高考数学考前3个月知识方法专题训练第二部分技巧规范篇第一篇快速解答选择填空题第2讲四种策略搞定填空题

第1讲 六招求解选择题[题型分析·高考展望] 选择题是高考试题的三大题型之一，其特点是：难度中低，小巧灵活，知识覆盖面广，解题只要结果不看过程．解选择题的基本策略是：充分利用题干和选项信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解，避免“小题大做”．解答选择题主要有直接法和间接法两大类．直接法是最基本、最常用的方法，但为了提高解题的速度，我们还要研究解答选择题的间接法和解题技巧．高考必会题型方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．例1 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若FA →＝2AB →，则双曲线的离心率为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 D解析 设点F (c,0)，B (0，b )， 由FA →＝2AB →，得OA →－OF →＝2(OB →－OA →)，即OA →＝13(OF →＋2OB →)，所以点A (c 3，2b 3)，因为点A 在渐近线y ＝bax 上， 则2b 3＝b a ·c3，即e ＝2. 点评 直接法是解答选择题最常用的基本方法，直接法适用的范围很广，一般来说，涉及概念、性质的辨析或运算比较简单的题多采用直接法，只要运算正确必能得出正确的答案．提高用直接法解选择题的能力，准确地把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，在稳的前提下求快，一味求快则会快中出错．变式训练1 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 由图可知，T 2＝11π12－5π12，即T ＝π，所以由T ＝2πω可得，ω＝2，所以函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又因为函数图象过点(5π12，2)，所以2＝2sin(2×5π12＋φ)，即2×5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.方法二 特例法特例法是从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．例2 (1)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 答案 (1)A (2)C解析 (1)如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. (2)不妨设0<a <1<b ≤10<c ，取特例， 如取f (a )＝f (b )＝f (c )＝12，则易得a ＝10－12，b ＝1012，c ＝11，从而abc ＝11，故选C.点评 特例法具有简化运算和推理的功效，用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．变式训练2 (1)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1 答案 (1)C (2)B解析 (1)因为a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)， 所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26， 再令数列为常数列，得每一项为8， 则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32. 结合选项可知只有C 符合要求．(2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有111111,3C AA B A ABC ABC A B C V V V ==－－－故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1. 方法三 排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案．例3 (1)函数f (x )＝2|x |－x 2的图象为( )(2)函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0 B ．[－1,0]C ．[－2，－1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 答案 (1)D (2)B解析 (1)由f (－x )＝f (x )知函数f (x )是偶函数， 其图象关于y 轴对称，排除选项A 、C ； 当x ＝0时，f (x )＝1，排除选项B ，故选D. (2)令sin x ＝0，cos x ＝1， 则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.点评 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．变式训练3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2](2)(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 (1)D (2)D解析 (1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤0，x ＋1x－1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.故D 正确．(2)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x ＝π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．例4 (1)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°(2)定义在R 上的奇函数f (x )和定义在{x |x ≠0}上的偶函数g (x )分别满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ＜1，1x，x ≥1，g (x )＝log 2x (x >0)，若存在实数a ，使得f (a )＝g (b )成立，则实数b的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．[－12，0)∪(0，12]C ．[－2，－12]∪[12，2]D ．(－∞，－2]∪[－2，＋∞) 答案 (1)B (2)C 解析 (1)如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.(2)分别画出函数f (x )和g (x )的图象， 存在实数a ，使得f (a )＝g (b )成立，则实数b 一定在函数g (x )使得两个函数的函数值重合的区间内， 故实数b 的取值范围是[－2，－12]∪[12，2]．点评 图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．变式训练4 (1)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 2，C 1上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17(2)已知函数f (x )＝4x与g (x )＝x 3＋t ，若f (x )与g (x )的交点在直线y ＝x 的两侧，则实数t的取值范围是( ) A ．(－6,0]B ．(－6,6)C ．(4，＋∞)D ．(－4,4) 答案 (1)A (2)B解析 (1)作圆C 1关于x 轴的对称圆C 1′：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1， 则|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|，由图可知当点C 2、M 、P 、N ′、C 1′在同一直线上时， |PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|取得最小值， 即为|C 1′C 2|－1－3＝52－4.(2)根据题意可得函数图象，g (x )在点A (2,2)处的取值大于2，在点B (－2，－2)处的取值小于－2，可得g (2)＝23＋t ＝8＋t >2，g (－2)＝(－2)3＋t ＝－8＋t <－2，解得t ∈(－6,6)，故选B. 方法五 正难则反法在解选择题时，有时从正面求解比较困难，可以转化为其反面的问题来解决，即将问题转化为其对立事件来解决，实际上就是补集思想的应用．例5 (1)设集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <6}B ．{a |a <2或a >4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}(2)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，若在[－1,1]上存在x 使得f (x )>0，则实数p 的取值范围是( ) A ．[－32，－12]∪[1,3]B ．[1,3]C ．[－12，3]D ．(－3，32)答案 (1)A (2)D 解析 (1)当A ∩B ＝∅时， 由图可知a ＋1≤1或a －1≥5， 所以a ≤0或a ≥6， 故当A ∩B ≠∅时，0<a <6.(2)若在[－1,1]上不存在x 使得f (x )>0， 即当x ∈[－1,1]时，f (x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，即p ∈(－∞，－3]∪[32，＋∞)，其补集是(－3，32)．点评 应用正难则反法解题的关键在于准确转化，适合于正面求解非常复杂或者无法判断的问题．变式训练5 若函数y ＝e x＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，1) 答案 B解析 y ′＝(e x＋mx )′＝e x ＋m ，函数y ＝e x＋mx 没有极值的充要条件是函数在R 上为单调函数， 即y ′＝e x ＋m ≥0(或≤0)恒成立， 而e x≥0，故当m ≥0时，函数y ＝e x＋mx 在R 上为单调递增函数， 不存在极值，所以函数存在极值的条件是m <0. 方法六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，但是提升了思维的层次．例6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．