零点的存在性定理

零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。

2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。

因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。

要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。

如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。

如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。

函数零点存在定理函数的零点存在定理在数学分析中起着重要的作用，它确保了函数在一定条件下存在零点。

具体来说，这个定理可以分为两部分：罗尔定理和零点存在定理。

首先，我们来看罗尔定理。

罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，它断言了若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数的两个端点值相等，那么在(a,b)上至少存在一个点c，使得函数的导数在c 处为零。

简单来说，罗尔定理保证了连续函数在一些开区间上存在导数为零的点。

零点存在定理是建立在罗尔定理的基础上的。

它断言了若函数在一个闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数在该区间的两个端点值异号（即一个为负数，一个为正数），那么在该区间上至少存在一个根（即函数的零点）。

这是因为根据罗尔定理，可以找到一个导数为零的点c，而由于函数在该区间的两个端点值异号，所以在这个区间上函数必定穿过x轴，即存在根。

零点存在定理的证明可以用反证法来完成。

假设在闭区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)没有任何零点。

那么我们可以得出以下两个结论：首先，函数在该区间上的值要么全部大于0，要么全部小于0；第二，由于函数没有零点，所以在该区间上函数的值要么一直大于0，要么一直小于0。

由于函数连续，根据介值定理，这与函数的值要么全部大于0，要么全部小于0的结论相悖，所以我们的假设是错误的。

因此，零点存在定理得证。

零点存在定理的应用非常广泛。

它可以用于找到函数的零点，即方程的根。

这在实际问题中经常遇到，例如求解方程、寻找曲线与坐标轴的交点等。

除此之外，零点存在定理还可以帮助我们研究函数的性质。

例如，通过研究函数的导数为零的点，我们可以找到函数的极值点，进而研究函数的增减性和凸凹性。

同时，零点存在定理还为数值计算提供了理论基础。

在计算机科学中，求解方程是一个重要的问题，通过零点存在定理，我们可以设计出一些高效的数值计算算法，用来求解方程的根。

零点存在定理的应用不仅局限于实数范围，它也可以推广到复数范围。

零点存在性定理如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a 的取值范围.解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下则(0)0(3)00032f f a b a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎪⎩⇒-<≤-②f (x )在(0，3)内有1个零点(0)011(3)03f a f >⎧⇒>⎨<⎩例1 已知集合A = {x ∈R |x 2– 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.【解析】设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0}= 3{|(1)()0}2a a a +-≥ = 3{|1}2a a a ≤-≥或若方程x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x 1，x 2均非负，则1212340,.2260.a Ux x a a x x a ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎩因为在全集U 中集合3{|}2a a ≥的补集为{a |a ≤–1}，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤–1}. 例2 设集合A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0， x ∈R }，若A ∪B = A ，求实数a 的值.【解析】∵A = {x | x 2 + 4x = 0，x ∈R }，∴A = {–4，0}. ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .1°当B = A ，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,, 1.10a a a -+=-⎧=⎨-=⎩解之得 2°当B =∅，即方程x 2 + 2 (a + 1)x + a 2 –1 = 0无实解. ∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a 2 – 1) = 8a + 8＜0. 解得，a ＜–1.3°当B = {0}，即方程x 2+ 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，2880,, 1.10.a a a +=⎧=-⎨-=⎩解得 4°当B = {–4}时，即需2880,168(1)10.a a a +=⎧⎨+++-=⎩无解. 综上所述，若A ∪B =A ，则a ≤–1或a = 1.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

第 10 炼函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x称为函数y f x x D 的零点2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ，那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得f x0 。

（1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续）① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程1lnx x 0 ，无法直接求出根，构造函数f x lnx x ，由f 1 0, f 0 即可判定21其零点必在1,1 中22、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

零点存在定理的理解与辨析零点定理，也叫派索多·贾马尔定理，是指一个多项式函数等于零，零点定理可以帮助我们知道该多项式函数的零点是什么：1. 定义：零点定理指的是在一个函数多项式的图像中，当函数值为0时，多项式就一定有对应的零点，即若一个多项式P(x)，当且仅当P(x) = 0 时，存在x0使得P(x0) = 0。

2. 证明：假设P(x)有n阶，则可表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + … + anx^n由泰勒公式，多项式就可以展开为如下的函数：P(x) = f(x) = f0 + f1x + f2x^2 +f3x^3+ … + fnx^n又由于P(x) = 0，则f也要等于0。

所以零点定理也可以表达为：【假设一个n阶多项式P(x)的展开函数f(x)的n阶项系数不为0，则当f(x) = 0时，多项式P(x)也有相应的零点】3. 应用：零点定理经常用于求解多项式函数的零点，例如一元多项式函数P(x) = 3x^2 - 5x + 3，当P(x) = 0时，则0 = 3x^2 - 5x + 3，可得到两个实数解2/3，1。

