江西省上饶县中学2016届高三上学期数学(理)第四周周二晚测试题Word版含答案

上饶县中学2016届高三年级上学期第二次月考数 学 试 卷(理A)时间:120分钟 总分:150分一 、选择题（本大题共12小题，每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{}41<<=x x A ，集合{}0322≤--=x x x B ，则()=B C A R （ ）A. ()41，B. ()43，C. ()31，D.()()4321，，2、已知命题,03,:>∈∀x R x p 则（ ） A. ,03,:00≤∈∃⌝xR x p B. ,03,:≤∈∀⌝x R x pC. ,03,:00<∈∃⌝x R x pD. ,03,:<∈∀⌝x R x p3、已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0,210,)(21x x x x f x则=-))4((f f （ ）A. 4-B. 41-C. 4D.64、已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩则当方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围（ ）A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 11,4e ⎛⎫⎪⎝⎭5、已知平面向量与的夹角为。

60，(),10,2==a=+（ ）A. 22B. 32C. 12D.106、在等差数列{}n a 中，已知)4(3218a a -=，则该数列的前11项和=11S （ ）A. 33B. 44C. 55D.667、曲线x x y ln 2-=在点()2,1处的切线方程为（ ）A. 1--=x yB. 3+-=x yC. 1+=x yD.1-=x y8、．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则其导函数'()f x 的解析式为( )A.'()f x =2sin （124x π+） B. '()f x =sin （1524x π+）C. '()f x =2sin （24x π+） D. '()f x =122sin （324x π+）9、将函数)3sin(2π-=x y 的图像向左平移6π个单位，所得函数图像的一条对称轴是（ ）A. 6π=xB. 6-π=x C. 3-π=xD.3π=x10、已知,41)6tan(,53)tan(=-=+παβα那么=+)6tan(πβ（ ）A.16B. 723C. 1318D.132211、已知点Q P ,为ABC ∆中不同的两个点，若320,P A P BP C ++= 3450,QA QB QC ++=则=∆∆Q AB PAB S S :（ ）A. 2:1B. 5:2C. 2:5D.1:212、已知A B C ∆是半径为5的圆O 的内接三角形，且,34tan =A 若),,(R y x AC y AB x AO ∈+=则y x +的最大值为（ ）A.34B.332 C. 1D.85 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13、若函数42331)(23++-=ax x x x f 恰在[]4,1-上单调递减，则实数a 的值为 . 14、若2tan =α，则=+-ααααcos sin cos sin 2 . 15、在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若c b a ,,成等差，。

2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）期中数学试卷（理科）（零、培优、实验、理补班）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4+a25=5，则一定有（）A．a6是常数 B．S7是常数 C．a13是常数D．S13是常数【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】将S4+a25=5有首项与公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得到答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}中S4+a25=5，∴，∴a1+6d=1，即a7=1，∴，故选：D．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，属于一道基础题．3．若0＜x＜y＜1，0＜a＜1，则下列不等式正确的是（）A．3log a x＜log a y2 B．cosax＜cosayC．a x＜a y D．x a＜y a【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题；不等式．【分析】利用幂函数的性质判断即可．【解答】解：∵0＜x＜y＜1，0＜a＜1，∴x a＜y a，故选：D．【点评】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握幂函数的单调性是解本题的关键．4．记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】弦切互化．【专题】计算题．【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．【解答】解：法一，所以tan100°=﹣tan80°=．：法二cos（﹣80°）=k⇒cos（80°）=k，=【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．5．已知点A（﹣1，0），B（1，0），过定点M（0，2）的直线l上存在点P，使得，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．DD．【考点】平面向量数量积的运算；直线的倾斜角．【专题】平面向量及应用．【分析】先需要设出直线l的方程，所以需讨论l是否存在斜率：存在斜率时l方程便为y=kx+2，这样即可设出P（x，kx+2），所以能得到的坐标，从而根据条件会得到关于x的不等式（1+k2）x2+4kx+3＜0，要满足条件，该不等式便有解，从而△＞0，这样便得到k，这样即可求出此时l倾斜角α的范围；而不存在斜率时，用与上面类似的方法容易判断出这种情况满足条件，从而得到，这两种情况的α求并集即可．【解答】解：如图，（1）若l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+2；∴设P（x，kx+2）；∴=（﹣1﹣x，﹣kx﹣2）•（1﹣x，﹣kx﹣2）=（1+k2）x2+4kx+3＜0；∴该不等式有解；∴△=16k2﹣12（1+k2）＞0；解得k，或k；∴；∴，且；（2）若l不存在斜率，则l方程为x=0；∴设P（0，y）；∴；∴﹣1＜y＜1；即存在P点使；而此时；∴综上得直线l的倾斜角的范围是．故选：A．【点评】考查直线的点斜式方程，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，一元二次不等式是否有解和判别式△的关系，熟悉正切函数的图象，知道倾斜角的取值范围，注意不要漏了斜率不存在的情况．6．设，，且tanα=，则下列结论中正确的是（）A．2α﹣β=B．2α+β= C．α﹣β=D．α+β=【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式得出，然后分子分母同时除以cosβ，最后由角的范围得出答案即可．【解答】解：．因为，β+∈（，），所以．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角的应用，属于基础题．7．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】化简|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化简|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由题意可得（，）⊆（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之间的关系．【解答】解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b 即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）⊆（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故选A．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题．8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的解集为（）A．[﹣1，0）∪（3，4]B．[﹣1，0）C．（3，4]D．[﹣1，4]【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由已知令x=y=1求得f（1）=0，再求f（2）=﹣1，即有f（4）=﹣2，原不等式f （﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．【解答】解：由于f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1则f（1）=2f（1），即f（1）=0，则f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=0，由于，则f（2）=﹣1，即有f（4）=2f（2）=﹣2，不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．由于对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），则f（x）在（0，+∞）上递减，则原不等式即为，即有，即有﹣1≤x＜0，即解集为[﹣1，0）．故选B．【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和运用：解不等式，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．9．已知x，y满足，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（）A．（2，﹣2）B．（﹣4，0）C．（4，0） D．（7，3）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由图象可得最优解．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由平面区域可知，使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（4，0）；故选C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）==，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，∵当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于0，故排除BC，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题．11．已知点G是△ABC的重心，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（）A．B．C． D．【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题．【分析】由三角形重心的性质可得，，设，由向量数量积的定义可知，可得xy=4，然后根据向量数量积的性质可得|=，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，∵∠A=120°，，则根据向量的数量积的定义可得，设∴即xy=4==x2+y2≥2xy=8（当且仅当x=y取等号）∴即的最小值为故选：C【点评】此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题，解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所求的问题转化为==，还利用了基本不等式求解最值．12．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y0）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y1）处的切线为l2，若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（，+∞）C．（1，）D．[1，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为﹣1，列出关于x0的等式，求出a，对a的函数求得导数，判断为减函数，求出其值域即可得到a的取值范围【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为k1=（ax0+a﹣1），函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为k2=（x0﹣2），由题设有k1•k2=﹣1从而有（ax0+a﹣1）•（x0﹣2）=﹣1，∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3，∵x0∈[0，]，得到x02﹣x0﹣2≠0，所以a=，又a′=﹣，令导数大于0得，1＜x0＜5，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为；x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．故选D．【点评】此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知x，y∈（0，+∞），，则的最小值为3．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由可得x+y=3；化简=•+•=++，从而利用基本不等式求最值．【解答】解：∵，∴x﹣3=﹣y；即x+y=3；故=•+•=++≥+2=+=3；（当且仅当=，即x=1，y=2时，等号成立）故答案为：3．【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题．14．已知数列{a n}中a1=2，a2=1，a n+2=（n∈N*），S n是数列{a n}的前n项和，则S2015=5239．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；归纳法；等差数列与等比数列．【分析】由a1=2，a2=1，a n+2=（n∈N*），可得a n+5=a n．即可得出．【解答】解：∵a1=2，a2=1，a n+2=（n∈N*），∴a3==2，a4==4，a5==4，a6==2，a7==1，…，∴a n+5=a n．∴S2015=S5×403=（2+1+2+4+4）×403=5239．故答案为：5239．【点评】本题考查了数列的周期性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋=π（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥（x≥0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【专题】导数的概念及应用；推理和证明．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V==πydy=，故答案为：2π【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键．16．已知函数f（x）=g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，]．其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】分段函数的应用．【专题】阅读型；函数的性质及应用．【分析】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．【解答】解：当x∈[0，]时，f（x）=﹣x是递减函数，则f（x）∈[0，]，当x∈（，1]时，f（x）==2（x+2）+﹣8，f′（x）=2﹣＞0，则f（x）在（，1]上递增，则f（x）∈（，]．则x∈[0，1]时，f（x）∈[0，]，故①正确；当x∈[0，1]时，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0）=﹣acos x﹣2a+2，由a＞0，0≤x≤，则g（x）在[0，1]上是递增函数，故②正确；由②知，a＞0，x∈[0，1]时g（x）∈[2﹣3a，2﹣]，若2﹣3a＞或2﹣＜0，即0＜a＜或a＞，方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解，故③错；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得≤a≤．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求∠B；（2）设函数f（x）=﹣2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用诱导公式、两角和的正弦公式变形，求出cosB的值，即可确定出∠B的大小；（2）根据三角函数图象平移法则、诱导公式求出g（x），再由正弦函数的单调递增区间、整体思想，求出函数g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0及正弦定理得，（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC=0，即2sinAcosB﹣sin（B+C）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，因为sinA≠0，所以cosB=，由B是三角形内角得，B=，（2）由（1）得，B=，则f（x）=﹣2cos（2x+B）=﹣2cos（2x+），所以g（x）=﹣2cos[2（x+）+]，=﹣2cos（2x+）=2sin2x，由得，，故函数g（x）的单调递增区间是：．【点评】本题主要考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题．18．若m∈R，命题p：设x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根，不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，命题q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，求使p且￢q为真命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】对于p，先求出|x1﹣x2|∈[2，4]，再根据不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，得到|m+1|≥4，解得m的范围，对于q，函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，则f′（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，根据判别式求出a的范围，由于p且￢q为真命题，得到p真，q假，问题得解．【解答】解：若命题p为真命题，∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根∴x1+x2=a，x1x2=﹣3，∴|x1﹣x2|==，∵a∈[﹣2，2]，∴|x1﹣x2|∈[2，4]，∵|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，则只要|m+1|≥|x1﹣x2|max在a∈[﹣2，2]成立即可∴|m+1|≥4∴m+1≥4或m+1≤﹣4，∴m≥3，或m≤﹣5，若命题q为真命题，∵f（x）=x3+mx2+（m+）x+3，∴f′（x）=3x2+2mx+（m+），∵函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，∴f′（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，∴△=4m2﹣12m﹣40≥0，解得m≤﹣2，或m≥5，∵p且￢q为真命题，∴p真，q假，∴，解得3≤m＜5，实数m的取值范围为[3，5）【点评】本题目主要考查了复合命题的真假判断的应用，解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题P，Q为真时的m的取值范围，属于中档题．19．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，依题意有，解得：或（舍去），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（Ⅱ）T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1，+（a2n+nb n）=1+S2n+（b1+2b2+…+nb n），∴T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n﹣1令①∴②，∴①﹣②得：，∴，∵，∴．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）=e x+﹣9，h （﹣2）=h（0）=1且h（﹣3）=﹣2．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）﹣x2g（x2）成立，求a的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）令x=﹣x得到g（﹣x）+2g（x）=2e x+﹣9，与g（x）+2g（﹣x）=e x+﹣9构成方程组，解得即可求出g（x），h（x）是二次函数，且h（﹣2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，带值计算即可；（2）构造函数设φ（x）=h（x）+ax+5=﹣x2+（a﹣2）x+6，F（x）=g（x）﹣xg（x）=e x ﹣3﹣x（e x﹣3）=（1﹣x）e x+3x﹣3，转化为，当﹣1≤x≤1时，φ（x）min≥F（x）max．利用导数求出最值即可．【解答】解：（1）∵g（x）+2g（﹣x）=e x+﹣9，①∴g（﹣x）+2g（x）=e﹣x+﹣9，即g（﹣x）+2g（x）=2e x+﹣9，②由①②联立解得，g（x）=e x﹣3．∵h（x）是二次函数，且h（﹣2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，由h（﹣3）=﹣2，解得a=﹣1，∴h（x）=﹣x（x+2）+1=﹣x2﹣2x+1，∴g（x）=e x﹣3，h（x）=﹣x2﹣2x+1．（2）设φ（x）=h（x）+ax+5=﹣x2+（a﹣2）x+6，F（x）=g（x）﹣xg（x）=e x﹣3﹣x（e x﹣3）=（1﹣x）e x+3x﹣3，依题意知，当﹣1≤x≤1时，φ（x）min≥F（x）max．