广东省佛山市禅城区南庄镇第三中学八年级数学上学期第一次月考试题(无答案)

南庄中学八年级第一次月检测 数学试卷亲爱的同学，时间过得真快啊！转眼开学一个月了，相信你在原有的基础上又掌握了许多新的数学知识与能力，变得更加聪明了，更加懂得应用数学来解决实际问题了。

现在让我们一起走进考场，仔细思考，认真作答，成功将属于你——数学学习的主人！一、选择题（每小题3分，共30分，把你的选择答案在表格中）1A 、752x x x =+ B 、632x x x =⋅ C 、623)(x x =- D 、236x x x =÷ 2、16的平方根是（ ）A 、±2B 、2C 、4D 、±43、 立方根等于它本身的数是（ ）A 、1，0B 、±1C 、0，—1D 、±1，0 4、下列各式中，计算正确的是（ ）A 、222)(n m n m -=- B 、2)2)(2(2-=+-x x x C 、222))((c b a c ab c ab -=-+ D 、43)23)(2(2+=++x x x 5、下列说法正确的是………… ( )A 、开方开不尽的数是无理数B 、带根号的数都是无理数C 、无限小数都是无理数D 、π是无理数,但3π是分数，也就是有理数 6、若42++kx x 是一个完全平方式，那么k 是( ) A 、2±B 、4±C 、2D 、47、如图，以数轴的单位长为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画孤，交数轴于点A ，则点A 表示的数是( ) A 、1．4 B 、1 C 、2 D 、38、正方形的边长增加cm 2,它的面积就增加224cm ,原来正方形的边长是（ ） A 、cm 5 B 、cm 6 C 、cm 10 D 、cm 12学 姓名 班 学号 考室号 座次 密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线9、一个自然数的算术平方根是a ，则与这个自然数相邻的后一个自然数的平方根是 （ ） A B C 、 D 、10、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可 以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图（1）可以用来解释ab b a b a 4)()(22=--+，那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）A 、2222)(b ab a b a +-=- B 、))((22b a b a b a -+=-C 、2222)(b ab a b a ++=+ D 、222)2)((b ab a b a b a -+=+- 二、填空题（每小题3分，共15分）11、－27的立方根是 ，3的算术平方根是 ；12、小明的步长为 a 厘米，他量得教室长为20步，宽为15步，则这间教室的面积为 平方厘米； 13、32-的相反数是 ，绝对值是 ；14、++a a 62+=a ( 2) ；++=+222)(b a b a ；15、请你观察、思考下列计算过程： 因为 121112=，所以11121=，因为 123211112=，所以11112321=，因为 123432111112=，所以11111234321=，… ，由此猜想 76543211234567898= ． 三、解答题（16至20每题6分，共30分）16、计算: ①)423(222b ab a ab --- ②)5)(5(a a -+17、分解因式：① 1)(2-xy ② 22363y xy x ++18、解方程：)2)(3(15)2(-+=+-x x x x19、先将代数式分解因式，再求值：)2()2(2a y a x ---，其中2,5.1,3000-===y x a 。

广东省佛山市八年级上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 -12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A . 14B . 12C . 12或14D . 以上都不对2. （2分） (2020七下·西湖期末) 如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（）A . 45°B . 50°C . 55°D . 60°3. （2分） (2016八上·杭州月考) 如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（）A . ∠1+∠2=2∠AB . ∠2-∠A=2∠1C . ∠2-∠1=2∠AD . ∠1+∠A= ∠24. （2分） (2017八下·南江期末) 菱形ABCD中，如图，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若BE=EC，则∠EAF=（）A . 75°B . 60°C . 50°D . 45°5. （2分）(2018·惠山模拟) 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（）A . 五边形B . 六边形C . 七边形D . 八边形6. （2分）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2017八上·重庆期中) 如图所示，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝60° ，∠B＝25° ，则∠EOB的度数为（）A . 60°B . 70°C . 75°D . 85°8. （2分） (2019八上·呼兰期中) 如图，在等边中，点、分别为、边上一点，连接、交于点，若，则的度数是（）A . 30°B . 40°C . 50°D . 60°9. （2分）(2020·高新模拟) 如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E.用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 310. （2分） (2018八上·抚顺期末) 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120 ，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A . 1.5cmB . 2cmC . 2.5cmD . 3cm二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2018九上·彝良期末) 如图，把 ABC绕点C按顺时针方向旋转35 ，得到△ ，交AC于点D，若，则 =________12. （1分） (2019八上·越秀期中) 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，如果AB=25cm，BC=20cm，AC=15cm，且S△ABC=150cm2 ，那么OD=________cm．13. （1分） (2019八上·嵊州月考) 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP 是∠ACB的外角的平分线。

广东省佛山市八年级上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·河北模拟) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简的结果为（）A . 3a+b﹣cB . ﹣a﹣3b+3cC . a+3b﹣3cD . 2a2. （2分）(2017·济宁模拟) 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019八上·常州期末) 如图，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若，则为A .B .C .D .4. （2分） (2016八上·杭州月考) 下列命题是真命题的是（）A . 等边对等角.B . 三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等.C . 等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合.D . 周长相等的两个等腰三角形全等.5. （2分）(2019·宁波模拟) 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点F是AB的中点，过点F作FE⊥AD，垂足为E，将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'，设点P、P'分别是EF、E'F'的中点，当点A'与点B 重合时，四边形PP'CD的面积为（）A . 7B . 6C . 8D . 8 ﹣46. （2分）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A . 三角形的稳定性B . 两点之间线段最短C . 两点确定一条直线D . 垂线段最短7. （2分）如图，已知△ABC≌△BAD，AB=6cm，BD=7cm，AD=5cm，则BC的长等于（）A . 4cmB . 5cmC . 6cmD . 7cm8. （2分）下列命题中，是假命题的是（）A . 对顶角相等B . 同旁内角互补C . 两点确定一条直线D . 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等9. （2分）(2019·十堰) 如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别与线段交于点，连接 .若点关于的对称点恰好在上，则（）A .B .C .D .10. （2分）如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）A . 8+2aB . 8+aC . 6+aD . 6+2a11. （2分）设等腰三角形（两底角相等的三角形）顶角的度数为y，底角的度数为x，则有（）A . y=180-2x（x为全体实数）B . y=180-2x（0≤x≤90）C . y=180-2x（0＜x＜90）D . y=180-x（0＜x＜90）12. （2分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC等于（）A . 