以及一元二次方程式求解方法，二元一次方程章形式求解方法等均可使用零点定理，同理，n阶一元多项式函数也可以求出n个零点。

4. 特点：零点定理仅限于一元多项函数，不具有通用性，另外，零点定理只告诉我们多项式函数的零点是什么，但是无法给出零点的复杂度。

5. 限制：零点定理的限制在于其局限性，特别是当函数的最高项系数a_n=0时，零点定理就不能成立，另外，零点定理只可以给出实数的零点，而不能给出复数的零点。

总之，零点定理是一个有用的定理，虽然它有一定的局限性和限制，但可以帮助我们准确求出一元多项式函数的零点。

通过理解零点定理，学生可以更快速、正确的求解多项式函数的零点问题。

零点存在定理的前提条件-回复零点存在定理是实分析中的一个重要定理，它断言了一个连续函数在某个区间上必然存在一个零点。

在讨论前提条件之前，我们首先来了解一下零点存在定理的具体表述。

零点存在定理（Bolzano 定理）：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a)f(b)<0，则必存在一个c\in(a,b)使得f(c)=0。

这个定理非常直观，它告诉我们，只要一个函数在某个区间上连续，并且函数在这个区间的两个端点上的函数值异号，那么在这个区间上一定存在至少一个点，使得函数的值等于零。

现在让我们来分析零点存在定理的前提条件，即函数连续和函数值异号。

首先，我们来了解一下连续函数的定义。

一个函数f(x)在某个区间上连续，意味着对于任意给定的x_0，当x足够接近x_0时，f(x)也会足够接近f(x_0)。

换句话说，函数在这个区间上没有断点、无间断。

接下来，我们考虑定理中的第二个前提条件：函数在区间的两个端点上的函数值异号。

这意味着函数在区间的两个端点上的函数值一个为正，一个为负。

这个条件比较容易满足，因为只要函数在区间的两个端点的函数值异号，我们就可以找到一条连接这两个端点的连续曲线，而且这个曲线肯定会与x轴相交，即存在函数的零点。

所以，零点存在定理的前提条件可以简单总结为，函数在某个区间上连续，并且函数在这个区间的两个端点上的函数值异号。

接下来，我们需要思考为什么这些前提条件是成立的。

这涉及到实数的基本性质和函数连续性的相关知识。

首先，我们知道实数集上存在公理，例如阿基米德性公理、稠密性公理等。

这些公理保证了实数集的完备性，即实数集中没有空隙，任意两个实数之间都存在有理数。

这个完备性是实分析理论的重要基础之一。

其次，函数连续性的概念也是基于实数集的完备性。

连续函数的定义就是基于实数集中的点之间的距离来描述的。

因此，当我们讨论函数在某个区间上连续时，实际上是在讨论实数集中点与点之间的距离的性质。

零点定理官方定义
一、背景介绍
零点定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了在特定条件下函数零点的存在性。

在数学分析的学习和研究中，零点定理有着重要的地位和广泛的应用。

为了更好地理解和掌握零点定理，我们需要对其官方定义进行深入研究和报告。

二、零点定理官方定义
零点定理的官方定义如下：
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a) 与 f(b) 异号，即f(a)*f(b) < 0 ，那么在开区间(a, b) 内至少存在一点(c)，使得 f(c) = 0 ，这个点(c)被称为函数f(x)在区间[a, b]内的零点。

三、零点定理的意义和应用
零点定理的直观含义是，如果一个连续函数在区间的两端取不同符号的值，那么在从一端变化到另一端的过程中至少有一点函数值为零。

这可以理解为函数图像从x轴的一侧穿过x轴到另一侧。

零点定理在求解方程、证明函数性质以及进行函数图像分析等方面有着广泛的应用。

例如，我们可以利用零点定理来证明方程的解的存在性，判断函数的零点个数以及分析函数的图像特征等。

四、总结
通过对零点定理的官方定义的研究和报告，我们可以更好地理解和掌握零点定理的基本内容和应用。

零点定理是数学分析中的一个重要定理，它为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。

在今后的学习和研究中，我们应该深入研究和应用零点定理，发挥其在数学分析中的重要作用。

函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =Î，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =Î的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b Î，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <Þ在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f æö><ç÷èø即可判定其零点必在1,12æöç÷èø中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

零点存在定理零点存在定理是微积分学中一个重要的定理，用于证明在某些特定条件下，一个连续函数在定义域内至少存在一个根（即函数曲线与X轴相交的点）。

这个定理的证明经过了漫长的发展和完善，现在已经成为微积分学中基本的工具之一。

零点存在定理的最初形式是由17世纪法国数学家Rolles提出的，后来被推广到更一般的情况。

当然，像其它许多定理一样，不同的证明方法也相继出现。

今天，我们的证明方法按照经典传统来自Rolles的带状取值原理，这个原理，对于满足一定条件的连续函数，可以找到一个带状区域，其中的函数值就不会变号，故其中存在至少一个零点。

