8.列方程解应用题( 设元的技巧)

列方程解应用题的四种方法列方程（组）解应用题就是将已知量与未知量的关系列成等式，通过解方程（组）求出未知量的过程. 其目的是考查学生分析问题和解决问题的能力. 如何解决这类问题，其方法很多，现结合实例给出几种解法，以供参考.一、直译法设元后，把元看作未知数，根据题设条件，把数学语言直译为代数式，即可列出方程组. 例1（2007年南京市）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg ，求南瓜亩产量的增长率． 分析：若设南瓜亩产量的增长率为x ，则南瓜种植面积的增长率为2x ．由此可知今年南瓜的亩产量为2000(1)x +kg ，共种植了10(12)x +亩南瓜，根据总产量是60 000kg 即可列出方程.解：设南瓜亩产量的增长率为x ．根据题意列方程，得10(12)2000(1)60000x x ++= ．解得10.550%x ==，22x =-（不合题意，舍去）． 答：南瓜亩产量的增长率为50％．二、列表法设出未知数后，视元为未知数，然后综合已知条件，把握数量关系，分别填入表格中，则等量关系不难得出，进而列出方程组.例2（2007年沈阳市）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 分析：解工程问题的关键是抓住工作总量、工作效率、工作时间三者间的关系，工作总量通常看作单位1. 根据题意，将关键数据分别填入表格即可列出方程.解：设甲队单独完成此项工程需要x 天，则乙队单独完成此项工程需要45x 天. 由题意得1012145x x +=.解得25x =. 经检验，25x =是原方程的解. 当25x =时，4205x =. 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．三、参数法对复杂的应用题，可设参数，则往往起到桥梁的作用.例3 （2007年滨州市）某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面．假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为12u u ，表示），请你根据图1，求电车每隔几分钟（用t 表示）从车站开出一部？分析：本题给人数量少，条件不足，好象无从下手的感觉，因此可把需要的量以辅助未知数（参数）的形式表示出来.解决本题的关键是正确求出两部电车的间隔距离，如图1（甲）所示，则从行人身后（人车同向）发来的两辆电车间的距离为：6×（电车行进的速度－行人骑车的速度）；如图1（乙）所示，则从行人前方（人车异向）发来的两辆电车间的距离为：2×（电车行进的速度＋行人骑车的速度）.解：设电车的速度为1u ，行人的速度为2u ，电车每隔t 分钟从车站开出一部.根据题意得1211216()2()u u u t u u u t -=⎧⎨+=⎩，解得122u u =． 再把122u u =代入所列方程组的任意一个方程中，均可解得3t =（分钟）.答：电车每隔3分钟从车站开出一部．四、线示法运用图线，把已知和未知条件间的数量关系，用线性图表示出来，再把数量关系写在直线图上，则等量关系可一目了然.例4（2007年梅州市）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的速度是5km/h （上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．分析：（1）可把单独用一辆小汽车来回接送学生所需要的时间与42分钟做比较即可；（2）若确定去县城的最短时间，可充分考虑“汽车”和“人”这两个运动因素. 显然当汽车到达时，人也同时到达这一情况可使运送学生的总时间最短. 最短时间可利用速度比求得.解：（1）不能在限定时间内使考生到达考场.图1理由如下：如果单独用一辆小汽车来回接送，那么小汽车需要跑3趟，所需要的时间为1533(h)45604⨯==（分钟），由于45分钟42>分钟，所以不能在限定时间内到达考场． （2）方案不惟一，具有开放性. 最短时间的方案设计如下：先让4人乘车，另4人步行，如果恰当的选取第一批学生下车的位置，然后让他们步行到车站，同时第二批4人也步行；小汽车返回后接第二批步行的4人追赶第一批步行的人，使这8人同时到达火车站. 在这个过程中，8个人始终在步行或乘车，没有因为等车而浪费时间，因而应该最节约时间. 其运动过程如图2所示.设先步行的4人的行走路程AB 为km x ，后步行的4人的行走路程CD 为km z ，中间的汽车行走路程BC 为km y . 则汽车在路线A C B →→上所用时间与先步行的4人在路线A B →上所用的时间相等；汽车在路线C B D →→上所用时间与后步行的4人在路线C D →上所用的时间相等. 根据在相等的时间内，路程之比等于速度之比，可以得到：:(2)5:60:(2)5:60x x y z z y +=⎧⎨+=⎩ 整理得212212x y x z y z+=⎧⎨+=⎩ 解得2,112.11x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又因为15x y z ++=，所以可得：2x =，11y =，2z =. 由题知所用最短时间为汽车行走的路程与汽车的速度之比，即3376060x y z ++=（时）37=（分钟）. 因为3742<，所以他们能在截止进考场的时刻前到达考场． 图2。

