初中数学组卷反比例函数的对称性

正比例函数反比例函数交点关于原点对称正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称是指，如果一个正比例函数和一个反比例函数在坐标平面上相交，并且这个交点不在坐标轴上，那么这个交点关于原点是对称的。

正比例函数的数学表达式为y = kx，其中k 是比例系数，表示斜率，x 和y 分别表示坐标平面上的横坐标和纵坐标。

反比例函数的数学表达式为y = k/x，其中k 是比例系数，表示曲线的弯曲程度，x 和y 分别表示坐标平面上的横坐标和纵坐标。

当正比例函数和反比例函数相交时，可以设定它们的交点坐标为(x, y)。

根据对称性，交点关于原点对称的坐标为(-x, -y)。

举个例子，考虑正比例函数y = 2x 和反比例函数y = 4/x。

它们的交点可以通过解方程组得到：
2x = 4/x
2x^2 = 4
x^2 = 2
x = ±√2
将x = √2 和x = -√2 分别代入正比例函数和反比例函数，得到交点的坐标：
正比例函数：y = 2√2
反比例函数：y = 4/√2 = 2√2
因此，交点的坐标为(√2, 2√2) 和(-√2, -2√2)，它们关于原点(0, 0) 对称。

一、反比例函数的对称性1、直线y=ax (a>0)与双曲线y= 3/x 交于A (x i, y〔)、B (X2, y2)两点，贝U 4x i y2-3x2y i=2、如图1,直线y=kx (k>0)与双曲线y= 2/x交于A, B两点，若A B两点的坐标分别为A (x i, y i),B (x2, y2)，贝U x i y2+x2y i 的值为( )A 、-8B 、4C 、-4D 、0解析：直线Y=KX和双曲线Y=2/X图象都关于原点对称因此两交点A、B也关于原点对称X2=-Xi, Y2=-Yi双曲线形式可变化为XY=2即双曲线上点的横纵坐标乘积为 2因此XiYi=2XiY2+X2Yi=Xi(-Yi) + (-Xi) Yi=-XiYi-XiYi=-4图i 图2 图3 图4二、反比例函数中“ K”的求法1、如图2,直线l是经过点(i, 0)且与y轴平行的直线.Rt△ ABC中直角边AC=4, BC=3将BC边在直线l上滑动，使A, B在函数y=k/x的图象上.那么k的值是( )A、3 B 、6 C 、i2 D 、i5/4解析：BC 在直线X=i 上，设B(i , M),贝U C(i, M-3), .••A(5, M-3), 又A B都在双曲线上，二i*M=5*(M-3) , M=i5/4 即K=i5/4 2、如图3,已知点A、B在双曲线y= k/x (x>0)上，Adx轴于点C, Bdy轴于点D, AC与BD交于点P, P是AC的中点，若△ ABP的面积为3,则k=解析：A(xi,k/xi),B(x2,k/x2)AC:x=xi BD:y=k/x2P(xi,k/x2)k/x2=k/2xi 2xi=x2BP=x2-xi=xiAP=k/xi-k/x2=k/2xiS=xi*k/(2xi)*i/2)=k/4=3 k=i23、如图4,双曲线y= k/x (k > 0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D.若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为( )A、y=i/xB、y=2/xC、y=3/xD、=6/解析：设E(x0,k/x0)E 是BC中点，二B(x0,2k/x0)B、D两点纵坐标相同，二D(x0/2,2k/x0)BD=x0/2,OC=x0,BC=2k/x0梯形面积=(BD+OC/ BC/2=3k/2=3•,- k=2 .•.双曲线的解析式为：y=2/x三、反比例函数“ K”与面积的关系1、如图5,已知双曲线y i=1/x(x >0) , y2=4/x(x >0),点P为双曲线y2=4/x上的一点，且PAlx 轴于点A, PBLy轴于点B, PA PB分别次双曲线y=/x于D C两点，则^ PCD的面积为( ) 图5 图6 图7解析：假设P的坐标为(a,b )，则C (a/4,b), D(a,b/4),PC=3/4*a PD=3/4*bS=1/2*3/4*a*3/4*b因为点P为双曲线y2=4/x上的一点所以a*b=4所以S=9/82、如图6,直线l和双曲线y=k/x(k >0)交于A B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为G D、E,连接OA OB 0P,设AAOC勺面积为S、△ BOD的面积为&、APOE的面积为S3,则( )A S I<S3B 、S I>S2>S3C 、S I=S2>&D 、S=S< S3解析：结合题意可得：AB者S在双曲线y=kx上，则有S1=S2而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=SK S3.3、如图7,已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y=k/x交于G D两点，且S3O C=&CO D=S\BOD 贝1J k=。

