人教版八年级数学上册 第十五章 章末复习 【名校学案word版】

第十五章 分式本章小结学习目标1.建立起本章知识的框架图,形成这一章的完整知识体系.2.提高归纳和概括能力,形成反思自己学习过程的意识.3.借助例题与巩固练习(包括变式)提高分析问题、解决问题的实践能力,拓展思维.学习过程一、自主学习画出本章的知识“框架图”,形成本章知识体系二、深化探究★【例1】x 为何值时,下列分式(1)3x -4有意义?(2)x x -2无意义?(3)x 2-1x -1的值为零?问题1:(1)分式有意义的条件是什么? (2)分式无意义的条件是什么? (3)分式的值为零的条件是什么? (4)通过做此题,你认为应注意什么? ☆巩固练:当x 为何值时,下列分式的值为零? (1)x -1x +1;(2)(x -2)(x -3)x 2-9.★【例2】约分: (1)-16x 220xx;(2)4-x 2x 2-2x;(3)x 2-1x 2-x -2. 问题2:通过做这几道题,你认为约分应该注意什么?巩固练:按下列程序计算,最后输出的答案是()A.a 3B.a 2+1 C.a 2D.a变式练:请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简该分式.a 2-1 ab-b b+ab★【例3】通分(1)14x 2,x 2xx ;(2)29-3x ,x -1x 2-9.问题3:通过做此题,你认为在通分时,应该注意什么?★【例4】计算 (1)x 2-xx x 2÷(x x -x x );(2)x 2+2x +1x 2-1-1x -1; (3)(-xx 2x )3÷(2x x )-2+12x .问题4:它们涉及哪些运算?它们的运算法则是什么?遵循怎样的运算顺序?☆巩固练:(1)化简:(1+4x 2-4)·x +2x ;(2)化简:2x -2x -3(-3x -1x 2)6x -1·(xx )-2.☆变式练:先化简代数式x -x x +2x ÷x 2-x 2x 2+4xx +4x 2-1,然后选择一个使原式有意义的a ,b 值代入求值.★【例5】解方程5x +2x 2+x=3x +1.问题5:解分式方程一般需要经过哪几个步骤?问题6:解分式方程为什么必须．．要检验?☆巩固练:解方程xx -2-1=1x 2-4.☆变式练:若方程x -3x -2=x2-x 无解,则m=.★【例6】供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修,技术工人骑摩托车先走,15分钟后,抢修车装载着所需材料出发,结果同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的速度的1.5倍,求两种车的速度.三、练习巩固(一)解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如,原问题是“若矩形的两边长分别为3和4,求矩形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长”;也可以是“若矩形的周长为14,求矩形面积的最大值”,等等.1.设A=3xx -2-xx +2,B=x 2-4x,求A 与B 的积;2.提出问题1的一个“逆向”问题,并解答. (二)观察下列等式11×2=1-12,12×3=12-13,13×4=13-14, 将以上三个等式两边分别相加得:11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34.1.猜想并写出:1x (x +1)=. 2.直接写出下列各式的计算结果: (1)11×2+12×3+13×4+…+12 014×2 015=; (2)11×2+12×3+13×4+…+1x (x +1)=. 3.探究并计算:12×4+14×6+16×8+…+12 014×2 016. 参考答案一、自主学习二、深化探究★【例1】(1)要使分式3x -4有意义,则x-4≠0,∴当x ≠4时,分式3x -4有意义. (2)要使xx -2无意义,则x-2=0.∴当x=2时,xx -2无意义.(3)要使x 2-1x -1的值为零,则x 2-1=0且x-1≠0,∴当x=-1时,分式的值为零.问题1:(1)分母不为零;(2)分母为零;(3)分子为零且分母不为零;(4)首先要注意审清题意,弄清三者的区别与联系,尤其是分式值为零的题目,常常在此设置陷阱.☆巩固练:(1)x=1;(2)x=2.☆变式练:由于x 2+1>0,因此,只要x+2>0即可,即x>-2. ★【例2】(1)-16x 220xx =-4x5x ; (2)4-x 2x 2-2x=(2+x )(2-x )x (x -2)=-x +2x; (3)x 2-1x 2-x -2=(x +1)(x -1)(x +1)(x -2)=x -1x -2. 问题2:若分子分母都是单项式,直接约去分子、分母中的公因式即可;若分子或分母是多项式要先因式分解,然后再将公因式约去.巩固练:C变式练:本题共有6种答案,选择其中之一解答即可.(1)x 2-1xx -x=(x +1)(x -1)x (x -1)=x +1x ;(2)x 2-1x +xx =(x +1)(x -1)x (1+x )=x -1x ; (3)xx -x x 2-1=x (x -1)(x +1)(x -1)=x x +1;(4)xx -x x +xx =x (x -1)x (x +1)=x -1x +1; (5)x +xx x 2-1=x (x +1)(x +1)(x -1)=x x -1;(6)x +xx xx -x =x (x +1)x (x -1)=x +1x -1. ★【例3】略问题3:将各分母因式分解(当分母已经是因式分解形态时,这步可以省略);寻找最简公分母;据分式基本性质,把各分式的分子、分母乘同一整式,化异分母为最简公分母. ★【例4】计算: (1)x 2-xx x 2÷(x x -x x )=x (x -x )x 2÷x 2-x 2xx =x (x -x )x 2×xx (x +x )(x -x )=xx +x; (2)x 2+2x +1x 2-1-1x -1=(x +1)2(x +1)(x -1)-1x -1=xx -1;(3)原式=-x 3x 38x 3·4x 2x 2+12x =-xx 32x +12x =-xx 42xx +x 2xx =x -xx 42xx.问题4:①分式的乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母.xx ·x x =x ·xx ·x②分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子和分母颠倒位置后,再和被除式相乘.xx÷x x =x x·x x =x ·xx ·x.③同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.x x±x x =x ±xx.④异分母分式的加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,变成同分母分式,再加减.x x ±x x =xx xx ±xx xx=xx ±xx xx . ⑤分式的乘方法则:分式的乘方,把分子、分母分别乘方.用公式表示为(x x )x =x xx x .(n 为正整数)⑥负整数指数幂的运算性质:当n 是正整数时,a -n =1x x (a ≠0).⑦混合运算的顺序是:先乘除,后加减,同级运算按从左到右的顺序进行,有括号,先算括号内的.☆巩固练:(1)原式=x 2-4+4x 2-4×x +2x =x 2(x +2)(x -2)×x +2x =xx -2.(2)原式=2x -2x -3(-3x -1x 2)6x -1·(xx )-2=-2×36a -2+(-1)-(-1)-(-2)·b -3+2-(-2)=-a 0b=-b.☆变式练:x -x x +2x ÷x 2-x 2x 2+4xx +4x 2-1 =x -x x +2x ·(x +2x )2(x +x )(x -x )-1=x +2x x +x -x +xx +x =x +2x -x -xx +x =xx +x .当a=b=1时,原式=11+1=12.★【例5】原方程可化为5x +2x (x +1)=3x +1,去分母,得5x+2=3x ,解得x=-1. 经检验可知,x=-1是原方程的增根,∴原方程无解.问题5:①确定最简公分母;②去分母,即方程两边都乘以最简公分母,约去分母.化分式方程为整式方程;③解这个整式方程;④把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根是增根,应舍去,使最简公分母不为零的根才是原方程的根.问题6:因为我们在去分母的变形过程中,需要乘以一个含未知数的整式(最简公分母),这样分式方程将转化为整式方程,如此一来,分式方程中分母不为0的限制被无形地取消了,使得未知数的X 围扩大了,若不进行“质检”,假冒伪劣产品要混入方程解的行列,而导致我们解题的错误.☆巩固练:原方程可化为x x -2-1=1(x +2)(x -2). 去分母,得x (x+2)-(x 2-4)=1. 整理,得2x=-3.解得x=-32. 经检验可知,x=-32是原方程的根.☆变式练:先去分母得x-3=-m ,显然这个关于x 的方程有解,即x=3-m ,这说明此解恰好使得原分式方程的分母为0(即它是原分式方程的增根),则可得x=2,代入x=3-m ,故m=1.★【例6】①摩托车走这30千米所用的时间-抢修车走这30千米所用的时间=1560(时)路程 时间 速度摩托车 30 30x x抢修车30301.5x 1.5x据此等量关系,可列方程30x -301.5x =1560②抢修车的速度=摩托车的速度×1.5路程 时间速度 摩托车 30 x 30x抢修车30x-156030x -1560据此等量关系,可列方程30x -15=30x ×1.5③速度×时间=路程路程 时间速度 摩托车 30 x 30x抢修车30x-156030x×1.5据此等量关系,可列方程 (30x ×1.5)×(x -1560)=30 三、练习巩固(一)解:1.AB=(3xx -2-x x +2)·x 2-4x =3(x+2)-(x-2)=2x+8; 2.“逆向”问题不唯一,仅举几例:(1)已知A 与B 的积为2x+8,且A=3xx -2-xx +2,求B.(解答略) (2)已知A 与B 的积为2x+8,且B=x 2-4x ,求A.(解答略)(3)已知A 与B 的积为2x+8,则A 与B 一定是整式吗?(答:不一定)(4)请构造出两个分式A 与B ,使A 与B 的积为2x+8?(解:x =3x x -2-xx +2,x =x 2-4x ) (5)请构造出一个整式A 与一个分式B ,使A 与B 的积为2x+8( 如:A=x 2-16,B=2x -4.实际上,只要取A 为非零次整式即可,如A=x ,则B=2x +8x等 )(二)解:1.1x (x +1)=1x -1x +1.2.(1)2 0142 015;(2)xx +1. 3.原式=14(11×2+12×3+13×4+…+11 007×1 008)=14×1 0071 008=1 0074 032.。