列方程解应用题——设元的技巧
题目：超市购进苹果和橙子共270个，购进的苹果多于橙子120个，苹果的单价是橙子的2倍，总共花费了650元。

求苹果和橙子的单价。

设橙子的单价为x元/个，苹果的单价为2x元/个。

购进的苹果数量=购进的橙子数量+120（方程1）
购进的苹果单价=橙子的单价×2（方程2）
购进的苹果单价×购进的苹果数量+购进的橙子单价×购进的橙子数量=650（方程3）
根据方程1，可以得到购进的橙子数量为购进的苹果数量-120。

将方程1和方程2代入方程3中，得到：
购进的苹果单价×购进的苹果数量+橙子的单价×(购进的苹果数量-120)=650
进一步化简：
(2x)×(购进的苹果数量)+x×(购进的苹果数量-120)=650
2x×购进的苹果数量+x×购进的苹果数量-120x=650
合并同类项：
3x×购进的苹果数量-120x=650
移项：
3x×购进的苹果数量=120x+650
除以3x：
购进的苹果数量=(120x+650)/(3x)（方程4）
由于购进的橙子数量=购进的苹果数量-120，将方程4代入方程1中，得到：
购进的橙子数量=(120x+650)/(3x)-120
苹果的单价为2x元/个，将此值代入方程2中，得到：
橙子的单价=(2x)/2=x元/个
因此，苹果的单价为2x元/个，橙子的单价为x元/个。

综上所述，苹果和橙子的单价分别为2x元/个和x元/个。

第四讲列方程（组）解应用题一、知识要点1、列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.2、列方程解应用题要领：（1）善于将生活语言代数化；（2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；（3）善于寻找数量间的等量关系。

二、例题示范1、合理设立未知元例1一群男女学生若干人，如果女生走了15人，则余下的男女生比例为2:1，在此之后，男生又走了45 人，于是男女生的比例为1:5,求原来男生有多少人？提示：（1）直接设元（2）列方程组：例2 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书，如果甲减2本，乙加2本，丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？提示：（1）设四个孩子的书一样多时每人有x本书，列方程；（2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书，列方程组：例4 （1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？提示：用列表法分析数量关系。

例5 如果某一年的5月份中，有五个星期五，它们的日期之和为80，求这一年的5月4日是星期几？提示：间接设元.设第一个星期五的日期为x，例6 甲、乙两人分别从A 、B 两地相向匀速前进，第一次相遇在距A 点700米处，然后继续前进，甲到B 地，乙到A 地后都立即返回，第二次相遇在距B 点400米处，求A 、B 两地间的距离是多少米？提示：直接设元。

例7 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率。

提示：商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为：商品利润率=[（商品售价—商品进价）÷商品进价]⨯100%。

解方程应用题的方法和技巧一、引言解方程是数学中重要的基础概念之一，应用非常广泛。

解方程应用题的题目形式多样，但解题的基本方法和技巧可以总结为几个关键步骤。

本文将从实际应用问题的角度出发，分析解方程应用题的解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

二、解方程应用题的基本方法解方程应用题的基本方法包括以下几个步骤：1. 理解问题首先，我们要仔细阅读题目，确保对问题的意思有清晰的理解。

在理解问题的同时，要思考问题的求解方式以及可能的方程形式。

2. 建立方程根据问题的条件，建立数学方程。

方程的建立需要根据问题中的已知量和未知量之间的关系进行推导，通常需要抽象问题的实际情境，将其转化为数学语言。

3. 解方程利用代数运算的规则，对所建立的方程进行化简和变形，以求得未知量的解。

对于一元一次方程，可以直接利用解一元一次方程的基本方法进行求解；对于其他类型的方程，可以利用不同的解法，如因式分解、配方法、平方根法、二次根式法等。

4. 检验解将求得的解代入原方程，检验是否符合题目中给出的条件和要求。

在解方程应用题中，解的合理性和正确性是非常重要的，只有通过检验的解才是最终的解答。

三、解方程应用题的技巧和实例解方程应用题需要运用一定的技巧和策略，下面将介绍几个常用的技巧，并举例说明。

1. 制定未知量在建立方程时，合理选择未知量的取值范围和符号，有助于简化方程的求解过程。

时常使用代数字母表示未知量，并给予明确的意义，有助于理解问题和推导方程。

2. 利用已知条件在建立方程时，充分利用题目中给出的已知条件，将其转化为数学方程的形式。

这样可以提供额外的等式，从而增加方程的数量，提高问题的求解准确性。

举例：某商场促销活动中，客户在购买满500元商品后可以获得一定比例的折扣。

假设购买商品的原价为x元，折扣了y元，实际支付了p元。

已知购买了n件商品，请问满足这些条件时，原价是多少？解析：根据题目中的条件，可以列出如下的方程： - 500n = x （购买商品的原价为x元，满足满500元条件） - x - y = p （折扣后实际支付p元）以上两个方程可以联立求解，得到原价x的值。

