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2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离基础过关练题组一点到直线的距离1.已知直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l1的距离为 ()A.1B.2C.√2D.2√22.(2021山东菏泽郓城一中高二上第一次月考)已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则|PQ|的最小值为()A.2B.95 C.85D.753.(2021山东济宁实验中学高二月考)点P(-5,7)到直线12x+5y-1=0的距离为.4.(2021山东德州夏津一中高二上月考)已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为12,则a=.5.在直线x+3y=0上求一点P,使点P到原点的距离和到直线x+3y-2=0的距离相等.题组二两条平行直线间的距离6.(2021江西南昌二中高二上月考)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为 ()A.8B.4C.85 D.327.(2020浙江杭州高二上期末)已知P、Q分别为直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0上的两个动点,则线段PQ的长度的最小值为 ()A.35 B.1 C.65D.28.(2020重庆一中高二上期中)已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2之间的距离为()A.15B.√55C.35D.3√559.已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.题组三距离公式的综合应用10.到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=011.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为()A.(0,5]B.(0,5)C.(0,+∞)D.(0,√17]12.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为()A.0B.1C.2D.313.已知△ABC的三个顶点的坐标是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).(1)求BC边所在直线的方程;(2)求△ABC的面积.能力提升练题组一点到直线的距离1.()过点A(1,2),且与原点距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=02.(多选)()已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为 ()A.-6B.1C.-12D.123.(2020安徽合肥一中高二上期中,)点A(1,1)到直线x cos θ+y sin θ-2=0的距离的最大值是.题组二两条平行直线间的距离4.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3√2B.2√3C.3√3D.4√25.(2019河北衡水冀州中学高一月考,)已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:(1)P是第一象限的点;(2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的12;(3)P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是√2∶√5?若能,求出P点的坐标;若不能,说明理由.题组三距离公式的综合应用6.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B(32,12),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为()A.√1302B.√13+3√22C.√13D.3√27.(多选)(2021山东德州夏津一中高二上月考,)已知直线l的一个方向向量为u=(-√36,12),且l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是()A.l的倾斜角等于150°B.l在x轴上的截距等于2√33C.l与直线√3x-3y+2=0垂直D.l上不存在与原点距离等于18的点8.(2021山东新泰中学高二上月考,)已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.(1)证明:直线恒过定点P;(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为多少?(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.答案全解全析基础过关练1.C由已知得,k l1=-a,k l2=1,∵l1⊥l2,∴-a×1=-1,解得a=1.此时直线l1的方程为x+y-1=0,∴点(1,2)到直线l1的距离d=|1+2-1|√12+12=√2,故选C.2.B由题意得|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,∴|PQ|min=√9+16=95.故选B.3.答案 2解析点P到直线的距离d=|12×(-5)+5×7-1|√122+52=2.4.答案±√33解析由点到直线的距离公式得|3+a-3|√1+a2=12,解得a=±√33.5.解析由题意可设P(-3y0,y0),则√9y02+y02=00√12+32,即√10|y0|=√10∴y0=±15.故点P的坐标为(-35,15)或(35,-15).6.D易得l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d=|-14-1|√62+82=32,故选D.7.B由直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0,可得直线l1与l2平行.当PQ的长度为两平行线间的距离时,线段PQ的长度最小,则l1与l2之间的距离为√32+42=1,故线段PQ的长度的最小值为1.故选B.8.D由l1∥l2得,a=-12,因此l1:2x−y−2=0,∴l1与l2之间的距离d=|-2-1|√22+(-1)2=√5=3√55,故选D.9.解析①若直线l1,l2的斜率存在,设直线l1,l2的斜率均为k,则l 1的斜截式方程为y =kx +1,即kx -y +1=0,l 2的点斜式方程为y =k (x -5),即kx -y -5k =0,因为直线l 1过点A (0,1),所以点A 到直线l 2的距离d =√k 2+(-1)2=5,所以25k 2+10k +1=25k 2+25,解得k =125,所以l 1的方程为12x -5y +5=0,l 2的方程为12x -5y -60=0.②若l 1,l 2的斜率不存在,则l 1的方程为x =0,l 2的方程为x =5,它们之间的距离为5,满足条件.