第十五章分式章末复习〔刘翔〕一、思维导图二、典型例题例1 以下各式中，哪些是整式？哪些是分式？2π，5x，32，5xy-，222x y+，2aa，212x y+.【知识点】分式的概念【思路点拨】根据整式和分式的概念进展判断．在这里要认识到：(1) π表示圆周率，是一个无限不循环小数，即无理数；(2)单独的一个数是单项式，单项式是整式，所以32是整式；(3)给定一个式子不能化简后再去判断，要根据原来的形式进展判断，如2aa是分式，不能约分成a，误认为是整式．【解答过程】解：整式有2π，2，5x y -，222x y +，212x y +；分式有5x，2a a .例2 计算：(1)1a ba b b a++--； (2) 22221(1)121a a a a a a +-÷+---+； (3)35(2)482y y y y -÷+---． 【知识点】分式的运算【思路点拨】(1)因为b －a ＝－(a －b )，而1＝a ba b--，所以通分时最简公分母为a －b ，也可首先把前两项进展运算．(2)把最后一个分式化简后再进展混合运算．(3)可把y ＋2视作一个整体，首先进展括号内的运算，再进展括号外的运算． 【解答过程】解：(1)原式＝a b a b a b a b a b --+---＝()a b a b a b -+--＝22a ba b-- ＝2()a b a b--＝2. 或者原式＝1a b a b a b -+--＝1a ba b-+-＝1＋1＝2. (2)原式＝22(1)1(1)(1)11(1)a a a a a a ++-⨯--+-＝2111a a a +--- ＝2(1)1a a -+-＝11a a -+-=11a a ---=-1.(3)原式＝23(4)54(2)2y y y y ---÷--＝23y 94(2)2y y y --÷--＝324(2)(3)(3)y y y y y --⨯-+-＝14(3)y +＝1412y +. 例3 解以下分式方程：(1)22111x x x -=--； (2) 11262213x x=+--. 【知识点】分式方程的解法 【数学思想】化归思想【思路点拨】 (1)方程中分母x 2－1＝(x ＋1)(x －1)，所以方程两边同乘最简公分母(x ＋1)(x －1)，注意不含分母的常数项1也要乘(x ＋1)(x －1)；(2)中方程的分母6x－2＝2(3x－1)，又因为1－3x＝－(3x－1)，所以方程两边同乘最简公分母2(3x－1)，注意常数项12也要乘2(3x－1)．【解答过程】解：(1)方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得x(x＋1)－2＝(x＋1)(x－1)．去括号，得x2＋x－2＝x2－1.移项、合并同类项，得x＝1.检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，所以原分式方程无解．(2)原方程化为112 2(31)231 x x=---方程两边同乘2(3x－1)，得1＝(3x－1)－4.解得x＝2.检验：当x＝2时，2(3x－1)≠0，所以x＝2是原分式方程的解．例4 甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决以下问题：(1)根据题意，填写下表：(2)甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？【知识点】分式方程的应用【数学思想】转化思想【思路点拨】先用x表示乙车间平均每小时生产的零件个数，再用x表示乙车间生产900个零件所用的时间，根据“时间相等〞列方程．【解答过程】解：(1)依次填入30＋x，900 30x+.(2)依题意列方程，得60090030x x=+， 解得x ＝60，30＋x ＝90.当x ＝60时，x 与30＋x 均不为0，且符合实际意义．所以甲车间平均每小时生产60个零件，乙车间平均每小时生产90个零件．三、章末检测题〔一〕选择题：1. 以下各式：()2221451, , , 532x x y x x xπ---其中分式共有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】分式的定义【思路点拨】依据分式的概念进展判断．【解答过程】()22141, , 532x x y x π---都是整式，25x x是分式．应选A ．【答案】A 2. 假设分式21x x -+的值为0，那么x 的值为( ) A ．2或－1 B ．0 C ．2 D ．－1 【知识点】分式的有关概念【思路点拨】分式的值为0，那么分子为0而分母不为0．【解答过程】由题意可知x －2＝0，得xx ＋1≠0，得x ≠－1，所以x ＝2，应选C. 【答案】C 3．分式22x-可变形为( ) A.22x + B ．22x -+ C.22x - D ．22x -- 【知识点】分式的根本性质【思路点拨】分子、分母、分式本身的符号，只要同时改变其中的两个，分式的值不变． 【答案】Dx 、y 的值均扩大为原来的2倍，那么以下分式的值保持不变的是〔 〕A.y x 23B.223y xC.y x 232D.2323yx【知识点】分式的根本性质 【思路点拨】 ． 【解答过程】 【答案】A5. 以下约分正确的选项是〔 〕 A ．313m m m +=+ B ．212yx y x -=-+ C ．123369+=+a ba b D ．()()y x a b y b a x =-- 【知识点】分式的根本性质【思路点拨】分式的分子、分母除以同一个不等于0的整式，分式的值不变． 【答案】Cxx -++1111的正确结果是〔 〕 A.0 B.212x x - C.212x - D.122-x 【知识点】分式的通分【思路点拨】最简公分母为(1)(1)x x +-，通分可得． 【解答过程】x x -++1111=11+11x x +-=11(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+- =212x- 【答案】C7．以下计算正确的选项是〔 〕A.m m m x x x 2=+B.22=-n n x xC.3332x x x =⋅D.264x x x -÷= 【知识点】分式的运算【思路点拨】运用分式的加、减、乘、除的运算法那么进展检查．【解答过程】2m m m x x x +=，那么A 错误的；2n n n x x x -=，那么B 错误的；336x x x =，那么C 错误的；264x x x -÷=是正确的；应选D ．【答案】D8．以下分式中，最简分式是〔〕A．2211xx-+B．211xx+-C．2222x xy yx xy-+-D．236212xx-+【知识点】最简分式【思路点拨】利用最简分式的定义判断即可．【解答过程】解：A原式为最简分式，符合题意；B原式=1(1)(1)xx x+-+=11x-，不合题意；C原式=2()()x yx x y--=x yx+，不合题意；D原式=(6)(6)2(6)x xx+-+=62x-，不合题意，应选A 【答案】A9．