定义域和值域

函数的定义域、值域一、知识回顾第一部分：函数的定义域1.函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任意一个数x ，按照确定的法则f ，都有唯一的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的一个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或ax y=，所有的函数值所构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.2.定义域的理解：使得函数有意义的自变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要 用集合来表示. 3.区间表示法：设a ，R b ∈，且b a <.满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括时用空心点表示.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.5.定义域的确定方法：保证函数有意义，或者符合规定，或满足实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根式的大于等于零. （3）对数数函数的真数大于零.（4）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （5）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.（7）分段函数：①分段函数是一个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ϕ=的定义域的方法为解不等式：A x ∈)(ϕ，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ϕ=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的方法:A x ∈，求)(x ϕ的取值范围即可.第二部分：函数的值域函数值域的确定方法：（1）直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.（3）换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常用此法求解. （4）配方法：适用于二次函数值域的求值域. （5）判别式法：适用于二次函数型值域判定.（6）单调性法：利用单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利用已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利用不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目.二、 精选例题第一部分：函数的定义域例1.函数x x y +-=1的定义域为（ ）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤【解析】由题意⎩⎨⎧≥≤⇒⎩⎨⎧≥≥-01001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()xx x x f -+=01的定义域是（ ）A .()0,+∞B .(),0-∞ C.()(),11,0-∞-- D.()()(),11,00,-∞--+∞【解析】由⎩⎨⎧≠-≠+001x x x 得,01⎩⎨⎧<-≠x x 故选C.例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（ ）5.0,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】 ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.又由4121≤-≤-x 解得250≤≤x即()12-=x f y 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2x f y =的定义域是什么？ 【解析】 函数()x f y =的定义域是()1,0.102<<∴x 即11<<-x故()2x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .例5.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（ ） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠⇒≠+x x 则()[]x f f 的定义域是111-≠+x 即21012-≠-≠⇒≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f21-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-xx f 213的定义域是?【解析】由()x f21-可知021≥-x 即0213≥-x x ()2100312≤≤⇒≤-⇒x x x故函数⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 213的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x例7.若函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34>x 时，无意义，∴0≠k ； 当0<k 时，()268y kx x k =-++为开口向下的二次函数，图像向下延伸， 函数值总会出现小于零的情况，进而，0<k 不成立，当0>k 时，同时要求0≤∆，即解得1≥k .例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意011>-+xx，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xxx f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-所以⎩⎨⎧≠+<+<-012111x x 解得02<<-x 且21-≠x .即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,21()21,2(---又121<<-x，解得22<<-x ，即)2(x f 的定义域为)2,2(-)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(x f 的定义域的交集，即)0,21()21,2(--- )2,2(- =)0,21()21,2(---故函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(--- .例9.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x xb b <>⇒-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.第二部分：函数的值域1.观察法：例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x 01≠∴x0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,2.分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx bax y 为常数，，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-+=++-+=++=故值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y 例2.求函数125xy x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， 所以72025x ≠+，所以12y ≠-，所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-.3.换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常用此法求解.例3.(A 类)求函数2y x =.【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以22151()24y t t t =-++=--+因为当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值所以函数2y x =5(,]4-∞.4.三角换元：例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.【解析】0)1(12≥+-x 1)1(2≤+∴x ，令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴πβββββy ，,0πβ≤≤ 4544ππβπ≤+≤，1)4sin(22≤+≤-πβ， 121)4sin(20+≤++≤πβ故值域为：[]12,0+ 5.配方法：例5.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+， 因为[1,1]x ∈-，所以2[3,1]x -∈--，所以21(2)9x ≤-≤，所以23(2)65x -≤--+≤，即35y -≤≤， 所以函数242y x x =-++在（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.6.判别式法：例6.求函数2211xx x y +++=的值域. 【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程，0)1()1(2=-+--y x x y （1）当1≠y 时，R x ∈，0)1(4)1(22≥---=∆y .解得2321≤≤y ， 当1=y 时，0=x ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211，故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.7.单调性法：例7.求函数x x x f 4221)(-+-=的值域. 【解析】由042≥-x ，解得21≤x ， 令x x g 21)(-=，x x m 42)(-=，在21≤x 上)(),(x m x g 均为单调递减函数， 所以x x x m x g 4221)()(-+-=+在21≤x 上也是单调递减函数.故0)21()(min ==f x f ，值域为),0[+∞.8.有界性例8.求函数11+-=x x e e y 的值域.【解析】函数变形为11-+=y y e x，0>x e 011>-+∴y y ，解得11<<-y ， 所以函数的值域为()1,1-.9.不等式法： 例9.求函数xx y 4+=的值域； 【解析】当0>x 时，4424=⋅≥+=xx x x y （当x =2时取等号）； 所以当0>x 时，函数值域为),4[+∞. 当0<x 时，442)4(-=⋅-≤+-=xx x x y （当2-=x 时取等号）； 所以当0<x 时，函数值域为]4,(--∞. 综上，函数的值域为),4[]4,(+∞--∞10.数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目. 例10. （1）求函数82++-=x x y 的值域.（2）求函数5413622++++-=x x x x y 的值域. （3）求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域.【解析】（1）函数可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(-B 间的距离之和.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10min ==AB y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10>=AB y 故所求函数的值域为：),10[+∞ 此题也可以画函数图象来解.（2）原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，如图34)12()23(22min =+++==AB y ，故所求函数的值域为),34[+∞.