10B . 20C . 15D . 25二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）(2017·宁波模拟) 已n=________为反例，可以证明命题“若n为自然数，则2n≥n2n”为假命题．14. （1分） (2017八上·汉滨期中) 如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“AAS”需要添加条件________．15. （1分）(2019·陕西模拟) 如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC＝105°，则∠A的度数是________.16. （1分）(2017·黄冈模拟) 如图，已知点A（1，2）是反比例函数y= 图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是________．17. （1分）(2017·滨江模拟) 在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED的平分线交DC于点F，若AB=6，点F恰为DC的中点，则BC=________（结果保留根号）18. （1分） (2017七下·江阴期中) 如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x= ________时，△APE的面积等于5 ．三、解答题 (共8题；共70分)19. （5分）(2019·白银) 阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点 )，是的外角的平分线上一点，且 .求证： .点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接 .易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即： .问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点 )，是正方形的外角的平分线上一点，且 .求证： .20. （5分） (2018八上·广东期中) 如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，试通过计算说明∠BCD=∠ECD.21. （5分）要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，不写作法，保留痕迹．22. （10分） (2018八上·徐州期末) 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．23. （10分） (2018八上·北仑期末) 如图，△ABC（∠B＞∠A）．（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠CDB=2∠A（保留作图痕迹）；（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB=CD，∠A=35°，求∠C的度数．24. （10分） (2018八下·萧山期末) 正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE.（1）已知点F在线段BC上.①若AB=BE，求∠DAE度数；②求证：CE=EF；（2）已知正方形边长为2，且BC=2BF，请直接写出线段DE的长.25. （15分）(2017·寿光模拟) 已知如图1菱形ABCD，∠ABC=60°，边长为 3，在菱形内作等边三角形△AEF，边长为2 ，点E，点F，分别在AB，AC上，以A为旋转中心将△AEF顺时针转动，旋转角为α，如图2（1）在图2中证明BE=CF；（2）若∠BAE=45°，求CF的长度；（3）当CF= 时，直接写出旋转角α的度数．26. （10分） (2018九上·黔西期中) 在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点.（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；（2）如图2，连接AH，GH.小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH.小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.…请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH.（一种方法即可）参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、答案：略14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共8题；共70分)19-1、20-1、答案：略21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、答案：略24-2、25-1、答案：略25-2、25-3、答案：略26-1、26-2、答案：略。

广东省佛山市八年级上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017九下·江都期中) 下列四个数中，是无理数的是（）A .B .C .D . （） 22. （2分）使分式有意义的x的取值是（）A .x≠-3B . x≠0C .x≠±3D . x≠33. （2分）(2017·河北模拟) 设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（）A . ①④B . ②③C . ①②④D . ①③④4. （2分） (2016八上·芦溪期中) 如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （2分）以下列各组数作为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（）A . 1，1，B . 6，8，10C . 8，15，17D . 1，2，26. （2分）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A . m2+2mn+n2=0B . m2﹣2mn+n2=0C . m2+2mn﹣n2=0D . m2﹣2mn﹣n2=07. （2分） (2016八上·兰州期中) 估算 +1的值在（）A . 5和6之间B . 3和4之间C . 4和5之间D . 2和3之间8. （2分）(2017·河北模拟) 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（）A . 2，3，4B . 7，24，25C . 8，12，20D . 5，13，159. （2分） (2017七下·江阴期中) 如图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF 折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为（）A . 108°B . 114°C . 116°D . 120°10. （2分） (2018·苏州模拟) 如图△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C 落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（）A . 2B .C . 3D . 2二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）若一个正数a的算术平方根减去2等于7，则正数a=________.12. （1分） (2015八下·福清期中) 如图，在△ABC中，AC=9，BC=12，AB=15，点M为AB边上的点，过M 作ME⊥AC交AC于E，MF⊥BC交BC于F，连接EF，则EF的最小值为________．13. （1分）﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是________．14. （1分） (2019八下·芜湖期中) 如图，OA=OB，点C在数轴上表示的数为2，且有BC垂直于数轴，若BC=1，则数轴上点A表示的数是________。

广东省佛山市南海区灯湖中学2024-—2025学年八年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列实数中，属于无理数的是（ ）A ．43BC ．3.14D 2．下列式子正确的是（ ）A =B 5±C ．7=D 3=- 3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D 4．下列各数的比较中，正确的是（ ）A ．B ．>C ． 3.14π-<-D ．3- 5．下列表述中能确定准确位置的是（ ）A ．教室从左到右第3列B ．文博演出中心第10排C ．北偏东30︒D ．东经12325'︒，北纬4148'︒6．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是2，PQ 平行于x 轴，4PQ =，则点Q 的坐标是（ ）A ．(6,3)-或(2,3)--B ．(6,3)-C ．(1,2)--D ．(1,2)--或(7,2)-71的倒数是（ ）A ．1-B 1C ．1D 1 8．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形ABCD 、BEFG 、AHIG 均为正方形．若10AHIG S =正方形，4AE =，则GFI S =△（ ）A．32B．14 C．6 D．39．正方体的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）A BC．5 D．210．如果正整数a、b、c满足等式222a b c+=，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y+的值为（）A．47 B．62 C．79 D．98二、填空题1112．写出一个小于π的正无理数．13．在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为0,1，点B的坐标为(1,3)．则点C的坐标为．14．