解分式方程22311xx x++=--时，去分母后变形正确的为()A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1) C．2－(x＋2)＝3 D．2－(x＋2)＝3(x－1) 【知识点】分式方程的解法【数学思想】化归思想【思路点拨】两边都乘以x-1可得结果．【解答过程】原方程可化为22311xx x+-=--，在方程22311xx x+-=--的两边同乘以(x－1)，得2－(x＋2)＝3(x－1)，应选D.【答案】D10．A、B两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4∶5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，假设求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，那么所列方程是〔〕A．1601603045x x-=B．1601601452x x-=C．160142x-=D．1601603045x x+=【知识点】分式方程的应用【数学思想】转化思想【思路点拨】设甲车平均速度为4x千米/小时，那么乙车平均速度为5x千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可．【解答过程】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，那么乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得，1601601452x x-=．应选B．【答案】B11．假设关于x的分式方程12-1mx-=的解为非负数，那么m的取值范围是()A．m＞－1 B．m≥－1 C．m＞－1且m≠1 D．m≥－1且m≠1【知识点】分式方程的解、分式方程的解法【数学思想】转化思想【思路点拨】此题解题的关键是用关于m的式子表示出分式方程的解；先对原分式方程去分母转化为整式方程，可用含m的代数式表示出x＝12m+；又由于该分式方程的解为非负数，于是可以得出关于m的不等式，从而求出m的值；又根据分式方程可知x-1≠0，那么有12m+≠1，对其求解得到m不能取到的值，即可使问题得解.【解答过程】方程两边都乘以〔x－1〕，得m－1＝2(x－1)，所以x＝1 2m+.∵x为非负数，∴12m+m≥－1.又∵x－1≠0，即12m+≠1，∴m≠1，应选D.【答案】D．12.小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h 的速度行走另一半时间〔a b≠〕，那么谁走完全程所用的时间较少？〔〕【知识点】分式的应用【数学思想】转化思想【思路点拨】把全程看作单位“1〞．根据时间=路程÷速度，表示出小明、小刚所用的总时间；为了比拟它们的大小，用做差法，看差的正负性．【解答过程】解：设全程为1，小明所用总时间是1122a b +＝1()2a bab +，小刚所用总时间是1a b +，小明所用时间减去小刚所用时间得1()2a b ab +－1a b+＝21()2()a b ab ab a b +-+＝221()2()a b ab a b ++ 【答案】B〔二〕填空题：13. 当式子11x -有意义时，x 应满足的条件为________． 【知识点】分式有意义【思路点拨】分式有意义的条件是分母不能为0．【解答过程】解：∵分母不能为0，∴10x -≠，即1x ≠，那么x ≠±1. 【答案】x ≠±1.14. 杨絮纤维的直径约为0.0000105 m ，该直径用科学记数法表示为________． 【知识点】科学记数法【思路点拨】绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为10n a -⨯． 【解答过程】0.0000105= 1.05×10－5 【答案】1.05×10－5 15.102x -=+无解，那么m =___. 【知识点】分式方程的解【数学思想】化归思想、分类思想.【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答过程】方程去分母得：m −(x −2)=0，解得：x =2+m ， ∴当x =2时分母为0，方程无解， 即2+m =2，∴m =0时方程无解. 当x =−2时分母为0，方程无解， 即2+m =−2，∴m =−4时方程无解.综上所述，m 的值是0或−4. 【答案】0或−4.16．假设13x x+=，那么4221x x x ++__________.【知识点】分式的性质 【数学思想】整体思想【思路点拨】先对所求代数式化简，再把1x x +的值整体代入求值即可．或先把13x x += 两边同时平方，求出221x x +的值，然后对所求代数式化简，再把221x x+的值整体代入求值即可．【解答过程】方法一：4221x x x ++=2211x x ++=21()1x x +-； ∴当13x x+=，原式=32−1=8.方法二：由13x x +=得21()9x x +=，2217x x +=，∴4221x x x ++＝22118x x++=. 【答案】8.17. 如果实数x ，y 是方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩的解，那么式子1(2)xy x y x y +÷++ 的值为______．【知识点】分式的值【思路点拨】先求出方程组的解得到x 与y 的值，再把原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分得到最简结果，最后代入计算即可求出值．【解答过程】解：解方程组得3-1x y =⎧⎨=⎩ ∴ 原式＝(2)xyx y x y +•++（）＝xy ＋2(x ＋y )＝3×(－1)＋2×(3－1)＝－3＋4＝1. 【答案】1.18. 2=-，43yz y z =+，43zx z x =-+值为___.【知识点】分式的化简求值 【数学思想】转化思想【思路点拨】所求式子分子分母除以xyz 变形后，将三等式左边变形后代入，计算即可求出值．〔三〕解答题：19．化简：(1) 26211()6933m m m m m -÷--+-+；(2) 2214(11m m m m ）-+÷++. 【知识点】分式的混合运算【思路点拨】运用分式的加、减、乘、除运算法那么进展运算． 【解答过程】解：(1)原式＝22(3)(3)(3)(3)(3)(3)m m m m m m --+--÷--+ ＝2(3)(3)36m m m --+⨯-＝33m +-. (2)原式＝2(2)(-2)1(1)m m m m m m ++÷++＝2(1)1(2)(-2)m m m m m m ++⨯++＝-2m m . 20．