2020年辽宁省沈阳市高三教学质量检测(一)理科数学试卷(一模)(试题+答案)详解版

2023—2024学年辽宁省沈阳市高三上学期教学质量监测（一）数学试卷一、单选题1. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2. 设复数满足，则（）A．B．C．1D．3. 曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．4. 已知单位向量满足，则（）A．B．C．D．5. 已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（）A．8B．9C．10D．1006. 如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（）A．8B．12C．16D．247. 已知，则（）A．B．C．D．8. 已知，则（）A．B．C．D．二、多选题9. 下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（）A．B．C．D．10. 已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（）A．实轴长为4B．双曲线为等轴双曲线C．离心率为D．渐近线方程为11. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（）A．B．C．函数在上单调递减D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为12. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（）A．B．C．2D．三、填空题13. 的展开式中常数项的二项式系数为 __________ .14. 已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则 __________ .15. 的一个充分不必要条件是 __________ .16. 已知是半径为1的球面上不同的三点，则的最小值为__________ .四、解答题17. 已知等比数列的各项均为正数，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：.18. 在中，角所对的边分别为，且.(1)求证：；(2)当取最小值时，求的值.19. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.(1)求证：；(2)若平面，求的值；(3)在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.20. 某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：①用户选择甲公司的频率为，选择乙公司的频率为：②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为；③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为；④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.21. 已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形.22. 已知函数，其中为实数.(1)若函数是定义域上的单调函数，求的取值范围；(2)若与为方程的两个不等实根，恒成立，求实数的取值范围.。

2020年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两卷.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.2.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效.其他试题用黑色水性笔答在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{}2|2B x x =≤，则A B =I ( ) A. {1,0,1}- B. {0,1}C. {0}D. {0,1,2}【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得集合B ，再根据交集定义求结果.【详解】{}2|2[B x x B =≤∴=Q{,}01A B ∴=I故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2.命题:(0,)p x ∀∈+∞，1135x x =，则p ⌝为( )A. (0,)x ∃∈+∞，1135x x≠B. (0,)x ∀∈+∞，1135x x ≠ C. (,0)x ∃∈-∞，1135x x≠D. (,0)x ∀∈-∞，1135x x ≠【答案】A【解析】 【分析】根据全称命题的否定直接判断选择. 【详解】:(0,)p x ∀∈+∞Q ，1135x x =，p ∴⌝：(0,)x ∃∈+∞，1135x x ≠故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题. 3.已知复数z 满足0z z -=，且4z z ⋅=，则z =( ) A. 2 B. 2iC. 2±D. 2i ±【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数概念以及复数乘法列方程，解得结果. 【详解】设(,)z x yi x y R=+∈,则z x yi =-，0z z -=Q ，且4z z ⋅=，200yi y ∴=⇒=，且22422x yx z +=⇒=±∴=±.故选：C【点睛】本题考查共轭复数概念以及复数乘法，考查基本分析求解能力，属基础题.4.已知,a b r r 均为单位向量，若,a b r r夹角为23π，则||a b -=r r ( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求,a b r r数量积，再求模的平方，最后得结果.【详解】2111cos 32a b π⋅=⨯⨯=-r r Q 222||1113||2a b a b a b a b -+-⋅∴==++=∴=-r r r r r r r r故选：D【点睛】本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若实数x ，y 满足不等式组222010y x y x y ≥-⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为( )A. 4B.23C. -6D. 6【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解，代入得结果. 【详解】作可行域如图，则直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4,故选：A【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 6.已知133a =，122b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.【详解】11111066613629,28,981138a b a b ===>>=∴>=>Q 33log 2log 311c a b c =<=∴>>>Q故选：D【点睛】本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.7.垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小( )A. x x <甲乙，22s s <甲乙B. x x >甲乙，22s s <甲乙 C. x x <甲乙，22s s >甲乙D. x x >甲乙，22s s >甲乙【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图数据分布，比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小，根据数据分布集中情况确定方差大小，即可选择.【详解】因为甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中间数值没乙的中间数值大，所以x x <甲乙；因为甲的数据没有乙的数据集中，所以22s s >甲乙.故选：C【点睛】本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小，考查基本分析判断能力，属基础题. 8.已知a ，b 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法中正确的是( ) ①若//a α，//αβ，则//αβ ②若//αβ，//βγ，则//αγ ③若a α⊥，b α⊥，则//a b ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥ A. ①③ B. ②③C. ①②③D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系逐一判断，即可选择.【详解】若//a α，//αβ，a 可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证//a α，//αβ； 若//αβ，//βγ，则//αγ； 若a α⊥，b α⊥，则//a b ；若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥或//αβ； 故选：B【点睛】本题考查线面有关命题判断，考查基本分析判断能力，属基础题.9.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是() A. 丙没有选化学 B. 丁没有选化学C. 乙丁可以两门课都相同D. 这四个人里恰有2个人选化学【答案】D 【解析】 【分析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．【详解】根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学； 又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学； 若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A ，B 不正确，D 正确．假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科．不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C 不正确． 【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l 与2l ，若点A ，B 为直线1l 上关于原点对称的不同两点，点M 为直线2l 上一点，且AM BM k k a⋅=，则双曲线C 的离心率为( ) A. 1C. 2【解析】 【分析】先求渐近线方程，再设,,A B M 坐标，根据斜率公式化简条件，即得离心率.【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线方程为b y x a =±，不妨设12:,:,b b l y x l y x a a==-则可设111122(,),(,),(,)b b bA x xB x x M x x a a a---因此2121221212()(),22AMBMb bx x x x b a a kk b c a e x x x x a a+-+⋅=⋅==∴==∴=---故选：C【点睛】本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题. 11.