2018届苏教版 14 圆锥曲线 单元测试

课时跟踪训练（十四)圆锥曲线的共同性质1．若双曲线错误!－错误!＝1的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为________．2．设F1，F2为曲线C1:错误!＋错误!＝1的焦点，P是曲线C2：错误!－y2＝1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是________．3．设P是椭圆错误!＋错误!＝1上一点，M,N分别是两圆:（x＋4）2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为________________．4．(福建高考)椭圆Γ：错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝错误!（x＋c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆错误!＋错误!＝1内部的一点为A错误!,F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋错误!MF的最小值为________．6．已知双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上,且PF1＝4PF2，求此双曲线离心率e的最大值．7．已知平面内的动点P到定直线l：x＝2 2的距离与点P到定点F(错误!，0）之比为错误!.(1)求动点P的轨迹C的方程；（2）若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？8．已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．（1）求证:PF⊥l；（2)若PF＝3，且双曲线的离心率e＝错误!，求该双曲线的方程．答案课时跟踪训练(十四)1．解析:根据题意和已知可得方程组错误!⇒错误!⇒e＝错误!.答案：错误!2．解析：曲线C1:错误!＋错误!＝1与曲线C2：错误!－y2＝1的焦点重合,两曲线共有四个交点，不妨设P为第一象限的交点．则PF1＋PF2＝2错误!，PF1－PF2＝2错误!,解得PF1＝错误!＋错误!，PF2＝错误!－错误!。

圆锥曲线一、填空、选择题1、（2016年上海高考）已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________2、（2015年上海高考）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．3、（2014年上海高考）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线的距离为则该双曲线的焦距等于________.5、（浦东新区2016届高三三模）抛物线214y x =-的准线方程是6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线22214x y a -=*()a N ∈的两个焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上一点，满足21212||||||F F PF PF =⋅，P 到坐标原点O 的距离为d ，且59d <<，则2a =7、（虹口区2016届高三三模）过抛物线28x y =的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若6,AF =则OAB ∆的面积为8、（浦东新区2016届高三三模）直线1y kx =+与抛物线22y x =至多有一个公共点，则k 的取值范围是9、（浦东新区2016届高三三模）设P 为双曲线()22210x y a a-=>上的一点，12F F 、是左右焦点，1223F PF π∠=，则12F PF ∆的面积等于（ ）2210、（崇明县2016它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的标准方程为 ．11、（奉贤区2016届高三二模）双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________．12、（虹口区2016届高三二模）如图, 2222+1(0)x y A B a b a b=>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线，与其交于点C. 若//AB OC (O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为___________.13、（黄浦区2016届高三二模）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为14、（静安区2016届高三二模）已知双曲线2221(0)y x m m-=>的渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点， 则该双曲线的焦距的取值范围为 .15、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线2y ax =的准线方程是14y =-，则a = .16、（普陀区2016届高三上学期期末）设P 是双曲线22142x y -=上的动点，若P 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则12d d ⋅=_________.17、（杨浦区2016届高三上学期期末）抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________.18、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．19、（松江区2016届高三上学期期末）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.A y x = .B y = .C y = .D y x =二、解答题1、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

1.(2016·泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，双曲线22x-y2=1的实轴长为.【答案】【解析】根据双曲线的方程知2a=22.(2016·镇江期末)以抛物线y2=4x的焦点为焦点，以直线y=±x为渐近线的双曲线的标准方程为.【答案】212x-212y=1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22xa-22yb=1，y2=4x的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x为双曲线的渐近线，则ba=1，又a2+b2=c2，所以a2=12，b2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2016·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】9 2【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2016·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】3【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2所以e=ca=1212F FAF AF=3n=3.一、填空题1.(2016·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2015·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2016·普陀区调研)距离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2016·西安模拟)已知椭圆24x +22y b =1(0<b<2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2+AF 2的最大值为5，则b 的值是 .6.(2015·盐城中学)设椭圆22x m +..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2015·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2016·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、 解答题9.(2016·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M =λMP (λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2015·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB =1，|OF |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的一个焦点为F (1，0)，且过点⎭. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知A ，B 为椭圆上的点，且直线AB 垂直于x 轴，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ，求证：点M 恒在椭圆C 上.(第11题)一、填空题1. 