α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x ，使等式x 2＋x ＋8＝0成立． 考点 全称(存在性)命题的真假性判断 题点 全称(存在性)命题真假的判断 解 (1)真命题，∵x 2－x ＋1－12＝x 2－x ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －122＋14≥14＞0， ∴x 2－x ＋1＞12恒成立．(2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)真命题，函数f (x )＝0既是偶函数又是奇函数．(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数． (5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．反思与感悟 1.要判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x ，使得p (x )不成立，那么这个全称命题就是假命题．2．要判定存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练2 判断下列命题的真假． (1)有一些奇函数的图象过原点； (2)∃x ∈R,2x 2＋x ＋1<0； (3)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.考点 全称(存在性)命题的真假性判断 题点 全称(存在性)命题真假的判断解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是存在性命题． ∵2x 2＋x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x ＋142＋78≥78>0， ∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0. 故该命题是假命题． (3)该命题是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2恒成立， ∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题． 类型三 全称命题、存在性命题的应用例3 (1)若命题p ：存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0，求实数a 的取值范围；(2)若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由ax 2＋2x ＋a <0，得a (x 2＋1)<－2x ， ∵x 2＋1>0，∴a <－2x x 2＋1＝－2x ＋1x ，当x >0时，x ＋1x ≥2，∴－2x ＋1x ≥－1，当x <0时，x ＋1x ≤－2，∴－2x ＋1x ≤1，∴－2x ＋1x的最大值为1.又∵∃x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0成立， ∴只要a <1，∴a 的取值范围是(－∞，1)．(2)①当m ＋1＝0即m ＝－1时，2x －6<0不恒成立． ②当m ＋1≠0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1<0，Δ<0，得⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，Δ＝(m －1)2－4(m ＋1)·3(m －1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m <－1311或m >1，综上，m <－1311. 反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别． 跟踪训练3 已知命题p ：“∃x ∈R ，sin x ＜m ”，命题q ：“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立”，若p ∧q 是真命题，求实数m 的取值范围． 考点 简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．因为“∃x∈R，sin x＜m”是真命题，所以m＞－1.又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).1．下列命题是全称命题的个数为________．①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③四边形的内角和是360°.答案 2解析①③是全称命题．2．下列命题中，不是全称命题的是________．(填序号)①任何一个实数乘以0都等于0；②自然数都是正整数；③每一个向量都有大小；④一定存在没有最大值的二次函数．答案④解析④是存在性命题．3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是________．(填序号)①a≥0；②a<0；③b≤0；④b>1.答案②解析函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)为真命题，则必有a<0.4．存在性命题“∃x∈R，|x|＋2≤0”是________命题．(填“真”“假”)答案假解析不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．5．若命题“∃x∈R，x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．答案[2,6]解析由已知得“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6]．1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真，则全称命题为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称命题为假．3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，则存在性命题为真，否则命题为假．一、填空题1．下列命题为存在性命题的是________．(填序号)①奇函数图象关于原点对称；②有些实数的平方是0；③末位数字为偶数的整数能被2整除；④有一个向量a，其方向不能确定．答案②④解析依据存在性命题概念知，只有②④符合题意．2．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为________．(填序号)答案①②④解析①所有无理数都是实数，为真命题；②显然为真命题；③显然不成立，为假命题；④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．3．下列全称命题中真命题的个数为________．①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点； ④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0. 答案 3解析 ①②③为真命题． 4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，即是存在性命题又是真命题的是________．(填序号) 答案 ①②③ ④⑤解析 ①是全称命题，是真命题； ②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题； ④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题； ⑤是存在性命题，是真命题；⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°. 5．下列存在性命题是假命题的是________．(填序号) ①存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0； ②存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0； ③有的素数是偶数； ④有的有理数没有倒数． 答案 ②解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立． 6．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 1满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列命题中为假命题的是________．(填序号) ①∃x ∈R ，f (x )≤f (x 1)； ②∃x ∈R ，f (x )≥f (x 1)； ③∀x ∈R ，f (x )≤f (x 1)； ④∀x ∈R ，f (x )≥f (x 1)． 答案 ③解析 ∵x 1是方程2ax ＋b ＝0的解， ∴x 1＝－b2a ，又∵a >0，∴f (x 1)是y ＝f (x )的最小值， ∴f (x )≥f (x 1)恒成立．7．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －a >0.若p 为真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 由题意得Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.8．∀x ∈R ，函数y ＝lg(mx 2－4mx ＋m ＋3)有意义，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,1)解析 由题意得不等式mx 2－4mx ＋m ＋3>0对任意x ∈R 都成立，当m ＝0时，显然成立，当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，(－4m )2－4m (m ＋3)<0， 即当0<m <1时，不等式也成立，m <0不符合题意， 所以实数m 的取值范围是[0,1)．9．已知命题“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 [－16,0]解析 由题意可知“∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题， ∴Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0.10．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.11．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [e,4]解析 由命题“p ∧q ”是真命题，得命题p ，q 都是真命题.因为x ∈[0,1]，所以e x ∈[1，e]，所以a ≥e ；∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，即方程x 2＋4x ＋a ＝0有实数根，所以Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，即实数a 的取值范围为[e,4]． 二、解答题12．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2.解 (1)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(2)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (3)是存在性命题，用符号表示为“∃x ∈R ，1x 2－x ＋1＝2”，是假命题．13．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解 由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题． 若p 为真命题，则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立， 所以a ≤1.若q 为真命题，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， 所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2. 综上，实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ＝1}． 三、探究与拓展 14．有下列四个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x ； p 2：∃x ∈(0,1)，12log x ＞13log x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中为真命题的是________． 考点 量词与命题题点 全称(存在性)命题的真假性判断 答案 p 2，p 4解析 因为幂函数y ＝x α(α＞0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p 1是假命题；因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数，所以当x ∈(0,1)时，0＜log x 12＜log x 13，所以0＜121log x＜131log x ，即12log x ＞13log x ，所以命题p 2是真命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，所以有0＜y ＜1，当x ∈(0,1]时，y ＝12log x ≥0，当x ∈(1，＋∞)时，y ＝12log x ＜0，所以命题p 3是假命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在⎝⎛⎭⎫0，13上单调递减，所以有0＜y ＜1，而函数y ＝13log x在⎝⎛⎭⎫0，13上的函数值y ＞1，所以命题p 4是真命题． 15．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于函数f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围． 考点 全称命题的真假性判断 题点 恒成立求参数的取值范围 解 由题意知f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.由题意知，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2， 当x ＝2时，g (m )＝0，显然不等式不成立，所以x ≠2， 则g (m )＞0对任意m ∈⎣⎡⎦⎤12，3恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫12＞0，g (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2＞0，3(x －2)＋(x －2)2＞0，解得x ＞2或x ＜－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

