2000考研数三试题及解析

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的 工资总额(单位：百万元)，则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不 等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布，参数为_______二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点.(C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点. (2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( )(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量.若秩0T A αα⎛⎫= ⎪⎝⎭秩(A)，则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三 、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x z xt e dt t -=⎰求du dx四 、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c 的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域 六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时，S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使T Q AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n )，二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()T g X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x ) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G ={(x ,y )|1≤x ≤3,1≤y ≤3}上的均匀分布，试求随机变量U ={X −Y } 的概率密度().p u2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a =.(4)则2X 和Y 的协方差cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑的收敛半径分别为3与13，则幂级数221n n i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( )(A) 5 (B)3 (C) 13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解 (C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的 特征向量，则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) T P α (C)P α (D)()1TP α-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布 (C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布三、(本题满分5分)求极限 2000arctan(1)lim (1cos )x u x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du .五、(本题满分6分)设2(sin ),sin xf x x =求()x dx .六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ；(2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n nn ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ 其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.十一、(本题满分8分)假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ]（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(B) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛. (C) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ]三、（本题满分8分）设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y g x g ∂∂+∂∂五、（本题满分8分） 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n n x n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+ (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=n i i a 试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ， 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠ 0，则2fu v∂=∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).[ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点.[ ](10) 设有下列命题： (1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛. (2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu -. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.(20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______.（3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz________.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则 }2{=Y P =______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A) ∑∞=-112n n a 收敛，∑∞=12n n a 发散 . （B ） ∑∞=12n n a 收敛，∑∞=-112n n a 发散.(C) )(1212∑∞=-+n n n a a 收敛. (D) )(1212∑∞=--n n n a a 收敛. [ ]（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是 (A)f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值. [ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ ]（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D) 3. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ ] （14） 设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +- (B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-(C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ ]三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分） 求).111(lim 0xe x x x --+-→（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂（17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n m E o C A E P 1；（II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T 1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z ( III ) }.2121{≤≤X Y P（23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z=（4）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ] （8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数(A) 1n n a ∞=∑收敛 . （B ）1(1)n n n a ∞=-∑收敛.(C) 11n n n a a ∞+=∑收敛. (D) 112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(B)若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =. ［ ］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ]三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=； (Ⅱ) ()0lim x g x +→.（16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭.（23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. （Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一． 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当0x +→）A.1-.ln(1B1C.1D -（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： ( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在 （3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（ ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ） .A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 （7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++（C ）1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p -22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y=则z z y x y ∂∂-=∂∂________.（14）微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y ==的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3A 的秩为_______. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分） 设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= （20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z . （24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点.()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at af x dx⎰等于（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在 （4）设函数f连续，若22(,)uvD f u v =，其中uv D 为图中阴影部分，则F u∂=∂（ ）（A ）2()vf u （B ）2()v f u u （C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（ ） ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ）()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭. ()D 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ） ()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=.()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x++=+，则2()______f x dx =⎰. （11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dx y dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=. （14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分）求极限201sin lim ln x xx x→.(16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（1）求dz（2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. (17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数t ，有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰；（2）证明()()()202x t t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1n A n a =+;（2）a 为何值，方程组有唯一解; （3）a 为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+， 证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -. （22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭；（2）求Z 的概率密度． （23） （本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11ni i X X n ==∑，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n =-. （1）证 T 是2μ的无偏估计量. （2）当0,1μσ==时 ，求DT .2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =.(C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.（3）使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是(A)(0,1). (B)(1,)2π. (C)(,)2ππ.(D)(,)π+∞.（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0F x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C) (D)（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 (A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (B)**23O B AO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(C)**32O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D)**23O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为 (A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （7）设事件A 与事件B 互不相容，则(A)()0P AB =. (B)()()()P AB P A P B =.(C)()1()P A P B =-. (D)()1P A B ⋃=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）cos 0xx →= .（10）设()y x z x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ .（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则k = .(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10 分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.（20）（本题满分11 分）设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.。