如果将函数y x x =+的图象向右平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位得到函数3sin cos (0)y x a x a =+<的图象，则tan θ的值为( )A. 2B.12C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先根据左右平移不改变最值求得a ，再根据平移规律列θ等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.2101a a a ==<∴=-Q因为)4y x x x π==+，向右平移θ个单位得到)cos()sin )cos 444y x x x πππθθθ=-+=-+-，而3sin cos 3sin cos y x a x x x =+=-，cos()sin()144ππθθ-=-=-，即1tan()43πθ-=- 从而11()3)]tan ta 211()3n[(44ππθθ--+-==-=-【点睛】本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为( ) A. 20 B. 18 C. 16 D. 14【答案】C 【解析】 【分析】先解()0g x =，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数. 【详解】21()8()6()10()2g x f x f x f x =-+=∴=Q 或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象，零点个数61016+=,故选：C【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知椭圆方程为221(6)36x y m m m +=>+-，则其焦距为________.【答案】6 【解析】 【分析】根据椭圆方程求c ,即得焦距.【详解】2221(6)3(6)93,2 6.36x y m c m m c c m m +=>∴=+--=∴==+-Q故答案为：6【点睛】本题考查根据椭圆方程求焦距，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，972S =.数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-.则72020a b =________.【答案】10- 【解析】 【分析】先根据条件解得等差数列{}n a 公差与首项，即得7a ；再根据12n n b b +=-解得{}n b 通项公式，即得2020b ，最后求积得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则由1310a a +=，972S =得112210,93672a d a d +=+=，1714,1610a d a a d ∴==∴=+= 112222n n n n n n b b b b b b ++++=-∴=-∴=Q因为12b =，所以1222020211b b b b =-⇒=-∴=-7202010a b ∴=-故答案为：10-【点睛】本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种. 【答案】432 【解析】 【分析】先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.【详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有552240A =种;若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有14442192C A =种;因此共有240192432+=种. 故答案为：432【点睛】本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.16.在四面体ABCD 中，若1AD DC AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为________. 【答案】73π 【解析】 【分析】先根据底面ACD 面积为定值，确定四面体ABCD 的体积最大时，CB ⊥平面ACD ,再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果.【详解】因为1AD DC AC ===，所以底面ACD 面积为定值， 因此当CB ⊥平面ACD 时，四面体ABCD 的体积最大.设ACD V 外接圆圆心为1O ,则四面体ABCD 的外接球的球心O 满足1OO //BC ,且112OO =， 因此外接球的半径R 满足22217()212R =+= 从而外接球的表面积为2743R ππ= 故答案为：73π 【点睛】本题考查四面体外接球的表面积，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 7a Bb A +=，sin2sin A A =. (1)求A 及a ；(2)若2b c -=，求BC 边上的高.【答案】(1)3a A π==,(2)14【解析】 【分析】(1)根据正弦定理化简可得a ；根据二倍角正弦公式化简可得A ； (2)先根据余弦定理求得bc ，再根据三角形面积公式求BC 边上的高.【详解】(1)cos cos sin cos sin cos sin 77a Bb A ac A B B A a C +=∴+=Qsin sin C C a ∴=∴= 1sin 2sin 2sin cos sin cos (0,)23A A A A A A A A ππ=∴=∴=∈∴=Q Q ；(2)由余弦定理得2222222cos 7,7(),74,3a b c bc A b c bc b c bc bc bc =+-∴=+-=-+∴=+=,设BC 边上的高为h .1111sin 3222422414ABC ABC S bc A S ah h ∴==⨯⨯==∴==V V Q .即BC 边上的高为14【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 18.如图，已知ABC V 为等边三角形，ABD △为等腰直角三角形，AB BD ⊥.平面ABC ⊥平面ABD ，点E 与点D 在平面ABC 的同侧，且CE BD P ，2BD CE =.点F 为AD 中点，连接EF .(1)求证：EF P 平面ABC ； (2)求二面角C AE D --的余弦值. 【答案】(1)见解析(2)219- 【解析】 【分析】(1)取AB 中点M ，根据平几知识得四边形CEFM 为平行四边形,再根据线面平行判定定理得结果； (2)先根据面面垂直得线面垂直，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求各面法向量，根据向量夹角公式得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 【详解】(1)取AB 中点M ，连FM,CM.因为点F 为AD 中点，所以1,2FM BD FM BD =P 因为CE BD P ，2BD CE =,所以,FM CE FM CE =P 因此四边形CEFM 为平行四边形,所以,FE CM P因为FE ⊄平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；(2)因为AB BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC I 平面ABD AB =，BD ⊂平面ABD ，所以BD ⊥平面,ABC 因此以AC 中点O 为坐标原点，AC,BO,平行于BD 的直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，设ABC V 边长为2，则33(1,0,0),(0,,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,,1)A B C E D -因此平面ACE 一个法向量为1(0,1,0)n u r =，设平面ADE 一个法向量为2(,,)n x y z =u u r， 由220,0n AE n AD ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r 得320,02x z x y z +=++=，令12,3x z y =∴=-= 所以212193cos ,41143n n <>==⨯++u u r u r因为二面角C AE D --为钝角，所以二面角C AE D --的余弦值为1919-【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.19.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 方程；(2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN V 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 【答案】(1)24y x =(2)见解析 【解析】(1)先根据条件解得B 点坐标，代入抛物线方程解得p ，即得结果；(2)先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ，最后代入化简221211S S +得结果.【详解】(1)设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+-u u u r u u u r u u u r Q11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上，2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为零，设:1l x my =+，代入24y x =得2440y my --=，所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.20.在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第五局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了(4)x x ≤个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率p (x ). 【答案】(1)34(2)x 的取值为2或4, 4(2),25p = 72(4)625p =.【分析】(1)先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；(2)先根据比赛规则确定x 的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢， 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为11132224+⨯=， (2)根据比赛规则，x 的取值只能为2或4,对应比分为16:14,17:15.两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为224(2)5525p =⨯=；两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为333222272(4)555555523565p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 21.已知函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭有三个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析(2)2a > 【解析】 【分析】(1)先求导数，再根据二次函数图象分类讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性； (2)根据函数单调性确定零点个数，并用零点存在定理加以论证.