二、直接设元与间接设元 一般情况下采用直接设元，即问什么就设什么， 但有时根据问题的性质，选设适当的间接未知 量，就可能使数量之间的复杂关系变得比较简 单，容易列出关于间接未知量的方程来． 例2 从家里骑车到火车站，若每小时行30千米， 则比火车开车时间早到15分；若每小时行18千 米，则比火车开车时间迟到15分．现要求在火 车开车前10分钟到达火车站，骑车的速度应是 多少？
列方程解应用题中的设元问题是 一个十分广泛、灵活而有趣的内 容，没有一种万能的方法，没有 一种必由的途径．总之，设元的 宗旨要使列方程的思路简捷，列 出的方程的解法容易．在学习中 必须灵活运用．切忌生搬硬套．
简单应用 1、一杯100g的盐水，含盐量为25g. 则水的质量为 75 g，浓度为 25% .
甲
40-x 40 (40-x)a (40-x)a+bx 设从甲瓶中倒出了x克盐水，甲、乙 两瓶中的盐水浓度分别为a、b. 乙
盐水(g) 40 盐(g) 40a 盐水(g) 60 盐 (g ) 60b
60 60-x (60-x)b (60-x)b+ax
解：设从甲瓶中倒出了x克盐水， 甲、乙两瓶中的盐水浓度分别 为a、b，由题意可得
2、浓度为20%的某溶液中有溶质30g. 则溶液质量为 150 g，溶剂为 120 g.
3、将一杯浓度为20%的硫酸100g与 一杯浓度为30%的硫酸150g混合. 则混合后的溶液质量为 250 g， 溶质为 65 g，浓度为 26% .
相关知识
浓度问题中的相关量及关系：
溶液质量=溶质质量+溶剂质量
如：盐水质量=水质量+盐质量
浓度=
溶质质量
溶液质量
Hale Waihona Puke 盐的质量 如：盐水中盐的浓度= 盐水质量

列方程解应用题的方法
列方程解应用题就是将已知量与未知量的关系列成等式，通过解方程求出未知量的过程。其目的是考查学生分析问题和解决问题的能力。一直以来，列方程解应用题都是一大难点，对于如何掌握解题方法技巧，是个让很多学生头疼的问题。那么，如何解决这类问题，才能使学生易于理解和掌握呢？其实方法有很多，教师平时要注意引导学生总结归纳，适时渗透建 立数学模型思想。下面结合几道题目，说说我的几种方法。
去分母，得x2-14x-120=0
解得x1=20,x2=-6
经检验，x1,x2都是原方程的根，但因时间不能为负数，所以只能取x=20。
答：乙队单独完成此项工程需要30天。
点评：设甲单独完成工程需x天后，视x为已知，则根据题意，把语言直译成代数式后得到等式，则方程很快列出。
二. 列表法
所谓列表法就是设出未知数后，视元为已知数，然后综合已知条件，把握数量关系，分别填入表格中，则等量关系不难得出，进而列出方程（组）。
点评：通过列表格，将题目中的数量关系显露出来，使人一目了然。从胜、平、负的场数之和等于12，总得分22分是胜场、平场、负场得分之和列方程组，直观易懂。
三.线段图法
所谓线段图就是运用线段，把已知和未知条件间的数量关系，用线段图表示出来，则等量关系可一目了然。
例3. A、B两地间的路程为36千米，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，二人相遇后，甲再走2小时30分钟到达B地，乙再行走1小时36分钟到达A地，求二人的速度。
例2.在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？
解：设此队胜x场，平y场。列表得
胜场
平场
负场