2016年11月29日反比例函数的额图像及其对称性一．选择题（共23小题）1．若反比例函数的图象经过点A（，﹣2），则一次函数y=﹣kx+k与在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．2．在下图中，反比例函数的图象大致是（）A．B．C．D．3．直线有y=﹣2x+b和双曲线y=在直角坐标系中的位置如图所示，下列结论：①k＞0；②b＞0；③k＜0；④b＜0．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④；4．在同一平面直角坐标系中，函数y=k（x﹣1）与y=的大致图象是（）A．B．C．D．5．如图，函数与y=kx+k在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．6．下列函数中，图象大致为如图的是（）A．y=（x＜0） B．y=（x＞0） C．y=﹣（x＞0）D．y=﹣（x＜0）7．反比例函数中，当x＜0时，其图象一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．在同一直角坐标系中，函数y=﹣kx+1与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．9．正比例函数y=2x与反比例函数y=在同一坐标系的大致图象为（）A．B． C．D．10．函数y1=x﹣k与y2=（k≠0）的图象在同一坐标系内，其中正确的是（）A．B．C．D．11．反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．12．一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．13．已知一次函数y=3x﹣4与反比例函数y=﹣，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．14．如图，正方形ABCD的边长为4，其中它的中心与原点重合，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影面积的和是（）A．4 B．6 C．8 D．1015．如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y= B．y= C．y=D．y=16．如图，反比例函数与⊙O的一个交点为P（2，1），则图中阴影部分的面积是（）A．B．πC．D．17．己知正比例函败y=ax的图象与反比例函数y=的图象的一个交点坐标是（1，3），则另一个交点的坐标是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣3）18．如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（1，）D．（，﹣1）19．如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为（）A．﹣8 B．4 C．﹣4 D．020．如图，设直线y=kx（k＜0）与双曲线y=﹣相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．1021．直线y=ax（a＞0）与双曲线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则代数式4x1y2﹣3x2y1的值是（）A．﹣3a B．C．﹣3 D．22．反比例函数y=的图象是双曲线，它的对称轴有（）条．A．4 B．2 C．1 D．023．反比例函数y=（k≠0）的图象双曲线是（）A．是轴对称图形，而不是中心对称图形B．是中心对称图形，而不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形二．填空题（共7小题）24．下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是．25．如图所示是三个反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0），y=（x＞0）的图象，由此观察k1，k2，k3的大小关系是．26．如图所示是三个反比例函数y=，y=，y=的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是．（用“＜”连接）27．如图：三个函数，，，由此观察k1，k2，k3的大小关系是．28．如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为．29．已知反比例函数图象A，B，C对应各自反比例函数系数k1，k2，k3；则k1，k2，k3的大小关系．30．反比例函数经过（﹣3，2），则图象在象限．2016年11月29日反比例函数的额图像及其对称性参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．（2012•西城区模拟）若反比例函数的图象经过点A（，﹣2），则一次函数y=﹣kx+k 与在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（，﹣2），∴k=×（﹣2）=﹣1，∴反比例函数解析式为：y=﹣，∴图象过第二、四象限，∵k=﹣1，∴一次函数y=x﹣1，∴图象经过第一、三、四象限，联立两函数解析式可得：﹣=x﹣1，则x2﹣x+1=0，∵△=1﹣4＜0，∴两函数图象无交点，故选：D．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数与反比例函数图象的性质，关键是根据k的值正确确定函数图象所在象限．2．（2008•夷陵区校级模拟）在下图中，反比例函数的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由于y=，比例系数4＞0，根据反比例函数的性质，可得图象在第一和第三象限．【解答】解：∵k=4，可根据k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；∴在每个象限内，y随x的增大而减小．故选D．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①k＜0，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；②k＞0，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．3．（2006•三明）直线有y=﹣2x+b和双曲线y=在直角坐标系中的位置如图所示，下列结论：①k＞0；②b＞0；③k＜0；④b＜0．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④；【分析】分别根据一次函数和反比例函数图象的性质对各结论进行判断即可．【解答】解：由直线y=﹣2x+b的图象可知b＜0，由双曲线y=的图象在二四象限可知k＜0．故选C．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要学会由图象确定系数的取值．4．（2005•恩施州）在同一平面直角坐标系中，函数y=k（x﹣1）与y=的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．【解答】解：∵k＜0时，反比例函数y=的图象在二、四象限，∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=k（x﹣1）的图象过一、二、四象限．故选B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．5．（2004•黑龙江）如图，函数与y=kx+k在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【解答】解：A、从一次函数的图象经过二、四象限知k＜0与反比例函数的图象k＞0相矛盾，错误；B、从一次函数的图象知k＞0与反比例函数的图象k＞0一致，正确；C、从一次函数y=kx+k的图象经过二、四象限知k＜0，又与y轴正半轴相交k＞0相矛盾，错误；D、从一次函数的图象知k＞0与反比例函数的图象k＜0相矛盾，错误．故选B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．6．（2002•三明）下列函数中，图象大致为如图的是（）A．y=（x＜0） B．y=（x＞0） C．y=﹣（x＞0）D．y=﹣（x＜0）【分析】根据反比例函数图象的特点及其与系数的关系和自变量x的取值范围解答即可．【解答】解：∵反比例函数的图象在第三象限，∴比例系数应k＞0，应排除C、D；又∵图象在第三象限时，自变量x＜0，故应选择A．