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是．15．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞m．三、解答题16．计算：17．小明放风筝时不小心将风筝落在了4．8m高的墙头上，他请爸爸帮他取．爸爸搬来梯子，将梯子稳定摆放（梯子底端离墙的距离约为梯子长度的13），此时梯子顶端正好达到墙头，爸爸问小明梯子的长度有没有5m？你能帮助小明一起算吗？18．如图，一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得3CB=千米， 2.4CH=千米， 1.8HB=千米．CH 是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明．19．如图，已知点A表示的数为A向右运动2个单位长度到达点B，点C表示的数为12．(1)在数轴上画出点A；(2)点B表示的数为，其绝对值为．(3)看图比较大小：32-（填“>”、“=”或“<”），所以点B在点C．（填左侧或右侧）20．如图，小明为了测得学校旗杆AB的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点距离12m，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截BP，量得多出部分长度为4m．(1)请你帮他计算出旗杆的高度．(2)如果想要更加准确计算学校旗杆AB的高度，请你给小明提出一条可行的建议（写出一条即可）．21．如图，等边三角形ABC的边长为6．(1)求AB边上的高；(2)建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标．22．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理．(1)如图2，Rt Rt ABC BDE △≌△，90ABC BDE ∠=∠=︒，求证BE AC ⊥，并用此图验证勾股定理；(2)若图1中2a =，4b =，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为，图3（2）中空白部分的面积为，从而得到；（用a ，b ，c 表示）(3)用（2）中4个全等的直角三角形拼成如图4中的形状，求这个图形外围轮廓（实线）的周长．23．如图，在平面直角坐标系中，()0,6A ，()3,0B ，()4,4C ．(1)在坐标系中描出ABC V ，并求AB 边上的高；(2)以AB 为直角边，作Rt ABE △，使其面积为152，则点E 的坐标为 (3)若点D 在线段AB 上，且2AD BD =，点Q 在x 轴上且10ADQ S =V ，求点Q 的坐标；。

2023-2024学年度第一学期第一次质量检测八年级数学试卷试卷说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间90分钟．答题前，学生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡．．．上；答案必须写在答题卡．．．各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡．．．交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1. 下列图形一定是轴对称图形的是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形2. 某蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（ ） A. 60.1610−×B. 51.610−×C. 41.610−×D. 41610−×3. 下列几组数中是勾股数的一组是（ ） A. 3，4，6B. 1.5，2，2.5C. 9，12，15D. 6，8，134. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ．若163∠=°，则2∠的度数是（ ）A. 37°B. 63°C. 117°D. 127°5. 以下事件属于必然事件的是（ ）A. 同一年出生的370人中至少有两人的生日相同B. 早上的太阳从西方升起C. 两边及一角分别相等的两个三角形全等D. 任意掷一枚质地均匀骰子，掷出的点数是偶数6. 某商户在元旦假期进行促销活动时，将一件标价80元的衬衫，按照八折销售后仍可获利10元，设这件衬衫的成本为x 元，根据题意，可列方程（ ）A. ()800.810x x −×−=B. ()800.810x x −×=−C. 800.810x ×=−D. 800.810x ×−=7. 满足下列条件的ABC ，不是直角三角形的是（ ）的A. A B C ∠=∠−∠B. ::1:1:2A B C ∠∠∠=C. 222b a c =−D. ::1:1:2a b c =8. 在下列图形中，正确画出△ABC 边BC 上的高的是（ ）A. B.C. D.9. 如图，点E 、F 在直线AC 上，AE CF =，AD BC =．要使ADF CBE △≌△，还需要添加一个条件，给出下列条件：①A C ∠=∠；②BE DF =；③BE DF ∥；④AD BC ∥，其中符合要求的是（ ）A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④10. 如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）A.254cm B.152cm C. 7cm D.132cm 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11. 汽车开始行驶时，邮箱中有油60升，如果每公里耗油0.12升，则油箱内剩余油量y （升）与行驶路程x （公里）的关系式为 _______________．的12. 某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果（部分数据）如表所示：则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为______（精确到0.01）； 13. 若长方形的面积是32693a a ab +−，其中一边长是3a ，则它的邻边长是______．14. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点1C 处（三条棱长如图所示），问最短路线长为_________．15. 如图，ABC 中，点D 、E 分别是AB BC 、的中点，连接AE CD 、交于点F ，当AFD △的面积为72时，ABC 的面积为_______．三、解答题一（本大题共3小题，每题8分）16. 计算：102991001(2022)(1)10103− −−+−+÷． 17. 先化简，再求值：()()()222x y x y x y x +++−−，其中=1x −，2y =． 18. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据） 已知：如图，12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠． 证明：∵12∠=∠（已知）， 13∠=∠（_______）， ∴23∠∠= （等量代换），∴BD CE ∥（_______），∴______D ∠=∠（_______）， 又∵C D ∠=∠（已知）， ∴____C ∠=∠（等量代换）， ∴_______∥_______（_______）， ∴A F ∠=∠（_______）．四、解答题二（本大题共3小题，每题9分）19. 已知ABC DCB ∠=∠，A D ∠=∠，那么ABC 与DCB △全等吗？请说明理由．20. 某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s （米）与小明出发的时间t （秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）求小明和朱老师的速度；（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为 米． 21 将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．.（1）观察图1，写出代数式()2a b +，()2a b −，ab 之间的等量关系：__________；（2）若6x y +=，4xy =，则22x y +=________；()2x y −=______； （3）如图2，边长为5的正方形ABCD 中放置两个长和宽分别为m ，n （5m <，5n <）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积123S S S ++的值．五、解答题三（本大题共2小题，每题12分）22. （1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．（2）应用：如图（2），已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，半圆的面积分别记为1S ，2S ，则12=S S +______.（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN 表示一条铁路，A ，B 是两个城市，它们到铁路所在直线MN 的垂直距离分别为40AC =千米，60BD =千米，且80CD =千米．现要在CD 之间建一个中转站O ，求O 应建在离C 点多少千米处，才能使它到A ，B 两个城市的距离相等．23. 在ABC 中，90BAC ∠=°，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．【特例体验】（1）如图1，若直线l BC ∥，1BD =，则线段DE 的长为______．探究应用】（2）如图2，若直线l 从图1状态开始绕点A 顺时针旋转()045αα°<<°时，线段BD 、CE 和DE 的数量关系是________；（3）如图3，若直线l 从图1状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα°<<°时与线段BC 相交，探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由【（4）若BD a =，CE b =（a ，b 均为正数），请你直接写出以点B 、D 、C 、E 为顶点的四边形的面积．