周益春-材料固体力学习题解答6-1

第一章习题1 证明δ-e 恒等式jtks kt js ist ijke e δδδδ-=[证明]()()()jtks kt js ktjs jtks jtks ktjs jtks kt js itjs jtis ki it ks ktis ji jtks kt js ii ktks ki jtjsjiitis ii ist ijk e e δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=-++--=-+---==33习题2 证明若jiij ji ijb b a a -==;，则0=ij ijb a[证明]jiij jiijbb aa-==; jiji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ijb a b a b a b a又因为所有的指标都是哑指标，ijij pq pqb a b a =，所以02=aijbij，即0=ij ijb a习题3 已知某一点的应力分量xxσ，yyσ，zzσ，xyσ不为零，而0==yzxzσσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，iji jσνσν=)(，可求得该面上的应力为ασασσνσνsin cos 11)(xyxxj j +== ασασσνσνsin cos 22)(yyyxjj +== 033==j j v σνσ)(由斜面正应力表达式ji ij nννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sinsin cos 2cosyyxyxxn++=剪应力为ασασσστ2cos 2sin )(2122)()(xyxx yynn n +-=-=-=σσσn习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。

《材料物理性能》第一章材料的力学性能1-1一圆杆的直径为2.5 mm 、长度为25cm 并受到4500N 的轴向拉力，若直径拉细至2.4mm ，且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。

解：由计算结果可知：真应力大于名义应力，真应变小于名义应变。

1-5一陶瓷含体积百分比为95%的Al 2O 3 (E = 380 GPa)和5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算其上限和下限弹性模量。

若该陶瓷含有5 %的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。

解：令E 1=380GPa,E 2=84GPa,V 1=0.95,V 2=0.05。

则有当该陶瓷含有5%的气孔时，将P=0.05代入经验计算公式E=E 0(1-1.9P+0.9P 2)可得，其上、下限弹性模量分别变为331.3 GPa 和293.1 GPa 。

1-6试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出t = 0,t = ∞ 和t = τ时的纵坐标表达式。

解：Maxwell 模型可以较好地模拟应力松弛过程：V oigt 模型可以较好地模拟应变蠕变过程：).1()()(0)0()1)(()1()(100//0----==∞=-∞=-=e E E e e E t t t στεσεεεσεττ；；则有：其蠕变曲线方程为：./)0()(;0)();0()0((0)e (t)-t/e στσσσσσστ==∞==则有：：其应力松弛曲线方程为以上两种模型所描述的是最简单的情况，事实上由于材料力学性能的复杂性，我们会用到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。

如采用四元件模型来表示线性高聚物的蠕变过程等。

1-11一圆柱形Al 2O 3晶体受轴向拉力F ，若其临界抗剪强度τf 为135 MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小拉力值，并求滑移面的法向应力。

解：第二章 脆性断裂和强度2-1 求融熔石英的结合强度，设估计的表面能力为1.75J/m 2; Si-O 的平衡原子间距为1.6*10-8cm;弹性模量从60到75Gpaa E th γσ==GPa 64.28~62.2510*6.175.1*10*)75~60(109=- 2-2 融熔石英玻璃的性能参数为：E=73 Gpa ；γ=1.56 J/m 2；理论强度σth=28 Gpa 。

1-1 一圆杆的直径为2.5 mm、长度为25cm并受到4500N的轴向拉力，若直径拉细至2.4mm,且拉伸变形后圆杆的体积不变，求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。

解：真应力OY = — = ―"°。

—=995(MP Q)A 4.524 xlO-6真应变勺=In — = In — = In^v = 0.0816/0 A 2.42名义应力a = — = ―4°°°_ 一= 917(MPa)A) 4.909x1()2名义应变£ =翌=& —1 = 0.0851I。

A由计算结果可知：真应力大于名义应力，真应变小于名义应变。

1- 5 一陶瓷含体积百分比为95%的/\12O3(E = 380 GPa)和5%的玻璃相(E = 84 GPa), 试计算其上限和下限弹性模量。

若该陶瓷含有5%的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。

解：令Ei=380GPa, E2=84GPa, V^O. 95, V2=0. 05o则有上限弹性模量=E]% +E2V2 = 380 X 0.95 +84 X 0.05 =365.2(GP Q)下限弹性模量战=(¥ +3)T =(?料+誓尸=323.1(GP Q)E]380 84当该陶瓷含有5%的气孔时，将P二0. 05代入经验计算公式E=E O(1-1. 9P+0. 9P2) 可得，其上、下限弹性模量分别变为331.3 GPa和293. 1 GPa。