第1章常用逻辑用语[体系构建][自我校对]①逆否命题②必要条件③p⇔q④p且q⑤或⑥全称命题⑦存在量词[题型探究]四种命题及其相互关系四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非p，则非q；逆否命题：若非q，则非p.原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．已知a，b，c∈R，写出命题“若ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．[精彩点拨] 按照四种命题的定义写出命题，只需判定原命题及逆命题的真假，利用互为逆否命题的命题是等价命题，可知否命题与逆否命题的真假．[规范解答] 逆命题：“若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )有两个不相等的实数根，则ac ＜0”，是假命题．如当a ＝1，b ＝－3，c ＝2时，方程x 2－3x ＋2＝0有两个不等实根x 1＝1，x 2＝2，但ac ＝2＞0.否命题：“若ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )没有两个不相等的实数根”，是假命题．这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．逆否命题：“若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )没有两个不相等的实数根，则ac ≥0”，是真命题．因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价．[再练一题]1．给出下列命题：①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4； ②函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0成中心对称； ③命题“如果a ·b ＝0，则a ⊥b ”的否命题和逆命题都是真命题；④若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上)【导学号：71392036】[解析] ①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4，∴cos〈a ，b 〉＝－45， ∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝－4，①正确；②当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3无意义， 由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确；③∵原命题的逆命题为“若a ⊥b ，则a ·b ＝0”为真，∴其否命题也为真．∴③正确；④当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立．(当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c )∴④正确．[答案] ①②③④充分条件与必要条件的判断关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定；若“p ⇒q ”，且“p ⇐/q ”，则p 是q 的“充分不必要条件”，同时q 是p 的“必要不充分条件”；若“p ⇔q ”，则p 是q 的“充要条件”，同时q 是p 的“充要条件”；若“p ⇔/q ”，则p 是q 的“既不充分也不必要条件”，同时q 是p 的“既不充分也不必要条件”．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0. q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[精彩点拨] 非p 是非q 的必要不充分条件也就是p 是q 的充分不必要条件(q 是p 的必要不充分条件)．利用集合之间关系列不等式组求解．[规范解答] 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵非p 是非q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. [再练一题]2.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >4，xy >4是⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2的什么条件？请说明理由． [解] 当x >2且y >2时，有x ＋y >4，xy >4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >4，xy >4.反之，当x ＝1<2，y ＝5时，有x ＋y ＝6>4，xy ＝5>4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >4，xy >4⇒/⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >4，xy >4是⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2的必要不充分条件.含逻辑联结词的命题1.“且”、“或”、“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”三种形式．2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p 或q ”中有真为真，“p 且q ”有假为假，非p 与p 真假相反．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点，q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是________.【导学号：71392037】①(非p )或q ；②p 且q ；③(非p )且 (非q )；④(非p )或(非q )．[精彩点拨] 判断p ，q 真假→非p ，非q 真假→命题真假[规范解答] ∵Δ＝1＋4＝5>0，∴p 真．∵x <0时，1x<0<1但x >1不成立，∴q 假， ∴非q 真，∴①②③均为假命题，④为真命题．[答案] ④[再练一题]3．若命题p ：x (x ＋4)＞0，命题q ：13－x＞1，则非p 是非q 成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．[解析] 由命题p ：x (x ＋4)＞0得p ：x ＞0或x ＜－4，则非p ：－4≤x ≤0.由q ：13－x＞1，得q ：2＜x ＜3，则非q ：x ≤2或x ≥3.因为非p ⇒非q ，非q ⇒/非p ，所以非p 是非q 成立的充分不必要条件．[答案] 充分不必要全称命题和存在性命题1．全称命题“∀x ∈M ，p (x )”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M 中每一个元素x ，证明p (x )成立；(2)要判断它是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )不成立即可．2．存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可；(2)要判断它是假命题，需对集合M 中每一个元素x ，证明p (x )不成立．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对角互补的四边形都内接于一个圆；(2)对于定义在区间[a ，b ]上的连续函数f (x )，若f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在开区间(a ，b )上至少有一个零点；(3)∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞sin x ； (4)∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0.[精彩点拨] 理解含义→寻找量词→判断类别→判断真假[规范解答] (1)全称命题，是真命题；(2)存在性命题，是真命题；(3)全称命题，∵tan x ＝sin x cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴0＜cos x ＜1，sin x ＞0，∴1cos x ＞1，sin x cos x ＞sin x ，即tan x ＞sin x ， ∴是真命题；(4)存在性命题，∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1，则log 2(3x＋1)＞0，∴是假命题．[再练一题]4．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________.【导学号：71392038】①有一个角α，使tan(90°－α)＝tan α；②∃x ∈R ，使sin x ＝π2； ③对任意角α，都有sin(180°－α)＝sin α；④∀α，β∈R ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.[解析] ①是存在性命题且是真命题，②是存在性命题且是假命题，③④都是全称命题．[答案] ①含一个量词的命题的否定1．全称命题的否定一定是存在性命题．p ：∀x ∈M ，p (x )成立；非p ：∃x ∈M ，非p (x )成立．2．存在性命题的否定一定是全称命题．p ：∃x ∈M ，p (x )成立；非p ：∀x ∈M ，非p (x )成立．3．含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0； (2)q ：∃x 是质数，x 不是奇数；(3)r ：至少有一个实数x ，使x > x 2＋1；(4)s ：所有的周期函数都有最小正周期．[精彩点拨] 改变量词→否定结论→写出否定→作出判断 [规范解答] (1)非p ：∃x ∈R ，使x 2＋x ＋14<0.由于对任意的实数x ，x 2＋x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，故p 是真命题，非p 是假命题．(2)非q ：∀x 是质数，x 是奇数．由于2是质数，且2不是奇数，故q 是真命题，非q 是假命题．(3)非r ：∀x ∈R ，x ≤x 2＋1.由于对任意的实数x ，x ≤|x |＝x 2<x 2＋1，故r 是假命题，非r 是真命题．(4)非s ：有的周期函数没有最小正周期．由于f (x )＝0(x ∈R )是周期函数但没有最小正周期，故s 是假命题，非s 是真命题．[再练一题]5．下列命题的否定是假命题的有________．(填序号)①∃x ＞1，使x 2－2x －3＝0；②有些平行四边形，是矩形；③∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有惟一解；④可以被5整除的整数，末位是0.[解析] 对于①“∃x ＞1，使x 2－2x －3＝0”是真命题，故其否定是假命题；对于②“有些平行四边形，是矩形”是真命题．故其否定是假命题；对于③“∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有惟一解”是假命题，故其否定是真命题；对于④“可以被5整除的整数，末位是0”是假命题，故其否定是真命题．[答案] ①②[链接高考]1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________．[解析] “若p 则q ”的逆否命题是“若非q 则非p ”．[答案] 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是________.【导学号：71392039】[解析] 存在性命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定是全称命题“∀x ∈M ，非p (x )”．[答案] ∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －13．设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12，即sin θ＜12⇒/⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要4．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)[解析] 若存在负数λ，使m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λn 2＝λ|n |2＜0.若m ·n ＜0则可得cos 〈m ，n 〉＜0，但不一定推得“存在负数λ，使得m ＝λn ”．综上所述，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要5．已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是________(填序号). 【导学号：71392040】①p∧q；②p∧非q；③非p∧q；④非p∧非q.[解析] 当x＞0时，x＋1＞1，ln(x＋1)＞0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a＞b，显然a2＞b2不成立，即q为假命题，由复合命题真值表易知，②为真命题．[答案] ②。

§1.2简单的逻辑联结词第1课时“或”“且”学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其真假．知识点一“或”思考观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？答案命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．梳理(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．(2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.知识点二“且”思考观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？答案命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题．梳理(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．(2)当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q是假命题．我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”．(3)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足．1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)2．“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．(×)3．命题“5＞6或5＞2”是真命题．(√)类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1简单命题与复合命题的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆．解(1)是p∧q形式命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是p∨q形式命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．反思与感悟 1.不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．2．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题． 答案 p ∧q命题角度2 用逻辑联结词构造新命题例2 分别写出下列命题的“p ∧q ”“p ∨q ”形式的命题． (1)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边相等；(2)p ：－1是方程x 2＋4x ＋3＝0的解，q ：－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解． 解 (1)p ∨q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等． p ∧q ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等． (2)p ∨q ：－1或－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解． p ∧q ：－1与－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解．反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p ，q 构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p ，q 中的条件或结论合并．跟踪训练2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p ，q . (1)0≤2；(2)30是5的倍数，也是6的倍数． 解 (1)此命题为“p ∨q ”形式的命题，其中 p ：0<2；q ：0＝2.(2)此命题为“p ∧q ”形式的命题，其中 p ：30是5的倍数； q ：30是6的倍数．类型二 “p ∧q ”和“p ∨q ”形式命题的真假判断 例3 分别指出“p ∨q ”“p ∧q ”的真假．(1)p ：函数y ＝sin x 是奇函数，q ：函数y ＝sin x 在R 上单调递增； (2)p ：直线x ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切；q ：直线x ＝12与圆x 2＋y 2＝1相交．解 (1)∵p 真，q 假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假． (2)∵p 真，q 真，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真．