南水北调工程水指标的分配问题

南水北调双水源供水方案1. 引言南水北调是一项规模宏大的水资源调配工程，旨在解决中国北方地区严重的水资源短缺问题。

为了保障北方地区持续稳定的供水，南水北调工程采用了双水源供水方案，即利用长江水源和珠江水源来进行供水。

本文将对南水北调双水源供水方案进行详细介绍。

2. 方案设计2.1 长江水源供水长江是中国最长的河流，水量丰富，供应水源可靠。

南水北调工程通过引江水的方式将长江水源引入北方地区。

具体的方案设计如下：1.水源选择：选取长江上游水质较好的地区进行取水，以确保供水水质符合国家标准；2.取水方式：利用引江工程，将长江水源引入通道，经过净化处理后分配到用户终端；3.水源调度：根据北方地区的供水需求和长江水源的水量状况，合理调度长江水源的供水量，保证供水的平稳和连续性；4.水源保护：加强长江水源的环境保护力度，减少水源污染源的影响，确保供水水质安全。

2.2 珠江水源供水珠江流域水量也较为丰富，是南水北调双水源供水的重要补充。

珠江水源供水方案设计如下：1.水源选择：选取珠江流域的适当地点进行取水，如深圳河源、韶关河源等；2.取水方式：建设引水渠道，将珠江水源引入北方地区，经过处理后分配到用户终端；3.水源调度：根据北方地区的供水需求和珠江水源的水量状况，合理调度珠江水源的供水量，确保供水的平衡和连续性；4.水源保护：加强珠江流域的环境保护工作，减少水源污染，保护水质安全。

3. 供水保障措施为了保障南水北调双水源供水的可靠性和稳定性，采取了以下措施：1.水质监测：建立水质监测网络，对取水源、供水通道和用户终端的水质进行监测，及时发现和解决水质问题；2.技术改造：定期对供水设备进行维护和升级，确保设备的正常运行和供水质量；3.多元补给：在供水通道设置临时取水口，便捷地调节和补给水源；4.库水调度：根据北方地区的需水量和水位情况，合理调节水库水位，保证供水的连续性和稳定性；5.灾害应对：建立应急响应机制，对自然灾害和突发事件做好应对措施，保证供水的安全性和连续性。

南水北调工程制定水量方案(一) 南水北调工程的背景南水北调工程是中国政府于20世纪90年代提出的一个重大战略性水利工程，它是一个国家级的大型综合性治理项目，是我国现代化水利工程的重要组成部分，也是继三峡工程之后的又一大型水利工程。

南水北调工程的目的是通过输水、调水，解决中国南方水资源丰富、北方水资源匮乏的问题，实现南方水资源向北方输送，以改善北方的水资源状况。

南水北调工程的实施，对于我国水资源的合理配置和生态环境的改善具有重要意义，也是中国水利工程史上的一项伟大创举。

(二) 水量方案的制定原则在制定南水北调工程的水量方案时，需要遵循一定的原则，以保证方案的科学合理性，确保水资源的有效利用和生态环境的保护。

具体的制定原则如下：1. 结合地区水资源状况：南水北调工程跨越多个地域，需要考虑各地区的水资源状况，根据实际情况确定输水、调水的水量。

2. 充分考虑生态环境：在确定水量方案时，必须充分考虑当地的生态环境，确保输水、调水不会对当地的生态环境造成严重影响。

3. 综合考虑社会经济效益：水量方案的制定应综合考虑南方和北方地区的社会经济效益，保证水资源的合理调配和有效利用。

4. 科学合理分配水资源：在南水北调工程的水量方案中，要遵循科学合理、公平公正的原则，为各地区提供合理的水资源。

5. 技术先进、安全可靠：在水量方案的制定中，需采用先进的技术手段，保证输水、调水的安全可靠性。

(三) 具体的水量分配方案在南水北调工程的水量方案确定中，需要制定具体的水量分配方案，以确保输水、调水的有效性和安全性。

具体的水量分配方案如下：1. 南水北调中线工程：南水北调中线工程是南水北调工程的主干工程，其水源地为长江，输水的目的地是北京市、天津市及河北省的部分地区。

水量方案的制定中，需充分考虑北京市、天津市及河北省的用水需求，确定合理的水量。

2. 南水北调东线工程：南水北调东线工程是南水北调工程的支线工程，其水源地为江苏省的近海地区，输水的目的地是山东省及河南省的部分地区。

南水北调西线工程解决方案南水北调西线工程的实施对于解决北方地区的水资源短缺问题有着重要的意义，但是其实施过程中也面临着种种困难和挑战。

为了有效解决这些困难和挑战，需要采取一系列的解决方案。

本文将对南水北调西线工程的解决方案进行详细阐述，以期为相关研究和实施工作提供参考。

一、技术方案1. 水资源调配技术南水北调西线工程的核心是水资源的调配，主要包括水的输送和分配两个方面。

在水的输送方面，需要采用高效的输水管道和输水设施，以确保输水的稳定和安全。

在水的分配方面，需要结合北方地区的实际需求，进行合理的水资源分配，确保水资源的合理利用和分配。

2. 生态环境保护技术南水北调西线工程的实施可能会对相关地区的生态环境产生一定的影响，因此需要采取一系列的生态环境保护技术，以减少工程对生态环境的不良影响。

这包括尽可能减少建设对生态环境的破坏，采取合理的生态修复措施，确保工程实施过程中对生态环境的影响最小化。

3. 水资源管理技术南水北调西线工程所涉及的水资源管理问题非常复杂，需要采用先进的水资源管理技术，以确保水资源的合理利用和管理。

这包括对输水过程进行有效的监测和管理，对分配过程进行合理的规划和管理，确保水资源的高效利用和管理。

二、政策方案1. 统一规划南水北调西线工程的实施涉及多个地区和部门，其中包括江苏、河南、山西、陕西等多个省份，多个地级市和县级市，涉及到多个部门和单位。

为了确保工程的顺利实施，需要制定一套完整的统一规划，统一组织和协调各方面的工作。

2. 优惠政策南水北调西线工程的实施需要大量的资金投入，其中包括建设费用、运行费用等多个方面。

为了吸引更多的社会资金参与工程建设，需要制定一系列的优惠政策，以降低企业参与成本，提高企业参与积极性。

3. 生态补偿南水北调西线工程的实施可能会对相关地区的生态环境产生一定的影响，需要采取一系列的生态补偿政策，以弥补生态环境受损的影响。

这包括对受损的生态环境进行适当的补偿和修复，以保障受影响地区的生态环境整体不受损害。

南水北调工程受水区资源优化配置汇报人：日期:•引言•南水北调工程受水区水资源现状分析目录•受水区水资源优化配置方案设计•受水区水资源管理政策建议•受水区水资源优化配置技术应用前景展望01引言受水区水资源短缺，制约了区域经济和社会发展。

资源短缺生态保护政策推动水资源短缺对生态环境造成不良影响，需要采取措施加以保护。

政府推动南水北调工程，为受水区资源优化配置提供了契机。

030201背景与意义通过研究南水北调工程受水区资源优化配置，为解决受水区水资源短缺问题提供科学依据。

研究目的如何合理配置受水区水资源，提高水资源利用效率，促进区域经济和社会可持续发展。

研究问题研究目的与问题本研究以南水北调工程受水区为研究对象，涉及多个省份和地区。

采用文献综述、实地调查、数学模拟等方法，对受水区水资源优化配置进行深入研究。

研究范围与方法研究方法研究范围02南水北调工程受水区水资源现状分析水资源总量与分布南水北调工程受水区水资源总量相对较少，难以满足区域内的生活和生产需求。

分布不均受水区水资源分布不均，部分地区水资源匮乏，而其他地区则相对丰富。

受水区的水质状况总体良好，但部分地区存在水质污染问题。

水质良好水质污染主要受到工业废水、农业污染、生活污水等因素的影响。

影响因素水质状况及影响因素受水区的水资源利用率较高，但存在过度开采和浪费的现象。

利用率较高受水区的需水量大于供水量，导致供需矛盾突出，影响区域经济发展和居民生活。

供需矛盾南水北调工程通过跨区域调水来解决受水区的缺水问题，但调水过程中也存在一些问题和挑战。

跨区域调水水资源利用现状及问题03受水区水资源优化配置方案设计目标实现受水区水资源的合理配置，提高水资源利用效率，保障区域经济社会的可持续发展。

原则坚持可持续发展的原则，以水资源优化配置为核心，统筹考虑水量、水质、水生态等多方面因素，确保受水区的生态安全和经济发展。

方案目标与原则内容：制定受水区水资源优化配置方案，包括水量分配、水质保障、水生态修复等方面。

南水北调工程的调水方案有哪些南水北调工程中线是我国南水北调工程的核心部分，主要任务是调剂汉江水资源，引水经数千公里长的干线输水渠道向北输水至黄淮海平原、北京天津、山西、河南等地，使南方丰水时节容易出现的河川洪水和湖泊库容充足的河流水源向北为缺水区及水资源极端紧张区进行调配。

