2018-2019学年人教A版必修一1.1.1第2课时集合的表示学业分层测评

第一章1.1 1.1.2 集合间的基本关系课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则下列关系中正确的是( ) A ．A ∈A B ．0A C ．{0}∈AD ．∅A解析：选D “∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A 、C 错误；“”用来表示集合与集合之间的关系，故B 错误；而∅是任一集合的子集，是任一非空集合的真子集，故D 正确．2．已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的Venn 图是( )解析：选C 因为N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}，M ＝{－1，0,1}，所以N M .3．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析：选B 依题意a ∈M ，且M{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个).4．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4＋12，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．MNC ．M ND ．M 与N 没有相同元素解析：选C 因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN .选C.5．设A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ＞a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥3}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ＞3}D ．{a |a ＜－1}解析：选B 集合A ，B 在数轴上表示如图所示，由A B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P7．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a ＝________.解析：由集合A 的子集有且仅有两个知A 中只有一个元素，若a －1＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a －1≠0，由题意得⎩⎨⎧a －1≠0，Δ＝32－4×(－2)×(a －1)＝0， 得a ＝－18.∴a 的值为1或－18. 答案：1或－188．已知集合A ＝{－2,3,4m －4}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：依题意可得m 2＝4m －4，即(m －2)2＝0，∴m ＝2. 当m ＝2时，A ＝{－2,3,4}，B ＝{3,4}，∴B ⊆A . 答案：29．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，且B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数． 解：(1)若B ＝∅，则m －1>2m ＋1， 得m <－2； 若B ≠∅，由题意得⎩⎨⎧m －1≤2m ＋1，2m ＋1≤6，m －1≥－1，得0≤m ≤52.综上得m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤52.(2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A 中共有7个元素，其子集个数为27＝128个．10．已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，求：(1)使A ＝{2,3,4}成立的x 的值； (2)使2∈B ，B ⊆A 成立的a ，x 的值； (3)使B ＝C 成立的a ，x 的值．解：(1)由题意，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3. (2)因为2∈B ，B ⊆A ，所以⎩⎨⎧2＝x 2＋ax ＋a ，3＝x 2－5x ＋9. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，a ＝－23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－74.(3)因为B ＝C ，所以⎩⎨⎧x 2＋(a ＋1)x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎨⎧ x ＝－1，a ＝－6或⎩⎨⎧x ＝3，a ＝－2.‖层级二‖|应试能力达标|1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，那么()A．若a＝1，则N⊆MB．若N⊆M，则a＝1C．若a＝1，则N⊆M，反之也成立D．a＝1和N⊆M成立没有关系解析：选A显然a＝1时，集合N＝{1}，此时N⊆M；若N⊆M，则a2可以是集合M中的元素1或2，此时a可以取值1，－1，2，－ 2.即若N⊆M，则a＝1不成立．2．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是() A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－1解析：选D由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.3．已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．A BC．B A D．A∈B解析：选D因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.4．设集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|x<b－2，或x>b＋2}．若A⊆B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3解析：选D根据题意知A⊆B，作出如图所示的数轴，所以有b＋2≤a－1或b－2≥a＋1，解得a－b≥3或a－b≤－3，即|a－b|≥3.5．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a ≤14.答案：a ≤146．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当B ⊆A 时，则实数m 的取值范围为________．解析：集合A 在数轴上表示如图．要使B ⊆A ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素． 即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m4≤－2，即m ≥8， 故实数m 的取值范围是m ≥8. 答案：m ≥87．(2019·浙江四校高一联考)已知M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，a ∈R }，且NM ，则实数a 的取值范围是________．解析：M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{3，－1}． ①当N ＝∅时，NM 成立，∴Δ＝a 2－4<0，∴－2<a <2. ②当N ≠∅时，∵NM ，∴3∈N 或－1∈N .当3∈N 时，32＋3a ＋1＝0，即a ＝－103，此时方程为x 2－103x ＋1＝0，解得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，13，不满足NM ；当－1∈N 时，(－1)2－a ＋1＝0，即a ＝2，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得N ＝{－1}，满足NM .故实数a 的取值范围是－2＜a ≤2. 答案：－2＜a ≤28．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意； 当m ＋1≤2m －1.即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3. 综上可知，当m ≤3时，B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ∈R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素， 则有⎩⎨⎧ m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎨⎧m ≥2，2m －1＜－2，解得m ＞4.综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立．由Ruize收集整理。

第2课时集合的表示1．掌握用列举法表示有限集．2．理解描述法格式及其适用情形．3．学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．1．列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：(1)元素与元素之间必须用“,”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：一般地,设A表示一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．温馨提示：(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．1．观察下列集合：①方程x2－4＝0的根；②20的所有正因数组成的集合．(1)上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？(2)如何表示上述两个集合？[答案] (1)能．①中的元素为－2,2；②中的元素为1,2,4,5,10,20(2)用列举法表示2．观察下列集合：①不等式x －2≥3的解集；②函数y ＝x 2－1的图象上的所有点． (1)这两个集合能用列举法表示吗？(2)你觉得用什么方法表示这两个集合比较合适？ [答案] (1)不能 (2)利用描述法3．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( ) (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A ＝{x|x －1＝0}与集合B ＝{1}表示同一个集合．( ) (4)集合{x|4<x<5}可用列举法表示．