反思与感悟 形如p ∨q ，p ∧q 命题的真假根据真值表判定，真值表为跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”形式的命题的真假． (1)p ：3是无理数，q ：π不是无理数； (2)p ：集合A ＝A ，q ：A ∪A ＝A ；(3)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图象与x 轴有公共点，q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实数根． 解 (1)∵p 真q 假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假． (2)∵p 真q 真，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真． (3)∵p 假q 假，∴“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假． 类型三 已知复合命题的真假求参数范围例4 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围． 考点 “p ∨q ”“p ∧q ”形式命题真假性的判断题点 由“p ∨q ”“p ∧q ”形式命题的真假求参数的取值范围 解 因为p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，m ＞0，所以m ＞2.因为q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根， 所以Δ＜0，即16(m －2)2－16＜0， 所以16(m 2－4m ＋3)＜0， 所以1＜m ＜3.因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 为真，q 为假或者p 为假，q 为真．即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得m ≥3或1＜m ≤2.所以m 的取值范围为(1,2]∪[3，＋∞)． 引申探究本例中若将“p ∧q 为假”改为“p ∧q 为真”，求实数m 的取值范围． 解 由本例得当p 为真命题时，m ＞2，当q 为真命题时，1＜m ＜3. 因为p ∨q 为真，p ∧q 为真， 所以p ，q 均为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，1＜m ＜3，解得2＜m ＜3， 所以m 的取值范围为(2,3)．反思与感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤 (1)分别求出命题p ，q 为真时对应的参数集合A ，B . (2)讨论p ，q 的真假．(3)由p ，q 的真假转化为相应的集合的运算． (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．跟踪训练4 已知p ：(x ＋2)(x －3)≤0，q ：|x ＋1|≥2，若“p ∧q ”为真，则实数x 的取值范围是________．考点 “p ∧q ”形式命题真假性的判断题点 由“p ∧q ”形式命题的真假求参数的取值范围 答案 [1,3]解析 由(x ＋2)(x －3)≤0，解得－2≤x ≤3. 由|x ＋1|≥2，解得x ≥1或x ≤－3.∵“p ∧q ”为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ≥1或x ≤－3，解得1≤x ≤3，则实数x 的取值范围是[1,3].1．命题“方程x 2＝4的解为x ＝±2”，使用的逻辑联结词是________． 答案 或解析 x ＝±2，即x ＝－2或x ＝2.2．已知命题p ，q ，若p 为真命题，下列说法正确的是________．(填序号) ①p ∧q 必为真；②p ∧q 必为假；③p ∨q 必为真；④p ∨q 必为假． 答案 ③解析 p ∨q 一真则真，故必有p ∨q 为真．3．已知p ：函数y ＝sin x 的最小正周期为π2，q ：函数y ＝sin2x 的图象关于直线x ＝π对称，则p ∧q 是________命题．(填“真”“假”) 答案 假解析 易知命题p 为假命题，命题q 也是假命题，故p ∧q 是假命题．4．已知命题p ：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2＋ax 在[1,2]上是增函数，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－2，12解析 命题p ：由函数f (x )在R 上为减函数，得2a －1<0，解得a <12，命题q ：由函数g (x )＝x 2＋ax 在[1,2]上是增函数， 得－a2≤1，解得a ≥－2.由p ∧q 为真，得p ，q 都为真，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∩[－2，＋∞)，即为⎣⎡⎭⎫－2，12. 5．已知命题p ：函数f (x )＝(x ＋m )(x ＋4)为偶函数；命题q ：方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围． 解 若命题p 为真，则由f (x )＝x 2＋(m ＋4)x ＋4m ，得m ＋4＝0，解得m ＝－4. 设g (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图象开口向上，若命题q 为真，则g (2)<0，即22＋(2m －1)×2＋4－2m <0，解得m <－3. 由p ∧q 为假，p ∨q 为真，得p 假q 真或p 真q 假． 若p 假q 真，则m <－3且m ≠－4； 若p 真q 假，则m 无解．所以m 的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．1．判断不含有逻辑联结词的命题的构成形式的关键是弄清构成它的命题的条件、结论． 2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假． (1)“p ∧q ”形式的命题简记为：同真则真，一假则假． (2)“p ∨q ”形式的命题简记为：同假则假，一真则真．一、填空题 1．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数为________． 答案 4解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于(A ∩B )⊆A ，A ∩B ⊆(A ∪B )，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题．2．命题“相似三角形的面积或周长相等”为________命题．(填“真”“假”) 答案 假解析 该命题是由命题p ：“相似三角形的面积相等”和命题q ：“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题．因为p 是假命题，q 也是假命题，所以p ∨q 是假命题．3．设p ：2x ＋y ＝3，q ：x －y ＝6，若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 考点 “p ∧q ”形式命题真假性的判断 题点 由“p ∧q ”形式命题的真假求参数的值 答案 3 －3解析 若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.4．下列命题中既是p ∧q 形式的命题，又是真命题的是________．(填序号) ①10或15是5的倍数；②x 2－3x －4＝0的两根是4和－1；③有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形． 答案 ③解析 ①②为p ∨q 的形式；③为p ∧q 的形式，其中p ：有两个角是45°的三角形是等腰三角形，q ：有两个角是45°的三角形是直角三角形，p ，q 均为真命题，所以p ∧q 为真命题． 5．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．则四个命题p ，q ，p ∧q ，p ∨q 中，真命题有________个． 答案 2解析 命题p 为真命题，命题q 为假命题，故p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题．6．命题s 具有“p ∨q ”形式，已知“p ∧r ”是真命题，那么s 是________命题．(填“真”“假”) 答案 真解析 由“p ∧r ”为真命题，可知命题p 为真命题，故“p ∨q ”为真命题． 7．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 考点 “p ∨q ”形式命题真假性的判断题点 由“p ∨q ”形式命题的真假求参数的取值范围解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)， 即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)， 由于命题是假命题， 所以1≤x ＜2，即x ∈[1,2)．8．给出命题p ：ax ＋b >0的解为x >－ba ，命题q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p ∧q 是________命题．(填“真”“假”) 答案 假解析 由题意得命题p 为假命题，命题q 也为假命题， 故“p ∧q ”为假命题． 9．已知p ：x 2－2x －3<0；q ：1x －2<0，若p 且q 为真，则x 的取值范围是________． 答案 (－1,2)解析 当p 为真命题时，x 2－2x －3<0，则－1<x <3； 当q 为真命题时，x －2<0，则x <2. 当p 且q 为真命题时，p 和q 均为真命题， 从而－1<x <2.10．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0. 显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 的图象与x 轴只有一个交点． ∴Δ＝4a 2－8a ＝0， ∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题， ∴a 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．11．设p ：关于x 的不等式a x >1(a ＞0且a ≠1)的解集是{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p 和q 有且仅有一个为真，则a 的取值范围为______________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 若p 真，则0<a <1，若p 假，则a ＞1.若q 真，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12. 若q 假，则a ≤12，又p 和q 有且仅有一个为真， ∴当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a ＞1，综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 二、解答题12．判断下列复合命题的真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.解 (1)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p ∧q ”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p ∧q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.又因为当x ＝1时，x 2－2x ＋1＝0，所以p 假q 假，所以“p ∧q ”为假，故该命题为假命题．13．设p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；q ：设a ＝(2x 2＋x ，－1)，b ＝(1，ax ＋2)，不等式a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1)恒成立．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 若p 为真命题，则ax 2－4x ＋a >0对x ∈R 都成立， 当a ＝0时，f (x )＝lg(－4x )的定义域不为R .当a ≠0时，则16－4a 2<0且a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，16－4a 2<0，解得a >2. 若q 为真命题，则由a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，知2x 2＋x －(ax ＋2)>0，即a >2x －2x ＋1对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，则a >⎝⎛⎭⎫2x －2x ＋1max . 令g (x )＝2x －2x＋1(x ≤－1)，可知g (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以g (x )≤1，故a ≥1.又p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则等价于p ，q 中一个为真命题，另一个为假命题．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >2，a <1，无解；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥1，则1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为[1,2]． 三、探究与拓展14．已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ＞1.综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 15．已知c >0，设p ：平面区域x ＋2y ＋c ＞0包括点(0,0)，(1，－1)，q ：曲线y ＝4x 2－4c ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围． 解 ∵平面区域x ＋2y ＋c ＞0包括点(0,0)，(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＞0，c －1＞0，∴c ＞1， 令A ＝{}c |c ＞1.由y ＝4x 2－4c ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋c 2＋1与x 轴交于不同的两点，可得方程4x 2－4cx ＋c 2－2c ＋1＝0所对应的判别式Δ＝16c 2－16(c 2－2c ＋1)>0.解得c >12，令B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪c >12.高中数学 根据题意，如果p 真，q 假，则无解；如果p 假，q 真，则12＜c ≤1， ∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.。