综上所述,满足条件的直线方程有两组:l 1:12x -5y +5=0,l 2:12x -5y -60=0或l 1:x =0,l 2:x =5.10.D 依题意知,所求点的轨迹为直线,且与已知直线3x -4y -1=0平行,设所求直线方程为3x -4y +C =0(C ≠-1),根据两条平行直线间的距离公式,得√32+42=|C+1|5=2,则C 1=-11或C 2=9,故所求点的轨迹方程为3x -4y -11=0或3x -4y +9=0,故选D.11.A 易知两直线之间的最大距离为P ,Q 两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ |=√(2+1)2+(-1-3)2=5.故l 1,l 2之间的距离d 的取值范围为(0,5].12.C 由{x -2y +3=0,2x +3y -8=0,得{x =1,y =2,即直线l 过点Q (1,2).因为|PQ |=√(1-0)2+(2-4)2=√5>2,所以满足条件的直线l 有2条.故选C .13.解析 (1)由题可知,直线BC 过点B (2,3),C (3,-2),∴方程为x -23-2=y -3-2-3,化简得5x +y -13=0,∴直线BC 的方程为5x +y -13=0.(2)由题可知|BC|=√(3-2)2+(-2-3)2=√26,A(1,1)到直线BC的距离d=|5+1-13|√25+1=7√2626,∴S△ABC=12·|BC|·d=12×√26×7√2626=72.能力提升练1.A根据题意得,当所求直线与直线OA垂直时,原点到所求直线的距离最大,因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y−2=−12(x-1),即x+2y-5=0,故选A.2.AD由题意得|3m+2+3|√m2+1=|-m+4+3|√m2+1,解得m=−6或m=12,故选AD.3.答案2+√2解析依题意得,点(1,1)到直线的距离d=√cos2θ+sin2θ=|cos θ+sin θ−2|=|√2sin(θ+π4)-2|.当sin(θ+π4)=−1时,dmax=|−√2-2|=2+√2.4.A由题意知,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则|c+7|√2=|c+5|√2即c=−6,所以点M在直线x+y−6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y−6=0的距离,即|-6|√2= 3√2.5.解析能.设存在满足条件的点P(x0,y0).若点P满足条件(2),则有|2x0-y0√22+(-1)2=12·|-4x00√(-4)2+22,化简得2x0−y0+132=0或2x0−y0+116=0.若P 点满足条件(3),则由点到直线的距离公式,有00√22+(-1)2=√2√5·00√12+12,即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|, ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0.又P 是第一象限的点,∴3x 0+2=0不合题意,故舍去. 由{2x 0-y 0+132=0,x 0-2y 0+4=0得{x 0=-3,y 0=12,不合题意,故舍去.由{2x 0-y 0+116=0,x 0-2y 0+4=0得{x 0=19,y 0=3718.∴P (19,3718)为同时满足题中三个条件的点. 6.B 如图,由平行线间的距离公式得|PQ |=3√22.过点A 作垂直于l 1的直线,并截取|AA'|=|PQ |. 设点A'(x 0,y 0),则{x 0=-3+3√22×√22=-32,y 0=-3+3√22×√22=-32.因此,点A'(-32,-32),则|A′B|=√13.连接A'B ,A'Q ,则四边形AA'QP 是平行四边形, 故|AP |+|QB |=|A'Q |+|QB |≥|A'B |=√13.因此,|AP |+|PQ |+|QB |≥3√22+√13.故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为3√22+√13.7.CD因为直线l的一个方向向量为u=(-√36,12 ),所以直线l的斜率k=12-√36=−√3,设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°),则tan α=-√3,所以α=120°,所以A错误;因为l经过点(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-√3(x−1),令y=0,则x=−2√33+1,所以l在x轴上的截距为-2√33+1,所以B错误;直线√3x−3y+2=0的斜率为√33,直线l的斜率为−√3,因为−√3×√33=−1,所以l与直线√3x-3y+2=0垂直,所以C正确;原点到直线l的距离d=|2-√3|√12+(√3)=2-√32>18,所以l上不存在与原点距离等于18的点,所以D正确,故选CD.8.解析(1)证明:直线方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,整理得(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0,因为对任意m等式恒成立,所以{-x+2y+3=0,2x+y+4=0,解得{x=-1,y=-2,所以直线恒过定点P(-1,-2).(2)由题意得,点Q与定点P(-1,-2)的距离就是点Q到直线距离的最大值, 即√(-1-3)2+(-2-4)2=2√13.因为k PQ=4-(-2)3-(-1)=32,所以(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0的斜率为-23,可得−23=−2-m2m+1,解得m=47.综上,当m=47时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为2√13.(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,直线方程为y+2=k(x+1),k<0,则A(2k-1,0),B(0,k-2),所以S△AOB=12|2k-1||k-2|=1 2(-2k+1)(−k+2)=2+(2-k+-k2)≥2+2√2-k ·-k2=4,当且仅当k=-2时取等号,所以△AOB的面积的最小值为4,此时直线的方程为2x+y+4=0.。