（3）将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y可看成定点A ()3,2到点P )0,(x 的距离与定点B ()2,1-到点P )0,(x 的距离之差. 如图BP AP y -=由图可知：①当点P 在x 轴上且与A ，B 两点不供线时，如点'P ，则构成'ABP ∆，()23()1,2--ABPxy••BPA根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(22=-++=<'-'AB P B P A所以2626<'-'<-P B P A即2626<<-y②当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26=='-'AB P B P A .综上所述，函数的值域为：]26,26(-.三、 课堂训练第一部分：函数定义域1.函数()x x x y +-=1的定义域为（ ）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01. ≥x x C{}10.≤≤x x D解析：由题意得()⎩⎨⎧≥≥-001x x x ⎩⎨⎧≥≤≥⇒001x x x 或即[){}0,1 +∞∈x ，故选.C 2.()xx f 11211++=的定义域为 .【解析】由分式函数分母不为0得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠≠+≠++001101121x x x解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠≠-≠-≠010311x x x x x 或或()1,-∞-∈⇒x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,31 ()+∞,03.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域；②求函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域. 【解析】① 函数()x f 的定义域为[]2,2-222≤≤-∴x 即11≤≤-x故函数()x f 2的定义域为[]1,1-∈x . ② 函数()x f 的定义域为[]2,2-21412≤-≤-∴x 即124≤≤-x 故函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域为[]12,4-. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？【解析】 函数()42-x f 的定义域[]5,3∈x 21452≤-≤∴x即函数()x f 的定义域是[]21,5∈x5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上方，则()x f 的定义域为（ ）.{}1.<x x A {}1.>x x B {}11.-≠<x x x C 且 {}11.≠->x x x D 且【解析】对于()(),011>-+x x 当0≥x 时，有()()011<-+x x 11<<-⇒x 得;10<≤x当0<x 时，有()012>+x 1-≠⇒x 得.10-≠<x x 且 综上，,11-≠<x x 且故选.C6.（1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==用x a ,表示z .（2）设ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且方程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC ∆的形状. 【解析】（1）,,log 11log 11zya a ay ax --==则,log 11log log ,log log log 11log 11zay ax a za a ya a a a -===--y ax a ya a a log 11log log log 11-==-zza a log 11log 1111-=--=所以xz a a log 11log -=，故xa a z log 11-=.（2）原方程可以转化为0)(10lg22222=-+-a b c x x 又因为方程有等根，则0)(10lg 4)2(2222=---=∆ab c ， 必然有1)(10lg 222=-a b c ，所以10)(10222=-ab c ，即222a b c +=. 故ABC ∆为直角三角形.第二部分：函数的值域例1.求函数111++=x y 的值域.【解析】.111,01≥++∴≥+x x ∴11110≤++<x ，∴函数的值域为(]1,0.例2.求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域.【解析】将函数配方得：()412+-=x y []2,1-∈x由二次函数的性质可知：当1=x 时，,4min =y 当1-=x 时，8max =y故函数的值域是[]8,4例3.求函数1-+=x x y 的值域.【解析】令()01≥=-t t x ，则12+=t x 故.4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y又,0≥t 由二次函数性质知，当0=t 时，;1min =y 当t 不断增大时，y 值趋于∞+， 故函数的值域为[)+∞,1.例4.求函数2332+-+-=x x x y 的值域.【解析】定义域满足⎩⎨⎧≥+-≥-023032x x x 3≥⇒x . 令,31-=x y 任取,321≥>x x 由,03333212121>-+--=---x x x x x x1y ∴在[)+∞,3上单调递增.令,2322+-=x x y由,232+-=x x u 对称轴,23=x 开口向上，知2y 在[)+∞,3上也单调递增. 从而知()=x f 2332+-+-x x x 在定义域[)+∞,3上是单调递增.()∴=≥∴.23f y 值域为[)+∞,2.例5.求函数21+-=x x y 的值域 【解析】由1231232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y例6.求13+--=x x y 的值域【解析】可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图：观察得值域{}44≤≤-y y .例7.求函数x y -=3的值域.【解析】0≥x 33,0≤-≤-∴x x 故函数的值域是：[]3,∞- 例8.求函数51042+++=x x y 的值域.【解析】配方，得().5622+++=x y ().65,6622+≥∴≥++y x∴函数的值域为).,65(+∞+例9.求函数1122+++-=x x x x y 的值域.【解析】 1122+++-=x x x x y ，R x ∈，去分母整理得()()01112=-+++-y x y x y.当1=y 时，,0=x 故y 可取1； ①当1≠y 时，方程①在R 内有解，则()()(),011412≥---+=∆y y y,031032≤+-∴y y 解得.331≤≤y ∴函数的值域为.3,31⎥⎦⎤⎢⎣⎡例10.求函数11--+=x x y 的值域.【解析】原函数可化为：112-++=x x y令,1,121-=+=x y x y 显然21,y y 在[)+∞,1上为无上界的增函数所以21,y y y =在[)+∞,1上也为无上界的增函数所以当1=x 时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值222= 显然,0>y 故原函数的值域为(]2,0.例11.求函数133+=x xy 的值域【解析】设t x=+13 ，则()111131113113>-=+-=+-+=t ty xx x 101101<<∴<<∴>y tt ，()01原函数的值域为∴.例12.求函数53-++=x x y 的值域.【解析】53-++=x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=)5(22)53(8)3(22x x x x x由图像可知函数53-++=x x y 的值域为[)+∞,8.四、 课后作业【训练题A 类】1.函数()f x = ）.A . 1[,)2+∞B . 1(,)2+∞ C. 1(,]2-∞ D. 1(,)2-∞2.函数265x x y ---=的值域是（ ）525.≤≤y A5.≤y B 50.≤≤y C 5.≥y D 3.函数31---=x x y 在其定义域内有（ ）.A 最大值2，最小值2- .B 最大值3，最小值1- .C 最大值4，最小值0 .D 最大值1，最小值3-4.已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为（ ） 41.A 21.B 22.C 23.D 5.函数()=x f 962+-x 的值域是 ( )A 、（－∞，6）B 、]3,(-∞C 、 (0，6)D 、 (0，3) 6.()421-=x x f 的定义域为_____ 7.函数x x y 21-+=的值域是 . 8.求()4313512-++-=x x x x f 的定义域9.求2045222+-++-=x x x x y 的值域.10.求函数12-+=x x y 的值域.11.已知()x f 的值域为,94,83⎥⎦⎤⎢⎣⎡试求()()x f x f y 21-+=的值域.【参考答案】1.【答案】C【解析】由根式知21021≤⇒≥-x x 故选.C 2.【答案】A【解析】425425216022≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--≤x x x ， 25602≤--≤∴x x ，即525≤≤y3.【答案】A【解析】由题意得()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤-=3,231,421,2x x x x y []2,2-∈⇒y ，故选A4.【答案】C【解析】两边平方，即()()312312+-+++-=x x x x y ()41242++-+=x844max 2=+=y ，4min 2=y ，2284max min ==y y 故选C . 5.【答案】B【解析】∴≥+392x 3962≤+-x 故选.B6.【答案】()+∞,8 【解析】80421≥⇒≥-x x ，即()+∞,8 7.【答案】(],1-∞【解析】令x t 21-=则()0212≥-=t t x 即()()021212≥++-=t t t t f ()11212+--=t故1=t 时，取得最大值.即().1≤x f8.【解析】1212210431012>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-x x x x x ，即()+∞,129.【解析】()()1624122+-++-=x x y ()()()()2222402201-+-+++-=x x即可看成三点：()()()4,2,2,1,0,B A x P -，PB PA y +=在PAB ∆中AB PB PA >+知点()2,1-A 点()4,2B 在数轴异侧时AB 最大.PB PA y +==AB 故()()37422122=--+-=≥AB y10.【解析】显然，函数的定义域为21≥x . 当21≥x 时，函数12,21-==x y x y 都是递增的 所以在21=x 时，取得最小值.即⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21y .11.【解析】()(),412191,9483≤-≤∴≤≤x f x f即有(),212131≤-≤x f令(),21,31,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=t x f t ()(),1212t t x f +-=()()t t t g y +-==∴2121()11212+--=t⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉21,311 ，∴函数()t g y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31上单调递增，,9731min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴g y ∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=.8721max g y 函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97.