【详解】(1)222112(22)1()ln ()1(1)(1)x a x a x f x x a f x x x x x x -+-+⎛⎫'=-∴=-= ⎪+++⎝⎭Q 当2(22)40,02a a ∆=--≤≤≤时，()0f x '≥，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，(0,1(1)x a a ∈--+∞U 时()0f x '>，即()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增；(11x a a ∈--时()0f x '<，即()f x 在(11a a --上单调递减；综上：当2a ≤时， ()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时， ()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增；在(11a a --+上单调递减；(2)因为单调函数至多一个零点，所以2a >，因为(1)0,111f a a =-<<-所以(10,(10,f a f a ->-< 因为0,();,()x f x x f x →→-∞→+∞→+∞而()f x 在(0,1a -和(1)a -+∞上单调递增；在(11a a --+上单调递减；所以()f x 在(0,1a -上有且仅有一个零点，在(11a a --上有且仅有一个零点(即1)，在(1)a -+∞上有且仅有一个零点， 所以当2a >时，函数1()ln 1x f x x a x -⎛⎫=-⎪+⎝⎭有三个零点. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属较难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l的参数方程为：321x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值. 【答案】(1)22(2)4x y -+=，250x y --=(2)5± 【解析】 【分析】(1)根据222,cos x y x ρρθ==+将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l 的参数方程为普通方程(2)先化直线l 的参数方程为标准式，再代入曲线C 方程，最后根据参数几何意义求解 【详解】(1)222224cos 4cos 4(2)4x y x x y ρθρρθ=∴=∴+=∴-+=Q322501x t x y y t =+⎧∴--=⎨=-+⎩Q(2)33211x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪∴⎨⎨=-+⎩⎪=-⎪⎩Q代入224x y x +=得21212202t t t t t +-=∴+==-2121121212||||||1111||||||||||||||5t t t t PM PN t t t t t t -+∴-=-==±=±【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属中档题.23.已知函数()|23||1|f x x x =+--. (1)求不等式()3f x ≤的解集；(2)若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1[7,]3-(2)52a < 【解析】 【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集得结果；(2)先化简不等式，再根据绝对值三角不等式性质求最值，即得结果. 【详解】(1)|23||1|3x x +--≤Q12313x x x ≥⎧∴⎨+-+≤⎩或3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或322313x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--+-≤⎩ 11x x ≥⎧∴⎨≤-⎩或31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或327x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩173x ∴-≤≤即不等式()3f x ≤的解集为1[7,]3-.(2)()2|33||23||1|2|33||23||22|2f x a x x x a x x x a >--∴+-->--∴++->Q 5|23||22||23(22)|525,.2x x x x a a ++-≥+--=∴<∴<Q【点睛】本题考查绝对值定义以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.。

辽宁省沈阳市郊联体2020届高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出集合M、N，由并集的定义计算可得答案．【详解】根据题意，M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则M∪N＝[﹣1，+∞）；故选：A．【点睛】本题考查集合并集的计算，一元二次不等式解法，关键是求出集合M、N，属于基础题．2.若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A. 3B.C.D. ﹣3【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3.根据图给出的2000年至2020年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）A. 2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B. 2020年以来我国实际利用外资规模逐年增加C. 2020年我国实际利用外资同比增速最大D. 2020年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】【分析】根据图表中的数据对选项逐项分析．【详解】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2020年比2020年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2020年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2020年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．【点睛】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题．4.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（）A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅【答案】D【解析】【分析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为的形式，由此求得最小分的磅数.【详解】由于数列为等差数列，设最小一份为，且公差为，依题意可知，即，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查数学史，考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.5.函数f（x）＝xe﹣|x|的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数的定义域为，，所以函数为奇函数，排除A，B；当时，，因为，所以，即在时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.6.正方体A1C中，E、F为AB、B1B中点，则A1E、C1F所成的角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，分别求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．【详解】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），F（2，2，1），则，，∴cos．∴A1E、C1F所成的角的正弦值为．故选：B．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，准确计算是关键，是中档题．7.设，是非零向量，则“”是“2”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】设圆的方程为,代入，求得圆的方程，令，解得圆M与轴的交点坐标，即可得到答案.【详解】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长问题，其中解答中利用待定系数法求得圆的方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+2，则（）A. 曲线y＝f（x）+g（x）不是轴对称图形B. 曲线y＝f（x）﹣g（x）是中心对称图形C. 函数y＝f（x）g（x）是周期函数D. 函数最大值为【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）＝sinπx，为轴对称图形，且其中一条对称轴为x，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，为轴对称图形，且其对称轴为x，故y＝f（x）+g（x）＝sinπx+（x2﹣x+2）是轴对称图形，且其对称轴为x，A错误；对于B，g（x）＝x2﹣x+2，不是中心对称图形，则曲线y＝f（x）﹣g（x）不是中心对称图形，B错误；对于C，g（x）＝x2﹣x+2不是周期函数，f（x）g（x）＝（sinπx）（x2﹣x+2）不是周期函数，C错误；对于D，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，当x时，g（x）取得最小值，而f（x）＝sinπx，当x时，f（x）取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．【点睛】本题考查函数的对称性、周期性和最值，推理求解能力，关键掌握函数的性质，属于基础题．10.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球面面积为（）A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π【答案】C【解析】【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】如图，设球的半径为R，O′是△ABC的外心，外接圆半径为r，则OO′⊥面ABC．在Rt△ACD中，cos A，则sin A．在△ABC中，由正弦定理得2r，r，△ABC外接圆的半径，．故选：C．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．12.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B. （0，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）【答案】A【解析】【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.二、填空题：本大题共4个小题。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集}5,4,3,2,1{=U ,集合}2,1{=A ,}5,3,2{=B ,则=B A C U )(( ) A ．{}3,5 B ．{}3,4,5 C ．{}2,3,4,5 D ．{}1,2,3,42.若复数z 满足5)43(=-z i ，则z 的虚部为( )A．B ．－C ．4 D ．－43.设向量)1,(m a =，)3,2(-=b ，若满足//a b ，则m =( )A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 【答案】D 【解析】试题分析：因为//a b ,所以,()3120m ⨯--⨯= ,解得：23m =- ，故选D. 考点：向量共线的条件.45454.已知R x ∈，则“032>-x x ”是“04>-x ”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a中，若4a ，8a 是方程0232=+-x x 的两根，则6a 的值是 ( ) A ．2±B ．2-C ．2D ．2±6.