高中数学 基本初等函数I 4 指数函数3教学案无答案苏教版必修1
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江苏省泰兴中学高一数学教授课设计 (26)必修 1_02指数函数(3)班级姓名目标要求1.娴熟掌握指数函数的看法、图象、性质;2.成立指数函数模型,解决实诘问题,培育数学应妄图识.讲课过程一、复习引入:1.指数的运算性质以及指数函数图象、性质:2.设1(1 b1)a ab a的大小关系3)(1,试比较 a , a,b333.某种质量是 1 的放射性物质不停变化为其他物质,每经过 1 年剩留的这类物质是本来的84%.则这类物质的剩留量y关于时间x的函数为。
4.函数f ( x) a x(a0且 a1) 关于任意的实数都有________________.(1) f (xy) f ( x) f (y)(2) f (xy) f (x) f (y)(3) f (x y) f (x) f ( y) (4) f (x y) f (x) f (y)二、典例赏识:例 1用清水漂洗衣服,已知每次能洗去污垢的3,设漂洗前衣服上的污垢量为1,写出衣4服上存留的污垢量y 与漂洗次数x之间的函数关系式. 若要使存留的污垢不超出原有的1%,则最少要漂洗几次?例 2 某种储藏按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为 y 元.(1)写出本利和y 随存期x变化的函数变化式;(2)假如存入本金1000 元,每期利率为 2.25%,,试计算 5 期后的本利和.例 3 关于任意的x1, x2R ,若函数 f ( x)2x,试比较 f ( x1 )f (x2)与f (x1x2 )的22大小关系.例 4 已知定义域为R的函数f (x)2x b是奇函数。
(Ⅰ)求 a, b 的值;2x 1a(Ⅱ)若对任意的 t R ,不等式 f (t22t ) f (2 t2k) 0 恒成立,求k的取值范围.江苏省泰兴中学高一数学作业(26)班级姓名得分1、以下函数中,满足f ( x 1) 2 f (x) 的是 __________________.(1) f ( x)1( x 1) (2)f ( x) x1 (3) f ( x)2 x (4)f (x) 2 x242、函数 ya x1( a 0,a1) 的图象可能是.a3、 f ( x)为定义在 ( 1,1)上 的奇函数,当 x<0 时, f (x)2 x 14 x 1,则 f ( ) =.24、已知 f ( x)2x m x (m 0) 为偶函数,则 m 的值是 .m25、已知函数 f ( x)e |x a| ( a 为常数 ). 若f ( x) 在区间 [1,+) 上是增函数 , 则 a 的取值范围是_________ .6、定义运算 a ba ab , 则函数 f ( x)1 2x 的值域为.b a b .7、函数 f ( x) a x( a 0, a 1) 在 [1 ,2] 上的最大值比最小值大a, 则 a的值为.28、已知函数f ( x) 2 9x3x a2 a 3 ,当0x 1时, f ( x)0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 _____ ___.9、函数 f ( x)11. (1)判断f ( x)的奇偶性;( 2)证明xf ( x)0恒成立.2 x1210、一个电子元件厂昨年生产某种规格的电子元件 a 个,计划从今年开始的m 年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增加p %,试写出此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式.11、求函数y9x m 3x1的最小值.12 、已知函数 f (x) 对一的确数 x 、y满足以下两个条件:(1)f ( x y) f ( x) f ( y) ;(2)当 x >0时, f ( x) >1.求证:() f(0)=1;() f (x) 在x R上是增函数.12。
惯和品质;培养他们实事求是的科学态度,积极参与和勇于探索的精神。
教学重点:指数函数的概念和性质。
教学难点:指数函数的图象性质与底数a的关系。
教学方法:引导发现法;直观演示法;设疑诱导法;多媒体辅助教学所需设备:电脑多媒体辅助设备教师活动学生活动设计意图新课引入:设计一个游戏情境,学生分组,通过动手折纸,观察对折的次数与所得的层数之间的关系。
授课过程:一、1、创设情境,形成概念问题:庄子曰:一尺之棰,日取其半,万世不竭。
其含义是什么呢?能否给出表达式?学生分组,动手折纸,观察对折的次数与所得的层数之间的关系为学生分组讨论,先分析其含义,再转化为现代语言,建立数学模型,给出结论。
充分发挥学生的主体作用,发展学生的个性,培养学生自主学习的能力。
在学生动手操作的过程中激发学生学习热情和探索新知的欲望。
让学生动手操作,动脑思考,培养学生勇于探索的精神。
第一次第二次第三次第四次问题:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个, 2个分裂成4个,4个分裂成8个,……如果分裂一次需要10min ,那么,一个细胞1h 后分裂成多少个细胞?教师给出指数函数的定义,即形如 (a>0且a≠1) 的函数称为指数函数,定义域为R 。
如:函数 y=2x y=(1/2)x y=10x 都是指数函数,它们的定义域都是实数集R ,提醒学生指数函数的定义是形式定义,如y=3×2x y=10x+5不是指数函数学生思考后回答并说明。
函数解析式是什么?)(2y N x x ∈=学生理解概念,并展开讨论,什么定义中规定a>0且a≠1呢? (1)若a<0, a x不一定有意义.如a=-2,当x=1/2,(2)若a=0,则当x>0时,a x=0; x ≤0时,a x 无意义. (3)若a=1,则对于任意x ∈R,a x=1为常量。
进一步探索问题,发现规律。
对a 的范围的具体分析,有利于学生对指数函数一般形式的掌握,同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。
指数函数(一)教学目标:使学生理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质;培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力;培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯,体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点:指数函数的概念、图象、性质教学难点:指数函数的图象、性质教学过程:教学目标(一)教学知识点1.指数函数.2.指数函数的图象、性质.(二)能力训练要求1.理解指数函数的概念.2.掌握指数函数的图象、性质.3.培养学生实际应用函数的能力.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.2.用联系的观点看问题.3.了解数学知识在生产生活实际中的应用.●教学重点指数函数的图象、性质.●教学难点指数函数的图象性质与底数a的关系.