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《2.3.2 两点间的距离公式》同步练习题-带答案一、选择题1．若光线从点(3,3)P -射到y 轴上 经y 轴反射后经过点(1,5)Q -- 则光线从点P 到点Q 走过的路程为( )A.10B.517+C.45D.172．已知三角形的三个顶点(2,4)A ，(3,6)B -和(5,2)C ，则过A 点的中线长为( ) 10 B.210 C.112 D.3103．已知ABC △的三个顶点分别为(2,3)A ，(1,0)B -和(2,0)C ，则ABC △的周长是( ) A.23 B.323+ C.632+ D.6104．已知点(,)P x y 为直线0x y -=上的动点2222(2)(4)(2)(1)m x y x y =-+-++-，则m 的最小值为( ) A.5B.6C.37D.39二、多项选择题5．直线10x y +-=上与点(2,3)P -2的点的坐标是( )A.(4,5)-B.(3,4)-C.(1,2)-D.(0,1) 6．对于225x x ++，下列说法正确的是( )A.可看作点(,0)x 与点(1,2)的距离B.可看作点(,0)x 与点(1,2)--的距离C.可看作点(,0)x 与点(1,2)-的距离D.可看作点(,1)x -与点(1,1)-的距离三、填空题7．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：22()()x a y b -+-可以转化为平面上点(,)x y 与点(,N a b 的距离.结合上述观点，可得22420210x x x x -+-+的最小值为___________.8．设m ∈R ，过定点A 的动直线20x my +-=与过定点B 的动直线40mx y -+=交于点(),P x y ，则PA ⋅的最大值是_________.9．已知点()2,1A --，(),3B a 且5AB =，则a 的值为_______.10．在直角坐标系xOy 中，点()0m ,到定点()0,2，()1,1距离之和的最小值是______.四、解答题11．已知：()8,6A - ()3,1B -和(),7C t .（1）若A B C 三点共线 求t 的值； （2）若CA CB = 求t 的值.12．求满足下列条件的直线方程.1.经过点()1,3A -- 且斜率等于直线3810x y +-=斜率的3倍;2.过点()0,4M 且与两坐标轴围成的三角形的周长为12.参考答案1．答案：C解析：找到Q 点关于y 轴的对称点1(1,5)Q -由对称性可知P Q 间距离等于1,P Q 间的距离 求得221||4845PQ PQ ==+=.故选：C.2．答案：B解析：设过A 点中线长即为线段AD .D 为BC 中点：3562,22D +-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(4,2)D 22||(42)(24)436210AD ∴=-+--=+=故选：B.3．答案：C 解析：由题意知22||(12)(03)32AB =--+-= 22||(22)(03)3AC =-+-=22||(21)(00)3BC =++-=故ABC △的周长为||||||632AB AC BC ++=+.故选：C.4．答案：C 解析：2222(2)(4)(2)(1)m x y x y =-+-++-表示点(,)x y 到点(2,4)B 和点(2,1)A -的距离之和.因为点(2,4)B 关于直线0x y -=的对称点为(4,2)B '，所以m 的最小值为点(4,2)B '与点(2,1)A -之间的距离，即22min (42)(21)37m AB =++-='=.此时点P 为AB 与y x =的交点. 故选：C.5．答案：BC解析：设所求点的坐标为(),1a a -22(2)(13)2a a ++--=，解得3a =-或1a =-，所以所求点的坐标为(3,4)-或(1,2)-.故选BC.6．答案：BCD解析：对于A ，点(,0)x 与点的距离为222(1)(02)25x x x -+-=-+，故A 不正确；对于B ，点(,0)x 与点(1,--的距离为222(1)(02)25x x x +++=++，故B 正确；对于C ，点,0)x 与点(-的距离为222(1)(02)25x x x ++-=++，故C 正确；对于D ，点,1)x -与点(1,1)-的距离为222(1)(11)25x x x ++--=++，故D 正确.7．答案：52解析：设22()420210f x x x x x =-+-+，则2222()(2)(04)(1)(03)f x x x =-+--+-，所以()f x 的几何意义为点(,0)M x 与两定点(2,4)A ，(1,3)B 之间的距离之和，如图.设点(2,4)A 关于x 轴的对称点为1A ，则1A 的坐标为(2,4)-，||MA MA =所以1|||||MA MB MA MB +=+.故要求()f x 的最小值，即求1||MB +的最小值.又2211||(21)(43)52MA MB A B +≥=-+--=，所以22()420210f x x x x x =-+-+的最小值为52.8．答案：10解析：由20x my +-=得20x my -+=，故()2,0A 由40mx y -+=得()0,4B 由于直线20x my +-=与直线40mx y -+=互相垂直，所以PA PB ⊥ 故2224PA PB AB +==+所以22210PA PB PA PB PA PB +≥⇒≤ 当且仅当=PA 时取等号，故⋅的最大值是10故答案为：109．答案：1或-5解析：由两点间距离公式得()()2222135a --+--=，所以()229a +=，所以23a +=±，即1a =或5a =-.故答案为：1或-5.1010解析：()0,2A 关于x 轴的对称点坐标为()0,2B -连接点()0,2B -与点()1,1C ，与x 轴的交点即为(),0D m由对称性可知：AD BD =，所以AD CD BD CD +=+由两点之间，线段最短可知： 线段BC 的长即为点()0m ,到定点()0,2，()1,1距离之和的最小值 ()211210BC =++= 1011．答案：（1）5t =-（2）16t =解析：（1）16138AB k -+==-- 若A B C 三点共线 所以AB BC k k =即7113t +=-- 解得5t =-； （2）CA CB = 则()()222281338t t -+=-+ 解得16=.12．答案：1.因为3810x y +-=可化为3188y x =-+所以直线3810x y +-=的斜率为38-则所求直线的斜率39388k ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 又所求直线经过点()1,3--因此所求直线的方程为()9318y x +=-+即98330x y ++=. 2.设直线与 x 轴的焦点为(),0a 因为点()0,4M 在y 轴上 所以由题意由2244||12a a +++= 解得3a =±所以直线l 的方程为134x y +=或134x y +=- 即43120x y +-=或43120x y -+=.。
2.3.2 两点间的距离公式 -B 提高练一、选择题1．（2020全国高二课时练）已知点(),2P a ,()2,3Q --,()1,1M ,且PQ PM =,则a 的值是( ) A ．2-B ．2C ．92-D ．92 【正确答案】C【详细解析】因为点(),2P a ,()2,3Q --,()1,1M ,且PQ PM =,=解得92a =-. 2．（2020福建三明一中高二期中）在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则222||||PA PB PC +=( )A ．2B ．4C ．5D ．10 【正确答案】D【详细解析】将直角三角形的直角顶点C 与原点重合,设(,0)B a ,(0,)A b ,那么,22a b D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,44a b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭那么22222222299||||1616161610||1616a b b a PA PB a b PC ++++==+,故选D ． 3．（2020宁夏银川一中高二月考）已知(cos ,sin )P αα,(cos ,sin )Q ββ,则||PQ 的最大值为（） AB ．2 C．4 D ．