下载文档原格式
第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。
�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。
�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。
2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。
�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。
同学们，淘00宝00搜00店00铺 春少爷33，美00鞋惊喜不断哦第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ; 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++ (2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒=2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(,)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的?(1) yx z -=1解：x y =(2)xy xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， y y x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴 的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：x y zy x z yz x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x ∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x xz ++=解：(1z x∂==∂z y ∂=∂ (4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y xz cos sin =解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim 1y y y e z y∆∆→-==-∆3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y ∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22xz ∂∂，y x z∂∂∂2 解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆， 00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
高等数学同济下册教材目录第一章无穷级数1.1 数项级数1.1.1 数项级数的概念1.1.2 数项级数的性质1.1.3 极限形式的级数1.2 幂级数1.2.1 幂级数的概念1.2.2 幂级数的收敛域1.2.3 幂级数的和函数1.3 函数项级数1.3.1 函数项级数的概念1.3.2 函数项级数的一致收敛性第二章傅里叶级数2.1 傅里叶级数的定义2.1.1 周期函数的傅里叶级数2.1.2 奇偶延拓的傅里叶级数2.2 傅里叶级数的性质2.2.1 傅里叶级数的线性性质2.2.2 傅里叶级数的逐项积分与逐项微分 2.2.3 傅里叶级数的逐项积分和逐项微分 2.3 傅里叶级数的收敛性2.3.1 傅里叶级数一致收敛的性质2.3.2 周期函数的傅里叶级数收敛性2.3.3 局部函数化的傅里叶级数第三章一元函数积分学3.1 定积分3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质3.1.3 线性运算与换元积分法3.2 反常积分3.2.1 第一类反常积分3.2.2 第二类反常积分3.3 微积分基本定理3.3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.3.2 积分求导法3.3.3 函数定积分的应用第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续4.1.1 多元函数的极限4.1.2 多元函数的连续性4.2 多元函数的偏导数与全微分 4.2.1 多元函数的偏导数4.2.2 多元函数的全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数 4.3.1 隐函数的偏导数4.3.2 参数方程的偏导数第五章多元函数的积分学5.1 二重积分5.1.1 二重积分的概念5.1.2 二重积分的性质5.1.3 二重积分的计算方法5.2 三重积分5.2.1 三重积分的概念5.2.2 三重积分的性质5.2.3 三重积分的计算方法5.3 曲线积分与曲面积分5.3.1 第一类曲线积分5.3.2 第二类曲线积分5.3.3 曲面积分第六章多元函数的向量微积分6.1 多元函数的梯度、散度与旋度 6.1.1 多元函数的梯度6.1.2 多元函数的散度6.1.3 多元函数的旋度6.2 多元函数的曲线积分与曲面积分 6.2.1 多元函数的第一类曲线积分 6.2.2 多元函数的第二类曲线积分6.2.3 多元函数的曲面积分第七章序列与函数的多元极限7.1 多元函数的序列极限7.1.1 多元函数序列极限的概念7.1.2 多元函数序列极限的性质7.2 多元函数的函数极限7.2.1 多元函数函数极限的概念7.2.2 多元函数函数极限的性质第八章多元函数的泰勒展开8.1 函数的多元Taylor展开8.1.1 函数的多元Taylor展开定理 8.1.2 函数的多元Taylor展开的应用 8.2 隐函数存在定理与逆函数存在定理 8.2.1 隐函数存在定理8.2.2 逆函数存在定理第九章向量场与散度定理9.1 向量场9.1.1 向量场的定义9.1.2 向量场与流线9.2 散度与散度定理9.2.1 向量场的散度9.2.2 散度定理的概念与性质第十章曲线积分与斯托克斯定理10.1 向量值函数的曲线积分10.1.1 向量值函数的曲线积分的定义 10.1.2 向量值函数的曲线积分的计算 10.2 Stokes定理10.2.1 Stokes定理的概念与性质第十一章重积分与高斯定理11.1 二重积分与三重积分的概念11.1.1 二重积分与三重积分的定义 11.1.2 二重积分与三重积分的性质 11.2 高斯定理11.2.1 高斯定理的概念与性质第十二章序列与级数的广义极限12.1 无穷小量和无穷大量12.1.1 无穷小量的概念与性质12.1.2 无穷大量的概念与性质12.2 级数极限与广义极限12.2.1 级数极限的概念与性质12.2.2 广义极限的概念与性质第十三章多项式逼近与傅里叶级数近似13.1 约束方程组的最小二乘解13.1.1 约束方程组的最小二乘解的概念 13.1.2 约束方程组的最小二乘解的计算 13.2 多项式逼近13.2.1 多项式逼近的概念与性质13.2.2 最佳一致逼近13.3 傅里叶级数的近似13.3.1 傅里叶级数的收敛性13.3.2 傅里叶级数的部分和逼近第十四章偏微分方程初步14.1 偏导数14.1.1 偏导数的定义与性质14.1.2 高阶偏导数14.2 偏微分方程的分类与例子14.2.1 第一阶偏微分方程14.2.2 二阶线性偏微分方程14.2.3 泊松方程与拉普拉斯方程第十五章全微分方程初步15.1 微分方程的定义与解15.1.1 微分方程的概念与性质15.1.2 微分方程解的存在唯一性 15.2 一阶线性微分方程15.2.1 齐次线性微分方程15.2.2 非齐次线性微分方程15.3 可降阶的高阶线性微分方程15.3.1 可降阶的高阶线性微分方程第十六章复变函数初步16.1 复数的性质与运算16.1.1 复数的概念与性质16.1.2 复数的运算与表示16.2 复变函数的导数16.2.1 复变函数的导数的定义 16.2.2 复变函数的导数的性质 16.3 复变函数的积分16.3.1 复变函数的积分的定义 16.3.2 复变函数的积分的性质第十七章应用篇17.1 牛顿法与割线法17.1.1 牛顿迭代法17.1.2 割线法17.2 微分方程的应用17.2.1 放射性衰变方程17.2.3 流体的入口速度与出口速度之间的关系17.3 级数的应用17.3.1 泰勒级数的应用17.3.2 调和级数的收敛性与发散性希望以上内容能满足您对《高等数学同济下册教材目录》的需求，如有任何疑问或其他需求，请随时告知。