【训练题B 类】1.求()52+=x x f 的值域2.求函数xy --=111的值域3.求函数12--=x x y 的值域.4.已知()x f 43-的定义域为[],2,1-∈x 则函数()x f 的定义域是？5.求下列函数的值域：（1）;1342++=x x y （2）5438222+-+-=x x x x y6.对于每个函数x ，设()x f 是2,14+=+=x y x y 和42+-=x y 三个函数中的最小者，则()x f 的最大值是什么？7.已知⎪⎭⎫⎝⎛-x f 213的定义域为[]5,1∈x ，则函数()32+x f 的定义域是？8.求下列函数的值域： （1）[);5,1,642∈+-=x x x y（1）245x x y -+=.9.求函数13+--=x x y 的值域.10.函数232+-=kx x y 的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3232, ，求k 的值.11.（1）已知函数⎩⎨⎧≥<=0,0,)(2x x x x x f ，求))((x f f .（2）求函数12)(2--+=x x x f 的最小值.12.若函数432--=x x y 的定义域为[],,0m 值域为,4,425⎥⎦⎤⎢⎣⎡--求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】25052-≥⇒≥+x x ，即⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,25 2.【解析】原式化为,11=--x y y ,011≥-=-∴yy x 即01<≥y y 或. 故()[)+∞∞-∈,10, y .3.【解析】函数的定义域是{}.,1R x x x ∈≥令()0,1≥=-t t x 则 ,12+=t x8154122222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=∴t t t y ，又o t ≥，∴结合二次函数的图像知()815≥t y .故原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥815y y . 4.【解析】 ()x f 43-的定义域为[]2,1-∈x 7435≤-≤-∴x()x f ∴的定义域为[]7,5-∈x .5.【解析】（1）由1342++=x x y 可得,0342=-+-y x yx 当0=y 时，;43-=x 当0≠y 时，,R x ∈故()(),03442≥---=∆y y解得,41≤≤-y 且0≠y .当2-=x 时，;1-=y 当21=x 时，.4=y∴所求函数的值域为[].4,1-（2）由5438222+-+-=x x x x y 可得()()0352422=-+---y x y x y ，当02≠-y 时，由,R x ∈得()()()035242162≥----=∆y y y ，25≤≤-∴y .25<≤-∴y .经检验2=x 时，5-=y ，而2≠y .∴原函数的值域为[]2,5-.6.【解析】在同一直角坐标系中作出三个函数的图像，由图像可知，()x f 的最大值是2+=x y 和42+-=x y 交点的纵坐标，易得()38max =x f . 7.【解析】 ⎪⎭⎫⎝⎛-x f 213的定义域为[]5,1∈x 2521321≤-≤∴x 即253221≤+≤x4145-≤≤-∴x 故函数()32+x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈41,45x 8.【解析】（1）配方，得().222+-=x y [),5,1∈x ∴函数的值域为{}.112<≤y y（2）对根号里配方得：()30922≤≤⇒+--=y x y 即[]3,0∈∴y .9.【解析】原式可变为()[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+--∞-∈=,3,43,1,221,,4x x x x y 44≤≤-⇒y 即[]4,4-∈y10.【解析】232+-=kx x y 的反函数为kx x y -+=232，其定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,22,k k ，故.3322-=⇒-=k k 11.【解析】（1）当0≥x 时，0)(2≥=x x f ，则42)())((x x f x f f ==；当0<x 时，,0)(<=x x f 则x x f x f f ==)())(( 所以⎩⎨⎧≥<=0,0,))((2x x x x x f f（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=2,12,3)(22x x x x x x x f由)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ， 在)2,(-∞上的最小值为43)21(=f 故函数)(x f 在R 上的最小值为43. 12.【解析】,425232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 因为,4,425⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈y 又,4)0(-=f ,42523-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ()43-=f ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⇒≤≤3,23323m m . 【训练题C 类】1.函数()()R x x x f ∈+=211的值域是（ ） []1,0.A [)1,0.B (]1,0.C ()1,0.D2.函数()155+=x xx f 的值域是（ ） ()()+∞-∞-,51,. A ()5,1.B()()+∞∞-,11,. C ⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,5151,. D3.下列函数中，值域是()+∞,0的是（ ）12.2+-=x x y A ()()+∞∈++=,012.x x x y B ()Nx x x y C ∈++=121.211.+=x y D 4.求函数x x y 431-+-=的值域.5.求x x y ++-=12的值域.6.函数()112->++=x x x y 的值域是.7.已知函数()x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()x f x x xf +=+11，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f 的值是多少？8.求函数)2(x x x y -+=的值域.9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-∞∈-=),0[,1)0,(,11)(2x x x x x f ，求)1(+x f .10.已知函数()x f 的定义域为()b a ,且,2>-a b 则()()()1313+--=x f x f x F 的定义域为()13,13.-+b a A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+31,31.b a B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,31.b a C ⎪⎭⎫⎝⎛++31,31.b a D11.若函数()x f y =的定义域为[],1,1-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4141x f x f y 的定义域.【参考答案】1.【答案】C【解析】.1110,11,0,222≤+<∴≥+∴≥∴∈x x x R x∴函数()()R x xx f ∈+=211的值域为(].1,0 2.【答案】C 【解析】15115155+-+=+=x x x x y 1511+-=x 11511015≠+-∴≠+x x 即1≠y 知()()+∞∞-∈,11, y 故选.C3.【答案】D 【解析】A 中()012≥-x [)+∞∈∴,0yB 中11112++=++x x x ()+∞∈,0x 21<<∴y 即()2,1∈y C 中()2211121+=++=x x x y N x ∈ ()1,0∈∴y D 中由题意知01>+x ()+∞∈+∴,011x 故选D 4.【解析】令()01≥=-t t x 则()012≥+=t t x则142-+-=t t y ()o t t ≥⎪⎭⎫⎝⎛--=2214则0≤y .5.【解析】两边平方：6649212322≤⇒≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=y x y6.【解析】()12111211111112->=+⋅+≥+++=+++=++=x x x x x x x x x y当且仅当111+=+x x 即0=x 时成立，故2≥y 7.【解析】由()()()x f x x xf +=+11可得：23=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛23252523f f ， 21=x 时，⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛21232321f f ， 21-=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212121f f .又.025,023021=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f又()()()(),111111--=+--f f ()().0100=-=-∴f f()().0025,00==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=∴f f f f8.【解析】由0)2(≥-x x 解得定义域为20≤≤x两边平方整理得：0)1(2222=++-y x y x （1）因为0)1(2222=++-y x y x 一定有根，所以08)1(42≥-+=∆y y解得：2121+≤≤-y由0≥∆仅保证关于x 的方程：0)1(2222=++-y x y x 在实数集R 有实根， 而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根， 也就是说0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大， 故需要进一步确定此函数的值域. 采取如下方法进一步确定函数的值域. ∵20≤≤x 0)2(≥-+=∴x x x y ，把0min =y ，21+=y 带入方程（1）解得：]2,0[2222241∈-+=x即当时，2222241-+=x 时原函数的值域为：]21,0[+9.【解析】由复合函数的定义域知)1(+x f 的定义为),1[)1`,(+∞-⋃--∞当)1`,(--∞∈x 时 11)2(+=-x x f ，当),1[+∞-∈x 时22)1(2++=+x x x f 所以⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈++--∞∈+=+),1[,22)1,(,11)1(2x x x x x x f10.【答案】B【解析】由题意得⎩⎨⎧<+<<-<b x a b x a 1313，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-+<<+31313131b x a b x a 显然,3131->+b b ,3131->+a a 又,2>-a b 从而.3131+>-a b()x F ∴的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-+31,31b a ，故选.B11.【解析】 函数()x f y =的定义域为[]1,1-∴有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-14111411x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-45434345x x 得4343≤≤-x 故函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4141x f x f y 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,43x .。

