人教版八年级数学上册十字相乘法

一、【新知讲解】根据多项式乘法知道()()()()223253135212531710x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯+⨯=++反过来()()()()223171031352125325x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯+⨯=++以上过程可用如右画十字相乘的方法表示：口诀：拆两边、凑中间、竖着乘、横着加这种通过画十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法因此，对于能够分解因式的二次三项式()2x a b x ab +++,当0ab ≠时，就可以用十字相乘法分解 如分解：()2x a b x ab +++ 26x x -- 26x x +- 256x x -+()()()2x a b x ab x a x b ∴+++=++ 26x x --=)3)(2(-+x x 口诀：拆两边、凑中间、竖着乘、横着加此方法就是把二次三项式首末两项拆散竖着排列，再把十字相乘法的积相加。

若相加的和等于中间项，说明因式分解成功，分解出来的两个因式就是横线上面横着写的两个一次二项式。

用这种方法分解因式要注意常数和一次项系数的符号关系。

一般地，若常数项为正数，则分解出两个同号得因数（同中间项的符号）；若常数项是负数，则分解成两个异号得因数，绝对值较大的数的符号与中间相同。

二、【典例精讲】 1、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例1、用十字相乘法分解下列各式的因式（1）256x x ++ （2）256x x -+ （3）256x x -- （4）256x x +-（5）26x x -- （6）26x x +- （7）x 2+2x-3 （8）x 2+2x-3 x15x+2x=17x x独立分解： (1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x （4）672+-x x(5)22-+x x (6)1522--y y (7)24102--x x （8)x 2+4x+3(9)a 2+7a+10 (10)y 2–7y+12 (11)q 2–6q+8 (12)x 2+x-20(13)m 2+7m-18 (14)p 2–5p-36 (15)t 2–2t-8 (16) 2922x x --2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2口诀：拆两边、凑中间、竖着乘、横着加条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例1、用十字相乘法分解下列各式的因式（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y（5）101132+-x x （7）2295x x +- （8）2376x x -- （9）28103x x ++独立分解：（1）210275x x ++ （2）221x x +- （3）2352x x ++（4）232x x +- （5）221315x x ++ （6）2122512x x -+ （7）2310x x +-3、二次项系数为1的齐次多项式，方法是一样的！（1）221288b ab a -- （2）224159p q pq ++ (3)2286n mn m +- (4)226b ab a --独立分解：（1）225136x xy y ++ （2）2231114x xy y -- （3）2223y xy x +-（4）221130x xy y -+ （5）422730x x y y -- （6）a 2b 2－10ab ＋254、二次项系数不为1的齐次多项式（1）22672y xy x +- （2）2322+-xy y x （3）224715y xy x -+ （4）8622+-ax x a独立分解：（1）17836--x x （2）22151112y xy x -- （3） 42235a a +-5、十字相乘法和整体思想或者提公因式结合，注意革命要进行到底（1）()()243x y x y +-++ （2） 432712x x x -+ （3）422410235x x y y --（4）()()210235x y x y +-+-（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）2005)12005(200522---x x独立分解：（1）()()267a b a b +-+- （2）()()22524x x -+-+ （3）222()14()24x x x x +-++（4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+ （5）(x 2－2x)2－4(x 2－2x)－56、剑走偏锋：十字相乘法一些辅助方法—①主元法 ②双十字相乘法 ③换元法 ④添项、拆项、配方法 ①主元法分解因式：2910322-++--y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)613622-++-+y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a②双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式。

数学八年级上册十字相乘法1十字相乘法顺口溜
1.首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。

竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

2.竖分常数交叉验
（1）竖分二次项和常数项, 即把二次项和常数项的系数竖向写出来,
（2）交叉相乘, 和相加, 即斜向相乘然后相加,得出一次项系数,
（3）检验确定, 检验一次项系数是否正确。

3.横写因式不能乱，即把因式横向写,而不是交叉写, 这里不能搞乱。

2十字相乘法的注意事项
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

（1）用来解决两者之间的比例问题。

（2）得出的比例关系是基数的比例关系。

（3）总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。

因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。