其中中线工程一期主要负责以汉江水系的水资源为主，向黄淮海平原输水；中线工程二期主要负责以汉江水系以及长江主要支流为主，向北京城市、河北、河南等地输水；中线工程三期主要负责以长江主要支流为主，向山西、北京等地输水。

南水北调工程中线的调水方案主要包括水源地水库蓄水、引水、监测、调度等一系列技术措施。

南水北调工程东线主要负责解决长江中下游城市及农村地区供水问题，主要通过引水工程，把长江水资源调剂到长江流域城市和农村地区，缓解该地区水资源紧张大城市和提高城镇供水水量。

东线工程主要包括长江水源调配、工程渠道建设、水质监测等一系列技术。

南水北调工程西线主要负责解决三峡蓄水后江河干流段乾涸带水资源紧张和生态环境保护问题。

西线工程主要通过水资源调节工程，对干旱且水资源紧张区域进行引水调配，并在大规模地保护西线工程水源地生态环境条件下，有序提取长江上游地区水资源向干旱水资源紧张区域引水供给城乡居民和工农业用水。

南水北调工程的调水方案是南水北调工程建设的核心技术，是广大水利工程技术工作者经过长期不懈努力的科研成果，是广大水利工程建设者付出辛勤汗水的结晶。

南水北调工程中线、东线和西线三大调水方案的实施，大大缓解了我国干旱北方地区的水资源紧张状况，为城乡居民提供了丰富的饮用水资源，为工农业发展提供了丰足的用水资源，为改善生态环境提供了坚实的保障。

南水北调工程的调水方案是南水北调工程不断向前发展的坚实基础，是南水北调工程科学、技术和实践的有力证明，具有重大的现实意义和历史意义。

南水北调工程的调水方案为中国水利事业发展指明了方向，为中国水利工程建设积累了丰富的经验，为中国水利工程进一步提升科学水平提供了强大的支撑。

南水北调工程的调水方案一、南水北调工程的背景和意义南水北调工程是中国现代化基础设施建设中的重点工程，是中国政府积极应对水资源短缺问题的一项重要举措。

南水北调工程的建设目标是通过调剂长江水、黄河水和珠江水资源，解决华北地区和北京市等北方地区的水资源短缺问题，保障城市供水和农田灌溉用水的需求，推动北方地区的经济社会发展，改善人民生活水平，促进全国经济的协调发展。

南水北调工程的成功实施对中国的可持续发展和国家安全具有重要意义。

二、南水北调工程的调水方案南水北调工程的调水方案是基于长江、黄河和珠江三大水系的特点和实际情况，通过输水定额和供水排水互济的方式，合理调剂南方水资源，满足北方城市和农田的用水需求。

南水北调工程的调水方案主要包括三大调水方式。

1. 中线调水中线调水是南水北调工程的主要调水方式之一，主要利用长江水资源，通过中线工程将长江水调送到黄淮海地区和华北平原地区。

中线工程起于江苏省扬州市，止于北京市居庸关水库，全长约1233公里，是南水北调工程中最长的一条调水通道。

中线工程主要分两大干线，即以保障北京市的城市供水和华北平原的灌溉用水。

2. 东线调水东线调水是南水北调工程的另一主要调水方式，主要利用珠江水资源，通过东线工程将珠江水调送到福建、江西、安徽、河南等地区。

东线工程起于广东省粤西地区，止于江苏省苏北地区，全长约1691公里，主要满足福建、江西等省的城市供水和灌溉用水需求。

3. 西线调水西线调水是南水北调工程的辅助调水方式，主要利用黄河水资源，通过西线工程将黄河水调送到山西、河南等地区。

西线工程起于黄淮海地区，止于甘肃省中部地区，全长约526公里，主要满足河南省的城市供水和农田灌溉用水需求。

三、南水北调工程的调水原则南水北调工程的调水方案是基于一系列的调水原则制定的，主要包括以下几点。

1. 均衡调配南水北调工程的调水方案要均衡调配南水资源，努力实现南北调水地区之间的南水资源共享和互利互惠，争取形成南北水资源统一规划和统一调度管理的良好局面。

浅谈南水北调工程为我国水资源分配合理配置摘要：我国地域辽阔，南北水资源分配不均匀，北方水资源较为贫乏，近些年来北方城市用水较缺的现象逐渐凸显，基于此，本文论述了南水北调工程如何实现我国水资源的合理配置。

关键词：南水北调；水资源；合理配置引言南水北调工程作为我国首次规模巨大的水资源调配，尽管从上个世纪五十年代提出到现在投入建设已经经历了半个多世纪的发展，但是在水资源调配的工程建设与运行方面都缺乏经验。

很多类似南水北调的水资源的空间调配在国际舞台上早就有运用并且取得了很大的成功，例如墨西哥的南水北调工程、俄罗斯的北水南调工程等都是很好的成功例子。

尽管这些调水工程对发展带来了很好基础条件，但是如果问题考虑不周也会造成隐患，其中俄罗斯的北水南调工程就因为缺乏实践探讨，造成喀拉海的水量减少并对周边民众造成影响。

我国水资源南多北少，分配不合理，南水北调工程可以弥补局部水资源不合理的情况，我国南水北调工程包括东线、西线、中线三条总干渠。

其中，东线是从长江下游调水往烟台、威海；西线缓解西北地区用水包括雅砻江、通天河、大渡河三条引水线。

中线直接从长江的支流丹江口调水往北京、天津。

1、南水北调工程概况1.1、南水北调工程概况南水北调是举世注目的一项特大型跨流域调水工程,是实现我国水资源战略布局调整、优化水资源配置、解决黄、淮、海平原、胶东地区和黄河上游地区特别是津、京、华北地区缺水问题的一项特大基础设施。

南水北调工程从长江下游、中游、上游分别引水,形成了东、中、西三线的总体布局。

作为一个历史悠久的农业大国,我国人均水资源仅有世界人均水量的四分之一,被列入13个主要贫水国的行列,而且水资源在空间分布上南多北少,极不平衡。

特别是20世纪90年代以来,随着国民经济的发展,本来水资源不足的北方地区水资源供应状况更是捉襟见肘。

北方广大地区水荒严重,水资源供需矛盾日益加剧,黄河下游断水频繁,水环境持续恶化,这已成为我国经济社会发展中的严重制约因素,南水北调工程上马已显得十分迫切。

河北省水利厅关于下达2024年4月南水北调中线工程
水量调度方案的通知
文章属性
•【制定机关】河北省水利厅
•【公布日期】2024.03.26
•【字号】
•【施行日期】2024.03.26
•【效力等级】地方规范性文件
•【时效性】现行有效
•【主题分类】水利综合规定
正文
河北省水利厅关于下达2024年4月南水北调中线工程水量调
度方案的通知
石家庄、廊坊、保定、沧州、衡水、邢台、邯郸、定州、辛集市水利(水务)局,雄安新区建设和交通管理局,河北省水务中心:
根据南水北调中线工程水情、工情和我省年度水量调度计划,结合各市2024年4月水量调度计划建议,我厅研究制定了2024年4月南水北调中线工程水量调度方案,现下达你们,请认真组织实施。

附件:河北省2024年4月南水北调中线工程水量调度方案
河北省水利厅
2024年3月26日
附件：
河北省2024年4月南水北调水量调度方案。

《南水北调东线一期工程水量调度方案（试行）》一、页《南水北调东线一期工程水量调度方案（试行）》二、目录1.页2.目录3.摘要4.背景和现状分析4.1南水北调东线一期工程概述4.2当前水资源分配情况4.3现有调度方案的局限性5.项目目标5.1优化水资源分配5.2提高水资源利用效率5.3确保水资源的可持续性6.7.三、摘要本方案针对南水北调东线一期工程的水量调度进行详细规划，旨在解决现有水资源分配不均、利用效率低下等问题。