●教学方法学导式引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念,并向学生指出指数函数的形式特点,在研究指数函数的图象时,遵循由特殊到一般的研究规律,要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象,然后推广到一般情况,类比地得到指数函数的图象,并通过观察图象,总结出指数函数的性质,而且是分a>1与0<a<1两种情形.●教具准备幻灯片三张第一张:指数函数的图象与性质(记作§2.6.1 A)第二张:例1 (记作§2.6.1 B)第三张:例2 (记作§2.6.1 C)●教学过程Ⅰ.复习回顾[师]前面几节课,我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知识都是为我们学习指数函数打基础.现在大家来看下面的问题:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是y =2x这个函数便是我们将要研究的指数函数,其中自变量x 作为指数,而底数2是一个大于0且不等于1的常量.下面,我们给出指数函数的定义. Ⅱ.讲授新课 1.指数函数定义一般地,函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数定义域是R .[师]现在研究指数函数y =a x (a >0且a ≠1)的图象和性质,先来研究a >1的情形.例如,我们来画y =2x 的图象列出x ,y 的对应值表,用描点法画出图象:例如,我们来画y =2-x 的图象.可得x ,y 的对应值,用描点法画出图象.也可根据y =2-x 的图象与y =2x 的图象关于y 轴对称,由y =2x 的图象对称得到y =2-x 即y =(21)x的图象. 我们观察y =2x 以及y =2-x 的图象特征,就可以得到y =a x (a >1)以及y =a x (0<a <1)的图象和性质.3.例题讲解[例1]某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).分析:通过恰当假设,将剩留量y 表示成经过年数x 的函数,并可列表、描点、作图,进而求得所求.解:设这种物质最初的质量是1,经过x 年,剩留量是y . 经过1年,剩留量y =1×84%=0.841; 经过2年,剩留量y =0.84×84%=0.842; ……一般地,经过x 年,剩留量y =0.84x 根据这个函数关系式可以列表如下: 0.500.420.35用描点法画出指数函数y =0.84的图象.从图上看出y =0.5只需x ≈4.答:约经过4年,剩留量是原来的一半. 评述:(1)指数函数图象的应用. (2)数形结合思想的体现.[例2]说明函数y =2x +1与y =2x 的图象的关系,并画出它们的示意图.分析:做此题之前,可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题. 解:比较函数y =2x +1与y =2x 的关系: y =2-3+1与y =2-2相等, y =2-2+1与y =2-1相等, y =22+1与y =23相等, ……由此可以知道,将指数函数y =2x 的图象向左平行移动一个单位长度,就得到函数y =2x +1的图象.评述:此题目的在于让学生了解图象的平移变换,并能逐步掌握平移规律.Ⅲ.课堂练习 1.课本P 74练习1在同一坐标系中,画出下列函数的图象: (1)y =3x ;(2)y =(31)x . 2.课本P 73例2(2).说明函数y =2x -2与指数函数y =2x 的图象的关系,并画出它们的示意图.解:比较y =2x -2与y =2x 的关系y =2-1-2与y =2-3相等, y =20-2与y =2-2相等,y =23-2与y =21相等, ……由此可以知道,将指数函数y =2x 的图象向右平移2个单位长度,就得到函数y =2x -2的图象.Ⅳ.课时小结[师]通过本节学习,大家要能在理解指数函数概念的基础上,掌握指数函数的图象和性质,并会简单的应用.Ⅴ.课后作业(一)1.在同一坐标系里画出下列函数图象: (1)y =10x ; (2)y =(101)x. 2.作出函数y =2x -1和y =2x +1的图象,并说明这两个函数图象与y =2x 的图象关系.答:如图所示,函数y =2x -1的图象可以看作是函数y =2x 的图象向右平移两个单位得到.函数y =2x +1的图象可以看作是函数y =2x 的图象向上平移1个单位得到(二)1.预习内容: 课本P 73例3 2.预习提纲:(1)同底数幂如何比较大小?(2)不同底数幂能否直接比较大小? ●板书设计Ⅰ.复习引入引例1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……. 1个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么?分裂次数:1,2,3,4,…,x 细胞个数:2,4,8,16,…,y由上面的对应关系可知,函数关系是 y =2x .引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,设原来的价格为1,x 年后的价格为y ,则y 与x 的函数关系式为 y =0.85x .在y =2x , y =0.85x 中指数x 是自变量,底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.Ⅱ.讲授新课1.指数函数的定义函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数定义域是R探究1:为什么要规定a >0,且a ≠1呢?①若a =0,则当x >0时,a x =0;当x ≤0时,a x 无意义.②若a <0,则对于x 的某些数值,可使a x 无意义. 如y =(-2)x ,这时对于x =14 ,x =12 ,…等等,在实数范围内函数值不存在.③若a =1,则对于任何x ∈R ,a x =1,是一个常量,没有研究的必要性.为了避免上述各种情况,所以规定a >0且a ≠1。
课题:指数函数教材:苏教版普通高中课程标准实验教科书必修1一、教学目标:知识目标:①知道指数函数的定义;②知道指数函数的图象和性质;感悟研究函数的规律和方法能力目标:①培养观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力;②体会数形结合思想、分类讨论思想,增强识图用图的能力情感目标:①通过自主探究,体验从特殊→一般→特殊的认知过程,了解指数函数的实际背景;②通过亲手实践,互动交流,激发学习兴趣,增强创新意识二、教学重点、难点:重点:指数函数的定义,图象和性质;难点:由指数函数图象探索并理解指数函数的性质三、教学工具:PPT、Ece、几何画板、实物投影仪教学方法:探究式教学法四、教学过程:亲爱的同学们,我们在前面的几节课中,系统的学习了函数的概念,研究了函数的图象与性质,今天我们将在前面学习的根底上继续学习并研究一类重要的函数,请同学们先看两个实际问题:一、情境导入情境一:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个……一个这样的细胞分裂次后,得到细胞分裂的个数为,请写出与之间的关系式与之间的关系式,可以表示为〔〕情境二:某放射性物质不断衰变为其他物质,每经过1年,这种物质剩留的质量是原来的50%,现有该物质质量为1,经过年的剩留量为,请写出与之间的关系式与之间的关系式,可以表示为〔〕二、新知探究〔一〕指数函数的定义问题组一:〔1〕请问函数和函数具有哪些相同的特征?