§3　全称量词与存在量词3．1　全称量词与全称命题3．2　存在量词与特称命题学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法．知识点一　全称量词、全称命题思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？答案　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．梳理　(1)全称量词及全称命题的概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．(2)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．知识点二　存在量词、特称命题思考　找出下列命题的共同特征，并判断其真假．(1)存在x∈R，x2≤0；(2)有些三棱锥是正四面体．答案　所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．梳理　(1)存在量词及特称命题的概念短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．(2)特称命题的真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可，否则这一特称命题就是假命题．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(×)类型一　判断命题的类型例1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．(1)正方形是矩形；(2)球面是曲面；(3)x 2－x ＋1＞0(x ∈R )；(4)有的素数为偶数；(5)方程3x ＋＝2有实数解．13x 考点　全称命题与特称命题题点　全称命题与特称命题的判定解　结合题意知(1)(2)(3)为全称命题；(4)(5)为特称命题．反思与感悟　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面．考点　量词与命题题点　全称(存在)量词的识别解　命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．命题(2)为特称命题．命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．类型二　判断命题的真假例2　判断下列命题的真假．(1)任意x ∈R ，x 2－x ＋1＞；12(2)存在α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(5)存在一个实数x ，使等式x 2＋x ＋8＝0成立．考点　特称(全称)命题的真假性判断题点　特称(全称)命题真假的判断解　(1)真命题，∵x 2－x ＋1－＝x 2－x ＋1212＝2＋≥＞0，(x －12)1414∴x 2－x ＋1＞恒成立．12(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．π4π2(3)真命题，函数f (x )＝0既是偶函数又是奇函数．(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．2(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．反思与感悟　要判定全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x ，使得p (x )不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判定特称命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个特称命题就是假命题．跟踪训练2　判断下列命题的真假．(1)有一些奇函数的图像过原点；(2)存在x ∈R,2x 2＋x ＋1<0；(3)任意x ∈R ，sin x ＋cos x ≤.2考点　特称(全称)命题的真假性判断题点　特称(全称)命题真假的判断解　(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y ＝x 是奇函数，其图像过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是特称命题．∵2x 2＋x ＋1＝22＋≥>0，(x ＋14)7878∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0.故该命题是假命题．(3)该命题是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝sin≤恒成立，2(x ＋π4)2∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤都成立，故该命题是真命题．2类型三　利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围例3　已知下列命题p (x )为真命题，求x 的取值范围．(1)命题p (x )：x ＋1>x ；(2)命题p (x )：x 2－5x ＋6>0；(3)命题p (x )：sin x >cos x .考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围解　(1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R .(2)∵x 2－5x ＋6>0，∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2.(3)∵sin x >cos x ，∴2k π＋<x <2k π＋(k ∈Z )．π45π4反思与感悟　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．跟踪训练3　已知命题p ：“存在x ∈R ，sin x ＜m ”，命题q ：“任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立”，若p 和q 都是真命题，求实数m 的取值范围．考点　特称(全称)命题的真假性判断题点　由命题真假性求参数的取值范围解　因为“存在x∈R，sin x＜m”是真命题，所以m＞－1.又因为“任意x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2)．1．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等C．存在x，＝xx2D．对数函数在定义域上是单调函数考点　全称量词与全称命题题点　全称命题的识别答案　D2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tanαB．存在实数x，使sin x＝π2C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．对任意α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ考点　特称命题的真假性判断题点　特称命题真假的判断答案　A3．若对于任意x∈[1,2]，a≥x2＋1，则实数a的取值范围为( )A．[5，＋∞) B．(3，＋∞)C．(－∞，2] D．[3,5]考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的范围答案　A解析　依题意a≥(x2＋1)max＝5，故a∈[5，＋∞)．4．命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”“假”)考点　特称命题的真假性判断题点　特称命题真假的判断答案　真解析　由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝2＋≥，所以只需m 2－m ＜，即－＜m ＜.所(x ＋12)3434341232以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x ∈(－1,2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1)，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．考点　量词与命题题点　全称(特称)命题的识别解　(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1,2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在1log2x x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除．真命题．利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决． 一、选择题1．下列说法正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“任意x ∈R ，x 2＋2＜0”是全称命题；③命题“存在x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0”是特称命题．A ．0B ．1C ．2D ．3考点　量词与命题题点　特称(全称)命题的识别答案　C解析　只有②③正确．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使＞21x 考点　存在量词与特称命题题点　特称命题的真假判断答案　B3．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数答案　D解析　D 是特称命题．考点　题点　4．已知正四面体A －BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥AD B ．存在F ∈BC ，EF ⊥AC C ．对任意的F ∈BC ，EF ≥3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC 考点　特称命题的真假性判断题点　特称命题真假的判断答案　A2解析　因为△ABD 和△ACD 为等边三角形，E 为AD的中点，Error!⇒AD ⊥平面BCE ，又EF ?平面BCE ，故AD ⊥EF .5．下面命题是真命题的是( )A ．任意x ∈R ，x 3≥x B ．存在x ∈R ，x 2＋1＜2x C ．任意xy ＞0，x －y ≥2xyD ．存在x ，y ∈R ，sin(x ＋y )＝sin x －sin y 考点　量词与命题题点　全称(特称)命题的真假性判断答案　D6．若“任意x ∈，cos x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为( )[π3，2π3]A ．－B ．－ C.D.12321232考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围答案　C7．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2＋cos 2＝；x2x 212p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：对任意的x ∈[0，π],＝sin x ；1－cos2x2p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝.π2其中假命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4考点　全称命题真假性的判断题点　全称命题的真假判断答案　A解析　由于对任意x ∈R ，sin 2＋cos 2＝1，故p 1是假命题；当x ，y ，x －y 有一个为x2x22k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0，π]，＝＝|sin x |＝sin x 为真命题．1－cos2x22sin2x 2对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝为假命题，例如x ＝π，y ＝，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝π2π2.3π2二、填空题8．若“任意x ∈，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．[0，π4]考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围答案　1解析　∵x ∈，∴0≤tan x ≤1，∴m ≥1，故实数m 的最小值为1.[0，π4]9．已知命题p ：存在c ＞0，y ＝(3－c )x 在R 上为减函数，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋2c －3＞0.若p 和q 都是真命题，则实数c 的取值范围为________．考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围答案　(2,3)解析　由于p 和q 都是真命题，所以p ，q 都是真命题，所以Error!解得2＜c ＜3.故实数c 的取值范围为(2,3)．10．对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围答案　(－∞，3]解析　对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3.11．有下列四个命题：p 1：存在x ∈(0，＋∞)，x ＜x ；(12)(13)p 2：存在x ∈(0,1)，x ＞x ；12log 13log p 3：任意x ∈(0，＋∞)，x ＞x ；(12)12log p 4：任意x ∈，x＜x .(0，13)(12)13log 其中为真命题的是________．考点　量词与命题题点　全称(特称)命题的真假性判断答案　p 2，p 4解析　因为幂函数y ＝x α(α＞0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p 1是假命题；因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数，所以当x ∈(0,1)时，0＜log x ＜log x ，所以0＜＜1213121log x，即＞，所以命题p 2是真命题；因为函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调131log x 12log x 13log x (12)递减，所以有0＜y ＜1，当x ∈(0,1]时，y ＝≥0，当x ∈(1，＋∞)时，12log x y ＝＜0，所以命题p 3是假命题；因为函数y ＝x 在上单调递减，所以有12log x (12)(0，13)0＜y ＜1，而函数y ＝在上的函数值y ＞1，所以命题p 4是真命题．13log x (0，13)三、解答题12．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x ，使得＝2.1x 2－x ＋1考点　全称(特称)命题的真假性判断题点　全称(特称)命题的真假性判断解　(1)是特称命题，是真命题．(2)是全称命题，是假命题．(3)是特称命题，是假命题．13．若不等式t2－2at＋1≥sin x对一切x∈[－π，π]及a∈[－1,1]都成立，求实数t的取值范围．考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的范围解　因为x∈[－π，π]，所以sin x∈[－1,1]，于是由题意可得对一切a∈[－1,1]，不等式t2－2at＋1≥1恒成立．由t2－2at＋1≥1得2t·a－t2≤0.令f(a)＝2t·a－t2，则f(a)在t≠0时是关于a的一次函数，当t＝0时，显然f(a)≤0成立，当t≠0时，要使f(a)≤0在a∈[－1,1]上恒成立，则Error!即Error!解得t≤－2或t≥2.故t的取值范围是t≤－2或t＝0或t≥2.四、探究与拓展14．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为( )A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④考点　量词与命题题点　特称(全称)命题的真假性判断答案　C解析　①所有无理数都是实数，为真命题；②显然为真命题；③显然不成立，为假命题；④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．215．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．考点　全称命题的真假性判断题点　恒成立求参数的取值范围解　易知f (t )∈.[12，3]由题意知，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，当x ＝2时，g (m )＝0，显然不等式不成立，∴x ≠2.则g (m )＞0对任意m ∈恒成立，[12，3]所以Error!即Error!解得x ＞2或x ＜－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