1(2)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ) A.92 B ．5 C ．6 D.152答案 (1)B (2)D解析 (1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3，x 2是方程x ＋10x＝3的根，所以0<x 2<1， 所以2<x 1＋x 2<4.(2)该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CE ，问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和， 而V E －ABCD ＝13S ·h＝13×9×2＝6， 所以只能选D.点评 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．变式训练6 (1)设43322log 3,2,3,a b c -===则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <aD ．a <c <b(2)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5 (π2<θ<π)，则tan θ2等于( ) A.m －3q －m B.m －3|q －m |C ．－15 D ．5答案 (1)B (2)D解析 (1)因为2>a ＝log 23>1，b ＝232>2，c ＝3－43<1，所以c <a <b .(2)由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tan θ2也是一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1. 所以D 正确．高考题型精练1．已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2] 答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.2．(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 B解析 A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； B 项，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．3．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 227＝1B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1 D.y 224－x 212＝1 答案 B解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(0,6)， 所以双曲线的焦点坐标为(0,6)和(0，－6)， 所以双曲线中c ＝6，又因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，所以a b ＝33，所以a 2b 2＝13，又a 2＋b 2＝36，得a 2＝9，b 2＝27. 故选B.4.图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )答案 B解析 由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.5．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－1，13] B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)答案 B 解析 如图，z ＝y －1x ＋1表示可行域内的动点P (x ，y )与定点A (－1,1)连线的斜率． 6．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )等于( ) A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1 D ．e－x －1答案 D解析 依题意，f (x )向右平移一个单位长度之后得到的函数是y ＝e －x，于是f (x )相当于y ＝e －x向左平移一个单位的结果，所以f (x )＝e－x －1.7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A ．1 B.2 C.2－12 D.2＋12答案 C解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12. 8．给出下面的程序框图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 C解析 由程序框图得：若输入的x 的值为－5， (12)－5＝25＝32>2， 程序继续运行x ＝－3，(12)－3＝23＝8>2，程序继续运行x ＝－1，(12)－1＝2，不满足(12)x>2，∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0， 故选C.9．(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞) 答案 C解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＜0，且S 2 015＝0，则当S n 取得最小值时，n 的取值为( ) A ．1 009 B ．1 008 C ．1 007或1 008 D ．1 008或1 009 答案 C解析 等差数列中，S n 的表达式为n 的二次函数，且常数项为0，故函数S n 的图象过原点，又a 1＜0，且存在n ＝2 015使得S n ＝0，可知公差d ＞0，S n 图象开口向上，对称轴n ＝2 0152，于是当n ＝1 007或n ＝1 008时，S n 取得最小值，选C.11．已知四面体PABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π答案 C解析 依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2,1,2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9,4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( ) A ．100 B ．101 C ．200 D ．201答案 A解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 200＝1，S 200＝a 1＋a 2002×200＝100.13．若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16y 2＝144上，O 为原点，且满足OP ⊥OQ ，则O 到弦PQ 的距离|OH |必等于( ) A.203 B.234 C.125 D.415答案 C解析 选一个特殊位置(如图)，令OP 、OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9得，|OP |＝4，|OQ |＝3，则|OH |＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，选项C 正确．故选C.14．在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2) 答案 B解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号． ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D ，故选B.15．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3) 答案 B解析 ∵f (a )>－1，∴g (b )>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1， ∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b <2＋ 2. 故选B.16．若不等式m ≤12x ＋21－x 在x ∈(0,1)时恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．9 B.92C ．5 D.52答案 B 解析12x ＋21－x＝(12x ＋92x )＋[92(1－x )＋21－x ]－92 ≥212x ×92x ＋2 921－x 21－x －92＝2×32＋2×3－92＝9－92＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧12x ＝92x ，921－x ＝21－x即x ＝13时取得等号，所以实数m 的最大值为92，故选B.17．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 记g (x )＝f (x )－12x －12，则有g ′(x )＝f ′(x )－12<0，g (x )是R 上的减函数，且g (1)＝f (1)－12×1－12＝0，不等式f (x 2)<x 22＋12，即f (x 2)－x 22－12<0，g (x 2)<0＝g (1)，由g (x )是R 上的减函数得x 2>1， 解得x <－1或x >1，即不等式f (x 2)<x 22＋12的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg －x |，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若函数F (x )＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(2,8) C ．(2，174]D ．(0,8) 答案 C解析 函数f (x )的图象如图所示：要使方程f 2(x )－bf (x )＋1＝0有8个不同实数根， 令f (x )＝t ，意味着0<t ≤f (0)(f (0)＝4)且t 有两个不同的值t 1，t 2,0＜t 1＜t 2≤4， 即二次方程t 2－bt ＋1＝0在区间(0,4]上有两个不同的实数根．对于二次函数g (t )＝t 2－bt ＋1， 这意味着Δ＝b 2－4>0(或g (b2)<0)，0<b2<4(或t 1＋t 2＝b ∈(0,8))， 因为g (0)＝1>0(不论t 如何变化都有图象恒过定点(0,1))， 所以只需g (4)≥0，求得b ≤174， 综上可得b ∈(2，174]．。