∵F′（x）=﹣e x+（1﹣x）e x+3=﹣xe x+3，在[﹣1，1]上单调递减，∴F′（x）min=F′（1）=3﹣e＞0，∴F（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴F（x）max=F（1）=0，∴解得﹣3≤a≤7，∴实数a的取值范围为[﹣3，7]．【点评】本题考查了函数解析式的求法，和导数和函数的最值问题，培养了学生的转化能力，运算能力，属于中档题．21．设正项数列{a n}的前n项和S n，且满足S n=a+（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3的值，猜想{a n}的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，证明：T n＜．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用递推导思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想a n=n，再用数学归纳法进行证明．（Ⅱ）证法一：由，利用裂项求和法和放缩法进行证明．证法二：利用用数学归纳法进行证明．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想a n=n….3分，证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立．（ⅱ）假设当n=k时，a k=k….4分，则当n=k+1时，，结合a n＞0，解得a k+1=k+1…..6分，于是对于一切的自然数n∈N*，都有a n=n…7分．（Ⅱ）证法一：∵，…10分∴．…14分证法二：用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时，，，….8分（ⅱ）假设当n=k时，…9分则当n=k+1时，要证：只需证：由于所以…13分于是对于一切的自然数n∈N*，都有….14分【点评】本题考查数列的通项公式的求法和证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．22．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；（Ⅱ）是否存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）如果对任意的，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；（Ⅱ）假设存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点，则得到，解此不等式组求得t的取值范围；（Ⅲ）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，然后构造函数F（x）=f（x）﹣，由函数在[e2，+∞）上单调递减，则其导函数在在[e2，+∞）上恒成立，由此求得实数k的取值范围．【解答】解：（I）由f（x）=，得．∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴，∴a=1，∴，x＞0，．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；（Ⅱ）∵x＞1时，，当x→0时，y→﹣∞，由（I）得f（x）在（0，1）上单调递增，∴由零点存在原理，f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：∵函数f（x）在区间（t，t+），t＞0上存在极值和零点．∴，解得．∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为（）；（III）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，则．∴．∴函数F（x）=f（x）﹣在[e2，+∞）上单调递减，又，∴在[e2，+∞）上恒成立，∴k≤lnx在[e2，+∞）上恒成立．在[e2，+∞）上，k≤2．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数零点的判定方法，训练了利用恒成立问题求参数的范围，综合考查了学生的逻辑思维能力和计算能力，是压轴题．。

江西省上饶市2016年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．设U=R，已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则a的范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）2．（5分）（2016广州模拟）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3+4i B．5+4i C．3﹣4i D．5﹣4i3．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若p（ξ＜2a﹣1）=p（ξ＞a+2），则a=（）A．B．C．D．24．已知数列{a n}满足a n+1+a n=n，若a1=2，则a8﹣a4=（）A．4 B．3 C．2 D．15．双曲线﹣y2=1的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．16．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为3的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．9﹣D．27﹣7．已知函数f（x）=4﹣x+2x与g（x）=4x+2﹣x﹣m的图象上存在关于x轴对称的点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．（﹣2，+∞） C．[﹣，+∞） D．[4，+∞）8．（5分）（2016洛阳二模）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤89．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．810．若（x﹣a）2（﹣1）4的展开式中常数项为15，则a的值为（）A．1 B．8 C．﹣1或9 D．1或﹣911．已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于（）A．16π B．20π C．32π D．36π12．设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0）处的切线方程为l：y=g（x），当x ≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f （x）=lnx+2x2﹣x的“类对称点”的横坐标是（）A．e B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知向量=（m，3），=（1，2），且∥，则实数m的值为．14．已知变量x，y满足，则的最小值为．15．已知函数f（x）=，若f（2﹣a）＞f（2a），求a的取值范围为．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++2n﹣6且（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．三、简答题(本大题共5小题，共70分。

上饶中学2015－2016学年高三上学期第一次月考 数 学 试 卷（理科零班、培优、实验、理补）考试时间：120分钟 分值：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（ ） A.φ B.}2,0{ C.}5,1{ D.}5,1,0,2{2、“0>>b a ”是“22b a >”成立的( )条件．A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要 3、函数()()13cos f x x x =+的最小正周期为 ( ) A ．2π B ．32π C ．π D ．2π4、若函数()()3,5,2,5x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()2f 的值为 ( )A.5B.3C.1D.1-5、已知命题p ：若 x y >，则x y -<-；命题q ：若B A >，则B A sin sin >.在命题 ①p q ∨ ②;p q ∧；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是( ) A . ①③ B.①④ C.②③ D.②④6、已知0.12a =，b=ln 0.1，c=sin 1，则 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c7、已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的表达式为( )A ．)181134sin(2)(π-=x x f B ．)9234sin(2)(π+=x x f C ．)4323sin(2)(π-=x x f D ．)423sin(2)(π+=x x f8、计算dx x )11(12⎰-+的结果为（ ）A.1B.4π C. 21π+ D. 41π+9、将函数y= sin （2x+θ）的图象向右平移6π个单位，得到的图象关于x=4π对称，则θ的一个可能的值为 ( ) A ．π32B ．32π-C ．π65D ．65π-10、 定义在R 上的函数)(x f 满足)2()2(),()(+=--=-x f x f x f x f ，且)0,1(-∈x 时，512)(+=x x f ，则)20(log 2f =（ ） A ．54 B ．54- C ．1 D ．1- 11、设函数()f x '是奇函数()f x ()x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得函数()0f x >成立的x 取值范围是（ ）A. ()()1,01,-+∞UB. ()(),10,1-∞-UC. ()(),11,+-∞-∞UD. ()()1,00,1-U12、函数22()log (0)1x g x x x =>+，关于方程2()()230g x m g x m +++=有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A. 32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦C. (44-+D. ((),44-∞-++∞U 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、集合{}{}{}3,2,,4a A B a b A B A B ==⋂=⋃，则，则则=+b a _______________ 14、设a 为实数,函数x a ax x x f )3()(23-++=的导函数为)('x f ,且)('x f 是偶函数，则曲线)(x f y=在2=x 处切线的斜率为____________________.15、若满足3,,3===∠BC m AC ABC π的ABC ∆恰有一解，则实数m 的取值范围是___________________________16、若函数)(x f 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立， 则称函数)(x f 为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①xx f 2)(=；②xx f 1)(=； ③)2lg()(2+=x x f ；④x x f πcos )(=．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为___________________三．解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余各小题每题12分，共70分） 17、 (本小题满分10分)已知集合{}{}3)2(log |,73|2<-=<≤=x x B x x A ， 求A C R (∪)B ,)(A C R ∩B18、(本小题满分12分)已知两个命题r (x )：对∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m ，s (x )：对∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0. 如果r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．19、 (本小题满分12分)已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （1）求ω的值及)(x f 的增区间；（2）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.20、(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知CcB b a cos cos 3=-． (1)求C sin 的值； (2)若3=c ，求ABC ∆的面积S 的最大值．21. (本小题满分12分)已知),(3)(23R x b ax x x f ∈+-=其中R b a ∈≠,0 （1）求)(x f 的单调区间;（2）设]43,21[∈a ，函数)(x f 在区间]2,1[上的最大值为M ，最小值为m ，求m M - 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数()ln ()=+∈f x ax x x a R（1）若函数)(x f 在区间),[+∞e 上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =且Z k ∈时，不等式(1)()k x f x -<在(1,)x ∈+∞上恒成立，求k 的最大值.上饶中学2015－2016学年高三上学期第一次月考 数学参考答案（理科零班、培优、实验、理补）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 6 14. 9 15 3233≥=m m 或 16. ①、④ 三．解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余各小题每题12分，共70分） 17. 解：A C R (∪)B ={}10,2|≥≤x x x 或. .........................（5分） )(A C R ∩B ={}107,32|<≤<<x x x 或. .........................（10分）18. 解：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m <－ 2..............（2分）又当s (x )为真命题，即x 2＋mx ＋1>0恒成立， 有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2. .................................... .................. ......... .........................（3分）∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2；...............（7分）当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2<m <2，即－2≤m <2. ...............（11分） 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m <2. . .........................（12分）19. 解：∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+= =)42sin(2πω+x ..................................................................（2分） ∵π=T 且ω>， 故1,22==ωπωπ则......................................................................（4分）此时)42sin(2)(π+=x x f ，由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ得：)(883Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ ∴函数)(x f 的增区间为)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ...............................................（6分） （II ） 由(1)知)42sin(2)(π+=x x f ∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ..........（7分）∴1)42sin(22≤+≤-πx .∴2)42sin(21≤+≤-πx ............................（9分） ∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y 取得最大值为2............................................（12分）20..解：(1)由C c B b a cos cos 3=-得CCB B A cos sin cos sin sin 3=-,即 AC B C B C B C A sin )sin(sin cos cos sin cos sin 3=+=+=,,31cos =∴C 由于),,0(π∈C 故322sin =C .......................................（6分）(2)由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+=，即ab ab ab ab b a 3432232322=-≥-+= （当且仅当23==b a 时，等式成立） 49≤∴ab ，则,42332sin 21≤==∆ab C ab S ABC 即()423max =∆ABC S ...............（12分）21. 解：（12分）（1）)2(363)(2'a x x ax x x f -=-= 令a x x x f 20,0)('===或得当0>a 时，）），（，在（+∞∞,20)(a x f -单调递增，在)2,0(a 上单调递减当0<a 时，）），（，在（+∞∞,02)(a x f -单调递增，在)0,2(a 上单调递减.....（5分）（2）由4321≤≤a 知)(x f 在]2,1[a 上递减，在]2,2[a 递增097)1()2(>-=-a f f 3334128)2(,128)2(a b b a a a f m b a f M -=+-==+-==81243+-=-a a m M设0)1)(1(121212)(,8124)(2'3<-+=-=+-=a a a a g a a a g所以]4321[)(，在a g 上单调递减，1611)43()(,25)21()(min max ====g a g g a g所以251611≤-≤m M ．..........................（12分）22. 解：（1）2a ≥- . .........................（4分）（2）()()ln ,1f x f x x x x k x =+<-，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立。

2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题．2．已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．已知等比数列前n项和为S n，若S2=4，S4=16，则S6=（）A．52 B．64 C．﹣64 D．﹣52【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，由题意求出公比，再由等比数列的通项公式分别求出S6的值．【解答】解：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，又S2=4，S4=16，故S4﹣S2=12，所以公比为3，由等比数列可得：S6﹣S4=36，解得S6=52，故选：A．【点评】本题考查等比数列的前n项和的性质，即片段和性质，属于中档题．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【专题】计算题．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；5．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，求出面积．【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2，∴底面的面积是=1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴三棱锥的高是，∴三棱锥的体积是故选B．【点评】本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是求出几何体中各个部分的长度，特别注意本题所给的长度1，这是底面三角形斜边的高度．6．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D选项中的命题是错误的故选D【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较强的空间想像能力以及熟练掌握点线面位置关系判断的一些定义，定理及条件，并能灵活组织这些材料作出证明，故也考查了推理论证的能力．7．已知三点A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先求出向量的坐标，由投影的定义便得到向量在向量方向上的投影为，从而根据向量的坐标求向量长度，求数量积即可．【解答】解：=（﹣2，3），；向量在向量方向上的投影为：cos=．故选A．【点评】考查投影的定义，及求投影的公式，向量夹角的余弦公式，根据向量的坐标求向量的长度，以及数量积的坐标运算．8．已知函数，则不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）A．（﹣1，6）B．（﹣6，1）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】本题要先判出f（x）为奇函数和增函数，进而把抽象不等式转化为关于x的一元二次不等式．【解答】解：由题意可知f（x）的定义域为R．∵∴f（﹣x）+f（x）===0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．