算法合集之《信息学竞赛中概率问题求解初探》

浅谈信息学竞赛中的区间问题华东师大二附中周小博【摘要】本文对一些常用的区间问题模型做了简单介绍，包括一些算法及其正确性的证明，并从国际、国内的信息学竞赛与大学生程序设计竞赛中选了近10道相关例题，进行简要分析。

【关键字】区间模型转化贪心动态规划优化在信息学竞赛中，有很多问题最终都能转化为区间问题：例如从若干个区间中选出一些满足一定条件的区间、将各个区间分配到一些资源中、或者将一些区间以某种顺序放置等。

这类问题变化繁多，解法各异，需要用到贪心、动态规划等算法，并可以用一些数据结构优化算法。

本文将从几个方面对区间问题做一个简单的介绍，给出一些算法及其正确性的证明，具体分如下几个方面进行讨论：1.最大区间调度问题2.多个资源的调度问题3.有最终期限的区间调度问题4.最小区间覆盖问题5.带权区间调度、覆盖问题6.区间和点的有关问题我们将对上述每个问题都给出基本模型、算法、证明及其实现，并从ACM-ICPC、CEOI、CTSC等比赛中选出了近10道相关例题，进行简要分析，有的例题还给出了各种不同的算法及其时间效率的分析。

本文中所讨论的问题主要由两个部分组成，一部分为近几年来各类竞赛题的归纳总结，另一部分来自于参考文献。

数轴上有n 个区间，选出最多的区间，使得这些区间不互相重叠。

算法：将所有区间按右端点坐标从小到大排序，顺序处理每个区间。

如果它与当前已选的所有区间都没有重叠，则选择该区间，否则不选。

证明：显然，该算法最后选出的区间不互相重叠，下面证明所选出区间的数量是最多的。

设i f 为该算法所接受的第i 个区间的右端点坐标，i g 为某最优解中的第i 个区间的右端点坐标。

命题1.1 当1≥i 时，该算法所接受的第i 个区间的右端点坐标i f ≤某最优解中的第i 个区间的右端点坐标i g 。

该命题可以运用数学归纳法来证明。

对于1=i ，命题显然为真，因为算法第一个选择的区间拥有最小右端点坐标。

令1>i ，假定论断对1-i 为真，即11--≤i i g f 。

信息学竞赛中的算法与数据结构讲解教案一、引言信息学竞赛是一种基于计算机科学和数学的竞争形式，其中算法与数据结构是竞赛中最为核心和关键的内容之一。

本教案将详细讲解信息学竞赛中常用的算法和数据结构，并提供相关示例和题目，以帮助学生深入理解和掌握这些知识点。

二、算法1. 算法的概念算法是一系列解决问题的步骤或方法。

在信息学竞赛中，算法常被用于解决各种问题，如排序、查找、图遍历等。

掌握不同类型的算法对于竞赛成绩的提升至关重要。

2. 常见算法类型及其应用（1）排序算法：- 冒泡排序：通过相邻元素的比较和交换来实现排序。

- 快速排序：通过选择一个基准元素将数组分为两部分，一部分小于基准元素，一部分大于基准元素，再分别对两部分递归排序。

- 归并排序：将数组分为若干个子数组，分别对子数组进行排序，然后再依次合并得到有序数组。

这些排序算法在竞赛中经常用到，学生需要了解它们的原理和实现。

（2）查找算法：- 二分查找：针对有序数组，在每次查找过程中将查找范围缩小一半，直到找到目标元素或查找范围为空。

- 哈希表查找：通过将目标元素映射到一个固定位置来进行查找，具有较快的查找速度。

（3）图算法：- 图的遍历：深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）是图的常用遍历方法。

DFS通过递归或栈实现，BFS通过队列实现。

- 最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法分别用于求解单源最短路径和多源最短路径问题。

3. 算法示例（1）示例一：冒泡排序给定一个整数数组，按照从小到大的顺序进行冒泡排序。

```cppvoid bubbleSort(int arr[], int n) {for (int i = 0; i < n-1; i++) {for (int j = 0; j < n-i-1; j++) {if (arr[j] > arr[j+1]) {swap(arr[j], arr[j+1]);}}}}```（2）示例二：二分查找给定一个有序整数数组和一个目标值，使用二分查找算法返回目标值在数组中的下标（如果不存在则返回-1）。

信息学竞赛中的搜索与回溯算法解析现如今，信息学竞赛已经成为了一个备受瞩目的领域，参与者们通过学习各种算法和技术，来解决各种复杂的问题。

其中，搜索与回溯算法在竞赛中扮演着重要的角色。

本文就来对信息学竞赛中的搜索与回溯算法进行深入解析。