高考数学选择填空答题技巧总结1注意审题。

把题目多读几遍，弄清这个题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。

2答题顺序不一定按题号进行。

可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。

若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题。

这样也许能超水平发挥。

3数学选择题大约有70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。

4挖掘隐含条件，注意易错易混点，例如集合中的空集、函数的定义域、应用性问题的限制条件等。

5方法多样，不择手段。

高考试题凸现能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值含特殊值、特殊位置、特殊图形、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。

不要在一两个小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”也有25%的胜率。

6控制时间。

一般不要超过40分钟，最好是25分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分”。

由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：一是填空题绝大多数是计算型尤其是推理计算型和概念或性质判断性的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断;二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病便是零分;三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做;稳——变形要稳，防止操之过急;全——答案要全，避免对而不全;活——解题要活，不要生搬硬套;细——审题要细，不能粗心大意。

高考数学答题技巧1：充分利用考前五分钟按照大型的考试的要求，考前五分钟是发卷时间，考生填写准考证。

（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7 解析几何第32练圆锥曲线中的探索性问题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7 解析几何第32练圆锥曲线中的探索性问题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第32练圆锥曲线中的探索性问题[题型分析·高考展望］本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大．体验高考1．（2016·课标全国乙）在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C:y2＝2px(p>0）于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H。

（1）求错误!；(2）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解(1)由已知得M（0，t）,P错误!，又N为M关于点P的对称点，故N错误!，ON的方程为y＝错误!x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x ＝0，解得x1＝0，x2＝错误!,因此H错误!。

所以N为OH的中点，即错误!＝2。

（2）直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝错误!（y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0,解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H 以外,直线MH与C没有其他公共点．2．（2016·四川)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b〉0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T。

专题一 选择、填空题常用的10种解法 抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确 数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七 换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八 补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________． 解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级． 由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确 把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确 分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。

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第4练用好基本不等式［题型分析·高考展望］基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时,才可应用，否则可能会导致结果错误．体验高考1．（2015·四川)如果函数f(x)＝错误!（m－2）x2＋（n－8)x＋1(m≥0，n≥0）在区间错误!上单调递减，那么mn的最大值为( )A．16 B．18 C．25 D.错误!答案B解析①当m＝2时，∵f（x)在[12，2]上单调递减，∴0≤n＜8，mn＝2n＜16。

②m≠2时，抛物线的对称轴为x＝－错误!.据题意得，当m＞2时，－错误!≥2，即2m＋n≤12，∵错误!≤错误!≤6,∴mn≤18，由2m＝n且2m＋n＝12得m＝3，n＝6。

当m＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－错误!≤错误!，即m＋2n≤18，∵错误!≤错误!≤9,∴mn≤812，由2n＝m且m＋2n＝18得m＝9＞2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m＋2n＝18(m＜2，n＞8)．∴mn＝（18－2n）n＜（18－2×8）×8＝16，综上所述,mn的最大值为18,故选B.2．（2015·陕西）设f（x）＝ln x，0＜a＜b,若p＝f(错误!），q＝f错误!,r＝错误!（f（a)＋f （b）），则下列关系式中正确的是( ）A．q＝r＜p B．q＝r＞pC．p＝r＜q D．p＝r＞q答案C解析∵0＜a＜b，∴错误!＞错误!，又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，故f错误!＞f（错误!)，即q＞p.又r＝错误!（f（a)＋f(b））＝错误!(ln a＋ln b)＝错误!ln a＋错误!ln b＝ln（ab）错误!＝f(ab）＝p.故p＝r＜q.选C.3．（2015·天津)已知a＞0，b＞0,ab＝8，则当a的值为________时,log2a·log2（2b)取得最大值．答案4解析log2a·log2（2b）＝log2a·（1＋log2b）≤错误!2＝错误!2＝错误!2＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2。

高考数学最后三个月每月复习攻略?一、3月份训练科目———力度训练三月份，考生应该把高考的重点、难点、对每个知识布局及知识点中的重点深刻理解，难点要专项突破，并要理清知识布局的内在关联，使得各知识点整体化、有序化、自控化、实用化，增强思维训练的力度，促进综合能力的进步，逐步形成实践能力。

1、抓住典范标题，争取领悟领悟由于题海战术的影响，考生们都以做几多套练习题来衡量温习的投入度，殊不知有的练习属于联合条理上的重复劳动，有的还会形成负迁移，重点得不到深化。

所以必须抓住典范标题举行钻研的力度，扩大解题收益，进步能力条理。

训练要领：细心筛选、抓住范例、增强反思、领悟领悟。

温习阶段，关于例题的处理，不能停顿在有要领、有思路、有终于就以为大功告成，草草收兵，曲终人散，就太可惜了。

抓住一些典范标题，借题发挥，充分挖掘它的埋伏效用。

具体的便是解题后反思。

反思题意，训练思维的严谨性；反思历程与计谋，成长思维的灵敏性；反思错误，激活思维的驳斥性；反思干系，促进知识串联和要领的升华。

2、细读考试大纲，确保了如指掌《考试说明》是就考什么、考多难、怎样考这三个标题的具体准则和讲解，每年《考试说明》都必然有调解的内容，所以必须高度重视，明确要求，进步温习的针对性和实效性。