又f（x）==，由复合函数的单调性可得f（x）为增函数，∴f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0可化为f（x﹣2）＜﹣f（x2﹣4）即f（x﹣2）＜f（4﹣x2），可得x﹣2＜4﹣x2，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，故选D【点评】本题为函数的性质与不等式解法的结合，属中档题．9．已知sin（）=，则sin（）=（）A． B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意和二倍角公式可得cos（﹣2α）的值，再由整体思想和诱导公式可得sin（）=cos（﹣2α），代值可得．【解答】解：∵sin（）=，∴cos（﹣2α）=1﹣2sin2（）=，∴sin（）=sin[﹣（﹣2α）]=cos（﹣2α）=，故选：B．【点评】本题考查二倍角公式和诱导公式，涉及整体的思想，属中档题．10．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．【点评】本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．11．正项等比数列{a n }中，存在两项使得，且a 7=a 6+2a 5，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设正项等比数列的公式为q ，已知等式a 7=a 6+2a 5两边除以a 5，利用等比数列的性质化简求出q 的值，利用等比数列的通项公式表示出a m 与a n ，代入已知等式=4a 1，求出m+n=6，将所求式子变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：∵正项等比数列{a n }中，设公比为q ，a 7=a 6+2a 5，∴=+2，即q 2﹣q ﹣2=0， 解得：q=2或q=﹣1（舍去），∴a m =a 12m ﹣1，a n =a 12n ﹣1，∵=4a 1，∴a m a n =a 122m+n ﹣2=16a 12，即m+n ﹣2=4，∴m+n=6，列举（m ，n ）=（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）即有+=2，，2，，5．当m=2，n=4， +的最小值为．故选A ．【点评】此题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握通项公式是解本题的关键．12．对于函数f （x ），若∀a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）都是某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（ ）A ．f （x ）=8（x ∈R ）不是“可构造三角形函数”B ．“可构造三角形函数”一定是单调函数C．f（x）=（x∈R）是“可构造三角形函数”D．若定义在R上的函数f（x）的值域是[，e]（e为自然对数的底数），则f（x）一定是“可构造三角形函数”【考点】全称命题．【专题】应用题；函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】由题，根据“可构造三角形函数”的定义对四个选项进行判断即可得出正确选项【解答】解：对于A选项，由题设所给的定义知，∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都是某一正三角形的三边长，是“可构造三角形函数”，故A选项错误；对于B选项，由A选项判断过程知，B选项错误；对于C选项，当a=0，b=3，c=3时，f（a）=1＞f（b）+f（c）=，不构成三角形，故C错误；对于D选项，由于＞e，可知，定义在R上的函数f（x）的值域是[，e]（e为自然对数的底数），则f（x）一定是“可构造三角形函数”，故D正确故选：D．【点评】本题考查综合法推理及函数的值域，三角形的性质，理解新定义是解答的关键二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）13．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．14．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．15．函数f（x）=x，x∈[﹣1，1]，，（a≠0），对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，则a的取值范围为[3，4]．【考点】全称命题．【专题】计算题；函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求a的取值范围．【解答】解：因为x1∈[﹣1，1]时，f（x1）∈[﹣1，1]；x2∈[0，1]时，g（x2）∈[5﹣2a，5﹣a]．故有⇒3≤a≤4．故答案为：[3，4]．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，属于对基本知识的考查，是基础题．16．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（2）（4）．（1）A′C⊥BD；（2）∠BA′C=90°；（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°；（4）四面体A′﹣BCD的体积为．【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，依次分析命题：对于（1），可利用反证法说明真假；对于（2），△BA'D 为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°；对于（3）由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知真假；对于（4），利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，则由A′D与BD不垂直，BD⊥CD，故BD与平面A′CD不垂直，则BD仅于平面A′CD 与CD平行的直线垂直，故（1）不正确；由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是（2）正确；由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD为等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，则CA′与平面A′BD所成的角为45°，知（3）不正确；V A′﹣BCD=V C=，故（4）正确．﹣A′BD故答案为：（2）（4）．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．三、解答题：（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BC⊥平面CDE；（3）求三棱锥A﹣BCG的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由三角形的中位线性质得GH∥CD，然后由线面平行的判定定理得答案；（2）由已知结合面面垂直的性质得ED⊥AD，进一步得到ED⊥平面ABCD，即有ED⊥BC．又BC⊥CD，则由线面垂直的判断得答案；（3）依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，即棱锥A﹣BCG 的高h=，然后代入棱锥的体积公式得答案．【解答】（1）证明：∵G、H分别是DF、FC的中点，∴△FCD中，GH∥CD，∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE；（2）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，∴ED⊥AD，AD⊂平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．又BC⊥CD，CD、DE相交于D点，∴BC⊥平面CDE；（3）解：依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，即：h=．∴．【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．18．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，满足f（A）=1（I）求角A的值；（Ⅱ）若sinB=3sinC，△ABC面积为．求a边的长．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】（I）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由特殊角的三角函数值，可得A；（Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，结合面积公式，解方程，即可得到a的值．【解答】解：（I）f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），由f（A）=1，得到2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，∵A为三角形的内角，∴2A+=，即A=；（Ⅱ）利用正弦定理化简sinB=3sinC得：b=3c，∵S△ABC=bcsinA=，即×3c2=，解得：c=1，∴b=3，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣3=7，则a=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，同时考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，属于中档题．19．，B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}．（1）当x∈N时，求A的非空真子集的个数；（2）若A⊇B，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．【专题】计算题．【分析】分别求解不等式可求A={x|﹣2≤x≤5}，集合B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0} （1）由x∈N，可得A，然后根据含有n个元素的集合有2n﹣1个真子集可求（2）分类讨论（2m+1）与（m﹣1）的大小，进而求解出集合B，结合集合之间的包含关系可求m的范围【解答】解：化简集合A={x|﹣2≤x≤5}，集合B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}（1）∵x∈N，∴A={0，1，2，3，4，5}，即A中含有6个元素，∴A的非空真子集数为26﹣2=62个（2）（2m+1）﹣（m﹣1）=m+2①m=﹣2时，B=Φ⊆A②当m＜﹣2 时，（2m+1）＜（m﹣1），所以B=（2m+1，m﹣1），因此，要B⊆A，则只要，所以m的值不存在③当m＞﹣2 时，（2m+1）＞（m﹣1），所以B=（m﹣1，2m+1），因此，要B⊆A，则只要．综上所述，m的取值范围是：m=﹣2或﹣1≤m≤2．…【点评】本题主要考查了知识不等式及二次不等式的求解，及集合的包含关系的综合应用，体现了分类讨论思想的应用20．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=2n+1，n∈N*，令c n=，n∈N*，求数列{c n c n+1}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用递推式可得（n≥2），再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．∴，即，解得d=0（舍）或d=1，∴数列{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）d=n，即a n=n．（II）由，（n≥2），两式相减得，即（n≥2），则，，∴，∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=1，DE=5．（1）求棱锥C﹣ADE的体积；（2）求证：平面ACE⊥平面CDE；（3）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】证明题；探究型；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）在Rt△ADE中，AE，可得S△ADE．由于CD⊥平面ADE，可得V C﹣ADE=CD•S△ADE．（2）由CD⊥平面ADE，可得CD⊥AE，进而得到AE⊥平面CDE，即可证明平面ACE⊥平面CDE；（3）在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，．设F为线段DE上一点，且．过F作FM∥CD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD∥AB．得四边形ABMF是平行四边形，于是AF∥BM，即可证明AF∥平面BCE．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，，∵CD⊥平面ADE，∴棱锥C﹣ADE的体积为：；…（2）∵CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，∴CD⊥AE，又∵AE⊥DE，CD∩DE=D，∴AE⊥平面CDE，又∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面CDE；…（3）结论：在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE，设F为线段DE上一点，且，过点F作FM∥CD交CE于M，则，∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴CD∥AB，又∵CD=6AB，∴MF=AB，FM∥AB，∴四边形ABMF是平行四边形，则AF∥BM，又∵AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…【点评】本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）利用f（1）=0，确定a的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数F（x）=f（x）﹣ax+1，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，（3）将代数式f（x1）+f（x2）+x1x2放缩，构造关于x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴=，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2 =（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．【点评】本题考查了函数性质的综合应用，属于难题．。

2015—2016学年江西省上饶中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ)过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知=1+i（i为虚数单位),则复数z=（)A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知等比数列前n项和为S n，若S2=4，S4=16,则S6=()A．52 B．64 C．﹣64 D．﹣524．已知函数f（x）的导函数为f′(x）,且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=(）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e5．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（)A．B．C．D．6．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A．若m∥β,则m∥l B．若m∥l,则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β7．已知三点A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，4)，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．8．已知函数，则不等式f（x﹣2）+f(x2﹣4）＜0的解集为(）A．(﹣1,6）B．（﹣6，1）C．（﹣2，3) D．（﹣3，2）9．已知sin(）=，则sin（）=（）A．B．C．D．10．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a(x+1）|的图象大致为（) A．B．C．D．11．正项等比数列｛a n｝中,存在两项使得，且a7=a6+2a5，则的最小值是（)A．B．C．D．12．对于函数f（x），若∀a,b，c∈R，f（a），f（b)，f（c）都是某一三角形的三边长,则称f（x）为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（)A．f（x)=8（x∈R）不是“可构造三角形函数"B．“可构造三角形函数”一定是单调函数C．f（x）=（x∈R）是“可构造三角形函数”D．若定义在R上的函数f(x）的值域是［，e]（e为自然对数的底数）,则f(x)一定是“可构造三角形函数”二、填空题(本大题4小题，每题5分，共20分）13．若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16，则a=．14．已知变量x,y满足，则2x+y的最大值为．15．函数f(x)=x，x∈［﹣1，1］,，（a≠0)，对任意的x1∈［﹣1，1］，总存在x2∈［0,1]，使得g（x2）=f（x1）成立，则a的取值范围为．16．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是．（1）A′C⊥BD；（2）∠BA′C=90°；（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°;（4）四面体A′﹣BCD的体积为．三、解答题：（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图,正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直,G,H是DF，FC 的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；(2)求证:BC⊥平面CDE；（3）求三棱锥A﹣BCG的体积．18．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，满足f（A)=1（I)求角A的值;（Ⅱ）若sinB=3sinC,△ABC面积为．求a边的长．19．，B=｛x|（x﹣m+1)（x﹣2m﹣1）＜0｝．（1)当x∈N时,求A的非空真子集的个数；（2)若A⊇B，求实数m的取值范围．20．已知数列｛a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2,a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列｛a n｝的通项公式;(Ⅱ)设数列｛b n}满足:a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=2n+1,n∈N＊，令c n=,n∈N*,求数列{c n c n+1｝的前n项和S n．21．如图，在四棱锥E﹣ABCD中,AE⊥DE，CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6，AB=1，DE=5．(1）求棱锥C﹣ADE的体积;（2）求证：平面ACE⊥平面CDE;（3)在线段DE上是否存在一点F,使AF∥平面BCE？若存在,求出的值；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．（1）若f(1)=0，求函数f（x）的单调减区间；(2）若关于x的不等式f(x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；(3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f(x1)+f（x2）+x1x2=0,证明：x1+x2≥．2015—2016学年江西省上饶中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时,曲线y=sin(2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin(2x+φ）过坐标原点，即O(0，0）在图象上，将（0,0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题．2．已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（)A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值．【解答】解:∵已知=1+i（i为虚数单位）,∴z===﹣1﹣i,故选:D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．已知等比数列前n项和为S n，若S2=4，S4=16，则S6=（）A．52 B．64 C．﹣64 D．﹣52【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，由题意求出公比，再由等比数列的通项公式分别求出S6的值．【解答】解：由等比数列的性质可得S2,S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，又S2=4，S4=16，故S4﹣S2=12,所以公比为3,由等比数列可得：S6﹣S4=36,解得S6=52,故选：A．【点评】本题考查等比数列的前n项和的性质，即片段和性质，属于中档题．4．已知函数f(x)的导函数为f′（x),且满足f（x）=2xf′（1)+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【专题】计算题．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x)进行求导，再把x=1代入,即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x)，且满足f（x)=2xf′（1）+ln x,（x＞0)∴f′(x）=2f′（1)+，把x=1代入f′（x)可得f′(1）=2f′（1）+1，解得f′(1）=﹣1,故选B；【点评】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导,把f′(1）看成一个常数，就比较简单了；5．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形,则两条直角边是,斜边是2与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，求出面积．