通过优化调度策略，提高水资源利用效率，确保水资源的可持续性，为区域经济发展和生态环境保护提供有力支持。

四、背景和现状分析4.1南水北调东线一期工程概述南水北调东线一期工程是我国为解决北方地区水资源短缺问题而实施的大型水利工程。

工程起点位于江苏扬州，终点在天津，全长约1,200公里。

工程自2013年通水以来，对缓解北方地区的水资源紧张状况起到了重要作用。

4.2当前水资源分配情况目前，南水北调东线一期工程的水量分配主要依据行政区域需求和季节性变化进行。

然而，这种分配方式存在一定的不合理性，导致部分区域水资源过剩，而其他区域则面临水资源短缺的问题。

4.3现有调度方案的局限性现有的水量调度方案主要依赖于人工经验和历史数据进行决策，缺乏科学性和精确性。

调度方案未能充分考虑生态环境保护和区域经济发展的需求，导致水资源利用效率低下，对生态环境造成一定影响。

五、项目目标5.1优化水资源分配通过引入先进的水资源管理技术和方法，建立科学的水量调度模型，实现水资源的合理分配。

确保各区域在满足基本生活需求的同时，兼顾工业和农业用水的需求。

5.2提高水资源利用效率通过实施精细化管理，提高水资源的利用效率。

通过监测和数据分析，及时调整水量分配策略，减少水资源的浪费。

5.3确保水资源的可持续性在水量调度过程中，充分考虑生态环境保护和区域经济发展的需求，确保水资源的可持续利用。

通过科学合理的水量调度，促进区域经济的可持续发展，同时保护和改善生态环境。

南水北调中线沿线水资源配置影响因素南水北调中线是中国大型水利工程南水北调工程的重要组成部分，也是解决北方缺水问题的重要举措之一、沿线水资源配置是南水北调中线工程实施过程中必须要考虑的重要问题，涉及到多方利益，影响因素也很多。

本文将从地理因素、人口因素、环境因素、经济因素等几个方面分析南水北调中线沿线水资源配置的影响因素。

首先，地理因素是南水北调中线沿线水资源配置的重要因素之一、中国地理形势复杂多样，地势高低落差大，地形从西南向东北逐渐丘陵、平原过渡。

南水北调中线沿线地势起伏大，水资源丰富的地区与资源相对匮乏的地区相互交错。

因此，南水北调中线的水资源配置需要考虑地理条件，尽量选择高地势、水资源相对丰富的地区作为调水源地，以便更好地保障调水量和水质。

其次，人口因素也是南水北调中线沿线水资源配置的重要因素之一、人口分布不均匀是中国的特点，北方地区的人口众多，而水资源不足，南方地区的人口相对较少，而水资源相对丰富。

南水北调中线工程旨在解决北方缺水问题，因此，在沿线水资源配置上需要充分考虑北方地区的人口需求，保证人民生活用水和农业用水的需求得到满足。

再次，环境因素也是南水北调中线沿线水资源配置的重要因素之一、水资源的保护和环境的整体治理是南水北调中线工程的重要目标之一、因此，在沿线水资源配置过程中需要充分考虑生态环境的需求，保护好原有的水生态系统，避免水资源调配对生态环境造成不良影响。

同时，需要建立健全的环境保护制度和保护措施，加强水资源的监测、评估和管理，保证沿线地区的水资源可持续利用。

最后，经济因素也是南水北调中线沿线水资源配置的重要因素之一、经济发展与水资源之间存在着密切关系，经济的发展需要大量的水资源支持，而水资源的供应又需要充足的经济资金投入。

南水北调中线沿线水资源配置需要兼顾经济效益与社会效益，综合考虑投资回报率、水资源调配效益以及人民生活水平等因素，使水资源配置既满足经济发展的需求，又能够保证供水量和水质的安全。

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‘南水北调’水的分配摘要本文讨论了关于南水北调中线工程建成后如何对水资源进行合理分配的问题。

南水北调中线工程主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水。

设计合理的配水方案，对城市环境的改善，经济的发展和人民生活水平的提高都有这极大的促进作用。

配水方案主要从生活用水，工业用水和综合服务业用水三方面来考虑。

模型一主要根据按需分配的原则，建立线性规划模型，对水资源进行有效分配。

其中，生活用水是人民生活是人民生活质量的保障，从人人平等的角度出发，在建立模型过程中始终按每个城市人口数量的进行分配，保证人均分配的用水量始终相等，不夹杂利益因素。

模型二，在人均生活用水配比相同的条件下，考虑到使各个城市的均衡发展，缩小城市与城市之间的贫富差距，我首先引入了最小供需比的限制条件，确保在获取最大经济效益的同时，保证每个城市都至少都能获得最低限度的配水保障。

从这个角度，建立非线性规划模型来确定合理的配水方案。

模型的改进方面，考虑到工业和综合服务业的规模的限制因素，我们在模型二的基础上根据全国工业产值和综合服务产业产值的的年增长率情况，对模型二的增长率进行了调整，使模型变得更加合理，并再次建立规划模型对其进行求解。

一、 问题的提出南水北调中线工程建成后，预计2012年的调水量为118亿立方米，主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水。

用水指标的分配原则是：改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平。

生活用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为40％、38％和22％。

因为各城市的人口数量差异很大，各城市的生活、工业和综合服务业的用水情况不同，相同的供水量所产生的经济效益也不同。

本文需要我们从保障人民生活用水和经济发展的角度，给出2012年的调水量的分配方案。

二、 问题的分析南水北调水的分配方案主要从各城市生活用水、工业用水和综合服务业用水这三方面考虑。

在改善城市居民生活环境的前提下，考虑如何对水资源进行充分利用，使工业，服务业的总产值达到最大。

我国南水北调工程的调水方案南水北调工程是我国为解决北方地区水资源紧缺问题而进行的一项重大工程。

该工程凭借雄厚的技术实力和工程经验，成功实现了长江水资源向黄河、海河、淀山湖等地的调水转移，极大地缓解了北方地区的水资源短缺压力，为我国的经济发展和人民生活带来了巨大的效益。

南水北调工程的调水方案，是一项复杂而统筹全局的工程规划。

该方案涉及水源地选择、输水渠道设计、水质保障和灌溉利用等多个层面，需要科学的数据支持和全面的工程实施。

一、水源地选择南水北调工程的首要问题是选择合适的水源。

根据地质分布及水资源分布情况，选址位于长江中下游的湖北荆州、湖南岳阳、江苏扬州等地，通过大型水利枢纽和引水工程，将长江水资源引入黄河、海河、淀山湖等地，供应缺水地区的用水需求。

二、输水渠道设计输水渠道的设计是南水北调工程的核心环节。

该工程充分利用地形地貌和水资源条件，设计多条输水渠道，采用地下管道、大型水利枢纽和引水渠等方式，实现长江水资源跨越数百公里的输送。

在渠道的设计中，需要考虑水质保障、输水量计算以及输水距离对输水损失的影响，确保水源能够高效地输送到目的地。

三、水质保障长江水源的水质保障是南水北调工程的重中之重。

为了确保输送的水源水质符合国家饮用水标准，工程设计中需要设立水质监测点和水质监测设备，实时监测输水过程中的水质情况，对水源进行灭菌、净化等处理，确保输送的水源水质达标。

