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常微分方程的边值问题常微分方程是数学中一个重要的分支，研究的是函数的导数与自变量之间的关系。
在实际问题中，常微分方程的解可以描述物理、工程、经济等领域的变化规律。
而边值问题是常微分方程中的一类特殊问题，它要求在给定的边界条件下求解方程的解。
一、边值问题的定义与分类边值问题是指在一定边界条件下求解常微分方程的解。
边界条件是一组给定的条件，它们通常是关于未知函数及其导数在一些特定点上的值或关系。
边值问题可分为以下两类：1. Dirichlet 边值问题：给定函数在边界上的值。
假设我们要求解的常微分方程为 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x)，边值问题可以表示为：y(a) = A，y(b) = B其中，a, b 是给定的自变量取值，A, B 是给定的常数。
2. Neumann 边值问题：给定函数在边界上的导数值。
假设我们要求解的常微分方程还是 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x)，边值问题可以表示为：y'(a) = A，y'(b) = B二、求解边值问题的方法求解边值问题有多种方法，其中比较常用的包括：1. 分离变量法这是一种基本的求解边值问题的方法。
通过将方程中的未知函数分离变量，得到一个关于自变量的方程和一个关于未知函数的方程，再分别求解这两个方程。
2. 特征值法对于某些特殊的边值问题，可以使用特征值法进行求解。
特征值法的关键在于将边值问题转化为一个特征值问题，通过求解特征值和特征函数来得到方程的解。
3. 迭代法对于某些复杂的边值问题，可以使用迭代法逐步逼近方程的解。
迭代法是通过不断逼近函数解来改善近似解的精度，从而得到较为准确的解。
三、常见的边值问题应用常微分方程的边值问题在实际应用中具有广泛的应用，下面列举几个常见的例子：1. 自由振动问题自由振动是常微分方程的一个典型应用，比如弹簧振子的运动可以用一阶线性常微分方程来描述。
微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。
二阶常微分方程为(,,),y f x y y a x b '''=≤≤(1.1)当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤(1.2)对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为(),()y a y b αβ==(1.3)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。
第二类边界条件为(),()y a y b αβ''==(1.4)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。
第三类边界条件为0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+=(1.5)其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。
微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。
1 打靶法介绍下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。
【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为(,,)()()y f x y y y a y a t α'''=⎧⎪=⎨⎪'=⎩(1.6)令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组(,,)()()y zz f x y z y a z a tα'=⎧⎪'=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (1.7)原问题转化为求合适的t ，使上述初值问题的解(,)y x t 在x b =的值满足右端边界条件(,)y b t β=(1.8)这样初值问题(1.7)的解(,)y x t 就是边值问题(1.1)、(1.3)的解。
第6节边值问题和本征值二阶常微分方程y =f(x,y,y )(a≤x≤b)的边值条件有:第一类:第二类:第三类:y(a)=α或y(b)=βy (a)=α或y (b)=βy (a)−α0y(a)=α1或y (b)+β0y(b)=β1微分方程加上第一、第二、第三边值条件,分别称为第一、第二、第三边值问题.1.边值问题的直接积分初值问题自变量是时间变量在起始点有两个条件边值问题自变量是空间变量两个边界上各有一个边界条件解法思路利用初值问题解法在任一边界上补充一个猜测的边界条件，按照初值问题来解方程，所得的解通常不会满足另一端的边界条件，需要改变猜测的边界条件或者对所得的解加以某些修正，重新解方程，直到找出解为止。
例题:电荷分布为ρ(r)=18πe−r求所产生的静电势Φ.静电势Φ满足泊松方程2Φ=−4πρ对于球对称的ρ和Φ,这个方程简化为1 r2ddrr2dΦdr=−4πρ作代换Φ(r)=r−1φ(r)上述方程化为d2φdr2=−4πrρ这种电荷分布的总电荷是Q=ρ(r)d3r=∞ρ(r)4πr2dr=1直接积分方程,得到的精确解是φ(r)=1−12(r+2)e−r由此可得静电势Φ=r−1φ.可以看出这个解的行为特性是：当r=0时它等于零，当r大时，φ→1,它相当于Φ→r−1即单位电荷产生的库仑势。