【正确答案】B【详细解析】∵(cos ,sin )P αα,(cos ,sin )Q ββ,∴||PQ=== ∵cos()[1,1]αβ-∈-,∴||[0,2]PQ ∈.故选B .4．（2020湖南师大附中高二月考）已知ABC 的三个顶点分别是()1,5A ,()2,4B -,()6,4C --,M 是边BC 上的一点,且ABM 的面积等于ABC 面积的14,那么线段AM 的长等于（ ）．A ．5B ．52 CD【正确答案】A 【详细解析】由于ABM ∆的面积等于ABC ∆面积的14,故14BM BC =,设(),M x y ,由14BM BC =得()()()12,44,81,24x y +-=--=--,解得3,2x y =-=,即()3,2M -,所以5AM ==.故选A.5．（多选题）（2020全国高二课时练）一条平行于x 轴的线段长是5个单位,它的一个端点是A (2,1),则它的另一个端点B 的坐标可能是 ( )A ．(－3,1)B ．(2,7)C ． (7,1)D ．(2,－3)【正确答案】AC【详细解析】∵AB ∥x 轴,∴设B (a,1),又|AB |＝5|2|a -,∴a ＝－3或7.故正确答案为AC.6.（多选题）（2020青岛八中高二月考）等腰直角三角形ABC 中,∠C ＝90°,若点A,C 的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B 的坐标可能是( )A ． (6,4)B ．(2,0)C ．(4,6)D ．(0,2) 【正确答案】BC【详细解析】设()B x y ，,则3431303y x --⎧=-⎪--=解得20x y =⎧⎨=⎩或46x y =⎧⎨=⎩,故选BC 二、填空题7．（2020上海高二课时练）若直线1:320--=l ax y 过定点A ,直线2:(41)210-+-=l a x ay 过定点B ,则,A B两点间的距离是____________．【详细解析】由3020x y =⎧⎨--=⎩得02x y =⎧⎨=-⎩,所以(0,2)A -,直线2l 方程变形为:(42)10x y a x +--=,由42010x y x +=⎧⎨--=⎩解得12x y =-⎧⎨=⎩,即(1,2)B -,所以AB ==． 8．（2020山东菏泽三中高二月考）在直线x －y ＋4＝0上取一点P,使它到点M(－2,－4),N(4,6)的距离相等,则点P 的坐标为________. 【正确答案】35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【详细解析】设直线40x y -+=上一点(),4P x x +,则P 到点()24M --，,()46N ，的距离相等,=解得32x =-,∴35422y =-+=, ∴点P 的坐标为35,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 9．（2020上海高二课时练）复数(1)(1)i i i -+在复平面中所对应点到原点的距离是________. 【正确答案】2 【详细解析】22(1)(1)11122221i i i i i i i i i i i -+-+======--,所以,复数(1)(1)i i i -+在复平面内,对应点的坐标为()0,2-,所以,复数(1)(1)i i i-+2=. 10．（2020·广东东莞四中高二月考）已知点(0,0),(4,0),(0,4)O A B . 若从点(1,0)P 射出的光线经直线AB 反射后过点(2,0)Q -,则反射光线所在直线的方程为_____________;若从点(,0),(0,4)M m m ∈射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是__________（结果用m 表示）.【正确答案】220xy【详细解析】设点(1,0)P 关于直线AB 的对称点为()00,P x y ',直线AB :40x y +-=,所以()00000111104022y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩解得04x =,03y =,故()4,3P ',由(2,0)Q -P Q '∴:()()300242y x --=+--,即220x y . 点(,0),(0,4)M m m ∈关于y 轴对称点(),0P m ''-,设关于直线AB 对称点()11,P x y ''', 由()111101104022y x m x m y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩解得14x =,14y m =-,故()4,4P m '''-. 故P P '''''== 三、解答题11．（2020上海高二课时练）已知:四边形ABCD 是等腰梯形,(0,3),(1,0),(3,0)A B C -且//AB CD ,求梯形各边所在直线的方程．【详细解析】AB l 过点A 且一个方向向量是()1,3BA =,则03:13AB x y l --=,即330x y -+=; BC l 过点B 且一个方向向量是()11,04BC =,则:0BC l y =; CD l 过点C 且一个方向向量是()1,3,则30:13CD x y l --=,即390x y --=; 设点D 的坐标为(,)a b ,由于点D 在直线CD l 上,且||||AD BC =,则16390,5345a a b b ⎧⎧=⎪--=⎪⎪⇒⎨=⎪=⎪⎩或43a b =⎧⎨=⎩, 当43a b =⎧⎨=⎩时,四边形ABCD 是平行四边形,舍去, 所以点D 的坐标是163,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． AD l 过点A 且一个方向向量是5(4,3)4AD =-, 则03:43AD x y l --=-,即34120x y +-=． 12．（2020福建莆田一中高二月考）如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足）,测得AB =10,AC =6,BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;（2）在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;（3）对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d （单位:百米）.求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离．【详细解析】解法一:（1）过A 作AE BD ⊥,垂足为E .由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.因为PB ⊥AB , 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==,所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处,由（1）可得E 在圆上,则线段BE 上的点（除B ,E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由（1）知10AD ==, 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设x y a M N +=⋅为l 上一点,且1PB AB ⊥,由（1）知,115PB =, 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=; 当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=. 