4【解析】将点(2)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x，即y=±2x.3.43【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，焦点F(1，0)，设点A(x，y0)(x0>0，y0>0)，由题意得x0+1=5，所以x0=4，所以2y=4x0=16，y0=4，从而点A(4，4)，直线AF的斜率k=4-04-1=43.4.2【解析】不妨设椭圆方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，则有222-1baacc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221babc⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF2+AF2+AB=4a=8，因为BF2+AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A3-2c⎛⎫⎪⎝⎭，，B3--2c⎛⎫⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c+294b=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以24-4b+294b=1，即1-24b+294b=1，所以24b=294b，解得b2=3，所以b=6.4【解析】由题意可知抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以27.3【解析】由题意知A(-a，0)，B(a，0)，取P(0，b)，则kAP·k BP=ba×-ba⎛⎫⎪⎝⎭=-13，故a2=3b2，所以e2=222-a ba=23，即e=3.8.1132⎛⎫⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P在第一象限，PF1>PF2，当PF1=F1F2=2c时，PF2=2a-PF1=2a-2c，即2c>2a-2c，解得e=ca>12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF2=F1F2=2c时，PF1=2a-PF2=2a-2c，即2a-2c>2c，且2c>a-c，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、解答题9. (1) 因为28x+24y=1，所以F1(-2，0)，F2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F Mk=4，所以直线F2M的方程为y=-x-2)，直线F1M的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM =2MP ，所以1FM =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2F M =00242-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P =(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )， 所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF ·F B =1， 即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP ·FQ =0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)， 又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0， 即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件， 所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)，直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)， 解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，.代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m +23n =1，得n 2=321-4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入上式得204x +23y =1.所以点M 恒在椭圆C 上.。

【全国百强校】2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1课时跟踪训练（十四）圆锥曲线的共同性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若双曲线28x －22y b ＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．2．设F 1，F 2为曲线C 1：22162x y += 的焦点，P 是曲线C 2： 2213x y -=与C 1的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值是________．3．设P 是椭圆221259x y += 上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________．4．椭圆2222:1(0)x y r a b a b+=>>的左、右焦点分别为12.F F 、焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆r 的一个交点M 满足12212,MF F MF F ∠=∠则该椭圆的离心率等于 .5．已知椭圆22142x y += 内部的一点为A 11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA MF 的最小值为________．二、解答题6．已知双曲线22221x y a b-= 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，求此双曲线离心率e 的最大值．7．已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝P 到定点F ，0)之比为.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？8．已知双曲线22221x ya b-=(a>0，b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．(1)求证：PF⊥l；(2)若PF＝3，且双曲线的离心率e＝54，求该双曲线的方程．参考答案1【解析】根据题意和已知可得方程组22248a a e c c a ⎧⎧==⎪⎪⇒=⎨⎨=⎪⎩⎪=⎩2．13【解析】曲线C 1：22162x y +=与曲线C 2： 2213x y -=的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点．则PF 1＋PF 2＝，PF 1－PF 2＝PF 1＋PF 2又F 1F 2＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得cos ∠F 1PF 2222413+-= 答案：133．8， 12【解析】∵两圆圆心F 1（-4，0），F 2（4，0）恰好是椭圆221259x y +=∴|PF 1|+|PF 2|=10，两圆半径相等，都是1，即r=1，∴（|PM|+|PN|）min =|PF 1|+|PF 2|-2r=10-2=8．（|PM|+|PN|）max =|PF 1|+|PF 2|+2r=10+2=12．故答案为8,12点睛：本题考查线段和的最大值和最小值的求法，解题时要注意椭圆的定义和圆的性质的合理运用．圆外一点P 到圆C 上所有点中距离最大值为|PC|+r ，最小值为|PC|-r ，其中C 为圆心，r 为半径，故只要连结椭圆上的点P 与两圆心F 1，F 2，最大值为|PM|+|PN|+两圆半径之和，最小值为|PM|+|PN|-两圆半径之和．41【解析】注意到直线过点(,0)c -即为左焦点1F ，又斜率为3，所以倾斜角为060，即01260MF F ∠=.又故02130MF F ∠=，那么02190F MF ∠=.01121·cos602?2MF F F c c ===，02123·sin 602?32MF F F c c ===，12223123c c e a MF MF c c====-++. 【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于难题. 5．-1【解析】2,a b c e ==== 右准线方程为2a c =M 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线定义知MF e d ==，∴d .∴MA MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值．MA ＋d 1.答案：－1点睛：本题利用椭圆的第二定义进行转化，即MF e d ==，所以d MF .即MA MF ＝MA ＋d ，由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值．6．53【解析】试题分析：由双曲线的定义可得|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|=2a ，再根据点P 在双曲线的右支上，|PF 2|≥c -a ，从而求得此双曲线的离心率e 的最大值．试题解析：：∵P 在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，∵|PF 1|=4|PF 2|，∴4|PF 2|-|PF 2|=2a ，即|PF 2|=23a ，根据点P 在双曲线的右支上，可得|PF2|=23a≥c-a，∴53a≥c，即e≤53故答案为5 37．(1)22142x y+= (2) k1·k2＝－12【解析】试题分析：（1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F 的距离的比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．（2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k1·k2＝－12证明原式．试题解析：(1)设点P(x，y)，依题意，有＝.整理，得＋＝1.所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，＋＝1，＋＝1.k1·k2＝·＝＝＝－，为定值．8．(1)见解析(2)221 169x y-=【解析】试题分析：（1）右准线l2为x=2ac，设渐近线l为y=bax，则k PF＝2abaca bcc-=--，lbka=由此能证明PF⊥l．（2）3bcbc===，又e＝54，即2222516a ba+=解得a由此能求出双曲线方程．试题解析：(1)证明：右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P，又F(c,0)，∴k PF＝＝－.又∵k l＝，∴k PF·k l＝－·＝－1.∴PF⊥l .(2)∵PF 的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离，3bc b c===，∴b ＝3.又e ＝＝， ∴＝.∴a ＝4.故双曲线方程为－＝1.点睛：本题考查直线垂直的证明，主要是应用斜率之积是-1，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的离心率的求法，注意通过本题可得出焦点到渐近线的距离为b ，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。