1-6试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图，并算出t = 0, t = oo和t二£时的纵坐标表达式。

解：Maxwell模型可以较好地模拟应力松弛过程：其应力松弛曲线方程为：b⑴=贝0光必则有:<7(0) = b(0);cr(oo) = 0;<7(r)= a(0)/e.Voigt模型可以较好地模拟应变蠕变过程：其蠕变曲线方程为：的)=火(1 -广")=£(00)(1 _g")E则有：£(0)=0； £(OO)= 21;冶)=%1-(尸).以上两种模型所描述的是最简单的情况，事实上山于材料力学性能的复杂性，我们会用到 用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。

--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：zxyz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。

当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。

在主应变方向上，剪应力分量为：zzyy xx zx zz yy xx yz zzyy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为0636261535251434241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。

如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。

第七章 粘弹塑性本构关系1. 应用Kelvin 模型，求图所示组合的应力应变关系。

解：如图所示，总的应变是弹簧的应变和Kelvin 单元应变之和。

因此K s εεε+= (1)而 K K s E E εηεεσ +==21 (2) 对(1)式求导，有 K s εεε +=， 再由(2)式得1E s σε=，ηεσεKK E 2-= ，再结合(1)式，可以求出 σησεηε ++=+)(21121E E E E E 即为图示组合应力应变关系。

2. 如图所示一直杆，杆件材料服从如下本构关系：εησσ +=s (s σσ>),式中At P )(=σ，s σ为静态屈服极限。

若)(t P 为一个阶跃函数，当0=t 时，应力突然由零增至某一数值0σ(>s σ),且以后保持常数，试求此情况下杆件的应力应变关系。

解：由题意 εησσ =-s 0 (0>t) 图7.1图7.2即 )(10s σσηε-=对上式积分可得 C t s +-=)(10σσηε其中C 为积分常数。

若0=t 时已有应变0ε存在，则由上式可得0ε=C 。

从而有00)(1εσσηε+-=t s3. 假定介质的流动是缓慢的轴对称的定常流，即介质在管中没有转动，讨论粘塑性材料在圆管中的流动。

解：如图所示的圆柱坐标系z r ,,ϕ中，其径向和环向速度为零，即0==ϕυυr于是应变率分量为0====z r r ϕϕϕεεεεrzzrz zz ∂∂=∂∂=υευε, 如果我们假定材料是不可压缩的，则有0=z ε，从而有)(r z z υυ=。

若进一步假定应力分量可分解为塑性和粘性两部分，其塑性部分服从与Mises 屈服条件相关的流动法则，而粘性部分服从牛顿线性粘性定律，则不难得到0===z r σσσϕ0==z r ϕϕττ图7.3drd zs rz υηττ+-= (1) s τ为剪切屈服极限很显然，当,s rz ττ≥且0≤drd zυ时才有意义。

第十章热应力习题及解习题1、如图10-1所不，将一圆锥体固定在两壁间，计算温度由77升高到门时所产生的压缩 热应力。

解：设圆锥体棒温度升高为0 = G 其线胀系数为&。

在自由膨胀时，其仲长为o 若假设壁给予的压缩力为P,而棒应缩短o 各截面的粗细不同，因此各截面产生的热应力 不同。

与左端距离x 的截面AB 处的直径为dx ,dx = d l +(d 2-d l )x/l 。

设AB 截面的面积为S x ,于是该截面上的压缩热应力为-4P故AB 处的应变为与AB 距离dx 微段的缩短了 g/x,因此整个棒缩短那么P = jcEoalyd^ I ,于是热应力为-Ead.d.O6 = -----------£ +仏F1I最大热应力发生在截面积最小的左端，为Umax =~Ed 2a0!=习题2、如图10-2所不，两根材料和长度都不相同的平行棒，它们的一端各自被固定，而另一 端连接在刚体板上可以一起轴向活动，通过弹簧受到另一壁的反作用,设两棒分别从最初的无应力-4P4Pdx4PIJiEd'd ?=ccOl状态下温度升高了「和T2,试计算两棒中的热应力。

解：假定N >几。

2 > a,,贝U棒1的自山膨胀量为厶,而棒2的自山膨胀量为a2T2L2。

棒2自由膨胀时伸长量大，故棒2除自由膨胀外，受到压缩而缩短，因压应力的缩短量为£2L2 = cr?厶2 / E?，其最终伸长量为a2T2L2 + cr?厶2 /丘2。