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的图形性质．应从比例系数的符号和自变量的取值两方面考虑所给的函数解析式．7．（2001•内江）反比例函数中，当x＜0时，其图象一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据反比例函数的性质及坐标系中各象限坐标的特点解答．【解答】解：∵反比例函数中，k=3＞0，图象过一、三象限；当x＜0时，其图象一定在第三象限．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的图象性质．应先根据k的值判断出函数图象所在的象限，进而根据自变量的取值判断出具体的分支所在的象限．8．（2013•永州校级模拟）在同一直角坐标系中，函数y=﹣kx+1与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．【解答】解：①当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y=的图象在二，四象限，一次函数y=﹣kx+1的图象过一、二、三象限，无符合选项．②当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y=的图象在一、三象限，一次函数y=﹣kx+1的图象过一、二、四象限，选项A符合．故选A．【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．9．正比例函数y=2x与反比例函数y=在同一坐标系的大致图象为（）A．B． C．D．【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可．【解答】解：∵正比例函数y=2x中，k=2＞0，故其图象过一、三象限，反比例函数y=的图象在一、三象限，选项D符合；故选D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．10．（2009•河北模拟）函数y1=x﹣k与y2=（k≠0）的图象在同一坐标系内，其中正确的是（）A．B．C．D．【分析】先根据y1=x﹣k的一次项系数大于0求出函数图象所在象限，再根据k的取值分别判断两函数图象能否共存于同一坐标系．【解答】解：函数y1=x﹣k，一次项系数为1，大于0，应过一、三象限，由此可排除C、D；对于B，y2=（k≠0）在一、三象限，有k＞0，则函数y1=x﹣k的图象应与y轴交于原点下方，排除B．故选A．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．11．（2015秋•佛山期末）反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y=﹣的图象在一，三象限，一次函数y=kx ﹣k的图象过一、二、四象限，选项B符合；当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y=﹣的图象在二、四象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，无符合选项．故选B．【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．12．（2015秋•太原期末）一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．【解答】解：A、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y=（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误；B、由函数y=ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y=（a≠0）的图象可知a＜0，错误；C、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y=（a≠0）的图象可知a＜0，正确；D、由函数y=ax﹣a的图象可知m＞0，﹣a＜0，一次函数与y轴交与负半轴，相矛盾，故错误；故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．13．（2015秋•新泰市期末）已知一次函数y=3x﹣4与反比例函数y=﹣，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分别根据两种不同的函数的性质和其比例系数判断其图象的位置后即可得到正确的选项．【解答】解：一次函数y=3x﹣4经过第一、三、四象限，反比例函数y=﹣的图象分布在第二、四象限．故选D．【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y=的图象为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限，当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．14．（2012春•永泰县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，其中它的中心与原点重合，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影面积的和是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半．【解答】解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称．∵正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，∴四个小正方形全等，∴反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，∴阴影部分的面积=S□ABCD=×16=8．故选：C．【点评】本题考查的是关于x轴对称的反比例函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答．15．（2010•深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y= B．y= C．y=D．y=【分析】根据P（3a，a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．【解答】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4=40π．因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP==a．于是π=40π，a=±2，（负值舍去），故a=2．P点坐标为（6，2）．将P（6，2）代入y=，得：k=6×2=12．反比例函数解析式为：y=．故选：D．【点评】此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．16．（2013•江门模拟）如图，反比例函数与⊙O的一个交点为P（2，1），则图中阴影部分的面积是（）A．B．πC．D．【分析】根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，又知两图象的交点P的坐标为（2，1），即可求出圆的半径．【解答】解：∵圆和反比例函数一个交点P的坐标为（2，1），∴可知圆的半径r==，∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，∴图中两个阴影面积的和是圆的面积，∴S阴影==．故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．17．（2012秋•新都区期末）己知正比例函败y=ax的图象与反比例函数y=的图象的一个交点坐标是（1，3），则另一个交点的坐标是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣3）【分析】根据直线y=ax与双曲线y=的上点均关于原点对称解答．【解答】解：因为一个交点的坐标为（1，3），所以它们的另一个交点的坐标一定关于原点与此的点对称，即另一个交点坐标为（﹣1，﹣3）．故选A．【点评】此题考查的是双曲线上点的坐标特征，即双曲线上的点关于原点对称．18．（2011春•海口期中）如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（1，）D．（，﹣1）【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵点A与B关于原点对称，∴B点的坐标为（2，﹣1）．