函数的定义域与值域一、函数的定义域自变量x 的取值范围叫做函数的定义域（即使得函数的解析式有意义的x 的取值范围）。

二、常见函数的定义域的求法：1、如果f(x)为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于等于零的实数x 的集合；2、如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数x 的集合；3、当函数y=f(x)中含有x 的式子在对数真数位置时，需使真数大于零，进而求出x 的取值范围；当含有x 的式子在对数的底数位置时，要通过底数大于零且不等于1的x 的取值范围；4、如果f(x)是由几个函数组合而成的，那么函数的定义域是使各个函数同时有意义的实数x 的集合（即各个函数定义域的公共部分构成f(x)的定义域）。

注意：①当通过解不等式或不等式组求定义域时，常常借助数轴求交集，同时考虑端点是否可取；②在解决函数问题时首先考虑定义域，“定义域优先原则”；③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式；④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。

典例分析：23x 4x f=x--+1、函数的定义域为（）A 、[-4,1] B[-4,0] C 、（0，1] D 、[]4- ，0）（0，12f(x)=x x x +、函数（-1）的定义域（）A 、(][)01-∞+∞ ，， B 、[)∞1，+ C 、{0} D 、{}[)01+∞ ，3、若函数y=f （x ）的定义域[0,2]，则函数()(2)g x 1f x x =-的定义域是（）A 、[0，1]B 、[0，1)C 、[0，1)U(1,4]D 、（0，1） 4、若函数f （2x-1）的定义域为[0，1) ，则f （1-3x ）的定义域是（） A 、（-2，4] B 、12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C 、10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦ D 、20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦三、函数的值域：1、函数值域的概念：所有函数值的集合叫做函数的值域。