由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,CQ ===此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+.解法二:（1）如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,−3.因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4,3）,B （−4,−3）,直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为43-,直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13,9）,15PB =.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处,取线段BD 上一点E （−4,0）,则EO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处,连结AD ,由（1）知D （−4,9）,又A （4,3）,所以线段AD :36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3,154）,因为5OM ==, 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设x y a M N +=⋅为l 上一点,且1PB AB ⊥,由（1）知,115PB =,此时()113,9P -;当∠OBP >90°时,在1PPB △中,115PB PB >=.由上可知,d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知,要使得QA≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,设Q （a ,9）,由15(4)AQ a ==>,得a =4+所以Q （4+）,此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当P （−13,9）,Q （4+）时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+.。
点到直线的距离、两平行线间的距离层级一 学业水平达标1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B.2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y－4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c ＋1|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k .又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0. 由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)， ∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2. 10.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.层级二 应试能力达标1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.1020C.104D.71020解析：选D ∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020，选D.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．如果点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3及直线x ＝－12的距离都相等，那么满足条件的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 因为点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3的距离相等，所以点P 在线段AB 的垂直平分线y ＝32上．直线AB 与直线x ＝－12平行，且两平行线间的距离为1.又1<|AB |2＝32，所以满足条件的点P 有1个．4．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选B 将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 是经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1,1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.5．已知5x ＋12y ＝60，则 x 2＋y 2的最小值是________．解析：x 2＋y 2表示直线5x ＋12y ＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x ＋12y ＝60的垂线段的长最小，故最小值为d ＝6052＋122＝6013.答案：60136．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析：由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．答案：27．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：由题意知，若截距为0， 可设直线l 的方程为y ＝kx . 由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0. 由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ，y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.8．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解：由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间的距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )，则|PQ |＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2，于是问题转化为求|PQ |2的最大值、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，|PQ |取得最大值，即(－2－1)2＋(－2－0)2＝13.当PQ ⊥AB 时，|PQ |取得最小值，此时|PQ |为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝52＝522，∴252≤(a ＋2)2＋(b ＋2)2≤13.。