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×题型一 用列举法表示集合【典例1】 用列举法表示下列集合：(1)方程x(x －1)2＝0的所有实数根组成的集合； (2)不大于10的非负偶数集；(3)一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合．[思路导引] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么,还要弄清集合中的元素个数． [解] (1)方程x(x －1)2＝0的实数根为0,1, 故其实数根组成的集合为{0,1}．(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数,故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝2x －1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故一次函数y ＝x 与y ＝2x －1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．用列举法表示集合的3个步骤[针对训练]1．用列举法表示下列集合： (1)我国现有的所有直辖市； (2)绝对值小于3的整数集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象交点组成的集合．[解] (1)我国现有的直辖市有北京市、天津市、上海市和重庆市,故我国现有的所有直辖市组成的集合为{北京市,天津市,上海市,重庆市}．(2)绝对值小于3的整数有－2,－1,0,1,2,故绝对值小于3的整数集合为{－2,－1,0,1,2}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－23x ＋43，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25.故一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象交点组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.题型二 用描述法表示集合【典例2】 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； (4)不等式3x －2<4的解集．[思路导引] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．[解] (1)偶数可用式子x ＝2n,n ∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定n ∈N *,所以正偶数集可表示为{x|x ＝2n,n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x,则x ＝3n ＋2,n ∈Z,但元素为正整数,故x ＝3n ＋2,n ∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x ＝3n ＋2,n ∈N}．(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy ＝0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy ＝0}．(4)不等式3x －2<4可化简为x<2, 所以不等式3x －2<4的解集为{x|x<2}．用描述法表示集合应注意的3点(1)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型．一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示．(2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号以外的字母,要对新字母说明其含义或取值范围． (3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内．[针对训练]2．用描述法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)方程6x 2－5x ＋1＝0的实数解集； (3)直线y ＝x 上去掉原点的点的集合．[解] (1)被5整除的数可用式子x ＝5n,n ∈Z 表示,所以所有被5整除的数的集合可表示为{x|x ＝5n,n ∈Z}．(2)由6x 2－5x ＋1＝0解得x ＝12或x ＝13,所以方程6x 2－5x ＋1＝0的实数解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12或x ＝13. (3)直线y ＝x 上除去原点,即x ≠0,所以直线y ＝x 上去掉原点的点的集合为{(x,y)|y ＝x,且x ≠0}. 题型三 集合表示方法的应用【典例3】 (1)若集合A ＝{x|ax 2－8x ＋16＝0,a ∈R}中只有一个元素,则a 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．0D ．0或1(2)已知A ＝{x|kx ＋2>0,k ∈R},若－2∈A,则k 的取值范围是________． [思路导引] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征． [解析] (1)①当a ＝0时,原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2,此时A ＝{2}；②当a ≠0时,由集合A 中只有一个元素, ∴方程ax 2－8x ＋16＝0有两个相等实根, 则Δ＝64－64a ＝0,即a ＝1. 从而x 1＝x 2＝4,∴集合A ＝{4}． 综上所述,实数a 的值为0或1.故选D ． (2)∵－2∈A,∴－2k ＋2>0,得k<1.[答案] (1)D (2)k<1[变式] (1)本例(1)中条件“有一个元素”改为有“两个元素”,其他条件不变,求a 的取值范围． (2)本例(2)中条件“－2∈A ”改为“－2∉A ”,其他条件不变,求k 的取值范围． [解] (1)由题意可知方程ax 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝64－64a>0，解得a<1,且a ≠0.(2)∵－2∉A,∴－2k ＋2≤0,得k ≥1.集合表示方法的应用的注意点(1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键． (2)与方程ax 2－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视a ＝0的情况．[针对训练]3．已知集合A ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0},若A ＝{2,3},求a,b 的值．[解] 由A ＝{2,3}知,方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3,由根与系数的关系得,⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5,b ＝6.4．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N. (1)试判断元素1,2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B.[解] (1)当x ＝1时,62＋1＝2∈N.当x ＝2时,62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B. (2)∵62＋x ∈N,x ∈N,∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}．课堂归纳小结1．表示集合的要求(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则．(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意的问题(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.1．用列举法表示集合{x|x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}[解析] ∵x 2－2x ＋1＝0,即(x －1)2＝0,∴x ＝1,选B. [答案] B2．已知集合A ＝{x ∈N *|－5≤x ≤5},则必有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈AD ．1∈A[解析] ∵x ∈N *,－5≤x ≤5,∴x ＝1,2,即A ＝{1,2},∴1∈A,选D. [答案] D3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1,－2} B ．{x ＝1,y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1,－2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴交点为(1,－2),故选D.[答案] D4．若A ＝{－2,2,3,4},B ＝{x|x ＝t 2,t ∈A},用列举法表示集合B 为________． [解析] 当t ＝－2时,x ＝4； 当t ＝2时,x ＝4； 当t ＝3时,x ＝9； 当t ＝4时,x ＝16； ∴B ＝{4,9,16}． [答案] {4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于2的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．[解] (1)绝对值不大于2的整数是－2,－1,0,1,2,共有5个元素,则用列举法表示为{－2,－1,0,1,2}．(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个,分别是53,－2,用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2.(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y＝x＋6}．课内拓展课外探究集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时,称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时,则称之为无限集．