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设,x x z f xy g y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 均可微，则z x ∂=∂.(2)21.x xdxe e +∞-=+⎰(3) 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1.B E --=(4) 设随机变量X 的概率密度为13,[0,1]()2[3,6]0x f x x ∈⎧⎪=∈⎨⎪⎩其他 若k 使得2{}3P X k ≥=，则k 的取值范围是 (5) 假设随机变量X 在区间[1,2]-上服从均匀分布，随机变量1,00,01,0X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩若若若 则方差().D Y =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且[]li m ()()0x g x x ϕ→∞-=，则l i m ()x f x →∞( ) (A)存在且一定等于零. (B)存在但不一定等于零.(C)一定不存在. (D)不一定存在.(2) 设函数()f x 在点x a =处可导，则函数()f x 在点x a =处不可导的充分条件是 ( )(A)()0()0f a f a '==且 (B)()0()0f a f a '=≠且 (C)()0()0f a f a '>>且 (D)()0()0f a f a '<<且(3) 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组AX b =的三个解向量，且()3A =秩，()11234Tα=，，，，()230,123Tαα+=，，，c 表任意常数，则线性方程组AX b =的通解X = ( ) (A)11213141c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (B)10213243c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (C)12233445c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (D)13243546c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4) 设A 为n 阶实矩阵，TA 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组():0I AX =和():0T II A AX =，必有 ( )(A)()II 的解是()I 的解，()I 的解也是()II 的解. (B)()II 的解是()I 的解，但()I 的解不是()II 的解. (C)()I 的解不是()II 的解，()II 的解也不是()I 的解. (D)()I 的解是()II 的解，但()II 的解不是()I 的解.(5) 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于事件( ) (A){}(1)0T t ≥ (B){}(2)0T t ≥ (C){}(3)0T t ≥ (D){}(4)0T t ≥三、(本题满分6分)求微分方程220x y y e '''--=满足条件(0)0,(0)1y y '==. 四、(本题满分6分)计算二重积分,Dσ，其中D是由曲线0)y a a =-+>和直线y x =-围成的区域五、(本题满分6分)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是112218,12,P Q P Q =-=-其中1P 和2P 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，1Q 和2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是25C Q =+，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即12Q Q Q =+(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.六、(本题满分7分)求函数arctan 2(1)xy x e π+=-的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.七、(本题满分6分)设40sin ,0,1,2,,nn I xcosxdx n π==⎰求0.n n I ∞=∑八、(本题满分6分)设函数()f x 在[]0,π上连续，且()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，试证明：在(0,)π 内至少存在两个不同的点12,ξξ，使12()()0.f f ξξ== 九、(本题满分8分)设向量组，123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,)T T T T a b c αααβ==-=-=试问,,a b c 满足什么条件时，(1)β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？ (2)β不能由123,,ααα线性表出？(3)β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式. 十、(本题满分9分) 设有n 元实二次型222212112223111(,,,)()()()()n n n n n n f x x x x a x x a x x a x x a x --=++++++++其中(1,2,,)i a i n == 为实数.试问：当12,,,n a a a 满足条件时，二次型12(,,,)n f x x x 为正定二次型.十一、(本题满分8分)假设是来自总体的简单随机样本值.已知ln Y X =服从正态分布(,1)N μ. (1)求X 的数学期望EX (记EX 为b ); (2)求μ的置信度为0.95的置信区间;(3)利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间.十二、(本题满分8分)设,A B 是二随机事件；随机变量1,1,1,1,A B X Y A B ⎧⎧==⎨⎨--⎩⎩若出现若出现若不出现若不出现试证明随机变量X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】1221z y yf f g x y x∂'''=+-∂ 【详解】根据复合函数的求导公式，有1221'''z y f y f g x y x ∂⎛⎫=⋅+⋅+⋅- ⎪∂⎝⎭(2)【答案】4eπ【详解】被积函数的分母中含有2x x e e -+，且当x →+∞时，2x x e e -+→+∞，即被积函数属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷.22222211111x xx x x x xxdxdx e dx de e e ee e e e e e+∞+∞+∞+∞-===++++⎰⎰⎰⎰ 221111xx de ee e +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰22111x x e e d e e e e +∞⎛⎫= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰11arctan x e e e+∞=1()24e ππ=-4eπ=(3)【答案】24 【详解】方法1：A B A B ⇒ 、有相同的特征值：11112345.，，，由矩阵1B -是矩阵B 的逆矩阵，他们所有特征值具有倒数的关系，得1B -有特征值2345,,,, 由B 特征局矩阵为E B λ-，1B E --得特征矩阵为()()111E B E E B λλ----=--可以看出B 与1B E --的特征值相差1 ，所以1B E --有特征值1234,,,.由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所有特征值的和等于矩阵主对角元素之和， 知 411123424ii B E .λ-=-==⋅⋅⋅=∏方法 2 ：A B 即存在可逆阵P ，使得1P AP B -=.两边求逆得111B P A P ---=.又A 有四个不同的特征值，存在可逆矩阵Q ，使1Q AQ -=Λ，其中12131415⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上式两边求逆得 1112345Q A Q ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111A Q Q ---=Λ 从而有1111111112131244151B E P A P E P A E P Q Q EQ E Q ----------=-=-=Λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)【答案】[]1,3.