第2课时“非”学习目标1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一逻辑联结词“非”思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．答案两组命题中，命题q都是命题p的否定．梳理(1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p 的否定”．(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．知识点二“p∧q”与“p∨q”的否定对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“∨”变为“∧”．复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．知识点三命题的否定与否命题思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．梳理(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．①“綈p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“綈p”与否命题的区别；②p与“綈p”的真假必定相反；③“綈p”必须包含p的所有对立面．(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．1．命题的否定和否命题是一回事．(×)2．命题“方程x2－3＝0没有有理根”的否定为“方程x2－3＝0有有理根”．(√)3．命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的否定为“若a2＞b2，则|a|＜|b|”．(×)类型一綈p命题及构成形式例1写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.引申探究写出本例中所给命题的否命题．解(1)面积不相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2≠0，则实数m，n不全为零．(3)若xy≠0，则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．跟踪训练1写出下列命题的否定形式．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3<2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数．解(1) 綈p：y＝sin x不是周期函数．(2) 綈p：3≥2.(3) 綈p：空集不是集合A的子集．(4) 綈p：5是75的约数．类型二含逻辑联结词的命题的真假判断例2分别判断由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；q：函数y＝2x是增函数．(2)p：7＞7；q：7＝7.考点綈p形式命题真假性的判断题点判断綈p的真假解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．引申探究在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)∧q”“(綈q)∨p”的真假；对(2)判断“p∧(綈q)”“p∨(綈q)”“(綈p)∧(綈q)”“(綈p)∨(綈q)”的真假．解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)∧q为真命题，(綈q)∨p为假命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧(綈q)为假命题，p∨(綈q)为假命题；(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．反思与感悟判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假．跟踪训练2已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①(綈p)∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．考点“綈p”形式命题真假性的判断题点判断綈p的真假答案④解析由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．类型三命题的否定的真假应用例3已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．解命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 错误!⇔错误!，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a2－4a<0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≤－1，a<0或a≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．反思与感悟由真值表可判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p ，q 的真假情况．一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集． 跟踪训练3已知命题p ：|x 2－x |≤2，q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“綈p ”同时为假命题，则x 的取值范围为________． 答案{x |－1<x <2且x ≠0,1}解析由p 得－1≤x ≤2，又q ：x ∈Z ，得p ∧q ：x ∈{－1,0,1,2}．綈p ：x <－1或x >2，因为“p ∧q ”与“綈p ”同时为假，所以p 真且q 假，故－1<x <2且x ≠0,1.1．已知命题p ：2＋2＝5，命题q ：3>2，则下列判断正确的是________．(填序号) ①“p ∨q ”为假，“綈q ”为假； ②“p ∨q ”为真，“綈q ”为假； ③“p ∧q ”为假，“綈p ”为假； ④“p ∧q ”为真，“p ∨q ”为假． 答案②解析显然p 假q 真，故“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真，“綈q ”为假，故②正确．2．命题“若a >b ，则3a >3b ”的否命题是________________，命题的否定为________________． 答案若a ≤b ，则3a ≤3b 若a >b ，则3a ≤3b 3．“a ≥5且b ≥2”的否定是________． 答案a <5或b <2解析“p ∨q ”的否定是“(綈p )∧綈q ”，而“p ∧q ”的否定为“(綈p )∨(綈q )”．4．给出命题p ：直线ax ＋3y ＋1＝0与直线2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行的充要条件是a ＝－3，命题q ：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________．(填序号) ①命题“p ∧q ”为真；②命题“p ∨q ”为假； ③命题“p ∨(綈q )”为真；④命题“p ∧(綈q )”为真． 答案③④解析依题意得命题p 为真命题，命题q 为假命题．故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∨(綈q )为真，p ∧(綈q )亦为真，只有③④正确． 5．已知a ＞0，且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q ：抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，若(綈p )∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________________． 考点“非p ”形式命题真假性的判断 题点由“非p ”命题的真假求参数的取值范围答案⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞解析由函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，知0＜a ＜1. 若抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点， 则Δ＝(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.∵(綈p )∧q 为真命题，∴p 为假命题，且q 为真命题，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＜12或a ＞52，∴a ＞52.∴所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．2．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．一、填空题1．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p 为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)答案②③解析由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q 为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题①p1∨p2，②p1∧p2，③(綈p1)∨p2和④p1∧(綈p2)中，为真命题的是________．(填序号)答案①④解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴①p1∨p2是真命题，②p1∧p2是假命题，∴③(綈p1)∨p2为假命题，④p1∧(綈p2)为真命题．∴为真命题的是①④.4．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)①p假q真；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真；④“非p”为真．答案②解析由(x＋2)(x－3)<0，得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p 真． ∵∅≠{0}，∴q 为假， ∴“p ∨q ”为真．5．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 答案[1,2)解析x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题， 所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．6．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的________条件． 答案充分不必要解析p ：{x |x >1或x <－3}，q ：{x |2<x <3}． 则綈p ：{x |－3≤x ≤1}，綈q ：{x |x ≥3或x ≤2}． ∴(綈p )⇒(綈q )且(綈q )⇏(綈p )． ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．7．若命题p ：x ∈{1,2,3,4}，命题q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则p 是綈q 的____________条件． 答案充分不必要解析∵q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈q ：x ∈{x |0<x <5，x ∈R }， ∴p ⇒綈q 但綈q ⇒/p .8．已知p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“綈q ”同时为假，则x 的值为________． 答案－1,0,1,2解析∵p 且q 为假，∴p ，q 中至少有一个为假．又“綈q ”为假，∴q 为真，进而可知p 为假．由p 假q真可得⎩⎪⎨⎪⎧ |x2－x|<6，x∈Z，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<3，x∈Z，∴x 的取值为－1,0,1,2.9．命题p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p 是假命题，则a 的取值范围是__________________________________________、_______________________．考点“非p ”形式命题真假性的判断 题点由“非”命题的真假求参数的取值范围 答案(－∞，－3]解析由题意，知－错误!≥4，解得a ≤－3.10．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(x ＋1)]为偶函数；命题q ：函数y ＝ex －1ex ＋1为偶函数，下列说法正确的是________．(填序号)①p ∨q 是假命题；②(綈p )∧q 是假命题；③p ∧q 是真命题；④(綈p )∨q 是真命题． 答案②解析p 中，f (－x )＝ln [(1＋x )(1－x )]＝f (x )，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p 为真；q 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－exex ＋1＝－f (x )，定义域为R ，故函数为奇函数，故q 为假，故(綈p )∧q 为假． 11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b⊥c ，则a∥c .对以上两个命题，下列结论中：①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案②解析命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面或相交． 二、解答题12．写出下列命题的否定及否命题．(1)若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 全为零； (2)若x <0，则x 2>0.解(1)命题的否定：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． 否命题：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2≠0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． (2)命题的否定：若x <0，则x 2≤0. 否命题：若x ≥0，则x 2≤0.13已知p ：关于x 的不等式|2x －3|<m (m >0)，q ：x (x －3)<0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解由|2x －3|<m (m >0)，得3－m 2<x <3＋m2.由x (x －3)<0，得0<x <3.若綈p 是綈q 的必要不充分条件， 则q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，3－m2>0，3＋m 2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m2≥0，3＋m 2＜3，解得0<m <3.故实数m 的取值范围是(0,3)． 三、探究与拓展14．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则下列说法正确的是________．(填序号)①p ∧q 是真命题；②p ∨q 是假命题；③綈p 是假命题；④綈q 是假命题． 考点“p ∨q ”“p ∧q ”形式命题真假性的判断 题点判断“p ∨q ”“p ∨q ”形式命题的真假 答案③解析因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题．因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 是假命题，綈q 是真命题．15．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x －3<0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}． (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若綈p 是綈q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解(1)A ＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x<94.∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≤12或x≥94，∴(∁UB )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪94≤x<3.(2)由綈p 是綈q 的必要条件，得q 是p 的必要条件， 即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤2，a2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1,2]．。