2023-2024学年度第一学期第一次质量检测八年级数学试卷试卷说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间90分钟．答题前，学生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡．．．上；答案必须写在答题卡．．．各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡．．．交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1. 下列图形一定是轴对称图形的是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形的定义项判定即可．【详解】解：A 、锐角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； B 、直角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意； C 、钝角三角形不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、等腰三角形一定是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查轴对称图形．解此题的关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴．2. 某蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（ ） A. 60.1610−× B. 51.610−×C. 41.610−×D. 41610−×【答案】B 【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a −×，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：50.000016 1.610-=⨯； 故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a −×，其中1||10a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列几组数中是勾股数的一组是（ ） A. 3，4，6 B. 1.5，2，2.5C. 9，12，15D. 6，8，13【答案】C 【解析】【分析】根据“勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方”逐个选项判断即可．【详解】解：A 、222346+≠，不是勾股数，故本选项不符合题意； B 、1.5和2.5不是正整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意； C 、22291215+=，是勾股数，故本选项符合题意； D 、2226813+≠，不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选C4. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ．若163∠=°，则2∠的度数是（ ）A. 37°B. 63°C. 117°D. 127°【答案】B 【解析】【分析】根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：1∠ 和2∠是对顶角，12∴∠=∠，163∠=° ，263∴∠=°， 故选：B ．【点睛】本题考查的是对顶角，熟记对顶角相等是解题的关键． 5. 以下事件属于必然事件的是（ ）A. 同一年出生的370人中至少有两人的生日相同B. 早上的太阳从西方升起C. 两边及一角分别相等的两个三角形全等D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 【答案】A 【解析】【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可． 【详解】A ．同一年出生的370人中至少有两人的生日相同是必然事件，符合题意； B ．早上的太阳从西方升起是不可能事件，不符合题意；C ．两边及一角分别相等的两个三角形全等是随机事件，不符合题意；D ．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数是随机事件，不符合题意． 故选A ．【点睛】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 6. 某商户在元旦假期进行促销活动时，将一件标价80元的衬衫，按照八折销售后仍可获利10元，设这件衬衫的成本为x 元，根据题意，可列方程（ ）A. ()800.810x x −×−=B. ()800.810x x −×=−C. 800.810x ×=−D. 800.810x ×−=【答案】D 【解析】【分析】根据题意找出题中存在的等量关系：售价﹣成本价＝利润，列方程即可． 【详解】解：设这件衬衫的成本为x 元，根据题意， 可列方程：800.810x ×−=， 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题应重点弄清两点：（1）利润、售价、成本价三者之间的关系； （2）打八折的含义．7. 满足下列条件的ABC ，不是直角三角形的是（ ） A. A B C ∠=∠−∠B. ::1:1:2A B C ∠∠∠=C. 222b a c =−D. ::1:1:2a b c =【答案】D【解析】【分析】运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或当两边的平方和等于第三条边的平方时，可得出它是直角三角形，对每个选项分别判定即可．【详解】解：A 、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A = ∠B-∠C ，∴∠B=90°，∴△ABC 是直角三角形； B 、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，∴∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，∴△ABC 是直角三角形；C 、∵a 2-c 2=b 2，∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形．D 、a ：b ：c=1：1：2，设a=x ，那么b=x ，c=2x ，a 2+b 2=2x 2，c 2=4x 2，∴a 2+b 2≠c 2，∴△ABC 不是直角三角形； 故选：D ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用此定理是解决问题的关键．8. 在下列图形中，正确画出△ABC 的边BC 上的高的是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义逐项作出判断即可．【详解】A 、画出的是△ABC 的边AB 上的高，故不合题意； B 、画出的不是△ABC 任一边上的高，故不合题意； C 、画出的△ABC 的边BC 上的高，故符合题意； D 、画出的是△ABC 的边AC 上的高，故不合题意； 故选：C的【点睛】本题考查了画三角形的边上的高，理解三角形的高的含义是正确画出高的前提．9. 如图，点E 、F 在直线AC 上，AE CF =，AD BC =．要使ADF CBE △≌△，还需要添加一个条件，给出下列条件：①A C ∠=∠；②BE DF =；③BE DF ∥；④AD BC ∥，其中符合要求的是（ ）A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④【答案】D【解析】 【分析】在ADF △与CBE △中，AE CF =，AD CB =，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．【详解】解：①添加A C ∠=∠，由全等三角形的判定定理SAS 可以判定ADF CBE △≌△，故本选项符合题意．②添加BE DF =，由全等三角形的判定定理SSS 可以判定ADF CBE △≌△，故本选项符合题意． ③添加BE DF ∥，可得到=B E C A FD ∠∠，不能判定ADF CBE △≌△，故本选项不合题意． ④添加AD BC ∥，可得到A C ∠=∠，由全等三角形的判定定理SAS 可以判定ADF CBE △≌△，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10. 如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）A. 254cmB. 152cmC. 7cmD. 132cm【答案】A【解析】【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm在Rt△AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm， 222(8)6x x =−+254x cm = 故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.二、填空题（本大题53分，共15分）11. 汽车开始行驶时，邮箱中有油60升，如果每公里耗油0.12升，则油箱内剩余油量y （升）与行驶路程x （公里）的关系式为 _______________．【答案】600.12y x =− 【解析】【分析】读懂题意，剩油量=原有油量-工作时间内耗油量，把相关数值代入即可．列出关于变量x y 、的关系式．【详解】解：由题意得：600.12y x =−． 故答案为：600.12y x =−． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是读懂题意，掌握两个变量之间的关系．12. 某农科所在相同条件下进行某作物种子发芽试验，结果（部分数据）如表所示： 种子个数n 100 200 400 600 800 1000则任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为______（精确到0.01）；【答案】0.90【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复试验下种子能发芽的频率的稳定值即为种子能发芽的概率，据此求解即可．