大学概率论总复习PPT演示课件

解 令 A 灯泡能用到1000小时, B 灯泡能用到 1500小时
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
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p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
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例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?

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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
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5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
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6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
(2)A B
A B
(3)A B
S 高校教育精品PPT
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4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)A B
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5.事件的互不相容(互斥): 若A B ,则称A与B是互不相容的,或互斥的,即

P(B | A) P(B | A); (3)当0 P( A) 1, 0 P(B) 1时，
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
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2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
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3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.

03
随机过程与马尔科夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程的概率分布
随机过程是一系列随机变量的集合， 每个随机变量表示某一时刻的状态。
描述随机过程中某一时刻的状态的概 率分布。
随机过程的分类
根据不同特性，随机过程可分为离散 随机过程和连续随机过程。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫链
马尔科夫链是一种特殊的随机过程，其未来状态只与当前状态有 关，与过去状态无关。
详细描述
贝叶斯定理的基本思想是，对于任何事件A和B，已知P(B)和P(A|B)，可以计算出 P(B|A)。这个定理在统计学、机器学习、决策理论等领域有着广泛的应用。
大数定律
总结词
大数定律是概率论中一个重要的基本定理，它描述了在大量 重复实验中，某一事件的相对频率趋于该事件的概率。
详细描述
大数定律表明，当实验次数趋于无穷时，某一事件的相对频 率趋于该事件的概率。这个定理在统计学、决策理论、机器 学习等领域有着广泛的应用。
假设检验
假设检验的基本思想
01
假设检验是通过样本信息来检验关于总体参数的假设是否成立
，常用的方法有显著性检验和置信区间检验。
显著性检验
02
显著性检验是通过计算假设检验统计量和临界值，来判断原假
设是否被拒绝。
置信区间检验
03
置信区间检验是通过计算置信区间，来判断总体参数是否包含
在某个区间内。
方差分析
在数据分析中的应用
数据分类和聚类
概率论用于数据分类和聚类分析，通过概率模型 将数据点划分为不同的组或集群。
关联规则学习
概率论用于关联规则学习，以发现数据集中项之 间的有趣关系。
异常检测

线性回归
介绍线性回归模型的基本原理和应用案例。
多元非线性回归
探讨多元非线性回归分析的方法和实际应用。
蒙特卡罗方法
1
简介和基本概念
介绍蒙特卡罗方法的基本思想和使用领域。
2
模拟方法
说明蒙特卡罗方法的模拟过程和实际应用。
3
抽样方法
讨论蒙特卡罗方法中的抽样技术和抽样步骤。
应用案例
金融风险管理
探讨概率论在金融风险管理中的应用和重要性。
2
弱大数定律
探讨具体的弱大数定律和其适用性。
3

中心极限定理
详细解释中心极限定理及其在概率论中的重要性。
统计推断
1 点估计
介绍点估计的概念和方法，以及其在概率论中的应用。
2 区间估计
说明区间估计的原理和步骤，并讨论其实际应用。
3 假设检验
讲解假设检验的基本思想和步骤，以及其在统计学中的作用。
回归分析
《概率论讲义》PPT课件
概率论讲义PPT课件大纲
简介
介绍概率论的基本概念和应 用领域，初步了解概率论的 历史和发展。
随机变量
定义随机变量，离散型和连 续型随机变量及其概率分布。
概率分布
二项分布，泊松分布和正态 分布。
大数定律与中心极限定理
1
定义大数定律和中心极限定理
深入了解大数定律和中心极限定理的概念和应用。
人口统计学
展示概率论如何应用于人口统计学数据的分析和预测。
物理学和天文学
介绍概率论在物理学和天文学研究中的关键作用。
结论
总结所学内容，展望概率论的未来发展和应用前景。
参考文献
推荐阅读经典著作和相关文献
提供经典著作和相关文献，供学习和研究参考。

P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 0.4
鄙
什
杯
雇
烁
舅
笋
第3页/共19页
编 孤 描 辛 填 屠 帧 暂 骂 巾 冀 芭
齐
蛆
稳
仔
第二、三章 随机变量及其分布
1.常用分布
B(n,p)，P( )，U[a,b]，E( )，N(, 2 )；
二维均匀、二维正态
2.联合分布和边缘分布
C
0.3*0.2
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
0.9 * 0.3 * 0.2
0.1*(0.3*0.8 0.7 *0.2) 0.9*0.3*0.2
0.587.
组
债
攒
韶
燕
邢
版
第2页/共19页
决 晾 础 肖 影 拂 普 函 棒 芥 成 肥
载
活
断
挞
例2 填空(可作图帮助分析)
(1) 设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则
=P_(_A__B__) 0.6
P(A B) P(A) P(AB) 0.3,P(AB) 0.7 0.3 0.4
(2) 若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则min{P(A)，P(B)}=____。
解
SG
1
dx
1x dy 1
00
2
1/ S 2,(x, y) G
f (x, y) 0 ,
(x, y) G
1
1 x
1
EX xf (x, y)dxdy 0 dx0 R2
2xdy 3
同理 E(X2 )=1/6, E(XY )=1/12. 从而DX=E(X2 )- (EX )2=1/18