在满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00301y y x y x 的平面点集中随机取一点),(00y x M ，设事件A =“002x y <”，那么事件A 发生的概率是( ) A ．41 B ．43C ．31D ．327.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )频率组距0.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005分数A．300 B．400 C．500 D．6008.已知双曲线)0( 13222>=-t x t y的一个焦点与抛物线281x y =的焦点重合，则此双曲线的离心率为( )A ．2B ．C ．3D ．49.有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是( )A ．输出使1000421≥⨯⨯⨯⨯n 成立的最小整数n .B ．输出使1000421≥⨯⨯⨯⨯n 成立的最大整数n .C ．输出使1000421≥⨯⨯⨯⨯n 成立的最大整数n +2.D ．输出使1000421≥⨯⨯⨯⨯n 成立的最小整数n +2.3开始结束输出i 1=s 2=i?1000≥si s s ⨯= 2+=i i否是10.已知直线01=-++c by ax （0>bc ）经过圆05222=--+y y x 的圆心，则cb 14+的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．211.已知四面体ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，AC AB ⊥，且1=AC ，2==AB PB ,则球O 的表面积为( )A.π7B.π8C.π9D.π1012.已知函数)(x f y =是R 上的可导函数，当0≠x 时，有0)()(>+'xx f x f ,则函数xx xf x F 1)()(+=的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.14.已知ABC ∆的三个内角C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,， 且cb aB A 2cos cos +-=，则角A 的大小为 .15.定义运算：⎩⎨⎧<≥=∇)0( )0( xy y xy x y x ，例如：343=∇，44)2(=∇-，则函数)2()(22x x x x f -∇=的最大值为____________.16.已知)(x f 为定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，有)()1(x f x f -=+，且当[)1,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，给出下列命题：①)2014()2013(-+f f 的值为0；②函数)(x f 在定义域上为周期是2的周期函数； ③直线x y =与函数)(x f 的图像有1个交点；④函数)(x f 的值域为)1,1(-. 其中正确的命题序号有 . 【答案】①③④ 【解析】试题分析：根据题意,可在同一坐标系中画出直线x y =和函数)(x f 的图象如下:三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数2cos 3sin )(+-=x x x f ，记函数()f x 的最小正周期为β，向量)cos ,2(α=a ，))2tan(,1(β+α=b (40π<α<)，且37=⋅b a .(Ⅰ)求)(x f 在区间]34,32[ππ上的最值； (Ⅱ)求α-αβ+α-αsin cos )(2sin cos 22的值.(Ⅱ) π=β2 ……………………………………………………………………7分∴37sin 2)tan(cos 2=α+=π+αα+=⋅b a31sin =∴α (9)分α-αβ+α-α∴sin cos )(2sin cos 22=α-αα-αsin cos 2sin cos 22=αcos 2=α-2sin 12=324…………………………12分(此处涉及三个三角公式，请各位阅卷老师酌情处理)考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和与差的正弦公式、二倍角公式；3、三角函数的性质.18.（本小题满分12分）某学校的三个学生社团的人数分布如下表（每名学生只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人.（Ⅰ）求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；（Ⅱ）设拳击社团有X 名女生被抽出，求X 的分布列及数学期望)(X E .19.（本小题满分12分）四棱锥ABCD S -，底面ABCD 为平行四边形， 侧面⊥SBC 底面ABCD .已知 135=∠DAB ，22=BC ，2===AB SC SB ，F 为线段SB 的中点.（Ⅰ）求证：//SD 平面CFA ；（Ⅱ）求面SCD 与面SAB 所成二面角大小.20.（本小题满分12分）已知函数x x f ln )(=，b ax x g +=21)(. （Ⅰ）若)(x f 与)(x g 在1=x 处相切，试求)(x g 的表达式； （Ⅱ）若(1)()()1m x x f x x ϕ-=-+在),1[+∞上是减函数，求实数m 的取值范围； （Ⅲ)证明不等式：<+12n n )1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n nn 1312112+++++< .∴当1>x 时：0)1()(=ϕ<ϕx 即x x x ln 1)1(2-+-0<21.（本小题满分12分）已知两点)0,2(),0,2(B A -，直线AM 、BM 相交于点M ，且这两条直线的斜率之积为34-. （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）记点M 的轨迹为曲线C ，曲线C 上在第一象限的点P 的横坐标为1，直线PE 、PF 与圆()2221x y r -+=（302r <<）相切于点E 、F ，又PE 、PF 与曲线C 的另一交点分别为Q 、R .求△OQR 的面积的最大值（其中点O 为坐标原点）.试题解析：（Ⅰ）设点),(y x M ，43-=BM AM K K 3224y y x x ∴⋅=-+- …………………………2分所以()2222431151422b bRQ b--⎛⎫=+=-⎪⎝⎭………………………………10分原点O到直线RQ的距离为25bd=………………………………………………11分()()222224211533443222225ORQb b b S b b b ∆+-=⋅-⋅=-≤=………………12分考点：1、动点轨迹方程的求法；2、直线与圆、圆锥曲线的位置关系；3、基本不等式的应用.22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知圆1O 与圆2O 外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A B 、两点，AC 是圆1O 的直径，过C 作圆2O 的切线，切点为D . （Ⅰ）求证：B P C ,,三点共线； （Ⅱ）求证：CA CD =.23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为82cos 2=θρ，曲线2C 的极坐标方程为6π=θ，曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点. （R ρ∈ ） （Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标；（Ⅱ）曲线1C 与直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231（t 为参数）分别相交于N M ,两点，求线段MN 的长度.24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数|3=xxf.+x(-2||22|)+（Ⅰ）若R∃，使得不等式mx∈)(成立，求m的取值范围；xf<（Ⅱ）求使得等式|1f成立的x的取值范围.x4|)(-≤x。

2020 年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）、选择题1．设集合 A={x| x ≥﹣ 1} ，B= { x| y=}，则 A ∩?R B 等于（ ）3．命题 p ：若 a<b ，则 ac 2<bc 2；命题 q ：? x 0>0，使得 x 0﹣1﹣lnx 0=0，则下列命题为真 命题的是（ ）A ．p ∧qB ． p ∨（￢ q ）C ．（￢p ）∧q5．某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体 1200名学生中抽取 80 名学生做视力检查．现将 1200名学生从 1到 1200进行编号， 在 1～15中随机抽取一个数，如果抽到的是 6，则从 46～60这 15个数中应抽取的数是（ ） A ．47 B ．48 C ．51 D ． 54于（ ） A ．3B ．2C ．﹣ 2D ．﹣ 37．若（ x 2﹣a ）（x+ ） 10的展开式 x 6的系数为 30，则 a 等于（ ）2．若复数 z=A ．﹣B ．﹣ 1B ．｛x|﹣ ｝C ．｛x| ﹣1｝D ．｛x|a<0），其中 i 为虚数单位， |z| = ，则 a 的D ．（￢ p ）∧（￢ q ） ）则输出的结果是 6．设 x ， y 满足约束条件，若 z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m 等4．执行如图所示的程序框图，D ．A．B．C．1 D．25 ，则俯视图中线段的长度x的8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为值是（）A ．6B ．4C ．5D ．29．已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的 2 倍，若该三棱柱的各顶点都在球 O 的表面上，且球 O 的表面积为 36π，则此三棱锥 A ﹣A 1B 1C 1 的体积为（ ）、填空题13．已知函数 f （x ）=，若 f （x ）≤2，则x 的取值范围是的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为 ．15．在△ ABC 中， ∠C=90 °，AB=3 ，AC=1 ，若 =2 ﹣ ，则 ? 等于 ． 16．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、c ，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB ， 且 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，则 m 的值为 ． 三、解答题17．已知各项均为正数的等差数列 { a n }满足： a 4=2a 2，且 a 1， 4， a 4成等比数列．B．C ．D ． ．．．A ．10．若函数 f （ x ） =4sin （ 2x+φ）（ | φ| <）的图象关于直线 x= 对称， 且当 x 1，x2∈（﹣ ）， x 1≠x 2 时， f （x 1）=f x 2），则 f （ x 1+x 2）等于（ ）A ．11． 4 已知点 B ．2 C ．2 D ． 2 A 是抛物线 y 2=2px （ p> 0）B ，C 两点， 上一点， F 为其焦点，以 |FA| 为半径的圆交准线于△ FBC 为正三角形，且△ ABC 的面积是 ，则抛物线的方程是（A ． 12y 2=12x 设函数222 B ． y 2=14x C ． y 2=16x D ．y 2=18x 在 R 上存在导函数 f ′（ x ），对于任意的实数 x ，有 f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ）， f （x ）当 x ∈（﹣ ∞， 0） 时， f ′（ x ） <3x ，若 f （m+3）﹣ f （﹣ m ）≤ 值范围是（A ．［ ﹣ +∞）B ．［﹣，+∞） C ．［ ﹣1，+∞） D ．［ ﹣2，+∞） 14．