【详解】解：观察表格发现随着试验次数的增多种子发芽的频率逐渐稳定在0.90附近，∴任取一粒种子，在相同条件下，估计它能发芽的概率约为0.90．故答案为：0.90．13. 若长方形的面积是32693a a ab +−，其中一边长是3a ，则它的邻边长是______．【答案】223a a b +−【解析】【分析】根据长方形面积公式即可列出式子，计算即可解答．本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则．【详解】解：邻边长为：322(693)323a a ab a a a b +−÷+−，故答案为：223a a b +−．14. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点1C 处（三条棱长如图所示），问最短路线长为_________．【答案】5【解析】【分析】长方体展开是长方形，根据题意可知，蚂蚁爬的路径有三种可能，根据两点之间线段最短，可求出解．【详解】如图1，当展开的长方形的长是AC=4+2=6，宽是11CC =，路径长为1AC =如图2，当展开的长方形的长是AB=4，宽是1213BC =+=，路径长为15AC =；如图3，当展开的长方形的长是1415C D =+=，宽是AD=2，路径长为1AC ==故沿长方体的表面爬到对面顶点1C 处，只有图2最短，其最短路线长为：5．故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，平面展开最短路径问题，展成平面，确定起点和终点的位置，根据两点之间线段最短从而可求出解．15. 如图，ABC 中，点D 、E 分别是AB BC 、的中点，连接AE CD 、交于点F ，当AFD △的面积为72时，ABC 的面积为 _______．【答案】21【解析】【分析】根据D 、E 分别是AB BC 、的中点，得到12ABE ACE ABC ADC BDC S S S S S ====，△△△△△72AFD BFD CEF BEF S S S S ===，，△△△△进行等面积转换即可求解； 【详解】解：连接BF ，∵D 、E 分别是AB BC 、的中点， ∴1722ABE ACE ABC ADC BDC AFD BFD CEF BEF S S S S S S S S S =======，，，△△△△△△△△△ ∴72CEF AFD BFD BEF S S S S ====，△△△△， ∴2132ABE AFD S S ==△△ ∴21ABC S = ，故答案为：21．【点睛】本题主要考查根据三角形的中线求面积，掌握三角形中线的性质，应用等底等高等面积转换即可解题．三、解答题一（本大题共3小题，每题8分）16. 计算：102991001(2022)(1)10103− −−+−+÷ ． 【答案】910−【解析】 【分析】本题是幂的混合运算，根据()10110,13133a a − =≠== ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，结合乘方法则计算即可． 详解】102991001(2022)(1)10103− −−+−+÷ 9910013110−=−++1110−=−+【1110=−+ 910=−． 17 先化简，再求值：()()()222x y x y x y x +++−−，其中=1x −，2y =．【答案】244x xy +，4−【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：()()()222x y x y x y x +++−− 2222244x y xy x y x +++−−244x xy +当1x =−，2y =时，原式()()2414124=×−+×−×=−．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值得方法． 18. 填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）已知：如图，12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠．证明：∵12∠=∠（已知）， 13∠=∠（_______）， ∴23∠∠= （等量代换），∴BD CE ∥（_______）， ∴______D ∠=∠（_______）， 又∵C D ∠=∠（已知）， ∴____C ∠=∠（等量代换）， ∴_______∥_______（_______）， ∴A F ∠=∠（_______）． .【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；DF ；AC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【解析】【分析】因为13∠=∠，12∠=∠，所以23∠∠=，由同位角相等证明BD CE ∥，则有4D ∠=∠，又因为C D ∠=∠，所以4C ∠=∠，由内错角相等证明DF AC ∥，故可证明A F ∠=∠．【详解】证明：∵12∠=∠（已知）， 13∠=∠（对顶角相等）， ∴23∠∠= （等量代换），∴BD CE ∥（同位角相等，两直线平行）， ∴4D ∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 又∵C D ∠=∠（已知）， ∴4C ∠=∠（等量代换）， ∴DF AC ∥， ∴A F ∠=∠（两直线平行，内错角相等）． 【点睛】此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．四、解答题二（本大题共3小题，每题9分）19. 已知ABC DCB ∠=∠，A D ∠=∠，那么ABC 与DCB △全等吗？请说明理由．【答案】全等，理由见解析【解析】【分析】利用AAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：全等，理由是：在ABC 和DCB △中，A D ABC DCB BC CB ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS ABC DCB ≌．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．20. 某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s （米）与小明出发的时间t （秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（2）求小明和朱老师的速度；（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为 米．【答案】（1）t ，s （2）朱老师的速度为2米/秒，小明的速度为6米/秒（3）2，300和420【解析】【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；（2）根据速度=路程÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度；（3）根据函数图象即可得到结论．【小问1详解】观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t ，因变量为距起点的距离s ．故答案为：t ，s ；【小问2详解】朱老师的速度为：(300200)502−÷=（米/秒）； 小明的速度为：300506÷=（米/秒）． 答：朱老师的速度为2米/秒，小明的速度为6米/秒；【小问3详解】由图象得：小明与朱老师相遇2次，相遇时距起点的距离分别为300和420米，故答案为：2，300和420．【点睛】本题考查了函数的图象，观察函数图象找出点的坐标是解题的关键．21. 将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．（1）观察图1，写出代数式()2a b +，()2a b −，ab 之间的等量关系：__________； （2）若6x y +=，4xy =，则22x y +=________；()2x y −=______； （3）如图2，边长为5的正方形ABCD 中放置两个长和宽分别为m ，n （5m <，5n <）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积123S S S ++的值．【答案】（1）()()224a b a b ab +−−=（2）28，20 （3）10【解析】【分析】（1）根据图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，也可以表示为大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积进行求解即可；（2）先根据完全平方公式求出22236x xy y ++=，再代入4xy =，即可求出22xy +的值，再根据（1）的结论求出()2x y −的值即可；（3）由题意得，()5555ED m HG n m m n BQ n =−=−−=+−=−，，，根据长方形面积和周长得到68.5m n mn +==，，进而得到2219m n +=，再根据正方形面积公式求出()221231051S S S m n m n ++=+-++，代值计算即可得到答案．【小问1详解】解：图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，即4ab ；图1中右边一幅图空白部分面积可以表示大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积，即()()22a b a b +−−； ∴()()224a b a b ab +−−=， 故答案为：()()224a b a b ab +−−=；【小问2详解】 解：∵6x y +=， ∴()22636x y +==， ∴22236x xy y ++= 又∵4xy =， ∴22836x y ++=， ∴2228x y +=， ∵()()224x y x y xy +−−=， ∴()()224364420x y x y xy −+−−×， 故答案为：28，20；【小问3详解】 解：如图所示， 由题意得，()5555ED m HG n m m n BQ n =−=−−=+−=−，，，∵长方形的周长为12，面积为8.5， ∴1268.52m n mn +，， ∴()2222361719m n m n mn +=+-=-=∴()()()222123555S S S mm n n ++=-++-+- ()()()2225655m n =-+-+-22102511025m m n n =-+++-+()221051m n m n =+-++1910651=-⨯+10=．