故选A．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数．19．（2008•临沂）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为（）A．﹣8 B．4 C．﹣4 D．0【分析】根据直线y=kx（k＞0）与双曲线y=两交点A，B关于原点对称，求出y1=﹣y2，y2=﹣y1，代入解析式即可解答．【解答】解：将y=化为xy=2，将A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入xy=2，得x1y1=2，x2y2=2．因为y1和y2互为相反数，所以y1=﹣y2，y2=﹣y1．则x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣（x1y1+x2y2）=﹣（2+2）=﹣4．故选C．【点评】此题考查了反比例函数图象的对称性，同学们要熟记才能灵活运用．20．（2006•南通）如图，设直线y=kx（k＜0）与双曲线y=﹣相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故x1=﹣x2，y1=﹣y2，再代入x1y2﹣3x2y1，由k=xy得出答案．【解答】解：由图象可知点A（x1，y1）B（x2，y2）关于原点对称，即x1=﹣x2，y1=﹣y2，把A（x1，y1）代入双曲线y=﹣得x1y1=﹣5，则原式=x1y2﹣3x2y1，=﹣x1y1+3x1y1，=5﹣15，=﹣10．故选A．【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，即两交点坐标关于原点对称．21．（2011•临安市模拟）直线y=ax（a＞0）与双曲线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则代数式4x1y2﹣3x2y1的值是（）A．﹣3a B．C．﹣3 D．【分析】先根据A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上得出x1•y1、x2•y2的值，再根据直线与双曲线均关于原点对称可知x1=﹣x2，y1=﹣y2，再把此关系式代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上，∴x1•y1=x2•y2=3，∵直线y=ax（a＞0）与双曲线的图象均关于原点对称，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2，∴原式=﹣4x1y1+3x2y2=（﹣4）×3+3×3=﹣3．故选C．【点评】本题考查的是反比例函数图象的对称性及反比例函数的性质，根据题意得出x1•y1=x2•y2=3，x1=﹣x2，y1=﹣y2是解答此题的关键．22．（2009•宁波校级模拟）反比例函数y=的图象是双曲线，它的对称轴有（）条．A．4 B．2 C．1 D．0【分析】任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．【解答】解：反比例函数y=的图象是双曲线，它的对称轴有2条，分别为一、三象限角平分线和二、四象限角平分线．故选B．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性质：任何一个反比例函数都有两条对称轴，分别为一、三象限角平分线和二、四象限角平分线．23．反比例函数y=（k≠0）的图象双曲线是（）A．是轴对称图形，而不是中心对称图形B．是中心对称图形，而不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【分析】根据反比例函数y=（k≠0）的图象既是轴对称图形又是中心对称图形解答．【解答】解：（1）当k＞0时，反比例函数y=（k≠0）的图象在一、三象限，其对称轴是直线y=x，对称中心是原点；（2）当k＜0时，反比例函数y=（k≠0）的图象在二、四象限，其对称轴是直线y=﹣x，对称中心是原点．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的图象的对称性质，重点是注意轴对称和中心对称的区别．二．填空题（共7小题）24．（2009•黄石）下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B 两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是π．【分析】根据正比例函数图象和双曲线的中心对称性，可知阴影部分的面积是圆A的面积．【解答】解：∵直线和双曲线都关于原点对称，∴A、B关于原点对称，且两圆为等圆，∵点A的坐标为（2，1），∴圆A的半径是1，∴两个阴影部分面积的和是S=π•12=π．故答案为：π．【点评】能够观察到阴影部分的面积是圆面积，是解决本题的关键．25．（2007春•岳池县期末）如图所示是三个反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0），y=（x＞0）的图象，由此观察k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2．【分析】根据图象可知反比例函数|k|越大，开口越大，则k1＜0，k2＞k3＞0，从而得出k1，k2，k3的大小关系．【解答】解：依题意有k1＜0，k2＞k3＞0，所以k1，k2，k3的大小关系为k1＜k3＜k2．故答案为：k1＜k3＜k2．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．26．（2009春•芜湖校级期末）如图所示是三个反比例函数y=，y=，y=的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是k1＜k3＜k2．（用“＜”连接）【分析】反比例函数|k|越大，开口越小，根据反比例函数的图象性质可知．【解答】解：根据图象可知|k|越大，开口越小，则k1＜0，k2＞k3＞0，所以k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2．故答案为：k1＜k3＜k2．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质，体现了数形结合的思想．27．（2012春•凤冈县校级期中）如图：三个函数，，，由此观察k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2．【分析】首先根据图象的位置判断比例系数的符号，然后根据谁距离远点远谁的绝对值大来判断同一象限内的反比例函数的比例系数的大小即可．【解答】解：读图可知：三个反比例函数y1=的图象在第二象限；故k1＜0；，，，在第一象限；且的图象距原点较近，有：k1＜k3＜k2；故答案为k1＜k3＜k2．【点评】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象据原点越远，k的绝对值越大．28．（2012春•城北区校级月考）如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为k1＜k2＜k3．【分析】本题考查反比例函数与的图象特点．【解答】解：读图可知：三个反比例函数y=的图象在第二象限；故k1＜0；y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；综合可得：k1＜k2＜k3．故填k1＜k2＜k3．【点评】反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大．29．（2010春•团风县校级月考）已知反比例函数图象A，B，C对应各自反比例函数系数k1，k2，k3；则k1，k2，k3的大小关系k1＜k3＜k2．【分析】反比例函数|k|越大，离原点越远，根据反比例函数的图象性质可知．【解答】解：根据图象可知|k|越大，离原点越远，则k1＜0，k2＞k3＞0，所以k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2．故答案为：k1＜k3＜k2．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质，体现了数形结合的思想．30．反比例函数经过（﹣3，2），则图象在二四象限．【分析】易得反比例函数的比例系数，若为正数，在一三象限，若为负数在二四象限．【解答】解：∵反比例函数经过（﹣3，2），∴k=﹣3×2=﹣6，∴图象在二四象限，故答案为二四．【点评】考查反比例函数的图象的性质，得到反比例函数的比例系数是解决本题的关键．。