已知直线 x ﹣ y+2=0 过双曲线=1（a>0，b>0） 的一个焦点，且与双曲线，则实数 m 的取（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）求同时满足下列条件的所有 a n的和：① 20≤n≤116；② n能够被 5 整除． 18．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100 人120 人y人社会人士500 人x人z人已知在全体样本中随机抽取 1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06．（Ⅰ ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的300 人进行问卷访谈，问应在持所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望．19．如图 1，已知四边形 ABFD 为直角梯形，为等边三角形，AD=DF=2AF=2 ，C为 DF的质点，如图 2，将平面 AED 、BCF 分别沿 AD 、BC折起，使得平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 BCF⊥平面 ABCD ，连接 EF、DF，设 G为 AE上任意一点．（1）证明： DG∥平面 BCF ；（2）求平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值．原点 O 向圆 M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P、Q，直线 OP， OQ 的斜率分别记为 k1， k2．（1）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的左焦点，求圆 M 的方程；（2）若 r= ，21．已知函数 f（x）=mlnx+2nx2+x（x>0，m∈R，n∈R）．（1）若曲线 y=f（ x）在（ 1，f（1））处的切线方程为 2x+y﹣1=0，求 f（x）的20．如图，在平面直角坐标系xOy，设点 M（x0， y0）是椭圆C：=1 上一点，从① 求证： k1k2 为定值；② 求 | OP| ?| OQ| 的最大值．递增区间；（2）若 m=1，是否存在 n ∈R ，使 f （x ）的极值大于零？若存在，求出 n 的取值范围；若不存在，请说明理由．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ] 22．如图，⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ． （1）若 BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ，求 CE 的长； ，求 的值．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲 ] 23．（选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程） 已知曲线 C 1的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ． （Ⅰ）把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1 与 C 2交点的极坐标（ ρ≥0，0≤θ<2π） [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]24．已知函数 f （x ）=| x ﹣a| ﹣|x+3| ，a ∈R ． （Ⅰ）当 a=﹣1 时，解不等式 f （x ）≤1；（Ⅱ）若当 x ∈[0，3]时，f （x ）≤4，求 a的取值范围．x 轴的正半轴为2020 年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题1．设集合 A={x| x ≥﹣ 1} ，B= { x| y= }，则 A ∩?R B 等于（ ）考点】 交、并、补集的混合运算．【分析】 根据题意，求出集合 B 以及 B 在 R 中的补集，再求 A ∩?R B 即可． 【解答】 解：∵集合 A={x|x ≥﹣ 1}， B={x|y= }={x|3x 2+5x ﹣2≥0}={x| x ≤﹣2，或 x ≥ }， ∴?R B={x| ﹣2<x< }，∴A∩?R B={x| ﹣1≤x< } ． 故选： A ． 考点】 复数求模．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的运算公式求得解：∵ z= = ， ∴| z|=∴|z|=又 a< 0 ， 解得 a=﹣ ． 故选： D ．3．命题 p ：若 a<b ，则 ac 2<bc 2；命题 q ：? x 0>0，使得 x 0﹣1﹣lnx 0=0，则下列命题为真 命题的是（ ）A ．p ∧qB ．p ∨（￢ q ）C ．（￢p ）∧qD ．（￢ p ）∧（￢ q ） 【考点】 复合命题的真假．【分析】 命题 p ：取 c=0 时是不成立， 因此是假命题； 命题 q ：取 x 0=1 ，满足 x 0﹣1﹣ lnx 0=0， 即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【解答】 解：命题 p ：若 a< b ，则 ac 2<bc 2，c=0 时是不成立，因此是假命题；2．若复数 z=A ．﹣B ．﹣ 1C ．a<0），其中 i 为虚数单位， |z| = ，则 a 的值为（a 值．分析】 A ．{x|B ．{x| ﹣} C ．{x| ﹣1}命题 q ：取 x 0=1，满足 x 0﹣ 1﹣ lnx 0=0，因此是真命题． 则下列命题为真命题的是（￢ p ）∧ q ， 故选： C ．值，用裂项法即可计算得解．解答】解：模拟执行程序， 可得程序框图的作用是计算并输出5．某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体 1200名学生中抽取 80 名学生做视力检查．现将 1200名学生从 1到 1200进行编号， 在 1～15中随机抽取一个数， 如果抽到的是 6，则从 46～60这 15个数中应抽取的数是（ ） A ．47 B ．48 C ．51 D ． 54 【考点】 系统抽样方法．【分析】 根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】 解：因为采取系统抽样，每 15人随机抽取一个人，在 1～15 中随机抽取一个数， 如果抽到的是 6，所以在 k 组抽到的是 6+15（ k ﹣ 1），所以 46～60这 15个数中应抽取的数是 6+15× 3=51 故选： C ．，若 z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m等=1+⋯+=的值， 而故选： A ．4．执行如图所示的程序框图， 则输出的结果是（D ．分析】 模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出⋯⋯6．设 x ， y 满足约束条件 考程序框的于（）A．3 B．2 C．﹣ 2 D．﹣ 3【考点】 简单线性规划．【分析】 作出不等式对应的平面区域， 利用线性规划的知识， 通过平移即可求 z 的最大值和 最小值．建立方程关系进行求解即可． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域，距最大，此时 z 最大． z=1+4×4=17 ﹣3．∵z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5 ∴17﹣（ 5m ﹣3）=20﹣5m=5． 得 m=3 ． 故选： A ．7．若（ x 2﹣a ）（ x+ ） 10的展开式 x 6的系数为 30，则 a 等于（考点】 二项式系数的性质．分析】 根据题意求出（ x+ ） 10展开式中含 x 4项、 x 6项的系数，得出（ 的展开式中 x 6 的系数，再列出方程求出 a 的值．平移直线 y=﹣ ，由图象可知当直线 y = ﹣经过点 A 时，直线 y=的截当直线 y=﹣经过点 此时 z 最小．z=m ﹣3+4m=5mx 2﹣ a ）（x+ ） 10 由 z=x+4y ，得 y= ﹣B 时，直线y= ﹣的截距最小，【解答】 解：（x+ ）10 展开式的通项公式为： T r+1=?x 10﹣r ?=?x 10﹣2r； 令 10﹣2r=4，解得 r=3，所以 x 4 项的系数为 ； 令 10﹣2r=6，解得 r=2，所以 x 6项的系数为 ； 所以（ x 2﹣a ）（x+ ）10的展开式中 x 6的系数为：﹣a =30 ， 解得 a=2． 故选： D ．C ．5D ．2 由三视图求面积、体积． 由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为 h ，利用体积计算公式解得 利用勾股定理即可得出．【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为 ∴x= =6， 故选： A ．9．已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的 2 倍，若该三棱柱的各顶点都在球 O 的表面上，且球 O 的表面积为 36π，则此三棱锥 A ﹣A 1B 1C 1 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积．8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为5 ，则俯视图中线段的长度 x 的 h ，再则=× h ，解得 h= ．h ， 考点】【分析】 通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设 出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得 a ，然后由棱柱的体积公式得答案．【解答】 解：如图，10．若函数 f （ x ）=4sin （ 2x+φ）（ | φ| < ）的图象关于直线 x= 对称，且当 x 1，x2∈（﹣，﹣ ），x 1≠x 2时， f （x 1）=f （ x 2），则 f （x 1+x 2）等于（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ． 2 【考点】 正弦函数的图象．【分析】 由正弦函数的对称性可得 sin （ 2× +φ） =±1，结合范围 | φ| < ，即可解得 φ的值，得到函数 f （ x ）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得 解析式利用诱导公式即可计算求值． 【解答】 解：∵ sin （2× +φ）=± 1， ∴φ=k π+ ，k ∈ Z ， 又∵ | φ| < ，∵三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等， 6 个顶点都在球 O 的球面上， ∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为 O ，再设球的半径为 r ，由球 O 的表面积为 36π，得 4πr 2=36π，∴ r=3 ．a ，且球心 O 到上底面中心 设三棱柱的底面边长为 a ，则上底面所在圆的半径为 H 的距x 1+x 2=﹣，代入函数离OH=a ，．∴x 1+x 2=故选： B ．11．已知点 A 是抛物线 y 2=2px （p>0）上一点， F 为其焦点，以 |FA| 为半径的圆交准线于 B ， C 两点，△ FBC 为正三角形，且△ ABC 的面积是 ，则抛物线的方程是（ ） 2222A ．y =12xB ．y =14xC ． y =16xD ．y =18x 【考点】 抛物线的简单性质．计算即可得到 p=8，进而得到抛物线方程．解得 p=8，则抛物线的方程为 y 2=16x ． 故选： C ．+） =2 ．∴f (x 1+x 2) =4sin( =k， k ∈ Z ，可得其对称轴方程为：==， ﹣ ，﹣， ﹣ ，﹣0）关于点（﹣ ，0）对称，分析】 由等边三角形的性质可得 | BF| =| AF| ，由抛物线的定义和三角形的面积公式，解答】 解：由题意可得 =cos30°且| DF| =p ，由抛物线的定义可得 A 到准线的距离也为∴f(x)=4sin( 2x∴由，k ∈Z ，），x 1≠x 2时， f （x ） ∵x 1， x ∈(﹣ ），且（ x 1， 0），（ x ，∴x 1， x ∈(﹣ 可得 |BF|，从而 | AF|在 R 上存在导函数 f ′（ x ），对于任意的实数 x ，有 f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ），考点】 利用导数研究函数的单调性．