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及其在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．五、解答题三（本大题共2小题，每题12分）22. （1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．（2）应用：如图（2），已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，半圆面积分别记为1S ，2S ，则12=S S +______.（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN 表示一条铁路，A ，B 是两个城市，它们到铁路所在直线MN 的垂直距离分别为40AC =千米，60BD =千米，且80CD =千米．现要在CD 之间建一个中转站O ，求O 应建在离C 点多少千米处，才能使它到A ，B 两个城市的距离相等．【答案】（1）见解析；（2）92π；（3）O 应建在离C 点52.5千米处． 【解析】【分析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S 1+S 2等于以斜边为直径的半圆面积；（3）设CO=xkm ，则OD=（80-x ）km ，在Rt △AOC 和Rt △BOD 中，利用勾股定理分别表示出AO 和BO 的长，根据AO=BO 列出方程，求解即可．【详解】（1）由面积相等可得2111()()2222a b a b ab c ++=×+， ∴2()()2a b a b ab c ++=+，的∴22222a ab b ab c ++=+，∴222+=a b c ．（2）2118S AC π= ，2218S BC π=， ∴()22212 119882S S AC BC AB πππ+=+==． 故答案为：92π （3）设CO x =千米，则()80-OD x =千米．∵O 到A ，B 两个城市距离相等，∴AO BO =，即22AO BO =，由勾股定理，得22224060(80)x x +=+−，解得52.5x =．即O 应建在离C 点52.5千米处．【点睛】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键．23. 在ABC 中，90BAC ∠=°，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．【特例体验】（1）如图1，若直线l BC ∥，1BD =，则线段DE 的长为______．【探究应用】（2）如图2，若直线l 从图1状态开始绕点A 顺时针旋转()045αα°<<°时，线段BD 、CE 和DE 的数量关系是________；（3）如图3，若直线l 从图1状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα°<<°时与线段BC 相交，探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由（4）若BD a =，CE b =（a ，b 均为正数），请你直接写出以点B 、D 、C 、E 为顶点的四边形的面积．的【答案】（1）1；（2）DE BD CE =+；（3）DE BD CE =−，理由见解析；（4）221122a b − 【解析】 【分析】（1）先证ABD △和ACE △是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出BD ，DE 和CE 的长即可；（2）先证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE △△≌，进而解答即可；（3）先证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE △△≌，进而解答即可；（4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可．【详解】（1）在ABC 中，90BAC ∠=°，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=°，l BC ∥ ，45DAB ABC ∴∠=∠=°，45CAE ACB ∠=∠=°，45DAB ABD ∴∠=∠=°，45EAC ACE ∠=∠=°，1AD BD ∴==，AE CE =，AB AC ==1AD BD AE CE ∴====，2DE ∴=； （2）DE BD CE =+在Rt ADB 中，90ABD BAD ∠+∠=°，90BAC ∠=° ，90BAD CAE ∴∠+∠=°，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠ ∠=∠=° =， (AAS)ABD CAE ∴△≌△；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+．（3）DE BD CE =−．理由如下：在Rt ADB 中，90ABD BAD ∠+∠=°，90BAC ∠=° ，90BAD CAE ∴∠+∠=°，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠ ∠=∠=° =， (AAS)ABD CAE ∴△≌△；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=−=−．（4）由（2）可得，四边形BDEC 的面积()()21122CE BD DE a b =×+×=+；由（3）可得，四边形BDCE 的面积()()()22111111222222BD DE CE DE DE BD CE a b a b a b =××+××=+=×−+=−． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键．。

2024-2025年广东省佛山市南海区八年级上册期中考试模拟卷一一．选择题（共10小题，每小题3分） 1．下列各数中，是无理数的是( )ABC ． 1.414−D ．2272．下列运算正确的是( )A B ．C ．2a b =+D =3．下列表示y 与x 之间的关系的图象中，y 不是x 的函数的是( )A ．B ．C ．D ．4．已知一次函数y kx b =+k ，b 的取值范围是( )A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．0k <，0b >D ．0k <，0b <5．一次函数132y x =−+的图象过点1(x ，1)y ，1(2x +，2)y ，则1y 和2y 的大小关系是( )A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．无法确定6．下列各组数不是二元一次方程28x y +=的解的是( ) A ．08x y = =B ．32x y = =C ．51x y = =−D ．40x y = =7．如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度()y 与注水时间()x 关系的是( )A ．B ．C ．D ．8．如图所示，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是( )A ．AB =B ． 4.5ABC S ∆= C ．点A 到直线BC 的距离为2D ．90BAC ∠=°9．在下列叙述中：①正比例函数2y x =的图象经过二、四象限；②一次函数23y x =−中，y 随x 的增大而减小；③函数31y x =+中，当1x =−时，函数值2y =−；④一次函数1y x =+的自变量x 的取值范围是全体实数．正确的个数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标(0,3)，点B 坐标(4,0)，OAB ∠的平分线交x 轴于点C ，点P 、Q 分别为线段AC 、线段AO 上的动点，则OP PQ +的最小值为( )A ．2B ．65 C ．95D ．125二．填空题（共5小题，每小题3分）11．点(1,2)P −在平面直角坐标系中所在的象限是第 象限．12在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．13．若2(2)4y m x m =++−是关于x 的正比例函数，则常数m = ．14．已知一次函数2(1)2y k x =+−和5y x =−+相交于点(2,3)A ，则不等式2(1)25k x x +−<−+中x 的取值范围为 ．15．如图，CD 是直线1x =上长度固定为1的一条动线段．已知(1,0)A −，(0,4)B ，则四边形ABCD 周长的最小值为 ．三．解答题一（共38分）16．计算02(3)(3)4−+−−．17．解方程组23532x y x y −=+=①②．18．问题背景：在ABC∆中，AB，BC，AC，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点ABC∆三∆（即ABC个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求ABC∆的高，借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求ABC∆面积的方法叫做构图法．（1）请你将ABC∆的面积直接填写在横线上；（2）若DEF∆，，，请利用右图的正方形网格（每个小正方形的边长为1)在第四象限画出相应的DEF∆；（3）在图中画出ABCA B C．∆关于x轴的对称图形△111四．解答题二（共3小题，每小题9分）19．如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为8米．