高等数学c教材同济高等数学C教材——同济高等数学C是大学本科数学专业的一门重要课程，涵盖了微积分、线性代数和概率统计等内容。
同济大学的高等数学C教材是广大学生学习这门课程的主要参考资料之一。
本文将介绍同济高等数学C教材的特点、内容概述以及学习方法与技巧。
一、同济高等数学C教材的特点同济高等数学C教材以理论与实践相结合的方式进行教学，旨在培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
教材内容丰富全面，注重数学与实际问题的联系，能够帮助学生将理论应用于实际，并提升他们的问题意识和解决问题的能力。
教材的编写风格简明扼要，重点突出，条理清晰。
每个章节都以简短的引言和例题开篇，然后逐步深入探讨相关概念和定理，最后通过习题来帮助学生巩固所学内容。
教材还提供了详细的解答和习题答案，方便学生自我学习和检验。
二、同济高等数学C教材的内容概述同济高等数学C教材共分为十章，具体内容如下：第一章引入与导数1.1 函数的极限与连续性1.2 导数与微分1.3 高阶导数与函数的图像1.4 泰勒公式第二章微分学应用2.1 函数的极值与最值2.2 函数的均值定理2.3 函数的凹凸性与拐点2.4 曲线的单调性与曲率第三章定积分与反常积分3.1 定积分概念与性质3.2 罗尔中值定理与柯西中值定理 3.3 反常积分第四章定积分应用4.1 物理应用题4.2 几何应用题4.3 统计应用题第五章微分方程5.1 微分方程与一阶微分方程5.2 可分离变量与线性微分方程 5.3 齐次与一致变量微分方程5.4 二阶线性微分方程第六章多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性6.2 方向导数与梯度6.3 多元函数的偏导数6.4 隐函数与参数方程第七章重积分7.1 二重积分概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分概念与性质7.4 三重积分的计算方法第八章空间解析几何与曲面积分 8.1 点、直线、面的方程8.2 空间曲线与曲线积分8.3 曲面与曲面积分第九章矢量场与线积分9.1 矢量场的概念与性质9.2 线积分9.3 延伸的格林公式与斯托克斯公式第十章微分方程应用10.1 包络与微分方程10.2 微分方程的模型与应用10.3 系数问题与振动问题10.4 相空间与稳定性三、学习方法与技巧学习高等数学C教材时，有几个重要的方法和技巧可以帮助我们更好地掌握知识：1. 系统学习：按照教材的章节顺序进行学习，逐步扎实地掌握每个知识点，不要跳跃学习或断章取义。
高等数学a同济第六版下册教材高等数学是大学数学的重要基础课程，对于理工科专业学生来说尤为重要。
而同济大学的教材《高等数学A》第六版下册则是数学爱好者和相关专业学生的必备参考书之一。
本文将从不同章节的角度，对该教材进行介绍和评价。
第一章：多元函数微分学本章主要介绍了多元函数的偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则等内容。
教材通过详细的讲解和例题，使读者能够掌握多元函数微分学的基本概念和求导方法。
同时，该章还提供了大量的习题和解答，方便学生进行巩固和练习。
第二章：多元函数的微分学应用该章节将多元函数微分学的知识应用于实际问题的求解中。
通过对曲线、曲面、多元函数的最值问题等进行讲解，帮助读者理解和掌握多元函数微分学在实际应用中的意义和方法。
第三章：重积分重积分作为高等数学中的重要概念，该章节对其进行了深入浅出的讲解。
教材详细介绍了二重积分和三重积分的定义、性质以及求解方法，并通过大量实例来加深学生对重积分的理解和掌握。
第四章：曲线积分与曲面积分这一章主要介绍了曲线积分和曲面积分的概念和计算方法。
通过引入曲线的参数方程和向量积分的知识，帮助读者理解和计算曲线积分。
同时，通过引入曲面的参数方程和向量积分的知识，帮助读者理解和计算曲面积分。
第五章：无穷级数无穷级数是数学中一项重要的研究内容，该章节对无穷级数的收敛性、敛散性进行了详细的讲解。
通过引入幂级数和泰勒级数的知识，帮助读者理解和计算无穷级数，并通过实例让读者加深对无穷级数的理解和掌握。
第六章：函数级数该章节介绍了函数级数的概念、性质和判敛法则。
通过讲解四则运算、复合运算和逐项求导等性质，帮助读者理解函数级数的运算方法并掌握判敛法则。
第七章：常微分方程常微分方程在科学和工程中都有着广泛的应用，该章节对其进行了详细的讲解和求解方法的介绍。
通过多个实例的讲解，读者可以更好地理解和掌握常微分方程的求解过程。
结语通过学习《高等数学A》同济第六版下册教材，读者可以系统地学习和掌握高等数学的基础知识和方法。
第六篇 多元微积分学第九章 多元函数微分学及其应用我们以前学习的函数只有一个自变量,这种函数我们称为一元函数.一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题.但就是,在实际问题中往往牵扯到多方面的因素,解决这类问题必须引进多元函数.本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分及其应用.从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题,而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推.通过本章的学习,学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法、第1节 多元函数的基本概念1、1 平面点集为了介绍二元函数的概念,有必要介绍一些关于平面点集的知识,在一元函数微积分中,区间的概念就是很重要的,大部分问题就是在区间上讨论的.在平面上,与区间这一概念相对应的概念就是邻域.1.1.1 邻域设000(,)P x y 就是xOy 平面上的一定点,δ就是某一正数,与点000(,)P x y 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体,称为点000(,)P x y 的δ邻域,记为0(,)δU P ,即{}00(,)U P P P P δδ=<,亦即 {}0(,)(,U P x y δδ=<.0(,)δU P 在几何上表示以000(,)P x y 为中心,δ为半径的圆的内部(不含圆周).上述邻域0(,)δU P 去掉中心000(,)P x y 后,称为000(,)P x y 的去心邻域,记作o0(,)U P δ.{}o0(,)(,)0U P x y δδ=<<、如果不需要强调邻域的半径δ,则用0()U P 表示点000(,)P x y 的邻域,用o0()U P 表示000(,)P x y 的去心邻域.1.1.2 区域下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系.设E 就是xOy 平面上的一个点集,P 就是xOy 平面上的一点,则P 与E 的关系有以下三种情形:(1) 内点:如果存在P 的某个邻域()U P ,使得()⊂U P E ,则称点P 为E 的内点.(2) 外点:如果存在P 的某个邻域()U P ,使得()=∅U P E ,则称P 为E 的外点.(3) 边界点:如果在点P 的任何邻域内,既有属于E 的点,也有不属于E 的点,则称点P 为E 的边界点.E 的边界点的集合称为E 的边界,记作∂E .