训练要领：细心阅读、重复比较、细致入微、了如指掌。

要是走马观花地看一遍，简略造成误解，以为要求不高，都已经温习好了，产生盲目乐观的感情。

必须增强学习考试说明的力度，保证有的放矢。

首先明确考试的知识要求。

针对课本与温习时的笔记逐条比较，看是否得到了落实，保证没有遗漏，更要保证到位，不同的知识点有不同的能力要求，只能高举高打，才华游刃有余，没达要求的决不罢手。

其次要明确考试的能力要求。

不同的学科，对考生有不同的能力要求，看对应的要求是否在温习时得到了训练，特殊是二期课改对创新与探究能力的要求是否得到了落实。

还要明确考试对思想要领的要求。

目前高考命题坚定新题不难、难题不怪的偏向。

第2练用好逻辑用语，突破充要条件[题型分析·高考展望] 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．体验高考1．(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.log(x＋2)＜0”的( )3．(2015·重庆)“x＞1”是“12A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 Blog(x＋2)＜0⇔x＋2＞1⇔x＞－1，解析12因此选B.4．(2015·四川)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A. 5．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案 D解析全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，n≥x2的否定是n＜x2，故选D.高考必会题型题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假．例1 (1)(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面(2)命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且qC ．qD ．綈p答案 (1)D (2)B解析 (1)对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确． (2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．点评 利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．变式训练1 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0，命题q ：∃α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧q D ．p ∧(綈q ) 答案 C解析 因为∀x ∈R ，x 2≥0，所以命题p 是假命题，因为当α＝－β时，tan(α＋β)＝tanα＋tan β，所以命题q 是真命题，所以p ∧q 是假命题，p ∨(綈q )是假命题，(綈p )∧q是真命题，p ∧(綈q )是假命题． 题型二 充分条件与必要条件例2 (1)(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β， 所以“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．(2)已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1＜0(m ＞－23)的解为条件q .①若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围； ②若綈p 是綈q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围． 解 ①设条件p 的解集为集合A ， 则A ＝{x |－1≤x ≤2}， 设条件q 的解集为集合B ， 则B ＝{x |－2m －1＜x ＜m ＋1}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞2，－2m －1＜－1，m ＞－23，解得m ＞1.②若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m ＞－23.解得－23＜m ≤0.点评 判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．变式训练2 (2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)·(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( ) A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案 B解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n－4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B.题型三 与命题有关的综合问题 例3 下列叙述正确的是( )A ．命题：∃x 0∈R ，使x 30＋sin x 0＋2<0的否定为：∀x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2<0 B ．命题：“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为：若x ≠1或x ≠－1，则x 2≠1 C ．已知n ∈N ，则幂函数y ＝x 3n －7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1D ．函数y ＝log 2x ＋m3－x的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝±1答案 C解析 A ：命题：∃x 0∈R ，使x 30＋sin x 0＋2<0的否定为：∀x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2≥0，故A 错误；B ：命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1，故B 错误；C ：因为幂函数y ＝x3n －7在x ∈(0，＋∞)上单调递减，所以3n －7<0，解得n <73，又n ∈N ，所以n ＝0,1或2；又y ＝x3n －7为偶函数， 所以，n ＝1，即幂函数y ＝x3n －7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1， C 正确；D ：令y ＝f (x )＝log 2x ＋m3－x，由其图象关于点(1,0)中心对称，得f (x )＋f (2－x )＝0，即log 2x ＋m 3－x ＋log 22－x ＋m 3－2－x＝log 2x ＋m2＋m －x3－x 1＋x＝0，x ＋m2＋m －x3－x1＋x＝1.整理得：m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝1或m ＝－3，当m ＝－3时，x ＋m3－x ＝－1<0，y ＝log 2x ＋m3－x无意义，故m ＝1.所以，函数y ＝log 2x ＋m3－x图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝1，故D 错误．点评 解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件．若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一． 变式训练3 下列命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇏30°＝150°，∴②错误； 对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，∴③正确； ④显然正确．高考题型精练1．已知复数z ＝a ＋3ii(a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a ＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 z ＝a ＋3ii＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a ＞0，反之也成立，所以“a＞0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．3．(2015·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则( )A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 A解析两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A. 4．(2016·天津)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由题意得，a2n－1＋a2n＜0⇔a1(q2n－2＋q2n－1)＜0⇔q2(n－1)(q＋1)＜0⇔q∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件，故选C.5．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD 时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．6．已知命题p：∀x∈R，x3＜x4；命题q：∃x0∈R，sin x0－cos x0＝－2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 若x 3＜x 4，则x ＜0或x ＞1，∴命题p 为假命题；若sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－2，则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4＋2k π(k ∈Z )，∴命题q 为真命题，∴(綈p )∧q 为真命题．7．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析⎭⎪⎬⎪⎫当x ＞1，y ＞1时，x ＋y ＞2一定成立，即p ⇒q 当x ＋y ＞2时，可以x ＝－1，y ＝4，即q ⇏p ⇒故p 是q 的充分不必要条件8．下列5个命题中正确命题的个数是( )①“若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4； ⑤命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A解析 ①错，若log 2a ＞0＝log 21，则a ＞1， 所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数； ②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件； ③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2＜1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4；⑤正确，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确．9．在直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m)在第四象限的充要条件是____________________．答案 －1<m <32或2<m <3解析 点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3－m 2>0，2m －32－m<0⇔－1<m <32或2<m <3.10．已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由于f (x )是单调函数，在(0,1)上存在零点， 应有f (0)·f (1)＜0，解不等式求出实数a 的取值范围．由f (0)·f (1)＜0⇒(1－2a )(4|a |－2a ＋1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2a ＋12a －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，6a －12a －1＜0⇒a ＞12.11．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12＞0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确结论的序号都填上) 答案 ①③解析 在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的． 在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中，“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2＞4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab ＜2，则a 2＋b 2≤4”正确． 12．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x ＜a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________． 答案 [0,1] 解析 由4x －1≤－1， 得－3≤x ＜1. 由x 2－x ＜a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]＜0， 当a ＞1－a ，即a ＞12时，不等式的解为1－a ＜x ＜a ； 当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a ＜1－a ，即a ＜12时，不等式的解为a ＜x ＜1－a .由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ， 可知綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集． 当a ＞12时，由{x |1－a ＜x ＜a }{x |－3≤x ＜1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12＜a ≤1；11 当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集， 所以满足条件；当a ＜12时，由{x |a ＜x ＜1－a }{x |－3≤x ＜1}， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a ＜12.综上，a 的取值范围是[0,1]．。