已知牵线放风筝同学的身高为1.60米，放出的风筝线长度为17米（其中风筝本身的长宽忽略不计）（1）求此刻风筝离地面的高度；（2）为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿CD方向下降9米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？20．甲、乙两位同学一起解方程组51542ax yx by+=…=−…①②由于甲看错了方程①中的a，得到的解为31xy=−=−，乙看错了方程②中的b，得到的解为54xy==，试根据上述条件，求解下列问题：（1）求a、b的值；（221．某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．五．解答题三（共2小题，每小题12分）22．如图，直线1l 的解析表达式为33y x =−+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A ，B ，直线1l ，2l ，交于点C ．（1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC ∆的面积．23．如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点(4,0)A 、(0,4)B ，点P 在x 轴上运动，连接PB ，将OBP ∆沿直线BP 折叠，点O 的对应点记为O ′．（1）求k 、b 的值；（2）若点O ′恰好落在直线AB 上，求OBP ∆的面积；（3）将线段PB 绕点P 顺时针旋转45°得到线段PC ，直线PC 与直线AB 的交点为Q ，在点P 的运动过程中，是否存在某一位置，使得PBQ ∆为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：AB 3=，是整数，属于有理数，不符合题意；C 、 1.414−是有限小数，属于有理数，不符合题意；D 、227是分数，属于有理数，不符合题意． 故选：A ．2．【解答】解：A 不能合并，故A 不符合题意；B 、6a =，故B 不符合题意；C 、2a b +=++C 不符合题意；D =D 符合题意；故选：D ．3．【解答】解：A ，B ，D 三个选项中，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，正确． 选项C 中一个x 对应两个y 值，不是函数． 故选：C ．4．【解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限， 则0k >，0b <． 故答案为B ．5．【解答】解： 一次函数132y x =−+中，12k =−，y ∴随x 值的增大而减小，112x x x +>> ， 12y y ∴<，故选：A ．6．【解答】解：A ．将08x y = = 代入方程28x y +=，满足方程，不符合题意；3.2x B y = =代入方程28x y +=，满足方程，不符合题意； 5.1x C y = =−代入方程28x y +=，不满足方程，符合题意； 4.0x D y = =代入方程28x y +=，满足方程，不符合题意； 故选：C ．7．【解答】解：当水的深度未超过球顶时，水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时，水槽中能装水的部分宽度不再变化，所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D ．8．【解答】解：由题意得： 2222420AB =+=，AB ∴，故A 不符合题意； 由题意得： 222215AC =+=， 2223425CB =+=，222AC AB BC ∴+=， ABC ∴∆是直角三角形， 90BAC ∴∠=°，故D 不符合题意；AC = AB = ABC ∴∆的面积12AC AB ⋅12=5=，故B 符合题意；设点A 到直线BC 的距离为h ， ABC ∆ 的面积为5，5BC =， ∴152BC h ⋅=， 2h ∴=，∴点A 到直线BC 的距离为2，故C 不符合题意； 故选：B ．9．【解答】解：①正比例函数2y x =的图象经过一、三象限，故①错误； ②一次函数23y x =−中，y 随x 的增大而增大，故②错误； ③函数31y x =+中，当1x =−时，函数值为2y =−，故③正确； ④一次函数1y x =+的自变量x 的取值范围是全体实数，故④正确． 则正确的个数为2个． 故选：B ．10．【解答】解：在AB 上取一点G ，使AG AQ =，连接PG ，过点O 作OH AB ⊥与H ， CAO BAC ∠=∠ ，AP AP =，()APQ APG SAS ∴∆≅∆， PQ PG ∴=，OP PQ OP PG ∴+=+，点O 到直线AB 上垂线段最短， OP PG ∴+最小值为OH 的长度，1122ABC S AB OH AO BO ∆⋅⋅ ， 341255AO BO OH AB ⋅×∴， OP PQ ∴+的最小值为125， 故选：D ．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：点(1,2)P −在平面直角坐标系中所在的象限是第四象限． 故答案为：四．12．【解答】解：根据题意得：40x −>，解得4x <，故答案为：4x <．13．【解答】解：2(2)4y m x m =++− 是关于x 的正比例函数，20m ∴+≠，240m −=， 解得：2m =．故答案为：2．14．【解答】解：如图所示：由图象得：不等式2(1)25k x x +−<−+中x 的取值范围为：2x <． 故答案为：2x <．15．【解答】解：如图，在y 轴上取点E ，使1BE CD ==，则四边形BCDE 为平行四边形，(0,4)B ，(1,0)A −，4OB ∴=，1OA =，3OE ∴=，AB ==，作点A 关于直线1x =的对称点A ′，(3,0)A ′∴，AD A D ′=，AD DE A D DE ′∴+=+，即A ′、E 、D 三点共线时，AD DE +最小值为A E ′的长，在Rt △A OE ′中，由勾股定理得A E ′，ABCD C ∴四边形最小值1AB CD BC AD AB CD A E ′=+++=++++，1+三．解答题（共8小题）16．【解答】解：原式19=++−10=．17．【解答】解：23532x y x y −= +=①②， ①+②3×得，1111x =，解得，1x =，将1x =代入②得，312y ×+=，解得，1y =−，故方程组的解为：11x y = =−． 18．【解答】解：（1）ABC ∆的面积为1117(23)321322222×+×−××−××=．故答案为：72．（2）如图，DEF∆即为所求．（3）如图，△111A B C即为所求．19．【解答】解：（1）由题意得：17BC=米，90BDC∠=°，8BD=米， 1.60DE=米，在Rt CDB∆中，由勾股定理得：15CD=（米)，15 1.616.6CE CD DE∴=+=+=（米)，答：此刻风筝离地面的高度为16.6米；（2）如图，设风筝沿CD米至M点，则9CM=米，1596DM CD CM∴=−=−=（米)，10BM∴（米)，17107BC BM∴−=−=（米)，答：放风筝的同学要使风筝沿CD方向下降9米，若该同学站在原地收线，他应该往回收线7米．20．【解答】解：（1）将31x y =− =−代入方程②得122b −=−−， 解得10b =，将54x y = =代入方程①得52015a +=， 解得1a =−；（2）当1a =−，10b =时，原式==320.4=−−0.6=．21．【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x 元/件，乙种奖品的单价为y 元/件，依题意，得：2402370x y x y += +=， 解得2010x y = =， 答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．（2）设购买甲种奖品m 件，则购买乙种奖品(60)m −件，设购买两种奖品的总费用为w 元， 甲种奖品不少于20件，20m ∴ ．依题意，得：2010(60)10600w m m m +−+，100> ，w ∴随m 值的增大而增大，∴当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．22．【解答】解：（1）由33y x =−+，令0y =，得330x −+=， 1x ∴=，(1,0)D ∴；（2）设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：4x =，0y =；3x =，32y =−， ∴40332k b k b += +=−， ∴326k b = =− ，∴直线2l 的解析表达式为362y x =−；（3）由33362y x y x =−+ =− ， 解得23x y = =−， (2,3)C ∴−，3AD = ，193|3|22ADC S ∆∴=××−=． 23．【解答】解：（1） 点(4,0)A 、(0,4)B 在直线y kx b =+上，∴404k b b += =， 解得：1k =−，4b =；（2）存在两种情况：①如图1，当P 在x 轴的正半轴上时，点O ′恰好落在直线AB 上，则OP O P ′=，90BO P BOP ′∠=∠=°， 4OBOA == ， AOB ∴∆是等腰直角三角形，AB ∴，45OAB ∠=°，由折叠得：OBP O BP ′∠=∠，BP BP =，OBP ∴∆≅△()O BP AAS ′，4O B OB ′∴==，4AO ′∴=，Rt △PO A ′中，4O PAO OP ′′==−=， 1144)822BOP S OB OP ∆∴=⋅=××−=−； ②如图所示：当P 在x 轴的负半轴时，由折叠得：90PO B POB ′∠=∠=°，4O B OB ′==， 45BAO ∠=° ，4PO PO AO ′′∴===+，1144)822BOP S OB OP ∆∴=⋅=××=+；（3）分4种情况：①当BQ QP =时，如图2，P 与O 重合，此时点P 的坐标为(0,0)； ②当BP PQ =时，如图3，∠=°，BPC45∴∠=∠=°，PQB PBQ22.5，∠=°=∠+∠OAB PBQ APB45∴∠=°，22.5APB∴∠=∠，ABP APB∴==，AP AB∴=+，OP4∴+，0)；(4P③当PB PQ=时，如图4，此时Q与C重合， ，∠=°BPC45∴∠=∠=°，67.5PBA PCBAPC∠=°，∆中，22.5PCA∴∠=+°=°，APB4522.567.5∴∠=∠，ABP APB∴==，AB AP∴，4OPP∴−，0)；(4④当PB BQ=时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，P−；∴此时(4,0)综上，点P的坐标是(0,0)或(4+0)或(4−，0)或(4,0)−．。