例如:点集(){}221,|01=<+<E x y xy ,除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都就是1E 的内点,圆外部的点都就是1E 的外点,圆心及圆周上的点为1E 的边界点;又如平面点集(){}2,|1=+≥E x y x y ,直线上方的点都就是2E 的内点,直线下方的点都就是2E 的外点,直线上的点都就是2E 的边界点(图9—1).图9—1显然,点集E 的内点一定属于E ;点集E 的外点一定不属于E ;E 的边界点可能属于E ,也可能不属于E .如果点集E 的每一点都就是E 的内点,则称E 为开集,点集(){}221,|01=<+<E x y xy 就是开集,(){}2,|1=+≥E x y x y 不就是开集.设E 就是开集,如果对于E 中的任何两点,都可用完全含于E 的折线连接起来,则称开集E 就是连通集(图9—2) .点集E 1与E 2都就是连通的,点集(){}3,|0=>E x y xy 不就是连通的(图9—2).图9—2连通的开集称为开区域(开域).从几何上瞧,开区域就是连成一片的且不包括边界的平面点集.如E 1就是开区域.开区域就是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广.开区域E 连同它的边界E ∂构成的点集,称为闭区域(闭域),记作E (即=E E E +∂). 闭区域就是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广.如E 2及(){}224,|1=+≤E x y xy 都就是闭域,而(){}225,|12=≤+<E x y xy 既非闭域,又非开域.闭域就是连成一片的且包含边界的平面点集.本书把开区域与闭区域统称为区域.如果区域E 可包含在以原点为中心的某个圆内,即存在正数r ,使(),E U O r ⊂,则称E 为有界区域,否则,称E 为无界区域.例如E 1就是有界区域,E 2就是无界区域.记E 就是平面上的一个点集,P 就是平面上的一个点.如果点P 的任一邻域内总有无限多个点属于点集E ,则称P 为E 的聚点.显然,E 的内点一定就是E 的聚点,此外,E 的边界点也可能就是E 的聚点.例如,设(){}226,|01=<+≤E x y xy ,那么点()0,0既就是6E 的边界点又就是6E 的聚点,但6E 的这个聚点不属于6E ;又如,圆周221x y +=上的每个点既就是6E 的边界点,也就是6E 的聚点,而这些聚点都属于6E .由此可见,点集E 的聚点可以属于E ,也可以不属于E .再如点()7111111=1,1(,)(,),,(),2233，，E n n⎧⎫⎨⎬⎩⎭,原点()0,0就是它的聚点,7E 中的每一个点都不就是聚点.1.1.3 n 维空间R n一般地,由n 元有序实数组()12,,,n x x x 的全体组成的集合称为n 维空间,记作R n .即 (){}12,,,|,1,2,,n n i R x x x x R i n =∈=.n 元有序数组()12,,,n x x x 称为n 维空间中的一个点,数x i 称为该点的第i 个坐标.类似地规定,n 维空间中任意两点()12,,,n P x x x 与()12,,,n Q x x x 之间的距离为PQ =前面关于平面点集的一系列概念,均可推广到n 维空间中去,例如,0∈nP R ,δ就是某一正数,则点0P 的δ邻域为(){}00|,,n U P P PP P R δδ=<∈.以邻域为基础,还可以定义n 维空间中内点、边界点、区域等一系列概念.1、2 多元函数的概念1.2.1 n 元函数的定义定义1 设D 就是n R 中的一个非空点集,如果存在一个对应法则f , 使得对于D 中的每一个点()12,,,n P x x x ,都能由f 唯一地确定一个实数y ,则称f 为定义在D 上的n 元函数,记为()()1212,,,,,,,n n y f x x x x x x D =∈.其中12,,,n x x x 叫做自变量,y 叫做因变量,点集D 叫做函数的定义域,常记作()D f .取定()12,,,n x x x D ∈,对应的()12,,,n f x x x 叫做()12,,,n x x x 所对应的函数值.全体函数值的集合叫做函数f 的值域,常记为()f D ［或()R f ］,即()()()(){}1212|,,,,,,,n n f D y y f x x x x x x D f ==∈.当n =1时,D 为实数轴上的一个点集,可得一元函数的定义,即一元函数一般记作(),,y f x x D D R =∈⊂;当n =2时,D 为xOy 平面上的一个点集,可得二元函数的定义,即二元函数一般记作()()2,,,,z f x y x y D D R =∈⊂,若记(),P x y =,则也记作()z f P =.二元及二元以上的函数统称为多元函数.多元函数的概念与一元函数一样,包含对应法则与定义域这两个要素.多元函数的定义域的求法,与一元函数类似.若函数的自变量具有某种实际意义,则根据它的实际意义来决定其取值范围,从而确定函数的定义域、 对一般的用解析式表示的函数,使表达式有意义的自变量的取值范围,就就是函数的定义域.例1 在生产中,设产量Y 与投入资金K 与劳动力L 之间的关系为Y AK L αβ=(其中,,A αβ均为正常数).这就是以K ,L 为自变量的二元函数,在西方经济学中称为生产函数.该函数的定义域为(){},|0,0K L K L >>.例2 求函数()ln z y x =-的定义域D ,并画出D 的图形.解 要使函数的解析式有意义,必须满足220,0,10,y x x x y ->⎧⎪≥⎨⎪-->⎩即(){}22,|0,,1D x y x x y xy =≥<+<,如图9—3划斜线的部分.图9—3 图9—41.2.2、 二元函数的几何表示设函数(),=z f x y 的定义域为平面区域D ,对于D 中的任意一点(),P x y ,对应一确定的函数值()(),=z z f x y .这样便得到一个三元有序数组(),,x y z ,相应地在空间可得到一点(),,M x y z .当点P 在D 内变动时,相应的点M 就在空间中变动,当点P 取遍整个定义域D 时,点M 就在空间描绘出一张曲面S (图9—4).其中()()(){},,|,,,S x y z z f x y x y D ==∈.而函数的定义域D 就就是曲面S 在xO y 面上的投影区域.例如z ax by c =++表示一平面;221z x y =--表示球心在原点,半径为1的上半球面.1、3二元函数的极限二元函数的极限概念就是一元函数极限概念的推广.二元函数的极限可表述为定义1 设二元函数()z f P =的定义域就是某平面区域D ,P 0为D 的一个聚点,当D 中的点P 以任何方式无限趋于Ｐ0时,函数值f (P )无限趋于某一常数A ,则称A 就是函数()f P 当P 趋于P 0时的(二重)极限.记为lim ()P P f P A →=或()0()f P A P P →→,此时也称当0→P P 时()f P 的极限存在, 否则称()f P 的极限不存在.若0P 点的坐标为00(,)x y ,P 点的坐标为(),x y ,则上式又可写为()()00,lim (,),→=x y x y f x y A 或 f (x , y )→A (x →x ０,y →y ０).类似于一元函数,()f P 无限趋于A 可用()f P A ε-<来刻画,点(),P P x y =无限趋于0000(,)P P x y =可用22000()()P P x x y y δ=-+-刻画,因此,二元函数的极限也可如下定义.定义2 设二元函数()(,)z f P f x y ==的定义域为D ,000(,)P x y 就是D 的一个聚点,A 为常数.若对任给的正数ε,不论ε多小,总存在0δ>,当(,)P x y D ∈,且0P P δ=时,总有(),f P A ε-<则称A 为()z f P =当0P P →时的(二重)极限.注 ①定义中要求0P 就是定义域D 的聚点,就是为了保证在P 0的任何邻域内都有D 中的点.②注意到平面上的点P 趋近于0P 的方式可以多种多样:P 可以从四面八方趋于0P ,也可以沿曲线或点列趋于0P .