高考数学选择题填空题答题技巧知识、能力是解决问题的前提和基础，方法、技巧则是解决问题的关键。

以下是百分网小编搜索整理的关于高考数学选择题填空题答题技巧，供参考复习，希望对大家有所帮助!“解题思路”在某种程度上来说，属于理论上的“定性”，要想解具体的题目，还得有科学、合理、简便的方法。

有关选择题的解法的研究，可谓是仁者见仁，智者见智。

其中不乏真知灼见，现选择部分实用性较强的方法。

高考数学选择题答题技巧1、直接法有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。

这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法。

2、筛选法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案，找到符合题意的正确结论。

可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。

如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。

3、特殊值法有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。

4、验证法通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。

5、图象法在解答选择题的过程中，可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。

6、试探法对于综合性较强、选择对象比较多的试题，要想条理清楚，可以根据题意建立一个几何模型、代数构造，然后通过试探法来选择，并注意灵活地运用上述多种方法。

高考数学填空题答题技巧闯过选择填空题的基础关需要全面全力夯实基础，切实掌握选择填空题的解题规律，确保基础部分得满分，也就是把该得的分数确实拿到手。

[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．[模板和细则] “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．模板1 三角函数与解三角形例1 (12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x －π6)．(1)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝14，a ＝3且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积．评分细则 (1)化简f (x )的过程中，和差公式的应用，二倍角公式的应用，辅助角公式的应用各给1分；中间只缺一步且结果正确者不扣分； (2)求f (x )值时无2x －π6的范围扣1分；(3)求角A 时没有用上条件0<A <π的扣1分；(4)利用余弦定理求b 、c 时公式正确，计算错误给1分． 变式训练1 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋32sin 2x .(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)＝3，△ABC 的面积为33，求a 的最小值．解 (1)f (x )＝32－32cos 2x ＋32sin 2x ＝3sin(2x －π6)＋32.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z )．(2)∵f (A 2)＝3sin(A －π6)＋32＝3，∴sin(A －π6)＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.又∵12bc sin π3＝33，∴bc ＝12.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝12， ∴a ≥23(当且仅当b ＝c ＝23时取“＝”)． ∴a 的最小值是2 3.模板2 空间中的平行与垂直关系例2 (12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点． (1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .∵正方形ABCD 中， AE ∥CD 且AE ＝12CD ，评分细则(1)第(1)问证出AE綊FM，给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD，同样给分；(2)第(2)问，证明P A⊥底面ABCD时缺少1个条件扣1分；证明DE⊥AH时，只要指明点E，F分别为正方形边AB、BC中点，得DE⊥AH，不扣分；证明DE⊥平面P AH，只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，P A∩AH＝A，缺少其他条件不扣分．变式训练2(2015·北京)如图，在三棱锥V—ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V —ABC 的体积．(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ， 又因为VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ， 且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C —VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V—ABC的体积与三棱锥C—VAB的体积相等，所以三棱锥V—ABC的体积为3 3.模板3数列的通项与求和例3(12分)下表是一个由n2个正数组成的数表，用a ij表示第i行第j个数(i，j∈N*)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a11＝1，a31＋a61＝9，a35＝48.a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……………a n1a n2a n3…a nn(1)求a n1和a4n；(2)设b n＝a4n(a4n－2)(a4n－1)＋(－1)n·a n1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.评分细则(1)求出d给1分，求a n1时写出公式，结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；(2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分； (4)当n 为奇数时求S n 中间过程缺一步不扣分．变式训练3 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)a 21＝S 1＝a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝1.∵a 22＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3，∴(1＋d )2＝3＋3d ，解得d ＝－1或2.当d ＝－1时，a 2＝0，不满足条件，舍去，∴d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. ①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立， 只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可．∵2n ＋8n≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n－15恒成立即可．∵2n －8n 随n 的增大而增大，∴当n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综合①②可得，λ的取值范围是(－∞，－21)．模板4 直线与圆锥曲线的位置关系例4 (12分)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．评分细则 (1)第(1)问，无a 2－c 2＝b 2关系式，直接得b ＝1扣2分； (2)第(2)问，求|OQ ||OP |时，写出P 、Q 的坐标时每个给1分；(3)第(2)问中，无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；(4)第(2)问中，联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；(5)第(2)问求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．