温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。

考点25 圆锥曲线的综合问题一、填空题1.（2016²重庆高考理科²Ｔ14）过抛物线x y 22=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点,若BF AF AB <=,1225,则=AF . 【解题指南】设出两点的坐标,根据焦点弦的性质进行求解. 【解析】由题意可设))(,(),,(212211x x y x B y x A <,直线AB 的方程为)21(-=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy ,消去y 整理得04)2(2222=++-k x k x k 所以4121=x x ,又由焦点弦的性质可知,1225121=++=x x AB 联立解得311=x ,所以652131=+=AF . 【答案】652.（2016²重庆高考文科²Ｔ14）设P 为直线x aby 3=与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支的交点,1F 是左焦点,1PF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率=e .【解析】由题意可知点P 的横坐标为c -,代入双曲线的方程可得12222=-b y a c解得a b y 2±=,由条件可知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c P 2,,因为点P 在直线x a b y 3=上 所以)(32c a b a b -⨯=-,解得b c 3=,所以b a 22=,423==a c e【答案】423 二、解答题3.（2016²大纲版全国卷高考文科²Ｔ22）与（2016²大纲版全国卷高考理科² Ｔ21）相同已知抛物线2)1(:+=x y C 与圆:M )0()21()1(222>=-+-r r y x 有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l . （Ⅰ）求r ；（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离.【解题指南】解决本题要抓住公共点A 这个关键，设出切点坐标，对2)1(:+=x y C 进行求导，写出切线方程，利用圆的切线垂直经过切点的半径这一性质列出等量关系. 【解析】（Ⅰ）设)12,(0200++x x x A ，12)1(22++=+=x x x y ，y 2x 2'∴=+，则直线l 的斜率2201+=x k ，又圆:M )0()21()1(222>=-+-r r y x ，则)21,1(M ,则直线AM 的斜率1211200202--++=x x x k ，121-=⋅∴k k即112112)22(00200-=--++⋅+x x x x ，整理得03302030=++x x x ，0)33(0200=++x x x ，解得00=x 或033020=++x x而方程033020=++x x 无解，2000x 0,x 2x 11,∴=++=即切点)1,0(A25)121()01(22=-+-=r . （Ⅱ）设)12,(2++t t t 为C 上一点，则在该点处的切线方程为：))(1(2)12(2t x t t t y -+=++-，整理得1)1(22+-+=t x t y .若该直线与圆M 相切，则圆心到该切线的距离为25，21|2(t 1)1t 1|+⨯--+=， 化简得，0)64(22=--t t t . 解得00=t 或1021+=t 或1022-=t .抛物线C 在点2i i (t ,(t 1)(i 0,1,2)+=）处的切线分别为n m l ,,，其方程分别为12+=x y ①1)1(2211+-+=t x t y ②1)1(2222+-+=t x t y ③②-③得2221=+=t t x .将2=x 代入②得1-=y ，故)1,2(-D , 所以D 到l 的距离为556)1(2|1)1(22|22=-++--⨯=d . 4.（2016²重庆高考理科²Ｔ20）如图，设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为21,F F ,线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ,且21B AB ∆是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点,使22QB PB ⊥,求直线l 的方程.【解题指南】利用椭圆的定义和性质,可根据已知条件求出椭圆的离心率和标准方程.根据直线和椭圆的位置关系可求解直线l 的方程.【解析】(1)如图,设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，右焦点)0,(2c F .因为21B AB ∆是直角三角形,且21AB AB =，21AB B ∠为直角，从而2OB OA =，即2c b =，结合222b a c -=得2224b a b -=，故225b a =,224b c =，所以离心率552==a c e . 在21B AB Rt ∆中,21B B OA ⊥,故。

【母题来源一】 2016高考新课标1卷【母题原题】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 【母题来源二】 2016高考天津【母题原题】设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||cOF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．【母题1】已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，其短轴的下端点在抛物线24x y =的准线上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是直线:2l x =上的动点，F 为椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆2C 相交于,P Q 两点，与椭圆1C 相交于,A B 两点，如图所示.，求圆2C 的方程；②设2C 与四边形OAMB 的面积分别为12,S S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=；②,⎫+∞⎪⎪⎭. 【解析】②当0t ≠，由①，知PQ 的方程为220x ty +-=,由2212220x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y ，得()222816820t xx t +-+-=,则()()()()22242164882840t t t t ∆=--+-=+>,21212221682,88t x x x x t t-∴+==++,2248t t +==+,考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用. 【名师点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础.【母题2】已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，且2F MN ∆的周长为4.（1）求椭圆方程；（2）与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点()()0,0P m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,A B 且AP PB λ= ,若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.【答案】（1）2221y x +=；（2）111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】考点：椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用．【名师点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线综合应用，着重考查了转化与化归的思想及推理、运算能力，其中直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点题型，属于中档试题，本题的解答中直线与椭圆方程，得到关于x 的一元二次方程，根据AP PB λ= 和4OA OB OP λ+=的运算，再利用韦达定理即可求解实数m的取值范围．【母题3】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为18，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，过2F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若1F AB ∆的周长为8. （1）求椭圆方程；（2）若直线l 的斜率不为0，且它的中垂线与y 轴交于Q ，求Q 的纵坐标的范围； （3）是否在x 轴上存在点(,0)M m ，使得x 轴平分AMB ∠?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）[；（3）存在，4m =.考点: 1、待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值；2、解析几何中的存在性问题. 【名师点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、基本不等式求最值以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在（或者方程有解就存在，没解就不存在），注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.