定义1指出:只有当P 以任何方式趋近于0P ,相应的()f P 都趋近于同一常数A 时,才称A 为()f P 当0P P →时的极限.如果(,)P x y 以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线)趋于000(,)P x y 时,即使函数值()f P 趋于同一常数A ,我们也不能由此断定函数的极限存在.但就是反过来,当P 在D 内沿不同的路径趋于0P 时,()f P 趋于不同的值,则可以断定函数的极限不存在.③二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质与法则,这里不再一一叙述.例3 设222222,0,(,)0,0,xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩判断极限()(),0,0lim (,)→x y f x y 就是否存在?解 当(,)P x y 沿x 轴趋于(0,0)时,有y =0,于就是()()22,0,00lim (,)lim00→→===+x y x y f x y x ; 当(,)P x y 沿y 轴趋于(0,0)时,有x =0,于就是()()22,0,000lim (,)lim00→→===+x y y x f x y y .但不能因为(,)P x y 以上述两种特殊方式趋于(0,0)时的极限存在且相等,就断定所考察的二重极限存在.因为当(,)P x y 沿直线()0=≠y kx k )趋于(0,0)时,有()()2222,0,00lim(,)lim (1)1→→===++x y x y kxkx kf x y k x k, 这个极限值随k 不同而变化,故()(),0,0lim (,)→x y f x y 不存在.例4 求下列函数的极限:(1) ()(),0,0lim →x y()()222,0,0lim →+x y xy x y ; (3)()(,0,0ln 1lim →+x y xy . 解 (1)()()()(()(,0,0,0,0,0,01limlim lim 4→→→==-=-x y x y x y .(2)当0,0→→x y 时,220x y +≠,有222x y xy +≥.这时,函数22xyx y +有界,而y 就是当x →0且y →0时的无穷小,根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量,得()()222,0,0lim 0→=+x y xy x y . (3)()(()(()(,0,0,0,0,0,0ln 1limlimlim1→→→+===x y x y x y xy .从例4可瞧到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同.1、4 二元函数的连续性类似于一元函数的连续性定义,我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性. 定义3 设二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,如果()()()00,0,0lim.(,)→=x y f x y f x y ,则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续,000(,)P x y 称为(,)f x y 的连续点;否则称(,)f x y 在000(,)P x y 处间断(不连续),000(,)P x y 称为(,)f x y 的间断点.与一元函数相仿,二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续,必须满足三个条件:①函数在点000(,)P x y 有定义;②函数在000(,)P x y 处的极限存在;③函数在000(,)P x y 处的极限与000(,)P x y 处的函数值相等,只要三条中有一条不满足,函数在000(,)P x y 处就不连续.由例3可知,222222,0,(,)0,0,xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)处间断;函数1z x y =+在直线0x y +=上每一点处间断.如果(,)f x y 在平面区域D 内每一点处都连续,则称(,)f x y 在区域D 内连续,也称(,)f x y 就是D 内的连续函数,记为()(,)f x y C D ∈.在区域D 上连续函数的图形就是一张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲面.一元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适用,故二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数(在商的情形要求分母不为零);二元连续函数的复合函数也就是连续函数.与一元初等函数类似,二元初等函数就是可用含,x y 的一个解析式所表示的函数,而这个式子就是由常数、x 的基本初等函数、y 的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的,例如()sin x y +,22xy x y +,arcsin xy等都就是二元初等函数.二元初等函数在其定义域的区域内处处连续.与闭区间上一元连续函数的性质相类似,有界闭区域上的连续函数有如下性质.性质1(最值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,则(,)f x y 在D 上必取得最大值与最小值.推论 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,则(,)f x y 在D 上有界.性质2 (介值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,M 与m 分别就是(,)f x y 在D 上的最大值与最小值,则对于介于M 与m 之间的任意一个数C ,必存在一点00(,)x y D ∈,使得00(,)f x y C =.以上关于二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质,可类推到三元以上的函数中去.习题9—11.判断下列平面点集哪些就是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点组成的点集与边界、(1) (){},|0,0≠≠x y x y ; (2) (){}22,|14<+≤x y xy ;(3)(){}2,|>x y y x .2.求下列函数的定义域,并画出其示意图:(1)z = (2)1ln()z x y =-;(3)=z(4)=u .3.设函数()32,23f x y x xy y =-+,求 (1)()2,3f -; (2)12,f x y ⎛⎫⎪⎝⎭; (3) (),f x y x y +-、 4.讨论下列函数在点()0,0处的极限就是否存在: (1) 24xy z x y =+; (2)x yz x y+=-. 5.求下列极限: (1)()(),0,0sin lim→x y xyx; (2)()()22,0,11lim →-+x y xy x y ;(3)()(,1,0ln lim→+y x y x e ; (4)()(),0,0lim→x y .6.证明:二元函数()22220,,0,0.+≠=+=⎩x y f x y x y 在()0,0点连续.7.设二元函数()()11sin sin ,0,,0,0.⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y xy x y f x y xy ,试判断(),f x y 在点()0,0处的连续性.8.函数2222+=-y xz y x在何处就是间断的？