x 2，推出 g （ x ）为奇函数，判断 g （x ）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】 解：∵ f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ），2设 g （ x ）=f （ x ）﹣ x 2，则 g （x ）+g （﹣ x ）=0， ∴函数 g （x ）为奇函数．∵x ∈（﹣ ∞， 0）时， f ′（x ）+ <3x ， g ′（x ）=f ′（ x ）﹣ 3x<﹣ ，故函数 g （x ）在（﹣ ∞， 0）上是减函数， 故函数 g （x ）在（ 0， +∞）上也是减函数，即 g （m+3）< g （﹣ m ）， ∴m+3≥﹣ m ，解得： m ≥﹣ ， 故选： B ． 、填空题当 x ∈（﹣ ∞， 0） 时，f ′（x ） <3x ，若 f （m+3）﹣ f （﹣ m ）≤ 值范围是（A ．［ ﹣ ，+∞） B ．[﹣ ，+∞） C ．［ ﹣1，+∞） D ．［ ﹣2，+∞） 分析】 利用构造法设 g （ x ）=f （x ） ∴f （x ）2+f （﹣x ）x 2=0，若 f （m+3） f （﹣ m ） ≤ 9m 12．设函数 f （ x ），则实数 m 的取则 f （m+3）m+3）2≤f （﹣m ）13．已知函数 f （x ）= ，若 f （x ）≤2，则 x 的取值范围是 （﹣∞，﹣2] ∪[ ﹣1，4] ．【考点】 函数单调性的判断与证明．【分析】 在每段上解不等式 f （x ）≤2，然后所得 x 的范围求并集即可得出 x 的取值范围．【解答】 解：（1）当 x ≥0 时，由 f （x ）≤2得， ； ∴0≤x ≤4；（2）当 x<0时，由 f （x ）≤ 2得，﹣ x 2﹣3x ≤2； 解得 x ≤﹣ 2，或﹣ 1≤x< 0；综上得， x 的取值范围是（﹣ ∞，﹣2]∪[ ﹣1，4] ． 故答案为：（﹣ ∞，﹣2]∪[ ﹣1，4]．14．已知直线 x ﹣ y+2=0 过双曲线 ﹣ =1（ a> 0，b>0） 的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为 2 考点】 双曲线的简单性质．【分析】 求得直线 x ﹣ y+2=0 在 x 轴上的交点，可得 c=2 ，再由两直线垂直的条件：斜率 之积为﹣ 1，可得 b= a ，解方程可得 a=1，进而得到实轴长 2a ． 【解答】 解：直线 x ﹣ y+2=0 过 x 轴上的交点为（﹣ 2， 0），由题意可得 c=2 ，即 a 2+b 2=4，可得双曲线的实轴长为 2． 故答案为： 2．15．在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=3 ，AC=1 ，若 =2 ﹣ ，则 ? 等于 12 ． 【考点】 平面向量数量积的运算．【分析】 由直角三角形的余弦函数可得 cosA ，再由向量的加减运算和向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】 解：在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=3 ， AC=1， 可得 cosA= = ， 由 =2 ﹣ ，可得 + =2 ，即 =2 ， 即为 = ，则 ? =（ ﹣ ） ?（ ﹣ ）的一个焦点，且与双曲线 由直线 x ﹣ y+2=0 与双曲线的一条渐近线垂直， 可得即为 b= a ， 解得 a=1， b= ，=（﹣） ?（﹣）22=2+2﹣ ? =故答案为： 12．16．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、c ，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB ， 2 2 2 2且 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，则 m 的值为 ±2 ． 【考点】 两角和与差的正切函数．a 2+b 2=3c 2．结合sin 2A+sin 2B=(m 2+1)sin 2C ，可得 m 的值．【解答】 解：在△ ABC 中，若 tanAtanC +tanBtanC=tanAtanB即 tanC( tanA +tanB ) =tanAtanB ，即22∴ sin 2C=cosC ?sinAsinB ，利用正弦定理可得 c 2=ab?cosC ， cosC=再根据 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，可得 a 2+b 2=（m 2+1）c 2． ∴m 2+1=3 ，∴ m= ± ， 故答案为：± ．三、解答题 17．已知各项均为正数的等差数列 { a n }满足： a 4=2a 2，且 a 1， 4， a 4成等比数列．（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）求同时满足下列条件的所有 a n 的和： ① 20≤n ≤116；② n 能够被 5 整除．【考点】 等差数列的前 n 项和；等差数列的性质．【分析】（1）根据题意，列出方程组，求出首项 a 1 和公差 d ，写出通项公式即可； （2）得出满足条件的 n 组成等差数列 { b n } ，求出 { b n }的所有项的和，即可求出满足条件的 所有 a n 的和．【解答】 解：（1）根据题意，等差数列 {a n } 中， a 4=2a 2，且 a 1，4，a 4成等比数列， 即，解得 a1=2， d=2； ∴数列 {a n } 的通项公式为 a n =a 1+（ n ﹣ 1）d=2 +2（ n ﹣ 1）× 3× 1× =12 分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 ==，再根据=+==，==再根据 cosC= ，可得 =∴ a 2+b 2=3c 2．× 9+1再利用正弦定求即=2n；（2）∵ a n=2n，且 n 同时满足：① 20≤n≤116；② n能够被 5 整除，∴满足条件的 n 组成等差数列 { b n}，且 b1=20，d=5， b n=115，∴项数为 +1=20 ；∴ { b n} 的所有项的和为S20=20×20+ × 20×19×5=1350，∴满足条件的所有 a n 的和为2S20=2×1350=2700．18．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100 人120 人y人社会人士500 人x人z人已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06．（Ⅰ ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300 人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？Ⅱ ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列．【分析】（ 1）由，先求出持“无所谓”态度的人数，由此能求出应在持“无所谓态度的人中抽取的人数．（2）由持“应该保留”态度的一共有 180 人，在所抽取的 6 人中，在校学生人数为 4，社会人士人数为 2，第一组在校学生人数 X 的可能取值为 1， 2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 EX ．【解答】解：（ 1）∵在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06，∴ ，解得 x=60 ，∴持“无所谓”态度的人数为： 3000﹣2100﹣500﹣120﹣60=220，∴应在持“无所谓”态度的人中抽取 220×=22 人．（2）由（ 1）知持“应该保留”态度的一共有 180 人，∴在所抽取的 6 人中，在校学生人数为，社会人士人数为，于是第一组在校学生人数 X 的可能取值为 1，2， 3，∴X 的分布列为：EX= =2 ．19．如图 1，已知四边形 ABFD 为直角梯形， 为等边三角形， AD=DF=2AF=2 ，C 为 DF 的质点，如图 2，将平面 AED 、BCF 分别沿 AD 、BC 折起，使得 平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 BCF ⊥平面 ABCD ，连接 EF 、DF ，设 G 为 AE 上任意一点． （1）证明： DG ∥平面 BCF ；（2）求平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值．【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ ）推导出 CD ⊥平面 AED ，CD ⊥平面 BCF ，从而平面 AED ∥平面 BCF ，由此 能证明 DG ∥平面 BCF ．（Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 OE ，则 OE ⊥AD ，以 OD 为 x 轴，以平面 AED 过O 的垂线 为 y 轴，以 OE 为 y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 BCF 所 成锐二面角的余弦值． 【解答】 证明：（Ⅰ）由题意知 BC ⊥DC ，∵平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 AED ∩平面 ABCD=AD ， 又 CD ⊥AD ，∴ CD ⊥平面 AED ， 同理， CD ⊥平面 BCF ， ∴平面 AED ∥平面 BCF ，又 DC? 平面 AED ，∴ DG ∥平面 BCF ． 解：（Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 OE ，则 OE ⊥AD ，∵平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 AED ∩平面 ABCD=AD ，===P（ X=3 ） P P2∴OE ⊥平面 ABCD ，以 OD 为 x 轴，以平面 AED 过 O 的垂线为 y 轴，以 OE 为 y 轴，建立 空间直角坐标系， ∵OE= ，CF=1 ，则 O （ 0， 0，0）， =（ 0， 1，1）， =（ 0，﹣ 设平面 DEF 的法向量 =（ x ， y ， z ）， 则 ，取 z=1 ，得 =（ ，又 = （0，﹣ 1，0）是平面 BCF 的一个法向量，∴平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为分析】（ 1）椭圆 C 的左焦点是（﹣ 2 ，0），x= ﹣2 ，代入 + =1，可得 y=±1， 求出圆的圆心，然后求圆 M 的方程；1，0）， ﹣ 1， 1），cos< >==20．如图，在平面直角坐标系 xOy ，设点 M （x 0，y 0）是椭圆 C ： 原点 O 向圆 M ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=r 2 作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P 、 Q ，直线 OP ， OQ 的斜率分别记为 k 1， k 2．（1）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的左焦点，求圆 （2）若 r= ，M 的方程；=1 上一点，从② 求 | OP| ?| OQ| 的最大值．考点】 椭圆的简单性（2）① 因为直线 OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，与圆 R 相切，推出 k 1，k 2 是方程（ 1+k 2）x 2﹣（ 2x 0+2ky 0） x+x 02+y 02﹣ =0 的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出 k 1k 2．结合点M （x 0， y 0）在椭圆 C 上，得出 k 1k 2=﹣ ．