变式训练4 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)． (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1， 故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0且m ≠0)，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0， 且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.因为直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP 、OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，|PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)， 所以S ＝12|PQ |d＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．模板5 圆锥曲线中的探索性问题例5 (12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．评分细则第(1)问得分点①求出t的值，得1分，列出关于t的方程，求解结果错误只得1分；②得出抛物线方程得1分．第(2)问得分点①写出直线l1在y轴上的截距得2分；②得出直线AE过定点得3分，只考虑当y20≠4，且得出此时直线AE过定点，只能得2分，只考虑当y20＝4，且得出此时直线AE过定点，只能得1分；③求出|AE|的长，且结论正确给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分；④正确得出B到直线AE的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分；⑤求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分．变式训练5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，其中y M 为点M 的纵坐标， ∴y M ＝28y 13(x 1＋4)，同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)，∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49，∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127为定值．模板6 函数的单调性、极值与最值例6 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．评分细则(1)函数求导正确即给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围给2分．变式训练6已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x，依题意对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对任意x∈(0,1)，有f′(x)＝－x e x<0，f(x)符合条件；当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件．故a的取值范围为0≤a≤1.(2)g(x)＝(－2ax＋1＋a)e x，g′(x)＝(－2ax＋1－a)e x.①当a＝0时，g′(x)＝e x>0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.②当a＝1时，对于任意x∈(0,1)，有g′(x)＝－2x e x<0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x＝1处取得最小值g(1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a>0.a ．若1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. b ．若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a)＝2a e12aa，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ， g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ； 当e －1e ＋1<a <1时， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.模板7 导数与函数零点、 不等式问题例7 (12分)f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．评分细则第(1)问得分点1．若导函数求错，不得分．2．若f′(1)＝0解错，只得2分．第(2)问得分点1．若没求定义域，其他正确，不扣分．2．没进行分类讨论的，不得分．漏一类扣2分．3．没有结论的扣1分．4．利用其他方法求解的，同样得分．变式训练7 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )． (1)设b ＝2－a ，求f (x )的零点的个数；(2)设a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小． 解 (1)∵b ＝2－a ，∴f ′(x )＝2ax ＋(2－a )－1x ＝(2x －1)(ax ＋1)x (x >0)．①若a ≥0，则f (x )在(0，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数， 又f (12)＝1－a4＋ln 2，∴当0≤a ＜4(1＋ln 2)时，函数f (x )没有零点； 当a ＝4(1＋ln 2)时，函数f (x )有一个零点； 当a >4(1＋ln 2)时，函数f (x )有两个零点．②若a <0，当－2<a <0时，函数f (x )在(0，12)上递减，在(12，－1a )上递增，在(－1a ，＋∞)上递减， 又f (12)>0，∴函数f (x )只有一个零点．当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上递减，f (x )有一个零点． 当a <－2时，f (x )在(0，－1a )上递减，在(－1a ，12)上递增，在(12，＋∞)上递减，f (x )只有一个零点．综上，0≤a ＜4(1＋ln 2)时无零点； a <0或a ＝4(1＋ln 2)时有一个零点； a >4(1＋ln 2)时有两个零点．(2)由a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)， 则函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由f ′(x )＝2ax ＋b －1x ＝0得－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的唯一的极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a ＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x ， 则g ′(x )＝1－4xx ，令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．因此g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0，故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .。

高考考前三个月数学提分攻略高考越来越近，数学还没准备好的同学怎么办？如何提高数学复习的针对性和实效性?今天教你一个门道，简称“三问法”：第一问自己：“学懂了没有?”—主要解决“是什么”的问题，即学了什么知识;第二问自己：“领悟了没有?”—主要解决“为什么”的问题，即用了什么方法;第三问自己：“会用了没有?”—主要解决“做什么”的问题，即解决了什么问题。

下面，具体说说走进“门道”的《数学专项突破》。

1.认真研读《说明》《考纲》《考试说明》和《考纲》是每位考生必须熟悉的最权威最准确的高考信息，通过研究应明确“考什么”、“考多难”、“怎样考”这三个问题。

命题通常注意试题背景，强调数学思想，注重数学应用;试题强调问题性、启发性，突出基础性;重视通性通法，淡化特殊技巧，凸显数学的问题思考;强化主干知识;关注知识点的衔接，考察创新意识。

《考纲》明确指出“创新意识是理性思维的高层次表现”。

因此试题都比较新颖，活泼。

所以复习中你就要加强对新题型的练习，揭示问题的本质，创造性地解决问题。

2.多维审视知识结构高考数学试题一直注重对思维方法的考查，数学思维和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括。

知识是思维能力的载体，因此通过对知识的考察达到考察数学思维的目的。

你要建立各部分内容的知识网络;全面、准确地把握概念，在理解的基础上加强记忆;加强对易错、易混知识的梳理;要多角度、多方位地去理解问题的实质;体会数学思想和解题的方法。