一、搜索算法1.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种非常常用的算法，在信息学竞赛中广泛应用于图的遍历，状态的搜索等问题。

具体过程是从一个起始状态开始，按照某个规则，不断地向前深入，直到无法再继续为止，然后回溯到上一个状态，继续搜索其他可能的路径。

DFS一般使用递归实现，其优点是简单易懂，但是在处理一些特殊情况（如有环图）时可能会遇到问题。

1.2 宽度优先搜索（BFS）宽度优先搜索是另一种常用的搜索算法，在信息学竞赛中也经常被使用。

其核心思想是从一个起始状态开始，依次拓展所有的邻居节点，再依次拓展邻居的邻居节点，直到找到目标状态或者所有状态都遍历完为止。

BFS一般使用队列实现，其优点是能够找到最短路径，并且不会陷入无限循环的情况。

二、回溯算法回溯算法是一种经典的搜索算法，也常常用于信息学竞赛中。

其核心思想是通过递归的方式试探所有的可能性，当遇到无法继续前进的情况时，就进行回溯到上一个状态，继续搜索其他可能的路径。

因此，回溯算法一般结合递归使用。

2.1 全排列问题全排列是指将一组元素进行全面的排列。

例如，对于集合{1,2,3}，其全排列为{1,2,3}，{1,3,2}，{2,1,3}，{2,3,1}，{3,1,2}，{3,2,1}。

回溯算法可以解决全排列问题，具体实现如下：①选择一个起点（一般从第一个元素开始）；②将该起点与后续的所有元素进行交换，得到一个新的排列；③递归地处理剩下的元素，重复步骤②，直到遍历完所有元素；④当无法再前进时，进行回溯，将交换的元素恢复原位，继续处理其他可能的路径。

2.2 子集问题子集问题是指对于一个集合，找出所有可能的子集。

回溯算法同样可以解决子集问题，具体实现如下：①初始化一个空集合，作为最终结果的一个元素；②逐个遍历原始集合的每个元素，对于每个元素，都有两种情况：将其加入最终结果，或者不加入最终结果；③递归地处理剩下的元素，重复步骤②，直到遍历完所有元素。

信息学奥赛——算法入门教程信息学奥赛是一个旨在培养学生计算机科学技能和算法设计能力的竞赛。

参加信息学奥赛的选手需要具备扎实的计算机基础知识和能够熟练运用各种算法解决问题的能力。

因此，算法是信息学奥赛的核心内容之一、下面是一个算法入门教程，帮助初学者了解算法的基本概念和常见算法的实现。

一、算法的基本概念算法是解决特定问题的一组明确的指令和操作步骤。

在计算机科学中，算法可以看作是解决特定问题的计算过程。

算法的好坏主要取决于其效率和正确性。

一个好的算法应该能够在合理的时间内解决问题，并且得到正确的结果。

二、常见的算法分类1.排序算法：用于将一组数据按照特定的规则进行排序，常见的排序算法包括快速排序、归并排序、冒泡排序等。

2.算法：用于在一组数据中找到特定的元素或满足特定条件的元素，常见的算法包括二分查找、深度优先、广度优先等。

3.动态规划算法：一种用于解决复杂问题的技术，通过把问题分解成子问题，然后利用子问题的解来解决整个问题，常见的动态规划算法包括最长公共子序列、背包问题等。

4.贪心算法：一种通过每一步选择最优解来解决问题的方法，贪心算法通常能够得到局部最优解，但不一定能得到全局最优解，常见的贪心算法包括最小生成树、哈夫曼编码等。

三、算法的实现1.伪代码表示：在写算法之前，通常先用伪代码表示算法的思路和步骤，伪代码是一种类似于程序语言的表示方法，但更接近自然语言，方便理解算法的思路。

2. 编程实现：根据伪代码编写程序实现算法，通常使用一种编程语言，比如C++、Java、Python等。

在实现算法时，需要注意代码的简洁性和可读性，方便他人理解和调试。

3. 测试和优化：编写完算法后，需要进行测试和优化，验证算法的正确性和效率。

可以通过多组测试数据进行测试，找出可能存在的bug并进行修复，优化算法的效率。

四、练习题目1.给定一个包含n个元素的数组，找出数组中第k小的元素。

2.给定一个包含n个元素的无序数组，找出数组中第k大的元素。

信息学竞赛中问题求解常见题分析（四）（排列组合问题）一、知识点：1． 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 。

种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…+m n 。

种不同的方法。

2． 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1*m 2*…m n 。

种不同的方法。

3． 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