【母题4】如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，椭圆的长轴长为8，离心率为47.（1）求椭圆方程；（2）椭圆内接四边形ABCD 的对角线交于原点，且0)()(=-⋅+BC DC AD AB ，求四边形ABCD 周长的最大值与最小值.【答案】（1）191622=+y x ；（2）最大值是20，最小值是596.（2）由题意可设),(),,(2211y x B y x A ，则),(),,(2211y x D y x C ----，因为),,(1212y y x x AB --=),,(1212y y x x DC --=所以DC AB =，所以四边形ABCD 是平行四边形.因为考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【名师点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆位置关系的综合应用，其中直线与椭圆方程联立相交问题转化为联立方程组求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值是解答的关键，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归思想的应用，试题运算量与思维量较大，需要平时注意总结和积累，属于难题.【母题5】已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点⎛M ⎝，且其离心率为，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O，求实数λ的取值范围．【答案】（I ）2212x y +=；（II ；（III ）22λ-<<且0λ≠．考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出Q 的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数λ的范围. 【母题6】已知抛物线2:2C y px =(0)p >，过焦点F 作动直线交C 于,A B 两点，过,A B 分别作圆22:()12p D x y -+=的两条切线，切点分别为,P Q ，若AB 垂直于x 轴时，114sin sin PAF QBF+=∠∠.（1）求抛物线方程；（2）若点H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且OA OB tOH +=，8HA HB -<，求实数t 的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.【名师点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，其中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，借助韦达定理和判别式，运算、化简是解答此类问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，同时助于向量的运算与化简，试题有一定的难度，属于难题.【母题7】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点.（1）若直线l 过焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，若F 是AB 的一个靠近点B 的三等分点，且点B 的横坐标为1，弦长9AB =时，求抛物线C 的方程；（2）在（1）的条件下，若M 是抛物线C 上位于曲线AOB （O 为坐标原点，不含端点,A B ）上的一点，求ABM ∆的最大面积.【答案】（1） 28y x =；（2）.由28y x =(0)y >，得y ='12y ==令'y =，得14x =.将14x =代入抛物线2:8C y x =中，得0)y y =>.所以当点M 的坐标为1(4时，ABM ∆的面积取得最大值，此时点M 1(4到直线:0AB y --=的距离是d ==||9AB ==，所以ABM ∆的最大面积是11||922S AB d =⋅=⨯=②当取点(1,B时，点(4,A -，同理，也验证ABM ∆的最大面积是S =； 综上，ABM ∆考点：抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系，考查了考生数形结合的思想和运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据抛物线的定义及弦AB 的长求得抛物线方程，进而得到,A B 两点的坐标，通过讨论分别求出,A B 取不同的点时，ABM ∆的最大面积，其中求ABM ∆面积的最大值时，通过运动与变化的观点及导数的几何意义求得是面积最大的点M 的坐标，这是本题的难点.【母题8】已知抛物线21:y 4C x =和()22C :20x py p =>的焦点分别为1212,,,F F C C 交于,O A 两点（O 为坐标原点）且12F F OA ⊥.（1）求抛物线2C 的方程；（2）过点O 的直线交1C 的下半部分与点M ，交2C 的左部分于点N ，点P 的坐标为()1,1--，求PMN ∆面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）8.考点：1、待定系数法求求抛物线标准方程；2、利用基本不等式求最值.【名师点晴】本题主要考查待定系数法求求抛物线标准方程和利用基本不等式求最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求PMN ∆面积的最小值.【母题9】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个焦点12,F F ，且椭圆过点(,，且A 是椭圆上位于第一象限的点，且12AF F ∆的面积12AF F S ∆=（1）求点A 的坐标；（2）过点()3,0B 的直线l 与椭圆E 相交与点,P Q ，直线,AP AQ 与x 轴相交与,M N 两点，点5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，则CM CN ⋅是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由．【答案】（1）()2,1A ；（2）14．（2）解法一：设直线l 的方程为：3x my =+，()()1122,,,P x y Q x y 直线AP 的方程为：()111122y y x x --=--，可得：1112,01y x M y ⎛⎫-⎪-⎝⎭，即()1123,01m y M y --⎛⎫⎪-⎝⎭直线AQ 的方程为：()221122y y x x --=--，可得：2222,01y x N y ⎛⎫-⎪-⎝⎭，即()2223,01m y M y --⎛⎫⎪-⎝⎭联立22326x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()222630m y my +++=，由()22361220m m ∆=-+>，可得21m >；12122263,22m y y y y m m+=-=++，()()12122323552121m y m y CM CN y y ----⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭解法二：设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为12,,k k k ，由()22326y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=，()()2221444121860k k k ∆=-+->，可得：21k <，21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+，()()12121212123131112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121225112424kx x k x x k x x x x -++++=-++()22222222221861225112444121221861222241212k k k k k k k k k k k k k-⋅-+⋅++-+++===----⋅+++，由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理4212x k =-，即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则121251511111222222CM CN k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212121212111111114242k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 121211211424k k k k -=+⨯+=，故CM CN ⋅为定值，该定值为14考点：椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系的应用．【名师点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的性质的应用、直线与圆锥曲线位置关系的应用，其中设直线l 的方程3x my =+，得出直线AP 和AQ 的方程，得到M 的坐标，联立方程组，利用根与系数的关系可得1212,y y y y +是解答问题的关键，着重考查了转化与化归思想及推理和运算能力，试题有一定的难度，属于难度．【母题10】已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点10,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,B A 两点，试问：在y 轴上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 2212x y +=；（2）存在一个定点()0,1T 满足条件.考点：1、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及曲线过定点问题.【名师点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及韦达定理及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.。