〔2〕你能否写出类似结构的函数表达式?尝试一下〔3〕能否将上述几个具体的函数表达式统一写成一般的函数表达式呢?引导学生归纳:用字母代替其中的底数,将上述式子表示成的形式师:这里的是否有所限制呢?由上一节课?分数指数幂?所学知识可知,规定底数,指数的取值集合可以为全体实数但是假设底数,那么函数为,无论取何值,恒成立,归为常数函数故引出指数函数的定义:思考:函数是否为指数函数呢?同学们,我们了解了指数函数的定义以后,需要对指数函数的性质进行研究,以便帮助我们解决具体问题〔二〕指数函数的图象与性质问题组二:(1)我们在前面函数章节中研究了函数的哪些性质?(2)我们在前面函数章节中通过怎样的方法研究函数的性质?师:我们下面分三步走来实现通过函数图象研究函数性质的目的第一步:用列表描点的方法作出指数函数的图象利用实物投影来展示学生所作图象,结合实际情况对学生所作图象作出评价评价的主要方面有:曲线的延展性,平滑度,凹凸性,与轴的渐进关系等假设学生作图存在问题,可以结合指数函数的定义式想象图象的特征,运用数形结合的思想方法,由数想形,有形想数,来完善指数函数图象师:刚刚我们通过列表描出个别整数点的方式大致作出了指数函数的图象,那么对于指数函数更精确的图象究竟是什么样子的呢?下面我们以指数函数为例,利用计算机软件来作出它的精确图象第二步:用计算机软件Ece作出指数函数的图象引导学生结合图象指出指数函数的性质,完成指数函数的性质表格将探究得到的性质填入表格中:师:刚刚我们一起研究了具体的指数函数的图象与性质,但是指数函数作为一类函数,其性质是否可以按底数分成两大类呢?下面我们利用计算机软件——几何画板,通过改变底数的取值,来验证我们的猜测第三步:用计算机软件几何画板,演示底数取不同值时指数函数的图象的变化验证步骤二中总结出指数函数的性质,实现从特殊到一般地转化,总结出一类函数的性质,进一步完善表格师:经历了刚刚的“三部曲〞,我们终于探究得到了指数函数的性质,为了便于大家记忆图象与性质,老师送给大家一个“顺口溜〞,请看:性质概括:大1增,小1减,图象恒过〔0,1〕点;左右无限上冲天,永与横轴不沾边经过刚刚的一番探索,我们得到了指数函数的性质,运用指数函数的性质可以帮助我们解决那些数学问题呢?三、数学运用例1、比拟以下各组数中两个值的大小〔1〕,〔2〕,〔3〕,〔4〕,解:〔1〕可直接计算;〔2〕引起认知冲突,实现构造函数思想的自然引入;〔3〕略〔4〕构造两个指数函数和,由单调性易知:,利用“〞架设“桥梁〞解题反思:构造函数的思想,再运用指数函数的单调性解决问题练习:比拟以下各组数中两个值的大小:〔1〕;〔2〕例2、〔1〕,求实数的取值范围;〔2〕,求实数的取值范围解题反思:指数函数单调性的逆用练习:求满足以下条件的实数的取值范围:〔1〕;〔2〕四、归纳总结1、知识点上:掌握了研究具体函数的方法;掌握了指数函数的图象与性质2、思想方法上:〔1〕特殊→一般→特殊;〔2〕分类讨论;〔3〕构造函数;〔4〕数形结合五、课后稳固P54,习题2、3、4附:教学设计说明*教材的地位和作用:本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的根底上,进一步研究指数函数,以及指数函数的图象与性质,它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识,使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法,同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用,研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的根底因此,本节课的内容十分重要,它对知识起到了承上启下的作用此外,?指数函数?的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系,尤其表达在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面,因此学习这局部知识还有着广泛的现实意义*学生的学情分析:本课时是学生在学习了分数指数幂的前提下,再进一步升华为指数函数的第一节课,它承上启下,对学生来说至关重要学生在前面已经学过了一般函数的性质和数形结合的思想,本节课就要学以致用高中数学应该表达以学生为主,让学生自主探索,领略数学的乐趣,教师应该在课堂上创立适当的情景让学生能在其中由浅入深的掌握知识点,教师是课堂的引领者而不是主宰者*教师的教法分析:本节课采用探究、比拟的教学方法通过教师在教学过程中的点拨,启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来到达对知识的发现和接受*板书设计:。
课题 《指数函数》授课教师:扬中市第二高级中学 刘玉教材:苏教版《数学必修1》第2章 一、教学目标:知识与技能:1从实例中抽象出指数函数的模型,理解指数函数的概念2会画指数函数的图象,通过图象总结归纳出指数函数的性质 培养学生观察、分析、归纳等思维能力3理解指数函数的性质,并能运用性质解决比较指数式值大小的问题过程与方法:1通过自主操作和探索,让学生经历:“特殊→一般”的认知过程,完善认知结构 2体会函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、从特殊到一般等数学思想方法 情感、态度与价值观:1让学生感受探索数学问题的过程,体会成功的乐趣和喜悦2让学生体会数学的抽象性、严谨性和统一性,培养他们实事求是的科学态度,积极参与和勇于探索的实践精神二、教学重点与难点:重点:指数函数的图象、性质及简单应用难点:探索归纳指数函数图象和性质突破方法:通过对具体函数的观察和归纳,学生间的合作交流,并加以多媒体动态演示,将具体化为抽象,并感受到对底数a 分类讨论的思维方式,从而达到重难点的突破三、教学方法:教法:多媒体辅助教学,采用启发式、引导发现的教学方法学法:自主探索、合作交流的学习方法四、学习过程:(一)复习:提问1:我们已经学习了哪几种函数?一次函数:)0(≠+=k b kx y ,二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ,反比例函数:)0(≠=k x k y 提问2:研究一个函数,主要研究它的哪些方面?这些性质在图象上是如何表现的?函数的图象和性质,性质包括:定义域、值域、单调性、奇偶性等(板书)反应在图象上: 位置、 变化趋势、对称性提问3:研究函数性质的途径?图象,通过图象看函数的性质(看图说话)提问4:是不是一定要通过函数的图象才能得到函数的性质?以32+-=x y 为例,通过函数的解析式,我们也可以看出函数的性质。
总结: “数”——解析式;“形”——图象。
(板书)(二 )情境引入引例1:比较下列指数式的异同: 2213202153-22,2,2,2,2,2,22--,,能否把它们看成是函数值?若能,是什么函数的值? R x y x ∈=,2引例2: 《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”请你写出截取次x 后,木棰剩余量y 关于x 的关系式:12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, *x N ∈ 这两个函数模型是我们以前学习的函数吗?不是,不满足以上三种函数的形式。