解以下分式方程：(1)123113x x x =---； (2) 2134412142x x x x +=--+-. 【知识点】分式方程的解法. 【数学思想】化归思想.【思路点拨】去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验． 【解答过程】解：(1)去分母得x ＝2(3x －1)＋1，去括号得x ＝6x －2＋1，合并同类项得5x ＝1，系数化为1得x ＝15. 经检验，x ＝15是分式方程的解．(2)原方程可化为132(21)(21)2122x x x x x +=-+-+-， 两边同时乘以(2x ＋1)(2x －1)，得x ＋1＝3(2x －1)－2(2x ＋1)，x ＋1＝6x －3－4x －2，解得x ＝6.经检验，x ＝6是原分式方程的解．∴原方程的解是x ＝6.21．先化简，再求值：12+=x ，求xx x x x x x 112122÷⎪⎭⎫⎝⎛+---+的值. 【知识点】分式的运算【数学思想】整体思想【思路点拨】先利用分式的运算法那么化简，再代入求值． 【解答过程】原式＝211(1)(1)x x x x x x ⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭＝222(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪--⎝⎭ ＝22211(1)x x x x x --÷-＝21(1)x x x --＝21(1)x --， 当12+=x 时，原式＝＝＝12- 22．某校学生利用双休时间去距学校10km 的炎帝故里参观，一局部学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车沿一样路线出发，结果他们同时到达．汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．【知识点】分式方程的应用．【数学思想】转化思想【思路点拨】求速度，路程，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“一局部学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车沿一样路线出发，结果他们同时到达〞，根据等量关系列出方程．【解答过程】解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，汽车的速度为2x 千米/小时，可得：101020260x x =+， 解得：x =15，经检验：x=15是原方程的解，2x=2×15=30，答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．23．某市为创立全国文明城市，开展“美化绿化城市〞活动，方案经过假设干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2021年初开场实施后，实际每年绿化面积是原方案的1.6倍，这样可提前4年完成任务．〔1〕问实际每年绿化面积多少万平方米？〔2〕为加大创城力度，市政府决定从2021年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用．【数学思想】化归思想【思路点拨】〔1〕设原方案每年绿化面积为xx万平方米．根据“实际每年绿化面积是原方案的1.6倍，这样可提前4年完成任务〞列出方程，解方程即可；〔2〕设平均每年绿化面积还要增加a万平方米．那么由“完成新增绿化面积不超过2年〞列出不等式，解不等式即可．【解答过程】解：(1)设原方案每年绿化面积为xx万平方米，根据题意，得360360-41.6x x=解得：x=33.75，经检验x=33.75是原分式方程的解，x=1.6×33.75=54(万平方米).答：实际每年绿化面积为54万平方米；〔2〕设平均每年绿化面积还要增加a万平方米，根据题意，得54×3+2〔54+a〕≥360解得：a≥45．答：实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．24．a为大于2的整数，假设关于x的不等式组202x ax-≤⎧⎨≥⎩无解．(1)求a的值；(2)化简并求222(1)a a a a---÷的值． 【知识点】分式的混合运算、不等式组的解集【思路点拨】先求出不等式组的解集，根据无解得出a 的值，再化简求值．【解答过程】解：(1)解不等式2x －a≤0，得x≤2a . ∵原不等式组无解，∴2a ＜2，解得a ＜4. 又∵a 为大于2的整数，∴a ＝3.(2)原式＝222a a a a a ---÷＝(2)(1)2a a a a a -+-＝a ＋1. 当a ＝3时，原式＝3＋1＝4.25．某校原有600张旧课桌急需维修，经过A 、B 、C 三个工程队的竞标得知，A 、B 工程队的工作效率一样，且都为C 工程队的2倍，假设由一个工程队单独完成，C 工程队比A 工程队要多用10天．学校决定由三个工程队一起施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天后，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开场，各自都提高工作效率，A 、B 工程队提高的工作效率仍然都是C 工程队提高的2倍，这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务．(1)求A 工程队原来平均每天维修课桌的张数；(2)求A 工程队提高工作效率后平均每天多维修的课桌张数a 的取值范围．【知识点】分式方程的应用、不等式的应用【数学思想】转化思想【思路点拨】〔1〕求工效，有工作总量，应根据时间来列等量关系为：C 队所用天数-A 队所用天数=10；〔2〕剩余任务完成的天数应在3天和4天之间． 【解答过程】解：(1)设C 工程队原来平均每天维修课桌x 张，根据题意，得600600102x x-=. 解这个方程，得x ＝30.经检验，x ＝30是原方程的根，且符合题意，2x ＝60.答：A工程队原来平均每天维修课桌60张．(2)设C工程队提高工作效率后平均每天多维修课桌y张，施工2天后，已维修(60＋60＋30)×2＝300(张)，从第3天起还需维修的张数应为600－300＋360＝660(张)．根据题意，得3(2y＋2y＋y＋150)≤660≤4(2y＋2y＋y＋150)．解这个不等式组，得3≤y≤14.∴6≤2y≤28.答：A工程队提高工作效率后平均每天多维修的课桌张数a的取值范围为6≤a≤28.【思路点拨】只需仿照原材料中的解题过程就可解决问题．【解答过程】解：(1)由分母为−x2+1，可设−x4−6x2+8=(−x2+1)(x2+a)+b那么−x4−6x2+8=(−x2+1)(x2+a)+b=−x4−ax2+x2+a+b=−x4−(a−1)x2+(a+b)。