2、求函数值域的常用方法（1）配方法：若函数类型为一元二次函数，则采用此法求其值域。

函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它描述了两个集合之间的映射关系。

在讨论函数时，我们经常会遇到两个重要的概念，即定义域和值域。

本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在函数理论和实际问题中的重要性。

一、定义域的概念及作用在定义函数时，我们需要明确函数的输入变量的取值范围，这个取值范围称为函数的定义域。

简单来说，定义域是指函数能够接受的实际参数的集合。

例如，考虑一个简单的函数f(x) = 2x，如果我们要求f(x)的定义域为实数集，那么定义域可以表示为D = R。

这意味着函数f(x)可以接受任意实数作为输入。

定义域在函数的数学性质和实际应用中都起着重要作用。

首先，定义域的确定可以帮助我们分析函数的性质。

对于某些函数来说，定义域的限制可能导致函数的不连续、无定义等特殊情况。

其次，在实际问题中，定义域的设定可以帮助我们剔除那些无法满足条件的输入值，从而使得函数描述的问题更加合理和实用。

二、值域的概念及意义值域是函数中输出变量的取值范围，也可以理解为函数所有可能的输出值组成的集合。

考虑函数f(x) = x^2，如果定义域为实数集，那么值域可以表示为R+，即非负实数集合。

这是因为对于任意实数x，函数f(x)总能输出一个非负实数。

值域的确定与函数的图像密切相关。

通过绘制函数的图像，我们可以直观地观察函数的值域。

但需要注意的是，并非所有函数都能通过图像判断值域。

对于某些复杂的函数来说，值域的确定需要借助数学分析和推导。

在实际应用中，值域的确定有助于我们了解问题的解空间和可能的输出结果。

通过对值域的分析，我们可以推断出函数的特性，帮助我们解决实际中遇到的问题。

三、定义域与值域的关系定义域和值域是函数中的两个重要概念，它们之间存在一定的关系。

首先，定义域决定了值域的范围。

也就是说，值域的元素必须是定义域中元素通过函数映射得到的结果。

例如，对于函数f(x) = x^2而言，如果定义域为实数集，则值域为非负实数集。

值域和定义域的求法在数学中，函数是一个非常重要的概念。

函数的值域和定义域是函数中的两个重要概念。

值域指的是函数的所有可能输出值的集合，而定义域则指的是函数的所有可能输入值的集合。

在解决函数的问题时，我们需要了解如何求出函数的值域和定义域。

一、定义域的求法定义域是函数的输入值的集合。

定义域的求法主要有以下几种： 1. 显式定义法如果函数的定义是显式的，那么其定义域也是显式的。

例如，函数f(x) = x + 2的定义域为所有实数。

2. 分段定义法如果函数在不同的区间内有不同的定义，那么其定义域就是所有区间的交集。

例如，函数f(x) = {x，x<0；x+1，x>=0}的定义域为(-∞,0)∪[0,∞)。

3. 根式定义法如果函数中存在根式，那么其定义域要满足根式中的表达式大于等于0。

例如，函数f(x) = √(x-1)的定义域为[x,∞)。

4. 分式定义法如果函数中存在分式，那么其定义域要满足分母不为0。

例如，函数f(x) = 1/(x-1)的定义域为(-∞,1)∪(1,∞)。

5. 对数定义法如果函数中存在对数，那么其定义域要满足对数中的表达式大于0。

例如，函数f(x) = log(x-1)的定义域为(1,∞)。

二、值域的求法值域是函数的输出值的集合。

值域的求法主要有以下几种：1. 图像法通过作出函数的图像，可以直观地看出函数的值域。

例如，函数f(x) = x^2的图像为开口向上的抛物线，其值域为[0,∞)。

2. 导数法如果函数在某一区间内单调递增或单调递减，那么其值域就是该区间的端点对应的函数值的集合。

例如，函数f(x) = x^2在区间[0,1]内单调递增，其值域为[0,1]。

3. 最值法如果函数在某一区间内存在最大值或最小值，那么其值域就是最大值或最小值对应的函数值的集合。

例如，函数f(x) = -x^2+2x在区间[0,1]内的最大值为f(1)=1，其值域为(-∞,1]。

4. 解析法有些函数可以通过解析的方法求出其值域。

值域和定义域的区别值域和定义域的区别：定义域是函数的自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；4、分段函数的定义域是各个区间的并集；5、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；6、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域。

1．观察法用于简单的解析式。

y=1-√x≤1，值域-∞,1]y=1+x/1-x=2/1-x-1≠-1，值域-∞,-1∪-1,+∞.2．配方法多用于二次型函数。

y=x^2-4x+3=x-2^2-1≥-1，值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=e^x-2^2-7≥-7，值域[-7,+∞）3．换元法多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。

特别注意中间变量（新量）的变化范围。

4．不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。

5．最值法如果函数fx存在最大值M和最小值m，那么值域为[m,M]。

因此，求值域的方法与求最值的方法是相通的。

6．反函数法（又叫反解法）函数和它的反函数的定义域与值域互换。

如果一个函数的值域不易求，而它的反函数的定义域易求，那么我们可以通过求后者得出前者。

7．单调性法若fx在定义域[a,b]上是增函数，则值域为[fa,fb]；若是减函数，则值域为[fb,fa]。

函数的定义域与值域一、定义域1．基本函数的定义域求法（1）分式中的分母不为零 （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）指数式的底数大于零且不等于一； （4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零； （5）正切函数x y tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且； （6）反三角函数的定义域y ＝arcsinx 的定义域是[－1，1]，值域是； y ＝arccosx 的定义域是[－1，1]，值域是[0，π] ；y ＝arctgx 的定义域是R ，值域是；2．复合函数的定义域求法 若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。

例1．⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．例2． 已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R 求实数m 的取值范围。

分析：函数的定义域为R ，表明0862≥++-m mx mx ，使一切R x ∈都成立，由2x 项的系数是m ，所以应分0=m 或0≠m 进行讨论。

解：当0=m 时，函数的定义域为R ；当0≠m 时，0862≥++-m mx mx 是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是⎩⎨⎧≤+--=∆>0)8(4)6(02m m m m 10≤<⇒m 综上可知10≤≤m 。

例3．已知函数347)(2+++=kx kx kx x f 的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

函数的定义域和值域知识点总结函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。

在了解函数的定义域和值域之前，我们需要先了解函数的基本概念和表示方法。

函数可以理解为一个输入到输出的映射关系，如果将函数视为一个机器，输入是函数的自变量，输出是函数的因变量。

函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数的表达式。

例如，y=2x+1就是一个简单的一次函数。

定义域是指所有自变量可能取值的集合，也可以简单理解为函数的输入范围。

根据函数的不同类型，定义域可以有不同的限制条件。

1.有理函数：有理函数是指可以表示为两个多项式相除的函数。

它的定义域包含所有不使得分母等于0的实数。

2.无理函数：无理函数是指不能表示为两个多项式相除的函数，例如平方根、立方根、指数函数等。

对于无理函数，它的定义域可以是任意实数，也可以有一些限制条件。

3.双曲函数：双曲函数是指以指数函数和对数函数为基础的函数。

对于双曲函数，它的定义域可以是任意实数。

4.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是互为反函数关系的两个函数。

指数函数的定义域为所有实数，对数函数的定义域为正实数。

在确定函数的定义域时，常常需要考虑到以下几点：1.分式中的分母不能为0。

2.做对数运算时，底数必须大于0且不等于13.做反三角函数时，函数的值域必须在对应的定义域内。

4.开方运算中，被开方数必须大于等于0。

在讨论函数的定义域时，我们常常需要注意以下几个特殊情况：1.绝对值函数：绝对值函数的定义域为所有实数。

2.常量函数：常量函数的定义域为所有实数。

3.单调函数：单调函数的定义域为所有实数。

4.双曲函数：双曲函数的定义域为所有实数。

接下来，我们来讨论函数的值域。

值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合，也就是函数的输出范围。

函数的值域可能存在上界、下界或者不受限。

确定函数的值域时需要考虑以下几点：1.对于连续函数，可以通过求导数来判断函数的极大值和极小值，从而确定值域的上界和下界。

1 函数的定义域和值域要点梳理1．常见基本初等函数的定义域(1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)、y ＝sin x 、y ＝cos x 的定义域是R(2) y ＝log a x 的定义域是{x |x ＞0}或(0，＋∞)，y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }． 求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式典型例题求函数的定义域例1、函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 例2、函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是________． 例3、函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________． 求函数的值域例4、求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2； (3)y ＝x ＋4x(x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．例5、若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围。