专题11.23反比例函数（对称性问题）（基础篇）（专项练习）反比例函数图象是中心对称图形，同时也是轴对称图形，其对称中心是坐标原点，其对称轴是y=x 和y=-x ，近些年，此知识点成了中考中的热点，更是压轴题的常考点，这些题型不仅利用双曲线的对称性，还综合了关于某直线对称和特殊四边形的对称性问题，为此，本专题精选部分有代表性的题型供师生选择使用。

一、单选题1．已知点()13A -，关于y 轴的对称点A '在反比例函数ky x=的图象上，则实数k 的值为（）A ．3B ．13C ．﹣3D ．﹣132．如图，A ，B 是函数y =mx（m ＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（）A ．S m =B ．2S m =C ．2m S m <<D ．2S m>3．若点()32A --，关于x 轴的对称点A '恰好在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则k 的值为（）A ．6B ．1-C ．5-D ．6-4．如图，1l 是反比例函数ky x=在第一象限内的图象，且经过点A （1，2）．1l 关于x 轴对称的图象为2l ，那么2l 的函数解析式为（）A ．()40y x x =<B ．()20y x x =<C ．4(0)y x x =->D ．2(0)y x x=->5．设A ，B 是反比例函数32y x=-的图象上关于原点对称的两点，AD 平行于y 轴交x 轴于D ，BC 平行于x 轴交y 轴于C ，设四边形ABCD 的面积S ，则（）A ．32s =B ．34s =C ．94s =D ．6s =6．已知点()1,P a 在反比例函数3y x=的图象上，则点P 关于原点对称的点的坐标是（）A ．()1,3B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()1,3--7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A （﹣3，0）和点B （0，2）都在坐标轴上，若反比例函数y ＝kx的图象经过矩形AOBC 的对称中心，则k 的值为（）A ．3B ．﹣3C ．1.5D ．﹣1.58．如图，边长为8的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O ，AB //x 轴，BC //y 轴，反比例函数8y x =与8y x=-的图象均与正方形ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．8B ．16C ．32D ．649．如图，在平面直角坐标系中，O 为ABCD Y 的对称中心，5AD =，//AD x 轴交y 轴于点E ，点A 的坐标点为()2,2-，反比例函数ky x=的图像经过点D ．将ABCD Y 沿y 轴向上平移，使点C 的对应点C '落在反比例函数的图像上，则平移过程中线段AC 扫过的面积为（）A ．6B ．8C ．24D ．2010．已知一个函数中，两个变量x 与y 的部分对应值如下表：如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是()A ．x 轴B ．y 轴C ．直线x =1D ．直线y =x二、填空题11．在平面直角坐标系中，若点()1,2P a +与点()1,1Q b -关于原点对称，则经过(),a b 的反比例函数解析式是______．12．如图，点D 是矩形AOBC 的对称中心，()0,6A ，()8,0B ，若反比例函数ky x=的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为______．13．已知点()112,P y 、点()22,3P x 是同一个反比例函数()22220my m x-=-≠图象上的两点．若点1P 与2P 关于原点对称，则m 的值为______．14．如图，点A 、C 是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A 作AB x ⊥轴于点B ，若ABC 的面积为7，则反比例函数的表达式为__________．15．如图，点D 是矩形ABCO 的对称中心，点()6,0A ，()0,4C ，经过点D 的反比例函数的图象交AB 于点P ，则点P 的坐标为______．16．已知点A (−2，m )在一个反比例函数的图象上，点A ′与点A 关于y 轴对称．若点A ′在正比例函数12y x =的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．17．已知A 、B 两点分别在反比例函数2(0)m y m x=≠和611(6m y m x -=≠的图像上，若点A 与点B 关于x 轴对称，则m 的值为______．18．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA ⊥x 轴于点A ，反比例函数()0ky x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y ＝x 的对称点C '的坐标为（1，n ）（n ≠1），若△OAB 的面积为3，则k 的值为_______三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图像与反比例函数4y x=-的图像相交于(),1A m ，()1,B n -两点．(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图像；(2)结合图像，请直接写出不等式4kx b x-≤+的解集；(3)点C 与点B 关于原点对称，求ABC 的面积．20．如图，反比例函数()1110,0k y k x x=>>与正比例函数22y k x =交于点A ，点A 是点B 关于y 轴的对称点，点B 的坐标为()1,2-．(1)求1k 的值；(2)若将正比例函数22y k x =的图象向下平移2个单位长度得到函数33y k x b =+，求此函数的表达式．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点(0,4)A ，(3,0)B -，(2,0)C ，点D 为点B 关于AC 所在直线的对称点，反比例函数(k 0,x 0)ky x=≠>的图像经过点D ．(1)求证：四边形ABCD 为菱形；(2)求反比例函数的表达式．22．在平面直角坐标系中，设函数：11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数，22y k x =（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．若点B 的坐标为()1,2-．(1)求1k ，2k 的值；(2)当12y y ≤时，直接写出x 的取值范围．23．如图，反比例函数4y x=与一次函数()0y ax b a =+≠交于()()4,,,2A m B n -两点．(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出关于x 的不等式4xax b ≤+的解集；(3)若点A 关于x 轴的对称点为点D ，求ABD △的面积．24．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数262y x =-+的图像并探究该函数的性质．x…4-3-2-1-01234…y …13-a 1-2-b 2-1-611-13-…(1)列表，写出表中a ，b 的值：=a __________，b =_________；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；(2)观察函数图像，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上．正确的结论是__________．①函数262y x =-+的图像关于y 轴对称；②当0x =时，函数262y x =-+有最小值，最小值是3-；③在自变量x 的取值范围内，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；④函数262y x =-+与x 轴必有两个交点；(3)已知函数1533y x =--的图像如图所示，结合所画的函数图像，直接写出不等式2615233x x -<--+的解集．参考答案1．A【分析】根据对称的性质得到点()13A '--，，代入解析式即可求出k ．解：∵点A '与点()13A -，关于y 轴的对称，∴点()13A '--，，∵点()13A '--，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，∴()()133k =-⨯-=，故选：A ．【点拨】此题考查了关于y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，利用待定系数法求反比例函数的解析式．2．B【分析】根据A 、B 两点在曲线上可设A 、B 两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答案．解：设点A （x ，y ），则点B （-x ，-y ），∴xy =m ，∴AC =2y ，BC =2x ，∴11222222ABC S AC BC y x xy m ==== ，故选：B ．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．