列方程解应用题——新情境应用题与设元技巧【知识要点】1．用方程的观点能解决许多实际问题，如我们熟悉的行程问题、工程问题等．然而，社会是不断发展的，特别是随着改革开放以来我国社会主义市场经济的蓬勃发展，许多应用题也烙上了时代的印迹，以丰富的生产、生活实践活动、多彩的市场经济为背景，具有鲜明的时代特色，常见的问题有股票交易、税收缴纳、企业决策、人口环境等．了解相关常识、理解相关词语的意义，熟悉基本关系式是解这类问题的基础；而善于理顺数量关系、具有较强的数学意识是解这类问题的关键．2．设元是列方程或方程组解应用题的重要环节.只有设得巧，才能解得妙.总的说来，只有两种：直接设元和间接设元，有时候还要辅以一定的参数.【典型例题】新情境应用题例1.某“希望学校”修建一栋4层的教学大数，每层楼有6间教室，进出这栋大楼有3道门（两道大小相同的正门和一道侧门）.安全检查中，对这3道门进行了测试；当同时开启一道正门和一道侧门时，2分钟内可以通过400名学生，若一道正门平均每分钟比一道侧门可多通过40名学生.(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率低了20%.安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这3道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问建造的这3道大门是否符合安全规定？为什么？例2. 某牛奶厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获取利润500元; 制成酸奶销售,每吨可获取利润1200元;制成奶片销售,每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是：如果制成酸奶,每天可加工3吨;制成奶片,每天可加工1吨,受人员限制,两种加工方式不可同时进行;受气温限制,这批牛奶必须4天内全部销售或加工完毕.为此该厂设计了两种方案:方案一:尽可能地制成奶片,其余的直接销售鲜奶;方案二:将一部分制成奶片,其余的制成酸奶销售,并恰好4天完成, 你认为选择哪种方案获利最多?例3. 如图所示是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程(单位：千米).一学生从A处出发，以2千米/时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时.(1)当他沿着路线A-D-C-E-A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由.（不考虑其他因素）针对性训练：1.如图所示，有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校.（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校.从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比在拥挤的情况下提前完成了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？2.（2004年北京海淀区中考）2004年4月我国铁路第5次大提速，假设K120次空调快速列车的平均速度提速后比提速前提高了44千米/时，提速前的列车时刻表如下表所示:3. 为北京成功举办2008年奥运会，顺义区准备对潮白河某水上工程进行改造，若请甲工程队单独做此项工程需3个月完成，每月要耗资12万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月要耗资5万元.（1）请问甲、乙两工程队合作需要几个月完成？耗资多少万元？（2）因其它原因，有关领导要求最迟4个月完成此项工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又能最大限度地节省资金.（时间按整月计算）4. 某织布厂有150名工人，为了提高经济效益，增设制衣项目，•已知每人每天能织布30m，或利用所织布制衣4件，制衣一件需要布1.5m，将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，•且不计其它因素，设安排x名工人制衣．（1）一天中制衣所获利润P=_____ __（用含x的代数式表示）．（2）一天中剩余布所获利润Q=______ __（用含x的代数式表示）．（3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11806元．（4）一年按300天计算，一年中这个工厂所获利润最大值为多少元？5．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元.因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为净化环境，工厂设计了两种方案对污水进行处理，并准备实施.方案1：工厂污水先净化处理后再排出.每处理1立方污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元.方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费. 问：（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的关系式.（利润=总收入-总支出）（2）设工厂每月生产量为6000件产品，你若作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下，应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明.* 6．（经典题）8人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距火车站15千米的地方出了故障，此时离火车停止检票时间还有42分钟，这时惟一可利用的交通工具只有另一辆小汽车，它连同司机限乘5人，这辆小汽车的平均速度为60千米/小时，•问这8人能赶上火车吗？（人步行速度为5千米/小时）设元技巧例4．如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，则求这个长方形色块图的面积.abcde，求这个六位数.例5．一个六位数2abcde的3倍等于9例6．一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，求从乙港返回甲港需航行的时间.例7．某出租汽车的车费是这样计算的：路程在4公里以内（含4公里）为10.40元，达到4公里以后，每增加1公里加1.60元；达到15公里后,每增加1公里加2.40元，增加不足1公里时按四舍五入计算.问：（1）乘坐15公里该种出租车应交车费.（2）某乘客乘坐该种出租车交了车费95.20元，则求这个乘客乘该出租车行驶的路程. （精确到两位小数）针对性训练：abcde的4倍是9abcde，求这个六位数.1．一个六位数92．一艘轮船从A港到B港顺水航行，需6小时，从B港到A港逆水需8小时，求若在静水条件下，从A港到B港所需的时间.3. 某天一蔬菜经营户用120元从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共40千克到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：问蔬菜经营户当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？。

答 ：前年 这个 学校购买 了２ ０ 台计算机 。 二、 回避题 问，间接设 元 间接 设元就是把题 目中要求 的量 以外 的某 未知量设 为未知
数 ，然 后 用 未 知 数 来 表 示 要 求 的量 。 例２ ：小 民和爷 爷在 ４ ０ ０ 米 的 环 形 操 场 上 跑 步 ， 同 时 同 向
析 问题 与解决 问题 的能力。设元是列方程解应 用题 的第一步 。 恰 当设 元能使列方程更 容易 ，解题更简便 。常用的设元方法有 直接设 元和间接设元 。但对 于一些关系较 复杂 、所求 问题较 多 时 ，直 接 设 元 和 间 接 设 元 不 易 解 决 问题 ，还 需 要 我 们 进 行 整 体 设元和辅助 设元 以及 比例设 元。现举例说 明列 方程 解应用题 中 的 五 种 常 见 设元 技巧 。
答 ：爷爷跑２ 圈后 ，小 民超过爷爷一圈。
三、着眼全局，整体设元
有些实 际问题 中某一部分未知量 间存在一个整体关系 ，则 可设这一 部分 为一个未 知数 ，称为整体设元 。 例３ ：一个五位数，个位数为４ ，此五位数加上６ １ ２ ０ 后所得 的新 五位 数的万位 、干位 、百位 、十位、个位上的数恰巧分别
量 关系可 以直接列 出方程 。 解 ：设前年购买计算机ｘ 台 ，依 题 意 得 ：
＋ ２ｘ ＋ ４ｘ ＝ １ ４０ ７ｘ ＝ １ ４０
Ｘ ＝ ２０
过程 中被消去 ，不影 响 问题的结果 。这种方法 叫做 “ 辅助 设元
法”，也叫 “ 设而不求法”。 例４ ：小 明骑 自行 车 早 上 ５ 时 从家 里 出 发 ， 下午 １ ６ 时 到达 姑 姑 家 ；哥 哥骑摩托 车上午９ 时从家 里 出发 ，下午 ｌ ４ 时到达姑姑
ａ