当集合为有限集,且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集,一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集,其元素呈现一定的规律,在不产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示．【典例1】用列举法表示下列集合：(1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{1,2,3,4,…}．(2)此集合为无限集,且有一定规律,用列举法表示为{…,－6,－3,0,3,6,…}．[点评] (1){1,2,3,4,…}一般不写成{2,1,4,3,…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式,特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么,代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x,y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同,∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x,即满足条件y＝x2＋1中的所有x,∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y,满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1,∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x,y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x,y),可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x,y)的集合,也可认为是坐标平面内的点(x,y),且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1.∴{(x,y)|y ＝x 2＋1}＝{P|P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时,首先要明确集合中的元素是什么,如本题中元素的属性都与y ＝x 2＋1有关,但由于代表元素不同,因而表示的集合也不一样．课后作业(二)复习巩固一、选择题1．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长,则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形[解析] 集合M 的三个元素是互不相同的,所以作为某一个三角形的边长,三边是互不相等的,故选D. [答案] D2．下列集合中,不同于另外三个集合的是( ) A ．{x|x ＝1} B ．{x|x 2＝1} C ．{1}D ．{y|(y －1)2＝0}[解析] {x|x 2＝1}＝{－1,1},另外三个集合都是{1},选B. [答案] B3．已知M ＝{x|x －1<2},那么( ) A ．2∈M,－2∈M B ．2∈M,－2∉M C ．2∉M,－2∉MD ．2∉M,－2∈M[解析] 若x ＝2,则x －1＝1<2,所以2∈M ；若x ＝－2,则x －1＝－3<2,所以－2∈M.故选A. [答案] A4．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy ≤0,x ∈R,y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x<5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R[解析] 选项A 中应是xy<0；选项B 的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{ }”与“全体”意思重复．[答案] D5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5,－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5,－4)}[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5,－4)},选D.[答案] D 二、填空题6．设集合A ＝{1,－2,a 2－1},B ＝{1,a 2－3a,0},若A,B 相等,则实数a ＝________.[解析] 由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.[答案] 17．设－5∈{x|x 2－ax －5＝0},则集合{x|x 2＋ax ＋3＝0}＝________. [解析] 由题意知,－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根, 所以(－5)2＋5a －5＝0,得a ＝－4, 则方程x 2＋ax ＋3＝0,即x 2－4x ＋3＝0, 解得x ＝1或x ＝3,所以{x|x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}． [答案] {1,3}8．若A ＝{－2,0,2,3},B ＝{(x,y)|y ＝x 2,x ∈A},用列举法表示集合B 为________． [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝9，得集合B ＝{(－2,4),(0,0),(2,4),(3,9)}．[答案] {(－2,4),(0,0),(2,4),(3,9)} 三、解答题9．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． [解] (1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}．(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x,y)|y ＝－x ＋4,x ∈N,y ∈N},或用列举法表示该集合为{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}．10．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，b a ，a ,若0∈A 且1∈A,求a 2019＋b 2019的值． [解] 由0∈A,“0不能做分母”可知a ≠0,故a 2≠0,所以b a ＝0,即b ＝0.又1∈A,可知a 2＝1或a ＝1.当a ＝1时,得a 2＝1,由集合元素的互异性,知a ＝1不合题意．当a2＝1时,得a＝－1或a＝1(舍)．故a＝－1,b＝0,所以a2019＋b2019的值为－1.综合运用11．集合A＝{y|y＝x2＋1},集合B＝{(x,y)|y＝x2＋1}(A,B中x∈R,y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A．2∈A,且2∈BB．(1,2)∈A,且(1,2)∈BC．2∈A,且(3,10)∈BD．(3,10)∈A,且2∈B[解析] 集合A中元素y是实数,不是点,故选项B,D不对．集合B的元素(x,y)是点而不是实数,2∈B 不正确,所以A错．[答案] C12．定义P*Q＝{ab|a∈P,b∈Q},若P＝{0,1,2},Q＝{1,2,3},则P*Q中元素的个数是( )A．6个B．7个 C．8个D．9个[解析] 若a＝0,则ab＝0；若a＝1,则ab＝1,2,3；若a＝2,则ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6},共6个元素．[答案] A13．已知集合A＝{－1,0,1},集合B＝{y|y＝|x|,x∈A},则B＝________.[解析] ∵x∈A,∴当x＝－1时,y＝|x|＝1；当x＝0时,y＝|x|＝0；当x＝1时,y＝|x|＝1.[答案] {0,1}14.用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．[解析] 依题设知：该集合为一点集,且其横坐标满足0≤x≤2,纵坐标满足0≤y≤1,所以该集合为{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}．[答案] {(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}15．设集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}．(1)当a＝2时,试求出集合A；(2)a为何值时,集合A中只有一个元素；(3)a为何值时,集合A中有两个元素．[解] 集合A是方程x2＋ax＋1＝0的解构成的集合．(1)当a＝2时,x2＋2x＋1＝0,即(x＋1)2＝0,x＝－1,所以A＝{－1}．(2)A中只有一个元素,即方程x2＋ax＋1＝0有两个相等实根,由Δ＝a2－4＝0,得a＝±2.所以a＝±2时,集合A中只有一个元素．(3)A中有两个元素,即方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根,由Δ＝a2－4>0,得a<－2或a>2. 所以a<－2或a>2时,集合A中有两个元素．。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由列举法可知，A 中含有(1,2)，(3,4)两个元素．【答案】 B2．把集合{x |x 2－3x ＋2＝0}用列举法表示为( )A ．{x ＝1，x ＝2}B ．{x |x ＝1，x ＝2}C ．{x 2－3x ＋2＝0}D ．{1,2}【解析】 解方程x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以集合{x |x 2－3x ＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．【答案】 D3．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R【解析】 选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．【答案】 D4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x2－y2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)} 【解析】 解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x2－y2＝9，得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D . 【答案】 D5．设集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A}，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C．