【解答】解:由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2,∴底面的面积是=1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴三棱锥的高是，∴三棱锥的体积是故选B．【点评】本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是求出几何体中各个部分的长度，特别注意本题所给的长度1，这是底面三角形斜边的高度．6．已知平面α∩β=l,m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β,则m⊥l D．若m⊥l,则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】由题设条件,平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线,结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知,可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交,一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题,因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线;D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D选项中的命题是错误的故选D【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较强的空间想像能力以及熟练掌握点线面位置关系判断的一些定义，定理及条件,并能灵活组织这些材料作出证明,故也考查了推理论证的能力．7．已知三点A（﹣1，﹣1)，B（3,1），C(1，4),则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先求出向量的坐标，由投影的定义便得到向量在向量方向上的投影为,从而根据向量的坐标求向量长度，求数量积即可．【解答】解:=（﹣2，3)，;向量在向量方向上的投影为：cos=．故选A．【点评】考查投影的定义，及求投影的公式，向量夹角的余弦公式,根据向量的坐标求向量的长度,以及数量积的坐标运算．8．已知函数，则不等式f(x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）A．（﹣1，6）B．(﹣6,1) C．（﹣2，3) D．(﹣3，2)【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】本题要先判出f（x）为奇函数和增函数,进而把抽象不等式转化为关于x的一元二次不等式．【解答】解:由题意可知f（x）的定义域为R．∵∴f（﹣x）+f(x）===0,即f(﹣x)=﹣f（x），∴f(x)为奇函数．又f（x）==，由复合函数的单调性可得f（x）为增函数，∴f（x﹣2)+f(x2﹣4)＜0可化为f（x﹣2）＜﹣f（x2﹣4)即f（x﹣2）＜f（4﹣x2），可得x﹣2＜4﹣x2，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，故选D【点评】本题为函数的性质与不等式解法的结合，属中档题．9．已知sin(）=，则sin(）=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意和二倍角公式可得cos（﹣2α)的值,再由整体思想和诱导公式可得sin(）=cos（﹣2α），代值可得．【解答】解:∵sin()=，∴cos(﹣2α）=1﹣2sin2(）=，∴sin（）=sin［﹣（﹣2α）]=cos（﹣2α)=，故选：B．【点评】本题考查二倍角公式和诱导公式,涉及整体的思想，属中档题．10．函数f（x)=x a满足f（2）=4，那么函数g(x）=|log a（x+1）｜的图象大致为（) A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=｜log2（x+1）｜=,分类讨论：当x≥0时,当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质,及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4,∴2a=4,解得a=2．∴g（x)=|log2（x+1)|=∴当x≥0时，函数g（x)单调递增,且g(0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x)单调递减．故选C．【点评】本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．11．正项等比数列｛a n｝中，存在两项使得，且a7=a6+2a5,则的最小值是（)A．B．C．D．【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设正项等比数列的公式为q,已知等式a7=a6+2a5两边除以a5，利用等比数列的性质化简求出q的值，利用等比数列的通项公式表示出a m与a n,代入已知等式=4a1,求出m+n=6,将所求式子变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：∵正项等比数列{a n｝中,设公比为q，a7=a6+2a5，∴=+2,即q2﹣q﹣2=0，解得：q=2或q=﹣1(舍去），∴a m=a12m﹣1，a n=a12n﹣1，∵=4a1,∴a m a n=a122m+n﹣2=16a12，即m+n﹣2=4，∴m+n=6，列举（m,n）=（1,5），（2,4），（3，3），(4，2），(5，1）即有+=2,,2，,5．当m=2，n=4，+的最小值为．故选A．【点评】此题考查了等比数列的通项公式,等比数列的性质，以及基本不等式的运用,熟练掌握通项公式是解本题的关键．12．对于函数f（x），若∀a，b,c∈R，f（a），f(b）,f（c）都是某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（）A．f（x）=8（x∈R）不是“可构造三角形函数”B．“可构造三角形函数"一定是单调函数C．f(x）=（x∈R）是“可构造三角形函数”D．若定义在R上的函数f（x)的值域是［,e］（e为自然对数的底数），则f（x)一定是“可构造三角形函数”【考点】全称命题．【专题】应用题；函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】由题，根据“可构造三角形函数”的定义对四个选项进行判断即可得出正确选项【解答】解：对于A选项,由题设所给的定义知，∀a,b，c∈R，f（a)，f（b），f(c）都是某一正三角形的三边长,是“可构造三角形函数”，故A选项错误;对于B选项，由A选项判断过程知，B选项错误;对于C选项,当a=0，b=3，c=3时，f（a）=1＞f(b)+f（c）=，不构成三角形，故C错误;对于D选项，由于＞e，可知,定义在R上的函数f(x）的值域是[,e]（e为自然对数的底数）,则f（x）一定是“可构造三角形函数”，故D正确故选：D．【点评】本题考查综合法推理及函数的值域，三角形的性质,理解新定义是解答的关键二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）13．若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16，则a=4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意可得(•a•a•sin60°）•a=16,由此求得a的值．【解答】解:由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴(•a•a•sin60°）•a=16,∴a=4,故答案为:4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．14．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y,则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大,此时z最大．由，解得,即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．15．函数f（x）=x,x∈[﹣1，1］，，(a≠0），对任意的x1∈［﹣1,1］,总存在x2∈［0,1］，使得g（x2)=f（x1）成立，则a的取值范围为[3，4］．【考点】全称命题．【专题】计算题；函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求a的取值范围．【解答】解：因为x1∈[﹣1,1]时,f（x1）∈［﹣1，1］；x2∈[0，1］时,g(x2）∈[5﹣2a，5﹣a］．故有⇒3≤a≤4．故答案为：[3，4]．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，属于对基本知识的考查，是基础题．16．如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（2）（4）．（1)A′C⊥BD；（2）∠BA′C=90°；（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°；（4)四面体A′﹣BCD的体积为．【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，依次分析命题：对于（1），可利用反证法说明真假；对于（2)，△BA’D为等腰Rt△,CD⊥平面A’BD，得BA’⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°；对于（3）由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA’D=45°知真假;对于（4)，利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．【解答】解:∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD,则由A′D与BD不垂直，BD⊥CD，故BD与平面A′CD不垂直，则BD仅于平面A′CD与CD平行的直线垂直，故(1)不正确；由题设知：△BA’D为等腰Rt△,CD⊥平面A’BD,得BA’⊥平面A'CD，于是（2）正确；由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B,CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD为等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，则CA′与平面A′BD所成的角为45°，知（3）不正确；=,故（4）正确．V A′﹣BCD=V C﹣A′BD故答案为：(2）（4)．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及三棱锥的体积的计算,同时考查了空间想象能力,论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．三、解答题：（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，正方形ABCD的边长为1,正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G,H是DF，FC的中点．（1)求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BC⊥平面CDE；（3）求三棱锥A﹣BCG的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由三角形的中位线性质得GH∥CD,然后由线面平行的判定定理得答案；（2）由已知结合面面垂直的性质得ED⊥AD,进一步得到ED⊥平面ABCD，即有ED⊥BC．又BC⊥CD，则由线面垂直的判断得答案；(3）依题意:点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，即棱锥A﹣BCG的高h=，然后代入棱锥的体积公式得答案．【解答】（1）证明：∵G、H分别是DF、FC的中点,∴△FCD中，GH∥CD，∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE；（2）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，∴ED⊥AD，AD⊂平面ABCD,∴ED⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．又BC⊥CD,CD、DE相交于D点，∴BC⊥平面CDE；（3）解：依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，即：h=．∴．【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．18．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1．在△ABC中，角A,B,C所对的边是a，b，c，满足f （A）=1（I)求角A的值；(Ⅱ）若sinB=3sinC，△ABC面积为．求a边的长．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】三角函数的求值;解三角形．【分析】（I)运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由特殊角的三角函数值，可得A；(Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，结合面积公式,解方程，即可得到a的值．【解答】解:（I）f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x)=2sin（2x+）,由f（A）=1,得到2sin(2A+）=1,即sin(2A+）=，∵A为三角形的内角，∴2A+=,即A=；（Ⅱ）利用正弦定理化简sinB=3sinC得:b=3c,∵S△ABC=bcsinA=，即×3c2=，解得：c=1，∴b=3，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣3=7,则a=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，同时考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，属于中档题．19．，B=｛x｜（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}．（1）当x∈N时,求A的非空真子集的个数；（2)若A⊇B，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．【专题】计算题．【分析】分别求解不等式可求A={x｜﹣2≤x≤5}，集合B=｛x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0｝（1)由x∈N，可得A,然后根据含有n个元素的集合有2n﹣1个真子集可求（2）分类讨论（2m+1)与（m﹣1）的大小,进而求解出集合B,结合集合之间的包含关系可求m的范围【解答】解:化简集合A=｛x|﹣2≤x≤5}，集合B=｛x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0}(1）∵x∈N，∴A=｛0,1，2，3,4，5｝，即A中含有6个元素，∴A的非空真子集数为26﹣2=62个(2）（2m+1)﹣（m﹣1）=m+2①m=﹣2时，B=Φ⊆A②当m＜﹣2 时，（2m+1）＜（m﹣1）,所以B=（2m+1，m﹣1),因此，要B⊆A，则只要，所以m的值不存在③当m＞﹣2 时，（2m+1）＞(m﹣1），所以B=（m﹣1,2m+1)，因此,要B⊆A,则只要．综上所述，m的取值范围是：m=﹣2或﹣1≤m≤2．…【点评】本题主要考查了知识不等式及二次不等式的求解，及集合的包含关系的综合应用，体现了分类讨论思想的应用20．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,a1=1，且a2,a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n｝的通项公式；（Ⅱ）设数列｛b n｝满足：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=2n+1，n∈N＊，令c n=，n∈N*,求数列{c n c n+1｝的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】(I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用递推式可得（n≥2）,再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：(I）设等差数列｛a n}的公差为d，∵a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．∴,即，解得d=0（舍）或d=1，∴数列{a n｝的通项公式为a n=a1+（n﹣1）d=n，即a n=n．(II）由，(n≥2）,两式相减得，即（n≥2）,则，，∴，∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．21．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6,AB=1，DE=5．（1)求棱锥C﹣ADE的体积；（2)求证:平面ACE⊥平面CDE；（3）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】证明题;探究型;数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．=CD•S△ADE．【分析】（1)在Rt△ADE中，AE，可得S△ADE．由于CD⊥平面ADE,可得V C﹣ADE（2)由CD⊥平面ADE，可得CD⊥AE,进而得到AE⊥平面CDE，即可证明平面ACE⊥平面CDE；(3)在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，．设F为线段DE上一点,且．过F作FM∥CD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD∥AB．得四边形ABMF是平行四边形，于是AF∥BM,即可证明AF∥平面BCE．【解答】解:（1）在Rt△ADE中，，∵CD⊥平面ADE，∴棱锥C﹣ADE的体积为：；…（2）∵CD⊥平面ADE,AE⊂平面ADE,∴CD⊥AE，又∵AE⊥DE,CD∩DE=D，∴AE⊥平面CDE，又∵AE⊂平面ACE,∴平面ACE⊥平面CDE；…（3）结论：在线段DE上存在一点F,且，使AF∥平面BCE,设F为线段DE上一点,且，过点F作FM∥CD交CE于M,则，∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴CD∥AB,又∵CD=6AB,∴MF=AB，FM∥AB，∴四边形ABMF是平行四边形，则AF∥BM，又∵AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…【点评】本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立,求整数a的最小值；（3)若a=﹣2,正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题;导数的综合应用．【分析】（1）利用f（1）=0，确定a的值，求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数F（x）=f（x)﹣ax+1，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化，（3）将代数式f（x1）+f（x2）+x1x2放缩，构造关于x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可．【解答】解:（1）∵f(x)=lnx﹣ax2+x,f（1）=0,∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴=，当f′(x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞)．(2)令F（x)=f（x)﹣ax+1=lnx﹣ax2+(1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a，当a≤0时,在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F(1）=2﹣＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x)在x=时取最大值,F（）=ln+，令h(a)=ln+=，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h(a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．(3)∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2)2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g(x）=lnx﹣x，则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g(x)单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g(1）=﹣1，∴f（x1）+f(x2）+x1x2≤（x1+x2)2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0,又∵x1，x2是正实数,∴x1+x2≥．【点评】本题考查了函数性质的综合应用，属于难题．。