(2) 规范性 : Fn 1;
(3) 可加性：对互斥事件A, B，有 Fn (A B) Fn (A) Fn (B)
推广 有限可加性： 若A1，A2，, Ak 两两 互不相容, 则
k
F n( Ai ) Fn ( A1) Fn ( A2 ) Fn ( Ak ). i 1
E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况. 2={HHH, THH，
HTH, HHT,HTT,THT,TTH,TTT }
E3:掷一颗骰子,观察点数.则 3={1,2,3,4,5,6}
1=1 2=2 6=6
E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.
4={0，1，2， }
1=0, 2=1, 3=2
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
(二) 概 率
1 统计定义： 频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试 验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A 的概率。
2 公理化定义：设为样本空间，A为事件， 对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满 足如下三条公理：
故有
P(i )

1 n
(n 1,2,, n)
若A {i1,i2 ,,ik }, 则有
P( A)

P(i1 )

P(i2 )

P(ik
)

k n
于是，P
( A)

k n

A包含的样本点数 样本点总数
例１. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,
现从中任取3只,试求:
n1
且Ai Aj . 由概率的可列可加性得

•事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为事件，则有
•交 换 律 ：
•结 合 律 ： •分 配 律 ：
A B B A, AB BA ( A B) C A (B C), ( AB)C A(BC )
•对 偶 律 ：
( A B)C ( AC) (BC),
例1.3, ( AB) C ( A C)(B C)
i 1
i 1
作业： 三、19 FY ( y) [F( y)]n , FZ (z) 1 [1 F(z)]n
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第4章要点
一、随机变量的数学期望 •离 散 型 随 机 变 量 的 数 学 期 望 •连 续 型 随 机 变 量 的 数 学 期 望 •随 机 变 量 函 数 的 数 学 期 望
•泊松分布: X~P(), >0
例2.6，2.7 作业：一、2，3；三、6，7，9
第8页/共36页
第2章要点
三、连续型随机变量
1.连续型随机变量及其分布
•定 义 ：
F( x) x f ( x)dx
•F ( x ) 与 f ( x ) 关 系 ：
•f(x) 性质：
F(x) f (x);(F(x)连续）
例2.6，作业：三、16，17，18
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第3章要点
一、 二维随机变量及联合分布函数
•联 合 分 布 函 数 的 定 义 ：
F(x, y) P{X x,Y y}
二、二维离散型随机变量及其联合分布律
•联 合 分 布 律 定 义 ：
P{X xi ,Y yj } pij , i, j 1,2,
•特 别 ， 当 X ， Y 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 时 ， 有

常见问题解答二：条件概率与独立性的关系？
总结词
条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们之间 存在密切的联系。
详细描述
条件概率是指在某个已知事件发生的条件下，另一个 事件发生的概率。而独立性则是指两个事件之间没有 相互影响，一个事件的发生不影响另一个事件的发生 。在条件概率中，如果两个事件在给定条件下是独立 的，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的 乘积。因此，条件概率和独立性之间存在密切的联系 ，理解它们的概念和关系有助于更好地掌握概率论中 的相关内容。
04
概率论的应用
统计学中的概率论应用
统计推断
概率论为统计学提供了理论基 础，用于估计未知参数、检验 假设和进行预测。
随机抽样
概率论确保了随机抽样的公正 性和代表性，使得样本数据能 够反映总体特征。
统计决策
基于概率论的决策分析方法， 如贝叶斯决策和风险分析，帮 助决策者做出最优选择。
计算机科学中的概率论应用
100%
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布通常由概 率质量函数或概率分布函数描述 。
80%
连续型随机变量的分布
连续型随机变量的分布由概率密 度函数描述，其总概率为1，即 ∫−∞∞f(x)dxF(x)=∫−∞∞f(x)dxF (x)=∫−∞∞f(x)dxF(x)=1。
02
概率论中的重要定理
贝叶斯定理
01
02
03
04
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。

相关系数
XY

COV ( X ,Y ) DX DY
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5.六个重要分布
(1)两点分布： 随机变量X可能取值只有两个x0和x1，其分布律为:
PX x0 p PX x1 q
0 p 1 p q 1 则 X ~ B(1, p)
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(2) 二项分布： 随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,……,n,分布律为
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3. 抽样分布定理
设( X1, X2 , , Xn )为来自正态总体X ~ N (, 2 )
的 一 个 样 本, 则
（1）
X

1 n
n i 1
Xi
~
N(, 2
n
)
（2）nS22

(n 1)S*2
2

1
2
n
(Xi
i 1

X )2
~
2(n 1)
(3) X与S 2相互独立
lim
P

n i 1
Xi

n

x
n
n


x


1
t2
e 2 dt
2
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6. 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理
设随机变量 Xn 服从参数n, p (0 p 1)的二项
分布，则对任意 x ，有
lim P{ Xn np x} x
（4）T X ~ t(n 1)
S* n
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设( X1, X 2 , , X m )为来自正态总体X的一个样本,