四、灌溉利用南水北调工程的水源不仅用于城市居民的生活用水，还可以用于农田的灌溉利用。

通过设计灌溉设施和渠道，将引入的长江水源用于北方地区的农田灌溉，提高农业用水效率，增加农田灌溉面积，改善北方地区的农田生态环境。

南水北调工程的调水方案，是一项综合性的工程规划，需要科学的规划和严谨的执行。

该工程的实施，为缓解北方地区水资源短缺问题，保障国家经济发展和人民生活提供了强有力的支持。

同时，该工程也提高了我国水利发展的技术水平、丰富了工程实践经验，为未来的水利工程规划和实施提供了宝贵的借鉴和经验。

南水北调工程水资源与区域平衡随着人口的增长和经济的发展，中国面临着严峻的水资源问题。

一方面，北方地区水资源短缺，长期面临着缺水的困境；另一方面，南方地区则存在着水资源的过剩和灾害性洪涝的问题。

为了解决这一问题，中国实施了南水北调工程。

本文将围绕南水北调工程展开，重点探讨其对水资源与区域平衡的影响。

1. 南水北调工程的背景1.1 中国水资源的现状中国作为人口大国，水资源的供需矛盾十分突出。

北方地区缺水，南方地区水资源丰富，但同时又容易受到洪涝灾害的影响。

这种水资源的不均衡分布，给中国的可持续发展带来了很大的难题。

1.2 南水北调工程的意义南水北调工程的实施对于解决中国水资源短缺的问题具有重要意义。

通过调水的方式，将南方水源输送到北方地区，既可以缓解北方地区的缺水问题，又可以充分利用南方地区的水资源。

2. 南水北调工程的实施情况2.1 工程的主要内容南水北调工程主要由三大通道组成，即中线、东线和西线。

其中，中线是最核心的通道，负责将长江水源引入到北京市等华北地区。

2.1.1 中线通道中线通道全长约1436公里，主要包括引水渠道、水库和泵站等。

这个通道的建设需要克服地势跨越、水源水质、水土保持等诸多难题。

2.1.2 东线通道东线通道全长约约1779公里，主要负责将长江水源引导到中国东部的山东、江苏等地。

该通道的建设涉及到大规模的水源调整和通航项目的建设。

2.1.3 西线通道西线通道全长约2661公里，主要负责将长江水源引导到中国西部的四川、陕西等地。

该通道的建设需要克服地质条件复杂和跨越大川大山等困难。

2.2 工程的实施进展南水北调工程自2002年开始实施以来，已经完成了大部分的规划和建设工作。

目前，中线和东线已经全面通水，西线则还在建设中。

南水北调工程的实施进展为中国缓解了水资源短缺的问题提供了有力的保障。

3. 南水北调工程对水资源的影响3.1 资源利用的最优化南水北调工程的实施，使得南方地区的水资源得到了更加充分的利用。

南水北调西线工程调水方案南水北调西线工程是一项极为重要的国家水利工程，旨在解决我国西北地区严重缺水问题，实现西部大开发和人口集中区域的生态环境改善。

南水北调西线工程自2000年启动以来，经过多年的规划和建设，已经取得了一系列的成果，但是由于西部地区的严重水资源匮乏，南水北调西线工程的水资源调配方案仍然面临一系列的挑战和难题。

因此，为了更好地解决西部地区的水资源问题，需要制定科学合理的调水方案。

本文将围绕南水北调西线工程调水方案展开论述，探讨如何实现有效的水资源调配和保障西部地区的水资源供应。

一、背景分析西北地区地处中国幅员辽阔的大陆板块内陆处，受气候因素影响较大，降水分布不均匀，地貌起伏大，河湖湿地资源稀缺，而且气候干旱，水资源短缺。

特别是人口密集的黄土高原地区、内蒙古地区、陕西省、甘肃省等地区，水资源供应严重不足，致使当地人民生活和生产受到了很大的影响。

南水北调西线工程作为解决西部地区水资源问题的重大举措，已经成为了解决西部地区水资源问题的重要途径。

南水北调西线工程起于长江三峡水库，经三峡水库引水入渠，长江经由山西陕西共建长江流域调水工程，进入京杭大运河，并通过京杭大运河向东南沿线供水，最后抵达北京、天津等地区。