《指数函数》教学案例一、相关背景介绍本课选自高中课程标准实验教科书《数学》(必修一)(苏教版)指数函数是高中新引进 的第一个基本初等函数,因此,先让学生了解指数函数的实际背景,然后对指数函数概念的建立,函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。
课标要求理解指数函数的概念和意义,能借助计算机画出具体指数函数的图象,初步探索并理解指数函数有关的性质。
本节课属于新授课,通过引导,组织和探索,让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的的方法等,使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。
二、本节课教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法:引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念,并向学生指出指数函数的形式特点,在研究指数函数的图象时,遵循由特殊到一般的研究规律,要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象,然后推广到一般情况,类比地得到指数函数的图象,并通过观察图象,总结出指数函数当底分别是01a <<,1a >的性质。
3.情感、态度、价值观:使学生领会数学的抽象性和严谨性,培养他们实事求是的科学态度,积极参与和勇于探索的精神.4.重难点:(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质 三、课堂教学实录一.问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系.问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系.二.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2xy =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2y x =的区别.3.观察函数2x y =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与xy a =的相同特点.三.建构数学(用投影仪,把两个例子展示到黑板上)[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系?[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(22=)个细胞,分裂三次得到8(32=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x个,即y 与x 之间为y 2x=.[生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的14(212=),第三次剩下绳子的18(312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(学生说完后在屏幕上展示这两个式子)[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:(接着把2y x =打出来)既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数y 2x=,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在形式上与函数2y x =有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下y 2x=,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数xy a =有什么相同点?[生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.(在屏幕上给出定义)定义:一般地,函数xy a =(0,1a a >≠) 叫做指数函数,它的定义域是R .概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).(先把0a =,0a <,1a =显示出来,学生每分析一个就显示出一个结果)[生]:⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)-=⑶若1a =,则1xa =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了. 所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题1.已知函数(32)xy a =-为指数函数,求a 的取值范围.(屏幕上给出问题)[生]:由于32a -作为指数函数的底因此必须满足:232033210a a a a ⎧->>⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩即2|03a a a ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 概念解析2:[师]:我们知道形如xy a =(0,1a a >≠)的函数称为指数函数.通过观察我们发现: ⑴xa 前没有系数,或者说系数为1.既1xa ⋅; ⑵指数上只有唯一的自变量x ;⑶底是一个常数且必须满足:0,1a a >≠.那么,根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数?(在屏幕上给出问题2)问题2.⑴(0.2)x y =,⑵(2)x y =-,⑶xy e =,⑷1()3xy =⑸1xy =,⑹23xy =⋅,⑺3xy -=,⑻22xxy +=[生1]:(答)⑴⑶⑷为指数函数.⑵⑸⑹⑺⑻不是.[生2]: 我不同意,⑺应该是指数函数,因为133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭.[师]:很好,我们发现有些函数表面上不是指数函数,其实经过化简以后就变成了指数函数.所以不要仅从表面上观察,要抓住事物的本质.[师]:上面我们分析了指数函数的定义,那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质.根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤? [生]:(共同回答)列表,描点,连线.[师]:好,下面我请两个同学到黑板上分别作出2xy =,12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3xy =,13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象.