【详解】在给定概率密度条件下，有性质{}2112().x x P x X x f x dx <≤=⎰因此，{}()kP X k f x dx +∞≥=⎰(或{}{}11().kP X k P X k f x dx -∞≥=-<=-⎰)因为[0,1]x ∈时，1()3f x =；[3,6]x ∈时，2()9f x =都是定值，因为{}213P X k ≥=<，所以k 最可能的取值区间是包含在[]0,6区间之内的[]1,3区间，否则是不可能的.当13k ≤≤时，{}22()(63).93kP X k f x dx +∞≥==⨯-=⎰ (或者，当13k ≤≤时，{}11()(10),33kP X k f x dx -∞<==⨯-=⎰{}{}1211.33P X k P X k ≥=-<=-=)所以，答案应该填13k ≤≤或[]1,3.(5)【答案】8.9【详解】由于题中Y 是离散型随机变量，其所取值的概率分别为{}{}0,0P X P X >=和{}0P X <.又由于X 是均匀分布，所以可以直接得出这些概率，从而实现由X 的概率计算过渡到Y 的概率.{}{}0(1)110;33P Y P X --=-=<== {}{}000;P Y P X ==== {}{}20210.33P Y P X -==>== 因此 121()11,333E Y =-⨯+⨯= ()2221212()111,3333E Y =-⨯+⨯=+=所以 []2218()()()1.99D YE Y E Y =-=-=二、选择题 (1)【答案】D【详解】用排除法.例1：设22221()22x x f x x x +≤≤++, 满足条件2222211lim lim 0222x x x x x x x →∞→∞⎡⎤+-==⎢⎥+++⎣⎦, 并且 22221lim 1,122x x x x x →∞+==++, 由夹逼准则知，lim ()1x f x →∞=，则选项()A 与()C 错误.例2：设6262442()11x x x x f x x x ++≤≤++, 满足条件626224442lim lim 0111x x x x x x x x x x →∞→∞⎡⎤++-==⎢⎥+++⎣⎦, 但是由于6224()1x x f x x x +≥=+,有lim ()x f x →∞=+∞，极限不存在，故不选()B ,所以选()D .因为最终结论是“()D ：不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”，无法给出相应的证明.(2)【答案】B【详解】方法1：排除法，用找反例的方式()A ：2()f x x =,满足(0)0(0)0f f '==且,但2()f x x =在0x =处可导；()C ：()1f x x =+,满足(0)10,(0)10f f '=>=>,但()1f x x =+当()1,1x ∈-,在0x =处可导；(D)：()1f x x =--,满足(0)10,(0)10,f f '=-<=-<但()1f x x =+当()1,1x ∈-，在0x =处可导； 方法2：推理法.由()B 的条件()0f a =, 则()()()()()limlim lim ,x ax a x a f x f a f x f x f a x a x a x a→→→--==--- 所以 ()()()()lim lim ()x ax af x f a f x f a f a x ax a++→→--'==-- (1)()()()()lim lim ().x ax a f x f a f x f a f a x ax a --→→-⎛-⎫'=-=- ⎪--⎝⎭(2) 可见，()f x 在x a =处可导的充要条件是()()f a f a ''=-，所以()0f a '=，即()0f a '=所以当()0f a '≠时必不可导，选()B .(3)【答案】(C)【详解】因为()11234Tα=，，，是非齐次方程组的解向量所以我们有1A b α=，故1α是AX b =的一个特解又()34r A ,n ==(未知量的个数)，故AX b =的基础解系由一个非零解组成. 即基础解系的个数为1.因为()()123220A b b b ,ααα-+=--= 故()1122024132624835ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是对应齐次方程组的基础解系，故AX b =的通解为()()1231213224354c c .αααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)【答案】(A)【详解】若α是方程组():0I AX =的解，即0A α=，两边左乘T A ，得0TA A α=，即α也是方程组():0TII A AX =的解，即()I 的解也是()II 的解.若β是方程组():0TI I A A X =的解，即0T A A β=，两边左乘T β得()0TT T A A A A .ββββ== A β是一个向量，设[]12TA b ,b ,bβ= ，则()210nTi i A A b .ββ===∑故有0i b =，12i ,,n = 从而有0A β=，即β也是方程组():0I AX =的解.(5)【答案】C【详解】随机变量(1)(2)(3)(4),,,T T T T 为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E 表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于0t ，此时必定两个显示较高的温度大于等于0t ，即(4)(3)0.T T t ≥≥ 所以说断电事件就是{}(3)0T t ≥三【详解】本题属于二阶常系数非齐次线性微分方程，对于二阶常系数非齐次线性微分方程得求解，首先需要求出对应的齐次微分方程的通解，再求出非齐次方程的特解，再利用线性方程解的解构，从而得到对应方程的通解.本题对应的齐次微分方程为 20y y '''-=， 其特征方程为 220r r -=，特征根为120,2r r ==. 于是齐次方程的通解为 212.xY C C e =+ 由于2λ=是特征方程的单根，所以设 2x y A x e *=求得 22222;44xx xxy A e A x e y A e Ax e **'''=+=+ 代入原方程，得 222224424x x xx x A eA x e A e A x e e +--=，即222x x Ae e =约去2xe ，再比较等式左、右两边，得121,2A A == 故得特解212x y xe *=，非齐次方程的通解为 22121.2x x y Y y C C e xe *=+=++ 再由初始条件(0)1y =，得：121C C += (1)由(0)1y '=，得2222212220111221222xxxxxx x C C e xeC e e xeC =='⎛⎫⎛⎫++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)联立(1)与(2)得 1231,44C C == 则满足初始条件的通解为2311()442x y x e =++.四【详解】画出积分区域D . 由被积函数的形式以及积分区域形状, 易见采用极坐标更为方便. 将曲线y a =-化为：222()()x y a a y a ++=≥-，极坐标方程为2sin (0)r a θπθ=--≤≤，再D 区域是由曲线0)y a a =->和直线y x =-围成的区域，于是04πθ-≤≤，极半径02sin r a θ≤≤-，则202sin 04.a DI d θπσθ--==⎰⎰令2sin r a t =，有0r =时0t =；2sin r a θ=-时，t θ=-.2024sin 42cos 2cos tI d a a tdt a t θπθ--=⎰⎰022044sin d a tdt θπθ--=⎰⎰242(1cos 2)d a t dt θπθ--=-⎰⎰240sin 222t a d t dt θπθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 02412(sin 2)2a d πθθθ-=-+⎰022412cos 224a πθθ-⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭221()162a π=-五【定理】简单极值问题(无条件极值)：设(,)z f x y =在开区域D 内可偏导，又根据实际问题可知，它在D 内有最大值或最小值，于是只需在0,0f fx y∂∂==∂∂的点中找到(,)f x y 的最大值点或最小值点【详解】记总利润函数为L ，总收益函数为R ，则总利润=总收益-总成本1122(25)L R C p Q p Q Q =-=+-+112212[2()5]p Q p Q Q Q =+-++ 112212(182)(12)[2()5]Q Q Q Q Q Q =-+--++2211221218212225Q Q Q Q Q Q =-+----221212216105Q Q Q Q =--++-其中，120,0Q Q >>，12Q Q Q =+为销售总量.