3．D【分析】根据对称性求出点A '的坐标，把点A '的坐标代入反比例函数()0ky k x=≠可求出k 的值．解：∵点A '与点()32A --，关于x 轴对称，∴点()32A '-，，又∵点()32A '-，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，∴()326k =-⨯=-，故选：D ．【点拨】本题考查轴对称的坐标变化，反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解决问题的关键．4．D【分析】写出点A (1,2)关于x 轴对称的点的坐标(1,-2)，求出经过这点的反比例函数的解析式．解：点A(1,2)关于x轴对称的点的坐标为(1,-2)，设2l的解析式为'kyx =，则' 21k-=，'2 k=-，∴2yx=-(x>0)．故选D．【点拨】本题考查了关于x轴对称点的坐标和反比例函数，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数解析式，是解决此类问题的关键．5．C【分析】根据反比例函数y＝kx中k的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S＝12|k|即可解答．解：设点A的坐标为（x，y），点A在反比例函数解析式上，∴点B的坐标为（-x，-y），k=xy=（-x）（-y）=-3 2，∵AD平行于y轴，BC平行于x轴，∴OD=|x|，AD=|y|，OC=|y|，BC=|x|，∴S=△ADO+S△DOC+S△BCO=12|xy|+12|xy|+12|xy|=12×32+12×32+12×32=94．故选：C ．【点拨】此题主要考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．6．D【分析】将点的坐标代入求解，根据坐标关于原点的对称规律直接求解即可．解：将()1,P a 代入3y x =，则331a ==，那么()1,3P ，则点()1,3P 关于原点对称的点的坐标()1,3--故选：D【点拨】此题考查反比例函数上的点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的点的坐标规律．7．D【分析】先求出矩形的中心点，然后根据待定系数法即可求得．解：∵点A （-3，0）和点B （0，2）都在坐标轴上，∴矩形AOBC 的中心点为（32-，1），∵反比例函数y ＝k x的图象经过矩形AOBC 的对称中心，∴k =33122-⨯=-，故选：D ．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求得矩形的中心点是解题的关键．8．C【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，且AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积．解：根据题意：观察图形可得,图中以B 、D 为顶点的小阴影部分，绕点O 旋转90度，正好和以A 、C 为顶点的小空白部分重合，所以阴影的面积是图中正方形面积的一半，且AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，反比例函数8y x =与8y x=-的图象均与正方形ABCD 的边相交，而边长为8的正方形面积为64，所以图中的阴影部分的面积是32．故选：C．【点拨】本题主要通过橄榄形面积的计算来考查反比例函数图象的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．9．D【分析】根据O为▱ABCD的对称中心，AD=5，AD∥x轴交y轴于点E，点A的坐标为（-2，2），可求点C、D的坐标，进而求出反比例函数的关系式，由平移可求出点'C的坐标，知道平移的距离，即平行四边形的底，再根据面积公式求出结果．解：∵AD=5，AD∥x轴交y轴于点E，点A的坐标为（-2，2），∴DE=5-2=3，OE=2，∴D（3，2），把(3,2)D代入反比例函数的关系式得，k=2×3=6，∵O为▱ABCD的对称中心，点A的坐标为（-2，2），∴点C的坐标为（2，-2），当x=2时，y=63 2=，∴点'C（2，3）∴C'C=CF+F'C=2+3=5，'CC上的高是是4,∴平行四边形AC'C N的面积为5420,⨯=∴平移过程中线段AC 扫过的面积为20.故选：D ．【点拨】考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质及面积，将点的坐标转化为线段的长是常用的方法，将AC 平移后扫过的面积就是平行四边形AC 'C N 的面积是关键．10．D【分析】根据题意可得y 与x 的函数关系式，进一步即可进行判断.解：由表格中的数据可得y 与x 的函数关系式为：1y x=，其图象是双曲线，是轴对称图形，对称轴是直线：y =x 和y =－x .故选：D.【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质以及函数解析式的确定，解题的关键是正确求得反比例函数的解析式、熟练掌握反比例函数的图象与性质.11．2y x =【分析】根据关于原点对称的坐标特点列式求出a 、b 的值，然后利用待定系数法求反比例函数解析式即可．解：∵点()1,2P a +与点()1,1Q b -关于原点对称，∴11a +=-，12b -=-，解得2a =-，1b =-，∴(),a b 即()2,1--，设()0k y k x=≠，∴()()212k =-⨯-=，∴反比例函数解析式是2y x=．故选：2y x =．【点拨】本题考查了关于原点对称的坐标特点和利用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握关于原点对称的坐标特点和待定系数法是解题的关键．12．()2,6【分析】根据矩形的性质得到()4,3,6D OA =，OB AC ，将()4,3D 代入k y x =，求出反比例函数的解析式，再计算6y =时的x 值即可得到点M 的坐标．解：∵点D 是矩形AOBC 的对称中心，()0,6A ，()8,0B ，∴()4,3,6D OA =，OB AC ，将()4,3D 代入k y x =，得4312k =⨯=，∴12y x=，当6y =时，126x =，解得2x =，∴M 的坐标为()2,6，故答案为：()2,6．【点拨】此题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，正确理解矩形的性质得到点()4,3D 的坐标是解题的关键．13．±【分析】关于原点对称的两个点，其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，由此求解．解： 11(2,)P y 与22(,3)P x 关于原点对称，∴22x =-，13y =-，∴1(2,3)P -，2(2,3)P -，点1(2,3)P -在反比例函数22m y x-=的图象上，∴22(3)2m ⨯-=-，解得m =±故答案为：±．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与中心对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．14．7y x=【分析】设反比例函数的表达式为k y x =，点A 的坐标为k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即可表示出点B 和点C 的坐标，那么ABC 的面积就可以表示为122k a a⋅⋅，即可求解．解：设反比例函数的表达式为k y x =，点A 的坐标为k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则点C 的坐标为k a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，点B 的坐标为()0a ，，∴ABC 的面积可以表示为122k a a⋅⋅，∵ABC 的面积为7，即1272k a a⋅⋅=，解得 7k =，∴反比例函数的表达式为7y x=，故答案为：7y x =．【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的中心对称性，表示出点C 的坐标，是解决本题的关键．15．()6,1【分析】先求得D 点的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把6x =代入解析式即可求得点P 的坐标．解： 点D 是矩形ABCO 的对称中心，∴点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点，又()6,0A ，()0,4C ，∴点D 的坐标为()3,2．反比例函数k y x=的图象经过点D ，326k ∴=⨯=，6y x∴=，把6x =代入得，616y ==，∴点P 的坐标为()6,1．故答案为：()6,1．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点D 的坐标是解题的关键．16．y =2x-【分析】根据点A 与点A ′关于y 轴对称，得到A ′(2，m )，由点A ′在正比例函数12y x =的图象上，求得m 的值，再利用待定系数法求解即可．