4． 排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示。

5． 排列数公式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m ，n ∈N ，m ≤n)6． 阶乘：n!表示正整数l 到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!=l 。

7． 排列数的另一个计算公式：)!(!m n n A m n -= 8． 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．9． 组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．10．组合数公式：!)1)...(2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n+---==，或)!(!!m n m n C m n -= (n ，m ∈N ，且m ≤n) 11．组合数的性质1：m n n m n C C -=，规定：0n C ：=1； 2：11-++=m nm n m n C C C 。

全国初中生信息学科竞赛难题剖析信息学科竞赛一直以来都是考察学生的计算思维、编程能力和问题解决能力的重要途径。

全国初中生信息学科竞赛作为国家级的竞赛活动，其题目难度较高，挑战性强，对学生的实际能力要求也更高。

本文将对全国初中生信息学科竞赛的难题进行剖析，帮助大家更好地理解和应对这些难题。

难题一：图论与路径规划在初中生信息学科竞赛中，图论与路径规划是一个常见的难题。

题目通常会给出一个图，要求学生找出最短路径、最小生成树或者最大流等问题。

这类题目需要学生对图的基本概念和算法有一定的了解，同时需要灵活运用相关的算法来解决问题。

解题思路：1. 首先，需要学生了解图的基本概念，包括节点、边、路径等。

熟悉图的存储方式，如邻接矩阵或邻接表。

2. 对于最短路径的问题，可以使用Dijkstra算法或Floyd-Warshall 算法来求解。

学生需要仔细分析题目给出的条件和要求，确定如何选择合适的算法。

3. 对于最小生成树的问题，可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解。

同样需要根据题目给出的条件和要求，选择合适的算法。

4. 最大流问题可以使用Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法来求解。

学生需要了解流网络的基本概念和算法原理，能够正确地建立流网络，并找出最大流量。

难题二：动态规划与状态转移方程动态规划是信息学科竞赛中另一个常见的难题类型。

题目通常会给出一个具有重叠子问题性质的问题，要求学生使用动态规划的思想来解决。

学生需要能够找到问题的状态转移方程，并正确地使用递推或记忆化搜索的方法求解。

解题思路：1. 对于动态规划问题，学生首先需要分析题目给出的问题，确定问题具有的性质，如最优性、最大值等。

2. 根据问题的性质，学生需要定义状态，并设计状态转移方程。

状态转移方程是动态规划问题的核心，决定了问题的解法。

3. 学生需要运用递推或记忆化搜索的方法求解状态转移方程。

递推是从最小问题开始逐步推导到整体问题的解，而记忆化搜索是通过保存中间结果来避免重复计算，提高效率。

信息学联赛初赛基本算法介绍汇报人：日期:•基本算法概述•排序算法•搜索算法目•图论算法•总结与展望录基本算法概述01算法的定义和重要性算法是一系列解决问题的清晰指令，它接受一些输入（参数），并产生一些输出（结果）。

重要性在信息学领域，算法是解决各种问题的核心。

一个优秀的算法可以高效地处理数据、优化资源和提高程序性能。

掌握基本算法对于参加信息学联赛的初赛至关重要。

通过穷举所有可能性来解决问题的算法，通常时间复杂度较高。

暴力算法将问题分解为若干个子问题，分别解决子问题后再合并结果的算法。

分治算法通过将问题分解为重叠的子问题，并对子问题进行记忆，避免重复计算的算法。

动态规划在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。

贪心算法算法的分类时间复杂度衡量算法执行时间的指标，通常用大O符号表示。

常见的时间复杂度包括常数时间复杂度O(1)、线性时间复杂度O(n)、对数时间复杂度O(logn)等。

空间复杂度衡量算法所需额外空间的指标，也用大O符号表示。

空间复杂度与算法中使用的变量、数组、数据结构等有关。