【2017年高三数学优质试卷分项精品】专题八 圆锥曲线【文】一、选择题1. 【2016届湖北省八校高三二联】已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则 PF PA的最小值是（ ）A.14 B. 12 C. D. 【答案】C2. 【2016届邯郸市一中高三十研】已知直线1)y x =-与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，点(1,)M m -，若0MA MB =，则m =（ ）A B C ．12D ．0 【答案】B【解析】由21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得22(1)4y y =-220y --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124y y y y +==-，所以22212121212()254442y y y y y y x x +-+=+==，221212144y y x x =⨯=，1122(1,),(1,)MA x y m MB x y m =+-=+-，所以有2121212121212(1)(1)()()()1()MA MB x x y m y m x x x x y y m y y m ⋅=+++--=++++-++22251114(022m m m =++-+=+==，所以m = B. 3. 【2016届湖北省八校高三二联】已知圆C 方程为()()22210x y r r -+=>，若p ：13r ≤≤；q ：圆C 上至多有3个点到直线+30x =的距离为1，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A4. 【2016届邯郸市一中高三十研】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆：22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．22 D 【答案】C【解析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，即0kx y -=1=，解之得213k =，当双曲线的焦点在x 轴上时有221,3b a =即222222214,,33c b a c a e e a ==-∴===；当双曲线的焦点在y 轴上时有221,3a b =即22222223,4,2c b a c a e e a==-∴===，故选C.5. 【2016年安庆市高三二模】双曲线:C 22221x y a b-=（0a >,0b >）的一条渐近线方程为2y x =,则C 的离心率是（ ）A B C ．2 D 【答案】A 【解析】由已知2=ab,5)(12=+==a b a c e ,故选A.6. 【2016年江西省九江市三模】 已知直线l 经过圆042:22=--+y x y x C 的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为5，则直线l 的方程为（ ）A ．052=++y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．032=+-y x 【答案】C【解析】圆心)2,1(C ，∴2OC k =，OC =l OC ⊥，12l k =-∴直线l 的方程为)1(212--=-x y ，即052=-+y x .7. 【2016年江西省九江市三模】过双曲线),0,0(1:222222b a c b a b y a x C +=>>=-的左焦点F 作圆⊙4222c y x =+的切线，且点为E ，延长PE 交双曲线C 右支于点P ，若E 为PF 的中点，，则双曲线C 的离心率为（ ) A ．12+ B ．212+ C ．13+ D ．213+ 【答案】C【解析】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，依题意可得F P EO '∥，PF EO ⊥，则,3,c PF c F P =='∴c c a -=32，即13132+=-=e .8. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是（ ） AB ．12C ．1 D【答案】B【解析】椭圆的一个焦点为(1,0)，所求距离为12d ==．故选B ． 9. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()1,1-，则双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2214x y -= C ．22199x y -= D ．22133x y -=【答案】C10. 【山西省榆林市高三第二次模拟】已知抛物线24y x =的准线与双曲线()222410y x b b-=>交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线离心率为（ ） ABC．83【答案】C2,b ==而12c a c e a =⇒==⇒===，选C. 11. 【2016届江西师大附中、鹰潭一中联考】 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为1-=x ，直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点．若线段AB 的中点为)1,2(，则直线l 的方程为( )A ．32-=x yB ．52+-=x yC ．3+-=x yD ．1-=x y 【答案】A【解析】易知抛物线的方程为24y x =.设1122(,),(,),A x y B x y 则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,两式相减得：121212()()4()y y y y x x +-=-, 所以AB 的斜率1212124422y y k x x y y -====-+,从而直线AB 的方程为12(2)y x -=-,即23y x =-.故A 正确.12. 【2016年河南省八市重点高中质检】过点(3,1)作圆222(1)x y r -+=的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ）A ．250x y +-=B ．270x y +-=C ．250x y --=D ．270x y --= 【答案】B13. 【2016福建省厦门一中高三周测】已知抛物线2:8C y x =与直线(2)(0)y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =（ ）A ．13 BC ．23D【答案】B【解析】设抛物线2:8C y x =的准线为2l x =-：，直线(2)(0)y k x k =+>恒过定点20P -（，），如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF OB BF =∴=，，点B 的横坐标为1，∴点B 的坐标为10,k k k ±∴==>∴=（， 14. 【2016届河北省石家庄市高三二模】已知实数0>p ，直线0234=-+p y x 与抛物线px y 22=和圆4)2(222p y p x =+-从上到下的交点依次为DC B A ,,,，则BD AC 的值为（ ） A ．81 B ．165 C ．83D ．167 【答案】C15. 【2016届淮南市高三第二次模】“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意得，直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直，则3(21)0m m m +-=，解得0m =或1m =-，所以“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的充分不必要条件，故选A ．16. 【2016届淮南市高三第二次模】以双曲线2213x y -=的左右焦点为焦点，离心率为12的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211216x y +=B ．221128x y +=C ．2211612x y +=D ．221812x y +=【答案】C【解析】由题意得，双曲线的焦点坐标为12(2,0),(2,0)F F -，即2c =，又离心率为12，即12c a =，解得4a =，所以b ==，所以椭圆的方程为2211612x y +=，故选C ． 17. 【2016届淮南市高三第二次模】 过点(2,0)引直线l 与圆222x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆面积取最大值时，直线l 的斜率为 .【答案】33±18. 【2016年河南省商丘市高三三模】 已知抛物线x y 82=与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5=MF ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．035=±y x B ．053=±y x C ．054=±y x D ．045=±y x【答案】A【解析】依题意,抛物线焦点()2,0F ,设()00,M x y ,因为5MF =,所以0025,3x x +==,所以(3,M ±,代入2221x y a -=得2299241,25a a -==,所以令2220x y a -=,得双曲线的渐近线为xy a=±,即035=±y x . 二、填空题1. 【2016届湖北省八校高三二联】已知12,l l 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，且右焦点关于1l 的对称点在2l 上，则双曲线的离心率为 . 【答案】2【解析】由题意可知：12:,:b bl y x l y x a a==-，(,0)F c ，设F 关于直线1l 的对称点为00(,)P x y ，则0000001022by x a y b x c ay x cb a ⎧=-⎪⎪-⎪⨯=-⎨-⎪⎪++=⨯⎪⎩，消去00,x y 得22223,4,b a c a =∴=即2c a =，2c e a ==. 2. 【2016年安庆市高三二模】 已知抛物线:C 28x y =的焦点为F ,动点Q 在C 上,圆Q 的半径为1,过点F 的直线与圆Q 切于点P ,则FP FQ ⋅的最小值为 ． 【答案】 3【解析】12⋅r FQ FP .d d ,为点Q 到准线的距离,易知,3)(,2min =⋅∴=FQ FP .3. 【2016届河北省石家庄市高三二模】已知双曲线14222=+-m y m x 的一条渐近线方程为x y 3=，则实数m 的值为______.