解：∵点A 与点A ′关于y 轴对称，且A (−2，m )，∴A ′(2，m )，∵点A ′在正比例函数12y x =的图象上，∴m =12×2，解得：m =1，∴A (−2，1)，设这个反比例函数的表达式为y =k x，∵A (−2，1)在这个反比例函数的图象上，∴k =-2×1=-2，∴这个反比例函数的表达式为y =2x-，故答案为：y =2x-．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m 的值．17．18##0.125【分析】先设A 、B 的坐标，然后把A 、B 的坐标代入函数关系式，列出方程组，解方程组即可．解：根据题意设A （a ，b ），则B （a ，－b ），则有：261m b a m b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，所以261m m a+-＝0，即8m －1＝0，解得18m =．故答案为18．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x 轴，y 轴对称的点的坐标．根据题意得261m m a+-＝0，即8m －1＝0是解题的关键．18．3【分析】连接OC ，由C 是线段AB 的中点，可得1322AOC OAB S S == ，然后根据比例系数k 的几何意义即可求得答案.解：如图，连接OC，∵C 是线段AB 的中点，∴1322AOC OAB S S == ，∵1322AOC k S ==△，0k ＞，∴3k =.故答案为：3.【点拨】本题主要反比例函数的比例系数k 的几何意义、与中线有关的三角形的面积关系，熟记反比例函数的比例系数k 的几何意义是解题的关键.19．(1)5y x =+，一次函数的图像见分析；(2)41x --≤≤或0x >；(3)15【分析】（1）将点(),1A m ，点()1,B n -代入4y x =-中得4141m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩解得，44m n =-⎧⎨=⎩，则点A 的坐标为：(4,1)-，点B 的坐标为(1,4)-，将点(4,1)A -和(1,4)B -代入()0y kx b k =+≠中得414k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得，15k b =⎧⎨=⎩，即可得一次函数解析式为：5y x =+；（2）观察函数图像，即可得不等式4kx b x-≤+的解集是41x --≤≤或0x >；（3）根据点C 与点B 关于原点对称得点C 的坐标为(1,4)-，根据网格和勾股定理得AB ==，AC ==BC ==222AB AC BC +=，即ABC 是直角三角形，即可得．（1）解：将点(),1A m ，点()1,B n -代入4y x=-中，4141m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩解得，44m n =-⎧⎨=⎩，则点A 的坐标为：(4,1)-，点B 的坐标为(1,4)-，将点(4,1)A -和(1,4)B -代入()0y kx b k =+≠中，414k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得，15k b =⎧⎨=⎩，即一次函数解析式为：5y x =+，函数图像如下：（2）解：观察函数图像，不等式4kx b x-≤+的解集是41x --≤≤或0x >；（3）解：∵点C 与点B 关于原点对称，∴点C 的坐标为(1,4)-，三角形ABC 如图所示，∵223318AB =+=，225550AC =+=222868BC =+=∴222AB AC BC +=，即ABC 是直角三角形，∴1111850325215222ABC S AB AC =⨯⨯==⨯=△．【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数，函数与不等式，三角形的面积，勾股定理，关于原点对称，解题的关键是掌握反比例函数，一次函数，函数与不等式，勾股定理．20．(1)12k =；(2)322y x =-．【分析】（1）先求出()1,2A ，再将()1,2A 代入11k y x=，得1122k =⨯=；（2）求出正比例函数解析式为22y x =，再利用平移的规律解答即可．（1）解：∵点A 和点B 关于y 轴对称，()1,2B -，∴()1,2A ，把()1,2A 代入11k y x=，得1122k =⨯=．（2）解：把()1,2A 代入22y k x =，得22k =，∴直线的表达式为22y x =，∵33y k x b =+是由22y x =向下平移2个单位长度得到，∴322y x =-．【点拨】本题考查反比例函数和一次函数的综合，点关于y 轴对称的性质，一次函数的平移，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，点关于y 轴对称的性质以及一次函数的平移．21．(1)证明见分析；(2)20y x=【分析】（1）根据(0,4)A ，(3,0)B -，(2,0)C 即可得5AB =，5BC =，根据D 点为B 点关于AC 所在直线的对称点得5AD AB ==，5CD CB ==，可得AB BC CD DA ===，即可得；（2）根据四边形ABCD 为菱形，得AD BC ∥，根据5AD =，(0,4)A 得(5,4)D ，把(5,4)D 代入k y x=得5420k =⨯=，即可得．解：（1）证明：∵(0,4)A ，(3,0)B -，(2,0)C ，∴5AB =，5BC =，∵D 点为B 点关于AC 所在直线的对称点，∴5AD AB ==，5CD CB ==，∴AB BC CD DA ===，∴四边形ABCD 为菱形；（2）解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD BC ∥，又∵5AD =，(0,4)A ，∴(5,4)D ，把(5,4)D 代入k y x=得5420k =⨯=，∴反比例函数的表达式为20y x =．【点拨】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握这些知识点．22．(1)1k 的值为2，2k 的值为2；(2)1x ≥【分析】（1）求得A 的坐标，分别代入11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x =（2k 是常数，20k ≠），即可求得1k ，2k 的值；（2）根据图象即可求得．解：（1）∵点()1,2B -，∴点()1,2A ，把()1,2A 代入11k y x=得12k =，把()1,2A 代入22y k x =得22k =，∴1k 的值为2，2k 的值为2（2）由图象可知：1x ≥【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象，求出点的坐标，进而求出关系式．23．(1)112y x =-；图象见分析；(2)20x -≤<或4x ≥；(3)6【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用两点法画出函数图象，即可求解；（2）由图象可知，关于x 的不等式4xax b ≤+的解集为20x -≤<或4x ≥，即可；（3）根据点A 关于x 轴的对称点为点D ，可得2AD =，再由三角形的面积公式，即可求解．（1）解：∵点()()4,,,2A m B n -在反比例函数4y x =的图象上，∴414m ==，42n-=∴2n =-，∴()()4,1,2,2A B --．把A 、B 的坐标代入()0y ax b a =+≠得∶4122a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数表达式为112y x =-，在网格中画出一次函数的图象如图：（2）解：由图象可知，关于x 的不等式4xax b ≤+的解集为20x -≤<或4x ≥；（3）解：∵()4,1A ，∴()4,1D -，∴2AD =，∴()124262ABD S ⨯=⨯+= ．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．(1)611-；3-；图见分析；(2)①②；(3)<4x -或2<<1x -【分析】（1）已知解析式，代入x 的值，即可算出对应的y 值，即可得出答案；（2）结合图像即可分析函数的对称性、增减性、最值、交点问题；（3）结合图像分析不等式与函数的关系，即可得出结论．（1）函数262y x =-+，令3x =-，可得611y =-，故611a =-；令0x =，可得=3y -，故3b =-，故答案为：611-；3-．描点、连线，在画出该函数的图像如下：（2）由函数的图像可得：①函数262y x =-+的图像关于y 轴对称，①正确；②当0x =时，函数262y x =-+有最小值，最小值是3-，②正确；③自变量0x >时，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；自变量0x <时，函数y 的值随自变量x 的增大而减小，③错误；④由于2602y x =-+＜恒成立，故函数的图像与x 轴不可能有交点，④错误，故答案为：①②．（3）不等式2615233x y x --+＜-表现在图像上，即函数262y x =-+的图像比函数1533y x =--的图像低，因此观察图像可得到2615233x y x --+＜-的解集为：<4x -或2<<1x -．【点拨】本题考查了新函数的研究方法，在学习一次函数，反比例函数以及二次函数时的通用方法是本题解题的关键．。