6 D．7【解析】由题意，B＝{2,3,4,5,6,8}，共有6个元素，故选C.【答案】 C二、填空题6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________．【解析】正整数中所有的偶数均能被2整除．【答案】{x|x＝2n，n∈N*}7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.【解析】把x＝1代入方程x2＋2x＋a＝0可得a＝－3，解方程x2＋2x－3＝0可得A＝{－3,1}．【答案】{－3,1}8．若2∉{x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________.【解析】由题意，{x|x－a＜0}＝{x|x＜a}，∵2∉{x|x－a＜0}，∴a≤2，∴实数a的取值集合是{a|a≤2}．【答案】{a|a≤2}三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合；(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．【解】(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)集合的代表元素是数，用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1 000}．(3)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．10．若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值.【解】∵－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，又a2＋1≥1，∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，解得a＝0，或a＝－1，当a＝0时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－3，－1,1}，满足集合中元素的互异性；当a＝－1时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－4，－3,2}，满足集合中元素的互异性；∴a＝0或－1.[能力提升]1．若集合A ＝{x ∈R|ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，则a ＝( )A ．1B ．2C ．0D ．0或1 【解析】 (1)当a ＝0时，A ＝{x ∈R|2x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，满足题意； (2)当a ≠0时，由题意可知，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个实数根，故Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1.综上可知，a ＝0或1.【答案】 D2．集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,2,3}，C ＝{z|z ＝xy ，x ∈A 且y ∈B }，则集合C 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．11D ．12【解析】 C ＝{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}，故选C.【答案】 C3．已知集合M ＝{a,2,3＋a }，集合N ＝{3,2，a 2}，若M ，N 相等，则a ＝( )A ．1B ．3C ．0D ．0或1【解析】 因为集合M 与集合N 相等．所以⎩⎨⎧ a ＝3，3＋a ＝a2或⎩⎨⎧ a ＝a2，3＋a ＝3， 对于⎩⎨⎧ a ＝3，3＋a ＝a2，无解； 对于⎩⎨⎧ a ＝a2，3＋a ＝3，解得a ＝0. 综上可知a ＝0.【答案】 C4．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪ 62＋x ∈N ， (1)试判断元素1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .【解】(1)当x＝1时，62＋1＝2∈N；当x＝2时，62＋2＝32∉N，所以1∈B,2∉B.(2)令x＝0,1,4代入62＋x∈N检验，可得B＝{0,1,4}．。

第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果________的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A 不属于如果________中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________________一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．25．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.能力提升12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，… 2.确定性互异性无序性3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N＋Z Q R作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．] 2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]6．A[方法一因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．方法二令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．] 7．①④解析①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，∴a＝－3 2.12．解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3表示成列举法，正确的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有() A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6()A．BC．{1,2}D．{(1,2)}二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.14159}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1}D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时 集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z } 作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．] 5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2} 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标； ②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④. 10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1000，n ∈N }；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．12．C[由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]13．A[M＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋24，k∈Z}，∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]1.1.2集合间的基本关系课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中，了解空集的含义．1．子集的概念一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果__________，就说集合A与B相等A＝B真子集如果集合A⊆B，但存在元素__________，称集合A是B的真子集A B(或B A)(1)定义：______________的集合叫做空集．(2)用符号表示为：____.(3)规定：空集是任何集合的______．5．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么___________________________．一、选择题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()A．P＝Q B．C．Q D．P∩Q＝∅2．满足条件M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A．3B．6C．7D．83．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B中的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A4．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．35．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．S P M B．S＝MC．S P＝M D．P＝S题号二、填空题7．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若B，则实数a的取值范围是________．9．已知集合{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．三、解答题10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a 的取值范围．11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．能力提升12．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．13．