四种命题及其关系1.如果用p和q分别表示命题的条件和结论，那么它的四种形式是：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p.应注意的是：如果所给命题不是“若p则q”形式，首先应改写成“若p则q”形式；如果一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是说大前提不变．2．四种命题之间的关系四种命题中有两对互为逆否的命题，分别是原命题和逆否命题，否命题和逆命题．由于互为逆否的命题同真假，则四种命题中，真命题的个数只能是0、2、4.给出命题：“已知a，b，c，d为实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b ＋d”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题的个数为________．【思路点拨】判断原命题及逆命题的真假→由互为逆否的命题真假性相同判断逆否命题及否命题的真假【解析】原命题为假命题．如3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2.逆命题为“a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5，但a＝b＝3.由原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，知逆否命题和否命题都为假命题．【答案】0写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断其真假．(1)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2；(2)平行于同一直线的两条直线互相平行；(3)矩形的对角线相等且互相平分；(4)正偶数不是质数．【解】(1)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5.(真)否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2.(真)逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5.(假)(2)逆命题：若两条直线互相平行，则它们平行于同一条直线．(真命题)否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则它们不互相平行．(真命题)逆否命题：若两条直线互相不平行，则它们不平行于同一条直线．(真命题)(3)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形．(真命题)否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分．(真命题)逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形．(真命题)(4)逆命题：如果一个数不是质数，那么这个数是正偶数．(假命题)否命题：如果一个数不是正偶数，那么这个数是质数．(假命题)逆否命题：如果一个数是质数，那么这个数不是正偶数．(假命题)充要条件的判断及应用这是因为充分条件、必要条件很好地体现了数学上逻辑推理的纯粹性与完备性．另一原因是这一逻辑知识可以和本学科内的任一知识相联系、相结合．正确理解充分条件、必要条件的定义是解题的关键，而理解定义的前提是分清命题的条件与结论．对于命题“p⇒q”来说，它可以有四种自然语言描述：(1)p是q的充分条件；(2)q 是p的必要条件；(3)q成立的充分条件是p；(4)p成立的必要条件是q.只有深刻理解这四句话，才能做好这一类的题目．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：∠A ≠30°，q ：sin A ≠12； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x 、y 不都是－1.【思路点拨】 由于p ，q 所述对象都具有否定性，从正面入手较难，宜用逆否命题等价判断．【规范解答】 (1)在△ABC 中，綈q ：sin A ＝12，綈p ：∠A ＝30°. ∵在△ABC 中，sin A ＝12，则∠A ＝30°或∠A ＝150°， ∴綈q綈p ，而綈p ⇒綈q ，故綈q 是綈p 的必要不充分条件，从而，p 是q 的必要不充分条件．(2)綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1.∵綈q ⇒綈p ，但綈p綈q ，故綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则下列结论中正确的有________． ①“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件；②“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件；③“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件；④“x ∈C ”不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件．【解析】 由A ∪B ＝C ，知A ⊆C ，B ⊆C ，故由x ∈A ，则x ∈C ，但x ∈C ，可能有x ∈B ，但x ∉A ，由充分必要条件的定义知选②.【答案】 ②全称命题与存在性命题通常有两种方法：(1)定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；(2)代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假．判断存在性命题的真假时，通常用代入法：在给定的集合中能找到一个元素x ，使命题p (x )为真，则为真命题，否则为假命题．通常在对全称命题和存在性命题进行否定时，首先要判断所给命题是全称命题还是存在性命题，然后按照下面的规则进行否定：全称命题否定后，全称量词变为存在量词，肯定判断变为否定判断；存在性命题否定后，存在量词变为全称量词，肯定判断变为否定判断．判断下列命题是否是全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对于所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解．【思路点拨】判断类别→符号表示→判断真假【规范解答】 (1)存在性命题，符号表示：∃α∈R ，sin 2α＋cos 2α≠1.假命题．(2)全称命题，符号表示：∀直线l ，l 存在斜率．假命题．(3)全称命题，符号表示：∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解．假命题．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0； (2)q ：∃x 是质数，x 不是奇数；(3)r ：至少有一个实数x ，使x > x 2＋1；(4)s ：所有的周期函数都有最小正周期．【解】 (1)綈p ：∃x ∈R ，使x 2＋x ＋14<0.由于对任意的实数x ，x 2＋x ＋14＝(x ＋12)2≥0，故p 是真命题，綈p 是假命题．(2)綈q ：∀x 是质数，x 是奇数．由于2是质数，且2不是奇数，故q 是真命题，綈q 是假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x ≤x 2＋1.对于对任意的实数x ，x ≤|x |＝x 2<x 2＋1，故r 是假命题，綈r 是真命题． (4)綈s ：有的周期函数没有最小正周期．由于f (x )＝0(x ∈R )是周期函数但没有最小正周期，故s 是假命题，綈s 是真命题．逻辑联结词“或”、“且”、“非”逻辑联结词的出现使得命题复杂化，对于一个较复杂的命题真假的判断，首先找出命题中所含的逻辑联结词，并将其分解成“简单命题＋逻辑联结词”的形式，再根据真值表进行真假判断．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点，q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是________．①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．【思路点拨】 判断p 、q 真假→綈p 、綈q 真假→命题真假【解析】 ∵Δ＝1＋4＝5>0，∴p 真．∵x <0时1x<0<1但x >1不成立，∴q 假， ∴綈q 真，∴①②③均为假命题，④为真命题．【答案】 ④分别指出下列各命题的构成形式，并指出命题的真假．(1)8或6是30的约数；(2)41是偶数且41是质数；(3)方程x 2－x ＋1＝0没有实数根．【解】 (1)“p 或q ”的形式，其中p ：8是30的约数，q ：6是30的约数，原命题为真命题．(2)“p 且q ”的形式，其中p ：41是偶数，q ：41是质数．原命题为假命题．(3)“非p ”的形式，其中p ：方程x 2－x ＋1＝0有实数根．原命题为真命题．转化与化归思想把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．本章中，很多综合问题常是以逻辑形式叙述的数学命题，只有将逻辑条件转化为一般数学命题，才能利用相关知识进行求解． 设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．【思路点拨】 将“p 且q 为假，p 或q 为真”转化为“一真一假”再进行分类讨论．【规范解答】 由0＜a －32＜1得32＜a ＜52， ∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]得2≤a ≤4，∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p 、q 一真一假．若p 真q 假，得32＜a ＜2；若p 假q 真，得52≤a ≤4. 综上所得，a 的取值范围是32＜a ＜2或52≤a ≤4.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3，若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q ，且綈q 綈p ，设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A B.又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|綈q}＝{x≤2或x>3}，则0<a≤2，且3a>3，所以实数a的取值范围是1<a≤2.综合检测(一)第1章常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．命题“∀x∈R，x2＋3≥2x”的否定是________．【解析】全称命题的否定是存在性命题．【答案】∃x∈R，x2＋3<2x2．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词是________．【解析】“≥”含两种情形即“>”或“＝”，故用了逻辑联结词“或”．【答案】或3．下列全称命题为真命题的是________．①所有的素数是奇数；②∀x∈R，x2＋1≥1；③对每一个无理数x，x2也是无理数；④所有的平行向量均相等．【解析】①中，2是素数不是奇数，故①假；③中，取x＝2为无理数，x2＝2是有理数，故③假；④中，a＝(1,2)，b＝(2,4)平行，但不相等．故只有②为真．【答案】②4．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．【解析】∵原命题是假命题，∴逆否命题是假命题．又∵逆命题若A＝B，则A⊆B为真命题，∴否命题是真命题．【答案】 25．(2013·天津高考改编)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的________条件．【解析】由不等式的性质知(a－b)·a2＜0成立，则a＜b成立；而当a＝0，a＜b成立时，(a－b)·a2＜0不成立，所以(a－b)·a2＜0是a＜b的充分而不必要条件．【答案】充分不必要6．(2013·玉溪高二检测)若集合A＝{x|xx－1＜0}，B＝{x|x＜4}，则“m∈A”是“m∈B”的________条件．【解析】∵xx－1＜0，∴x(x－1)＜0，∴0＜x＜1，∴A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x＜4}，∴A B.【答案】充分不必要7．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，但|a|＝|b|D⇒/a＝b，故①为必要不充分条件；a＝b⇒a2＝b2，但a2＝b2D⇒/a＝b，②也为必要不充分条件；a＝b⇒a2＝a·b，a2＝a·b D⇒/a＝b，③也为必要不充分条件．【答案】①②③8．(2013·南京高二检测)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题是________；命题的否定是________．【解析】由命题“若p则q”的否命题“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”，注意区别．【答案】若x与y不都是偶数，则x＋y不是偶数若x，y都是偶数，则x＋y不是偶数9．已知p：|x|>1，q：x<－2，则綈p是綈q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【解析】p：x>1或x<－1，綈p：－1≤x≤1，綈q：x≥－2，∴綈p是綈q的充分不必要条件．【答案】充分不必要10．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是________．①p∧q；②綈p∧q；③p∧綈q; ④綈p∧綈q.【解析】 当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x ＜3x ，∴p ：∀x ∈R,2x ＜3x 是假命题． 如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题．∴p ∧q 为假命题，排除①.∵綈p 为真命题，∴綈p ∧q 是真命题，填②.【答案】 ②11．设A ，B 为两个集合，下列真命题的序号为________．①A ⃘B ⇔对∀x ∈A ，有x ∉B ；②A ⃘B ⇔A ∩B ＝∅；③A ⃘B ⇔A ⊉B ；④A ⃘B ⇔∃x ∈A ，使x ∉B .【解析】 A ⃘B ，说明A 中有元素，不在B 中．【答案】 ④12．设α，β，γ为平面，m ，n ，l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是________(填序号)． ①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；②α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥γ；④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.【解析】 ④中，由n ⊥α，m ⊥α知m ∥n ，又n ⊥β，∴m ⊥β.【答案】 ④13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g (x )的图象关于________对称，则函数g (x )＝________.(注：填上你认为成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)【解析】 本题考查两函数的对称性、函数解析式的求法等，答案不唯一．【答案】 ①x 轴 －3－log 2x ；或②y 轴 3＋log 2(－x )；或③原点 －3－log 2(－x )；或④直线y ＝x 2x －314．已知不等式|x －m |<1成立的一个充分而不必要条件是13<x <12，而实数m 的取值范围是________．【解析】 不等式|x －m |<1⇔m －1<x <m ＋1的一个充分而不必要条件是13<x <12，则{x |13<x <12}⊂{x |m －1<x <m ＋1}，则⎩⎨⎧ m ＋1≥12，m －1≤13，∴⎩⎨⎧ m ≥－12，m ≤43.即－12≤m ≤43，显然等号不会同时成立． 【答案】 [－12，43] 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6；(3)在非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(4)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)·(y －2)＝0.【解】 (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180˚)，所以只有∠A ＝∠B .故p 是q 的充要条件．(2)易知：綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6, 显然綈q ⇒綈p .但綈pD ⇒/綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(4)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qD ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．16．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0；(3)r ：等圆的面积相等，周长相等；(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.