函数的值域与定义域分析在数学的广袤天地中，函数是一个极为重要的概念。

而函数的值域与定义域，则是理解和研究函数的关键要素。

首先，咱们来聊聊什么是函数的定义域。

简单说，定义域就是函数中自变量的取值范围。

比如说，对于一个分式函数，分母不能为零；对于一个根式函数，根号下的式子必须大于等于零。

这就像是给自变量设定了一个活动范围，只有在这个范围内，函数才有意义。

举个例子，函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，这里 x 就不能等于 1 ，因为要是 x 等于 1 ，分母就成零了，整个式子就没意义啦。

所以，这个函数的定义域就是 x 不等于 1 ，用数学语言表示就是 x ∈（∞， 1) ∪（1, ＋∞）。

再比如，函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，为了让根号下的式子有意义， x ＋ 2 就得大于等于零，解这个不等式，就能得到 x 大于等于－2 ，所以它的定义域就是 x ∈－2, ＋∞）。

定义域的确定，不仅取决于函数的表达式，还可能受到实际问题的限制。

比如说，在一个描述时间、长度、面积等实际量的函数中，自变量的值通常不能是负数，也不能超出实际可能的范围。

说完定义域，咱们再来看看值域。

值域呢，就是函数因变量的取值范围。

也就是说，在给定的定义域内，函数输出的所有可能的值的集合。

还拿上面的例子来说，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，因为 x 不等于1 ，当 x 趋近于 1 时，f(x) 的值趋近于正无穷或者负无穷；当 x 趋近于正无穷或负无穷时，f(x) 趋近于零但不等于零。

所以，这个函数的值域就是 y ∈（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。

对于函数 g(x) ＝√（x ＋ 2) ，因为根号下的数总是非负的，而且根号下 x ＋ 2 可以取到零以及大于零的任何值，所以这个函数的值域就是 y ∈ 0, ＋∞）。

确定函数的值域有时候并不容易，需要我们对函数的性质有深入的理解。

比如，对于二次函数，我们可以通过分析其开口方向和顶点坐标来确定值域；对于一些复杂的函数，可能需要用到求导等高等数学的方法。

数学复习函数的定义域与值域的确定数学复习：函数的定义域与值域的确定导语：函数是数学中重要的概念，它描述了变量之间的关系。

在函数的研究中，定义域和值域是两个重要的概念。

本文将详细介绍函数的定义域和值域的确定方法和注意事项。

一、函数的定义函数是两个集合之间的一种对应关系。

对于任意一个自变量，函数都能给出唯一的因变量。

在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。

二、定义域的确定1. 定义域的概念定义域是指自变量的取值范围，也就是能够使函数有意义的值的集合。

根据不同的函数类型，定义域的确定方法有所不同。

2. 常数函数的定义域对于常数函数来说，定义域为全体实数，因为常数函数对于任意实数输入，输出都为同一个常数。

例如：f(x) = k，其中k为常数。

3. 线性函数的定义域线性函数通常表示为 f(x) = ax + b，其中a和b都是实数系数。

对于线性函数而言，定义域为全体实数。

4. 平方函数的定义域平方函数通常表示为 f(x) = x^2。

由于平方函数对于所有实数都有定义，所以定义域为全体实数。

5. 分式函数的定义域分式函数通常表示为 f(x) = p(x) / q(x)，其中 p(x) 和 q(x) 都是多项式函数。

在确定分式函数的定义域时，需要注意分母不能为零，即q(x) ≠ 0。

6. 开方函数的定义域开方函数通常表示为f(x) = √x 或f(x) = √(ax + b)，其中 a 和 b 为实数系数。

在确定开方函数的定义域时，需要满足根号内的值大于等于0。

三、值域的确定1. 值域的概念值域是函数所有可能输出的值组成的集合。

确定值域是为了了解函数输出的范围。

2. 常数函数的值域常数函数的值域只包含一个数值，即为常数本身。

3. 线性函数的值域线性函数的值域为全体实数，因为线性函数能够表示实数上的直线。

4. 平方函数的值域平方函数的值域为非负实数集合[0,+∞)。

因为对于所有的x值，平方函数的输出都为非负数。

数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。

2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。

3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。

4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。

二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。

2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。

3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。

4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。

三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。

2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。

3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。

四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。

2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。

3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。

4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。

5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。

五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。

2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。

3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。

4.对于对数函数，值域为实数集R。

5.对于分式函数，值域为非零实数集。

6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。

六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。

2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。

3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。

4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。

函数的定义域和值域函数定义映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”函数的概念1．定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数)(x f和它对应，那么就称B:为从集合A到集合B的f→A一个函数，记作)fy=，(xx∈。

A其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{}A|)(叫做函数的值域。

f∈xx函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性；区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．例 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)例 函数y ＝xx 23与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) =2x③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x重点一：函数的定义域各种类型例题分析例 求下列函数的定义域（用区间表示） （1）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=；解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-023112012022x x x x x ，解得函数定义域为]2,23()23,1()1,21( .例 当a 取何实数时，函数y =lg(-x 2+ax +2)的定义域为(-1，2)?分析： 可转化为：确定a 值，使关于x 的不等式-x 2+ax +2>0的解集为(-1，2).解： -x 2+ax +2>0⇒x 2-ax -2<0，故由根与系数的关系知a =(-1)+2=1即为所求.练习、求下列函数的定义域(1)()f x =2）y =⑶4)3lg(2++=x x x y ⑷1||142-+-=x x y⑸)1(log 31-=x y ⑹235684xx x y ---=抽象函数定义域【类型一】“已知f(x)，求f(…)”型 例：已知f(x)的定义域是[0，5]，求f(x+1)的定义域。