第2节 偏导数与全微分2、1 偏导数的概念 2.1.1 偏导数的定义在研究一元函数时,我们从研究函数的变化率引入了导数概念.由于二元函数的自变量有两个,关于某点处函数的变化率问题相当复杂,因此我们不能笼统地讲二元函数在某点的变化率.在这一节,我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率,这就就是偏导数的概念.设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某邻域内有定义,x 在0x 有改变量()0x x ∆∆≠,而0y y =保持不变,这时函数的改变量为()()0000,,x z f x x y f x y ∆=+-,x z ∆称为函数(),f x y 在()00,x y 处关于x 的偏改变量(或偏增量).类似地可定义(),f x y 关于y 的偏增量为()()0000,,y z f x y y f x y ∆=+-.有了偏增量的概念,下面给出偏导数的定义.定义1 设函数(),z f x y =在()00,x y 的某邻域内有定义,如果000000(,)(,)limlimx x x z f x x y f x y x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在,则称此极限值为函数(),z f x y =在()00,x y 处关于x 的偏导数,并称函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于x 可偏导.记作000000,,,(,).======∂∂∂∂x x x x y y y y x x xy y x zf z f x y xx类似地,可定义函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于自变量y 的偏导数为00000(,)(,)limlimy y y z f x y y f x y yy∆→∆→∆+∆-=∆∆,记作000000,,,(,).======∂∂∂∂x x x x y y y y x x yy y y z f z f x y yy如果函数(),z f x y =在区域D 内每一点(),x y 处的偏导数都存在,即(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆存在,则上述两个偏导数还就是关于x ,y 的二元函数,分别称为z 对x ,y 的偏导函数(简称为偏导数).并记作,,,(,)(,)或或或，∂∂∂∂∂∂∂∂x y x y z z f fz z f x y f x y x y x y. 不难瞧出,(),z f x y =在()00,x y 关于x 的偏导数00(,)x f x y 就就是偏导函数(,)x f x y 在()00,x y 处的函数值,而00(,)y f x y 就就是偏导函数(,)y f x y 在()00,x y 处的函数值. 由于偏导数就是将二元函数中的一个自变量固定不变,只让另一个自变量变化,相应的偏增量与另一个自变量的增量的比值的极限;因此,求偏导数问题仍然就是求一元函数的导数问题.求fx∂∂时,把y 瞧做常量,将(),z f x y =瞧做x 的一元函数对x 求导;求f y ∂∂时,把x 瞧做常量,将(),z f x y =瞧做y 的一元函数对y 求导.三元及三元以上的多元函数的偏导数,完全可以类似地定义与计算,这里就不讨论了. 例1 求函数()sin +xyz x y e =在点()1,1-处的偏导数.解 将y 瞧成常量,对x 求导得e [cos()sin()]xy zx y y x y x∂=+++∂; 将x 瞧成常量,对y 求导得e [cos()sin()]xy zx y x x y y∂=+++∂. 再将1,1x y ==-代入上式得111111e ,e x x y y z z xy--===-=-∂∂==∂∂.例2 求函数22ln 4z x y y x =++的偏导数.解 22z y xy x x ∂=+∂,22ln zx y x y∂=+∂. 例3 设()0,1yz xx x =>≠,求证:12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂.证 因为1y zyx x-∂=∂,ln y z x x y ∂=∂,所以111ln 2ln ln y yy y x z z x yx x x x x z y x x y y x-∂∂+=+=+=∂∂. 例4 求函数()2sin x u x y e =+-的偏导数. 解 将y 与z 瞧做常量,对x 求导得()2cos z ux y e x∂=+-∂, 同样可得()22cos x u y x y e y ∂=+-∂,()2cos z z u e x y e z∂=-+-∂. 2.1.2 二元函数偏导数的几何意义由于偏导数实质上就就是一元函数的导数,而一元函数的导数在几何上表示曲线上切线的斜率,因此,二元函数的偏导数也有类似的几何意义.设(),z f x y =在点()00,x y 处的偏导数存在,由于00(,)x f x y 就就是一元函数()0,f x y 在0x 处的导数值,即00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故只须弄清楚一元函数()0,f x y 的几何意义,再根据一元函数的导数的几何意义,就可以得到00(,)x f x y 的几何意义.(),z f x y =在几何上表示一曲面,过点()00,x y 作平行于xz 面的平面0y y =,该平面与曲面(),z f x y =相截得到截线1Γ:0(,),.z f x y y y =⎧⎨=⎩若将0y y =代入第一个方程,得()0,z f x y =.可见截线Γ１就是平面0y y =上一条平面曲线,1Γ在0y y =上的方程就就是()0,z f x y =.从而00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示1Γ在点()()000001,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对x 轴的斜率(图9-5).同理,00(,)y f x y ＝00d (,)d y y f x y y =⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示平面0x x =与(),z f x y =的截线 2Γ:0(,),.z f x y x x =⎧⎨=⎩在()()000002,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对y 轴的斜率(图9—5).图9—5例5 讨论函数222222,0,(,)0,0,xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处的两个偏导数就是否存在.解 0(0,0)(0,0)(0,0)limx x f x f f x∆→+∆-=∆220(0)0(0)0lim 0x x x x ∆→+∆-+∆+==∆. 同样有(0,0)0=y f .这表明(),f x y 在(0,0)处对x 与对y 的偏导数存在,即在(0,0)处两个偏导数都存在.由上节例3知:该函数在(0,0)处不连续.本例指出,对于二元函数而言,函数在某点的偏导数存在,不能保证函数在该点连续.但在一元函数中,我们有结论:可导必连续.这并不奇怪,因为偏导数只刻画函数沿x 轴与y 轴方向的变化率,00(,)x f x y 存在,只能保证一元函数()0,f x y 在x 0处连续,即0y y =与(),z f x y =的截线1Γ在()0000,,M x y z 处连续.同时00(,)y f x y 只能保证2Γ在()0000,,M x y z 处连续,但两曲线1Γ,2Γ在()0000,,M x y z 处连续并不能保证曲面(),z f x y =在()0000,,M x y z 处连续.2、2 高阶偏导数设函数(),z f x y =在区域D 内具有偏导数zx∂∂=(,)x f x y ,(,)∂=∂y z f x y y ,那么在D 内(,)x f x y 及(,)y f x y 都就是x , y 的二元函数.