2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）第二次月考数学试卷(理科)（A）一、选择题（共12小题,每小题5分，满分60分）1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B=｛x｜x2﹣2x﹣3≤0｝，则A∩（∁R B)=(）A．（1，4) B．（3，4)C．(1，3）D．(1，2)∪（3，4）2．已知命题p：∀x∈R，3x＞0，则（）A．¬p：∃x∈R，3x≤0 B．¬p：∀x∈R，3x≤0C．¬p：∃x∈R，3x＜0 D．¬p：∀x∈R，3x＜03．已知函数f（x）=，则f［f（﹣4）］=（）A．﹣4 B．4 C．D．4．已知函数f(x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数)A．（0，）B．[，]C．(0，）D．［，e]5．已知平面向量与的夹角为60°，，则=() A．B．C．12 D．6．在等差数列{a n}中，已知a18=3(4﹣a2），则该数列的前11项和S11等于（）A．33 B．44 C．55 D．667．曲线y=2x﹣lnx在点（1,2)处的切线方程为（）A．y=﹣x﹣1 B．y=﹣x+3 C．y=x+1 D．y=x﹣18．已知函数f（x）=Asin(ωx+φ）(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π),其导函数f′（x）的部分图象如图所示,则函数f（x)的解析式为(）A．f（x）=2sin（x+) B．f（x）=4sin（x+）C．f（x）=2sin(x+）D．f（x)=4sin（x+）9．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（)A．B．C．D．10．已知=（) A．B．C．D．11．已知P,Q为△ABC中不同的两点，若3+2+=,3，则S△PAB：S△QAB为（）A．1：2 B．2:5 C．5：2 D．2：112．已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且，若，则x+y的最大值为（）A．B．C．1 D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分,把答案填在题中横线上）13．若函数f(x）=x3﹣x2+ax+4恰在[﹣1，4］上单调递减，则实数a的值为．14．若tanα=2，则=．15．△ABC中，a，b，c分别为∠A,∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列,∠B=30°，△ABC的面积为,那么b=．16．关于函数，有下列命题:①为偶函数；②要得到g（x）=﹣4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位;③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的单调递增区间为．其中正确的序号为．三、解答题（共5小题,满分60分)17．已知数列｛a n}的首项a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证:｛a n+1｝是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和S n．18．已知函数﹣2cosx．（Ⅰ）求f(x）的最小正周期；(Ⅱ）若,求f（x）的单调区间及值域．19．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=(3a﹣c）cosB．（1）求cosB;(2)若=4,b=4，求边a，c的值．20．已知函数．(Ⅰ）若函数f（x）在［1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=1,k∈R且,设F（x)=f（x)+（k﹣1）lnx,求函数F（x)在上的最大值和最小值．21．已知函数f（x)=﹣x3+x2+b,g（x)=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；(2)若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由．选修4—4:坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．(1）求圆C的直角坐标方程；(2）设圆C与直线l交于A，B两点,若点P坐标为(3，）,求|PA|+｜PB｜．选修4-5，不等式选讲23．已知函数f(x）=｜2x+1|﹣｜x﹣4|（1）解关于x的不等式f（x）＞2（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．2015—2016学年江西省上饶中学高三（上）第二次月考数学试卷(理科)（A）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A=｛x｜1＜x＜4｝，集合B=｛x|x2﹣2x﹣3≤0｝，则A∩（∁R B)=（）A．（1，4）B．(3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪(3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B,再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解:由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0｝=｛x｜﹣1≤x≤3},故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x｜1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3,4）故选B【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2．已知命题p：∀x∈R，3x＞0，则（）A．¬p:∃x∈R，3x≤0 B．¬p：∀x∈R，3x≤0C．¬p：∃x∈R，3x＜0 D．¬p：∀x∈R，3x＜0【考点】命题的否定;特称命题．【专题】综合题．【分析】根据含量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定写出否命题．【解答】解：∀x∈R，3x＞0，的否定是∃x∈R，3x≤0故选A【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换,结论否定即可．3．已知函数f（x）=，则f［f(﹣4)]=(）A．﹣4 B．4 C．D．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（﹣4）的值，再根据f（﹣4）的值或范围，代入相应的解析式求出最后的结果．【解答】解:∵﹣4＜0,∴f(﹣4)==24=16，16＞0，f（16)==4．即f［f（﹣4）]=f(16）=4故选B．【点评】本题考查分段函数求函数值，按照由内到外的顺序逐步求解．要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值．4．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）(注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，］C．（0,）D．［，e］【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f(x）与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解:∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f(x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0,y0）,k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0)，而切线过原点，∴y0=1,x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行,∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是［，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系,进行解答,是易错题．5．已知平面向量与的夹角为60°,，则=（）A．B．C．12 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=(2，0），|｜=1，∴|+2｜=====2，故选：B．【点评】此题考查了平面向量数量积的运算，数量掌握运算法则是解本题的关键．6．在等差数列{a n｝中,已知a18=3（4﹣a2）,则该数列的前11项和S11等于（）A．33 B．44 C．55 D．66【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知易得a6=3，由求和公式和性质可得S11=11a6，代值计算可得．【解答】解：∵在等差数列｛a n｝中a18=3(4﹣a2）,∴a2+16d=3（4﹣a2）,其中d为数列的公差，∴化简可得a2+4d=3，即a6=3∴S11===11a6=33故选：A【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．7．曲线y=2x﹣lnx在点(1，2）处的切线方程为（）A．y=﹣x﹣1 B．y=﹣x+3 C．y=x+1 D．y=x﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2)和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即y=x+1．故选：C【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其导函数f′（x）的部分图象如图所示,则函数f（x)的解析式为（）A．f(x）=2sin（x+）B．f（x）=4sin(x+）C．f（x)=2sin（x+) D．f(x）=4sin（x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ)的部分图象确定其解析式；简单复合函数的导数．【专题】计算题;数形结合．【分析】根据题意,先求出f（x）的导函数,再根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出ω的值,进而根据导函数的最大值为2,求出A的值,把求出的ω与A的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值,将A，ω及φ的值代入即可确定出f（x）的解析式,即可得答案．【解答】解：根据题意,对函数f(x)=Asin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωAcos（ωx+φ)，由导函数的图象可知：导函数的周期为2［﹣（﹣）］=4π，则有T==4π，解得ω=，由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω=2，即A=4，∴导函数f′（x）=2cos(x+φ），把(﹣，2）代入得：4cos（﹣+φ）=2,且|φ|＜，解得φ=，则f（x）=4sin(x+）．故选B．【点评】此题考查了由y=Asin（ωx+φ)的部分图象确定其解析式，涉及复合函数的导数的运算；借助导函数图象中的周期、最值，来确定A，ω及ψ的值是解本题的关键．9．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin(ωx+∅）的图象变换规律可得变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+），令x﹣=kπ+，k∈z，求得x的值,即可得到函数图象的一条对称轴方程．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位,所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+﹣）=2sin（x﹣）．由x﹣=kπ+，k∈z，可得x=kπ+,故所得函数图象的一条对称轴是，故选C．【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+∅）的对称轴的求法，属于中档题．10．已知=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用=，根据两角差的正切公式，即可得到结论．【解答】解：∵=∴=tan［］==故选B．【点评】本题考查两角差的正切公式考查学生的计算能力，解题的关键是利用=．11．已知P，Q为△ABC中不同的两点，若3+2+=，3，则S△PAB:S△QAB为(）A．1：2 B．2：5 C．5：2 D．2：1【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知向量等式得到S△PAB=S△ABC,S△QAB=S△ABC，可求面积比．【解答】解：由题意，如图所示，设AC,BC的中点分别为M,N，由3+2+=，得：2(+）=﹣（+)，∴点P在MN上，且PM：PN=1：2，∴P到边AC的距离等于B到边AC的距离×=,则S△PAB=S△ABC,同理，S△QAB=S△ABC，所以，S△PAB：S△QAB=2:5．故选：B．【点评】本题主要考查了向量的计算与运用．考查了学生综合分析问题的能力．12．已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且，若，则x+y的最大值为（)A．B．C．1 D．【考点】向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】延长AO与BC相交于点D,作OA1∥DA2∥AB，OB1∥DB2∥AC，设，推出，结合B、D、C三点共线，得到x+y 的表达式，利用三角代换，求解最值即可．【解答】解:延长AO与BC相交于点D，作OA1∥DA2∥AB，OB1∥DB2∥AC，设,易知x＞0，y＞0，则，又B、D、C三点共线，所以，只需最小，就能使x+y最大，所以当OD最小即可，过点O作OM⊥BC于点M，从而OD≥OM，又∠BOM=∠BAC=θ，由，那么．故选：D．【点评】本题考查向量在集合中的应用，三角代换以及共线向量的应用，是中档题．二、填空题(本大题共4小题，每题5分,共20分，把答案填在题中横线上）13．若函数f（x）=x3﹣x2+ax+4恰在[﹣1，4]上单调递减，则实数a的值为﹣4．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】原函数是一个三次多项式函数，因此考虑用导函数的方法研究它的单调性．先求出f′（x)=x2﹣3x+a，函数，恰在［﹣1，4]上递减，说明f′(x）≤0的解集恰好是[﹣1，4］，最后利用一元二次方程根与系数的关系,可得出实数a的取值范围．【解答】解：先求出f′（x)=x2﹣3x+a，∵函数，恰在[﹣1，4］上递减，∴不等式f′(x）≤0的解集恰好是［﹣1,4],也就是说：方程x2﹣3x+a=0的根是x1=﹣1，x2=4用一元二次方程根与系数的关系,得：所以a=﹣4故答案为：﹣4【点评】本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．深刻理解一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，是解决好本题的关键．14．若tanα=2，则=1．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题;函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tanα=2,则===1．故答案为:1．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力．15．△ABC中，a,b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a,b，c成等差数列,∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=．【考点】解三角形；等差数列的性质；正弦定理；余弦定理．【专题】计算题．【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a2+c2=4b2﹣2ac．代入余弦定理求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．又△ABC的面积为,且∠B=30°，故由S△=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6，∴a2+c2=4b2﹣12．由余弦定理cosB====．解得b2=4+2．又∵b为边长，∴b=1+．故答案为：1+【点评】本题主要考查了解三角形的问题．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理,三角形面积公式以及勾股定理等知识．16．关于函数，有下列命题：①为偶函数；②要得到g(x)=﹣4sin2x的图象，只需将f(x)的图象向右平移个单位；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的单调递增区间为．其中正确的序号为①②③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想;数形结合法；简易逻辑．【分析】①==4cos2x，即可判断出真假;②将f（x)的图象向右平移个单位可得:y==﹣4sin2x，即可判断出真假；③由于==0,即可判断出真假；④由≤≤2kπ+，解得≤x≤kπ+，k∈Z,即可判断出真假．【解答】解：①==4cos2x为偶函数，正确;②将f(x）的图象向右平移个单位可得：y==﹣4sin2x，因此正确;③由于==0,因此y=f（x）的图象关于点对称，正确；④由≤≤2kπ+，解得≤x≤kπ+,k∈Z，可得：y=f（x）的单调递增区间为［，kπ+]，k∈Z,故不正确．其中正确的序号为①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(共5小题,满分60分）17．已知数列{a n｝的首项a1=1,a n+1=2a n+1．（1）求证:{a n+1｝是等比数列；（2）求数列{na n｝的前n项和S n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由a n+1=2a n+1可得a n+1+1=2（a n+1），结合等比数列的通项公式即可求解；（2）由（1）可得，na n=n2n﹣n，分组后结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求．【解答】解:（1）∵a1=1，a n+1=2a n+1．∴a n+1+1=2(a n+1）,a1+1=2，∴数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列；(2）由（1)可得a n+1=22n﹣1=2n，∴a n=2n﹣1，则na n=n2n﹣n，令T n=12+222+…+n2n，则2T n=122+223+…+（n﹣1)2n+n2n+1,两式相减可得,﹣T n=2+22+…+2n﹣n2n+1=﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1，∴T n=(n﹣1）2n+1+2，∴前n项和S n=（n﹣1）2n+1+2﹣n（1+n）．【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求数列的通项公式,及分组求和、错位相减求和方法的应用．18．已知函数﹣2cosx．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期;（Ⅱ）若，求f（x)的单调区间及值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．【专题】计算题．【分析】(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简f(x)的解析式为，由此求得它的周期．（Ⅱ）由,可得，由求出增区间，由求出减区间，再根据求得的范围，即可求得函数的域值．【解答】解：(Ⅰ)=2cosx(1+sinx)+==．故周期．（Ⅱ)∵，∴，由，∴,f（x）的单调递增区间为,单调递减区间为；由，可得函数的域值为．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，复合正弦函数的增区间的求法，属于中档题．19．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c)cosB．(1）求cosB；(2)若=4，b=4，求边a,c的值．【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值．（2）由=4 可得ac=12，再由余弦定理可得a2+c2=40，由此求得边a,c的值．【解答】解:（1）在△ABC中,∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=(3sinA ﹣sinC）cosB，∴3sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC,化为：3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0,故cosB=．(2）由=4,b=4，可得，accosB=4，即ac=12．…①．再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣，即a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得,,或．【点评】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）在[1,+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；(Ⅱ）若a=1,k∈R且,设F（x）=f（x）+（k﹣1)lnx，求函数F(x)在上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数,利用函数f（x）在［1，+∞）上是增函数，可得x∈［1，+∞)时，不等式，即恒成立，求出右边函数的最大值,即可求得实数a的取值范围；(Ⅱ）a=1时，，分类讨论:（1）若k=0，F（x）在上单调递减；（2）k≠0时，，确定函数的单调性，即可求得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）由题设可得因为函数f(x）在［1，+∞)上是增函数，所以当x∈[1，+∞）时，不等式,即恒成立因为当x∈［1，+∞）时，的最大值为1，所以实数a的取值范围是［1，+∞)﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）a=1时,，所以,…（6分)(1）若k=0，则,在上,恒有F'(x)＜0，所以F（x）在上单调递减∴，…(7分）(2）k≠0时，（i）若k＜0,在上，恒有，所以F（x）在上单调递减∴，…(9分)（ii)k＞0时,因为，所以，所以，所以F（x）在上单调递减∴，…（11分)综上所述：当k=0时,，F（x)max=e﹣1；当k≠0且时,F（x）max=e ﹣k﹣1,．…（12分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导,恰当分类是关键．21．已知函数f（x)=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f(x）在上的最大值为，求实数b的值;（2）若对任意x∈［1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2)x恒成立，求实数a的取值范围; （3）在（1)的条件下，设，对任意给定的正实数a,曲线y=F(x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）求导函数,令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g(x）≥﹣x2+（a+2）x，得恒成立,即，求出最小值,即可求得a的取值范围;（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意,则P,Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0)，则Q(﹣t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P,Q等价于方程﹣t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．