则 (1) X的边缘分布律为：
P{ X xi } P{ X xi ,Y } pi•
(i 1, 2, 3,L )
(2) Y的边缘分布律为：
P{Y yi } P{ X ,Y yi } p• j
(i 1, 2, 3,L )
二维离散型随机变量的边缘分布律
XY
(表格形式)
y1 L y j L
2. 频率的稳定性
随机事件A在相同条件下重复多次时，事件 A 发生的频率在一个固定的数值p附近摆动， 随着试验次数的增加更加明显.
3. 概率的统计定义
对任意事件A，在相同的条件下重复进行 n 次试验，事件A 发生的频率随着试验次 数的增大而稳定地在某个常数p附近摆动, 那么称p为事件A的概率，记为
f (t)dt
随机变量X的分布函数
(2) 连续型随机变量的分布函数表示事件： (a) 事件 P( X b) F(b) (b) 事件 P( X b) 1 P( X b) 1 F(b) (c) 事件 P(a X b) F(b) F(a)
7. 事件的概率与概率密度函数的关系： b (a) 事件 P(X b) F(b) f ( x)dx (b) 事件 P( X b) 1 P( X b) 1 F(b) b 1 f ( x)dx
第五章 基本知识点
1. 二维随机变量(X, Y)的联合分布函数
F(x, y) P(X x,Y y)
2. 联合分布函数表示矩形域概率
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F( x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y2 ) F( x1, y1 )
3. 二维离散型随机变量(X, Y)的联合概率分布：
X的边缘分布函数
FX ( x) F( x, )

kkn k P ( k ) C p q , k 0 , 1 , , n n n
0 p , q 1 ,p q 1
五. 概念
1.条件概率 2.独立性 六. 注
概率统计-总复习-7
P ( AB ) P B A P ( A)
P ( AB ) P ( A ) P ( B )
概率统计-总复习-5
3.减法公式：差
4.乘法公式：交
P ( B A ) P ( B ) P ( AB )
P (AB ) P (A ) P (B A )P (B)P ( A B)
P ( A A A ) P ( A ) P A A P A A A P A A A A 1 2 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1
P ( X B )
x B k
P ( X x) p
k k x B k
P ( a X b ) F ( b ) F ( a )
5.常见分布5（0-1,二项,超几何, 泊松,几何）
最可能取值，极限分布，泊松定理
二.连续型r.v. 1.概率密度（2个性质）
概率统计-总复习-10
5.求概率（2个工具：分布律、分布函数）
P (( X , Y ) D )
(x y D i, j)

p ij
6.联合与边缘分布律表
联合分布律及边缘分布律
§2.6 随机变量函数的分布
一.离散型r.v.
概率统计-总复习-9
1.概率分布律（2个性质）P ( X x ) p , k 1 , 2 , k k
( x ) P ( X x ), x 2.分布函数（4个性质） F 3.分布律与分布函数互求

则称P(A)为事件A的概率。
3.概率的性质
• • • • • • • • (1) 加法公式:若A与B为互斥事件，则有： P(AB)=P(A)+P(B ) (2)求逆公式: 设A、 A 互为对立事件，则有： P( A)=1－P( A ) (3)减法公式: 若AB,则 P(A－B)=P(A)－P(B) P(A)P(B) (4)广义加法公式:P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)
§1 概率论的基本概念
• 必然现象: 在一定条件下必然发生或必然
不发生的现象.
•随机现象: 在一定条件下可能出现这样的结 果,也可能出现那样的结果,结果 的出现呈现出一定的偶然性.
统计规律性
:
联想举例？
某一随机现象,其结果的出现就个别试验而 言好象没有规律性,但在大数次试验的情况 下又呈现出某种规律性。
二.随机事件
随机事件：随机试验的结果叫事件。因为结果的 出现是随机的，故也称为随机事件。随机事件常用 大写字母A、B、C、…等表示。 随机事件包括基本事件和复合事件。 基本事件：仅包含一个样本点的事件。 复合事件：包含两个及两个以上样本点的事件。 以掷一枚骰子为例，观察下列随机事件：
A=｛1｝（表示掷出的点数是1） B= ｛1,2,3｝； C={5,6} 样本空间S：S={1,2,3,4,5,6} 结论：随机事件可看作是样本空间的子集。
第一章 概率论基础
统计规律性 必然现象和随机现象 概率论是研究随机现象统计规律性的数 学学科． 概率论问题的起源: 1654年 De Mere Pascal(1623-1662) Fermat(1601-1665) 两赌徒各出32枚金币作为赌金，以先得3分 为赢。第一人现得2分，第二人仅得1分， 设赌局因故中断，问怎样分配赌金才算 公平？