《2.3.4 两条平行线间的距离》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条平行线间的距离。
学习本节的目的是让学生会求两条平行线间的距离。
希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。
本节重点是距离公式的推导和应用。
解决问题的关键是理解距离公式的推导。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条平行线间的距离公式的推导B.会求两条平行直线间的距离．C.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：两条平行线间的距离公式2.逻辑推理：两条平行线间的距离公式的推导3.数学运算：两条平行线间的距离公式的应用4.数学建模：距离公式【教学重点】：理解和掌握两条平行线间的距离公式【教学难点】：应用距离公式解决综合问题【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。
思考1：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C. 点到点的距离二、探究新知思考2：已知两条平行直线l 1,l 2的方程，如何求l 1与l 2间的距离？ 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l 1上取任一点P (x 0,y 0)，,点P (x 0,y 0)到直线l 2的距离就是直线l 1与直线l 2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。
两条平行直线间的距离1. 定义：夹在两平行线间的__________的长. 公垂线段2. 图示：3. 求法：转化为点到直线的距离. 1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ． 5 D [d ＝|－5|12＋22＝ 5.选D.]三、典例解析例1.求证两条平行直线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离为d =|C 1−C 2|√A 2+B 2分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离证明:在直线Ax +By +C 1=0上任取一点P (x 0,y 0),点P (x 0,y 0)到直线Ax +By +C 2=0的距离，就是这两条平行线间的距离即 d =|Ax 0+By 0+C 2|√A 2+B 2，因为点P (x 0,y 0)在直线Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0, 即Ax 0+By 0=−C 1因此d =|Ax 0+By 0+C 2|√A 2+B 2=|−C 1+C 2|√A 2+B 2=|C 1−C 2|√A 2+B 2通过生活中两平行线间距离的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略。
3.3.2 两点间的距离【课时目标】 1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．1．若平面上两点P 1、P 2的坐标分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1、P 2两点间的距离公式为|P 1P 2|＝________________．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离为|OP|＝________．2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：________________________________________________．第二步：________________________．第三步：____________________________________．一、选择题1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－62．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )A ．5B ．4 2C ．25D ．2104．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝55．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA|＋|MB|最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫225，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，225 6．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x ，y)到原点的距离是________．8．点M 到x 轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________．9．等腰△ABC 的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC 边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．三、解答题10．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．13．求证：x2＋y2＋x21－y2＋1－x2＋y2＋1－x21－y2≥22．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．3．3．2 两点间的距离答案知识梳理1．x 2－x12y2－y12x2＋y22．建立坐标系，用坐标表示有关的量进行有关代数运算把代数运算结果“翻译”成几何关系作业设计1．A [由324－b 2＝5，解得b ＝0或8．]2．B 3．C [设A(a,0)，B(0，b)，则a 2＝2，b 2＝－1， 解得a ＝4，b ＝－2，∴|AB|＝25．]4．B [设到A 、B 距离相等的点P(x ，y)，则由|PA|＝|PB|得，4x －2y ＝5．]5．B[(如图)A 关于x 轴对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 坐标为(1,0)．]6．A [由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0．]7．17解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴d ＝42＋12＝17．8．(2,10)或(－10,10)解析 设M(x ，y)，则|y|＝x ＋42y －22＝10． 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－10，y ＝10． 9．2 6解析 |BD|＝12|BC|＝2，|AD|＝5－324－02＝25．在Rt △ADB 中， 由勾股定理得腰长|AB|＝22252＝26．10．