(等学生作好图并点评完以后,再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来)[师]:那么我们下面就作出函数:2xy =,12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 3xy =,13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象x -3 2- 1- 0 1 2 32x 1814121 2 4 82x - 8 4 2 1 1214183x 12719131 3 9 273x - 27 9 3 1 1319127[师]:通过这四个指数函数的图象,你能观察出指数函数具有哪些性质?(先把表格在屏幕上打出来,中间要填的地方先空起来,根据学生的分析一步步展示出来)[生1]:函数的定义域都是一切实数R ,而且函数的图象都位于x 轴上方.[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点?随着自变量x 的取值函数值的图象与x 轴是什么关系?[生1]:没有.随着自变量x 的取值函数的图象与x 轴无限靠近. [师]:即函数的值域是:(0,)+∞.那么还有没有别的性质?[生2]:函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭、13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数,函数2x y =、3xy =是减函数.[师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊?(有)函数的单调性是在某个区间上的,因此有说明是在哪个范围内.又110,123<<,12,3<那么上述的结论可以归纳为: [生2]:当01a <<时,函数xy a =在R 上是减函数,当1a >时,函数xy a =在R 上是增函数.[师]:很好,请做!(提问[生3])你观察我们在作图时的取值,能发现什么性质? [生3]:当自变量取值为0时,所对的函数值为1.一般地指数函数xy a =当自变量x 取0时,函数值恒等于1.[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1),和底a 的取值没有关系.那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x 之间有什么关系?[生3]:由图象可以发现:当01a <<时,若0x >,则0()1f x <<;若0x <,则1()f x <. 当1a >时,若0x >,则()1f x >;若0x <,则0()1f x <<.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]: 函数2xy =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,函数3xy =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质. [师]:由此我们得到一般的结论, 函数xy a =与xy a -=的图象关于y 轴对称. [师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.01a << 1a >图 象性 质定义域 RR值域 ()0,+∞ ()0,+∞ 定点 ()0,1()0,1单调性 在(),-∞+∞上是减函数在(),-∞+∞上是增函数取值 情况 若0x >,则0()1f x << 若0x <,则1()f x <若0x >,则()1f x > 若0x <,则0()1f x <<对称性 函数x y a =与xy a -=的图象关于y 轴对称巩固与练习1根据指数函数的性质,利用不等号填空.(在屏幕上给出练习,让学生口答) ⑴()34 0,⑵15- 0,⑶07 0,⑷()4249- 0,⑸()22 1,⑹()47- 1,⑺1210- 1,⑻36 1.注:这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质:当01a <<时,①若0x >,则0()1f x <<②若0x <,则1()f x <;当1a >时①若0x >,则()1f x >②若0x <,则0()1f x <<的应用.这个知识点是比较重要的部分在后面的比较大小中常常用到,所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的.四.数学运用例1.比较大小⑴ 2.53.21.5,1.5 ⑵ 1.21.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8分析:[师]:前面我们讲了指数函数,好象和这个比大小没有关系.这几个也不是函数那怎么比较大小呢?先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢?[生]:单调性和大小有关,我们可以借助于指数函数的单调性老考虑,要比较大小的两个数可以看成指数函数() 1.5x f x =当x 取2.5,3.2时对应的函数值,再根据() 1.5xf x =在(),-∞+∞是单调增的就可以比较大小了.即:解: ⑴考虑指数函数() 1.5xf x =.因为1.51>所以() 1.5xf x =在R 上是增函数.因为2.53.2<所以2.53.21.5 1.5<[师]:很好,充分运用了指数函数的性质.下面的两个小题请两个同学上来板书.也是利用指数函数的性质.⑵考虑指数函数()0.5xf x =.因为00.51<<所以() 1.5xf x =在R 上是减函数.因为1.2 1.5->-所以1.2 1.50.50.5--<⑶由指数函数的性质知0.301.51.51>=,而1.200.80.81<=所以0.3 1.21.50.8>[师]:第⑵小题和⑴一样直接借助单调性即可解题,第⑶小题在考虑是就发现单调性不能直接应用,两个底不一样.但是借助一个中间变量1就可以把问题解决了. 例2.⑴已知0.533x ≥,求实数x 的取值范围; ⑵已知0.225x<,求实数x 的取值范围. 解:⑴因为31>,所以指数函数()3xf x =在R 上是增函数.由0.533x≥,可得0.5x ≥,即x 的取值范围为[)0.5,+∞⑵因为00.21<<所以指数函数()0.2xf x =在R 上是减函数,因为221250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以20.20.2x -<由此可得2x >-,即x 的取值范围为()2,-+∞. 五.回顾小结x y a =(0,1a a >≠),x R ∈).要能根据概念判断一个函数是否为指数函数.2.指数函数的性质(定义域、值域、定点、单调性).3.利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法,因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象. 教学反思:本节课较好地体现了以教师为主导,学生为主体,以知识为载体和以培养学生的思维能力,特别是研究问题能力为重点的教学思想。
3.1 指数函数-苏教版必修1教案1. 知识点概述指数函数是高中数学中的一重要内容,也是学生在以后学习数理化、工科和金融等领域所必须掌握的基础数学概念。
本教案以苏教版必修1中的指数函数为主要教学内容,为学生系统地讲解指数函数的定义、性质和一些相关的运算及特殊函数。
2. 教学目标1.理解指数运算的定义和性质;2.掌握指数运算的基本法则,包括指数幂、指数根以及指数函数的性质;3.能够解决与指数函数相关的各种应用问题。