一、填空题（共50小题）1、（2011•西宁）反比例函数的图象的对称轴有2条．考点：反比例函数图象的对称性。

分析：任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．解答：解：沿直线y=x或y=﹣x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条．故答案为：2．点评：此题考查了反比例函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，关键是找到相应的对称轴．2、（2011•乌鲁木齐）正比例函数y=kx的图象反比例函数y=的图象有一个交点的坐标是（﹣1，﹣2），则另一个交点的坐标是（1，2）．考点：反比例函数图象的对称性。

专题：探究型。

分析：根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．解答：解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是（﹣1，﹣2），∴另一个交点的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．3、（2011•黔南州）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=的图象上，则图中阴影部分的面积等于π（结果保留π）．考点：反比例函数图象的对称性。

专题：计算题。

分析：根据两函数的对称性和圆的对称性，将阴影部分面积转化为一个圆的面积来解．解答：解：由题意得，图中阴影部分的面积即为一个圆的面积．⊙A和x轴y轴相切，因而A到两轴的距离相等，即横纵坐标相等，设A的坐标是（a，a），点A在函数y=的图象上，因而a=1．故阴影部分的面积等于π．故答案为：π．点评：能够观察到阴影部分的面积是圆面积，是解决本题的关键．4、（2010•泰安）如图，一次函数y=ax（a为常数）与反比例函数（k为常数）的图象相交于A、B两点，若A点的坐标为（﹣2，3），则B点的坐标为（2，﹣3）．考点：反比例函数图象的对称性。

反比例函数定义、图像、对称性一、反比例函数的定义：1、（2018玄武区期末）下列关系中，两个变量之间为反比例函数关系的是（ ） A 、长40米的绳子减去x 米，还剩下y 米 B 、买单价3元的笔记本x 本，花了y 元 C 、正方形的面积为S ，边长为aD 、菱形的面积为20，对角线的长分别为x,y 2、（2018玉林）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ） A 、正比例函数 B 、一次函数 C 、反比例函数 D 、二次函数 3、（2018郴州模拟）下列函数中，表示y 与x 的反比例函数的是（ ） A 、11-=x y B 、x y 2= C 、x y 2= D 、xy 2=4、（2018庆阳期中）下列函数中，是反比例函数的是（ ） A 、xk y = B 、023=+y x C 、02=-xy D 、12-=x y5、（2018万山区月考）已知函数52)2(--=m x m y 是反比例函数，则m 的值为（ ）A 、2B 、-2C 、2或-2D 、任意实数6、（2017宝丰县期末）若函数22)1(--=m x m y 是反比例函数，则m 的值为（ ） A 、1或-1 B 、-1 C 、1 D 、0二、反比例函数的图像：1、（2018铜仁市模拟）在同一坐标系中，正比例函数x y 2=与反比例函数xy 2-=的图像大致是（ ）2、（2018孟津县期中）函数xm y -=与)0(≠-=m m mx y 在同一平面直角坐标系中的大致图像是（ ）3、（2018牡丹江三模）在同一直角坐标系中，函数xky =与k kx y +=的大致图像是（ ）4、（2018江都区期末）一次函数n mx y +=与反比例函数xnm y -=，其中n m mn ,,0<均为常数，它们在同一坐标系中的图像可以是（ ）5、（2018上城区二模）y 关于x 的函数)0,0(<>+=m n mx ny 的图像可能是（ ）三、反比例函数的图像的对称性：1、（2017娄星区期末）正比例函数x y 2=和反比例函数xy 2=的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ） A 、（-1，-2） B 、（-2，-1） C 、（1，2） D 、（2，1） 2、（2017连平县校级月考）对于反比例函数xy 2=的图像的对称性叙述错误的是（ ） A 、关于原点中心对称 B 、关于直线y=x 对称 C 、关于直线y=-x 对称 D 、关于x 轴对称3、（2016丹东一模）如图，正比例函数y=ax 的图像与反比例函数xky =的图像相交于点A ，B ，若点A 的坐标为（-2，3），则点B 的坐标为_________4、（2016长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （2a,a ）是反比例函数xy 2=的图像与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是______5、（2016南沙区一模）如图，点P （3a,a ）是反比例函数)0(>=k xky 与圆O 的一个交点，图中阴影部分的面积为π10，则反比例函数的解析式为________________[参考答案]一、反比例函数的定义： 1、D 2、B 3、B 4、C 5、B 6、B二、反比例函数的图像： 1、C 2、A 3、D 4、B 5、A三、反比例函数的图像的对称性： 1、A 2、D 3、（2，-3）4、把P 点坐标代入得a=1,阴影部分面积是正方形面积的一半，45、设圆的半径为r ，阴影部分面积是圆面积的四分之一，得r=102，把点P 坐标代入反比例函数，,32k a = 又∴=⨯=∴=∴=+,1243,4,)3(2222k a r a a 反比例函数解析式为xy 12=。

反比例函数怎么求对称轴
要求反比例函数的对称轴，我们需要先了解什么是反比例函数。

反比例函数是一种特殊的函数形式，其定义为f(x) = k/x，其中k
是一个非零常数。

反比例函数的图像通常是一个双曲线的形状。

对称轴是指函数图像关于某条直线对称的轴线。

对于反比例函数，它的对称轴有以下两种情况：
1. 当反比例函数的形式为f(x) = k/x时，对称轴是y轴，即
x=0。

这是因为对于任意一个x，f(x)和f(-x)的取值相等，即f(x) = f(-x)。

因此，反比例函数的图像关于y轴对称。

2. 当反比例函数的形式为f(x) = kx时，对称轴是原点，即
x=0和y=0。

这是因为对于任意一个x，f(x)和f(-x)的取值相等，
即f(x) = f(-x)。

因此，反比例函数的图像关于原点对称。

综上所述，反比例函数的对称轴有两种情况，y轴和原点。

具
体的对称轴取决于反比例函数的具体形式。