在设计算法时，需要权衡时间复杂度和空间复杂度的关系，以找到最适合问题要求的解决方案。

算法的时间复杂度和空间复杂度排序算法02通过依次比较相邻的两个元素，将较大的元素交换到右侧，从而将整个列表按照升序或降序排列。

原理O(n^2)，其中 n 是列表长度。

时间复杂度O(1)，只需要常数级别的额外空间。

空间复杂度稳定，即相同元素的相对位置不会改变。

稳定性原理选择一个基准元素，将列表中小于基准的元素放在左侧，大于基准的元素放在右侧，然后递归地对左右两个子列表进行快速排序。

平均情况下为 O(nlogn)，最坏情况下为 O(n^2)。

O(logn)，由于递归需要使用栈空间。

不稳定，相同元素的相对位置可能会改变。

时间复杂度空间复杂度稳定性原理时间复杂度空间复杂度稳定性O(nlogn)。

信息学竞赛中问题求解常见题分析（一）逻辑推理问题问题求解是信息学竞赛初赛中常见题型，它共两题，每题5分，共10分。

诸如寻找假币、博弈原理、抽屉原理、容斥问题、排列组合、逻辑推理、递推关系等问题出现在问题求解中。

逻辑推理问题通常把只涉及一些相互的关联条件或关系，极少给出数量关系与几何图形的一类非常规数学问题叫逻辑推理问题。

处理这类问题，要从一些关联的条件出发，应用某些数学知识，甚至日常生活常识，依据一定的思维规律(机智灵活、准确敏捷的思考)，通过分析、推理、排除不可能情况(剔除不合理成分)，然后作出正确的判断。

逻辑推理问题中常用到以下三条逻辑基本规律：(1)同一律：是指同一东西(对象)，它是什么就是什么，不能模棱两可，亦此亦彼；(2)矛盾律：是指互相对立(矛盾)的事不能都真，二者必有一假(即同一思想不能既真又假)；(3)排中律：是指两个不相容的判断不能都假，二者必有一真(即任何判断或同一思想不能既不真也不假)。

逻辑推理问题条件扑朔迷离，层次重叠纷纭，没有一定的定理可以依据，无现成公式可用，无模式可循，靠的是逻辑推理。

可画框图，紧抓关系，细抠条件，寻找突破口，穷追到底，层层进逼，以求找到答案。

本文结合一些赛题，谈谈处理逻辑推理问题的一些主要方法。

一、利用逻辑原理，直接推理对于一些简单的逻辑推理问题，往往只需以似真推理为主，直接通过分析就可以得出正确的结果。

用这种方法解决“真假话”问题尤为有效。

例1．住在某个旅馆的同一房间的四个人A，B，C，D正在听一组流行音乐，他们当中有一个人在修指甲，一个人在写信，一个人躺在床上，一个人在看书。

1．A不在修指甲，也不在看书；2．B不躺在床上，也不在修指甲；3．如果A不躺在床上，那么D不在修指甲；4．C既不在看书，也不在修指甲；5．D不在看书，也不躺在床上。

她们各自在做什么呢?解：由1，2，4，5知，既不是A，B在修指甲，也不是C在修指甲，因此修指甲的应该是D；但这与3的结论相矛盾，所以3的前提肯定不成立，即A应该是躺在床上；在4中C既不看书又不修指甲，由前面分析，C又不可能躺在床上，所以C是在写信；而B则是在看书。

信息学竞赛中的动态规划问题与算法动态规划（Dynamic Programming）是信息学竞赛中常见且重要的问题解决方法之一。

它应用于各种领域，包括计算机科学、数学和经济学等。

在本文中，我们将探讨动态规划在信息学竞赛中的应用，介绍一些常见的动态规划问题和相应的解法。

一、动态规划简介动态规划是一种通过将问题划分为较小的子问题来解决复杂问题的方法。

它通常用于那些具有重复子问题的情况下，通过解决子问题的最优解来求解原始问题的最优解。

它的核心思想是“最优子结构”，即问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。

动态规划的求解过程一般包括以下步骤：1. 定义问题的状态：将原问题拆解为多个子问题，并定义每个子问题的状态。

2. 定义状态转移方程：找到子问题之间的递推关系，用数学表达式表示。

3. 初始化边界状态：确定最简单的子问题的解，作为边界条件。

4. 通过状态转移方程递推求解：根据定义的状态转移方程，从最简单的子问题开始逐步求解，直到得到原问题的解。

二、动态规划问题的分类在信息学竞赛中，动态规划问题可分为以下几类：1. 最长递增子序列问题：给定一个序列，求解其中最长的递增子序列的长度。

这类问题的解法可以用一个一维数组记录每个位置的最长递增子序列长度，通过不断更新该数组来求解最终结果。

2. 背包问题：给定一组物品和一个背包容量，每个物品有对应的价值和重量，要求在不超过背包容量的情况下，装入物品的总价值最大。

这类问题可以用一个二维数组表示状态转移方程，通过遍历物品和背包容量的组合，不断更新二维数组来求解最优解。

3. 最长公共子序列问题：给定两个序列，求解这两个序列的最长公共子序列的长度。