1人教版八年级上数学第十五章分式 第 课时 分式复习学案 （总第 课时）一、基础知识和基本概念1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

（分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零）2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

C B C A B A ∙∙= （0≠C ） )0(≠÷÷=C CB CA B A3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则:分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

bdacd c b a =⨯分式除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

bcadc d b a d c b a =⨯=÷分式乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方。

n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛分式的加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

cba cbc a ±=±异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减bdbcad d c b a ±=±混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程；(4)验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

导学案15.1.1 从分数到分式【学习目标】1、掌握分式概念，掌握分式有意义的条件和值为零的条件，能用分式表示数量关系.2、经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，体验类比的数学思想.3、体验数学活动充满着探索和创造，体会分式模型思想.【学习重点】理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.【学习难点】能熟练地求解分式有意义的条件、分式的值为零的条件. 【学习过程】一、课前导学：（学生自学课本126-127页内容，并完成下列问题） 1、单项式和多项式统称 .2、53表示 ÷ 的商，)()2(n m b a +÷+可以表示为 . 3、填空：⑴长方形的面积为102cm ，长为7cm ，宽应为 cm ；长方形的面积为S ，长为a ，宽应为 .⑵把体积为2003cm 的水倒入底面积为332cm 的圆柱形容器中，水面高度为 cm ；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 .思考：式子a s ，s v ，5+x x ，212-+x x 有什么共同点？ 答：它们与分数有什么相同点和不同点？ 答：相同点： ，不同点 【定义】一般地，形如BA 的式子叫做分式，其中A 和B 均为 ，B 中含有 . 5、⑴当x 时，分式x 32有意义； ⑵当x 时，分式1-x x有意义；⑶当x 时，分式523+-x x 有意义； ⑷当x ＝ 时，分式623+-x x 无意义【结论】分式有意义的条件是 ；分式无意义的条件是 . 6、当x = 时，分式xx 3+值为零； 当x = 时，分式54--x x 值为零【结论】分式值为零的条件是 .二、合作、交流、展示： 1.问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？2.例题： 例题1列各式中，哪些是分式，哪些整式？（1）x 4 （2）4a（3）y x -1 （4）43x（5）21x 2 （6）232-x ⑺y x x +2注意：分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别.例题2. 当x 为何值时，下列分式有意义. （1）535+-x x （2）432--x x （3）()21-x x （4）232+-x x 例题3当x 为何值时，下列分式的值为零（1）x x 32+ （2）592--x x （3）33+-x x ⑷()242+-x x x思考：分式112-+x x 的值可能为0，为什么？三、巩固与应用:1.填空；⑴走一段长10千米的路，步行用了x 2小时，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少为0.2小时，骑自行车的平均速度为 .⑵甲完成一项工作需t 小时，乙完成同样工作比甲少用1小时，甲乙的工作效率是⑶小李要打一份12000字的文件，第一天他打了2h ，打字速度为字每分钟w 字/min ，第二天他打字的速度比第一天快了10字/ min ，两天打完全部文件，第二天他字用的时间为2、下列各式中，分式的有 ， 是整式的有 ； ①x 1，②3x ，③a π，④)(3b a c -，⑤352-a ，⑥22y x x -，⑦11x +，⑧n m n m -+，⑨ 22a b a b--， 3、下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x + B ．21xx + C ．231x x+ D ．2221x x + 4、当x ＝ 时，分式2212x x x -+-的值为零， 当x ＝ 时，分式()623--x x x 的值为零四、小结： １. 式子 BA 是分式的条件是A 和B 均为 ，B 中含有２. 分式B A 有意义的条件是 ，分式B A 值为零的条件是五、作业：《课本》第133页. 第1、2、3题赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案15.1.2(1) 分式基本性质（一）【学习目标】1．理解分式的基本性质和分式的变号法则. 2．会用分式的基本性质将分式约分,.3.经历探索分式的基本性质的过程，体验分式变形的方法，体验类比的数学思想.【学习重点】理解分式的基本性质，理解分式变号的法则，利用分式的基本性质进行分式的约分. 【学习难点】灵活运用分式的基本性质进行分式的约分. 【学习过程】一、课前导学：（学生自学课本129-131页内容，并完成下列问题）1.因式分解中平方差公式： ，完全平方公式： .2.把下列各式分解因式：⑴2226ab b a +＝ ⑵y y x 42-＝ ⑶3222b ab b a +-＝ 3.填空：⑴()1032= ， ()35624= ， ()a 232=(其中a ≠0 )， ()595=c c (其中a ≠0 ) 分数的基本性质： .4.【思考】类比分数的基本性质，你能猜想分式的有什么性质？分式的基本性质：用式子表示为⑴B A ＝ （C ≠0） ⑵BA＝ （C ≠0） 5.填空：⑴ ()ab ac b 2= ⑵ ()2632xyy x= ⑶ ()2-=a b b a ⑷()y y x 486= ⑸ ()x x xy x 242222=+ ⑹ ()()()()y x y x y x xy -=--2 5. ⑴=÷÷=232232242242b b b ab b ab ⑵()()()()()()=-÷--÷-=--2222222222x x x x x x 【定义】与分数的约分类似，利用分式的基本性质，我们可以对分式进行约分.把一个分式的分子和分母中的 约去，叫做分式的约分.【定义】把一个分式约分后，分式中的分子和分母没有公因式， 这样的分式叫做 .5.把下列分式进行约分：⑴=c b ab 32 ⑵=22188mn n m ⑶=+x x x 222 ⑷()()()=+--4332x x x 二、合作、交流、展示：1.