(1)令121241602100L LQ Q Q Q ∂∂=-+==-+=∂∂，，解得1245Q Q ==，. 而11182P Q =-,2212,P Q =- 故相应地1210,7.p p ==在120,0Q Q >>的范围内驻点唯一，且实际问题在120,0Q Q >>范围内必有最大值，故在1245Q Q ==，处L 为最大值.22max 245164105552()L =-⨯-+⨯+⨯-=万元.(2) 若两地的销售单价无差别, 即12p p =,于是1218212Q Q -=-, 得1226Q Q -=, 在此约束条件下求L 的最值，以下用两个方法：方法1： 若求函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法：先构造辅助函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，然后解方程组00(,)0F f x x x F fy yy Fx y ϕλϕλϕλ⎧∂∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂==⎪∂⎩ 所有满足此方程组的解(,,)x y λ中的(,)x y 是(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=的可能极值点，在可能极值点中求得最大值点或最小值点.故用拉格朗日乘数法，其中1212(,)260Q Q Q Q ϕ=--=，构造函数2212121212(,,)216105(26),F Q Q Q Q Q Q Q Q λλ=--++-+--令112212416202100260FQ Q FQ Q FQ Q λλλ∂⎧=-++=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=--=⎪∂⎩ 解得1254Q Q ==，，在120,0Q Q >>的范围内驻点唯一,且实际问题在120,0Q Q >>范围内必有最大值,故在1245Q Q ==，处L 为最大值.得22max 254165104549()L =-⨯-+⨯+⨯-=万元.方法2：由1226Q Q -=代入221212216105L Q Q Q Q =--++-消去一个变量得211660101L Q Q =-+-这样就变成了简单极值问题(无条件极值)，按(1)的做法：令1112600,dLQ dQ =-+= 得15Q =，为L 的唯一驻点.当11050dL Q dQ <<>时(说明在这个区间上函数单调递增)；当15Q >时10dLdQ < (说明在这个区间上函数单调递减)故，15Q =为L 的唯一极大值点,所以是最大值点，而1226Q Q -=⇒24Q =, 故2211max 6601016560510149()L Q Q =-+-=-⨯+⨯-=万元.六【渐近线】水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=，则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞，则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞，则y a x b =+为斜渐近线.【详解】原函数对x 求导，所以 arctan arctan 22(1)(arctan )2xxy ex x eπππ++''=+-⋅+arctan arctan 2221(1)1xx e x e x ππ++=+-⋅⋅+2arctan 221x x x e x π++=+令0y '=，得驻点120,1x x ==-.列表注：+表示函数值大于0，-表示函数值小于0； 表示在这区间内单调递增； 表示在这区间内单调递减.所以由以上表格可以得出函数的大概形状，有严格单调增的区间为(),1-∞-与()0,+∞；严格单调减的区间为()1,0-.2(0)f e π=-为极小值,4(1)2f e π-=-为极大值.以下求渐近线. 通过对函数大概形状的估计，arctan 2lim ()lim(1)lim(1)xx x x f x x e e x ππ+→∞→∞→∞=-=-=∞所以此函数无水平渐近线；同理，也没有铅直渐近线. 所以令111()lim,lim [()]2;x x f x a e b f x a x e xππ→+∞→+∞===-=-222()lim1,lim [()] 2.x x f x a b f x a x x→-∞→-∞===-=-所以，渐近线为11(2)y a x b e x π=+=-及222y a x b x =+=-，共两条.七【概念】幂级数的收敛半径：若1lim lim n x nx a a ρ+→∞→∞=，其中1,n n a a +是幂级数nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1, 0,, 0, 0, .R ρρρρ≠⎧⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎩【详解】先计算出积分n I 的具体表达式，再求和144001sin sin sin12nn nnI xcosxdx xd xnππ+⎛===+⎝⎭⎰⎰则100112nnn nIn+∞∞==⎛⎫= ⎪⎪+⎝⎭∑∑.考虑幂级数11(),1nnS x xn∞+==+∑求出幂级数的和函数，代入2x=即可得出答案，按通常求收敛半径的办法.所以111lim lim lim111nx x xna nna nnρ+→∞→∞→∞+====+得到本题中幂级数的收敛半径()11,11Rρ==-在，内，先微分再积分，在收敛域内幂级数仍收敛，有11000111()111n n nn n nS x x x xn n x∞∞∞++===''⎛⎫⎛⎫'====⎪⎪++-⎝⎭⎝⎭∑∑∑,所以001()(0)()0ln11x xS x S S x dx dx xx'=+=+=---⎰⎰以()1,1x=-代入,得ln(1ln(2S=-=+.即l n(22)nnI∞==∑.八【证明】方法1：令()(),0xF x f t dt xπ=≤≤⎰，有(0)0,F=由题设有()0Fπ=.又由题设()cos0f x xdxπ=⎰，用分部积分，有000()cos cos()f x xdx xdF xππ==⎰⎰00()cos()sinF x x F x xdxππ=+⎰0()sinF x xdxπ=⎰由积分中值定理知，存在(0,)ξπ∈使0()sin ()sin (0)F x xdx F πξξπ==⋅-⎰因为(0,)ξπ∈，sin 0ξ≠，所以推知存在(0,),ξπ∈使得()0F ξ=. 再在区间[0,]ξ与[,]ξπ上对()F x 用罗尔定理，推知存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈使12()0,()0F F ξξ''==，即 12()0,()0f f ξξ==方法2：由()0f x d x π=⎰及积分中值定理知，存在1(0,)ξπ∈，使1()0f ξ=. 若在区间(0,)π内()f x 仅有一个零点1ξ，则在区间1(0,)ξ与1(,)ξπ内()f x 异号. 不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <. 于是由()0,()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰，有111101100()cos ()cos ()(cos cos )()(cos cos )()(cos cos )f x xdx f x dx f x x dxf x x dx f x x dxπππξπξξξξξ=-=-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当10x ξ<<时，1c o s c o s x ξ>，1()(cos cos )0f x x ξ->；当1x ξπ<<时，1c o s c o s x ξ<，仍有1()(cos cos )0f x x ξ->，得到：00>. 矛盾，此矛盾证明了()f x 在(0,)π仅有1个零点的假设不正确，故在(0,)π内()f x 至少有2个不同的零点.九【详解】方法1：设方程组112233x x x αααβ++= ①对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有[]123211211,,21121011054104304a ab a bc a c αααβ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦211210140031aa b a c b -⎡⎤⎢⎥→+-+⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦(1) 当4a ≠-时，[][]1231233r ,,r ,,,ααααααβ==. 方程组①唯一解，即β可由123,,ααα线性表出，且表出唯一.