【解】 (1)綈p ：存在实数m ，方程x 2＋x －m ＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题． (2)这一命题的否定形式是綈q ：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0.利用配方法可以验证綈q 是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r ：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r 是一个假命题．(4)这一命题的否定形式是綈s ：存在α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≠1.由于命题s 是真命题，所以綈s 是假命题．17．(本小题满分14分)已知p ：函数y ＝2|x －1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋1x的图象在y ＝2|x －1|的图象上方，判断p 且q ，p 或q ，綈p 的真假． 【解】 画图可知p 真q 假，∴p 且q 为假，p 或q 为真，綈p 为假．18．(本小题满分16分)设函数f (x )＝x |x －a |＋b ，求证：f (x )为奇函数的充要条件是a 2＋b 2＝0.【证明】 充分性：∵a 2＋b 2＝0，∴a ＝b ＝0，∴f (x )＝x |x |.∵f (－x )＝－x |－x |＝－x |x |＝－f (x )．∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．必要性：若f (x )为奇函数，则对一切x ∈R ，f (－x )＝－f (x )恒成立．即－x |－x －a |＋b ＝－x |x －a |－b 恒成立．令x ＝0，则b ＝－b ，∴b ＝0.令x ＝a ，则2a |a |＝0，∴a ＝0.即a 2＋b 2＝0.∴f (x )为奇函数的充要条件是a 2＋b 2＝0.19．(本小题满分16分)已知p ：－x 2＋8x ＋20≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；(2)若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解】 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m .(1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－2,10]是[1－m,1＋m ]的真子集．∴实数m 的取值范围是m ≥9.(2)∵“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10.∴0<m ≤3.∴实数m 的取值范围是0<m ≤3.20．(本小题满分16分)已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．【解】 函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，即z ＝x 2＋2x ＋a 的函数值要取得一切正实数⇔Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即p 真⇔a ≤1；函数y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a ＞1，即q 真⇔a ＜2.由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，知命题p ，q 中必有一真一假，故1＜a ＜2.。

章末复习学习目标 1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、存在性命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定．1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题,关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义若p则q为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件．如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,则称p是q的充分必要条件,简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件,则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件．即若p⇒q,q⇒r,则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性,但若p是q的充分条件,q是r的必要条件,则p与r的关系不能确定．3．简单的逻辑联结词与量词(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词,通常用符号“∀x ”表示“对任意x ”．(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词,通常用符号“∃x ”表示“存在x ”．(4)含有全称量词的命题叫做全称命题,含有存在量词的命题叫做存在性命题．1．已知命题p ：∀x ＞0,x 3＞0,那么綈p ：∃x ＞0,x 3≤0.(√) 2．命题“若x ＞0且y ＞0,则x ＋y ＞0”的否命题是假命题．(√) 3．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件．(×)4．“若a ＋b ≥2,则a ,b 中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题．(×)类型一 命题及其关系 例1 (1)有下列命题：①“若x ＋y >0,则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q ≤1,则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ①③(2)设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p ：若a ·b ＝0,b ·c ＝0,则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 考点 “p ∨q ”形式的命题 题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假 答案 ①解析 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题；命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题．故①为真命题．反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p 与綈p ”一真一假,“p ∨q ”一真即真,“p ∧q ”一假就假． 跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1,则x <－1或x >1”的逆否命题是________． 考点 四种命题题点 四种命题概念的理解 答案 若－1≤x ≤1,则x 2≤1(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②q 为真；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 考点 “p ∧q ”形式的命题 题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假 答案 ③解析 由题意知p 是假命题,q 是假命题,因此只有③正确． 类型二 充分条件与必要条件例2 已知p ：x －5x －3≥2,q ：x 2－ax ≤x －a ,若綈p 是綈q 的充分条件,求实数a 的取值范围．解 由p 得1≤x <3,≧q ：x 2－ax ≤x －a ,≨x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0, 即(x －1)(x －a )≤0, ①当a <1时,a ≤x ≤1； ②当a ＝1时,x ＝1； ③当a >1时,1≤x ≤a .≧綈p 是綈q 的充分条件,≨q 是p 的充分条件． 设q 对应集合A ,p 对应集合B ,则A ⊆B , 当a <1时,A ⊈B ,不合题意； 当a ＝1时,A ⊆B ,符合题意；当a >1时,1≤x ≤a ,要使A ⊆B ,则1<a <3. 综上所述,a 的取值范围为[1,3)．反思与感悟 若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件,即q 的充分条件是p ,p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”,则可认为p 的必然结果是q ,q 是p 的必然结果．则p ⇏q 易表述为以下几种说法： p 是q 的不充分条件,q 的不充分条件是p ； q 是p 的不必要条件,p 的不必要条件是q .跟踪训练2 已知命题p ：(4x －3)2≤1,命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0,若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围．解 由(4x －3)2≤1,得－1≤4x －3≤1,即12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0,得(x －a )(x －a －1)≤0,即a ≤x ≤a ＋1. 因为p 是q 的充分条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12 类型三 等价转化思想的应用例3 已知c >0且c ≠1,设p ：函数y ＝log c x 在(0,＋∞)上是减少的；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题,求c 的取值范围． 解 函数y ＝log c x 在(0,＋≦)上是减少的⇔0<c <1. 不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.≧x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，≨函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c , ≨2c >1且c ≠1,得c >12且c ≠1.如果p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12； 如果q 真p 假,则⎩⎪⎨⎪⎧c ＞1，c >12且c ≠1，解得c ＞1.≨c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪(1,＋≦)． 反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想,本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等,即以充要条件为基础,把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式,从而使复杂问题简单化、具体化．跟踪训练3 已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0,命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5,“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,求实数x 的取值范围． 解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0,解得－1≤x ≤5.命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)．≧p 是q 的充分条件,≨[－1,5]⊆[1－m,1＋m ],≨⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5≤1＋m ，解得m ≥4, 则实数m 的取值范围为[4,＋≦)． (2)≧m ＝5,≨命题q ：－4≤x ≤6. ≧“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题, ≨命题p ,q 为一真一假．当p 真q 假时,可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ＞6，无解；当q 真p 假时,可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.因此x 的取值范围是[－4,－1)∪(5,6]． 类型四 分类讨论思想的应用例4 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围． 解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4,由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ＝4a 2－16<0,≨－2<a <2. 又≧函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数, ≨3－2a >1,≨a <1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，≨1≤a <2；②若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，≨a ≤－2.综上可知,所求实数a 的取值范围 为(－≦,－2]∪[1,2)．反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一,利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：其一,分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点,有利于对学生知识面的考查；其二,解分类讨论问题需要有一定的分析能力,一定的分类讨论思想与技巧,因此有利于对能力的考查；其三,分类讨论问题常与实际问题相联系．解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决,化成部分后,可以增加题设条件,这也是解分类讨论问题总的指导思想．跟踪训练4 已知a >0,a ≠1,设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0,＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点,如果p ∨q 为真,p ∧q 为假,求a 的取值范围． 解 方法一 由题意知,p 和q 有且只有一个为真．p 为真时,0＜a ＜1；≧y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点,≨Δ＝(2a －3)2－4＞0,得a ＜12或a ＞52,即q 为真时,0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真,且q 为假时,a ∈(0,1)∩⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52,即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)当p 为假,且q 为真时,a ∈(1,＋≦)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋≦,即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋≦. 综上,a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋≦. 方法二 ≧A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1},B ＝{a |q (a )}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52, ≨p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B , 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋≦.1．设命题p ：∃n ∈N *,n 2>2n ,则綈p 为_______________． 