【解答】解:(1）由f(x）=﹣x3+x2+b，得f′（x)=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2)，令f′（x）=0，得x=0或．列表如下:x 0f′（x) ﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极小值↗极大值↘∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得(x﹣lnx)a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x,即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得,，当x∈［1,e］时，x﹣1≥0，lnx≤1,x+1﹣2lnx＞0，从而t′(x）≥0，∴t（x）在[1，e］上为增函数，∴t min（x）=t（1)=﹣1,∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件,,假设曲线y=F(x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧,不妨设P（t，F（t)）（t＞0），则Q(﹣t,t3+t2）,且t≠1．∵△POQ是以O(O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形,∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（＊）,…(10分)是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）(t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0,此方程无解; …（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1),则,显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞)上为增函数,∴h（t）的值域为(h（1)，+∞），即(0，+∞）,∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O(O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…(14分)【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．选修4—4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点,若点P坐标为（3,)，求|PA｜+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】(1）利用即可化为直角坐标系；（2）直线l的参数方程化为普通方程代入圆的方程解出交点坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=2sinθ，即，∴x2+y2=2y,∴圆C的直角坐标方程=5．（2）设A（x1,y1),B(x2，y2），直线l的参数方程为(t为参数），化为普通方程为：x+y=3+，代入上述圆方程消去y得：x2﹣3x+2=0,解得x1=1，x2=2．∴|PA|+｜PB|=+=+=+=．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4—5,不等式选讲23．已知函数f（x)=|2x+1|﹣｜x﹣4|(1）解关于x的不等式f(x）＞2（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，再解不等式即可；（2）利用函数的图象，可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）x≤﹣时，不等式化为﹣x﹣5＞2，可得x＜﹣7；﹣＜x＜4时，不等式化为3x﹣3＞2,可得＜x＜4；x≥4时，不等式化为x+5＞2,可得x≥4；∴不等式解集为…（5分）（2）y=ax+﹣恒过(﹣0.5，﹣3。

2016-2017学年上学期期末考试数学模拟试卷（A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若△ABC 中，A ＜B ＜C ，且C ≠π2，则下列结论中正确的是（ ）．A ．tan A ＜tan CB ．tan A ＞tan CC ．sin A ＜sin CD ．cos A ＜cos C2．设数列{a n }是由正项组成的等比数列，且a 7·a 8＝4，则log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14等于（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．83．等差数列{a n }的公差d ＜0，且22111a a ，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是（ ）．A ．5B ．6C ．5或6D ．6或74．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB （含边界），若C （23，45）是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是（ ）．A ．（－103，－512）B ．（－125，－310）C ．（310，125）D ．（－125，310）5．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为（ ）．A ．60B ．－82C ．182D ．－967．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14＜0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．则下列判断正确的是（ ）．A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．非p ∧q 为真命题D ．非p ∨非q 是假命题8．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）．A ．x 216＋y 212＝1B ．x 212＋y 216＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 24＋y 216＝110．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）．A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为（ ）． A ．24B ．23C ．33D ．3212．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）．A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（3，＋∞）D ．[3，＋∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）13．已知不等式x 2＋bx －b －34＞0的解集为R ，则b 的取值范围是________．14．在△ABC 中，A ＝30°，b ＝12，S △ABC ＝18，则sin A ＋sin B ＋sin Ca ＋b ＋c的值为________．15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．16．有下列命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点；②“－12＜x ＜0”是“2x 2－5x －3＜0”的必要不充分条件；③若a 与b 共线，则a ，b 所在直线平行；④若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；⑤∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0．其中正确的命题有________．（把你认为正确的命题的序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC 的外接圆半径为1，且角A 、B 、C 成等差数列，若角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求a 2＋c 2的取值范围．18．{a n }，{b n }都是各项为正数的数列，对于任意n ∈N *，都有a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列．（1）试问{b n }是否为等差数列，为什么？ （2）若a 1＝1，b 1＝2，求S ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ．19．已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆（x －1）2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，非p 为真，求m 的取值范围．20．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋（y －m ）2＝9（m ∈R ），双曲线G 与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．21．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ．（1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）求二面角Q －BP －C 的余弦值．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2016-2017学年上学期期末考试 数学模拟试卷（A ）答案1．答案：C解析：利用正弦定理A ＜B ＜C ．所以a ＜c ，即2R sin A ＜2R sin C ．所以sin A ＜sin C ． 2．答案：C解析：log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14＝log 4（a 1a 2·…·a 14）＝log 4（a 7·a 8）7＝log 447＝7． 3．答案：C解析：由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0．所以a 6＝0．因为d ＜0，故a 5＞0，a 7＜0，所以n ＝5或6．4．答案：B解析：利用目标函数的斜率a 与最优点为C ，依线性规划知识知－125＜a ＜－310．5．答案：B解析：sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，且∠C 是△ABC 的最大内角，又因为52＋112－132<0，故cos C <0，∴角C 为钝角．6．答案：B解析：a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝（a 1＋a 4＋…＋a 31）＋（d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ）＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82．7．答案：C解析：易知p 假，q 真，从而可判断得C 正确． 8．答案：B 9．答案：D解析：由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1．∴双曲线的焦点为（0，4）、（0，－4），顶点坐标为（0，23）、（0，－23）．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1．10．答案：D解析：由已知椭圆与双曲线有公共焦点得3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2．而由双曲线x 22m 2－y 23n2＝1，得渐近线为y ＝±3n 22m 2x ＝±34x ． 11．答案：C解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），C 1（0，1，1）．∴1DA ＝（1，0，1），DB ＝（1，1，0）， 1BC ＝（－1，0，1）． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则n ·1DA ＝0， n ·DB ＝0．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则n ＝（1，－1，－1）， ∴cos 〈n ，1BC 〉＝11BC BC ⋅n n ＝－23·2＝－63．∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63． ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33． 12．答案：B解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a ． ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ．∴c ≤3a ． 又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ． ∴1＜ca ≤3，即1＜e ≤3．13．答案：（－3，－1）解析：由题知b 2－4·（－b －34）＜0，即b 2＋4b ＋3＜0，所以－3＜b ＜－1．14．答案：1125－23解析：由S △ABC ＝12bc sin A ，得18＝12×12×c sin30°．所以c ＝6．再由余弦定理得a 2＝122＋62－2×6×12cos30°＝36（5－23）．由正弦定理，得sin A ＋sin B ＋sin C a ＋b ＋c ＝sin A a ＝1265－23＝1125－23．15．答案：1155解析：如图，根据定义，d 1即为P 到焦点（1，0）的距离，∴d 1＋d 2的最小值也就是焦点到直线的距离．∴（d 1＋d 2）min ＝|1＋2×0－12|5＝1155．16．答案：①⑤解析：①中，双曲线c 21＝25＋9＝34，椭圆c 22＝35－1＝34，故①正确；②中，∵2x 2－5x －3＜0，∴－12＜x ＜3．又－12＜x ＜0⇒－12＜x ＜3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而不必要条件，故②错；③中，a 和b 所在直线可能重合，故③错；④中，a ，b ，c 可以不共面，例如平行六面体以一个顶点为起点引出的三个向量，故④错；⑤中，Δ＝9－12＜0，故对 x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0成立．17．解：由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°， A ＋C ＝120°．设A ＝60°＋α，得C ＝60°－α．由0°＜A ＜120°，0°＜C ＜120°，得 －60°＜α＜60°．由正弦定理，得a ＝2R sin A ＝2sin A ，c ＝2R sin C ＝2sin C ． 所以a 2＋c 2＝4（sin 2A ＋sin 2C ）＝4（1－cos2A 2＋1－cos2C2）＝4－2（cos2A ＋cos2C ）＝4－2[cos （120°＋2α）＋cos （120°－2α）]＝4＋2cos2α．因为－60°＜α＜60°，所以－120°＜2α＜120°． 所以－12＜cos2α≤1．所以a 2＋c 2∈（3，6]．18．解：（1）b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列，则a 2n ＋1＝b 2n b 2n ＋1．因为a n ＞0，b n ＞0，n ∈N *．所以a n ＋1＝b n b n ＋1．所以n ≥2时，a n ＝b n －1b n ．又因为a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，则a n ＋a n ＋1＝2b 2n ．所以n ≥2时，b n －1b n ＋b n b n ＋1＝2b 2n ． 因为b n ＞0，所以2b n ＝b n －1＋b n ＋1（n ≥2）． 所以{b n }是等差数列．（2）由（1）及a 1＝1，b 1＝2知：a 1＋a 2＝2b 21，所以a 2＝3． 又a 2＝b 1b 2，所以3＝2·b 2，所以b 2＝322．所以公差d ＝b 2－b 1＝22，所以b n ＝22（n ＋1）． 当n ≥2时，a n ＝b n －1b n ＝12n （n ＋1）．因为a 1＝1适合上式，所以a n ＝(1)2n n +，n ∈N *． 所以1a n ＝2（1n －1n ＋1）．所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝2⎣⎡⎦⎤(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝2（1－1n ＋1）＝2nn ＋1．19．解：对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝|1－m |2＜1，∴－2＋1＜m ＜2＋1．对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根一负根， ∴令f （x ）＝mx 2－x ＋m －4．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0.解得0＜m ＜4． 又∵非p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真．由数轴可得2＋1≤m ＜4，故m 的取值范围是2＋1≤m ＜4．20．解：椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1（－5，0）、F 2（5，0），故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5．设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0），则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25．当m ＝5时，圆心为（0，5），半径为r ＝3． ∴|5a |a 2＋b2＝3 ⇒ a ＝3，b ＝4． ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1．21．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ．（1）证明：依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1）， P （0，2，0），则DQ ＝（1，1，0），DC ＝（0，0，1），PQ ＝（1，－1，0）．所以PQ DQ ⋅＝0，PQ DC ⋅＝0． 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ． 故PQ ⊥平面DCQ ． 又PQ ⊂平面PQDC ， 所以平面PQC ⊥平面DCQ ．（2）依题意有B （1，0，1），CB ＝（1，0，0），BP ＝（－1，2，－1）． 设n ＝（x ，y ，z ）是平面PBC 的法向量，则0,0,CB BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0. 因此可取n ＝（0，－1，－2）． 设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.BP PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝（1，1，1）， 所以cos 〈m ，n 〉＝－155． 故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155． 22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1．∴b 2＝a 2－c 2＝3． ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得（3＋4k 2）x 2＋8mkx ＋4（m 2－3）＝0，Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，即3＋4k 2－m 2＞0，则12221228,344(3).34mk x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩又y 1y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋mk （x 1＋x 2）＋m 2＝2223(4)34m k k -+，∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D （2，0）， ∴k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1．∴y 1y 2＋x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝0．∴2222223(4)4(3)1640.343434m k m mkk k k--+++=+++ ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0．解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2＞0．当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k （x －2），直线过定点（2，0），与已知矛盾． 当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k （x －27），直线过定点（27，0）．∴直线l 过定点，定点坐标为（27，0）．。