(2) 当4a =-，但310c b -+≠时，[][]12312323r ,,r ,,,ααααααβ=≠=方程组①无解，β不可由123,,ααα线性表出(3) 当4a =-，且310c b -+=时，[][]1231232r ,,r ,,,ααααααβ==方程组①有无穷多解，此时有[]1234211,,21010000b αααβ--⎡⎤⎢⎥→--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦得对应齐次方程组的基础解系为：()120T,,ξ=-(取自由未知量11x =，回代得2320x ,x =-=)，非齐次方程的一个特解是()()0121T*,b ,b η=-++⎡⎤⎣⎦，故通解为()1021021k b ,b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦其中k 是任意常数. 方法2：设方程组112233x x x αααβ++= ①因为①是三个方程的三个未知量的线性非齐次方程组，故也可由系数行列式讨论，()1232121211211141054001a a A ,,a ααα----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此知道：(1) 当4a ≠-时，0A ≠，方程组有唯一解，β可由123,,ααα线性表出，且表出唯一.(2) 当4a =-时，(有可能无解或无穷多解)对增广矩阵作初等行变换，得[]12342112111,,2110012110540015b b c c b αααβ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦21110012100031b c b ⎡⎤⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦(i) 当4a =-时，且但310c b -+≠时，有[][]12312323r ,,r ,,,ααααααβ=≠=方程组①无解.(ii) 当4a =-，且310c b -+=时，[][]1231232r ,,r ,,,ααααααβ==方程组①有无穷多解，其通解为()1021021k b ,b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦其中k 是任意常数.十【详解】方法1：用正定性的定义判别.已知对任意的12n x ,x ,x 均有()120n f x ,x ,x ≥ ，其中等号成立当且仅当 1122231110000n n n n n x a x x a x x a x x a x --+=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪+=⎪⎩ ①方程组①仅有零解的充分必要条件是其系数行列式()12112110000100001001100001001n n n na a B a a a a a +-==+-≠即当()121nn a a a ⋅≠- 时，方程组①只有零解，此时()120n f x ,x ,x = . 若对任意的非零向量()120n X x ,x ,x ,=≠ ①中总有一个方程不为零，则有()222212112223111()()()()0n n n n n n f x ,x ,x x a x x a x x a x x a x --=++++++++>所以，根据正定二次型的定义，对任意的向量()12n x ,x ,x ，如果()120n f x ,x ,x ≥ ，则二次型正定. 由以上证明题中12(,,,)n f x x x 是正定二次型. 方法2： 将二次型表示成矩阵形式，有()222212112223111()()()()n n n n n n f x ,x ,x x a x x a x x a x x a x --=++++++++[]112223112223111111n n n n n n n n n n x a x x a x x a x ,x a x ,,x a x ,x a x x a x x a x ----+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=++++⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦[]111222121110001000100001000100001000001000010001001n n n n n n a a x a a x a x ,x ,x a a a x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦记 1122110000100001000001001n n n a x a x B ,X a a x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 ()()120TT Tn f x ,x ,x X B BX BX BX ==≥当()12112110000100001001100001001n n n na a B a a a a a +-==+-≠即当()121nn a a a ⋅≠- 时，0BX =只有零解，故当任意的0X ≠时，均有()()120Tn f x ,x ,x BX BX => ，从而由正定二次型的定义，对任意的向量()12n x ,x ,x ，如果()120n f x ,x ,x > ，则()12n f x ,x ,x 是正定二次型.十一【详解】ln Y X =⇒YX e =. 题设条件Y 为正态，故()()Y E X E e =可用函数的期望的公式求得. 将X 的样本可以转化成Y 的样本，从而对正态(,1)Y N μ 中的μ求得置信区间. 最后，再从μ的置信区间转得b 的置信区间.(1) 由正态分布密度函数的定义知，Y 的概率密度为2()2(),,y f y y μ--=-∞<<+∞于是 2()2()()y Y y b E X E e e edy μ--+∞-∞===⋅⎰令t y μ=-，有 ()221111222t t t b ee dt ee dt μμ+∞+∞-+--+-∞-∞=⋅=⎰12eμ+=.(2) 当置信度10.95α-=时，0.05α=.查表可知标准正态分布的双侧分位数等于1.96.故由1(,)4Y N μ ，其中Y 表示总体Y 的样本均值，11(ln 0.50ln 0.80ln1.25ln 2.00)ln10.44Y =+++== Y 是μ的无偏估计，且2σ(0,1).N所以，按标准正态分布的α分位点的定义，有 /21,P Z αα⎫⎪<=-⎬⎪⎭即/2/21.P Y Y Z ααμα⎧⎫<<=-⎨⎬⎩⎭这样，我们就得到了μ的一个置信水平为1α-的置信区间/2/2,Y Y Z αα⎛⎫⎪⎝⎭在此题中，1,4σμ==，0Y =，所以参数μ的置信度为0.95的置信区间为( 1.96 1.96(0.98,0.98).Y Y -+=- (3) 由指数函数xe 的严格单调递增性，有{}10.980.980.48 1.482P P μμ⎧⎫-<<=-<+<⎨⎬⎩⎭10.48 1.482P e e e μ+-⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭{}0.48 1.48P e b e -=<<0.95=因此b 的置信度为0.95的置信区间为()0.481.48,.ee -十二【分析】随机变量X Y 和不相关(,)0Cov X Y ⇔=.事件A B 与相互独立()()()P AB P A P B ⇔=.要找出这二者之间的联系就应从(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-入手.【详解】{}(){}{}()1121E X P A P A P A =⋅+-⋅=-，同理，{}()2 1.E Y P B =- 现在求()E XY ，由于XY 只有两个可能值1和1-，所以{}(){}()1111,E XY P XY P XY =⋅=+-⋅=-其中 {}{}{}{}{}11,11,1P XY P X Y P X Y P AB P AB ====+=-=-=+{}{}{}{}{}121P AB P A B P AB P A P B =+-=--+和 {}{}{}{}{}11,11,1P X Y P X Y P X Y P A B P A B=-===-+=-==+{}{}{}2P A P B P AB =+-( 或者 {}{}{}{}{}1112P X Y P X Y P A P B P A B =-=-==+- )所以 {}{}()11E XY P XY P XY ==-=-{}{}{}4221P AB P A P B =--+ 由协方差公式，()()()()Cov XY E XY E X E Y =-{}{}{}{}{}42212121P AB P A P B P A P B =--+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ {}{}{}4P AB P A P B =-⎡⎤⎣⎦因此，()0Cov XY =当且仅当{}{}{}P AB P A P B =，即X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.。