小学六年级列方程解应用题方法归纳小学六年级列方程解应用题专项复习解决1系列方程应用问题的意义★正向思维，把未知量当已知量。

2.方法总结用方程式解决应用问题的步骤如下：（1）审题：弄清题意，确定已知量、未知量及它们的关系；（2）设元：选择适当未知数，用字母表示；（3）列代数公式：根据条件，用包含集合未知数的代数公式表示其他未知数；（4）列方程：用列代数公式中未使用的等价关系列出方程；（5）解方程：正确利用方程的性质求方程的解；（6）检查并回答问题。

3列方程解应用题的方法★ 综合方法：首先将应用问题中的已知数（量）和设定的未知数（量）列成相应的代数表达式，然后找出它们之间的等价关系，然后列出方程式。

这是一个从局部到整体的思维过程，其思维方向是从已知到未知。

★分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。

这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。

4列方程解应用题的范围一般应用问题；B）和差时间；C计算几何体的周长、面积和体积；D.分数和百分比的应用问题；E比例和比例应用问题。

5.常见的一般应用问题一、以总量为等量关系建立方程例如，两列火车同时从536公里外的两个地方出发。

他们四小时后见面。

这列慢车时速60公里。

特快列车每小时运行多少小时？解法一：快车4小时行的+慢车4小时行的=总路程解设：快车小时行x千米4x+60×4=5364x+240=5364x=296x=74溶液二：解设：快车小时行x千米（x+60）×4=536x+60=536÷4x=134-60x=74答：快车每小时行驶74千米。