已知集合{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.拓展当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或A)．2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含)等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．1．1.2 集合间的基本关系知识梳理1．任意一个 A ⊆B B ⊇A A 含于B B 包含A 2.封闭 3．A ⊆B 且B ⊆A x ∈B ，且x ∉A 4.(1)不含任何元素 (2)∅ (3)子集 5.(1)A ⊆A (2)A ⊆C 作业设计1．B [∵P ＝{x |y ＝x ＋1}＝{x |x ≥－1}，Q ＝{y |y ≥0} ∴Q ，∴选B.]2．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．] 3．C4．B [只有④正确．] 5．B [由N ＝{－1,0}，知M ，故选B.]6．C [运用整数的性质方便求解．集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集，集合S 表示成被6整除余1的整数集．] 7．①②解析 ①、②显然正确；③中π与M 的关系为元素与集合的关系，不应该用”符号；④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号． 8．a ≥2解析 在数轴上表示出两个集合，可得a ≥2. 9．6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数， 则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 10．解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0， (1)当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立； (2)当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立；(3)当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立， 则B ＝{－3,2}， ∴a ＝－3×2＝－6.综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6. 11．解 ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1，∴m <2.②若B ≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示．要使B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎨⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.由①、②，可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.12．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a }． 又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a }．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．5解析若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．(1)定义：一般地，________________________的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作________．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________________________________________ _______.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝________，A____，A∪B＝A⇔________，A____A∪B.2．交集(1)定义：一般地，由________________________元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_________________________________________________________________ _______.(3)(4)性质：A∩B＝______，A∩____，A∩B＝A⇔________，1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N 为()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于() A．1B．2C．3D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B ∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．1.3 集合的基本运算 第1课时 并集与交集知识梳理一、1.由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B 2.{x |x ∈A ，或x ∈B } 4.B ∪A A A B ⊆A ⊆ 二、1.属于集合A 且属于集合B 的所有 A ∩B 2.{x |x ∈A ，且x ∈B } 4.B ∩A A ∅ A ⊆B ⊆ 作业设计 1．A2．D [由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}．]3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C .] 4．D [M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.] 5．C [依题意，由A ∩B ＝{2}知2a ＝2， 所以，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选C.] 6．B [∵M ，∴M ∪N ＝M .] 7．0或1解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ， ∴t 2－t ＋1＝－3① 或t 2－t ＋1＝0② 或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1. 8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴ (B ∪C ) ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}， ∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}， 即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3. ∴⎩⎨⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a＝0或a＝1 2.12．D[x的取值为1,2，y的取值为0,2，∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.] 13．解符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．第2课时补集及综合应用课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．2．补集自然语言对于一个集合A，由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝____________图形语言3.补集与全集的性质(1)∁U U＝____；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁U A)＝____；(4)A∪(∁U A)＝____；(5)A∩(∁UA)＝____.一、选择题1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于()A．{x|－2<x<2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{2}B．{2,3}C．{3}D．{1,3}4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是() A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．P5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.9．已知全集U，B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．三、解答题10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x ∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.第2课时补集及综合应用知识梳理1．全集U 2.不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}3．(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅作业设计1．D[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.]2．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．]3．D[由B＝{2,5}，知∁U B＝{1,3,4}．A∩(∁U B)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B[由A＝∁U B，得∁U A＝B.又∵B＝∁U P，∴∁U P＝∁U A.即P＝A，故选B.]5．C[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a ∈∁I S，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S，故选C.]6．D[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．U9．∁U∁U A解析画Venn图，观察可知∁U∁U A.10．解∵∁U A＝{5}，∴5∈U且5∉A.