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2000年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。

在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件( )A．{T(1)≥t0}。

B．{T(2)≥t0}。

C．{T(3)≥t0}。

D．{T(4)≥t0}。

正确答案：C解析：随机变量T(1)，T(2)，T(3)，T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于t0，即T(4)≥T(3)≥t0。

所以说断电事件就是{T(3)≥t0}。

2．(2009年)设事件A与事件B互不相容，则( )A．B．P(AB)=P(A)P(B)。

C．P(A)=1-P(B)。

D．正确答案：D解析：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0。

选项A：=1-P(A∪B)，因为P(A ∪B)不一定等于1，所以A不正确；选项B：当P(A)，P(B)不为0时，选项B 不成立，故排除B；选项C：只有当A、B互为对立事件的时候才成立，故排除C；选项D：=1-P(AB)-1，故D正确。

3．(2014年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=( )A．0．1。

B．0．2。

C．0．3。

D．0．4。

正确答案：B解析：P(A-B)=0．3，则P(A)-P(AB)=0．3，又随机事件A与B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)。

因此有P(A)-P(A)P(B)=0．3，又P(B)=0．5，故P(A)=0．6，且P(AB)=P(A)P(B)=0．3。

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布，参数为_______ 二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点. (C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点.(2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( )(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩(A)，则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00TAX y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三 、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x zxt e dt t -=⎰求dudx四 、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时，S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使T Q AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n )，二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()T g X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，p u试求随机变量U={X−Y} 的概率密度().2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则a =.(4) 设随机变量X 和Y 的联合概率分布为X 和Y 的协方差22cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若 而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=.(B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑的收敛半径分别为3与13，则幂级数221nn i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( )(A) 5 (B)13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解 (C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) TP α (C)P α (D)()1TPα-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布(C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布 三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du .五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx .六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若 试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____.（2）已知曲线与x 轴相切，则可以通过a 表示为________.（3）设a>0，而D 表示全平面，则=_______.（4）设n 维向量；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，为来自总体X 的简单随机样本，则当时，依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A) 在处的导数等于零. （B ）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ ]λb x a x y +-=2332b =2b ，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=4.0-=X Z n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 121)0(f 'xx f x g )()(=),(00y x ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =（3）设，，，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ ] （5）设均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设 2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ∑∞=1n n a ∑∞=1n n p ∑∞=1n n q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、（本题满分8分） 计算二重积分其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ，，且f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.]1,21[12222=∂∂+∂∂vfu f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222yg x g ∂∂+∂∂.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x ∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组其中 试讨论和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分） 设二次型，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.)3,0(∈ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a .01≠∑=ni i a n a a a ,,,21 )0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则. (3) 设，则.(4) 二次型的秩为 . (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则_______.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).[ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且， ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点.(B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ ]5)(cos sin lim 0=--→b x a e xx x 2f u v∂=∂∂⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x 212(1)f x dx -=⎰213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=X λ=>}{DX X P X ),(21σμN Y ),(22σμN 1,,21n X X X 2,,21n Y Y Y X Y 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f a x f x =∞→)(lim ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g(9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点.[ ](10) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ ](11) 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点，使得> f (a ). (B) 至少存在一点，使得> f (b ). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0.[ D ](12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, . (C) 当时, . (D) 当时, . [ ](13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.∑∞=-+1212)(n n n u u ∑∞=1n n u ∑∞=1n n u ∑∞=+11000n n u 1lim 1>+∞→nn n u u ∑∞=1n n u ∑∞=+1)(n n n v u ∑∞=1n n u ∑∞=1n n v )(x f '0)(,0)(<'>'b f a f ),(0b a x ∈)(0x f ),(0b a x ∈)(0x f ),(0b a x ∈0)(0='x f ),(0b a x ∈)(0x f n A B )0(||≠=a a A a B =||)0(||≠=a a A a B -=||0||≠A 0||=B 0||=A 0||=B n A ,0*≠A 4321,,,ξξξξb Ax =0=Ax(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足,若, 则等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分) 求.(16) (本题满分8分) 求，其中D 是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足 ，x ∈ [a , b )，.证明：.X )1,0(N )1,0(∈ααu αu X P α=>}{αx X P =<}|{|x 2αu 21αu-21αu -αu -1)cos sin 1(lim 2220xxx x -→⎰⎰++Dd y y x σ)(22422=+y x 1)1(22=++y x ⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(⎰⎰=babadt t g dt t f )()(⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性(> 0)； (II) 推导(其中R 为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.(20)(本题满分13分)设, , , , 试讨论当为何值时,(Ⅰ) 不能由线性表示;(Ⅱ) 可由唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.d E d E )1(d E Q dPdR-=d E )(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x T α)0,2,1(1=T ααα)3,2,1(2-+=T b αb α)2,2,1(3+---=T β)3,3,1(-=b a ,β321,,αααβ321,,αααβ321,,ααα设阶矩阵. (Ⅰ) 求的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设，为两个随机事件,且, , , 令 求(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布; (Ⅱ) 与的相关系数 ; (Ⅲ) 的概率分布.n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A A P AP P 1-A B 41)(=A P 31)|(=AB P 21)|(=B A P ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y ),(Y X X Y XY ρ22Y X Z +=设随机变量的分布函数为其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,(Ⅰ) 当时, 求未知参数的矩估计量; (Ⅱ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量; (Ⅲ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量.X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,(1,0>>βαn X X X ,,,21 X 1=αβ1=αβ2=βα2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限= . （2） 微分方程满足初始条件的特解为______. （3）设二元函数，则________.（4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=_____.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设,,,其中，则(A) . （B ）.(C) . (D) . [ ]12sinlim 2+∞→x xx x 0=+'y y x 2)1(=y )1ln()1(y x xe z y x +++=+=)0,1(dz)1,1,1,2(),,1,2(a a ),1,2,3(a )1,2,3,4(1≠a X ,,2,1 }2{=Y P }0{=X }1{=+Y X a x x x x f -+-=1292)(23σd y x I D ⎰⎰+=221cos σd y x I D⎰⎰+=)cos(222σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(}1),{(22≤+=y x y x D 123I I I >>321I I I >>312I I I >>213I I I >>（9）设若发散，收敛，则下列结论正确的是(A) 收敛，发散 . （B ） 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛. [ ]（10）设,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，是极小值. （B ） f(0)是极小值，是极大值.（C ） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值.[ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. [ ] （12）设矩阵A= 满足，其中是A 的伴随矩阵，为A 的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为(A). (B) 3. (C) . (D) . [ ]（13）设是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（14） 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是(A) (B) (C)(D) [ ] ,,2,1,0 =>n a n ∑∞=1n n a ∑∞=--11)1(n n n a ∑∞=-112n n a ∑∞=12n n a ∑∞=12n n a ∑∞=-112n n a )(1212∑∞=-+n n n a a )(1212∑∞=--n n n a a x x x x f cos sin )(+=)2(πf )2(πf )2(πf )2(πf )(x f ')(x f )(x f ')(x f )(x f '33)(⨯ij a T A A =**A T A 131211,,a a a 11a 3331321,λλ21,αα1α)(21αα+A 01=λ02=λ01≠λ02≠λ),(2σμN 2,σμ)(20cm x =)(1cm s =μ)).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-)).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-)).15(4120),15(4120(1.01.0t t +-三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分） 求（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且，求（17）（本题满分9分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分9分） 求幂级数在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,,.证明：对任何a ,有).111(lim 0xe x x x --+-→)()(),(y x yf x y f y xg +=.222222yg y x g x ∂∂-∂∂σd y x D⎰⎰-+122}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ∑∞=-+12)1121(n n x n 0)(≥'x f 0)(≥'x g ]1,0[∈⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（i ）和（ii ） 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为矩阵.