练一练① 降落伞以每秒10米的速度从18000米的高度降落。

与此同时，一个热蒸汽球从地面上升20分钟分钟后伞球在空中相遇，热汽球每秒上升多少米？② 两条进水管a和B将水注入一个可容纳8吨水的水池。

数学篇“设元”是列方程（组）解应用题中至关重要的一环.根据不同的实际问题，采用不同的设元方法，可以使解题事半功倍.那么，在解应用题时如何正确有效地设元呢？可以参考以下三种方法.一、找准等量，直接设元直接设元即根据题目中的等量关系，把要求的量直接用未知数表示.简单地说，就是题目需要求什么，就直接设什么，有几个待求量，就设出几个未知数.只要题中的数量关系能用未知量明确地表示出来时，就可采用此方法.例1现有一项工作，小王和小张两人合作完成，需要12天.如果小王单独工作2天，小张单独工作3天，两人可以完成整个工作的20%，求小王、小张两人单独完成全部工作各需要多少天？分析：本题是一道工程问题，求解时需要设元.根据“工作量=工作效率×工作时间”这一公式，采用直接设元法，即可快速列出方程.解：设小王单独完成全部工作需要x 天，小张单独完成全部工作需要y 天，则可知小根据题意可得：ìíîïïïï12æèçöø÷1x +1y =1,2x +3y =15,解得{x =20,y =30.答：小王、小张两人单独完成全部工作分别需要20天、30天.二、回避问题，间接设元间接设元即不直接对所求的目标量进行设元，而是先选取某个与目标量密切相关的其他量作为未知元，再利用这个未知元求出目标量.在解应用题时，当直接设元不容易解题时，可先回避所求目标量，充分挖掘题目中与目标量存在某种数量关系或某种比例关系的量，间接设元，从而顺利解题.例2小明骑自行车从甲地出发，先以每小时15千米的速度下坡后，再以每小时12千米的速度走平路到乙地，共用45分钟.回来时，他又以每小时9千米的速度通过平路后，以每小时5千米的速度上坡，从乙地到甲地共用了1小时20分钟，求甲乙两地相距多少千米？分析：本题涉及多个量，直接设元求解难度较大.若能找准恰当的相关量，间接设元，几种常用的设元解应用题的方法盐城市亭湖初级中学蔡成松解法荟萃数学篇乙地下坡需要x 15小时，从乙地到甲地上坡需要x 5小时，下坡后通过平路需要(34-x 15)小时，上坡前通过平路需要(113-x 5)小时，从而可知平路的长为12(34-x 15)千米或9(113-x 5)千米.由平路的长度相等可得，12(34-x 15)=9(113-x 5)，解得x =3，所以平路的长度为：9(113-x 5)=335=6.6，总路程3+6.6=9.6（千米）.答：甲乙两地相距9.6千米.解法2：设平路长为x 千米，则从甲地到乙地，走平路需要x 12小时，从乙地到甲地，走平路需要x 9小时，下坡需要(34-x 12)小时，上坡需要(113-x 9)小时，从而可知坡路的长为15(34-x 12)千米或5(113-x 9)千米.由坡路长相等可得：15(34-x 12)=5(113-x 9)，解得x =335=6.6，所以坡路长：5(113-x 9)=3，故而总路程：3+6.6=9.6（千米）.答：甲乙两地相距9.6千米.三、设而不求，增设辅助元有些应用题，数量关系交错复杂，条件隐而不显，无论是直接设元还是间接设元都不能清晰地表示出其等量关系，这时不妨增设辅助元，在已知量和未知量之间搭建解题的“桥梁”，以便理顺各个量之间的关系，列出方程.增加一个辅助元，是为了便于我们找到等量关系列出方程，只起到辅助解题的作用，并不需要求出它的值.例3某商店一种商品的进价降低8%，而售价保持不变，可以使得商店的利润提高10%，则原来的利润率是百分之几？分析：本题涉及商品利润和利润率，直接设元求解较为棘手.由利润=售价-进价，利润率=（售价-进价）/进价×100%可知，利润、利润率均与商品售价、进价有着千丝万缕的联系，但是商品的具体进价、售价未知，而解题又需要它们，不妨将其作为辅助元.解法1：设商品原来的进价为m 元，原利润率为x %.根据题意可知，原售价为（1+x %）m 元，现在的进价为（1-8%）m 元，所以利润率为：x %+10%=(x +10)%，现在的售价仍为（1+x %）m 元，则有：（1+x %）m -（1-8%）m =(x +10)%×（1-8%）m ，解得x =15.答：原来的利润率是15%.解法2：设商店的进货价为a ，售价为b ，结合题意和利润率公式可得：b -a a ×100%+10%=b -(1-8%)a (1-8%)a ×100%,解得b =1.15a ，所以原来的利润率为1.15a -a a×100%=15%.答：原来的利润率是15%.总之，在列方程解应用题时，通常是将要求的量设为未知数（直接设元）；而有时直接设元不易找出题目中的相等关系时，应选择题目中与要求的未知量相关的某个量为未知数（间接设元）；或增加一个可以辅助我们列出方程的量为未知数（增设辅助元）.巧妙恰当地设元会给我们的解题带来很大的方便.解法荟萃32。