又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．11．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}； 当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}， U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．12．D [借助于Venn 图解，因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，所以选D.]13.解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎨⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．§1.1习题课课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于()A．{x|x>－1}B．{x|x<3}C．{x|－1<x<3}D．{x|1<x<3}2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于() A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()A．A B．a∉AC．{a}∉A D．{a A4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e}D．{a，c}5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为____________．6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩(∁A(B∪C))．一、选择题1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2B．3C．4D．53．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．PC．M D．M与P没有公共元素4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩S)∩(∁S P) D．(M∩P)∪(∁V S)5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅二、填空题6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁U A＝{5}，则a＝________.9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________________.三、解答题10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B 者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？能力提升12．对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．§1.1习题课双基演练1．C[∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}，故选C.]2．A[画出数轴，将不等式－3<x≤5，x<－5，x>5在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]3．D4．A[∵∁I M＝{d，e}，∁I N＝{a，c}，∴(∁I M)∩(∁I N)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.]5．A＝B解析4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.6．解∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}(1)又∵B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}∴A∩(∁A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．作业设计1．B[Q＝{x|－2<x<2}，可知B正确．]2．B[集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．]3．B[∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴P.]4．C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分，因此为(M ∩S )∩(∁S P )．]5．B [根据题意可画出下图．∵a ＋2>a －1，∴A ≠∅.有⎩⎨⎧a －1≤3，a ＋2≥5.解得3≤a ≤4.]6．a ≤2解析 如图中的数轴所示，要使A ∪B ＝R ，a ≤2. 7．1解析 当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ； 当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ； 当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ； 当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ； 综上可知，A 中只有一个孤立元素5. 8．4解析 ∵A ∪(∁U A )＝U ， 由∁U A ＝{5}知，a 2－2a －3＝5， ∴a ＝－2，或a ＝4.当a ＝－2时，|a －7|＝9,9∉U ，∴a ≠－2. a ＝4经验证，符合题意． 9．{x |x <1或x ≥5}解析 ∁U M ＝{x |x <1}，∁U N ＝{x |x <0或x ≥5}， 故(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x <1或x ≥5}或由M ∩N ＝{x |1≤x <5}，(∁U M )∪(∁U N )＝∁U (M ∩N ) ＝{x |x <1或x ≥5}． 10．解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C＝{x|x>－a2}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－a2<2，∴a>－4.11.解由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B 表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．12．解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．13．解在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－13＝0且m＋34＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|23≤x≤34}，长度为34－23＝112；当n＝13且m＝14时，M∩N＝{x|14≤x≤13}，长度为13－14＝112.综上，M∩N的长度的最小值为1 12.§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A 中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A．1个B．2个C．3个D．4个2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝(x)2x和g(x)＝x(x)24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有()A．10个B．9个C．8个D．4个5．函数y＝1－x＋x的定义域为()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}6．函数y＝x＋1的值域为()A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x 1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．] 5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2，g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数， 所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．。

第2课时 集合的表示学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)．预习教材P3－P5，完成下面问题： 知识点 集合的表示方法 (1)列举法：①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }． (2)描述法：①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【预习评价】(1)集合{x ∈N *|x －4<2}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{0,1,2,3,4,5} C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}(2)方程x 2－1＝8的解集用列举法表示为________．解析 (1)由x －4<2得x <6，又x ∈N *，故x 的值为1,2,3,4,5，用列举法表示为{1,2,3,4,5}． (2)由x 2－1＝8得x 2＝9，即x ＝±3，故其解集用列举法表示为{－3,3}． 答案 (1)D (2){－3,3}题型一 用列举法表示集合【例1】 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)不大于10的正偶数集；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0的解集．解 (1)因为15的正约数为1,3,5,15， 所以所求集合可表示为{1,3,5,15}． (2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10， 所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0.所以所求集合可表示为{(－3,0)}．