而棒1除自山膨胀外，还因相应拉应力的伸长刍厶=5厶/耳，其最终伸长量为+ b]厶 / E]其中bj, O'?中包含了应力符号。

因右端连接在冈！I体板上一起轴向活动，两棒的总伸长量应相等，即务片厶 + CF］厶 / 耳=a2T2L2 + cr2L2 / E2 = -Z（设弹簧的弹性常数为& ,则其压缩力为F = k s l ,故有CF]S] + c2S2 = P(b) 可求得S、E, （洛厶5並卜也严］V 厶 + S Q E Q L I砧S'E.—害吕-（也乙厶2 — ap］厶）-厶26 _—]_|_ V厶2 _(_ S]E]厶2S°E° S2E2L]讨论:⑴若k s =0,弹簧非常柔软的情况下，刚体板仅起连接作用，此时a = 一耳（&1冲厶一色笃厶2）/厶1 + S]E]厶2 / S Q E Q L、再假设厶二厶2，卩1 =笃=厂，贝I」_ _-EJ G1 —也）O 1 —O1 + S^/S2E2（2）若& = 8,弹簧不能伸缩，即为全约束下（即为上题情形），此时<7,=―耳內”对于CT?,以上讨论完全类似。

第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明] 习题20=ij ij b a[证明]ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=剪应力为习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。

试写出其边界条件。

[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，()3,2,1,,==j i n T j ij i σ，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx σ，yy σ，zz σ，xy σ，xz σ，yz σ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。

[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：由应力分量转换公式''''jn i m ij n m ββσσ=，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力张量()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σσσσσσσσσσc b c a b a ij 给定，式中，a ，b ，c 为常数，σ是某应力值，求常数a ，b ，c ，以使八面体面)e e e (n 321++=31上的应力张量为零[解] 由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：解得21-===c b a 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1σ，2σ，3σ必为实根 [证明]（1）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为k n 、l n 。

位移解法：
一、位移表示的平衡方程（Lame-Navier方程）的导出
以位移分量u i为基本未知量，导出位移表示的平衡方程，具体如下：
=,+,（且=,）
代逆本构关系（3.6节(3*)）式：
=,+,+,
代入3.6节(1)式
,+=,+,+,+=0(1) 注意：,=,和,=,
(2)式可写成：
,+(+),+=0(2) 或： ∇+(+),+=0
上式就是Lame-Navier方程（3个2阶椭圆方程）。

边界条件：
位移边界：=
力边界：=,+,+λ ,=
二、解L-N方程
1）无体力（=0）或常体力（=.）
Lame-Navier方程式(2)化为齐次方程：
,+(+),=0(3) 两边对求导（即求散度）：
,+(+),=0
,+(+),=(+2),=0
∇=0
说明e，Θ，，是调和函数。

对式(3)两边作调和：
∇+(+)(∇),=0
=0
∇=1(∇),+∇,=0
说明, ,是重调和函数。

调合函数：e，Θ，，
重调合函数：，，，e，Θ，，
注：（1）调和函数的各阶导数、及，,均为调和函数；
（2）调和函数、及，均为重调和函数。

书上指出：弹性力学的无/常体力问题在数学上归结为调和方程和重调和方程的边值问题。

（感觉应该是L-N齐次方程，即式(3)的边值问题？因为这几个调和方程是由式(3)导出来的性质，不能等价于L-N齐次方程。

）
2）变体力（外力场()随着位置不同而改变）
先找一个特解（不必满足边界），与上述齐次方程组(3)式的解叠加即可，再用边界条件定其中的系数。

第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明] 习题20=ij ij b a[证明]ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=剪应力为习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。

试写出其边界条件。

[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，()3,2,1,,==j i n T j ij i σ，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx σ，yy σ，zz σ，xy σ，xz σ，yz σ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。

[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：由应力分量转换公式''''jn i m ij n m ββσσ=，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力量()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σσσσσσσσσσc b c a b a ij 给定，式中，a ，b ，c 为常数，σ是某应力值，求常数a ，b ，c ，以使八面体面)e e e (n 321++=31上的应力量为零[解] 由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，知八面体面上应力量为零需满足如下方程组： 解得21-===c b a 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1σ，2σ，3σ必为实根 [证明]（1）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为k n 、l n 。