3.把答案盖住看例题参考书上例题不能看一下就过去了，因为看时往往觉得什么都懂，其实自己并没有理解透彻。

所以，在看例题时，把解答盖住，自己去做，做完或做不出时再去看，这时要想一想，自己做的哪里与解答不同，哪里没想到，该注意什么，哪一种方法更好，还有没有另外的解法。

经过上面的训练，自己的思维空间扩展了，看问题也全面了。

如果把题目的来源搞清了，在题后加上几个批注，说明此题的“题眼”及巧妙之处，收益将更大。

[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力.解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.[答题模板解读] 针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化.万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分.第1讲 三角函数问题题型一 与三角函数图象、性质有关的问题例1 (12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值. 规范解答解 (1)由已知得f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34[2分] ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x [4分] ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[6分] 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.[7分] (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数.[10分] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14.[11分] 所以，函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.[12分] 评分细则 第(1)问得分点1.无化简过程，直接得到f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，扣5分. 2.化简结果错误，但中间某一步正确，给2分.第(2)问得分点1.只求出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14得出最大值为14，最小值为－14，得1分. 2.若单调性出错，只得1分.3.单调性正确，但计算错误，扣2分.4.若求出2x －π3的范围，再求函数的最值，同样得分.第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式；第二步：由y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质，将ωx ＋φ看做一个整体，求T 、A 、ω、φ等参量，求函数单调区间、值域及角的范围；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果计算是否有误.跟踪训练1 已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间.题型二 三角变换与解三角形的综合问题例2 (12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a ＝3，cos A ＝63， B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积.规范解答解 (1)由题意知：sin A ＝1－cos 2A ＝33，[1分] sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π2 ＝sin A cos π2＋cos A sin π2＝cos A ＝63，[3分] 由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ⇒b ＝a ·sin B sin A ＝3 2.[5分] (2)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝63⇒c 2－43c ＋9＝0 ⇒c 1＝3，c 2＝33，[8分]又因为B ＝A ＋π2为钝角， 所以b >c ，即c ＝3，[10分]所以S △ABC ＝12ac sin B ＝322.[12分] 评分细则 第(1)问得分点1.没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分.2.写出正弦定理，但b 计算错误，得1分.第(2)问得分点1.写出余弦定理，但c 计算错误，得1分.2.求出c 的两个值，但没舍去，扣2分.3.面积公式正确，但计算错误，只给1分.4.若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分.第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后定转化方向； 第二步：定工具，即根据条件确定合理运算思路，如用正弦、余弦定理，三角形面积公式等，实现边角转化；第三步：计算，求结果；第四步：回顾反思，在实施边角互化时，注意转化的方向，注意角的范围及特定条件的限制等.跟踪训练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状.答案精析第二篇 看细则，用模板，解题再规范第1讲 三角函数问题跟踪训练1 解 (1)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6 (k ∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π6，k ∈Z .当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝1－14＝34.当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12[1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6]＋1＋12sin 2x＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32是增函数．故函数h (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12 (k ∈Z )．跟踪训练2 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。

（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第二部分技巧规范篇第一篇快速解答选择填空题第2讲四种策略搞定填空题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（通用版）2017届高考数学考前3个月知识方法专题训练第二部分技巧规范篇第一篇快速解答选择填空题第2讲四种策略搞定填空题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2讲四种策略搞定填空题［题型分析·高考展望] 填空题的基本特点是：（1)题目小巧灵活，结构简单；（2）答案简短明确,不反映过程，只要结果；（3)填空题根据填写内容,可分为定量型（填写数值，数集或数量关系)和定性型（填写某种性质或是有某种性质的对象）．根据填空题的特点，在解答时要做到四个字——“快”“稳"“全”“细”．快——运算要快，力戒小题大做；稳-—变形要稳，不可操之过急；全—-答案要全，力避残缺不齐；细——审题要细，不能粗心大意．高考必会题型方法一直接法根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确答案．解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程．解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件．例1 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边，且错误!＝－错误!，则角B的值为________．答案错误!解析方法一由正弦定理,即asin A＝bsin B＝错误!＝2R,得a＝2R sin A,b＝2R sin B,c＝2R sin C，代入错误!＝－错误!,得错误!＝－错误!，即2sin A cos B＋sin C cos B＋cos C sin B＝0，所以2sin A cos B＋sin(B＋C）＝0。

高考数学最后三个月的复习方法分享高考数学是最能拉开差距的科目，怎么复习数学也会影响到学生的成绩?下面是店铺给大家带来的有关于高考最后三个月的复习的方法介绍，希望能够帮助到大家。

高考数学最后三个月的复习方法1.数学课前预习把上数学课要讲的内容梳理一遍，存在哪些难点，整理自己的解题思路，做到心中有数。

这样才能提高课堂的听讲效率，不让疑点轻易溜过。

高考数学没有想象中那么难，首先基础要扎实，其次是不断深入，这是实现高考数学最后三个月逆袭的基础。

2.记数学错题笔记有时候老师讲数学知识时同学听得很好，但到自己做题时就不会了，这就需要总结了，对于难题、不懂的题目收录到数学错题笔记，在高考最后三个月中拿出来回顾一遍，因为在高考数学中这些题型都是有可能出现的。

这样学生的解题能力才能与日俱增，投入的时间虽少，效果却很大，才能在高考最后三个月实现数学的逆袭。

3.注重数学书本在高考最后三个月里复习一下数学书本，看看各章节是如何安排的，对每章节进行复习总结，工欲善其事，必先利其器，这样能确保你在做题时不会为回忆公式打断解题思维的连贯性和做题的速度，逆袭数学考低分的现象。