【答案】54【解析】因为双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线为x aby ±=，所以14222=+-m y m x 的渐近线为x m m y 24+±=，则有54324=⇒=+m m m . 4. 【2016年河南省八市重点高中质检】M 为抛物线28y x =上一点，过点M 作MN 垂直该抛物线的准线于点,N F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积为_______. 【答案】272π三、解答题1. 【2016届湖北省八校高三二联】定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M：(2212x y +=及点()A ，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .（Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.k k 【答案】（Ⅰ）2213x y +=;（Ⅱ）13-.【解析】（Ⅰ）由分析知：点P在圆内且不为圆心，故PA PM AM +=>=, 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆， ……………2分设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则22a a c c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，所以21b =，故曲线W 的方程为22 1.3x y += ……………5分（Ⅱ）设111122(,)(0),(,)C x y x y E x y ≠,则11(,)D x y --,则直线CD 的斜率为11CD y k x =，又CE CD ⊥，所以直线CE 的斜率是11CE x k y =-，记11xk y -=，设直线CE 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由2213y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222136330k x mkx m +++-=.∴122613mk x x k +=-+，∴121222()213my y k x x m k +=++=+，由题意知，12x x ≠， 所以1211121133y y y k x x k x +==-=+， ……………9分所以直线DE 的方程为1111()3y y y x x x +=+，令0y =，得12x x =，即1(2,0)F x . 可得121y k x =-. ……………11分 所以1213k k =-，即121=.3k k - ……………12分 2. 【2016届邯郸市一中高三十研】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(A ，，点12,F F 分别为其左右焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．【答案】(1) 2212x y +=;(2) .【解析】（1）由题意得：222c e a b c a ==-=，得,b c a ==，因为椭圆过点(A ，则221112c c +=，解得1c =，所以a =所以椭圆C 方程为：2212x y +=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠ 与24y x =联立得2222(24)0k x k x k -++=， 令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1x x x x k +=+=，244MN k==+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--， 将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令23344341222422(,),(,),,22k P x y Q x y x x x x k k -+==++，由弦长公式242PQ k ==+，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴四边形PMQN 的面积12S MN PQ ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分令21(1)t k t =+>，上式21)1S t ===+>-，所以S ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分3. 【2016年安庆市高三二模】已知圆:M 220x y +-=的圆心是椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点,过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M 相切．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）椭圆C 上有两点()11,A x y 、()22,B x y ,OA 、OB 斜率之积为14-,求2212x x +的值． 【答案】 (Ⅰ) 1422=+y x ；（II ）4. 【解析】 (Ⅰ) 圆3)3(0322222=+-⇒=-+y x x y x 圆心坐标为)0,3(M ,3,322=-=∴b a c过椭圆C ：12222=+by a x 的左焦点)0,3(-F 和上顶点的直线的斜率显然大于0,可设直线l的方程为：)3(+=x k y ,因为直线l 与圆相切,,33,313032±=∴=++-∴k k k k 又0>k ∴直线l 的方程为：)3(33+=x y ,14:4,1222=+∴==∴y x C a b…… 6分4. 【2016年江西省九江市三模】如图所示，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，⊙222:b y x O =+，点A 是椭圆C 的左顶点直线AB 与⊙O 相切于点)1,1(-B . （1）求椭圆C 的方程；（2）若⊙O 的切线l 与椭圆C 相交于N M ,两点，求OMN ∆面积的取值范围.【答案】（1）12422=+y x ；（2）． 【解析】（1）∵)1,1(-B 在⊙222:b y x O =+上，∴2,22==b b .（2分）又AB 是⊙O 的切线，∴0,=⋅⊥OB AB OB AB ，即0)1,1()1,1(=+-⋅-a ，解得2=a .（4分）∴椭圆C 的方程为12422=+y x .（5分）（2）设直线m ty x l +=;，则2221222+=⇒=+t m t m .（6分）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x mty x ，消去x 得：042)2(222=-+++m tmy y t .（7分）设),(),,(2211y x N y x M ，则,24,222221221+-=+-=+t m y y t tm y y （8分）2)4(4)2(4112222222212+--++=-+=t m t m t ty y t MN]2,0(111421428241222222222∈+++=++=++-+=t t t t t m t t ，当且仅当0=t 时“=”成立.（10分） ∴]2,0(221∈⨯⨯=∆MN S OMN .（12分） 5. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】 如图，已知O 为原点，圆C 与y 轴相切于点()0,2T ，与x 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的右侧），且3MN =，椭圆()2222:10x y D a b a b +=>>过点，且焦距等于2ON ．（1）求圆C 和椭圆D 的方程；（2）若过点M 斜率不为零的直线l 与椭圆D 交于A B 、两点，求证：直线NA 与直线NB 的倾角互补．【答案】（1）圆22525:()(2)24C x y -+-=；椭圆22:143x yD +=；（2）证明见解析．（2）设直线l 的方程为()4y k x =-,由()221434x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222343264120k xk x k +-+-=， ①设()()1122,,,A x y B x y ,则22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++． 因为 121211AN BNy y k k x x +=+--()()()()()()()()12122112124441411111k x k x x x x x k x x x x ----+--=+=⋅---- ()()()12121225811kx x x x x x =⋅-++⎡⎤⎣⎦--，()()()2222122641216080113434k kk x x k k ⎡⎤-⎢⎥=⋅-+=--++⎢⎥⎣⎦， 所以AN BN k k =-． 当11x =或21x =时,12k =±,此时方程①,0∆=,不合题意.∴直线AN 与直线BN 的倾斜角互补．6. 【山西省榆林市高三第二次模拟】已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的短轴长为.圆E 的圆心在椭圆C 上，半径为2.直线1y k x =与直线2y k x =为圆E 的两条切线.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问：12k k 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】（1）221205x y +=（2）14-【解析】（1）由2b =b =c e a ==2234c a =，∵222a b c =+，∴22534a a -=，解得：2220,5ab ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴椭圆C 的标准方程为：221205x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为直线1y k x =与圆()()2200:4E x x y y -+-=相切，∴2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分整理得：()222010*******x k x y k y --+-=， 同理可得：()222020*******x k x y k y --+-=，所以，12,k k 为方程()22200004240x x x y x y --+-=的两个根…………………………8分∴20122044y k k x -=-，又∵()00,E x y 在椭圆22:1205x y C +=上，∴22005120x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………10分∴20201222005142041444x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，故12k k 是定值为14-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 7. 【2016届江西师大附中、鹰潭一中联考】 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，右顶点(2,0)A 。