列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。

然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。

而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。

所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。

列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。

其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。

一、列简易方程解应用题10x+1，从而有3（105+x）=10x+1，7x＝299999，x＝42857。

答：这个六位数为142857。

说明：这一解法的关键有两点：示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。

（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。

因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。

例2有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。

问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。

如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列方程。

解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。

解得x＝500。

推知队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）。

答：队伍长为600米。

列方程解应用题——设元的技巧知识要点恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定.对未知数的选择，有时可将要求的量设为未知元（即问什么设什么），称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其它量设为未知元（即所设的不是所求的，则更易找出符合题意的数量关系），称此为间接设元；有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元.例题讲解（1）直接设元例1：两袋什锦糖，甲袋由8千克奶糖和12千克水果糖混合而成，乙袋由15千克奶糖和5千克水果糖混合而成.如果要使混合成21千克的什锦糖中，奶糖和水果糖各占一半，需从甲、乙两袋里分别取出多少千克的什锦糖.（2）间接设元例2：如果四个数中，其中每三个数的和分别是21，28，29，30，求这四个数.思路点拨这四个数中，其中每三个数的和是已知的，所以，只要能求出这四个数的和，再用这四个数的和分别减去每三个数的和就可求得这四个数.例3：如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为.例4：用一队卡车运一批货物，若每辆卡车装7吨货物，则尚余10吨货物装不完；若每辆卡车装8吨货物，则最后一辆卡车只装了3吨货物就装完了这批货物.那么，这批货物共有多少吨？例5：一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（）.A．0．5小时B．1小时C．1.2小时D．1.5小时例6： 甲、乙、丙、丁4个数之和等于90-，甲数减4-，乙数加4-，丙数乘4-，丁数除以4-彼此相等，问4个数中最大的一个数比最小的一个数大多少？（3）辅助设元例7： 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.例8：某裁缝做一件童装、 一条裤子、一件上衣，所用时间之比为3:2:1.他一天共能做2件童装、3条裤子、4件上衣.则他做2件上衣、10条裤子、14件童装需几天.例9： 甲、乙两地相距24千米，某人从甲地到乙地，步行一半路程后改骑自行车，共用4小时到达，返回时，一半路程步行，一半路程骑助动车，若返回时步行，速度是去时速度的43，助动车速度是自行车速度的2倍，结果返回时比去时多用了30分钟，求去时步行的速度与自行车的速度.例10： 有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问：如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？思维拓展训练1:一个6位数abcde 2的3倍等于9abcde ，则这个6位数等于 .2:国家规定个人发表文章、出版著作所获稿费应缴纳税，其计算方法是：（1）稿费不高于800元不纳税；（2）稿费高于800元，但不高于4000元应缴纳超过800元的14%的税；（3）稿费高于4000元应缴纳全部稿费的11%的税.今知黄教授出版一本著作获得一笔稿费，他缴纳了550元的税，黄教授这笔稿费是 元.3:某种产品是由A 种原料x 千克，B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨10%，B 种原料价格减少15%，经核算产品价格可保持不变，则y x :的值是（ ）A ．32B ．65C ．56D ．34554:某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份这位用户应交煤气费（ ）A ．60元B ．65元C ．75元D ．78元能力拓展5:某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此比计划支出增加了%50，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为 .6:完成某项工程，甲、乙合作要2天，乙、丙合作要4天，丙、甲合作要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是（ ）.A ．2．8B ．3C ．6 D.127:某商品连续两次提价10%，又提价5%，要恢复原价，至少应降价%x （x 为整数），则x =（ ）.A ．20B ．21C ．22D ．238:一个十位数字为0的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是数字和的m 倍，求m 的值.9:一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、2次，a次船运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共乙两车单独运这批货物分别用a运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨，问：（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？（按每运1吨运费20元计算）综合创新10:山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？。

分式方程应用题解题技巧和方法一、概述分式方程是数学中重要的概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。

解决分式方程应用题需要掌握一定的解题技巧和方法，下面我们将介绍一些解题技巧和方法，帮助大家更好地解决分式方程应用题。

二、分式方程应用题解题技巧和方法1.明确问题：在解题之前，首先要明确题目中所给的分式方程代表的是什么实际问题，了解问题背景和要求，这样有利于我们更好地理解题目并找出解题思路。

2.建立方程：根据问题的描述，建立相应的分式方程。

通常情况下，我们可以通过设定变量，列出方程来表示问题中的条件和要求。

3.化简方程：对建立的分式方程进行化简，通常可以通过消去分母等方法来简化分式方程，使得方程更加直观和便于求解。

4.求解方程：利用解方程的方法，通常是通过移项、通分等方法来求解分式方程。

有时候，我们需要对方程进行整体化简或者变形，以便更好地进行求解。

5.验证解：在得到方程的解之后，需要将解代入原方程进行验证，确保所得的解符合实际问题的要求，这是解题过程中必不可少的一步。

6.注意事项：在解题过程中，还需要留意一些常见的易错点和特殊情况，比如分母为零的情况、方程无解或者有多解等情况，对这些情况要有相应的处理方法。

三、分式方程应用题解题实例接下来，我们通过几个实际问题来演示分式方程应用题的解题过程。

实例1：有一条长600米的跑道，甲乙两人分别在跑道的两端以等速度开始跑步，甲乙两人相向而跑，当甲乙相遇时，甲跑了4分钟，乙跑了6分钟。

求甲、乙两人的速度。

解：我们设甲、乙两人的速度分别为v1、v2，根据题意，可以列出分式方程：600/(v1 + v2) = 4/60 v1+4/60 v2 = 6 （1）根据方程（1），我们可以逐步化简，并求解得到甲、乙两人的速度。

实例2：一条小船下游顺流以每小时10千米的速度行驶，返航逆流以每小时8千米的速度行驶，如果小船返航的时间比下游多2小时，求河水的流速。

解：设河水的流速为v，根据题意，可以列出分式方程：10 - v = 8 + v10/(10 - v) = 8/(8 + v) + 2 (2)接下来，我们可以根据方程（2）逐步化简，并求解得到河水的流速。

方程应用题解题技巧方程应用题解题技巧方程是数学中重要的一部分，它在各个领域都有广泛的应用。

在解方程应用题时，我们需要掌握一些技巧和方法。

本文将介绍一些常见的方程应用题解题技巧。

一、分类讨论法在解决方程应用题时，我们可以根据问题中给出的条件进行分类讨论。

例如：例1：某班学生人数为x人，其中男生y人，女生z人，已知y=2/5x，z=3/10x，则班上男生比女生多多少人？解：根据题意可列出方程式y+z=x，代入已知条件得到2/5x+3/10x=x，则班上男生人数为2/5x，女生人数为3/10x。