(I) 计算，其中； （II ）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度； （II ） 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD Tn m ⨯DP P T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE o C A EP 1C A C B T 1--.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=)(),(y f x f Y X Y X Z -=2).(z f Z考研资料( III )（23）（本题满分13分）设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记求：（I ） 的方差； （II ）与的协方差（III ）若是的无偏估计量，求常数c.}.2121{≤≤X Y P )2(,,,21>n X X X n 2σX .,,2,1,n i X X Y i i =-=i Y n i DY i ,,2,1, =1Y n Y ).,(1n Y Y Cov 21)(n Y Y c +2σ2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）（2）设函数在的某邻域内可导,且，，则（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . [ ] （8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在 [ ] （9）若级数收敛，则级数()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 2x =()()e f x f x '=()21f =()2____.f '''=()f u ()102f '=()224z f x y =-()1,2d _____.z=2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭E B 2BA B E =+=B X Y 与[]0,3{}{}max ,1P X Y ≤=X ()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞X 2S 2____.ES =()y f x =()0,()0f x f x '''>>x ∆x 0x d y y ∆与()f x 0x 0x ∆>0d y y <<∆0d y y <∆<d 0y y ∆<<d 0y y <∆<()f x 0x =()22lim1h f h h →=()()000f f -'=且()()010f f -'=且()()000f f +'=且()()010f f +'=且1n n a ∞=∑(A) 收敛 . （B ）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）. （Ｂ）. （Ｃ）. （Ｄ） [ ]（11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则.(D) 若，则. [ ] （12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关.(B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关.(D) 若线性无关，则线性无关. [ ]（13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ）. ［ ］（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有1n n a ∞=∑1(1)n n n a ∞=-∑11n n n a a ∞+=∑112n n n a a ∞+=+∑()()y P x y Q x '+=12(),(),y x y x C []12()()C y x y x -[]112()()()y x C y x y x +-[]12()()C y x y x +[]112()()()y x C y x y x ++(,)(,)f x y x y ϕ与(,)0y x y ϕ'≠00(,)x y (,)f x y (,)0x y ϕ=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '≠00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '≠12,,,s αααn A m n ⨯12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,,s ααα12,,,s A A A αααA A B B 1-C 110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1C P AP -=1C PAP -=T C P AP =T C PAP =X 211(,)N μσY 222(,)N μσ{}{}1211P X P Y μμ-<>-<(A) (B)(C) (D) [ ]三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设,求 (Ⅰ) ； (Ⅱ) .（16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.（17）（本题满分10分） 证明：当时，.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(Ⅰ) 求的方程；(Ⅱ) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 12σσ<12σσ>12μμ<12μμ>()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+()()lim ,y g x f x y →+∞=()0lim x g x +→d Dx y D ,1,0y x y x ===0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++xOy L ()1,0M ()(),0P x y x ≠OP ax >0a L L y ax =83a求幂级数的收敛域及和函数.（20）（本题满分13分）设4维向量组，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解. (Ⅰ)求的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得；（Ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵.()()1211121n n n x n n -+∞=--∑()s x ()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+a 1234,,,αααα1234,,,ααααA ()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-0Ax =A Q ΛT Q AQ =ΛA 632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭E设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数. (Ⅰ)求的概率密度； (Ⅱ)；(Ⅲ).（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估计； （Ⅱ）求的最大似然估计X ()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他()2,,Y X F x y =(,)X Y Y ()Y f y Cov(,)X Y 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭X (),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,θ()01θ<<12n ,...,X X X X N 12,...,n x x x θθ2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一． 选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当等价的无穷小量是（ ）.（2）设函数在处连续，下列命题错误的是： ( ).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（3） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ）.（4） 设函数连续，则二次积分等于（ ）（5） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ） 10 20 30 40 （6） 曲线渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ） (B) （C ） (D)0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( ) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则________. （14）微分方程满足的特解为__________.（15）设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()(0)_________n y =(,)f u v (,),y x z f x y =z zy x y∂∂-=∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y ==01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 12设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分） 设二元函数计算二重积分其中（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x=2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=21()34f x x x =--1x -1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α(,)X Y（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度. （24）（本题满分11分）设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.（Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θ（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）跳跃间断点. 可去间断点.无穷间断点.振荡间断点.（2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（ ）曲边梯形面积. 梯形面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）已知（A ），都存在 （B ）不存在，存在 （C ）不存在，不存在 （D ），都不存在 （4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（ ） （A ） （B）（C ） （D ） （5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（6）设则在实数域上域与合同矩阵为（ ）.... ()f x [1,1]-0x =0()()xf t dtg x x=⎰()A ()B ()C ()D ()y f x =()f x [0,]a 0()at af x dx ⎰()A ABCD ()B ABCD ()C ACD ()D ACD (,)f x y =(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f '(0,0)x f '(0,0)y f 'f 22(,)uvD f u v =uv D Fu∂=∂2()vf u 2()v f u u ()vf u ()vf u uA E 30A =()A E A -E A +()B E A -E A +()C E A -E A +()D E A -E A +1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）....（8）随机变量，且相关系数，则（ ）. . ..二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 .（10）设，则.（11）设，则.（12）微分方程满足条件的解.（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则. （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）求极限. (16) （本题满分10分）设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时.（1）求 （2）记，求. ,X Y X ()F x {}max ,Z X Y =()A ()2F x ()B ()()F x F y ()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()~0,1X N ()~1,4Y N 1XY ρ=()A {}211P Y X =--=()B {}211P Y X =-=()C {}211P Y X =-+=()D {}211P Y X =+=21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩(,)-∞+∞c =341()1x x f x x x ++=+2()______f x dx =⎰22{(,)1}D x y x y =+≤2()Dx y dxdy -=⎰⎰ 0xy y '+=(1)1y =y = A 14_____A E --=X {}2P X EX == 201sin limlnx xx x→(,)z z x y =()22x y z x y z ϕ+-=++ϕ1ϕ'≠-dz ()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭u x ∂∂(17) （本题满分11分）计算其中.(18) （本题满分10分）设是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数，有；（2）证明是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证; （2）为何值，方程组有唯一解; （3）为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求. （22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤()f x t ()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰()()()202x t t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰0.05r =2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A AX B =()1,,Tn X x x =()1,0,,0B =()1n A n a =+a a A 12,a a A 1,1-3a 323Aa a a =+123,,a a a ()123,,P a a a =1P AP -X Y X {}()11,0,13P X i i ===-Y ()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它Z X Y =+（1）求；（2）求的概率密度． （23） （本题满分11分）是总体为的简单随机样本.记，，. （1）证 是的无偏估计量. （2）当时 ，求.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭Z 12,,,n X X X 2(,)N μσ11ni i X X n ==∑2211()1n ii S X X n ==--∑221T X S n=-T 2μ0,1μσ==DT（1）函数的可去间断点的个数为(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B ），. (C)，. （D ），. （3）使不等式成立的的范围是 (A).(B). (C).(D).（4）设函数在区间上的图形为则函数的图形为(A)(B)3()sin x x f x xπ-=0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-1a =16b =-1a =16b =1a =-16b =-1a =-16b =1sin ln xtdt x t>⎰x (0,1)(1,)2π(,)2ππ(,)π+∞()y f x =[]1,3-()()0xF x f t dt =⎰(C)(D)（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 (A). (B). (C).(D). （6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为(A).(B).(C).(D).（7）设事件与事件B 互不相容，则(A). (B).(C).(D).（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为 ,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+T Q AQ 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ()0P AB =()()()P AB P A P B =()1()P A P B =-()1P A B ⋃=X Y X (0,1)N Y 1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） .（10）设，则. （11）幂级数的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.（13）设,，若矩阵相似于，则 .(14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数的极值. （16）（本题满分10 分） 计算不定积分 . （17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且. cos 0x x →=()y x z x e =+(1,0)zx ∂=∂21(1)n n nn e x n ∞=--∑()Q Q P =P 0.2p ξ=(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=T αβ300000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭k =1X 2X n X (,)B n p X 2S 2T X S =-ET =()22(,)2ln f x y x y y y =++ln(1dx +⎰(0)x >()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥()f x [],a b (),a b (),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-()f x 0x =()0,,(0)σσ>'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=。