分式的基本性质： 分式的分子、分母乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 可用式子表示为：B A ＝C B C A ∙∙ B A ＝CB C A ÷÷（C ≠0） （思考：为什么C ≠0） 2．例题 例题1.填空：⑴c a b ++1=()cn an + ⑵ ()x x x x -=+21 ⑶()y xy x =3 ⑷()yx xxy x +=+22633 例题2.约分：⑴c ab bc a 2321525- ⑵96922++-x x x ⑶()a a --1)1(3 ⑷y x y xy x 33612622-+- 注意：1、约分的关键步骤是确定分子与分母的公因式，当分子或分母是多项式时，应先分解因式，然后再约分.2、分式约分后的结果是最简分式或整式.例题3.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 23b ac -- (2) 235b xy - （3)()22b a b a ++-- ⑷ 2317b a ---仔细观察，思考：分子、分母、分式本身的三个符号中，同时改变几个符号，分式值不会改变？ 三、巩固与应用:1.若分式 yx xy + 的分子、分母中的x 与y 同时扩大2倍，则分式的值（ ）A 、扩大2倍B 、缩小2倍C 、不变D 、是原来的2倍2、(1) x x x 3222+= ()3+x ;(2) 32386b b a =()33a （3) c a b ++1=()cn an +; (4) ()222y x y x +-=()yx - 3.约分：（1）c ab b a 2263 （2）x y y x --3)(2 （3）222b a ab a -+ ⑷()222y x y x +- 4.不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号. （1）b a ba +---2 （2）yx y x -+--32四、小结： 1.分式的基本性质2.分式约分的步聚五、作业：《课本》第133页. 第4、5、6题赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案15.1.2(2) 分式的基本性质（二）――通分【学习目标】1. 理解最简公分母的含义.2. 灵活运用分式的基本性质进行分式的通分.3、从分数通分到分式的通分，体验类比转化的数学思想.【学习重点】准确确定分式的最简公分母，熟练进行分式的通分. 【学习难点】灵活运用分式的基本性质进行分式的通分. 【学习过程】一、课前导学：（学生自学课本131-132页内容，并完成下列问题）1．分式的基本性质： .2.填空：⑴25x y --＝ ；⑵()22--x x＝ ；⑶3---x y ＝ . 3.把分数87和123通分：87＝ ， 123＝ . 4.利用分式的基本性质，把ab 21和232ab -化成分母都是b a 26的分式： ab 21＝()()∙∙ab 21＝()ba 26 ，232a b -＝()()()∙∙-232a b ＝ ()ba 26【定义】与分数的通分类似，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的 的分式，叫做分式的通分. 我们把分母b a 26叫做分式ab 21和232a b-的最简公分母，思考：最简公分母b a 26与分母ab 2、23a 之间有什么关系？【定义】一般取各分母的 因式的 的积作公分母，它叫做最简公分母. 【方法】确定最简公分母的步骤： ⑴系数取： ；⑵字母和因式取： ；⑶字母和因式的指数取 . 简称为“小、全、高” 5. 指出下列分式分母的最简公分母，并把它们通分. ⑴223ab 和28bc a解： 最简公分母： 223ab ＝()()∙∙223ab ＝ ， 28bc a ＝()()∙∙28bc a ＝ （2）11-y 和11+y 解： 最简公分母： 11-y ＝()()∙-∙)1(1y ＝ ，11+y ＝()()∙+∙)1(1y ＝二、合作、交流、展示： 1. 确定最简公分母的步骤：“小、全、高”！ “小”： “全”： “高”： . 2.例题 例1、指出下列分式的最简公分，并通分： ⑴bc a 362 与d b a a 22152- ⑵ d b c 382与2127abd - 例2、指出下列分式的最简公分母并通分：⑴52-x x 与53+x x ⑵ x x x 222+-与()221+-x x【方法】当分母是多项式时，先把分母分解因式后，再确定最简公分母. 例3、指出下列分式的最简公分，并通分： ⑴2121a a a -++与261a - ⑵ 229y x y-与y x x --32三、巩固与应用:1．通分： ⑴bc a d 26-与2274ab cd ⑶x y y x 33-+与()2y x xy- ⑷9422-m mn 与m m 2332+- 2．若分式()x x x-3有意义则x 的取值范围是 .3.下列各式对不对？如果不对，写出正确答案：⑴ x x x x -=+--111212 ⑵ ()yx xy x x xy -=--22 4.拓展： ⑴.使分式1332-+x x 的值是整数x 的值为 . ⑵.已知2+32＝3222⨯，3+83＝8332⨯，4+154＝15442+，… 若10+a b ＝a b ⨯210（其中a 、b为正整数），求分式ba ab b ab a 22222+++的值.四、小结： 1. 最简公分母的意义; 2.确定最简公分母的步骤:3.通分的步骤:五、作业：《课本》第133页. 第7题赣州一中2013—2014学年度第一学期初二数学导学案15.2.1分式的乘法【学习目标】1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想． 2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算. 【学习重点】运用分式的乘除法法则进行运算． 【学习难点】分子、分母为多项式的分式乘除运算． 【学习过程】一、课前导学：（自学课本第135-137页，完成下列问题）1、约分 ⑴233123ac c b a = ⑵ ()2xy y y x += ⑶ ()22y x xy x ++= ⑷()222y x y x --= 2、分数的乘除：32×54=()()()()⨯⨯,75×92=()()()()⨯⨯，32÷54=32×()()=()()⨯⨯32,75÷92=75×()()=()()⨯⨯75 【分数的乘法法则】：分数乘分数，用 作为积的分子， 作为积的分母． 【除法法则】：除以一个 的数等于 这个数的 ．分式的乘除，猜一猜a b ×c d =()()()()⨯⨯， a b ÷c d =a b ×()()=()()()()⨯⨯ 【分式的乘法法则】：分式乘分式，用 作为积的分子， 作为积的分母． 【分式的除法法则】：分式除以分式，把除式的分子、分母 位置后，与被除数 ．2、填空（1）=∙c a a b （2）a ba 22∙=（3）=÷a b a 22 （4）nxmymx ny -∙=3、问题1、一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b ，当容器内的水占容积的nm时，水面的高度为多少？(提示：这个长方体容器的高怎么表示？) 4、问题2、大拖拉机m 天耕地a 2hm ，小拖拉机n 天耕地b 2hm ，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？（分析）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？所以：大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 ÷ = 倍． 二、合作、交流、展示：例1：分子、分母为单项式的分式乘除（1）y x 34·32x y （2）cd b a cab 4522223-÷【收获】：（1）运算结果应约分到最简。