因此男生比女生多(2/5-3/10)x=(1/10)x人。

二、代入法代入法是指将一个未知量的值代入到另一个未知量的表达式中，并求出另一个未知量的值。

例如：例2：甲、乙两地相距120km，两车同时从两地相向而行，甲车速度为v1 km/h，乙车速度为v2 km/h，则它们相遇需要多长时间？解：设它们相遇需要t小时，则根据题意可列出方程式120=(v1+v2)t。

将t用v1、v2表示，得到t=120/(v1+v2)。

因此，它们相遇需要的时间为120/(v1+v2)小时。

三、等量代换法等量代换法是指将一个未知量用另一个已知量表示出来，并代入方程中求解。

例如：例3：一条长为10m的绳子分成两段，一段比另一段长3m，两端分别固定在两个点上，使得绳子成为一条直线，则每段绳子的长度各是多少？解：设较短的那段绳子长度为x，则较长的那段绳子长度为x+3。

由题意可列出方程式x+x+3=10，解得x=3.5。

因此，较短的那段绳子长度为3.5m，较长的那段绳子长度为6.5m。

四、变量代换法变量代换法是指将一个未知量用另一个变量表示出来，并代入方程中求解。

例如：例4：有一块长方形土地，宽为x米，面积是1500平方米。

现在要把这块土地分成宽相等的n块，则每块土地的面积是多少平方米？解：设每块土地宽度为y米，则可得出长为1500/x，宽为y的长方形。

小学数学解方程答题技巧附练习题，提高孩子做题速度！同学们学习了用字母表示数和解简易方程，还开始试着运用简易方程来解决一些实际问题。

列方程解应用题是一个难点，这一部分内容融入了等式的性质，以及四则运算各部分的关系，有助于同学们对所学的算术知识进行巩固和加深理解。

如何应用方程来解应用题呢？同学们不妨看看下面的一些技巧。

一、首先是审题，确定未知数。

审题，理解题意。

就是全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。

特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向、相向、增加到、增加了等，并确立未知数。

即用x表示所求的数量或有关的未知量。

在小学阶段同学们遇到的应用题并不十分复杂，一般只需要直接把要求的数量设为未知数，如：“学校图书馆里科技书的本数比文艺书的2倍多47本，科技书有495本，文艺书有多少本？”在这道题目中只有“文艺书的数量”不知道，所以只要设“文艺书的数量”为未知数x就可以了。

二、寻找等量关系，列出方程是关键。

“含有未知数的等式称为方程”，因而“等式”是列方程必不可少的条件。

所以寻找等量关系是解题的关键。

如上题中“科技书得本数比文艺书的2倍多47本”这是理解本题题目意思的关键。

仔细审题发现“文艺书本数的2倍加上47本就是科技书的本数”故本题的等量关系为：文艺书本数的2倍＋47＝科技书的本数。

上题中的方程可以列为：“2x＋47＝495”三、解方程，求出未知数得值。

解方程时应当注意把等号对齐。

如：2x＋47＝4952x＋47－47＝495－47 ←应将“2x”看做一个整体。

2x＝4482x÷2＝448÷2x＝224四、检验也是列方程解应用题中必不可少的。

检验并写出答案．检验时，一是要将所求得的未知数的值代入原方程，检验方程的解是否正确；二是检查所求得的未知数的值是否符合题意，不符合题意的要舍去，保留符合题意的解．1）将求得的方程的解代入原方程中检验。

如果左右两边相等，说明方程解正确了。

初一数学应用题分类及解题技巧一、列方程解应用题的一般步骤我们首先来解析一下解应用题的步骤有哪些？1.审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系），解读题目的实质，也是考察学生的阅读理解的能力；2.设出未知数：根据提问，巧设未知数；3.列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程，可以利用自由表格的形式来梳理信息；4.解方程：解所列的方程，求出未知数的值．5、检验答案：做完了之后不知道自己做的答案是否正确，可以带入原方程检验一下，也要注意是否符合应用题的实际情况。

二、一元一次方程类型1：相遇追及问题行程问题三大基础公式：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度。

相遇问题：它的特点是相向而行，可以画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

追及问题：它的特点是同向而行，可以画线段图帮助理解与分析。

其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程。

航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行。

类型2：火车过桥问题火车过桥问题中，你一定要注意到火车的自身长度，即：总路程=火车车身长度+桥长=火车速度×过桥时间。

类型3：销售利润问题（1）利润＝售价－成本(进价)；（2）利润率=（售价-进价）/进价×100%或利润率=（售价-成本）/成本×100%（3）利润＝成本（进价）×利润率；（4）标价＝成本（进价）×(1＋利润率)；（5）实际售价＝标价×打折率。

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价百分之八十出售）类型4：分段计费问题关于分段计费问题，可以利用表格的形式将题目表述出来，一定要注意计算的数值的范围，不要重复计算。