② （ i ）当直线 OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），通过 4k 1k 2+1=0， 推出 y 12y 22= x 12x 22，利用 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），在椭圆 C 上，推出 OP 2+OQ 2=20， 即可求出 |OP|?| OQ|的最大值．【解答】 解：（1）椭圆 C 的左焦点是（﹣ 2 ，0），x=﹣2 ，代入 + =1，可得 y= ±1，∴M （﹣ 2 ，±1）∴圆 M 的方程：（ x+2 ） 2+（y ± 1） 2=1；（2）①因为直线 OP ： y=k1x ， OQ ： y=k 2x ，与圆 R 相切，2 2 2 2所以直线 OP ：y=k 1x 与圆 M ：（x ﹣ x 0）2+（y ﹣y 0）2= 联立， 可得（1+k 12）x 2﹣（2x 0+2k 1y 0）因为点 M （x 0，y 0）在椭圆 C 上，所以 y 02=1﹣ ② （i ）当直线 OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设 P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2）， 因为 4k 1k 2+1=0，所以 y 12y 22= x 12x 22，因为 P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2）在椭圆 C 上，所以 y 12y 22=（ 4﹣ 整理得 x 12+x 22=16， 所以 y 12+y 22=4 所以 OP 2+OQ 2=20．（ii ）当直线落在坐标轴上时，显然有 OP 2+OQ 2=20，22x+x 0+y=0同理（ 1+k 22）x 2﹣由判别式为 =0 的两个不相等的实数根，22 x 1 x 2 ，222x 0+2k 2y 0) x+x 0 +y 00，可得 k 1，k 2 是方程 k 2﹣2x 0y 0k+y 02﹣k 1k 2所以 k1k 2=综上： OP2+OQ2=20所以 | OP| ?| OQ| ≤ （OP 2+OQ 2） =10， 所以 | OP| ?| OQ| 的最大值为 10． 21．已知函数 f （x ）=mlnx +2nx 2+x （x>0，m ∈R ，n ∈R ）．（1）若曲线 y=f （ x ）在（ 1，f （1））处的切线方程为 2x+y ﹣1=0，求 f （x ）的递增区间； （2）若 m=1，是否存在 n ∈ R ，使 f （ x ）的极值大于零？若存在，求出 n 的取值范围；若 不存在，请说明理由．【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于 m ，n 的方程组，求出 m ，n 的值，从而求出 f （x ） 的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；【解答】 解：（ 1）由题意得： f ′（x ）= +4nx+1，f ′（1） =1+m+4n ， 由 f （1） =﹣1，得： k=﹣ 2，，解得： m=1，n=﹣1，∴f （x ） =lnx ﹣2x 2+x ， ∴f ′（x ）=（x>0），令 f ′（x ）> 0，解得： 0<x< ， ∴f （x ）在（ 0， ）递增；（2）由题意得： f （ x ）=lnx +2nx 2+x ，f ′（x ）= （x>0），① n ≥0时， f ′（x ）> 0在（ 0，+∞）恒成立，故无极值，2② n< 0 时，令 f ′（ x ）=0，得： 4nx 2+x+1=0，则△ =1﹣ 16n>0， x 1x 2= <0， 不妨设 x 1<0，x 2>0，则 f ′（x ）= ，即求使 f （x 2）> 0的实数 m的 取值范围，∴g （x ） 在（ 0， +∞）递增，（2）求出 f （x ）的导数，通过讨论 n 的范围，得到 化为求使 f （ x 2）>0的实数 m 的取值范围，构造函数 调性，从而求出 n 的范围即n ≥0 时，不合题意，g （ x ）=lnxn<0 时，问题转求出 g （x ）的构造函数 g （ x ）=lnx lnx 2+> 0，g ′（x ） =+ >0，由 g （ 1）=0，由 g （x ）> 0，解得： x>1， 即 x 2=>1，解得：﹣ < n<0，由①② 得： n ∈（﹣ ， 0）．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ]22．如图，⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ． （1）若 BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ，求 CE 的长；【分析】（1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段 股定理的线段的关系可求得 CE 的长度即可． AE 的长，再根据勾，由△ ABD ∽△ AEC ，能求出 【解答】解：（1）∵⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ，BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ， ∴由割线定理得 AB ?AC=AD ?AE ， ∴ AE==2）由已知 AC=2AB ， AE=3AD ，从而 AD= 的值．=8，DE=AE ﹣ AD=8 ﹣ 3=5，又 BD ⊥ AE ，∴ BE 为直径，∴∠ C=90°， 在 Rt △ACE 中，由勾股定理得 CE 2=AE 2﹣ AC 2=28， ∴CE=2 ． （2）∵∠ AEC= ∠ABD ，∠A= ∠A ， ∵，的∴ AC=2AB ， AE=3AD ，∵AD ?AE=AB ?AC ，∴△ ABD ∽△ AEC ，=[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲 ] 23．（选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程） 已知曲线 C 1的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ． （Ⅰ）把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1 与 C 2交点的极坐标（ ρ≥0，0≤θ<2π）【考点】 参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ ）对于曲线 C 1利用三角函数的平方关系式 sin 2t+cos 2t=1 即可得到圆 C 1的普通 方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C 1 的极坐标方程； （Ⅱ ）先求出曲线 C 2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极 坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C 1 与 C 2 交点的极坐标． 【解答】 解：（Ⅰ）曲线 C 1的参数方程式（t 为参数），得（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=25 即为圆 C 1的普通方程，即 x 2+y 2﹣ 8x ﹣ 10y +16=0 ．将 x= ρcos θ，y=ρsin θ代入上式，得． ρ2﹣8ρcos θ﹣10ρsin θ+16=0，此即为 C 1 的极坐标方程； （Ⅱ）曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ化为直角坐标方程为：∴C 1与 C 2交点的极坐标分别为（ ， ），（2， ）．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] 24．已知函数 f （x ）=| x ﹣a| ﹣|x+3| ，a ∈R ． （Ⅰ）当 a=﹣1 时，解不等式 f （x ）≤1；（Ⅱ）若当 x ∈[0，3]时，f （x ）≤4，求 a 的取值范围． 【考点】 绝对值不等式的解法．【分析】（ Ⅰ ）当 a=﹣ 1时，不等式为 |x+1|﹣|x+3|≤1，对 x 的取值范围分类讨论，去掉上 式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ ）依题意知， | x ﹣a| ≤x+7，由此得 a ≥﹣7且 a ≤2x+7，当 x ∈[0，3]时，易求 2x+7 的 最小值，从而可得 a 的取值范围． 【解答】 解：（Ⅰ）当 a=﹣1时，不等式为 | x+1|﹣| x+3|≤1．当 x ≤﹣ 3 时，不等式化为﹣（ x+1）+（x+3）≤ 1，不等式不成立；当﹣ 3<x<﹣ 1时，不等式化为﹣（ x+1）﹣（ x+3）≤ 1，解得﹣ ≤x<﹣1； 当x 2+y 2﹣2y=0 ，x≥﹣ 1时，不等式化为（ x+1）﹣（ x+3）≤ 1，不等式必成立．综上，不等式的解集为 [ ﹣，+∞）．⋯（Ⅱ）当 x∈[0，3]时，f（x）≤4即| x﹣a|≤x+7，由此得 a≥﹣7且 a≤2x+7．当 x∈[ 0，3] 时， 2x+7的最小值为 7，所以 a的取值范围是 [ ﹣7，7] ．⋯2020 年 8 月 20 日。

2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第1题5分2020~2021学年10月天津河西区天津市第四中学高一上学期月考第6题4分2019~2020学年甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高二下学期期末第1题5分2019~2020学年10月福建厦门思明区福建省厦门双十中学高三上学期月考第1题5分2017~2018学年11月河北邯郸临漳县临漳县第一中学高三上学期月考文科第1题5分若集合A={x|x⩾0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）．A. {1,2}B. {x|x⩽1}C. {−1,0,1}D. R2、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第2题5分2015年山东高三一模复数z=|(√3−i)i|+i5 (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为()A. 2−iB. 2+iC. 4−iD. 4+i3、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第3题5分2017~2018学年辽宁高二上学期期末文科2017~2018学年河北邯郸邯山区河北省邯郸市第二中学高二上学期期中2017~2018学年辽宁沈阳皇姑区辽宁省实验中学高二上学期期末文科2017~2018学年辽宁高二上学期期末文科下列函数中，最小值为4的是()A. y=log3x+4log x3B. y=e x+4e−xC. y=sin⁡x+4sin x(0<x<π)D. y=x+4x4、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第4题5分“cos⁡2α=−√32”是“α=kπ+5π12，k∈Z”的（）．A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第5题5分设n=∫π20(5sin⁡x+cos⁡x)dx，则(x−1x)n的展开式中的常数项为（）．A. 20B. −20C. 120D. −1206、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第6题5分2020~2021学年11月宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高三上学期月考理科第2题5分2020~2021学年12月陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高二上学期月考理科第4题3分2017年江西鹰潭高三一模文科第5题5分2020~2021学年11月宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高三上学期月考文科第2题5分下列命题中错误的是（）．