3. 教学重点与难点3.1 教学重点1.指数运算的定义和性质;2.指数函数的定义、性质及一些特殊函数;3.应用指数函数解决实际问题。
3.2 教学难点1.合理引导学生理解指数幂、指数根、指数函数等基本概念;2.运用所学知识解决不同类型的实际问题。
4. 教学内容与方法4.1 教学内容4.1.1 指数的定义和性质1.了解指数的定义及相关术语;2.掌握指数运算中的乘方法则、除方法则、幂方法则;3.理解指数函数的定义、性质及指数函数的三要素;4.掌握指数运算中的指数根法则、指数函数的特殊函数。
4.1.2 指数函数1.理解指数函数及其基本性质;2.掌握指数函数的图像及其性质;3.理解指数函数的单调性,麦克劳林级数及指数函数的导数;4.掌握指数函数的极限性质。
4.1.3 指数函数的应用1.熟悉指数函数的实际应用领域;2.掌握指数函数的应用于增长和衰减的计算方法;3.掌握指数函数的应用于复利计算、指数增长及累计函数的方法。
4.2 教学方法1.课堂讲解结合生动的实例,揭示指数函数的本质;2.引导学生实际观察、总结规律、展开讨论;3.利用多媒体教具,结合视频、图表等多种展现形式,直观地呈现知识点。
5. 教学评估1.课堂随堂测试:每节课之后,设置三到五道题目,检验学生对当节内容的掌握情况;2.作业评估:每节课设置适量的作业量,检验学生对知识点的熟练掌握程度;3.期中考试和期末考试:检验学生对整个指数函数的掌握程度。
第20课时指数函数(三)教学目标:使学生了解函数图象的变换;能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题,培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯,体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点:函数图象的变换;指数函数性质的运用教学难点:函数图象的变换;指数函数性质的运用教学过程:教学目标(一)教学知识点1.指数形式的复合函数.2.指数形式复合函数的单调性.3.指数形式复合函数的奇偶性.(二)能力训练要求1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法.2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法.3.培养学生的数学应用意识.(三)德育渗透目标1.认识从特殊到一般的研究方法.2.用联系的观点看问题.3.了解数学在生产实际中的应用.●教学重点1.函数单调性的证明通法.2.函数奇偶性的证明通法.●教学难点指数函数的性质应用.●教学方法启发式启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明,但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧,以利于下一步的判断.在运用证明函数奇偶性的基本步骤对指数形式的复合函数的奇偶性证明时,应提醒学生考查函数的定义域是否关于原点对称,以培养学生的定义域意识,并引导学生得指数形式的复合函数判断奇偶性的常用等价形式,以帮助学生形成系统的知识结构.●教具准备幻灯片三张第一张:判断及证明函数单调性的基本步骤、判断及证明函数奇偶性的基本步骤(记作§2.6.3 A)第二张:例5证明过程(记作§2.6.3 B)第三张:例6证明过程(记作§2.6.3 C)●教学过程Ⅰ.复习回顾[师]上一节,我们一起学习了指数函数的性质应用,这一节,我们学习指数形式的复合函数的单调性、奇偶性的证明方法.首先,大家来回顾一下第二章第一单元所学的证明函数单调性、奇偶性的基本步骤.[生]判断及证明函数单调性的基本步骤: 假设→作差→变形→判断.[生]判断及证明函数奇偶性的基本步骤: (1)考查函数定义域是否关于原点对称;(2)比较f (-x )与f (x )或者-f (x )的关系; (3)根据函数奇偶性定义得出结论.(给出幻灯片§2.6.3 A ,老师结合幻灯片内容加以强调说明) [师]在函数单调性的证明过程中,“变形”是一关键步骤,变形的目的是为了易于判断,判断有两层含义:一是对差式正负的判断;二是对增减函数定义的判断.另外,在函数奇偶性的判断及证明过程中,定义域的考查容易被大家忽略,而函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件,大家应予以重视.下面,我们通过例题来一起熟悉并掌握证明函数单调性,奇偶性的方法. Ⅱ.讲授新课[例5]当a >1时,证明函数f (x )=11-+x x a a 是奇函数.分析:此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明,但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数范围内的指数幂运算性质.同时,应注意首先考查函数的定义域.证明:由a x -1≠0 得x ≠0故函数定义域{x |x ≠0}关于原点对称.又f (-x )=xxxx x x aa a a a a )1()1(11-+=-+---- =1111-+-=-+xx xx a a a a -f (x )=-11-+x x a a∴f (-x )=-f (x )所以函数f (x )=11-+x x a a 是奇函数.[师]对于f (-x )与f (x )关系的判断,也可采用如下证法:xx xx x x x x aa a a a a a a x f x f --=+-⋅-+=-----1111)()(=-1 即f (-x )=-f (x )评述:对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明,常利用如下的变形等价形式: f (-x )=f (x )⇔)()(x f x f -=1(f (x )≠0),f (-x )=-f (x )⇔)()(x f x f - =-1(f (x )≠0).这种变形的等价形式主要是便于实数指数幂运算性质,要求学生在解决相关类型题时,予以尝试和体会.[例6]设a 是实数,f (x )=a -122+x (x ∈R ) (1)试证明对于任意a ,f (x )为增函数; (2)试确定a 值,使f (x )为奇函数.分析:此题的形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明.还应要求学生注意不同题型的解答方法.(1)证明:设x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2则f (x 1)-f (x 2)=(a -)122()12221+--+x x a =12212212+-+x x =)12)(12()22(22121++-x x x x 由于指数函数y =2x 在R 上是增函数,且x 1<x 2,所以2122x x <即2122x x -<0又由2x >0得12x+1>0,22x+1>0所以f (x 1)-f (x 2)<0 即f (x 1)<f (x 2)因为此结论与a 取值无关,所以对于a 取任意实数,f (x )为增函数.评述:上述证明过程中,对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性. (2)解:若f (x )为奇函数,则f (-x )=-f (x ) 即a -)122(122+--=+-xx a 变形得:2a =1222)12(22++⋅+⋅-x x x x =12)12(2++x x 解得a =1所以当a =1时,f (x )为奇函数.