从而让高考数学在最后三个月逆袭。

4.掌握有效的数学考试方法掌握有效的数学考试方法是提高考考试成绩的的最后一道关卡，要养成良好的考试习惯。

做到仔细审题，在读清的基础上读懂，切莫胡乱审题，轻易下笔。

在高考数学最后三个月里少题海多精题，少粗心多自信。

高考数学各层次考生的数学复习的方法60分考生赶紧去啃公式对于做历年试题、模考题能考60分，目标分数是90分的同学来说，梳理知识点很关键，因为考60分说明知识点没掌握好。

数学科目中固定的公式其实没有同学们想象得那么多，一口气背下来，做题就会顺利很多。

80分奔120考生要总结常考题型那些现在能考八九十分，努力要拿下120分的同学，一般缺乏的是知识框架和条理。

考生可把数学大题的每一道题作为一个章节，自己或者找老师把每章节的知识脉络捋顺。

第4练 用好基本不等式[题型分析·高考展望] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．体验高考1．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D.812答案 B解析 ①当m ＝2时， ∵f (x )在[12，2]上单调递减，∴0≤n ＜8，mn ＝2n ＜16.②m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2. 据题意得， 当m ＞2时，－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， ∵2m ·n ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6. 当m ＜2时，抛物线开口向下， 据题意得，－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18， ∵2n ·m ≤2n ＋m2≤9，∴mn ≤812，由2n ＝m 且m ＋2n ＝18得m ＝9＞2，故应舍去． 要使得mn 取得最大值，应有m ＋2n ＝18(m ＜2，n ＞8)．∴mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16， 综上所述，mn 的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.3．(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值． 答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b ) ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122＝⎝⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 答案 8解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， 由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1.∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C . 则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22， ∴tan A tan B tan C ≥8.5．(2016·上海)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 由已知，ab ＝1，且a ≠b ， ∴a ＋b ＞2ab ＝2.高考必会题型题型一 利用基本不等式求最大值、最小值 1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键． (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错． 2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有： (1)x ＋bx －a＝x －a ＋bx －a＋a (x >a )．(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．例1 (1)已知正常数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________．答案509解析 由1a ＋2b＝3，得b ＋2a ＝3ab ，∴(a ＋1)(b ＋2)＝2a ＋b ＋ab ＋2＝4ab ＋2， 又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ≥22ab，∴ab ≥89(当且仅当b ＝2a 时取等号)，∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值为4×89＋2＝509.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值．解 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t ＞0)， ∴y ＝t －12＋7t －1＋10t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号，∴y min ＝9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得． 变式训练1 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20， (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25yx ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10 10－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋2 1020. 题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 答案 B解析 平均每件产品的费用为y ＝800＋x 28x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得 3 200≥2 40x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120 S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练2 (1)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________． 答案 92解析 圆的方程变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 由已知可得直线ax ＋by －6＝0过圆心O (1,2)， ∴a ＋2b ＝6(a ＞0，b ＞0)，∴6＝a ＋2b ≥22ab ， ∴ab ≤92(当且仅当a ＝2b 时等号成立)，故ab 的最大值为92.(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． ①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； ②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 ①当0＜x ＜80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250＝1 200－(x ＋10 000x)．∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －2500＜x ＜80，1 200－x ＋10 000xx ≥80.②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)， 当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x ＝100时，年获利最大．高考题型精练1．已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22， ∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.2．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6 答案 C解析 方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x)＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ， 即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋2 3625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴3x ＋4y 的最小值是5.3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16 答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1，∴b ＝aa －1＞0，解得a ＞1.同理可得b ＞1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9aa －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥2 1a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴最小值为6.故选B.4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3 答案 B解析 因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3ab恒成立． 因为3b a ＋3ab≥23b a ·3ab＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3ab≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my(m ＞0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4 答案 D 解析 由2x －3＝(12)y得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y) ≥13(1＋m ＋2m )(当且仅当y x ＝mxy 时取等号) ∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4，故选D. 6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2 答案 A解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)，因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc＋5.因为b ，c ＞0，所以4c b＋bc ≥24cb·b c＝4.当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 6解析 由已知得x ＝9－3y 1＋y.方法一 (消元法)∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3y ＋1－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y ＋1)， 即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.方法二 ∵x ＞0，y ＞0,9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0，∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 8．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋c b ＋ba ＋c的最小值为________． 答案 52解析 由条件可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2ac b ＝2，令a ＋cb＝t ，则t ≥2，所以y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52.9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)， 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)，综上可知4≤x 2＋4y 2≤12. 10．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________． 答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，设f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1－x 2＋x，x ∈(0,1)．令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)， 则函数f (x )可转化为g (t )＝t －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－t ＋4t＋5， 因为t ∈(1,4)，所以5＞t ＋4t≥4， 0＜－(t ＋4t )＋5≤1，9－t ＋4t ＋5≥9， 即g (t )∈[9，＋∞)，故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，因为x ∈(0,1)，则1－x ∈(0,1)，设y ＝1－x ∈(0,1)，显然x ＋y ＝1.故1x ＋41－x ＝1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4x ＋y y＝5＋(y x ＋4x y)≥5＋2y x ·4x y ＝9， 当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝23，x ＝13时等号成立． 所以要使不等式m ≤1x ＋41－x恒成立，m 的最大值为9. 11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为t ＝130x(小时)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610， 当且仅当2 340x ＝13x 18， 即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解 (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解， 等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解， ∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2， ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。