江西省上饶市上饶中学2016届高三上学期第二次月考数学（理科）全卷满分：150分 测试时间：120分钟测试内容：集合与简易逻辑 函数与导数 三角函数 平面向量 数列 不等式 立体几何第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题有且只有一个正确答案） 1．函数y的定义域是 A ．[－1，＋∞） B ．[－1,0） C ．（－1，＋∞） D ．（－1,0）2．数列23，45-，87，169-，…的一个通项公式为A ．n nn n a 212)1(+⋅-= B ．n n n n a 212)1(+⋅-=C ．n nn n a 212)1(1+⋅-=+ D ．n n n n a 212)1(1+⋅-=+3．设i 是虚数单位，若复数z 满足)1()1(i i z -=+，则复数z 的模=zA ．1-B ．1CD ．24．设一元二次不等式012>++bx ax 的解集为{},21|<<-x x 则ab 的值为 A ．1 B ．14- C ．4 D ．12- 5．已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tanA ．33B ．3-或33-C ．33- D ．3-6．已知向量,10),6,2(),3,1(=-==c b a若5)(=⋅+c b a ，则a 与c 的夹角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 7．下列四个命题中错误．．的是 A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面8．已知函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭与3y x =图像的交点坐标为（00,x y ），则0x 所在的大致区间为A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4 9．若函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则 A ．m A ∀∈，都有(3)0f m +> B ．m A ∀∈，都有(3)0f m +<C ．0m A ∃∈，使得0(3)0f m +=D ．0m A ∃∈，使得0(3)0f m +< 10．已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω,（其中22,0,0πϕπω<<->>A ），其部分图像如下图所示，将)(x f 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到)(x g 的图像，则函数)(x g 的解析式为A ．)1(2sin )(+=x x g πB ．)1(8sin)(+=x x g πC. )12sin()(+=x x g πD. )18sin()(+=x x g π11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,ln 1,141)(x x x x x f ,则方程ax x f =)(恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,41C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D ．⎪⎭⎫⎝⎛e ,4112．设()cos cos AB AC OP OA AB B AC Cλ=++⋅⋅,其中O 是平面上一定点，C B A ,,是平面 上不共线的三点，动点P 满足，[)+∞∈,0λ，则点P 的轨迹经过ABC ∆的 A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心．第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ※ ．14．数列{}n a 的通项公式nn a n ++=11，它的前n 项和为9n S =，则n = ※ ．15．空间一线段ABAB 的长度为 ※ ．16．已知定义在区间[]0,1上的函数()y f x =的图象如图所示，对于满足1201x x <<<的任意1x ，2x ，给出下列结论：①()()2121f x f x x x ->-； ②()()2112x f x x f x >；③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭； ④()()21210f x f x x x ->-．其中正确结论的序号是 ※ ．（把所有正确结论的序号都填上）三、解答题(本大题共6小题，其中17题10分，其余每题12分，共70分)17．设函数()24.f x x m x =-+ （1）当2m =时，解不等式：()1f x ≤；（2）若不等式()2f x ≤的解集为{}|2x x ≤-，求m 的值．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABC D ，DC ∥AB ，DC ＝1，AB ＝4，BC ＝23，∠CBA ＝30°． （1）求证：AC ⊥PB ；（2）当PD ＝2时，求此四棱锥的体积．20 （1）求a b ⋅ （2）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值为23-，求实数λ的值．21．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3,OA km OB ==，090AOB ∠=．当 地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中M ，N 都在边A ，B 上，且030MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山， 剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场．为了安全起见，需在OAN ∆的一周安装防护网．（1）当32AM km =时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆的面AOM ∠的大小．22．已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <；①求实数a 的取值范围； ②求证：111x e<<且122x x +>.（注：e 为自然对数的底数）数学（理科）参考答案1．C 【解析】101x x +>∴>-，定义域为（－1，＋∞） 2．D 【解析】分子为奇数12+n ，分母是指数n2，符号由()11+-n 确定， D 正确．3．B 【解析】21(1)12i i z i i --===-+，所以有1z =，故选B ． 4．B 【解析】方程的根为11,212,12b a a -∴-+=--⨯=111,224a b ab ∴=-=∴=-5．C 【解析】()40,,333πππαπα⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭，得355,,2,tan 234126ππππαααα+====选C ． 6．D 【解析】2b a =- ，从而5a c ⋅=- ，1cos ,2a c a c a c⋅<>===-⋅7．C 【解析】若两直线无公共点，则是异面直线或是平行直线．故选C ．8．B 【解析】0x 为方程223311022x x x x --⎛⎫⎛⎫=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的根，即为()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，因()()()()()04,11,27,30,40f f f f f ===-<<，选B.9．A 【解析】∵a b c >>，0a b c ++=，故有0a >且0c <，∴02a a c a c <++=+，即 2c a >-，且02a c c a c >++=+，即12c a <-，∴122c a -<<-，又(1)0f a b c =++=，∴1x = 为()f x 的一个零点，，另一个零点为0c a <，∴{|1}cA m m a=<<，∴331c m a +>+>，∴(3)0f m +>恒成立．10．B 【解析】()21,4118A T πω==+==解得4πω=，由()242k k Z ππϕπ+=+∈且22ππϕ-<<解得：4πϕ=，所以()sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将其横坐标变为原来的2倍，得到sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移一个单位得到：()()()sin 1sin 1848g x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，选B.11．B 【解析】1'y x =，设切点为00(,)x y ，则切线为0001()y y x x x -=-，即0001ln ()y x x x x -=-，与直线y ax =重合时，有01a x =，0ln 10x -=，解得0x e =，所以1a e =，当直线与直线114y x =+平行时，直线为14y x =，当1x =时，11ln ln1044x x -=-<，当x e =时，11ln ln 044x x e e -=->，当3x e =时，3311ln ln 044x x e e -=-<，所以ln y x =与14y x =在3(1,),(,)e e e 上有2个交点，所以直线在14y x =和1y x e=之间时与函数()f x 有2个交点，所以11[,)4a e∈，故选B ．12．D 【解析】()...()0cos cos AB BC AC BCAP BC BC BC AB B AC Cλλ=+=-+=⋅⋅，所以 AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC ．的垂心，选D13．8 【解析】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），再作直线:0l x y +=，向上平移直线l ，z x y =+增大，当l 过点(1,2)B 时，z x y =+取得最大值3，因此2x y+的最大值为8．14．99【解析】n a ==可得前n项和123...1...1n n S a a a a =++++，则99n =. 151AB16．②③④【解析】因为1201x x <<<，所以由()()2121f x f x x x ->-得，()()21211f x f x x x ->-表示()()1122(,),(,)A x f x B x f x 连线的斜率大于1,①不正确；由()()2112x f x x f x >得，()()1212f x f x x x >表示点()()1122(,),(,)A x f x B x f x 与原点 连线的斜率OA OB k k >，②正确；函数结合图象是上凸的，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭正确； 由()()21210f x f x x x ->-知，12x x <时，()()12f x f x <，函数是增函数，所以④正确.综上知正确结论有②③④.17． 【解析】（1）当2m =时，函数()224f x x x =-+，由不等式()1f x ≤可得 ①12241x x x ≥-+≤⎧⎨⎩，或 ② 12241x x x <-+≤⎧⎨⎩．解①可得x ∈∅，解②可得12x ≤-， 故不等式的解集为1{|}2x x ≤-．（2）∵()6?22?2m x m x f x m x m x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩，， ，连续函数()f x 在R 上是增函数，由于()2f x ≤的解集为{2|}x x ≤-，故()22f -=，当22m≥-时，有()222m ⨯-+=，解得6m =．当22m<-时，则有()622m ⨯--=，解得 14m =-． 综上可得，当6m =或14m =-时，f （x ）≤2的解集为{2|}x x ≤-． 18． 【解析】（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---即：12n n a a -=，数列{}n a 为以2为公比的等比数列 2nn a ∴= （2）()122log 212n n n n b n +=⋅=+，()212232212n nn T n n -=⨯+⨯++⋅++()23122232212n n n T n n +=⨯+⨯++⋅++ ，两式相减，得 ()23114222122n n n n T n n ++-=++++-+=-⋅ 12n n T n +∴=⋅19． 【解析】（1）33cos cos sin sin cos 2222x xa b x x x ⋅=+= ，222233(cos cos )(sin sin )22cos 4cos 22222x x x a b x x x +=+++=+=20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴c o s 02x ≥，∴2cos 2x a b +== ．…6分 （2）由（1）有2()2cos 4cos 2cos 4cos 1222x x x f x a b a b x λλλ=⋅-+=-=-- ， ∴22()2(cos )122x f x λλ=---，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴0,23x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1cos ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当12λ<时，仅当1cos 22x =时，2min 113()2()41222f x λ=⋅-⋅-=-，解得12λ=（舍）；当112λ≤≤时，仅当cos 2x λ=时，2min 3()122f x λ=--=-， 解得12λ=或12λ=-（舍）；当1λ>时，仅当cos 12x =时，min 3()2412f x λ=--=-， 解得58λ=（舍）； 综上所述，12λ=． 20． 【解析】（1）∵PC ⊥平面ABCD ，∴PC ⊥AC ，又∠CBA ＝30°，BC ＝23，AB ＝4， ∴AC ＝CBA BC AB BC AB ∠⋅-+cos 222＝22332421216=⨯⨯⨯-+， ∴AC 2＋BC 2＝4＋12＝16＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，故AC ⊥BC ．又∵PC 、BC 是平面PBC 内的两条相交直线， 故AC ⊥平面PBC ，∴AC ⊥PB ．（2）当PD ＝2时，作CE ⊥AB 交AB 于E ， Rt △CEB 中，CE ＝CB ·sin30°＝23×21＝3， Rt △PCD 中，DC ＝1，∴PC ＝3，∴V P －ABCD ＝31·PC ·S ABCD ＝31×3×()2534121=⨯+ ． 21． 【解析】（1）在O A B ∆中，因为03,90OA OB AOB ==∠=，所以060OAB ∠=，在AOM ∆中，033,,602OA AM OAM ==∠=，由余弦定理，得OM =，所 以222OM AM OA +=，即OM AN ⊥，所以030AOM ∠=，所以OAN ∆为正三角 形，所以OAN ∆的周长为9，即防护网的总长度为9km ．（2）设00(060)AOM θθ∠=<<因为OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆倍，所以011sin30sin 22ON OM OA OM θ⋅=⋅，即ON θ=， OAN ∆中，由0003sin60sin(6030)cos ON OA θθ==++，得ON =θ， 即1sin 22θ=，由0002120θ<<，得0230θ=，所以015θ=，即015AOM ∠=．22．【解析】（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞．其导数1'()f x a x=-． 1分①当0a ≤时，'()0f x >，函数在(0,)+∞上是增函数； 2分②当0a >时，在区间1(0,)a 上，'()0f x >；在区间1(,)a+∞上，'()0f x <．所以()f x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a+∞是减函数. 4分（II ）①由（I ）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点;当0a >时，()f x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a +∞是减函数，此时1()f a 为函数()f x 的最大值，当0)1(≤af 时，)(x f 最多有一个零点，所以11()ln 0f a a=>，解得01a <<， 6分此时，2211ae a e <<，且011)1(<-=+--=e a e a ef ，)10(ln 231ln 22)(2222<<--=+--=a a e a a e a ae f令a e a a F 2ln 23)(--=，则022)(2222>-=+-='aae a e a x F ， 所以)(a F 在(0,1)上单调递增，所以03)1()(2<-=<e F a F ，即0)(22<ae f所以a 的取值范围是(0,1) 8分②证法一：12121ln 1ln x x a x x ++==.设1ln ()(0)x g x x x +=> . 2ln '()x g x x =-. 当01x << 时，'()0g x > ；当1x > 时，'()0g x < ；所以()g x 在(0,1) 上是增函数，在(1,)+∞ 上是减函数.最大值为(1)1g = .由于12()()g x g x = ，且01a << ，所以12121ln 1ln 01x x x x ++<=< ， 所以111x e<<. 下面证明：当01x <<时，221ln 1x x x -<+ .设221(x)ln (0)1x h x x x -=->+ ，则2222(1)'()0(1)x h x x x -=>+ .()h x 在(0,1] 上是增函数，所以当01x <<时，()(1)0h x h <= .即当01x <<时，221ln 1x x x -<+..由101x <<得1()0h x < .所以211211ln 1x x x -<+.所以112111ln 21x x x x +<+ ，即12121xa x <+，112()1x x a ->，112ln ln()0x x a +->.又111ln ax x =+ ，所以1121ln()0ax x a -+->，112ln()1ax x a +->.所以111112222()ln()()1ln()10f x x a x x ax a a a a -=---+=-+-> .即122()()f x f x a->.由1210x x a <<<，得121x a a ->.所以122x x a -<，1222x x a+>> . 12分②证法二：由（II ）①可知函数()f x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a+∞是减函数.01)1(,011)1(>-=<-=+--=a f e a e a e f .故111x e<< 因为a x 101<<,所以a x a 121>-.只要证明:0)2(1>-x af 就可以得出结论下面给出证明：令)10).((ln )2()2ln()()2()(ax ax x x a a x a x f x a f x g ≤<-----=--= 则：0)2()1(22121)(2<--=+--='ax x a x a a x a x x g ， 所以函数)(x g 在区间]1,0(a上为减函数.a x 101<<,则0)1()(1=>a g x g ,又0)(1=x f于是0)()(1)2()2ln()2(11111>=-+---=-x g x f x aa x a x a f .又0)(2=x f 由(1)可知 122x a x ->.即2221>>+ax x 12分。

2015—2016学年江西省上饶中学高三(上）第二次月考数学试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题有且只有一个正确答案）1．函数的定义域是（)A．[﹣1,+∞）B．[﹣1，0) C．(﹣1,+∞）D．（﹣1，0）2．A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1)nC．a n=（﹣1）n+1D．a n=（﹣1）n+13．=（1﹣i)，则复数z的模｜z｜=（)A．﹣1 B．1 C．D．24．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x｜﹣1＜x＜2},则ab的值为（)A．1 B．﹣C．4 D．﹣5．已知α∈（0，π），cos（α+）=﹣，则tan2α=(）A．B．﹣或﹣C．﹣D．﹣6．已知向量=（1，3)，=（﹣2,﹣6），||=，若（+）•=5，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面8．已知函数y=(）x﹣2与y=x3图象的交点坐标为（x0，y0)，则x0所在的大致区间（）A．（0，1） B．（1，2) C．(2，3）D．(3，4)9．已知函数f（x)=ax2+bx+c,且a＞b＞c，a+b+c=0，集合A=｛m｜f(m）＜0}，则（）A．∀m∈A，都有f（m+3）＞0 B．∀m∈A,都有f(m+3）＜0C．∃m0∈A，使得f（m0+3）=0 D．∃m0∈A,使得f（m0+3）＜010．已知函数f（x)=Asin（ωx+φ），x∈R(其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示,将f(x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象,则函数g（x）的解析式为（）A．g（x)=sin（x+1）B．g（x）=sin（x+1）C．g（x）=sin(x+1）D．g(x）=sin(x+1）11．已知函数f（x)=，则方程f(x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数)A．（0，）B．[,]C．(0，）D．［，e］12．，则点P的轨迹经过△ABC的（)A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为．14．(2015•闵行区二模）空间一线段AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为,则线段AB的长度为．16．已知定义在区间[0，1]上的函数y=f(x)的图象如图所示，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，给出下列结论：①f（x2）﹣f(x1）＞x2﹣x1;②x2f(x1)＞x1f（x2)；③；④＞0．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）三、解答题(本大题共6小题,其中17题10分,其余每题12分，共70分）17．设函数f(x）=|2x﹣m|+4x．（I)当m=2时，解不等式:f（x）≤1；(Ⅱ）若不等式f(x）≤2的解集为{x｜x≤﹣2}，求m的值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式；(Ⅱ）设b n=a n•log2a n+1,求数列｛b n}的前n项和T n．19．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥面ABCD，DC∥AB，DC=1，AB=4，BC=,∠CBA=30°．（I）求证：AC⊥PB；(II)当PD=2时,求此四棱锥的体积．20．已知向量=（cos x，sin x），=（cos，sin）,且x∈［0,］．(1）求•及|+|；(2）若f（x）=•﹣2λ|+｜的最小值为﹣，求实数λ的值．21．当时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小．22．已知a为实常数，函数f（x）=lnx﹣ax+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x)有两个不同的零点x1，x2(x1＜x2）．（ⅰ）求实数a的取值范围;(ⅱ）求证：＜x1＜1，且x1+x2＞2．