规律方法 用列举法表示集合的三个注意点(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性． (2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便． (3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键． 【训练1】 用列举法表示下列集合： (1)绝对值小于5的偶数； (2)24与36的公约数；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集．解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集． (2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1}＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1}＝{(1,1)}，是有限集.【例(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}．(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．【迁移1】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．”解 位于第二象限的点(x ，y )的横坐标为负，纵坐标为正， 即x <0，y >0，故第二象限的点的集合为{(x ，y )|x <0，y >0}．【迁移2】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．”解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}．规律方法 用描述法表示集合的注意点 (1)“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ； (2)“竖线”不可省略；(3)p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；(4)同一集合用描述法表示可以不唯一． 题型三 集合表示方法的综合应用【例3】 (1)用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且86－x ∈N ＝________.(2)集合A ＝{x ∈kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .(1)解析 ∵x ∈Z 且86－x∈N ，∴1≤6－x ≤8，－2≤x ≤5.当x ＝－2时，1∈N ；当x ＝－1时，87∉N ；当x ＝0时，43∉N ；当x ＝1时，85∉N ；当x ＝2时，2∈N ；当x ＝3时，83∉N ；当x＝4时，4∈N ；当x ＝5时，8∈N.综上可知A ＝{－2,2,4,5}．答案 {－2,2,4,5}(2)解 ①当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2，此时A ＝{2}； ②当k ≠0时，∵集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根． ∴Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，∴A ＝{4}． 综上可知，实数k 的值为0或1. 当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}．规律方法 1.识别集合的两个步骤：一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集； 二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)． 2．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的个数在涉及ax 2＋bx ＋c ＝0的根的集合中，要讨论二次项的系数a 是否为0，当a ＝0时，方程为bx ＋c ＝0是一次方程，再分b 是否为0两种情况讨论其根的个数；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数．【训练2】 用列举法表示下列集合． (1)A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N}； (2)B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N}． 解 (1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， 所以x ＝0,1,2时，y ＝6,5,2，符合题意， 所以A ＝{2,5,6}．(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 所以B ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．课堂达标1．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}解析 集合{x |x 2－2x ＋1＝0}实质是方程x 2－2x ＋1＝0的解，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B ．答案 B2．下列各组集合中，表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}解析 由于集合中的元素具有无序性，故{3,2}＝{2,3}． 答案 B3．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,9}，x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．9解析 比较A 和B 中的元素可知x ＝2.答案 B4．大于3并且小于10的整数的集合用描述法表示为________．解析设该数为x，由题意得3<x<10，且x∈Z，故集合是：{x|3<x<10，x∈Z}．答案{x|3<x<10，x∈Z}5．选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．解(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，则用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}．(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2.(3)一次函数y＝x＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}．课堂小结1．集合表示的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则；(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．。

第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3．将集合表示成列举法，正确的是()A．{2,3} B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6．方程组的解集不可表示为()A．B．C．{1,2} D．{(1,2)}二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1} D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．]5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集．9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }；③{x |x >8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下： 集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}．12．C [由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，故选C.]13．A [M ＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }，∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数，∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N ，故选A.]。

学业分层测评(二)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．若集合＝{()，()}，则集合中元素的个数是( )．．．．【解析】由列举法可知，中含有()，()两个元素．【答案】．把集合{－＋＝}用列举法表示为( )．{＝，＝} ．{＝，＝}．{－＋＝} ．{}【解析】解方程－＋＝得＝或＝，所以集合{－＋＝}用列举法可表示为{}．【答案】．下列集合的表示方法正确的是( )．第二、四象限内的点集可表示为{(，)≤，∈，∈}．不等式－<的解集为{<}．{全体整数}．实数集可表示为【解析】选项中应是<；选项的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素；选项的“{}”与“全体”意思重复．【答案】．方程组(\\(＋＝，－＝))的解集是( )．(－) ．(，－)．{(－)} ．{(，－)}【解析】解方程组(\\(＋＝，－＝，))得(\\(＝，＝－，))故解集为{(，－)}，选.【答案】．设集合＝{}，集合＝{＝＋，∈，∈}，则集合中的元素个数为( )．．．．【解析】由题意，＝{}，共有个元素，故选.【答案】二、填空题．能被整除的正整数的集合，用描述法可表示为．【解析】正整数中所有的偶数均能被整除．【答案】{＝，∈*}．已知集合＝{＋＋＝}，若∈，则＝.【解析】把＝代入方程＋＋＝可得＝－，解方程＋－＝可得＝{－}．【答案】{－}．若∉{－＜}，则实数的取值集合是.【解析】由题意，{－＜}＝{＜}，∵∉{－＜}，∴≤，∴实数的取值集合是{≤}．【答案】{≤}三、解答题．用适当的方法表示下列集合：()方程＋－＋＋＝的解集；() 以内被除余的正整数组成的集合；()平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；()二次函数＝－图象上的所有点组成的集合．【解】()方程＋－＋＋＝可化为(－)＋(＋)＝，解得＝，＝－，所以方程的解集为{(，)＝，＝－}．()集合的代表元素是数，用描述法可表示为{＝＋，∈且< }．()“二次函数＝－图象上的所有点”用描述法表示为{(，)＝－}．．若－∈{－－，＋}，求实数的值.【解】∵－∈{－－，＋}，又＋≥，∴－＝－，或－＝－，解得＝，或＝－，当＝时，{－－，＋}＝{－，－}，满足集合中元素的互异性；当＝－时，{－－，＋}＝{－，－}，满足集合中元素的互异性；∴＝或－.。