这一工程极大地改善了东部地区的水资源状况，但是西部地区的水资源问题依然突出。

因此，南水北调西线工程需要制定合理的调水方案，实现水资源有效调配，保障西部地区的水资源供应。

二、水资源调配方案1、提高输水效率南水北调西线工程的首要任务是确保输水效率，减少水资源浪费。

针对输水过程中的输水损耗、蒸发蓄水损耗等问题，需要建立科学的输水环节综合管控体系，采取一系列有效措施，提高输水效率。

具体包括加强输水管道的维护和管理，优化输水工艺，大力推进输水管道的智能化监控，实现输水过程的精准化管理，提高输水效率。

2、建设水资源调配工程南水北调西线工程需建设一系列水资源调配工程，以实现水资源的调配和供应。

这些调配工程包括新建水库、改造既有水库、修建引水渠道、设置各类泵站、修建供水管网等。

南水北调工程水量调度方案南水北调工程是中国大型的基础设施项目之一，其主要目的是通过引水调节北方地区的水资源短缺问题。

南水北调工程包括中线和东线两个主要分部，中线工程从三峡水库引水，向北调水；东线工程则从长江下游的江苏辖区引水，向北调水。

而南水北调工程的水量调度方案是至关重要的，因为它直接关系到调水的效率和安全。

本文将围绕南水北调工程的水量调度方案展开讨论。

首先，南水北调工程的水量调度需要考虑的因素有很多。

一方面，需要考虑地区的水资源需求情况。

随着经济的发展和人口的增加，北方地区对水资源的需求将逐渐增加，因此南水北调工程需要不断地根据实际情况进行水量的调整。

另一方面，需要考虑的是南水北调工程调水的运输能力。

如果水量过大，会造成南水北调工程的运输系统负荷过重，甚至可能导致管道的破裂和泄漏。

因此，在制定水量调度方案时，需要综合考虑这些因素，使得调水既能满足北方地区的需求，又不至于对南水北调工程的运输系统造成过大的压力。

其次，南水北调工程的水量调度需要考虑的是季节性变化。

由于季节性变化，北方地区对水资源的需求也存在明显的季节性变化。

夏季是北方地区的用水高峰期，而冬季则是用水低谷期。

因此，在水量调度方案中，需要根据不同的季节性需求，合理地分配调水的水量，使得调水能够更加有效地满足北方地区的用水需求。

再次，南水北调工程的水量调度需要充分考虑环境保护的因素。

南水北调工程引水跨越了数百公里的地区，在水量调度过程中，还需要充分考虑对周边生态环境的影响。

如果过量调水，可能会对当地生态环境造成不可逆转的破坏。

因此，水量调度方案需要综合考虑经济效益和生态环境的平衡，尽量减少对生态环境的不良影响。

最后，南水北调工程的水量调度需要充分利用现代科技手段。

随着信息技术的发展，南水北调工程也可以利用现代科技手段进行水量调度。

例如，通过引入智能水位监测系统和远程控制技术，可以实现对水量调度过程的实时监测和精确控制。

这不仅可以提高调水的效率，也可以减少调水过程中可能出现的问题。

南水北调的优化分配21、黄晓瑜3陈才兴、任冠峰(韶关学院、广东、韶关512005)1.韶关学院03级数学与应用数学本科班2.韶关学院02级数学与应用数学本科班3.韶关学院03级信息技术本科（1）班摘要本文从保障人民生活用水和经济发展的角度出发，在保障人民生活用水的前提下，把2010年的水资源分配问题归结为以经济效益为目标函数的线性规划问题，再以工业与服务业增长率的限制为约束条件，得出了主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市在生活用水、工业用水、综合服务业用水方面的分配比例，得到用水分配的最大经济效益为19950亿元．关键词：线性规划；增长率；取水量．1.问题的重述南水北调中线工程建成后，预计2010年的调水量为110亿立方米，主要用来改善经过京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的用水．用水指标的分配原则是：改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平．生活用水、工业用水和综合服务业用水的分配比例分别为40%、38%和22%．要从保障人民生活用水和经济发展的角度，给出2010年的调水量的分配方案．应注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在10年内无限增长，要适当照顾各城市经济发展的均衡．2.模型假设1）认为这些城市10年内人口增长率不变; 2）不用地下水回填; 3）原有供水总量不变;4）设题目中万元工业增加值用水量为万元工业增加值取水量; 5）水的分配比例为调水量的分配比例.3.符号约定)0(i P ，)1(i P 分别为城市i 2000年、2010年人口总数；i Pr 为城市i 人口增长率； )0(i I ，)1(i I 分别为城市i 2000年、2010年工业增加值； i Ir 为城市i 工业增加值年增长率；)0(i S ，)1(i S 分别为城市i 2000年、2010年的综合服务业人均产值；i Sr 为城市i 综合服务业年增长率；)0(i X ，)1(i X 分别为城市i 2000年、2010年的人均生活用水量（未调水）；i x 为城市i 2010年生活用水调水量；)0(i Y ，)1(i Y 分别为城市i 2000年、2010年的万元工业增加值用水量（未调水）；i y 为城市i 2010年工业调水量；)0(i Z ，)1(i Z 分别为城市i 2000年、2010年的万元综合服务业用水量（未调水）；i z 为城市i 2010年综合服务业调水量；以上i x ，i y ，i z 为未知量，其余为已知量或由已知量直接计算出的量．4.问题分析4.1生活用水保障人民生活用水,要求2010年人均生活用水量不比2000年的人均生活用水量少，即]1)Pr 1[(10)0()0(-+≥i i i i P X x ．算得≥i x 3.48亿方水，而2010年的生活调水量为44亿方水．随着城市化水平的提高等因素，城市总需水量将随着人口总量的稳定而减缓增长速率．但44亿方水较3.48亿大得多，故有足够的生活用水量．4.2工业用水我国的工业用水总量正处在一个慢速增长时期，同时工业增加值年年增长，则万元工业取水量要下降．我国的万元工业用水增加值取水量过高，约为发达国家的3—7倍．可以查得在十五规划中，到2005年全国平均万元工业增加值取水量要达到170立方米，2010年达到120立方米．而发达国家达到20立方米．2010年工业万元增加值取水量等于2000年的工业取水量除以2010年的预计工业增加值（不考虑调水），即=)1(i Y )0()0(i i I Y /[])1(10)0(i i Ir I +，(I=1,2,3,……,20)．由于到2010年万元工业增加值取水量改变了，故原来2000年的分水量也要改变，工业用水总量为2000年的工业用水加上2010年调水量（110亿方水）的38%． 4.3综合服务业用水由于综合服务业用水与当地服务业资源有密切联系，其万元综合服务业用水量不会有很大变化，故假设万元综合服务业增加值用水量不变．5.模型的建立与求解5.1生活用水的分配：由于]1)Pr 1[(10)0()0(-+=i i i i P X x =3.48亿方水，有足够的生活用水．在保障生活用水的前提下，可考虑按照2000年各城市生活用水的分配比例．即4.0110201)0()0()0()0(⨯=∑=i ii i i i PXP X x由此可得2010年各城市生活用水的比例分配．如下表（1）5.2工业用水和综合服务业用水的分配：由问题分析有2010年的万元工业增加值取水量为=)1(i Y )0()0(i i I Y /[])1(10)0(i i Ir I +得2010年的万元工业增加值取水量表如下：（表2）情况不同，相同的供水量所产生的经济效益也不同，从经济效益的角度出发，求获得最高的经济效益时的调水量．同时注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在10年内无限增长，要适当照顾各城市经济发展的均衡．由此可知对每个城市的经济发展有上限和下限的约束．2000年工业用水总量为66.17亿方水．可得以下的数学模型（其中决策变量为i y ，i z ）： max ∑=201)1(/i ii Yy +∑=201)1(/i ii Zzs.t.38.0110201⨯=∑=i iy+66.17 （1）22.0110201⨯=∑=i iz（2）≤i y )10(%)171(4)1(10)0(-⨯+i i Y I （3） )10]()1000/Pr 1(%)151([4)0()0()0(10)0()0(10)0(-⨯-+⨯+⨯≤i i i i i i i Z P S P S z （4）≥i y )10(%)1(4)1(101)0(-⨯+i i Y I η （5） )10]()1000/Pr 1(%)1([4)0()0()0(10)0()0(102)0(-⨯-+⨯+⨯≥i i i i i i i Z P S P S z η （6）i y ，i z ≥0 (=i 1,2,3……，20) （7）约束条件说明： 第（1）（2）式是分水比例的约束； 第（3）（4）式是考虑到城市发展稳定性， 每个城市的工业增加值年发展速率<17%，每个城市的服务业人均产值发展速率<15%； 第（5）（6）式是考虑到城市发展的均衡性， 每个城市的工业增加值年发展速率>1η%， 每个城市的服务业人均产值发展速率>2η%，1η,2η是在有解的情况下给出的，取1η=5%，2η=2%，这些发展率都是关于决策变量的函数．其中)1(i Y 是2010年的万元工业增加值用水量（未调水），由表（2）可得．)1(i Z 是2010年的万元综合服务业用水量（未调水），与2000年的万元综合服务业用水量的值相同．i y 、i z 的单位是（亿方水）．这是一个线性规划模型，使用MATLAB 中的linprog 函数来求解,可得最优值为19950亿元，其中工业用水获利18967亿元，综合服务业用水获利983亿元． 可解得一个分水比例，但有些城市的工业用水在2000年时分配的比2010年时还多，显然不满足各城市发展的均衡．应考虑加上约束条件使得2010年比2000年工业用水增加量大于零．即≥i y )10(4)0()0(-⨯i i Y I ． （8）加上这个数据之后，可解得2010年在工业用水和综合服务业用水的比例分配，如下表（表３）虽然有些城市的在工业用水分配方面为零，但由于2010年万元工业增加值用水量比2000年的减少了，这也是可以理解的．6.模型的分析和改进：模型在考虑“每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在10年内无限增长”和“要适当照顾各城市经济发展的均衡”时是以控制发展率的角度来着手的，给出的分配中有些城市在工业用水方面没有新增分水量，多少会引起部分城市的不满．但这样分水是可以理解的，由于科技的发展，2010年万元工业增加值用水量比2000年的减少了，工业的经济的发展率并没有降低，这是从获得最大的经济效益的大局考虑出发的结果．也可以这样考虑，可限制各城市用于工业增加值和综合服务业的调水量在2000年平均值的50%~150%的范围内，这样给出了上下限的约束，使得分水尽量均匀的同时也抑制了工业和服务业的无限制发展．模型给出了发展率的约束，但在10年内工业和综合服务业是如何发展的问题并没有解决，可以建立一个动态规划模型得10年内发展的最优计划，但变量将增多．7.参考文献[1]姜启源，《数学模型》（第三版），北京，高等教育出版社，2003年[2]韩中庚，《数学建模方法及其应用》，北京，高等教育出版社，2005年8.附录c=[ -0.02 -0.0417 -0.0256 -0.0333 -0.0233 -0.0175 -0.0313 -0.0217 -0.0208 -0.0105 -0.0119 -0.0135-0.013 -0.012 -0.0385 -0.0137 -0.0123 -0.0123 -0.0119-0.0149 -0.0028 -0.0048 -0.0041 -0.0031 -0.0054-0.0056 -0.0037 -0.0061 -0.0043 -0.0031 -0.0045-0.0057 -0.0063 -0.004 -0.0061 -0.0056 -0.0065-0.0061 -0.0068 -0.005];a=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1];b=[107.97 24.2];vlb=[ 6.0025 2.889 1.2261 1.3096 3.362 2.3769 2.4186 1.4162 5.63731.7022 0.4926 1.1692 1.3044 0.9058 1.3129 0.8561 1.5041 1.39861.13572.3028 12.883.0338 0.138 0.1905 0.0548 0.0821 0.73390.0354 0.1085 0.1283 0.0532 0.0295 0.0746 0.1763 0.5409 0.07190.0758 0.019 0.0356 0.0931];vub=[17.713 8.5254 3.6181 3.8647 9.9213 7.0141 7.1372 4.1791 16.6365.0231 1.4536 3.4503 3.8493 2.6731 3.8743 2.5265 4.4386 4.12713.3513 6.7954 165.1 37.501 1.4123 2.14 0.6158 0.9164 8.37420.4159 1.3105 1.4113 0.5623 0.3295 0.8352 1.9206 6.2292 0.79220.8339 0.21 0.4166 1.0456];[x,lam]=lp(c,a,b,vlb,vub)。