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)． 由|AB|2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5．当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0．11．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m ，n)，则|AB|＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 2，n 2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE|＝c ＋m 2－m 2＝c 2， 所以|DE|＝12|AB|． 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．解原式可化为y ＝x －420－22 ＋x －020－12．考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA ′|＋|PB|≥|A ′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为A ′B 的长度．由两点间的距离公式可得|A ′B|＝422－12＝5， 所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5．13．证明如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝2，|AB|＋|AD|≥|BD|＝2，∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥22(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．。
3.3.2《两点间的距离公式》同步练习一、选择题1．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标是( )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－3)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5) [答案] A[解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7.2．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210 [答案] C[解析] 设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝(0－4)2＋(－2－0)2＝20＝2 5.3．△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－4，－4)、B (2,2)、C (4，－2)，则三角形AB 边上的中线长为( )A ．26B ．65C ．29D ．13 [答案] A[解析] AB 的中点D 的坐标为D (－1，－1)．∴|CD |＝(－1－4)2＋(－1－(－2))2＝26；故选A.4．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [答案] C[解析] |AB |＝(3－0)2＋(2－5)2＝32，|BC |＝(0－4)2＋(5－6)2＝17，|AC |＝(3－4)2＋(2－6)2＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，且|AB |2≠|AC |2＋|BC |2.∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( )A ．895B ．175C ．135D ．115[答案] C[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)． 6．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( )A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53， 由|P A |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13， 即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)．二、填空题7．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝________.[答案] 1或3[解析] 由题意得(m －5)2＋(－1－m )2＝25，解得m ＝1或m ＝3.8．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝________.[答案] 12[解析] (a －1)2＋(3＋1)2＝(4－a )2＋(5－3)2， 解得a ＝12. 9．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为________．[答案] (9,0)或(－1,0)[解析] 设P (a,0)，则(a －4)2＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)．三、解答题10．求证：等腰梯形的对角线相等．[证明] 已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )．则|AC |＝(－b ＋a )2＋(c －0)2＝(a －b )2＋c 2，|BD |＝(b －a )2＋(0－c )2＝(a －b )2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．11．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k (x －1)又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7， 而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)， 又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得 (k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝5⇒k ＝－34， 此时l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0.而当l 2的斜率不存在时，l 2的方程为x ＝1.此时点B 坐标为(1,4)，则|AB |＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.12．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ，所以C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，所以k AC ·k DM ＝－1，即3－00－5·3－05－x ＝－1.所以x ＝3.2，即BM ＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得DM ＝(5－3.2)2＋(3－0)2＝3534.。