首先，假设f(x)在区间[a,b]上连续。

如果f(a)和f(b)符号相同，那么f(x)在[a,b]上没有根。

因此，我们只考虑f(a)和f(b)符号不同的情况。

现在假设f(a) < 0且f(b) > 0。

由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据最大值与最小值定理，f(x)在该区间上必有一个最小值。

不妨设这个最小值为f(c)，其中a < c < b。

现在考虑分两种情况。

第一种情况，f(c) < 0。

因为f(x)在区间[a,c]上连续且有限，所以根据带状取值原理，f(x)在[a,c]上的每一个值都小于f(b)，也就是说，在[a,c]上不存在f(x) = 0的解。

但是，在[c,b]上，f(x)的取值范围为[c,b]中的一个闭区间。

由于f(c) < 0且f(b) > 0，所以这个闭区间中必须至少存在一个点，使得f(x) = 0，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。

第二种情况，f(c) > 0。

这种情况下，我们对f(x)作一个取反处理，得到一个新的连续函数g(x) = -f(x)。

由于g(a) > 0且g(b) < 0，且g(x)也在区间[a,b]上连续，那么根据上面的分析，存在一个零点，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。

3．1．2 函数零点的存在性定理（一）教学目标1．知识与技能体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间．2．过程与方法经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯．3．情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣．（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用．难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合．（四）教学过程备选例题例1 已知集合A = {x∈R|x2– 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x∈R|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围．【解析】设全集U = {a|△= (–4a)2– 4 (2a + 6)≥0}==若方程x2– 4ax + 2a + 6 = 0的两根x1，x2均非负，则因为在全集U中集合的补集为{a|a≤–1}，所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}．例2 设集合A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，B = {x | x2 + 2 (a + 1) x + a2– 1 = 0，x∈R}，若A∪B = A，求实数a的值．【解析】∵A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，∴A = {–4，0}．∵A∪B=A，∴BA．1°当B = A，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得2°当B=，即方程x2 + 2 (a + 1)x + a2–1 = 0无实解．∴△= 4 (a + 1)2– 4 (a2– 1) = 8a + 8＜0．解得，a＜–1．3°当B = {0}，即方程x2 + 2(a + 1)x + a2– 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，4°当B = {–4}时，即需无解．综上所述，若A∪B=A，则a≤–1或a = 1．。

0点存在定理0点存在定理是由20世纪德国数学家威廉梅尔纳施密特于1929年提出的数学定理。

实际上，它是用来描述定积分问题的一个重要定理，它为解决复杂的积分问题提供了全新的思路和方法。

施密特定理的最重要的特征就是它认为任何积分的结果都可以用一系列的定积分的和来表示，因此，如果我们能够找到每一积分的解，就可以在不解决复杂的积分问题的情况下得出结果。

0点存在定理的证明0点存在定理的证明是比较复杂的，其目的是证明它与积分的概念相关。

它要求我们比较积分方程的斜率和它们的能量分布情况，以及验证它们能否满足条件。

首先，要定义一个函数f(x)，并且它的斜率在任意x处都是定值的，即：f(x) = a, x∈ (a, b)然后任意取一个点x0，它的值满足下面的条件：f(x0) = 0因此得出f(x0) = 0，即在x为常数时，f函数的斜率为0。

接下来，用另外一种方法来检验它是否符合施密特定理，那就是比较函数f(x)的能量分布情况，并且检验它能否满足下面条件：f(a)f(b) < 0或者说f(ξ) = 0，其中ξ∈(a，b)该结果表明，存在一个f(x)，其中某一点的斜率f(x0)=0，在区间[a,b]内，函数的解为0点，这就是施密特定理的实质。

0点存在定理的应用0点存在定理是求解复杂积分问题的一个重要工具，它可以在不需要解决复杂积分问题的情况下，直接求出结果。

该定理主要应用于物理学、力学、热力学和气象学等各个领域。

在物理学中，施密特定理的研究主要是研究物体的动力学，因为动力学的问题一般都要求求解复杂的积分问题。

施密特定理可以用来求解有关物体的受力情况，以及他们的变速过程，例如它可以用来求出抛体的运动轨迹，也就是牛顿第二定律。

在力学中，施密特定理不仅可以用来求重力势能、磁势能和电势能，而且还可以用来研究其他复杂的力学系统；在热力学中，它可以用来计算热力系统的总能量；在气象学中，它可以用来求解气压的变化情况，以及海洋温度的变化。