评述:此题并非直接确定a 值,而是由已知条件逐步推导a 值.应要求学生适应这种探索性题型.Ⅲ.课堂练习已知函数f (x )为偶函数,当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-2x +1,求当x ∈(-∞,0)时,f (x )的解析式.解:设x ∈(-∞,0),则-x ∈(0,+∞),由x ∈(0,+∞)时,f (x )=-2x +1得f(-x )=-2-x +1又由函数f (x )为偶函数得 f (-x )=f (x )∴f (x )=-2-x +1.即当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-2-x +1. Ⅳ.课时小结[师]通过本节学习,要求大家进一步熟悉指数函数的性质应用,并掌握函数单调性.奇偶性证明的通法.Ⅴ.课后作业(一)1.课本P 75习题2.6 4.求证:(1)f (x )=2xx a a --(a >0,a ≠1)是奇函数;(2)f (x )=1)1(-+x x a xa (a >0,a ≠1)是偶函数.证明:(1)∵f (-x )=22xx x x a a a a ----=-=-f (x ) 即f (-x )=-f (x ),故f (x )2xx a a --=是奇函数.(2)f (-x )=1))(1(--+--xx a x a =-xx a x a -+1)1( =1)1(-+x x a x a =f (x )即f (-x )=f (x ),故f (x )=1)1(-+xx a xa 是偶函数. 2.已知函数f (x )=1212+-x x ,(1)判断函数f (x )的奇偶性;(2)求证函数f (x )在(-∞,+∞)上是增函数.(1)解:首先考查函数定义域R ,故定义域关于原点对称.又∵f (-x )=xx xx x x 2)12(2)12(1212+-=+-----=12122121+--=+-xx xx =-f (x ) 即f (-x )=-f (x ) ∴f (x )是奇函数. (2)证明:设x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=121212122211+--+-x x x x =)12)(12()12)(12()12)(12(211221+++--+-x x x x x x =)12)(12(12222122222112212121++++----+⋅x x x x x x x x x x=)12)(12()22(22121++-x x x x ∵x 1<x 2 ∴2122x x <∴2122x x -<0.又∵2>12,0x+1>0,22x+1>0∴)12)(12()22(22121++-x x x x <0 ∴f (x 1)-f (x 2)<0 即f (x 1)<f (x 2)∴f (x )在(-∞,+∞)上是增函数. (二)1.预习内容:课本P 76 2.预习提纲:(1)对数与指数有何联系? (2)对数式与指数式如何互化? ●板书设计Ⅰ.复习引入指数函数y=a x(a>0且a≠1)的定义、图象、性质:定义域、值域、单调性、奇偶性Ⅱ.讲授新课[例1]用计算器或计算机作出的图象,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系⑴y=2x+1与y=2x+2. ⑵y=2x-1与y=2x-2.活动设计:学生用计算器或计算机作出的图象,观察分析讨论,教师引导、整理解:⑴作出图象,显示出函数数据表比较函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的关系:从上表可以看出,y=2-3+1与y=2-2相等,y=2-2+1与y=2-1相等,y=22+1与y=23相等,…. 由此可知,将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象,将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象。
2.2.1 分数指数幂(2)教学目标:1. 理解正数的分数指数幂的含义,了解正数的实数指数幂的意义;2. 掌握有理数指数幂的运算性质,会进行根式与分数指数幂的相互转化,灵活运用乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简. 教学重点:分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简. 教学难点:分数指数幂含义的理解;有理数指数幂的运算和化简. 教学过程:一、情景设置1.复习回顾:说出下列各式的意义,并说出其结果 (1)364-= 532= (2)481= 481-=(3)()443=()556-= (4)102= 3122=2.情境问题:将102=25,3122=24推广到一般情况有:(1)当m 为偶数时,222m m=;(2)当m 为n 的倍数时,22m n mn=. 如果将2表示成2s的形式,s 的最合适的数值是多少呢? 二、数学建构1.正数的正分数指数幂的意义:m na = ( ) 2.正数的负分数指数幂的意义: mn a -= ( )3.有理数指数幂的运算法则:t s a a •= , ()ts a = ,()tab =三、数学应用 (一)例题:1.求值:(1)12100 ; (2)238 ;(3)329- (4)()3481-2.用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a >0)(1)2a a •; (2)332a a • ;(3)a a (4)33a a a小结:有理数指数幂的运算性质.3.化简:()22233622*********⎛⎫-+---- ⎪⎝⎭;4.化简:(1)()323xyxy(2)()222222223333x y x y x y xyxy--------+--≠+-.5.已知817,,2771a b =-=求221333341333339327a ab b a a ba a b++÷--的值. (二)练习:化简下列各式:1.733333815312a aa a a a ----•÷•÷•;2.()11122x x x x x --⎛⎫++- ⎪⎝⎭;3.12a b a b b b a ab ab a ab a ab ⎛⎫+--+•+ ⎪ ⎪+-+⎝⎭(a >0,b >0) 4.当18t =时,求131211333311111t t t t t t t t +--+-+++-的值 四、小结:1.分数指数幂的意义; 2.有理数指数幂的运算性质;3.整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用;4.指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂,同样可以推广到实数指数幂. 五、作业: 课本P 48-2,4,5.。