(注：e为自然对数的底数)2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分每小题有且只有一个正确答案）1．函数的定义域是()A．[﹣1，+∞) B．[﹣1，0) C．（﹣1,+∞）D．（﹣1，0）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】要使函数有意义，只需x+1＞0，解出即可．【解答】解：要使函数有意义，只需x+1＞0，解得x＞﹣1，所以函数的定义域为（﹣1，+∞），故选C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法,属基础题，注意结果要表示为集合或区间．2．A．a n=(﹣1）n B．a n=（﹣1）nC．a n=（﹣1)n+1 D．a n=（﹣1）n+1【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用(﹣1）n+1来控制各项的符号，再由各项的分母为一等比数列，分子2n+1，由此可得数列的通项公式．【解答】解:由已知中数列,﹣,，﹣，…可得数列各项的分母为一等比数列{2n｝，分子2n+1,又∵数列所有的奇数项为正,偶数项为负故可用（﹣1)n+1来控制各项的符号,故数列的一个通项公式为a n=（﹣1)n+1故答案为：D．【点评】本题考查数列的通项公式的求解，找出其中的规律是解决问题的关键,属基础题．3．=（1﹣i），则复数z的模｜z|=(）A．﹣1 B．1 C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【专题】计算题；函数思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法运算法则化简，然后求出是的模．【解答】解：，所以有|z|=1,故选B．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．4．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则ab的值为（）A．1 B．﹣C．4 D．﹣【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】根据一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x｜﹣1＜x＜2}，可得方程ax2+bx+1=0的解为﹣1，2，利用韦达定理即可解答本题．【解答】解：∵一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为｛x|﹣1＜x＜2｝,∴方程ax2+bx+1=0的解为﹣1，2∴﹣1+2=﹣，（﹣1）×2=∴a=﹣，b=，∴ab=﹣．故选：B．【点评】本题重点考查一元二次不等式的解集，明确一元二次不等式的解集与方程解之间的关系是解题的关键，属于基础题．5．已知α∈（0，π），cos（α+）=﹣，则tan2α=(）A．B．﹣或﹣C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正切．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知求得α+∈(，），从而可求sin（α+）的值，进而可求tan（α+）=±1,从而解得tanα=﹣2或+2,从而由二倍角公式可求tan2α的值．【解答】解：∵α∈（0，π),∴α+∈(，），∵cos(α+）=﹣，∴sin(α+）=±=±,∴tan（α+)====±1，从而解得tanα=﹣2或+2,∴tan2α===﹣或tan2α===﹣．故选:C．【点评】本题考查二倍角的正切，求得tanα的值是关键，考查运算能力，属于基本知识的考查．6．已知向量=(1,3)，=（﹣2，﹣6）,||=，若(+）•=5,则与的夹角为（) A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】设出要求的向量的坐标，得到两个向量的和,根据两个向量的数量积的值，得到关于x，y 的关系式，写出两个向量的夹角的余弦值，根据夹角的范围得到结果．【解答】解:设=（x,y）∵，,∴，∵，∴﹣x﹣3y=5，∴=﹣5∴cosθ==﹣,∵θ∈［0°,180°]∴θ=120°，故选C．【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角，在解题过程中比较好的一点是，两个向量的和与其中一个向量是相反向量，求解时作用比较大．7．下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b互相平行,则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【考点】平面的基本性质及推论；异面直线的判定．【专题】证明题．【分析】根据公理2以及推论判断A和B，由线线位置关系的定义判断C,利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D．【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对;B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．故选C．【点评】本题考查了的内容多，涉及到公理2以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直线的定义，难度不大，需要掌握好基本知识．8．已知函数y=()x﹣2与y=x3图象的交点坐标为（x0,y0），则x0所在的大致区间（）A．(0,1）B．（1，2） C．（2,3) D．（3,4）【考点】幂函数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】构造函数f(x）=﹣x3，判断函数f（x)的零点在哪个区间即可．【解答】解：根据题意，设f（x）=﹣x3,则f（0）=﹣03=4＞0,f(1）=﹣13=1＞0，f（2）=﹣23=﹣7＜0；∴函数f(x）存在零点x0∈（1，2），即函数y=（）x﹣2与y=x3图象的交点横坐标x0所在的区间为(1，2）．故选：B．【点评】本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题,是基础题目．9．已知函数f（x)=ax2+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，集合A=｛m|f（m）＜0｝,则()A．∀m∈A，都有f（m+3）＞0 B．∀m∈A，都有f(m+3）＜0C．∃m0∈A，使得f（m0+3）=0 D．∃m0∈A，使得f（m0+3)＜0【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得a＞0，且c＜0，﹣2＜＜﹣，x=1为f(x）的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为．可得A={m|＜m＜1},m+3＞1,有f（m+3)＞0恒成立,从而得出结论．【解答】解:∵函数f（x）=ax2+bx+c,且a＞b＞c，a+b+c=0，故有a＞0,且c＜0．∴0＜a+a+c=2a+c，即＞﹣2，且0＞a+c+c=a+2c，即＜﹣，因此有﹣2＜＜﹣,又f(1）=a+b+c=0，故x=1为f(x）的一个零点．由根与系数的关系可得,另一零点为＜0，所以有：A=｛m|＜m＜1｝．所以，m+3＞+3＞1,所以有f（m+3）＞0恒成立，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质,一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ)，x∈R（其中A＞0，ω＞0,﹣＜φ＜)，其部分图象如图所示,将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x)的图象,则函数g（x）的解析式为(）A．g（x)=sin（x+1）B．g（x)=sin（x+1) C．g（x）=sin（x+1）D．g（x）=sin（x+1）【考点】由y=Asin（ωx+φ)的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换规律,得出结论．【解答】解：由函数的图象可得A=1，T==1﹣(﹣1）=2，∴ω=．再由五点法作图可得，(﹣1）+φ=0，∴φ=,函数f（x)=sin(x+）．将f（x)的图象纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍，可得函数y=sin（x+）的图象；再向右平移1个单位得到g（x)=sin[（x﹣1）+]=sin（x+）的图象，故函数g（x）的解析式为g（x）=sin（x+1)，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（)（注：e为自然对数的底数）A．（0,) B．［,］C．（0，） D．[，e]【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f（x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=(x﹣x0），而切线过原点,∴y0=1,x0=e，k=，∴直线l1的斜率为,又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．12．，则点P的轨迹经过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【考点】向量在几何中的应用．【专题】对应思想;综合法；平面向量及应用．【分析】解出,计算并化简可得出结论．【解答】解：=λ（+），∴,∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算是关键．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知变量x,y满足，则2x+y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y,利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由,解得，即A（1,2)，代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．14．+（）+…+(）==9，解得n=99．故答案为：99．【点评】本题考查数列的性质和应用,数列求和的方法,解题时要认真审题,仔细解答．15．空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB的长度为．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出，正方体的体对角线，符合题意，根据图形求解即可．【解答】解：∵空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，∴把它放到正方体中研究得出:可判断出正方体的棱长为1，体对角线为，∴线段AB为故答案为：．【点评】本题考查了简单几何体的三视图的知识，构建常见的几何体,镶嵌其中即可，属于中档题,需要很好的空间思维能力．16．已知定义在区间［0,1］上的函数y=f(x）的图象如图所示，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，给出下列结论：①f（x2）﹣f（x1）＞x2﹣x1；②x2f（x1)＞x1f（x2）；③；④＞0．其中正确结论的序号是②③④．（把所有正确结论的序号都填上）【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用直线的斜率的几何意义，利用数形结合的思想研究函数的单调性与最值即可得到答案．【解答】解：函数y=f（x)在区间[0,1］上的图象如下:对于①设曲线y=f（x）上两点A（x1，f（x1）)，B（x2，f（x2））,直线AB的斜率k AB=＜k op=1，∴f(x2)﹣f（x1）＜x2﹣x1，故①错误;对于②，由图可知，k oA＞k oB，即＞，0＜x1＜x2＜1，于是有x2f（x1）＞x1f （x2），故②正确；对于③,由于函数f（x）为上凸函数，根据凸函数的性质可知，故③正确,对于④,由图象可知函数为增函数,所以＞0．故④正确故答案:②③④【点评】本题考查函数的图象,着重考查直线的斜率的几何意义，考察函数的单调性，突出考查作图象的能力与数形结合解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题,其中17题10分，其余每题12分,共70分）17．设函数f（x）=|2x﹣m|+4x．(I）当m=2时，解不等式：f(x）≤1；（Ⅱ）若不等式f（x)≤2的解集为｛x｜x≤﹣2｝,求m的值．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．【专题】计算题;不等式的解法及应用．【分析】（I)当m=2时，函数f(x）=｜2x﹣2｜+4x，由不等式f（x）≤1 可得①，或②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ)由f（x）=，可得连续函数f（x) 在R上是增函数，故有f（﹣2）=2，分当≥﹣2和当＜﹣2两种情况,分别求出m的值，即为所求．【解答】解：(I）当m=2时，函数f(x）=｜2x﹣2|+4x，由不等式f(x）≤1 可得①，或②．解①可得x∈∅,解②可得x≤﹣，故不等式的解集为｛x｜x≤﹣｝．（Ⅱ）∵f(x)=，连续函数f（x）在R上是增函数，由于f（x）≤2的解集为｛x|x≤﹣2｝，故f（﹣2）=2,当≥﹣2时，有2×（﹣2）+m=2,解得m=6．当＜﹣2时，则有6×(﹣2）﹣m=2，解得m=﹣14．综上可得，当m=6或m=﹣14 时，f（x)≤2的解集为｛x|x≤﹣2}．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想,属于中档题．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（Ⅰ）求数列｛a n｝的通项公式;（Ⅱ）设b n =a n •log 2a n+1，求数列｛b n ｝的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；等比关系的确定． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I)利用“n=1，a 1=S 1；n ≥2，a n =S n ﹣S n ﹣1”可得a n 与a n ﹣1的关系，利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）利用“错位相减法”即可得出． 【解答】解：(Ⅰ)当n=1时,a 1=2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2） 即：,∴数列{a n }为以2为公比的等比数列，∴．（Ⅱ）∵，∴两式相减,得,∴．【点评】本题考查了利用“n=1，a 1=S 1；n ≥2,a n =S n ﹣S n ﹣1”求a n 、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PC ⊥面ABCD ，DC ∥AB ，DC=1,AB=4，BC=，∠CBA=30°．（I ）求证:AC ⊥PB ；（II)当PD=2时，求此四棱锥的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）先在△ABC中，利用余弦定理，得出AC2+BC2=AB2，从而得出AC⊥BC,再结合PC⊥AC,而BC、PC是平面PBC内的相交直线，得到AC⊥平面PBC,最后根据线面垂直的定义，可证出AC⊥PB；(II)过点C作CE⊥AB于E,在Rt△BCE中,利用三角函数的定义，得到CE=BC=，从而可得梯形ABCD的面积为．再结合PC⊥平面ABCD，在Rt△PCD中，利用勾股定理算出PC=,最后=S ABCD•PC=••=．利用锥体的体积公式，得V P﹣ABCD【解答】解:（I)∵△ABC中,AB=4,BC=,∠CBA=30°,∴根据余弦定理，得AC2=AB2+BC2﹣2AB×BCcos∠CBA=4∴AC2+BC2=4+12=16=AB2∴AC⊥BC又∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴PC⊥AC∵BC、PC是平面PBC内的相交直线∴AC⊥平面PBC∴结合BC⊂平面PBC，可得AC⊥BC（II）过点C作CE⊥AB于E，∵Rt△BCE中,BC=2，∠ECB=30°∴CE=BC=可得梯形ABCD的面积为:S ABCD==又∵PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴PC⊥CD,Rt△PCD中，PC===S ABCD•PC=••=,所以，根据锥体的体积公式，得V P﹣ABCD即此四棱锥的体积的体积为．【点评】本题以底面为梯形、一条侧棱垂直于底的四棱锥为例，通过证明线线垂直和求体积,着重考查了空间垂直关系的证明与体积公式等知识点，属于中档题．20．已知向量=（cos x，sin x),=(cos，sin），且x∈[0,]．（1）求•及｜+|;（2）若f（x）=•﹣2λ｜+|的最小值为﹣，求实数λ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）通过数量积,即模的运算再利用两角和公式和二倍角公式化简整理即可；（2）先求出函数f(x）的表达式，再根据x的范围，进而利用二次的单调性求得函数的最值，问题得以解决．【解答】解：（1）=(cos x，sin x)，=(cos，sin），∴•=cos xcos+sin xsin=cosx，｜+｜2=(cos x+cos）2+(sin x+sin）2=2+2cosx=4cos2，∵x∈［0,]．∴cos＞0，∴|+|=2cos；（2）由（1）有f(x）=•﹣2λ｜+｜=cosx﹣4λcos=2cos2﹣4λcos﹣1=2（cos﹣λ）2﹣1﹣2λ2，∵x∈［0,],∴∈［0,]，∴cos∈[，1]，当λ＜时,当且仅当cos=时，f min(x)=2×﹣4λ×﹣1=﹣，解得λ=（舍)；当≤λ≤1时，当且仅当cos=λ时，f min（x）=﹣1﹣2λ2=﹣，解得λ=或λ=（舍)；当λ＞1时，当且仅当cos=1时，f min（x)=2﹣4λ﹣1=﹣,解得λ=（舍）；综上所述，λ=．【点评】本题主要考查了二次函数的最值，和两角和公式，二倍角公式的运用．三角函数的基本公式较多，注意多积累,属于中档题．21．当时,求防护网的总长度；（2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；解三角形．【分析】（1)由已知求出∠OAB=60°，OM=，从而OM⊥AN,进而△OAN为正三角形，由此能求出防护网的总长度．(2）设∠AOM=θ，（0°＜θ＜60°），由已知得ON=6sinθ，ON=，从而6sin，由此能确定∠AOM的大小．【解答】解：（1）在△OAB中，∵OA=3，OB=3，∠AOB=90°，∴∠OAB=60°,在，∠OAM=60°，∴由余弦定理，得OM==，∴OM2+AM2=OA2，∴OM⊥AN，∴∠AOM=30°，∴△OAN为正三角形,∴△OAN的周长为9，∴防护网的总长度为9km．（2）设∠AOM=θ，(0°＜θ＜60°），∵，∴，∴ON=6sinθ，在△OAN中,由=，得ON=，从而6sin,∴sin2,∵0°＜2θ＜120°，∴2θ=30°，∴θ=15°，∴∠AOM=15°．【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题,注意正弦定理、余弦定理、勾股定理的合理运用．22．已知a为实常数，函数f（x）=lnx﹣ax+1．（Ⅰ)讨论函数f(x）的单调性;（Ⅱ）若函数f(x）有两个不同的零点x1,x2（x1＜x2）．（ⅰ）求实数a的取值范围；(ⅱ)求证：＜x1＜1，且x1+x2＞2．（注：e为自然对数的底数)【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）写出函数f(x)的定义域，求出f'(x），分a≤0，a＞0两种情况讨论，通过解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得单调区间;（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可知,当a≤0时f（x）单调，不存在两个零点；当a＞0时,可求得f(x）有唯一极大值，令其大于零,可得a的范围，再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可;（ⅱ）由（i）知可判断f（x）的单调性，根据零点存在定理可判断＜1;分析：由0，得，故只要证明:f（）＞0就可以得出结论．下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f(x)=ln（﹣x）﹣a(﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤）,利用导数可判断g(x）在区间（0,］上为减函数，从而可得g(x1）＞g(）=0，再由f（x1)=0可得结论；【解答】解：（Ⅰ）f(x）的定义域为（0，+∞)，其导数f’（x）=﹣a．①当a≤0时，f'(x)＞0，函数在（0，+∞）上是增函数;②当a＞0时，在区间（0,）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞)上，f’(x）＜0．∴f（x)在(0，)是增函数，在(，+∞）是减函数．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时,函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（,+∞）上是减函数，此时f（)为函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f(x)最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1,此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，f（)=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣(0＜a＜1),令F（a)=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0,∴F（a)在（0，1)上单调递增，∴F(a）＜F（1)=3﹣e2＜0,即f(）＜0，∴a的取值范围是（0，1)．（ii）由(Ⅱ）（i）可知函数f（x）在（0，）是增函数,在（，+∞）是减函数．f（x）=lnx﹣ax+1, ∴f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，f（1）=1﹣a＞0．故＜1；第二部分：分析：∵0，∴．只要证明:f（）＞0就可以得出结论．下面给出证明：构造函数：g（x)=f（﹣x）﹣f（x）=ln(﹣x）﹣a（﹣x)﹣(lnx﹣ax)（0＜x≤)，则g’（x）=+2a=,函数g（x）在区间(0，］上为减函数．0＜x1,则g(x1）＞g（）=0，又f（x1）=0,于是f（)=ln(）﹣a（）+1﹣f（x1）=g(x1）＞0．又f（x2)=0,由(1）可知,即．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式的证明等知识,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、推理论证能力,本题综合性强，能力要求较高．。