线性规划方法目录1 线性规划的模型 (150)1.1 问题的引入 (150)1.2 线性规划模型的一般形式 (151)1.3 线性规划模型的标准型 (151)2 线性规划解的概念与理论 (152)2.1 线性规划解的概念 (152)2.2 线性规划解的基本理论 (153)3 线性规划的求解方法 (153)3.1 初始基可行解的确定 (153)3.2 寻找另一个基可行解 (154)3.3 最优性检验的方法 (154)4 线性规划的对偶问题 (155)4.1 对偶问题的提出 (155)4.2原问题与对偶问题的关系 (156)4.3 对偶单纯形法 (157)5 线性规划的灵敏度分析 (158)5.1 市场条件（价值系数）C的变化分析 (158)5.2 资源条件b变化的分析 (159)5.3 工艺条件（技术系数）A的变化分析 (159)6 南水北调水指标的分配问题 (160)6.1 问题的提出 (160)6.2 模型的假设与符号说明 (162)1. 模型的假设 (162)2. 符号说明 (162)6.3 问题的分析 (163)6.4 模型的建立与求解 (164)问题（1）: (164)问题（２）： (165)7 参考案例与参考文献 (167)1. 参考案例 (167)2. 参考文献 (167)实际中所研究的优化问题，一般都是要求使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的“最优”包括“最好”、“最大”、“最小”、“最高”、“最低”、“最多”、“最少”等等，这类问题统称为最优化问题，解决这类问题的最常用方法就是线性规划方法．目前，因为线性规划有着非常完备的理论基础和有效的求解方法，所以线性规划在实际中应用是十分广泛的，譬如像合理地分配、使用有限的资源（经济、人力、物资等），使能够获得“最优效益”等问题．1 线性规划的模型1.1 问题的引入设某企业现有m 种资源),,2,1(m i A i =用于生产n 种产品),,2,1(n j B j =，每种资源的拥有量和每种产品所消耗的资源量，以及单位产品的利润如表10-1，试问如何安排生产计划使得该企业获利最大？建立数学模型：表10-1设产品j B 产量为),,2,1(n j x j =，称之为决策变量，所得的利润为z ，则要解决的问题的目标是使得（总利润）函数∑==nj jj x c z 1有最大值．决策变量所受的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤∑=),,2,1(0),,2,1(1n j x m i b x a jnj i j ij于是问题可归结为求目标函数在约束条件下的最大值问题．显然的目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数，即有下面的线性规划模型目标函数：∑==nj jj x c z 1max约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤∑=),,2,1(0),,2,1(1n j x m i b x a jnj i j ij （1）一般地，如果问题的目标函数和约束条件关于决策变量都是线性的，则称该问题为线性规划问题，其模型称为线性规划模型．1.2 线性规划模型的一般形式线性规划模型的一般形式为∑==nj jj x c z 1(min)maxs.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥==≥≤∑=),,2,1(0),,2,1(),(1n j x m i b x a jnj i j ij也可表示为矩阵形式⎩⎨⎧≥=≥≤⋅⋅=0),(..(min)max X b X A X C t s z向量形式⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥≤⋅=∑=0),(..(min)max 1X b P X C nj j j x t s z其中),,,(21n c c c =C 称其为目标函数的系数向量；Tn x x x ),,,(21 =X 称其为决策向量；T m b b b ),,,(21 =b 称其为约束方程组的常数向量；n m ij a ⨯=)(A 称其为约束方程组的系数矩阵；),,2,1(),,,(21n j a a a Tm j j j j ==P 称其为约束方程组的系数向量．1.3 线性规划模型的标准型线性规划模型的标准型规定为X C ⋅=z max （2）⎩⎨⎧≥=⋅0X b X A ..t s （3） 对于非标准型的线性规划模型都可以化为标准型，其方法如下：（1）目标函数为最小化问题：令z z -='，则X C ⋅-=-='z z min max ；（2）约束条件为不等式：对于不等号“)(≥≤”的约束条件，则可在“)(≥≤”的左端加上（或减去）一个非负变量（称为松弛变量）使其变为等式．（3）对于无约束的决策变量：譬如),(+∞-∞∈x ，则令x x x ''-'=，使得0,≥'''x x ，代入模型即可．2 线性规划解的概念与理论2.1 线性规划解的概念（1）解：称满足约束条件（（3）式）的解Tn x x x ),,,(21 =X 为线性规划问题的可行解；可行解的全体构成的集合称为可行域，记为D ；使目标函数（（2）式）达到最大的可行解称为最优解．（2）基：设系数矩阵n m ij a ⨯=)(A 的秩为m ，则称A 的某个m m ⨯阶非奇异子矩阵)0(≠B B 为线性规划问题的一个基．不妨设)()(21m m m ij a P ,,P ,P B ==⨯，则称向量),,2,1(),,,(21m j a a a T m j j j j ==P 为基向量，其它的称为非基向量；与基向量对应的决策变量),,2,1(m j x j =称为基变量，其它的变量称为非基变量．（3）基解：设问题的基为),,,()(21m m m ij a P P P B ==⨯，将约束方程组变为∑∑+==-=nm j jjmj jj xx11P b P （4）在方程组（4）的解中令),,1(0n m j x j +==，则称解向量Tm x x x )0,,0,,,,(21 =X 为线性规划问题的基解．（4）基可行解：满足非负约束条件的基解称为基可行解．（5）可行基：对应于基可行解的基称为可行基．2.2 线性规划解的基本理论定理1 如果线性规划问题(2),(3)存在可行域，则其可行域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==∑=nj j j j x x XD 10,b P是凸集．定理2 线性规划问题(2),(3)的任一个基可行解X 必对应于可行域D 的一个顶点． 定理3 （1）如果线性规划问题(2),(3)的可行域有界，则问题的最优解一定在可行域的顶点上达到．（2）如果线性规划问题(2),(3)的可行域有无界解，则问题可能无最优解；若有最优解也一定在可行域的某个顶点上达到．3 线性规划的求解方法根据线性规划的解的概念和基本理论，求解线性规划可采用下面的方法：求一个基可行解；检查该基可行解是否为最优解；如果不是，则设法再求另一个没有检查过的基可行解，如此进行下去，直到得到某一个基可行解为最优解为止．现在要解决的问题是：如何求出第一个基可行解？如何判断基可行解是否为最优解？如何由一个基可行解过渡到另一个基可行解？解决这些问题的方法称为单纯形法．其基本步骤如下：3.1 初始基可行解的确定如果线性规划问题为标准型（即约束方程全为等式），则从系数矩阵n m ij a ⨯=)(A 中观察法总可以得到一个m 阶单位阵m E ．如果问题的约束条件的不等号均为“≤”，则引入m 个松弛变量，可化为标准型，并将变量重新排序编号，即可得到一个m 阶单位阵m E ；如果问题的约束条件的不等号为“≥”和“=”，则首先引入松弛变量化为标准型，再通过人工变量法总能得到一个m 阶单位阵m E ．综上所述，取如上m 阶单位阵m E 为初始可行基，即m E B =，将相应的约束方程组变为m i x a x a b x n in m im i i ,,2,1,11 =---=++令),,1(0n m j x j +==，则可得一个初始基可行解T m T m b b b x x x )0,,0,,,,()0,,0,,,,(21)0()0(2)0(1)0( ==X3.2 寻找另一个基可行解当一个基可行解不是最优解或不能判断时，需要过渡到另一个基可行解，即从基可行解T m x x x )0,,0,,,,()0()0(2)0(1)0( =X 对应的可行基),,,(21m P P P B =中替换一个列向量，并与原向量组线性无关．譬如用非基变量)1(m n t t m -≤≤+P 替换基变量)1(m l l ≤≤P ，就可得到一个新的可行基),,,,(1111m l t m l P ,P P P ,P B ++-=，从而可以求出一个新的基可行解T m x x x )0,,0,,,,()1()1(2)1(1)1( =X，其方法称为基变换法．事实上⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤≤≤=⎩⎨⎧=≠-=+m n t m l m i l i l i x xt m i i i1,1,,2,1,,,)0()1( θθβ其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>==++≤≤+0min ,,)0(1,)0(t m i t m i i m i t m l l x x βββθ，∑=++=m i i t m i t m 1,PP β．如果Tm x x x )0,,0,,,,()1()1(2)1(1)1( =X 仍不是最优解，则可以重复利用这种方法，直到最优解为止．