第15章 分式复习学案（一）教学年级：八年级一、教学目标：1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。

2、经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程 。

3、发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。

二、重点、难点：1．重点：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示、分式方程概念2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.三、教学方法：讲解法、探究法四、教具准备：练习纸五、教学过程：一、知识回顾：2、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)_______________ .分式的值________.用式子表示: ___________3、通分关键是找____________________,约分与通分的依据都是:______________________4、有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg 。

已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量。

1)你能找出这一问题中的等量关系吗？（1）第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量（2）第一块试验田的面积=第二块试验田的面积（3）土地面积总产量每公顷的产量 2)如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公顷的产量是 （ ）kg 。

第一块试验田的面积为（ ），第二块试验田的面积为（ ）。

3)根据题意，可得方程：（ ）二、知识应用1、当x ＝________时，分式31－x 没有意义． 2、一种病菌的直径为0.0000036m ，用科学记数法表示为 .3. 分式bx ax 1,1的最简公分母为 .4. 化简=-32224m n m .5. 在括号内填入适当的单项式,使等式成立:22)(1xy xy =6. 计算022005121⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--= . 7、某班a 名同学参加植树活动，其中男生b 名(b<a)．若只由男生完成，每人需植树15棵；若只由女生完成，则每人需植树 棵．8、已知a 2－6a+9与|b －1|互为相反数,则(ab b a -)÷(a +b )=______。

最新精品部编版人教初中八年级数学上册第十五章分式优秀导学案（全章完整版）前言：该导学案（导学单）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。