第一章 1.1 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．用列举法表示集合{x |x 2－3x ＋2＝0}为( C ) A ．{(1,2)} B ．{(2,1)} C ．{1,2}D ．{x 2－3x ＋2＝0}[解析] 解方程x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2.用列举法表示为{1,2}． 2．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( B ) A ．{0,1}B ．{(0,1)}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－12，0 [解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故该集合为{(0,1)}．3．已知x ∈N ，则方程x 2＋x －2＝0的解集为( C ) A ．{x |x ＝2}B ．{x |x ＝1或x ＝－2}C ．{x |x ＝1}D ．{1，－2}[解析] 方程x 2＋x －2＝0的解为x ＝1或x ＝－2.由于x ∈N ，所以x ＝－2舍去．故选C ． 4．若A ＝{－1,3}，则可用列举法将集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }表示为( D ) A ．{(－1,3)} B ．{－1,3}C ．{(－1,3)，(3，－1)}D ．{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}[解析] 因为集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }是点集或数对构成的集合，其中x ，y 均属于集合A ，所以用列举法可表示为{(－1,3)，(3,3)，(－1，－1)，(3，－1)}．5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( B ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}[解析] 因为{x |x ＝1}＝{1}，{x |x 2＝1}＝{－1,1}，{y |(y －1)2＝0}＝{1}，所以B 选项的集合不同于另外三个集合．6．下列说法：①集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x |x为所有实数}或{R }；③方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中说法正确的个数为( D )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由x 3＝x ，得x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.因为－1∉N ，故集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R ”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x |x 为实数}或R ，故②不正确．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，其解集应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2，故③不正确．二、填空题7．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示A 为__{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}__.[解析] ∵x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝6－y ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0. ∴A ＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．8．集合{1，2，3，2，5，…}用描述法表示为[解析] 注意到集合中的元素的特征为n ，且n ∈N *，所以用描述法可表示为{x |x ＝n ，n ∈N *}．9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是__a ≤－2__. [解析] 因为1∉A ，则应有2×1＋a ≤0，所以a ≤－2. 三、解答题10．用列举法表示下列集合： (1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫62－x ∈Z ，x ∈Z ；(2){(x ，y )|y ＝3x ，x ∈N 且1≤x <5}．[解析] (1)因为62－x ∈Z ，所以|2－x |是6的因数，则|2－x |＝1,2,3,6，即x ＝1,3,4,0，－1,5，－4,8. 所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．(2)因为x ∈N 且1≤x <5，所以x ＝1,2,3,4， 其对应的y 的值分别为3,6,9,12.所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}． 11．用描述法表示下列集合． (1){2,4,6,8,10,12}； (2){13，24，35，46，57}；(3)被5除余1的正整数集合；(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；(5)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝2的解组成的集合．[解析] (1){x |x ＝2n ，n ∈N *，n ≤6}． (2){x |x ＝nn ＋2，n ∈N *，n ≤5}． (3){x |x ＝5n ＋1，n ∈N }． (4){(x ，y )|xy <0}．(5)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0. B 组·素养提升一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝－1}B ．{1}C ．{(1，－1)}D ．{(x ，y )|(1，－1)}[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 的集合表示方法有误，排除D ．2．用列举法可将集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为( D ) A ．{1,2} B ．{(1,2)} C ．{(1,1)，(2,2)}D ．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}[解析] x ＝1，y ＝1；x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝1；x ＝2，y ＝2.∴集合{(x ，y )|x ∈{1,2}，y ∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D ． 3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD )A ．{x |x ＝2k －1，k ∈N }B ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥2}C ．{x |x ＝2k ＋3，k ∈N }D ．{x |x ＝2k ＋5，k ∈N }[解析] 选项A ，C 中，集合内的最小奇数不大于4. 4．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是( ABD ) A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} B ．M ＝{(3,1)}，P ＝{(1,3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R }D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }[解析] 选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M ≠P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．二、填空题5．若集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，则实数a 的值是__0或1__. [解析] 集合A 中只有一个元素，有两种情况：当a ≠0时，由Δ＝0，解得a ＝1，此时A ＝{－1}，满足题意；当a ＝0时，x ＝－12，此时A ＝{－12}，满足题意．故集合A 中只有一个元素时，a 的值是0或1.6．用列举法写出集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪33－x ∈Z x ∈Z ＝__{－3，－1,1,3}__.[解析] ∵33－x ∈Z ，x ∈Z ，∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意．7．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为__4__.[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．三、解答题8．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ．[解析] (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0， 所以x ＝2，此时A ＝{2}．(2)当k ≠0时，因为集合A 中只有一个元素， 所以方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等的实根． 则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，所以集合A ＝{4}，综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}． 9．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 中只有一个元素，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.。