高中数学人教A 版必修Ⅱ系列训练9：两点间的距离；点到直线的距离一、选择题：1、点P （0，5）到直线y=2x 的距离是 （ ）A 、52BC 、32D 2、点P （2，m ）到直线l ：5x-12y+6=0的距离为4，则m= （ ）A 、1B 、-3C 、1或53D 、-3或1733、动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为 （ ）A B 、 C D 、24、两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0的距离是 （ ）A 、213B 、113C 、126D 、526 5、过点（1，3）且与原点的距离为1的直线共有 （ ）A 、3条B 、2条C 、1条D 、0条6、到直线3x-4y+1=0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是 （ ）A 、3x-4y+4=0B 、3x-4y+4=0或3x-4y-12=0C 、3x-4y+16= 0D 、3x-4y+16=0或3x-4y-14=0二、填空题：7、若A （7，8），B （10，4），C （2，-4），则△ABC 的面积是………………………；8、直线3x-y+4=0与6x-2y-1=0是一个圆的两条平行切线，那么该圆的面积是…………………..；9、若点P （3，t ）到直线的距离等于1，则t=……………………….。
三、解答题：10、在直线x+3y=0上求一点P ，使它到原点的距离与到直线x+3y-2=0的距离相等。
11、已知直线l经过P（-1，1），它被两平行线l1：x+2y-1=0及l2：x+2y-3=0所截得的线段M1M2的中点M在直线l3：x-y-1=0上，试求直线l的方程。
12、求经过直线7x+7y-24=0和x-y=0的交点，且与原点距离为125的直线方程。
高中数学人教A 版必修Ⅱ系列训练9： 两点间的距离；点到直线的距离参考答案一、选择题: BDBCBD二、填空题：7、28 8、 16081π 9、333-或 三、解答题：10、），（）或，（51535153--P P11、2x + 7y – 5 = 012、4x +3y -12 = 0或3x + 4y – 12 = 0。
课后导练基础达标1两点P 1（-1,3),P 2(2,5)之间的距离为_________解析：由|P 1P 2|=13)53()21(22=-+--. 答案：132已知两点P 1(0,10),P 2(a,-5)之间的距离是17，则a 的值是________.解析：由条件知2215+a =17.∴a 2=64,∴a=±8.答案：±83已知A(a,3),B(3,3a+3)两点间的距离是5，则a 的值为__________.解析：由229)3(a a +-=5,得a=-1或58. 答案：-1或58 4已知点A(4,12),在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13,则点P 的坐标为________. 解析：设P （x 0，0）则22012)4(+-x =13，解得x 0=-1或x 0=9.答案：（-1，0）或（9，0）5已知A(1,5),B(5,-2)在x 轴上的点M 与A 、B 的距离相等，则点M 的坐标为____________. 解析：设M （x 0，0）由|AM|=|BM|得4)5(5)1(20220+-=+-x x ,解得x 0=83. 答案：（83，0） 6点P 1(a,b)关于直线x+y=0的对称点是P 2，P 2关于原点O 的对称点是P 3，则|P 1P 3|=_________. 解析：由条件知P 2（-b ，-a ），P 3（b ，a ），∴|P 1P 3|=2)()(22=-+-a b b a |a-b|. 答案：2|a-b|7已知A(3,-1)、B(5,-2)，点P 在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P 的坐标是（ ）A.（1,-1)B.(-1,1)C.(513,513-) D.(-2,2) 解析：设点A （3，-1）关于x+y=0的对称点为A′,则A′(1,-3),连A′B,则直线A′B 方程为y+3=41(x-1). 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+.513,513)1(413,0y x x y y x 解得 答案：C8x 轴上任一点到定点(0,2),(1,1)距离之和的最小值是（ ）A.2B.2+2C.10D.5+1解析：设点（0，2）关于x 轴对称点为A ，则A （0，-2），两点（0，-2）与（1，1）之距为所求，即1091=+.答案：C综合运用9动点P 在直线x+y-1=0上运动，Q （1，1）为定点，当|PQ|最小时，点P 的坐标为________. 解析：设P （x,1-x ）由两点距离公式得|PQ|=21)21(2122)1(2222+-=+-=+-x x x x x , x=21时|PQ|最小. 答案：（21，21） 10 一条直线l 过点P （3，2）,并且和直线l 1:x-3y+10=0交于A 点，l 和直线l 2：2x-y-8=0相交于点B ，若点P 为线段AB 中点.求l 方程.解：由条件可设A （3y 0-10,y 0），∵AB 中点为P （3，2），∴B （16-3y 0,4-y 0）又知B 在l 2上，∴2（16-3y 0）-(4-y 0)-8=0,得y 0=4,∴A(2,4),又知直线l 过点A ，P ，则l 方程为y-4=-2(x-2)，即2x+y-8=0.11已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明|AM|=21|BC|. 证明：如右图，以AB 所在的直线为x 轴，AC 边所在直线为y 轴，建立直角坐标系，设B （b,0）,C(0,c)中点坐标公式知M （2,2c b ）, ∴|AM|=|OM|=22222144c b c b +=+ 又|BC|=22c b +,故|AM|=21|BC|. 拓展探究12（1）已知点P 是平面上一动点，点A （1，1），B （2，-2）是平面上两个定点，求|PA|2+|PB|2的最小值，并求此时P 的坐标.（2）求函数f(x)=371213422+-++-x x x x 的最小值.解：（1）设P （x ，y ）(x ∈R,y ∈R)则|PA|=22)1()1(-+-y x ,|PB|=22)2()2(++-y x ， ∴|PA|2+|PB|2=(x 2-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x 2-6x+5+2y 2+2y+5=2(x-23)2+2(y+21)2+8, ∴x=23,y=-21时|PA|2+|PB|2最小. 故|PA|2+|PB|2最小值为8，此时P （23，-21）. （2）如图f(x)=222222)10()6()30()2(1)6(9)2(-+-+-+-=+-++-x x x x设A （2，3）,B （6，1）,P （x ，0），则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A 关于x 轴的对称点A′(2,-3),∵|PA′|+|PB|≥|AB′|=24,∴|PA|+|PB|≥24.∴f(x)的最小值为24。