函数的值域求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一.遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题更是少的屈指可数.原因可能是求函数的值域往往需要用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因而求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化.一、 函数的值域的概念一般的，设函数)(x f 的定义域为I ，函数值的集合{}I x x f ∈|)(叫做函数的值域，.值域还可以理解为函数值的取值范围.二、 常见函数的值域(结合图像理解)1．一次函数 )0(≠+=k b kx y 的定义域是R ，值域也是R . 2． 二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，当0>a 时，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2或⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac 当0<a 时，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2.或⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b ac 44,2 3． 反比例函数 )0(≠=k xk y 定义域为{}0|≠x x 或()()+∞⋃∞-,00,， 值域为{}0|≠y y 或()()+∞⋃∞-,00,.4．常函数 c y =的定义域为R ，值域为{}c 5．指数函数 )1,0(≠>=a a a y x 的定义域为R ，值域{}0|>y y 6．对数函数 )1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为{}0|>x x ，值域为R . 7． 幂函数 3x y =的定义域为R ，值域为R .21x y =的定义域为[)+∞,0，值域为[)+∞,08． 三角函数x y sin =和x y cos =的定义域为R ，值域为[]1,1-x y tan =的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≠Z k k x x ,2|π，值域为R . 9． 对勾函数0,>+=k xk x y 的定义域为()()+∞⋃∞-,00,， 值域为()()+∞⋃-∞-,,k k 三、 常见函数在给定区间上的值域1. 一次函数2. 二次函数3. 反比例函数四、 图像法若给定函数能够作出图象，则可通过观察图象直接得出该函数的值域，但必须保证函数的图象要非常精确，尤其在一些关键的线(渐近线、分界限、对称轴等)和关键点（顶点、交点、间断点、孤立点、端点、定点等，及这些点的虚实情况）.主要处理分段函数的值域. 1.41-+-=x x y 答：[)+∞,5 2.13+--=x x y 答：[]4,4-五、 单调性法如果函数)(x f 在[]b a ,上单调递增，则其值域为[])(),(b f a f ；如果函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，则其值域为[])(),(a f b f .例1 x x y --=1例2 11--+=x x y (]2,0x x y -++=11 []2,2分子有理化 例3 22)5(22310--+=--+=x x x x x y 解：令θcos 25=-x则[]7251)4sin(2245,44,5)4sin(25cos 2sin 2sin 2)5(2,0,1cos 10cos 220)5(2222≤≤-≤+≤-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+++=++==--∈⇒≤≤-⇒≥-⇒≥--y y x x πθπππθπθθθθπθθθ，六、 定义法对于有些函数不能作出图像，单调性又不明确，要求出这些函数的值域需要从定义域（x 的取值范围）出发， 从内到外经过对应关系层层退出，直到求出函数值y 的取值范围.主要用来处理复合函数的值域(对函数)(),(x g u u f y ==先求出)(x g u =的值域充当)(u f y =的定义域，从而求出))((x g f y =的值域的方法). 1.52+=x y 2.)352(log 221++-=x x y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,849 3.11-+-=x x y七、 分离常数法（齐次分式函数）1. 一次齐次分数函数 ),0(bc ad ac bax d cx y ≠≠++=例1 11+-=x x y例2 112+-=x x y例3 x x y -+=53例4 121+-=x x y例5 1213+-=x x y2. 部分二次齐次分数函数 122+--=x x x x y 解：111111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x x y 八、 换元法（形如d cx b ax y +++=的值域问题）1.x x y -+=1 令11≤-=x xt 则 0≥t 注意新旧两元范围的变化 2.21x x y -+= 三角换元令)0(cos πθθ≤≤=x3.21x x y -= 三角换元令αsin =x九、 判别式法-----函数的值域就是使关于x 的方程)(x f y =在定义域有解的y 的取值范围. 形如22221121c x b x a c b x a y ++++=，其中021≠a a ，且分子分母无非常数公因式.十、 基本不等式法例1求函数xx y 1+=的值域 例2求函数)0(122>+=x x x y 的值域 十一、十二、几何法 利用几何上的一些结论，如两点间的线段最短、直线外一点与直线（或平面）上各点连线中垂线断最短.十三、反求法 用y 来表达x ，适用于x 的范围知道，且能用y 来表达x例1 11+-=x x e e y例2 2cos 31cos 2-+=x x y [)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,351, x x y sin 2sin 2+-= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31 求函数的值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法都有极强的针对性，每一种方法又不是万能的，要顺利的解答求函数的值域问题，必训熟练掌握各种技巧方法.函数的图像知识网络清点。

定义域和值域的区别定义域定义域和值域是函数概念中的两个重要元素。

和值域是数学函数中两个重要的概念。

定义域指的是自变量的取值范围，即输入值的集合。

定义域指的是函数中自变量的取值范围，即函数能够接受的所有可能输入的集合。

换句话说，它是使函数有意义的自变量x 的取值范围。

在函数记号y = f(x)中，x的取值范围就是函数的定义域。

定义域可以是有限的，也可以是无限的。

例如，对于函数f(x) = 1/x，其定义域是所有非零实数，因为当x=0时，函数例如，如果函数f(x) = 1/x，那么其定义域就是所有非零实数，因为x不能为0，否则没有意义。