按照上面讨论,构成如下边值问题d2φdr2=−12re−rφ|r=0,φ|r→∞→1作为以原点为起点的初值问题已知φ(0)=0用解析解计算dφ/dr|r=0所用程序如下function bzwtr=0:0.1:20;s=-0.5*r.*exp(-r);%电势exact=1-0.5*(r+2).*exp(-r);dexact=exact(2)/0.1;[x,y0]=ode45(@bzfun,r,[0,dexact]);figure(1)plot(x,y0(:,1),r,exact,’:’)[x,y1]=ode45(@bzfun,r,[0,dexact+0.01]);m=(y1(end,1)-y1(end-10,1))/(x(end)-x(end-10)); phi=y1(:,1)-m*x;figure(2)plot(x,y1(:,1),x,phi,’-.’)function ydot=bzfun(x,y)ydot=[y(2);-0.5*x.*exp(-x)];图5.1(a)解析解的曲线与用精确解作启动值的数值解的曲线，两条曲线重合很好。
常微分方程边值问题求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。
亦即，设常微分方程为：对区间I上的点α1，α2，…,αk及值y(αi)，y┡(αi),…,y(n-1)(αi)(i=1,2,…,k,k>1)，给定了一些条件,求此方程在I上的满足这些条件的解的问题。
这些条件称为边界条件，诸αi及y(αi)、y┡(αi)、…、y(n-1)(αi) 称为边值或边界值。
当k=2，α1、α2是区间I的端点时,称为两点边值问题。
边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。
因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。
为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。
在有限区间上的边值问题两点边值问题以二阶常微分方程为例。
求二阶常微分方程(1)满足边界条件的解。
式中α、b为区间的端点,ƒ:【α,b】×R2→R是连续函数，R＝(-,)；αs,α▂,βs,β▂及γs(s=1,2)是给定的常数。
特别当γs=0 (s=1，2)时，(2)称为齐次边界条件。
(2)的特例有：方程(1)与(2┡)、(1)与(2″)及(1)与(2冺),所构成的边值问题分别称为第一边值问题、第二边值问题和第三边值问题。
例如,悬链线（图1）之形状是由第一边值问题所确定。
式中ρ为悬链线密度，g 为重力加速度，T为悬链线最低点张力。
又如，一端固定的细长悬梁（图2）弯曲的倾斜角φ（s）是由第二边值问题Bφ″(s)-P cosφ (s) = 0，φ(0)=0,φ┡（l）=0，所确定。
其中B为梁的刚性系数，P为自由端的铅直负载。
关于边值问题解的存在和惟一性问题，对线性方程，在理论上是容易解决的。
考虑第一边值问题(3)与(2┡)，其中p、q及r是【α,b】上的连续函数,设⑶的通解(4)式中y1、y2是(3)对应的齐次方程的基本解组；Y是(3)的特解；c1、c2是任意常数、为求边值问题(3)与(2┡)的解,只要将(4)代入(2┡)来确定c1、c2。
常微分方程边值问题解法
常微分方程边值问题解法：
常微分方程边值问题是指在一定区间内，给定一个微分方程的初始条件和边界条件，求解微分方程的解在这个区间内满足这些条件的问题。
常见的边值问题有两种类型：Dirichlet边界条件和Neumann边界条件。
解决常微分方程边值问题的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法：
1. 有限差分法：
有限差分法是利用差分近似替代微分，将微分方程转化为一组代数方程。
首先将区间离散化，将连续的函数转化为离散的数值，然后利用中心差分、前向差分或后向差分的方法，将微分方程变为代数方程组，最后利用线性代数的方法求解这个方程组。
2. 有限元法：
有限元法是将区间划分为若干个小的子区间，将微分方程转化为一组局部的代数方程组，然后将这些方程组组合成整个问题的全局方程组。
有限元法可以适用于更加复杂的边值问题，但是需要更多的计算量和更高的数学水平。
总之，常微分方程边值问题的解法有很多种，需要根据具体情况选择不同的方法。
本科科研训练论文常微分方程的边值问题学生姓名：郭骏学号：**********专业：数学及其应用数学年级：08级学院：理学院【摘要】边值问题是微分方程问题的一个类型。
在求解微分方程时，除了给出方程本身，往往还需给出一定的定解条件。
最常见的是初值问题，即给出的定解条件为初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区域的边界，如在一个区间讨论时，定解条件在区间的两个端点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
边值问题的提出和发展，与流体力学，材料力学，波动力学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。
【关键词】常微分方程边值问题研究目录第一章引言1.1常微分方程的起源和发展1.2常微分方程的内容1.3常微分方程的应用1.4 常微分方程的实例第二章常微分方程边值问题的研究2.1 边值问题的提出2.2 二阶线性常微分方程边值问题的可解性2.3 特征值问题参考文献第一章引言1.1 常微分方程的起源微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。
I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y┡=ƒ(x)的求解问题。
当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。
70年代随着数学向化学和生物学的渗透，又出现了大量的反应扩散方程。
常微分方程在我国的发展中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。
培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。
1.2 常微分方程的内容定义1 凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元方程的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下：F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 。