专题11：圆锥曲线的基本问题班级 姓名 ．一、课前测试1．(1)椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ． (2)若a ≠0，则抛物线y ＝4ax 2 的焦点坐标为 ． 答案：(1)3或5；(2) (0，116a )．2．(1) 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若△PF 1F 2的面积为9，则b 的值为__________．(2)已知定点A (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的动点，当PA ＋PF 最小时，点P 的坐标为 ． (3) 点F 为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点，过点F 且倾斜角为π3的直线交椭圆于A ,B 两点(AF <BF )，则AFBF ＝ ．答案： (1)3；(2)(2，2); (3)35．3．(1) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a ， 0)， B (0， b )的直线的距离等于b 7， 则椭圆的离心率为 ．(2) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，连接点F 1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ．(3) 已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ,B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 ．(4)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是 ．(5)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为 ．答案：(1)12； (2)3－1；(3) (0，32]；(4)[22，1)；(5)(1，3]．四、反馈练习1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ． 答案：x 23＋y 22＝1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ,C 两点，且∠BFC ＝90°,则该椭圆的离心率是 .答案:63(考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)3．已知方程x 2m 2+n －y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 .答案：(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质)4．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ． 答案：13 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)5．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案：22(考查离心率的计算，点差法，中点坐标公式) 6．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案：x 2＋32y 2＝1 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系)7．点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若ΔPQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ． 答案：(0，6－22) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算) 8．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的下顶点． 过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上， 且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，若B 点坐标为(0，1)，则椭圆 方程是 ．答案：x 212＋y 24＝1 (9．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 212形，则这样的点P 有________个．答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形)10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ． 答案：(13，12)∪(12，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C ．(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2)55．(考查求椭圆的标准方程，离心率问题)12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P 、C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．答案：(1) x 22＋y 2＝1； (2) y ＝x －1或y ＝－x ＋1．(考察椭圆的方程，直线与椭圆位置关系) 13．设椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1).（1）求直线y ＝kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）； （2）若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.答案：(1)2a 2|k |1＋a 2k21＋k 2；(2) (0，22] (考查直线被椭圆截得弦长，圆与椭圆位置关系)14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1、F 2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB 、DC ，分别交椭圆E 于点A 、B 和D 、C .当α＝π4时，点B 坐标为(0，1)．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 当α变化时，讨论线段AD 与BC 长度之间的关系，并给出证明； (3) 当α变化时，求四边形ABCD 面积的最大值及对应的α值． 答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2) AD ＝BC ；(3)α＝π2.(考查椭圆方程，直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值)。

专题八 圆锥曲线 测试卷一、填空题（14*5=70分）1．【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+=，当且仅当1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+= 2. 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=______．【答案】6【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===.3. 【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为______．【答案】43-或34-4. 【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 .【解析】设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点P 到直线01=+-y x 的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，因此c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -==5. 【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于______．【答案】9【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =6. 【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =______．【答案】【解析】7. 【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为______．【答案】191622=-y x 【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=8. 【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是______．【答案】（【解析】由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF ∙ =0000(,),)x y x y -∙- =2220003310x y y +-=-<，解得0y <<9. 