函数值将不存在。

值域是指因变量的取值范围，即输出值的集合。

值域则是因变量的取值范围，即函数所有可能输出的集合。

在函数记号y = f(x)中，y的取值范围就是函数的值域。

它是根据自变量在定义域内的取值，通过函数对应法则计算得到的因变量y的取值范围。

与定义域一样，值域也可以是有限的或无限的。

它表示在对应法则f的作用下，自变量x经过计算后所得到的所有可能的结果的集合。

继续以函数f(x) = 1/x为例，其值域是所有非零实数，因为无论x取何非零值，1/x都将得到一个非零的结果。

例如，对于函数f(x) = x^2，其值域是所有非负实数，因为平方运算的结果总是非负的。

简而言之，定义域是输入值的范围，而值域是输出值的范围。

这两个概念在理解和研究函数性质时起着至关重要的作用。

需要注意的是，函数的定义域和值域并不是随意选择的，而是根据函数的性质和对应法则来确定的。

在研究函数时，了解函数的定义域和值域是非常重要的，因为它们决定了函数能够处理哪些输入和产生哪些输出。

高考数学中的函数定义域及值域的详细解释在高中数学的学习过程中，函数的定义域和值域是非常重要的一个知识点。

掌握函数的定义域和值域，对于学生未来的学习和职业发展都有着极为重要的作用。

接下来，我们就来详细解释函数的定义域和值域的概念及其在高考数学中的应用。

一、函数的定义域是什么？在数学中，函数可以看作是一种联系两个集合的规律。

其中，一个集合是自变量的取值集合，另一个集合是函数值的取值集合。

函数的定义域指的就是自变量的取值集合。

以一个简单的例子为说明：设有一个函数f(x) = √(10 - x)，其中x 的取值范围是整个实数集合，那么函数 f(x) 的定义域就是整个实数集合。

但是实际上，在某些情况下，函数的自变量可能不是整个实数集合。

例如，函数 f(x) = 1/x，x 的取值范围为整个实数集合，但由于在 x = 0 处没有定义，因此函数的定义域就是整个实数集合减去 0。

通过以上例子，可以看出函数的定义域并不是简单的取值范围，而是根据函数的性质来确定的。

每个函数都有其自己对应的定义域。

二、函数的值域是什么？函数的值域指的是函数在定义域上所有可能的函数值所组成的集合。

也以前面的例子f(x)= √ (10-x)，为例。

将这个函数的定义域限定在 [0,10] 上，那么函数的值域就是在这个区间内所有满足条件的函数值组成的集合。

在求解函数的值域的问题上，可以借助一些特殊的技巧。

比如，在许多函数的求值问题上，我们可以使用函数的性质、图像、导数等方式来简单地确定函数的值域。

三、函数的定义域和值域在高考数学中的应用函数的定义域和值域是高中数学的重点知识点，而在高考中经常考到的题型则是在此基础上进行加深。

经过高中的语文、英语、数学学习，学生应该已经掌握了认真分析问题的方法。

在高考数学的题目中，有许多都需要从某个小细节来全面分析题目，从而解决问题。

而在面对一些函数及其图像的问题时，掌握函数的定义域和值域概念，不仅能在图像问题及函数在某个区间的取值问题上提供大量便利，还可以为高考数学的综合应用题提供更好的思路。

1、 定义域R 上函数y=f(x)值域为[a,b],则y=f(2x+5)值域为（ ） 解：由于y=f(x)的定义域为R ，所以y=f(2x+5)的定义域也为R ，且2x+5能取到任意值，即y=f(2x+5)值域也为[a,b]。

2、 函数y=f(x),定义域为R,值域为【-2,2】,则y=f(x+1)-1的值域 （ ） 解：因为y=f(x)，定义域为R ，值域为[-2,2]，所以不论x 取何值，函数的值域都是[-2,2]，所以将x 换成(x+1)后，(x+1)的取值范围依然是R ，所以函数f(x+1)的值域依然时[-2,2]， 即，-2≤f(x+1)≤2，所以，-2-1≤f(x+1)-1≤2-1，即，-3≤f(x+1)-1≤1，综上所述，y=f(x+1)-1的值域是：[-3,1]. 3、 已知函数y=1/2(x-1)^2+1的定义域和值域都是区间[1,b]（b ＞1）求b 的值已知函数y=1/2(x-1)^2+1为开口向上得抛物线，对称轴x=1 区间[1,b]在对称轴右边，单增所以f(x)最小=f(1)=1f(x)最大=f(b)=(1/2)(b-1)²+1由题意f(b)=b于是(1/2)(b-1)²+1=b即b ²-4b+3=0 (b-1)(b-3)=0因b>1所以b=3函数解析式，复合函数的定义域，值域定 义 域：例1、 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 例2、设f(x)的定义域为[0，2]，求函数f(x+a)+f(x-a)(a ＞0)的定义域．练习：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 1、函数x x x f -=13)(2的定义域是（ ）A.),1(+∞B. )1,0(C. )1,(-∞D. ]1,(--∞2、函数x x x x f -+=0)1()(的定义域是（ ）A.{}0|<x xB. {}0|>x xC. {}10|-≠<x x x 且D. {}10|-≠≠x x x 且3、xx x f -++=211)(的定义域是（ ）A.),1[+∞-B. ),2[+∞C. )2,1(-D. {}21|≠-≥x x x 且4、2384)(3-+=x x x f 的定义域是（ ） A.),32[+∞ B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠32|x x C. ),2[+∞ D. ]1,(--∞ 5、若函数()f x 的定义域[0，2]，则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域是（ ） A [0，1] B [)1,0 C [)(]4,11,0⋃ D ()1,0 6、已知函数)(x f 的定义域为[a ，b]，其中b a b a ><<,0，则函数()()x f x f x g -+=)(的定义域是（ ）A ],(b b -B ],(b a -C ],[b b -D ],[a a -7、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是_________8.已知(1)f x +的定义域为[2,3]-,则(21)f x -定义域是: A.5[0,]2 B.[1,4]- C.[5,5]- D.[3,7]-9.已知函数()f x 的定义域为[0,1],函数2()f x 的定义域为:___________函数的值域1. 直接观察法:对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

值域和定义域的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述值域和定义域是数学中常用的概念，它们在函数、映射以及集合等各个领域都具有重要的作用。

值域和定义域分别描述了函数在自变量和因变量方面的取值范围，对于理解函数的性质和研究函数的特点具有重要意义。

在数学中，函数是描述两个集合之间的对应关系的一种工具。

其中，自变量集合中的元素通过函数映射到因变量集合中的元素。

值域和定义域就是用来描述函数映射的这种取值关系的范围。

定义域是指函数中自变量的取值范围，也就是使函数有意义的自变量的集合。

在函数的图像中，定义域可以看作是自变量所对应的横坐标的取值范围。

定义域决定了函数的输入范围，它限制了函数可以接受的自变量的取值。

值域是指函数中因变量的取值范围，也就是函数在定义域上对应的因变量的集合。

在函数的图像中，值域可以看作是函数图像所覆盖的纵坐标的取值范围。

值域决定了函数的输出范围，它描述了函数所有可能的输出结果。

对于一个特定的函数，其定义域和值域可以有不同的限制和性质。

在一些简单的函数中，定义域和值域往往是整个实数集，即函数能够接受任意实数作为自变量，同时能够得到任意实数作为因变量。

但是在一些特殊的函数中，定义域和值域可能会受到其他条件的限制。

理解和分析函数的定义域和值域对于解题和理论研究都具有重要意义。

通过确定函数的定义域和值域，我们可以判断函数的可行性、特征和性质。

在实际问题中，确定函数的定义域和值域也对解决一些特定条件下的问题具有指导作用。

本文将着重介绍和探讨值域和定义域的概念及其在数学中的重要性。

我们将从定义的角度出发，详细说明值域和定义域的含义，并探讨其在函数理论中的应用。

通过深入研究和分析，我们可以更好地理解和应用这两个概念，提高数学问题的解决能力。

1.2 文章结构文章结构部分的内容:本文主要包括引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要概述了本文的主题和目的。

通过引言，读者可以对值域和定义域的概念有个初步的了解，并对文章的内容有一个整体的认识。