如果这两个函数的偏导数还存在,则称它们就是函数(),z f x y =的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:22()(,)∂∂∂==∂∂∂xx z zf x y x x x,2()(,)∂∂∂==∂∂∂∂xy z z f x y y x x y ,2()(,)∂∂∂==∂∂∂∂yx z z f x y x y y x ,22()(,)∂∂∂==∂∂∂yy z zf x y y y y, 其中xy f (或12f '')与yx f (或21f '')称为(),f x y 的二阶混合偏导数.同样可定义三阶,四阶,…,n 阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 求函数2sin =+z xy x y 的所有二阶偏导数与32zy x∂∂∂. 解 因为zx∂∂=y +2x sin y , z y ∂∂=x +x 2cos y ,所以 22zx∂∂=2sin y , 2z x y ∂∂∂＝1＋2x cos y , 2z y x ∂∂∂=1+2x cos y , 22z y ∂∂=x 2sin y ,322cos zy y x ∂=∂∂. 从本例我们瞧到22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂,即两个二阶混合偏导数相等,这并非偶然. 事实上,有如下定理.定理1 如果函数(),z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂与2zy x∂∂∂在区域D 内连续,则在该区域内有22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂. 定理1表明:二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关、对于二元以上的函数,也可以类似的定义高阶偏导数,而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.例7 验证函数22ln z x y =+满足方程22220z zx y∂∂+=∂∂.解 ()22221ln 2z x y x y =+=+ 所以2222,,z x z y x x y y x y∂∂==∂+∂+()()()2222222222222x y x x z y x x x y x y +-⋅∂-==∂++, ()()()2222222222222x y y y z x y y x y x y +-⋅∂-==∂++, 故()()222222222222220z z y x x y x y x y x y ∂∂--+=+=∂∂++.2、3 全微分2.3.1 全微分的概念我们知道,一元函数()y f x =如果可微,则函数的增量Δ y 可用自变量的增量Δx 的线性函数近似求得.在实际问题中,我们会遇到求二元函数(),z f x y =的全增量的问题,一般说来,计算二元函数的全增量Δ z 更为复杂,为了能像一元函数一样,用自变量的增量Δx 与Δ y 的线性函数近似代替全增量,我们引入二元函数的全微分的概念.定义2 设函数(),z f x y =在()000,P x y 的某邻域内有定义,如果函数z 在0P 处的全增量()()0000,,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示成()+ρ∆=∆+∆z A x B y o ,其中A ,B 就是与Δx ,Δy 无关,仅与00,x y 有关的常数,ρ＝22()()x y ∆+∆,o (ρ)表示当Δx →0,Δy →0时关于ρ的高阶无穷小量,则称函数(),z f x y =在()000,P x y 处可微,而称∆+∆A x B y 为(),f x y 在点()000,P x y 处的全微分,记作0d x x y y z==或00d x x y y f==,即00d ===∆+∆x x y y zA xB y .若(),z f x y =在区域D 内处处可微,则称(),f x y 在D 内可微,也称(),f x y 就是D 内的可微函数.(),z f x y =在(),x y 处的全微分记作d z ,即d =∆+∆z A x B y .二元函数(),z f x y =在点P (x ,y )的全微分具有以下两个性质: (1) d z 就是,∆∆x y 的线性函数,即d =∆+∆z A x B y ;(2) z d ∆≈z ,()()z d 0ρρ∆-=→z o ,因此,当,∆∆x y 都很小时,可将dz 作为计算Δ z的近似公式.多元函数在某点的偏导数即使都存在,也不能保证函数在该点连续.但就是对于可微函数却有如下结论:定理2 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微,则函数在该点必连续. 这就是因为由可微的定义,得()()(),,+ρ∆=+∆+∆-=∆+∆z f x x y y f x y A x B y o()(),0,0lim 0x y z ∆∆→∆=,即()(),0,0lim (,)(,)x y f x x y y f x y ∆∆→+∆+∆=.即函数(),z f x y =在点(),x y 处连续.一元函数可微与可导就是等价的,那么二元函数可微与可偏导之间有何关系呢? 定理3 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微,则(),z f x y =在该点的两个偏导数,z zx y∂∂∂∂都存在,且有 z z dz x y x y∂∂=∆+∆∂∂. 证 因为函数(),z f x y =在点(),x y 处可微,故()+ρ∆=∆+∆z A x B y o , ρ令0y ∆=,于就是()(),,x z f x x y f x y A x o ∆=+∆-=∆+.由此得 ()()000(),,limlim lim x x x x x x f x x y f x y zx x x xοA A ∆→∆→∆→∆∆+∆-∆==+=∆∆∆∆,即zA x∂=∂. 同理可证得zB y∂=∂. 定理3的逆命题就是否成立呢? 即二元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该点可微分呢? 一般情况下答案就是否定的.如函数222222,0,(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在()0,0处两个偏导数都存在,但(),f x y 在()0,0处不连续,由定理2知,该函数在()0,0处不可微.但两个偏导数既存在且连续时,函数就就是可微的.我们不加证明地给出如下定理.定理 4 如果函数(),z f x y =在(),x y 处的偏导数,z z x y∂∂∂∂存在且连续,则函数(),z f x y =在该点可微.类似于一元函数微分的情形,规定自变量的微分等于自变量的改变量.即d ,d =∆=∆x x y y ,于就是由定理3有d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂. 以上关于二元函数的全微分的概念及结论,可以类推到三元以上的函数中去.比如若三元函数(),,=u f x y z 在点(),,P x y z 处可微,则它的全微分为d d d d u u u u x y z x y z∂∂∂=++∂∂∂. 例8 求下列函数的全微分:(1) 2sin 2=z x y ; (2) =yzu x .解 (1) 因为2sin 2∂=∂zx y x,22cos 2∂=∂z x y y ,所以22sin 22cos 2=+dz x ydx x ydy .(2) 因为1-∂=∂yz uyzx x,ln ∂=∂yz u zx x y ln ∂=∂yz uyx x z, 所以 1ln ln -=++yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz .例9 求xyz xy e =+在点()1,2处的全微分.解 因xy zy ye x ∂=+∂,xy zx xe y ∂=+∂得 11222222e ,1e x x y y z z xy====∂∂=+=+∂∂,于就是 ()()1222d 22e d 1e d x y zx y ===+++ .3.1.2全微分的运算法则类似于一元函数微分的运算法则,有定理5 (全微分四则运算法则) 设(),f x y ,(),g x y 在(),P x y 处可微,则 1) ()()+±+f x y g x y 在(),x y 处可微,且[][][]()()()()+±+=+±+d f x y g x y d f x y d g x y ;2) 若k 为常数,()+kf x y 在点(),x y 处可微,且[][]()()+=+d kf x y kd f x y ;3) ()()+⋅+f x y g x y 在点(),x y 处可微,且[][][]()()()()()()+⋅+=+++++d f x y g x y g x y d f x y f x y d g x y ;4) 当g (x ,y )≠0时,()()f x yg x y ++在点(),x y 处可微,且 2()()d ()()d ()d ()()f x y g x y f x y f x y g x y g x y g x y ⎡⎤++++++=⎢⎥++⎣⎦. 例10 求()22sin z x x y =+的全微分.解()()22222sin 2cos zx y x x y x∂=+++∂,()222cos z xy x y y ∂=+∂,()()()222222sin sin sin dz d x x y xd x y x y dx ⎡⎤⎡⎤=+=+++⎣⎦⎣⎦ ()()()2222222sin 2cos 2cos x y x x y dx xy x y dy ⎡⎤=+++++⎣⎦习题9—21.求下列各函数的偏导数:(1) 22365z x xy y =++; (2) ln y z x=; (3) xyz xye =; (4) yz u x =.2.已知()(),2xf x y x y e =+,求()0,1x f ,()0,1y f .3.设z x y =+求()()3,40,5,z z xy∂∂∂∂.4.设11+=e x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求证:222z z xy z x y∂∂+=∂∂.5.求下列函数的所有二阶偏导数.(1) 44224z x y x y =+-; (2) ()cos sin x z e y x y =+;(3) ()ln z x xy =; (4) arctan x u y=. 6.设()222,,f x y z xy yz zx =++,求()()()0,0,1,1,0,2,0,1,0xx xz yz f f f -及()2,0,1zzx f .7.验证r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.8.求下列函数的全微分、(1) 32645z xy x y =+; (2) x yz e =;(3 ) xz xyy=+; (4) z =.9.设()1,,zy f x y z x ⎛⎫=⎪⎝⎭,求()1,1,1|dz . 10.设,1,1,0.15,0.1,xyz e x y x y ===∆=∆=求dz .第3节 多元复合函数与隐函数的求导法则3、1复合函数的求导法则 3.1.1 复合函数的求导法则现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形,多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用.定理 1 设函数(),z f u v =), 其中()u x ϕ=,()v x ψ=.如果函数()u x ϕ=,()v x ψ=都在x 点可导,函数(),z f u v =在对应的点(),u v 处可微,则复合函数()()(),z f x x ϕψ=在x 处可导,且d d d d d d z z u z vx u x v x∂∂=+∂∂. (9-3-1) 证 设自变量x 的改变量为Δx ,中间变量()u x ϕ=与()v x ψ=的相应的改变量分别为Δu 与Δv ,函数z 的改变量为Δz .因(),z f u v =在(),u v 处可微,由可微的定义有()()+z zz dz o u v o u vρρ∂∂∆=+=∆+∆∂∂,其中ρ=,()()00o ρρ→→,且0()lim0ρορρ→=,故有()z z u z v x u x v x xορρρ∆∂∆∂∆=++∆∂∆∂∆∆. 因为()u x ϕ=与()v x ψ=在点x 可导,故当x ∆→时,Δu →0,Δv →0,ρ→0,u x ∆∆→d d u x ,v x ∆∆→d d v x. 在上式中令Δx →0,两边取极限,得d d z z du z dvx u dx v dx∂∂=+∂∂. 注意,当Δx →0时,()xορρρ∆→0.这就是由于limlim x x xρ∆→∆→==∆这说明Δx →0时,xρ∆就是有界量,()ορρ为无穷小量.从而()ορρxρ∆→0(Δx →0). 用同样的方法,可以得到中间变量多于两个的复合函数的求导法则.比如(),,z f u v w =,而()u x ϕ=,()v x ψ=,()w w x =,则 d d d d d d d d z zu z v z wx u x v x w x∂∂∂=++∂∂∂. (9-3-2)例1 设2z u v =,cos u t =,sin v t =求.dz dt解 利用公式(9-3-1)求导,因为22,=z zuv u u v ∂∂∂∂=, d sin d u t t =-, d cos d v t t=, 所以 223d d d sin cos 2cos sin cos d d d z z u z vuv t u t t t t t u t v t∂∂=+=-+=-+∂∂.本题也可将cos u t =,sin v t =代入函数2z u v =中,再用一元函数的取对数求导法,求得同样的结果.观察公式(9-3-1) ,(9-3-2)可以知道,若函数z 有2个中间变量,则公式右端就是2项之与,若z 有3个中间变量,则公式右端就是3项之与,一般地,若z 有几个中间变量,则公式右端就是几项之与,且每一项都就是两个导数之积,即z 对中间变量的偏导数再乘上该中间变量对x 的导数.公式(9-3-1),(9-3-2)可借助复合关系图来理解与记忆.图9—6公式(9-3-1) ,(9-3-2)称为多元复合函数求导的链式法则.上述定理还可推广到中间变量依赖两个自变量x 与y 的情形.关于这种复合函数的求偏导问题,有如下定理:定理 2 设(),=z f u v 在(u ,v )处可微,函数(),=u u x y 及(),=v v x y 在点(),x y 的偏导数存在,则复合函数()()(),,,z f u x y v x y =在(),x y 处的偏导数存在,且有如下的链式法则,.z z u z vx u x v xz z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂⎧=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=+∂∂∂∂∂⎪⎩(9-3-3) 可以这样来理解(9-3-3):求zx∂∂时,将y 瞧做常量,那么中间变量u 与v 就是x 的一元函数,应用定理1即可得zx∂∂.但考虑到复合函数()()(),,,z f u x y v x y =以及(),=u u x y 与(),=v v x y 都就是x , y 的二元函数,所以应把(9-3-1)中的全导数符号“d ”改为偏导数符号“∂”.公式(9-3-3)也可以推广到中间变量多于两个的情形.