这类问题的解法通常用一个二维数组记录每个位置的最长公共子序列长度，通过根据两个序列的字符比较结果更新二维数组来求解最终结果。

4. 最短路径问题：在给定的图中，寻找两个节点之间的最短路径。

这类问题的解法可以使用一个二维数组表示每对节点之间的最短路径，通过不断更新二维数组来求解最优解。

信息学竞赛中的论算法综述信息学竞赛作为一个重要的学术竞赛项目，旨在发展青少年对计算机和信息学科的兴趣与才能。

在这个竞赛中，算法作为一个核心概念，扮演着至关重要的角色。

本文将对信息学竞赛中常见的算法进行综述，旨在为竞赛选手提供一个全面的算法参考。

一、贪心算法贪心算法在信息学竞赛中具有广泛的应用。

其核心思想是在每个阶段都选择局部最优解，从而希望能够得到全局最优解。

贪心算法的基本步骤包括问题建模、确定贪心策略和验证策略的正确性。

常见的贪心算法有背包问题、最小生成树等。

二、动态规划动态规划是一种通过将问题分解为子问题并为每个子问题找到最优解，进而来解决复杂问题的方法。

相比于贪心算法，动态规划算法更加注重全局最优解。

其基本思想是将问题划分为多个重叠子问题，并使用一个表格记录每个子问题的最优解。

通过填表求解子问题，最终得到整个问题的最优解。

动态规划广泛应用于最长公共子序列、背包问题等。

三、图论算法图论算法在信息学竞赛中也是常见的一类算法。

图论算法主要研究图的性质和图的算法。

信息学竞赛中常见的图论算法有深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。

DFS用于遍历图中的节点，常用于解决连通性和路径问题；BFS则用于寻找最短路径，也常用于解决迷宫、最短路径等问题。

四、分治法分治法是信息学竞赛中常用的一种算法思想。

其核心思想是将复杂的问题划分为多个相同或相似的子问题，然后分别解决每个子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。

常见的分治法算法有归并排序、快速排序等。

分治法算法通过高效地解决子问题，为解决大规模问题提供了有效的方法。

五、网络流算法网络流算法是一种在图论中研究流网络的算法。

它主要解决最大流问题和最小割问题。

网络流算法在信息学竞赛中广泛应用于图的匹配问题、网络优化等。

常见的网络流算法有Edmonds-Karp算法、Dinic算法等。

六、动态图算法动态图算法是一类在图的边集上操作的算法，主要用于处理图的结构和内容的动态修改。

高中信息学竞赛各种问题求解试题及答案高中信息学竞赛各种问题求解试题及答案第1题(5分)，将n个不同颜色的球放人k个无标号的盒子中( n>=k，且盒子不允许为空)的方案数为S(n，k)，例如：n=4，k=3时，S(n，k)=6。

当n=6，k=3时，S(n，k)=________。

答案：0 k < nS(n,k)= 1 k = 1S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) n >= k >= 2第2题(5分)，有5本不同的数学书分给5个男同学，有4本不同的英语书分给4个女同学，将全部书收回来后再从新发给他们，与原方案都不相同的方案有________种。

答案：5!*4!+D(5)*D(4)=1140480其中：D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2)) (n > 2)D(1)=0 D(2)=1第3题(6分)，把三角形各边分成n等分，过每一分点分别做各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形。

n为已知整数，能组成_______个平行四边形。

答案：3*C(n+2,4)第4题(6分)，由a，b，c3个不同的数字组成一个N位数，要求不出现两个a相邻，也不出现两个b相邻，这样的N位数的个数为AN，用AN-1和AN-2表示AN 的关系式为：AN＝_______________。

答案：AN= 2*AN-1+AN-2第5题(6分)，在m*n的棋盘上，每个方格(单位正方形，即边长为1的正方形)的顶点称为格点。

以格点为顶点的多边形称为格点多边形。

若设格点凸N边形面积的最小值为gn，格点凸N边形内部(非顶点的)格点的个数的最小值为fn，则gn和fn的关系式为：gn=___________。

答案：Gn= fn+N/2-1 ( N >= 3 )第6题(4分)，编号为1到13的纸牌顺时针排成一圈，有人从编号为1的牌从数字1开始顺时针数下去，1、2、3、…、20、21、…，一圈又一圈。