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题二、选择题2003年考研数学（三）真题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a TΛα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，Λ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21Λ均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则s ααα,,,21Λ线性无关.(B) 若s ααα,,,21Λ线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ(C) s ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21Λ线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(xe x g xf =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21Λ和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-，则a =______，b =______.(2) 函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2fu v∂=∂∂______. (3) 设()211,,2211,,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 则()2121f x dx -=⎰_____.(4) 二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为______. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >=______.(6) 设总体X 服从正态分布()21,N μσ，总体Y 服从正态分布()22,N μσ，112,,,n X X X L 和212,,,n Y Y Y L 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则()()122211122n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦∑∑______. 二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.（A ）()1,0- （B ）()0,1 （C ）()1,2 （D ）()2,3(8) 设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()lim x f x a →∞=，()1,0,0,0,fx g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩则（A ）0x =必是()g x 的第一类间断点 （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点 （C ）0x =必是()g x 的连续点 （D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的值有关.(9) 设()()1f x x x =-，则（A ）0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点 （B ）0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点 （C ）0x =是()f x 的极值点，且()0,0是曲线()y f x =的拐点 （D ）0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点 (10) 设有以下命题： ① 若()2121n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛② 若1nn u∞=∑收敛，则10001n n u∞+=∑收敛③ 若1lim1n n nu u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散 ④ 若()1nn n uv ∞=+∑收敛，则1n n a ∞=∑，1n n v ∞=∑都收敛则以上命题中正确的是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④(11) 设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论中错误的是 （A ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a > （B ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b > （C ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '= （D ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x = (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当()0A a a =≠时，B a = （B ）当()0A a a =≠时，B a =- （C ）当0A ≠时，0B = （D ）当0A =时，0B =(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系（A ）不存在 （B ）仅含一个非零解向量 （C ）含有两个线性无关的解向量 （D ）含有三个线性无关的解向量(14) 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，对给定的()0,1α∈，数n u 满足{}P X u αα>=，若{}P X x α<=，则x 等于（A ）2u α （B ）12uα-（C ）12u α- （D ）1u α-三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭. （16）（本题满分8分） 求()22Dx y y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和()2211x y ++=所围成的平面区域（如图）.（17）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()x xaaf t dtg t dt ≥⎰⎰，[),x a b ∈，()()b baaf t dtg t dt =⎰⎰证明：()()bbaaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰.（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格()0,20P ∈，Q 为需求量. （Ⅰ）求需求量对价格的弹性()0d d E E >； （Ⅱ）推导()1d dRQ E dP=-（其中R 为收益），并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.（19）（本题满分9分）设级数()468242462468x x x x +++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅L 的和函数为()S x .求： （Ⅰ）()S x 所满足的一阶微分方程； （Ⅱ）()S x 的表达式.（20）（本题满分13分）设()()()1231,2,0,1,2,3,1,2,2TTTa ab a b ααα==+-=---+，()1,3,3Tβ=-. 试讨论当,a b 为何值时，（Ⅰ）β不能由123,,ααα线性表示；（Ⅱ）β可由123,,ααα唯一地线性表示，并求出表示式；（Ⅲ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.（21）（本题满分13分）设n 阶矩阵111b b bb A bb ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L. （Ⅰ）求A 的特征值和特征向量；（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵.（22）（本题满分13分）设,A B 为两个随机事件，且()()()111,,432P A P B A P A B ===，令 1,0,.A X A ⎧=⎨⎩发生，不发生 1,0,.B Y B ⎧=⎨⎩发生，不发生 求：（Ⅰ）二维随机变量(),X Y 的概率分布； （Ⅱ）X 与Y 的相关系数XY ρ； （Ⅲ）22Z X Y =+的概率分布.（23）（本题满分13分） 设随机变量X 的分布函数为()1,,;,0,.x F x x x βαααβα⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≤⎩其中参数0,1αβ>>. 设12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本. （Ⅰ）当1α=时，求未知参数β的矩估计量； （Ⅱ）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量； （Ⅲ）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限22lim sin1x xx x →∞=+______. (2) 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为______. (3) 设二元函数()()1ln 1x yz xex y +=+++，则()1,0dz =______.(4) 设行向量组()()()()2,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,1a a a 线性相关，且1a ≠，则a =______.(5) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中任取一个数，记为Y ，则{}2P Y ==______.(6) 设二维随机变量(),X Y 的概率分布为若随机事件{}0X =与{}1X Y +=相互独立，则a =______，b =______.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 当a 取下列哪个值时，函数()322912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点.（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8(8) 设()()22222123,cos ,cos DDDI I x y d I x y d σσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中(){}22,1D x y xy =+≤，则（A ）321I I I >> （B ）123I I I >> （C ）213I I I >> （D ）312I I I >> (9) 设0,1,2,,n a n >=L 若1nn a∞=∑发散，()111n n n a ∞-=-∑收敛，则下列结论正确的是（A ）211n n a∞-=∑收敛，21nn a∞=∑发散 （B ）21nn a∞=∑收敛，211n n a∞-=∑发散（C ）()2121n n n aa ∞-=+∑收敛 （D ）()2121n n n a a ∞-=-∑收敛(10) 设()sin cos f x x x x =+，下列命题中正确的是 （A ）()0f 是极大值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极小值 （B ）()0f 是极小值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭是极大值 （C ）()0f 是极大值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极大值 （D ）()0f 是极小值，2f π⎛⎫⎪⎝⎭也是极小值 (11) 以下四个命题中，正确的是（A ）若()f x '在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界 （B ）若()f x 在()0,1内连续，则()f x 在()0,1内有界 （C ）若()f x '在()0,1内有界，则()f x 在()0,1内有界 （D ）若()f x 在()0,1内有界，则()f x '在()0,1内有界 (12) 设矩阵()33ijA a ⨯=满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵.若111213,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为（A （B ）3 （C ）13（D (13) 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则()112,A ααα+线性无关的充分必要条件是（A ）10λ= （B ）20λ= （C ）10λ≠ （D ）20λ≠ (14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分） 求011lim 1x x x e x -→+⎛⎫- ⎪-⎝⎭.（16）（本题满分8分）设()f u 具有二阶连续导数，且(),y x g x y f yfx y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求222222g g x y x y ∂∂-∂∂.（17）（本题满分9分） 计算二重积分221Dxy d σ+-⎰⎰，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.（18）（本题满分9分） 求幂级数211121nn x n ∞=⎛⎫-⎪+⎝⎭∑在区间()1,1-内的和函数()S x .（19）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[]0,1上的导数连续，且()()()00,0,0f f x g x ''=≥≥.证明：对任何[]0,1α∈，有()()()()()()11ag x f x dx f x g x dx f a g ''+≥⎰⎰（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（ⅰ）123123123230,2350,0,x x x x x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 和 （ⅱ）()12321230,210,x bx cx x b x c x ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ 同解，求,,a b c 的值.（21）（本题满分13分） 设T AC D C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中,A B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为m n ⨯阶矩阵.（Ⅰ）计算T P DP ，其中1mn E A C P OE -⎛⎫-=⎪⎝⎭； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵1T B C A C --是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为()0,01,02,,1,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其它. 求：（Ⅰ）(),X Y 的边缘概率密度()(),X Y f x f y ； （Ⅱ）2Z X Y =-的概率密度()Z f z ； （Ⅲ）1122P Y X ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（23）（本题满分13分）设()12,,,2n X X X n >L 为来自总体()20,N σ的简单随机样本，其样本均值为X ，记,1,2,,i i Y X X i n =-=L .（Ⅰ）求i Y 的方差,1,2,,i DY i n =L ； （Ⅱ）求1Y 与n Y 的协方差()1,n Cov Y Y ；（Ⅲ）若()21n c Y Y +是2σ的无偏估计量，求常数c .2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. (1) ()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2) 设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()ef x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=(3) 设函数()f u 可微，且()102f '=，则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z=(4) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______.(6) 设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .(8) 设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则（）(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 (9) 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（）(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. (10) 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（）(A) []12()()C y x y x -. (B) []112()()()y x C y x y x +-. (C) []12()()C y x y x +. (D) []112()()()y x C y x y x ++ (11) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. (12) 设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关.(13) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）(A) 1C P AP -=. (B) 1C PAP -=.(C) T C P AP =. (D) T C PAP =.(14) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，随机变量Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有（）(A) 12σσ< (B) 12σσ> (C) 12μμ< (D) 12μμ>三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+，求： (Ⅰ)()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ)()0lim x g x +→。