A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨(¬q)”为真命题B. 命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题C. 命题“若x2−x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2−x=0，则x≠0且x≠1”D. 命题p:∃x>0，sin⁡x>2x−1，则¬p为∀x>0，sin⁡x⩽2x−17、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第7题5分已知函数f (x )=√1−x +√x +3的最大值为M ,最小值为m ,则m M 的值为( )A. √22B. √32C. 12D. √538、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第8题5分2018年河南开封高三一模文科第10题5分函数y =xln |x |的图象大致是( )．A.B.C.D.9、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第9题5分函数y =f (x )为偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则y =f (2−x 2)的一个单调递增区间为（ ）．A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. [0,√2]D. [√2,+∞)10、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第10题5分2018~2019学年辽宁沈阳浑南区东北育才高中（本部）高一上学期期中第10题5分函数f (x )=e x +e −x e x −e −x ，若a =f (−12)，b =f (ln 2)，c =f (ln 13)，则有（ ）．A. c >b >aB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a11、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第11题5分若矩阵(a 1b 1a 2b 2a 3b 3a 4b 4)满足下列件列：①每行中的四个数均为集合{1,2,3,4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件矩阵的个数为（ ）．A. 48B. 72C. 144D. 26412、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第12题5分已知函数f(x)={|ln x |,x >0x +2,x ⩽0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，使f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1f(x 2)的取值范围是（ ）．A. [−2,0]B. [−1,0]C. [−23,0]D. [−12,0]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第13题5分求值：0.064−13−(−59)+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112=．14、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第14题5分甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4×100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒：丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒．老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是．15、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第15题5分2019~2020学年高一上学期期中已知函数f(x)满足f(−1+x)=f(1+x)，且f(1+x)=f(1−x)，(x∈R)，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，若曲线y=f(x)与直线y=k(x−1)有5个交点，则实数k的取值范围是．16、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第16题5分已知函数f(x)=x3−2ex2，g(x)=ln⁡x−ax（a∈R），若f(x)⩾g(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第17题设p ：实数a 满足不等式(13)a−3⩾1，q ：函数f(x)=19x 3+3−a 2x 2+3x 无极值点．(1) 若¬p ∧q 为假命题，¬p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．(2) 若p ∧q 为真命题，并记为r ，且t:a >m +12或a <m ，若t 是¬r 的必要不充分条件，求m 的取值范围．18、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第18题已知函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠0)，它的反函数图象过点(154,2). (1) 求实数a 的值．(2) 若2m 2+1)2t f(2t)+15mf(t)⩾0，对于∀t ∈[1,3]恒成立，求m 实数取值范围．19、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第19题已知向量a →=(sin⁡x,−√3)，b →=(1,cos⁡x )，且函数f (x )=a →⋅b →．(1) 若a →⊥b →，求tan⁡2x 的值．(2) 在△ABC 中，AC =2且f (B )=0，求△ABC 面积的最大值．20、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第20题已知函数f(x)=ln x x −x ．(1) 求函数f (x )的单调区间．(2) 设0<t <1，求f(x)在区间[t,1t ]上的最小值．21、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第21题已知函数f (x )=−ae x +x +a ．(1) 讨论函数f (x )的单调性;(2) 若函数f (x )恰好有2个零点，求实数a 的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。

辽宁省2020年高考理科数学质量检测试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =A. (1,2)-B. (0,1)C. (,2)-∞D. (1,1)-2. 设11iz i+=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= A. -1B. iC. 1D. 43. 已知向量()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，则命题p 是命题q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为A. 3B. 12x xD. 25. 已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤= A. 0.3413B. 0.6826C. 0.1587D. 0.07946.已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为A.3B.2D.7. 若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()36k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()1212k k k z ππππ-+∈ 8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为 A. 1．5尺B. 2．5尺C. 3．5尺D. 4．5尺9. 宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =A. 5B. 4C. 3D. 210.已知抛物线214y x =的焦点F 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为1-111.已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，0120BAC ∠=，则球O 的表面积为A ．52πB ．5πC ．4πD ．53π 12.已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514- B.512 C.514+ D.512+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， 1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三年级上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.若集合{}|0A x x =≥，且，则集合B 可能是（ ）A. {}1,2B. {}|1x x ≤C. {}1,0,1-D. R 【答案】A【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆，故选A考点：集合的交集．2.复数5(3)z i i i =+（i 为虚数单位）,则复数z 的共轭复数为（ ）A. 2i -B. 2i +C. 4i -D. 4i +【答案】A【解析】 试题分析：5(3)2z i i i i =-=-,所以复数z 的共轭复数为2i +,故选B. 考点：复数的运算与相关概念.3.下列函数中,最小值为4的是（ ）A. 3log 4log 3x y x =+B. 4x x y e e -=+C. 4sin sin y x x =+（0πx <<）D. 4y x x =+【答案】B【解析】【分析】对于A 可以直接利用基本不等式求解即可；对于B 根据基本不等式成立的条件满足时,运用基本不等式即可求出最小值; 对于C 最小值取4时sinx=2,这不可能；对于D,取特殊值x=﹣1时,y=﹣5显然最小值不是4.【详解】A y=log 3x+4log x 3,当log 3x ＞0,log x 3＞0,∴y=log 3x+4log x 3≥4,此时x=9,当log 3x ＜0,log x 3＜0故不正确；B y=e x +4e ﹣x≥4,当且仅当x=ln2时等号成立．正确. 4 sin sin C y x x =+（0x π<<）,y=4 sin sin y x x =+≥4,此时sinx=2,这不可能,故不正确； ④4y x x=+,当x=﹣1时,y=﹣5显然最小值不是4,故不正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的值域,解题的关键是最值能否取到,属于中档题．在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.4.“cos 2α=”是“5,12k k Z παπ=+∈”的( ) A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】【分析】由cos 22α=-,可得5522,,612k k k z ππαπαπ=±=±∈,利用充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】因为cos 2α=,所以5522,,612k k k z ππαπαπ=±=±∈,即cos 2α=不能推出5,12k k Z παπ=+∈,。