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教版八年级上册11.1-12.1。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

6．难度系数：0.8。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．下列四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（）A．20B．24C．26D．284．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（）A．BF＝CF B．∠BAE＝∠EACC．∠C+∠CAD＝90°D．S△BAE＝S△EAC5．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A ＝60°，∠E＝45°，若AB∥CF，则∠CBD的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．35°7．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是（）A．外角和减少180°B．外角和增加180°C．内角和减少180°D．内角和增加180°8．如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C 后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（）A．30°B．40°C．45°D．60°9．如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（）A．180°﹣α﹣βB．α+βC．α+2βD．2α+β10．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的3×3网格，图形ABCD中各个顶点均为格点，设∠ABC ＝α，∠BCD＝β，∠BAD＝γ，则α﹣β﹣γ的值为（）A．30°B．45°C．60°D．75°第Ⅱ卷二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

广东省八年级上学期数学第一次月考试卷（I）卷一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）A . 3，4，5B . 6，8，10C . 5，12，13D . 13，16，182. （2分）下列说法正确的是（）A . 一个正数的平方根和立方根都只有一个；B . 0 的平方根和立方根都是0；C . 1 的平方根与立方根都等于它本身；D . 一个数的立方根与其自身相等的数只有-13. （2分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A . 5B . 4C .D .4. （2分）如图（1）是长方形纸带，∠DEF=α，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF 折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是（）A . 2αB . 90°+2αC . 180°﹣2αD . 180°﹣3α5. （2分）如图，长方形OABC中，OA=12，AB=5，OA边在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A . 12B . 13C . 15D . 176. （2分）若a2=9， =﹣2，则a+b=（）A . ﹣5B . ﹣11C . ﹣5 或﹣11D . ±5或±117. （2分）下列各式正确的是（）A . =±3B . =2C . -32=9D . (-2)3=-88. （2分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=6．E是BC边上一动点，F是CD边的中点．将△ABE沿AE折叠到△AB'E，则B'F的最小值为（）．A . 1B . 1．5C . 2D . 2．510. （2分）已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（）.A . 116cmB . 29cmC . cmD . cm二、填空题 (共10题；共10分)11. （1分）计算：＝________.12. （1分）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为________.13. （1分）二次根式中字母x的取值范围是________14. （1分） ________，近似数1.98×105 精确到________位。

广东省佛山市佛山实验学校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列各数3π，3.141592658-227中，无理数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．下列各组数中是勾股数的是（）A ．12B ．12，16，20C ．23，24，25D ．0.5，1.2，1.33．下列二次根式是最简二次根式的是()ABC D 4．如图，分别以直角ΔA 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1S =（）A ．9B ．5C ．53D ．455．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10cm ，a ：b ＝3：4，则△ABC 的周长（）A ．12cmB ．20cmC ．24cmD ．48cm6．如图，数轴上的点P 表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）A ．B CD ．π7．下列运算正确的是()A=B =C 5=-D ．÷=8．下列说法中正确的有（）①±2都是8的立方根＝x32．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ．若AC ＝3，AB ＝5，则BE 等于（）A ．2B ．103C ．258D ．15210．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，90BAC ∠=︒，3AB =，5BC =，点,,,,,D E F G H I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（）A ．121B ．110C ．100D ．90二、填空题11．比较大小：填“＞”“＜”或“＝”)．12+（y ﹣3）2＝0＝．13．如图，ABC V 中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，CD AB ⊥于点D ．则CD 的长为．14．如图，圆柱体中底面周长是12cm ，AC 是底面直径，高12cm BC =，点P 是BC 上一点且8cm PC =，一只从A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到P 点，则小虫爬行的最短路程是．15．如图所示，已知△ABC 中，90B Ð=°，16BC cm =，20AC cm =，点P 是△ABC 边上的一个动点，点P 从点A 开始沿A→B→C→A 方向运动，且速度为每秒4cm ，设出发的时间为()t s ，当点P 在边CA 上运动时，若△ABP 为等腰三角形，则运动时间t =．三、解答题16．求下列各式中x 的值：(1)(x ＋2)2－36＝0;(2)64(x ＋1)3＝27.17．计算：(1)(()201811213++--；(2)⎛÷ ⎝18．已知一个正数的平方根分别是21a +和4a -，又4b -的立方根为−2．(1)求a ，b 的值；(2)求5a b -的算术平方根．19a ，小数部分为b (1)求a 和b ．(2)求)14ba 的值．20．如图，在四边形ABCD 中，已知90B Ð=°，2AB BC ==，1AD =，3CD =．(1)求AC 的长度；(2)求DAB ∠的度数；(3)作图，在数轴上找到AC 长度对应的点，并标注为点P ．（要求保留作图痕迹）21．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：课题测量学校旗杆的高度工具绳子、皮尺等测量示意图说明：线段AB 表示学校旗杆，AB 垂直地面于点B ，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段BC ，用皮尺测出BC 的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D 处，用皮尺测出BD 的距离．测测量项目数值量数据图1中BC 的长度1米图2中BD 的长度5米(1)根据以上测量结果，请求学校旗杆AB 的高度；(2)若BC a=，BD b =，请用关于a ，b 的代数式表示学校旗杆AB 的高度．22．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．2=1)1)2+⨯-=，11互为有理化因式．（1的有理化因式是______（写出一个即可），2_______（写出一个即可）；[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．（2[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．=（323．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ．①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为；②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2．（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝13，CD ＝5，求AD 2．。