【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是______．【答案】()24， 【解析】10. 【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a ______．【答案】(1,0)(0,1)-【解析】由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()bc x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-11. 【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y= 的准线上，则双曲线的方程为______． 【答案】22143x y -=12. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为______．【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =13. 【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2pp == 14. 【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .【答案】5.二、解答题（6*15=90分）15. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦．【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；16. 【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，4417. 【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．【解析】从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()22231C 12k k k +P =+． 因为C 2P =AB，所以(())222223111212k k k k k++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．18. 【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点，且离心率为2．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A ，B 两点， 判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【答案】(Ⅰ)22142x y +=；(Ⅱ) G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,b caa b c ì=ïïï=íïï=+ïî解得2a b c ì=ïï=íïï=î 所以椭圆E 的方程为22142x y +=．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA (,),GB (,).44x y x y =+=+由22221(m 2)y 230,142x my my x y ì=-ï+--=íï+=ïî得所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++，从而121212129955GA GB ()()(my )(my )4444x x y y y y =+++=+++22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y =+++=-+++ 22172016(m 2)m +=>+ 所以cos GA,GB 0,GA GB 狁>又，不共线，所以AGB Ð为锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．19. 【2015高考浙江，理19】已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）m <或m >；（2）2.1(t m =∈，则2||2AB t =+，且O 到直线AB的距离为21t d +=，设AOB ∆的面积为()S t ，∴1()||22S t AB d =⋅=≤，当且仅当212t =时，等号成立，故AOB ∆. 20. 【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .( i )求OQOP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（I ）2214x y +=；（II ）( i )2；（ii）【解析】试题分析：（I ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b 的值，从而得到椭圆的方程；（II ）（i ）设()00,P x y ，OQOP λ= ，由题意知()00,Q x y λλ--，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定λ 的值; （ii ）（II ）由（I ）知椭圆E 的方程为221164x y +=, （i ）设()00,P x y ，OQOP λ= ，由题意知()00,Q x y λλ-- 因为220014x y +=, 又()()22001164x y λλ--+= ，即22200144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以2λ= ，即2OQ OP = . （ii ）设()()1122,,,A x y B x y将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得()2221484160k x kmx m +++-= 由0∆> ，可得22416m k <+ …………………………① 则有21212228416,1414km m x x x x k k-+=-=++所以12x x -=因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m所以OAB ∆的面积2212S m x x =⋅-===。

专题12：圆锥曲线的综合问题班级 姓名一、前测训练1．（1）点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足PA ⊥PF ，则点P 的坐标为 ．（2）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为 ．答案：(1)(32，523)．(2)6． 2．如果椭圆x 240＋y 210＝1的弦被点A (4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是 ． 答案：y ＝x －5．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C . (1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.答案：（1）x 22＋y 2＝1；（2）e ＝12． 四、反馈练习 1．过椭x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则弦AB ＝________. 答案：553（考查：直线被椭圆截得的弦长）2．已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝ ________.答案：1∶5（考查：抛物线定义，直线与抛物线的交点）3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为________． 答案：57（考查：椭圆离心率，椭圆的定义，解三角形）4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.答案：2（考查：双曲线的渐近线，双曲线与抛物线的关系）5．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是 ________.答案：x 24－y 25＝1 （考查：双曲线中的基本量的计算）6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ________. 答案：32（考查内容：双曲线、抛物线中的基本量的计算）7．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为 ________. 答案：33（考查内容：椭圆离心率，椭圆的定义）8． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为 ________. 答案：23（考查：圆与抛物线的交点，待定系数法）9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，B 是它的下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于P ，Q 两点，若点P 恰好是BQ 的中点，则此椭圆的离心率是___. 答案：33(考查：椭圆中基本量计算，椭圆的离心率)10．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．答案：x 2－y 23＝1（考查内容：双曲线与抛物线中基本量之间的关系）11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．答案：(1) y 216＋x 24＝1.(2) y ＝x 或y ＝－x . （考查：椭圆基本量的计算，待定系数法）12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．答案：（1）x 24＋3y 24＝1．（2）2．（3）x ＋y ＝0或x ＝－12．（考查：椭圆中的基本量计算，直线与椭圆的交点）13．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OA ⊥OB ，求直线l 的方程．答案： (1)曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝±2x －2. （考查：点的轨迹，直线与椭圆的交点，根与系数的关系．）14．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(m 3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。