答案 ∀n ∈N *,n 2≤2n解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”,“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．2．已知命题p ：|x ＋1|>2,命题q ：x >a ,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 答案 [1,＋∞)解析 綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件,即q ⇒p ,而p ⇏q ,命题p 化简为x >1或x <－3,所以当a ≥1时,q ⇒p . 3．给出以下四个判断：①若“p 或q ”为真命题,则p ,q 均为真命题；②命题“若x ≥4且y ≥2,则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6,则x ＜4且y ＜2”； ③若x ≠300°,则cos x ≠12；④命题“∃x ∈R ,e x ≤0”是假命题．其中是真命题的是________．(填序号) 考点 命题真假性的判断 题点 命题的真假性判断 答案 ④解析 若“p 或q ”为真命题,则p ,q 至少有一个为真命题,故①错误；命题“若x ≥4且y ≥2,则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6,则x ＜4或y ＜2”,故②错误；若x ≠300°,则cos x ≠12,错误,如x ＝60°≠300°,但cos 60°＝12；由指数函数的值域可知,命题“∃x ∈R ,e x ≤0”是假命题．4．对任意x ∈[－1,2],x 2－a ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________． 考点 全称命题的真假性判断 题点 恒成立求参数的取值范围 答案 (－∞,0]解析 由x 2－a ≥0,得a ≤x 2,故a ≤(x 2)min ,得a ≤0.5．分别指出下列各组命题的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的新命题的真假． (1)p ：2>2,q ：2＝2；(2)p ：∅是{0}的真子集,q ：0∈∅；(3)p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点,q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根． 考点 “或”“且”“非”的综合问题 题点 判断复合命题的真假解 (1)≧p ：2>2,是假命题,q ：2＝2,是真命题, ≨命题p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,綈p 是真命题． (2)≧p ：∅是{0}的真子集,是真命题,q ：0∈∅,是假命题, ≨命题p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,綈p 是假命题． (3)≧p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点,是假命题, q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根,是真命题,≨命题p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,綈p 是真命题．1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义,应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断． 2．判断命题真假的步骤：确定复合命题的构成形式 ⇒判断其中简单命题的真假 ⇒ 根据真值表判断复合命题的真假3．命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断,如下表：4.含有一个量词的命题的否定：特别提醒：(1)全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题．(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定,就是要对其结论进行否定,而否命题是既否定条件又否定结论．一、填空题1．命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是________．答案∃x∈R,x2＝x解析全称命题的否定是存在性命题,所以“∀x∈R,x2≠x”的否定为“∃x∈R,x2＝x”．2．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*,(x－1)2>0；③∃x∈R,lg x<1；④∃x∈R,tan x＝2.答案②解析①中命题是全称命题,易知2x－1>0恒成立,故是真命题；②中命题是全称命题,当x＝1时,(x－1)2＝0,故是假命题；③中命题是存在性命题,当x＝1时,lg x＝0,故是真命题；④中命题是存在性命题,依据正切函数定义,可知是真命题．3．已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1,则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的________条件．答案充分不必要解析因为两直线平行,所以有a2－9＝0,解得a＝±3,当a＝±3时,显然两条直线平行,故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件．4．下列命题中,为真命题的全称命题是________．(填序号)①对任意的a,b∈R,都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；②菱形的两条对角线相等；③∃x,x2＝x；④对数函数在定义域上是单调函数．答案④解析①中含有全称量词“任意”,因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0,是假命题；②④在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,菱形的对角线不一定相等；③是存在性命题,④正确．5．命题p：若ac＝b,则a,b,c成等比数列,则命题p的否命题是________命题．(填“真”“假”) 答案假解析其原命题的否命题是：若ac≠b,则a,b,c不成等比数列．若b＝－ac,则b2＝ac,此时a,b,c也可以成等比数列,故为假命题．6．已知a,b为任意非零向量,有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．(填序号)答案①②③解析由a＝b可以推得①,②,③均成立,而由①,②或③都推不出a＝b.7．下列有关命题的叙述,①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R,使得x2＋x－1<0,则綈p：∀x∈R,使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0,则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为________．答案 2解析若p∨q为真命题,则p,q至少有一个为真,所以p∧q不一定为真,所以①错误；x2－4x －5>0得x>5或x<－1,所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件,②正确；根据存在性命题的否定是全称命题知③正确；“若x2－3x＋2＝0,则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2－3x＋2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为2.8．有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m,n与同一个平面所成的角相等,则m,n互相平行；④若直线m,n是异面直线,则与m,n都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________． 答案 3解析 ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确； ②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,错误；③若直线m ,n 与同一个平面所成的角相等,则m ,n 互相平行或相交或异面,错误； ④若直线m ,n 是异面直线,则与m ,n 都相交的两条直线是异面直线或相交直线,错误． 9．命题p ：若a >0,b >0,则ab ＝1是a ＋b ≥2的必要不充分条件,命题q ：函数y ＝log 2x －3x ＋2的定义域是(－∞,－2)∪(3,＋∞),则以下四个命题中正确的是________．(填序号) ①“p ∨q ”为假；②“p ∧q ”为真；③p 真q 假；④p 假q 真． 答案 ④解析 由命题p ：a >0,b >0,ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2,所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3,所以q 为真命题．10．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2,λ)共线,则λ＝－4；命题q ：任意k ∈R ,直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是________．(填序号)①(綈p )∨q 是真命题；②p ∧(綈q )是真命题；③p ∧q 是假命题；④p ∨q 是假命题． 答案 ①解析 命题p 为真,命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝0k 2＋1<1,命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．11．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”,例如{1.2}＝2,{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．(填序号) ①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y ),则x －y <1； ③任意x ,y ∈R ,f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )； ④f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )； ⑤函数f (x )为奇函数． 答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立,如x 取1.5；f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立,如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系,如f (1.6)＝2,f (－1.6)＝－1.故答案为②③.二、解答题12．对于任意实数x ,不等式sin x ＋cos x >m 恒成立,求实数m 的取值范围．解 令y ＝sin x ＋cos x ,x ∈R ,≧y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2, 又≧∀x ∈R ,sin x ＋cos x >m 恒成立,≨只要m <－2即可．≨所求m 的取值范围是(－≦,－2)．13．已知命题p ：“存在a >0,使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞,2]上单调递减”,命题q ：“存在a ∈R ,使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题,求实数a 的取值范围．解 若p 为真,则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－≦,2]的右侧,即2a≥2,≨0<a ≤1. 若q 为真,则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根,∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0,≨12<a <32. ≧命题“p ∧q ”为真命题,≨命题p ,q 都为真,≨⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，≨12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.三、探究与拓展14．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ,B 两点,则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件． 考点 充分、必要条件的概念及判断题点 充分不必要条件的判断答案 充分不必要解析 由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ,B 两点,易知k ≠0,且圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2＜1,所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2 ＝2k 21＋k 2. 若k ＝1,则|AB |＝2,d ＝22, 所以△OAB 的面积为12×2×22＝12. 反过来,若△OAB 的面积为12, 则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12, 解得k ＝±1.故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件． 15．设命题p ：a ＞1；命题q ：不等式－3x ≤a 对一切正实数x 均成立．(1)若命题q 为真命题,求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题,且“p ∧q ”为假命题,求实数a 的取值范围． 解 (1)≧x ＞0,≨3x ＞1,≨－3x ＜－1,≧－3x ≤a ,≨a ≥－1,≨实数a 的取值范围是[－1,＋≦)．(2)由命题“p ∨q ”为真,且“p ∧q ”为假,得命题p ,q 一真一假．①当p 真q 假时,则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＜－1，无解； ②当p 假q 真时,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥－1， 解得－1≤a ≤1,≨实数a 的取值范围是[－1,1]．。

[*&@%^]1 怎样解逻辑用语问题[~^@*%]1．利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：[@#&~*](1)A是B的充分条件，即A⊆B.(2)A是B的必要条件，即B⊆A. [#^%&~](3)A是B的充要条件，即A＝B.(4)A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A，B既有公共元素也有非公共元素．[~*%#@]或例1 设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S⊆T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) [~#&@%]解析T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S⊆T；反之，若S ⊆T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件．[*^%@~]答案充分不必要2．抓住量词，对症下药[~*&#@]全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________．解析(1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1. [^*&~%]命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，解得a≤－1或a≥2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]．答案(1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．3．挖掘等价转化思想，提高解题速度[@#&^~]在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．。