2.2.2指数函数(1)教学目标:1.掌握指数函数的概念(能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围),会作指数函数的图像;2.能归纳出指数函数的几个基本性质,并通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程,培养学生探究、归纳分析问题的能力.教学重点:指数函数的定义、图象和性质.教学难点:指数函数性质的归纳.教学过程:一、创设情境课本第45页的细胞分裂问题和第49页的古莲子中的14C的衰变问题.二、学生活动(1)阅读课本45页内容;(2)动手画函数的图象.三、数学建构1.指数函数的概念:一般地,函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数,它的定义域是R,值域为(0,+∞).练习:(1)观察并指出函数y=x2与函数y=2x有什么区别?(2)指出函数y=2·3x,y=2x+3,y=32x,y=4-x,y=a-x(a>0,且a≠1)中哪些是指数函数,哪些不是,为什么?思考:为什么要强调a>0,且a≠1?a≠1自然将所有的正数分为两部分(0,1)和(1,+∞),这两个区间对函数的性质会有什么影响呢?2.指数函数的图象和性质.(1)在同一坐标系画出112,,10,210xxx x y y y y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,观察并总结函数y =a x (a >0,且a ≠1)的性质.(2)借助于计算机技术,在同一坐标系画出y =10x ,110xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,52xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭等函数的图象,进一步验证函数y =a x (a >0,且a ≠1)的性质,并探讨函数y =a x 与y =a -x (a >0,且a ≠1)之间的关系.四、数学应用 (一)例题:1.比较下列各组数的大小:(1) 2.5 3.21.5,1.5 (2) 1.2 1.50.5,0.5-- (3)0.3 1.21.5,0.82.求下列函数的定义域和值域: (1)1218x y -= (2)y = (3)2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭3.已知函数f (x )=231xx a -+,g (x )=224xx a +-(a >0且a ≠1) ,若f (x )>g (x ),求x的取值范围.(二)练习:(1) 判断下列函数是否是指数函数:①y =2·3x ;②y =3x -1;③y =x 3; ④y =-3x ;⑤y =(-3)x ;⑥y =πx ;⑦y =3x 2;⑧y =x x ;⑨y =(2a -1) x (a >21,且a≠1).(2)若函数y=(a2-3a+3)·a x是指数函数,则它的单调性为.课后思考题:求函数2121xxy-=+的值域,并判断其奇偶性和单调性.五、小结1.指数函数的定义(研究了对a的限定以及定义域和值域)2.指数函数的图像3.指数函数的性质:(1)定点:(0,1);(2)单调性:a>1,单调增;0<a<1,单调减.六、作业课本P52-2,3.。
江苏省泰兴中学高一数学教学案(26)
必修1_02 指数函数(3)
班级 姓名 目标要求
1.熟练掌握指数函数的概念、图象、性质;
2.构建指数函数模型,解决实际问题,培养数学应用意识.
教学过程
一、复习引入:
1.指数的运算性质以及指数函数图象、性质:
2.设1)3
1(3131<<<a b )(,试比较a b a b a a ,,的大小关系 3.某种质量是1的放射性物质不断变化为其它物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.则这种物质的剩留量y 关于时间x 的函数为 。
4.函数)10()(≠>=a a a x f x 且对于任意的实数都有________________.
(1))()()(y f x f xy f = (2))()()(y f x f xy f += (3))()()(y f x f y x f =+ (4))()()(y f x f y x f +=+
二、典例欣赏:
例1 用清水漂洗衣服,已知每次能洗去污垢的34
,设漂洗前衣服上的污垢量为1,写出衣服上存留的污垢量y 与漂洗次数x 之间的函数关系式.若要使存留的污垢不超过原有的1%,则至少要漂洗几次?
例2 某种储蓄按复利计算利息,若本金为a 元,每期利率为r ,设存期是x ,本利和(本金加上利息)为y 元.
(1)写出本利和y 随存期x 变化的函数变化式;
(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,,试计算5期后的本利和.
例3 对于任意的R x x ∈21,,若函数x x f 2)(=,试比较
2
)()(21x f x f +与)2(21x x f +的大小关系.
例4 已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数。
(Ⅰ)求,a b 的值; (Ⅱ)若对任意的t R ∈,不等式22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围.
江苏省泰兴中学高一数学作业(26)
班级 姓名 得分
1、下列函数中,满足)(2)1(x f x f =+的是__________________. (1))1(21)(+=x x f (2)4
1)(+=x x f (3)x x f 2)(= (4) =)(x f x -2 2、函数1(0,1)x y a a a a
=->≠的图象可能是 .
3、上,为定义在)11()(-x f 的奇函数,当x<0时,142)(+=x x
x f ,则1
()2
f = . 4、已知2()(0)2x x
m f x m m =+>为偶函数,则m 的值是 . 5、已知函数||)(a x e
x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是
_________ . 6、定义运算()() , .
a a
b a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则函数()12x f x =*的值域为 . 7、函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在[1,2]上的最大值比最小值大
2
a ,则a 的值为 .
8、已知函数2()2933x x f x a a =⨯-+--,当01x ≤≤时,()0f x >恒成立,则实数a 的取值范围为_____ ___.
9、函数21121)(-+=
x x f .(1)判断)(x f 的奇偶性;(2)证明0)(≤x xf 恒成立.
10、一个电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a 个,计划从今年开始的m 年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p %,试写出此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式.
11、 求函数139+⋅-=x x m y 的最小值.
12、已知函数)(x f 对一切实数x 、y 满足以下两个条件:
(1))()()(y f x f y x f =+;(2)当x >0时,)(x f >1.
求证:(1)f (0)=1;(2))(x f 在R x ∈上是增函数.。