例如,设(),u x y ϕ=,(),v x y ψ=,(),w w x y =的偏导数都存在,函数(),,z f u v w =可微,则复合函数()()()(),,,,,z f u x y v x y w x y =对x 与y 的偏导数都存在,且有如下链式法则,.z z u z v z wx u x v x w xz z u z v z w y u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪=++∂∂∂∂∂∂∂⎪⎩ (9-3-4) 特别对于下述情形:(),,z f u x y =可微,而(),u x y ϕ=的偏导数存在,则复合函数()(),,,z f x y x y ϕ=对x 及y 的偏导数都存在,为了求出这两个偏导数,应将f 中的变量瞧做中间变量:(),,,u x y v x w y ϕ===.此时,1,=0,0,=1v v w wx y x y∂∂∂∂∂∂∂∂==. 由公式(9-3-4)得,.z f f ux x u x z f f u y y u y ∂∂∂∂⎧=+⋅⎪∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂⎪=+⋅∂∂∂∂⎪⎩(9-3-5) 注 这里z x ∂∂与f x ∂∂的意义就是不同的.fx ∂∂就是把(),,f u x y 中的u 与y 都瞧做常量对x 的偏导数,而zx∂∂却就是把二元复合函数()(),,,f x y x y ϕ中y 瞧做常量对x 的偏导数.公式(9-3-3),(9-3-4),(9-3-5)可借助图9—7理解.图9—7例2 设sin ,,uz e v u xy v x y ===+, 求,z z x y∂∂∂∂. 解e sin e cos 1u u z z u z v v y v x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂ ()()e sin cos xy y x y x y =+++⎡⎤⎣⎦,=e sin e cos 1u u z z u z vv x v y u y v y∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ ()()e sin cos xy x x y x y =+++⎡⎤⎣⎦.例3 设(),z f u v =可微,求()22,xy z f x y e =-对x 及y 的偏导数.解 引入中间变量22u x y =-,xyv e =,由(9-3-3)得2222122e 2(,e )e (,e )xy xy xy xy z f f x y xf x y y f x y x u v∂∂∂''=+=-+-∂∂∂,222212(2)e 2(,e )e (,e )xy xy xy xy z f f y x yf x y x f x y y u v∂∂∂''=-+=--+-∂∂∂. 注 记号221(,e )xy f x y '-与222(,e )xyf x y '-分别表示(),f u v 对第一个变量与第二个变量在(22,e xyx y -)处的偏导数,可简写为1f '与2f ',后面还会用到这种表示方法.例4 设,x y z xyf y x ⎛⎫=⎪⎝⎭, 1221=(,(,)(,)()z x y x y x y y yf xy f f x y x y x yy x x ⎡⎤∂''+⎢⎥∂-⎣⎦)+ 212(,(,)(,)x y x y y x y yf xf f y x y x x y x''=-)+,1221=,,(),+z x y x y x x y xf +xy f f yy x y x y y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂''-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 212,,,x y x x y x y xf f yf y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.下面给出经济学中经常遇到的齐次函数的概念.设函数(),z f x y =的定义域为D ,且当(),x y D ∈时,对任给的t ∈R ,t ＞0,仍有(),tx ty D ∈.如果存在非负常数k ,使对任意的(),x y D ∈,恒有()(),,k f tx ty t f x y =,则称二元函数(),z f x y =为k 次齐次函数.k =1时,称为线性齐次函数.例5 证明k 次齐次函数(),f x y 满足(,)(,)(,)x y xf x y yf x y kf x y ''+=.证明 在(),z f tx ty =中,令,u tx v ty ==,当取定一点(),x y 时(),f tx ty 就是t 的一元函数,于就是有d d d (,)(,)d d d x y z z u z v f tx ty x f tx ty y t u t v t∂∂''=+=+∂∂. 又因为(),kz t f x y =,所以有1d (,)d k zkt f x y t-=. 因此,对任意的t ,有1(,)(,)(,)k x y f tx ty x f tx ty y kt f x y -''+=、3.1.2 全微分形式不变性我们知道一元函数的一阶微分形式具有不变性,多元函数的全微分形式也具有不变性.下面以二元函数为例来说明.设(),z f u v =具有连续偏导数,则有全微分d d d z z z u v u v∂∂=+∂∂. 如果u ,v 就是中间变量,即(),u x y ϕ=,(),v x y ψ=,且这两个函数也具有连续偏导数,则复合函数()()(),,,z fx y x y ϕψ=的全微分为d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂d d z u z v z u z v x y u x v x u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ d d d d z u u z v v x y x y u x y v x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ d d z z u v u v∂∂=+∂∂. 可见,无论z 就是自变量u ,v 的函数还就是中间变量u ,v 的函数,它的全微分形式都就是一样的,这种性质叫做多元函数的全微分形式的不变性.例6 利用一阶全微分形式的不变性求函数()22,xy z f x y e =-的偏导数与全微分. 解 引入中间变量22,xyu x y v e =-=,则(),z f u v =.2212d d d d()d(e )xy z z z u v f x y f u v∂∂''=+=-+∂∂ 2212(d d )e d()xy f x y f xy ''=-+ 12(2d 2d )e (d d )xy f x x y y f y x x y ''=-++ 1212(2e )d (2e )d xy xy xf y f x yf x f y ''''=++-+.因此12=2e xy zxf y f x∂''+∂,12=2e xy z yf x f y ∂''-+∂.3、2 隐函数的偏导数在一元函数的微分学中,我们曾介绍了隐函数的求导方法:方程(),0F x y =两边对x 求导,再解出y ′.现在我们介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式. 3.2.1 一个方程的情形定理3 设函数(),F x y 在点()000,P x y 的某一邻域内有连续的偏导数且()00,0F x y =,()00,0y F x y ≠,则方程(),0F x y =在点()000,P x y 的某邻域内惟一确定一个具有连续导数的函数()y f x =,它满足条件()00y f x =,并且有d d x y F yx F '=-'. (9-3-6) 公式(9-3-6)就就是隐函数的求导公式.这里仅对公式(9-3-6)进行推导.将函数()y f x =代入方程(),0F x y =得恒等式。
