变限积分的求导公式及其应用

学园┃ACADEMY 2012年10月 第19期

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变限积分的求导公式及其应用

周少波 雷冬霞 程生敏 华中科技大学数学与统计学院

【摘 要】本文针对学生难以掌握的变限定积分的最为一般的求导公式，给出了学生易于理解和接受的一元函数的证明，并用实例展现了这一公式在微积分及其后继课程中的重要应用，有力说明了向学生介绍这一公式的重要意义。

【关键词】变限积分 求导公式 极限 应用

【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）19－0051－02 一 引言

在微积分及其后继课程中，经常会涉及对变限定积分的求导的运算，其中包括积分上下限含有变量，或者被积函数含有除积分变量之外的变量。对于上下限含有变量，一些教材给出了相应的计算公式，如［1，2］给出了公式（5），但是没有明确的推导过程，学生很难接受，导致用时有困难。对于被积函数含有除积分变量之外的变量时，却没有明确的公式，一些教材或参考书给出了一些计算技巧。例如，()F x =

2

()()x x t f t dt −∫

，被积函数含有变量x 求导数时，一般可以采用

分项求导的办法，2

2

2

2

()()()()()x x x x F x xf t dt tf t dt x f t dt tf t dt =−=−∫∫∫∫， 再用公式求导。又如，2

()()x F x x t f x t dt −−∫()=，采用换元u ＝x －t ，2

()()()x

F x x t f x t =−−∫2

()x x

x

dt uf u du −=−∫，

再应用公式（5） 求导。利用分项或换元的办法，虽然可以解决一部分变限求导问题，但并不能解决任何形式的变限定积分的求导，特别是当被积函数含有多个变元而又不能分离变量时，用上面的方法就失效了。又如在解偏微分方程时，经常会遇到现变限多重积分的解，当验证解的正确性时，就涉及变限多重积分的求导，面对这样的积分，学生更是无能为力。例如无界

弦强迫振动问题的解()

0()1(,)2t x a t x a t f d d a

ττξτξτ++−−∫∫。这是一个变限

二重积分，显然，上述换元或分项的办法在此失效。在研究动力系统的稳定性时，也会经常遇到变限积分求导的问题，因而我们很有必要为学生提供最为一般的求导公式，并给出学生易于理解和接受的证明方法。本文正是基于这一公式的重要性和其广泛应用，给出了这一公式基于一元函数的证明方法，并给出其应用，以供大家参考。

二 变限定积分求导公式及其证明

变限积分的被积函数涉及二元函数，在此我们利用变量代换将其转换成一元函数，避免了在一元微积分中偏导数的引入，利用一元微积分学知识就证明了变限积分的求导公式，有了证明才能使学生更好地使用这一公式。

定理1：假设α（x ），β（x ）在有限区间［a ，b ］上可微，f （x ，t ）在区域D ＝{（x ，t ）∶α（x ）≤t ≤β（x ），a ≤x ≤ b }上连续，且f （x ，t ）关于x 的导数(,)

df x t dx

也在D 上连续， 则有下面一般的Leibniz 求导公式：

()()''

()

()(,)()((),)()((),t)+x x x x d d f x t dt x f x t x f x dx dx ββααββαα=−∫∫ (,)f x t dt （1）

证明：为了避免在一元微积分中引入二元函数及其偏导 数的概念，不妨记()

()

()(,),()(),x x F x f x t G x F x dt βα==∫，由定积分

的可加性，可以得到：

()()

()

()

()()()()x x x x x x G x x G x F x x dt F x dt ββαα+Δ+Δ+Δ−=+Δ−∫

∫

(+)

()

()

()

()()x x x x x F x x dt F x x dt βββαΔ=+Δ++Δ∫

∫

()

()

x x x αα+Δ+∫

()

()

()()x x F x x dt F x dt βα+Δ−∫

(+)(+)

()

()

()()x x x x x x F x x dt F x x dt βαβαΔΔ=+Δ−+Δ∫

∫

()

()

x x βα+∫

[()()]F x x F x dt +Δ−

按照导数的定义，可以得到：

'0

()()

()lim

x G x x G x G x x

Δ→+Δ−=Δ

()()

()()

0011lim

()lim ()x x x x x x x x F x x dt F x x dt x x βαβα+Δ+ΔΔ→Δ→=+Δ−+ΔΔΔ∫∫01lim x x Δ→+Δ()()

[()()]x x F x x F x dt βα

+Δ−∫ （2）

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〔责任编辑：王以富〕