3.3 最优性检验的方法假设要检验基可行解T m T m b b b x x x )0,,0,,,,()0,,0,,,,(21)1()1(2)1(1)1( '''==X的最优性．由约束方程组对任意的Tn x x x ),,,(21 =X 有mi x a b x jnm j iji i ,,2,1,1='-'=∑+=将基可行解)1(X和任意的T n x x x ),,,(21 =X 分别代入目标函数得∑∑=='==mi i i mi ii b c xc z11)1()0(∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+==+===+=+==+==-+='-+'=+'-'=+==nm j jj jmi nm j jmi iji ji i mi nm j jjnm j jij i i mi nm i ii i i n i i i x z czxa c cbc x cxa b c xc x c x c z1)0(111111111)1()()()(其中),,1(1n m j a c z mi iji j +='=∑=．记),,1(n m j z c j j j +=-=σ，则∑+=+=nm j jjx z z1)0()1(σ（5）注意到：当0>j σ时就有)0()1(z z ≥；当0≤j σ时就有)0()1(z z ≤．为此，jj j z c -=σ的符号是判别)1(X 是否为最优解的关键所在，故称之为检验数．于是由（5）式可以有下面的结论：（1）如果),,1(0n m j j +=≤σ，则)1(X 是问题的最优解，最优值为)0(z ；（2）如果),,1(0n m j j +=≤σ，且至少存在一个)1(0m n k k m -≤≤=+σ，则问题有无穷多个最优解，)1(X是其中之一，最优值为)0(z；（3）如果),,1(0n m j j +=<σ，则)1(X 是问题的唯一的最优解，最优值为)0(z ；（4）如果存在某个检验数)1(0m n k k m -≤≤>+σ，并且对应的系数向量k m +P 的各分量),,2,1(0,m i a k m i =≤+，则问题具有无界解（即无最优解）．4 线性规划的对偶问题4.1 对偶问题的提出将1.1节中提出的实际问题从相反的角度提出：假设有B 企业要将A 企业的资源和生产权全部收买过来，问题是B 企业至少应付多少代价，才能使A 企业愿意转让所有资源和生产权？事实上，要让A 转让的条件是：对同等数量的资源出让的代价不应低于A 企业自己生产的产值，即若用i y 表示B 收买A 的一个单位第i 种资源时付出的代价，则A 出让生产一个单位第j 种产品资源的价值不应低于生产一个单位第j 种产品的产值j c 元，即),,2,1(1n j c y aj mi i ij⋅⋅⋅=≥∑=对B 企业，希望花最小的代价将A 的所有资源及生产权收买过来，即问题为⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅=≥=∑∑==),,2,1(0),,2,1(min 11m i y n j c y a y b w i j mi i ij mi ii （6）或{}0,min ≥≥⋅⋅=Y C A Y b Y w这也是一个线性规划问题，问题(6)称为问题(1)的对偶问题，问题(1)称为对偶问题(6)的原问题，即二者为相互对偶的问题．4.2原问题与对偶问题的关系原问题与对偶问题的关系如表10-2．正面看是原问题，顺时针旋转90度看是对偶问题．如果约束条件中的不等号反向或为等式，对偶问题的变化情况如表10-3．表10-2：原问题与对偶问题的关系表 10-3 注意：使用此表时总是视为最大化问题为原问题，最小化问题视为对偶问题，否则会容易出错．设线性规划的原问题为{}0,m a x≥≤⋅=X b AX X C z ，相应的对偶问题为{}0,m i n ≥≥⋅⋅=Y C A Y b Y w ，则有如下性质：（1）对偶问题的对偶问题是原问题．（2）如果原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解，反之不然．（3）设Xˆ是原问题的可行解，Y ˆ是对偶问题的可行解，且b Y X C ⋅=⋅ˆˆ，则X ˆ和Y ˆ分别是原问题和对偶问题的最优解．（4）如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解，且有w z min max =．4.3 对偶单纯形法根据对偶问题的性质和原问题与对偶问题的解之间的关系，原问题的检验数是对偶问题的基解，求解中通过若干步的迭代后，当原问题检验数为对偶问题的基可行解时，则也就得到了原问题和对偶问题的最优解．迭代中主要是根据检验数的符号判断是否得到了最优解．对偶单纯形法的步骤：（1）根据所给问题化为标准型，并写出相应的对偶问题；注：无需引入人工变量，初始解可以不是可行解，在迭代的过程中可逐步靠近可行解，最后达到可行解，即为最优解．（2）检验是否得到最优解：即检验b 列数据i )(1b B -),,2,1(m i ⋅⋅⋅=和检验数j σ),,1(n m j ⋅⋅⋅+=的符号：如果0)(1≥-i b B ，且0≤j σ，则已得到最优解，停止计算； 如果存在0)(1<-i b B ，且0≤j σ，则进行下一步．（3）确定换出变量：求{}li i i)(0)()(min 111b B b B b B ---=<，对应的基变量l x )1(m l ≤≤为换出变量．（4）确定换入变量：检查l x 所在的行的各系数),,2,1(n j a lj ⋅⋅⋅=的符号： 如果),,2,1(0n j a lj ⋅⋅⋅=≥，则问题无可行解，停止计算；如果至少存在一个0<lj a ，则计算lk klj lj j j a a a σσθ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<=0min )1(n k m ≤≤+，对应的 非基变量k x 为换入变量．（5）以lk a 为主元素，用初等变换法，将系数矩阵中的k 列元素与l 列元素对换（即将第k 列中除l 行元素为1外，其它都为0），即得到新的矩阵．重复上面的（2）~（5），直到得到最优解为止． 对偶单纯形的特点：（1）原问题的初始解不需要是可行解，因此，不必引进人工变量，使计算简化；（2）当变量的个数多于约束条件的个数时，用对偶单纯形法可大大减少工作量，因此，当问题的变量个数少，而约束条件个数多时，可以将问题转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解；（3）在对偶单纯形法中，找到一个可行的初始解较困难，因此，一般对偶单纯形法不单独使用，多用于整数规划和灵敏度分析中．5 线性规划的灵敏度分析在线性规划模型{}0,max ≥=⋅=X b AX X C z 中，我们总是假设A ，b ，C 都是常数，但 实际中这些数值许多都是由试验或测量得到的试验值和预测值，特别是在迭代计算中也都是近似值．一般A 表示工艺条件，b 表示资源条件，C 表示市场条件，实际中多种原因都可能引起它们的变化．现在的问题是：这些系数在什么范围内变化时，使线性规划问题最优解不变？这就是灵敏度分析要研究的问题．5.1 市场条件（价值系数）C 的变化分析设C 中的第k 个元素k c 发生变化，即k k kc c c ∆+='，其它不变，问题是：当k c 在什么范围变化时使问题的最优解不变？（1）若k c 是非基变量k x 的系数，则对应的检验数为k k k c P B C B 1--=σ，于是k k k kc c P B C B 1--∆+='σ．当0≤'k σ，即k k k k k c c c -⋅=-≤∆-P Y P B C B 1σ． （2）若k c 是基变量k x 的系数，当k c 有改变量k c ∆时，即k k kc c c ∆+='，则)0,,,,0,0(,⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅=∆∆+='k B B B Bc C C C C ，其相应的检验数为 AB A BC C A B C A B C C A B C C B B ⋅⋅⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅-⋅⋅-=⋅⋅∆-⋅⋅-=⋅⋅'-='-----11111)0,,,,0,0(k B Bc σ即),,2,1(1n j a c P B C c kj k j B j j ⋅⋅⋅=∆--='-σ当0≤'j σ时，问题的最优解不变，故有01≤∆---kj k j ja c c P B C B ，即0≤∆-kj k j a c σ． 于是，当0<kj a 时，),,2,1(n j a c kjjk ⋅⋅⋅=≤∆σ；当0>kj a 时，),,2,1(n j a c kjjk ⋅⋅⋅=≥∆σ．故k c ∆的允许变化范围为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<≤∆≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>0min 0max kj kj j j k kj kj j ja a c a a σσ5.2 资源条件b 变化的分析设b 中的第k 个元素k b 发生变化，即k k kb b b ∆+='，其它系数均不变，则问题的解变化为Tk B b )0,,,,0,0(),(1⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅=∆∆+='-b b b B X ．当0≥'BX 时，检验数不变，则最优基（最优解对应的基）不变，但最优解的值要发生变化．下面考查k b ∆在什么范围变化时，最优解变化不大．