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（最新精品导学案）15．1 分式15．1.1 从分数到分式1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式．2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件．3．能用分式表示现实情境中的数量关系．阅读教材P 127～128，完成预习内容．知识探究(一)式子s a ，v s 以及引言中的10020＋v ，6020－v有什么特点？ 它们与分数的相同点：____________________；不同点：________________________________________________________________________.总结：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式，其中A 叫做分子，B 叫做分母．自学反馈独立思考下列各式中，哪些是分式？①2b －s ；②3000300－a ；③27；④V S ；⑤S 32； ⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 22x －1；⑪5x －7. 判断是否是分式主要看分母是不是含有字母．这是判断分式的唯一条件．知识探究(二)思考：1.分式A B的分母有什么限制？ 当B ＝0时，分式A B无意义． 当B≠0时，分式A B有意义． 2．当A B＝0时分子和分母应满足什么条件？ 当A ＝0且B≠0时，分式A B的值为零． 自学反馈1．当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？(1)3x ＋2；(2)x ＋53－2x. 分母是否为0决定分式是否有意义．2．当x 为何值时，分式的值为0?(1)x ＋75x ；(2)7x 21－3x.活动1 小组讨论例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？(1)甲每小时做x 个零件，他做80个零件需________小时．(2)轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是________千米/时，轮船的逆流速度是________千米/时．(3)x 与y 的差除以4的商是________．解：(1)80x ；分式 (2)a ＋b ，a －b ；整式 (3)x －y 4；整式 例2 当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)2x －5x 2－4；(2)x 2－1x 2－x. 解：(1)有意义：x 2－4≠0，即x≠±2；无意义：x 2－4＝0，即x ＝±2；值为0：2x －5＝0且x 2－4≠0，即x ＝52. (2)有意义：x 2－x≠0，即x≠0且x≠1；无意义x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1；值为0：x 2－1＝0且x 2－x≠0，即x ＝－1.分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的．活动2 跟踪训练1．下列各式中，哪些是分式？①4x ；②a 4；③1x －y ；④3x 4；⑤12x 2. 2．当x 取何值时，分式x 2＋13x －2有意义？ 3．当x 为何值时，分式|x|－1x 2－x的值为0? 活动3 课堂小结1．分式的定义及根据条件列分式．2．分式有意义的条件．【预习导学】知识探究(一)形式相同都有分子和分母，分式中分母含有字母，而分数的分母不含字母自学反馈(一)分式有①②④⑦⑩.(二)1.(1)当x＋2≠0，即x≠－2时，分式3x＋2才有意义．当x＝－2时，分式3x＋2无意义．(2)当3－2x≠0，即x≠32时，分式x＋53－2x才有意义．当x＝32时，分式x＋53－2x无意义． 2.(1)x＋7＝0且5x≠0，即x＝－7.(2)7x＝0且21－3x≠0，即x＝0.【合作探究】活动2跟踪训练1．①③是分式． 2.当3x－2≠0，即x≠23时有意义．3.||x－1＝0且x2－x≠0，即x＝－1.15.1.2 分式的基本性质1．理解并掌握分式的基本性质．2．能运用分式的基本性质约分和通分．阅读教材P129～132，完成预习内容．知识探究1．分数的基本性质：分数的分子与分母乘(或除以)同一个________的数，分数的值不变．2．问题：你认为分式a2a与12；分式n2mn与nm相等吗？3．类比分数的基本性质得到：分式的分子与分母乘(或除以)同一个________。

中学“学议练思”自学指导教学学案编制：审核：学生姓名：课题：第15章：分式复习学案主讲：学习目标：1. 使学生有目的的梳理知识，形成这一章完整的知识体系.2. 使学生在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人..学习重点：1. .分式的概念及其基本性质.2. 分式的运算法则.3. 分式方程的概念及其解法.4.分式方程的应用.学习难点： 1. 分式的运算及分式方程的解法.2.. 分式方程的应用.教学流程学习过程备注（一）依案自学，自主构建；（10分钟）（1）创设情境，导入新课。

（2）下发学案，学生自学（3）教师巡视，适时指导。

熟悉分式知识网络：（课前预习请结合以下网络回想已学知识）（二）热点追议，互动交流；（15分钟）（1）组内交流，初步解决问题。

（2）班内交流，解决热点问题。

（3）教师示范，展示知识脉络。

知识要点。

（课前预习内容）1、分式的定义：。

2、对于分式有意义；3、分式的基本性质：4、分式的约分：。

（思考：公因式的确定方法）。

5、最简分式：。

6、分式的通分：（思考：最简公分母的确定方法）。

7、分式运算①加减法运算：。

（加减法的结果应化成）②分式乘除运算：。

③成方运算。

8、分式方程的定义：9、解分式方程的基本思想：；如何实现：。

10、解分式方程的步骤：11、方程的增根：（思考：产生增根的原因，如何验证増根？）12、a)零指数)0(10≠=aa b)负整数指数).,0(1为正整数paaapp≠=-c)注意正整数幂的运算性质nnnmnnmnmnmnmnmbaabaaaaaaaaa==≠=÷=⋅-+)(,)(),(,可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、n可以是O或负整数．反思。

第15分式小结与复习【学习目标】：了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题。

学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。

学习难点 ：分式方程的应用。

学习过程 ：一、知识点复习：1. 分式的概念（1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式。

（2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。

2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为 0，即AB 中， B ≠ 0 时，分式有意义。

3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00A B =⎧⎨≠⎩时，A B = 0 .4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。

A A MB B M ⋅=⋅, A A M B B M ÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式）5. 分式通分（1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母;（3）通分后的各分式的分母相同;（4）通分后的各分式分别与原来的分式相等.6. 分式通分的步骤（1）确定最简公分母①取各分母系数的最小公倍数。

②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。

③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。

（2）将各分式化成相同分母的分式。

7. 分式的约分（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。

（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。

8. 分子的变号规则分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。

用式子表示为：a a a bb b -==--；a a a a b b b b ---=-==--9. 分式的乘除法则乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。