因为新的最优解为b B b B b b B X ∆+=∆+='---111)(B，所以),,2,1(),,,,(),,,,()0,,,,0,0(1111m i a a a b b a b a b a b T mk ik k k Tk mk k ik k k Tk ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆=∆⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅∆=⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅⋅=∆--B b B则最后求得的b 列元素为),,2,1(0m i b a b k ik i ⋅⋅⋅=≥∆+，即),,2,1(m i b b a i k ik ⋅⋅⋅=-≥∆，其中i b 为b B 1-的元素．注意到：当0>ik a 时，),,2,1(m i a b b ikik ⋅⋅⋅=-≥∆；当0<ik a 时，),,2,1(m i a b b ikik ⋅⋅⋅=-≤∆．故k b ∆的允许变化范围为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-≤∆≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-0min 0max ik ik i i k ik ik i i a a b b a a b5.3 工艺条件（技术系数）A 的变化分析设A 的l 行k 列元素lk a 有改变lk a ∆．（1）当lk a 所在的列向量为非基向量时，lk a ∆不影响解的可行性，只要对应的检验数01≤∆-='-lk k ka B C B σσ，则可得k lk a σ≥∆-1B C B ，即k lk k a σ≥∆βC B ，其中),,,,(11m k βββB ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-．于是，当0>⋅k βC B 时，k klk a βC B σ≥∆；当0<k βC B 时，k klk a βC B σ≤∆．（2）当lk a 所在的列为基变量时，由于lk a ∆不仅影响解的可行性，而且会影响解的最优性，情况比较复杂，对具体问题只具体分析了．6 南水北调水指标的分配问题6.1 问题的提出南水北调中线工程建成后，预计2010年年调水量为110亿立方米，主要用来解决京、津、冀、豫四省（市）的沿线20个大中城市的生活用水、工业用水和综合服务业的用水，分配比例分别为40％、38％和22％．这样可以改善我国中部地区的生态环境和投资环境，推动经济发展．用水指标的分配总原则是：改善区域的缺水状况、提高城市的生活水平、促进经济发展、提高用水效益、改善城市环境．根据2000年的统计数据，各城市的人口数量差异大，基本状况和经济情况也不相同．各城市现有的生活、工业和综合服务业的用水情况不同，缺水程度也不同（如表10-4）．表10-4：现有的基本情况要研究的问题是：（1）请你综合考虑各种情况，给出2010年每个城市的调水分配指标，使得各城市的总用水情况尽量均衡．（2）由于各城市的基本状况和自然条件不同，对相同的供水量所产生的经济效益不同，请从经济效益的角度，给出调水指标的分配方案．但是，要注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在短时间内无限制的增长．6.2 模型的假设与符号说明1. 模型的假设(1) 原有供水量基本保持不变；(2) 人口自然增长率、工业增加值年增长率和综合服务业人均产值年增长率基本保持不变；(3) 所给工业增加值年增长率、综合服务业人均产值年增长率是在现有的供水条件下的值，即投入的水量按当年的万元用水量产生经济效益．2. 符号说明)0(i P ，)1(i P 分别表示第i 个城市的2000年，2010年的人口总数；i Pr ——第i 个城市人口自然增长率；)0(i I ，)1(i I 分别表示第i 个城市2000年，2010年的工业增加值； i Ir 表示第i 个城市工业年增长率；)0(i S ， )1(i S 分别表示第i 个城市2000年，2010年的综合服务业人均产值；i Sr 表示第i 个城市综合服务业年增长率； i W 表示第i 个城市2010年的分配用水量；)0(i X ，)1(iX 分别表示第i 个城市2000年，2010年的人均生活用水量；)0(iY ，)1(iY 分别表示第i 个城市2000年，2010年的万元工业增加值用水量；)0(iZ，)1(i Z 分别表示第i 个城市的2000年，2010年的万元综合服务业用水量；i x 表示分配第i 个城市的生活用水总量指标；i y 表示分配第i 个城市的工业用水总量指标；i z 表示分配第i 个城市的综合服务业用水总量指标；a ，b ，c 分别表示生活用水，工业用水，综合服务业用水的分配比例．6.3 问题的分析对于问题（1），要求各城市的总用水情况尽量“均衡”，而各城市现有的三项用水指标各不相同，因此，我们把“均衡”定义为各城市新增加供水量与原有供水量的比例相等．对于问题（2），需要给出一个供水指标的优化分配方案，这可以通过建立线性规划模型来实现．首先，根据各城市的实际数据，可以计算出2010年的每个城市的工业和综合服务业万元产值用水量．工业万元增加值用水量为()()()20,,2,11110)0(10)0()0()0()1( =+=+⋅⋅=i Ir Y Ir II Y Y i i i ii i i即2010年工业万元增加值用水量等于2000年的工业用水总量除以2010年的预计工业增加值（不考虑调水的情况下）．那么，调水后用于工业产生的经济效益等于工业的调水总量除以万元增加值用水量，即()20,,2,1)1( ==i Y y GI i i i ．对于综合服务业可得到类似地结果：()20,,2,1)1( ==i Z z GS i i i其中()()()20,,2,1)1(1)1(11010)0(1010)0()0()0()1( =++=++⋅⋅=i Pr Sr Z Pr Sr SS Z Zi i i i i ii i i．然后，以调水量产生的工业和综合服务业效益总值为最大化目标，调水总量为约束，建立线性规划模型．注意到，工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在短时间内无限制的增长．因此，要适当考虑各城市的工业和综合服务业的均衡发展，即调水量不应过分集中．参照问题（1），引入各城市调水量与原有供水量的比值（工业和综合服务业）作为衡量指标，并限制每个城市的用于工业和综合服务业的调水指标都不能低于平均值（问题（1）的计算结果）的50％．将这一约束加入到线性规划模型中，即可求得分配方案．6.4 模型的建立与求解问题（1）:首先确定2010年受益城市的生活用水、工业用水、综合服务业平均增长的比例分别为1λ、2λ、3λ．由假设可有生活用水：()∑∑==+⋅⋅=⨯⨯+⋅2011)0()0(8201)0()0(14.010110i i i i iiP X P Xλ工业用水：()∑∑==+⋅⋅=⨯⨯+⋅2012)0()0(8201)0()0(138.010110i i i i iiI Y IYλ综合服务业用水：()∑∑==+⋅⋅=⨯⨯+⋅2013)0()0(8201)0()0(122.010110i i i i iiS Z SZλ则求解得∑=⋅⨯⨯=201)0()0(814.010110i iiP Xλ，∑=⋅⨯⨯=201)0()0(8238.010110i iiIYλ，∑=⋅⨯⨯=201)0()0(8322.010110i i i S Zλ表10-5：问题（１）调水分配方案经计算可得 1.30111=λ，63169.02=λ，56856.03=λ．然后，按照“均衡”原则可以计算出各城市的生活用水、工业用水、综合服务业用水的分配指标，即)20,,2,1(1)0()0( =⋅⋅=i P X x i i i λ)20,,2,1(2)0()0( =⋅⋅=i I Y y i i i λ )20,,2,1(3)0()0( =⋅⋅=i S Z z i i i λ故分配用水总量为)20,,2,1( =++=i z y x W i i i i ,计算结果如表10-5．问题（２）：根据上面对问题的分析，生活用水指标与问题（１）相同，只需讨论工业和综合服务的调水指标．由于各城市的基本状况和自然条件的差异，对相同的供水量所产生的经济效益不同，从经济效益的角度力求对调水指标有最高的经济效益．同时注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在短时间内无限制的增长．由此可知，对每个城市的调水指标都应有上限和下限的约束．于是，2010年最优的调水分配指标应满足下面的线性规划模型：目标函数为总的经济效益最大，即∑∑∑∑====+=+=201)1(201)1(201201max i i i i i i i i i i Z zY y GS GI G其约束条件为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤⋅≤≤⋅≤⨯⨯=⨯⨯=∑∑==)20,2,1(0,5.15.05.15.01011022.01011038.03)0()0(32)0()0(282018201 i z y S Z zI Y y z y i i i i i ii i i i i i λλλλ其中()10)0()1(1i i i Ir Y Y +=，()()20,,2,1)1(11010)0()1( =++=i Pr Sr Z Zi i i i．这是一个较复杂的线性规划模型，使用Matlab 的linprog 函数求解可得最优值为1810375806.7⨯=G ．具体的调水分配方案如表10-6所示． 结合实际，万元用水量较低说明水资源的利用率较高，增长率较高说明有较大的发展空间。