数理逻辑部分综合练习题

一阶逻辑等值式与置换规则1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：(1) x y(F(x)∧G(y))(2) x y(F(x)∨G(y))(3) xF(x)→yG(y)(4) x(F(x,y)→yG(y))2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。

(1) x(F(x)→G(x))(2) x(F(x)∧G(x))3．给定解释I如下：(a) 个体域D={3,4}。

(b) (x)为(3)=4，(4)=3。

(c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。

试求下列公式在I下的真值：(1) x yF(x,y)(2) x yF(x,y)(3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))4．构造下面推理的证明：(1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)结论：x(F(x)∧R(x))(2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x)结论：xF(x)(3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x)结论：xF(x)5．证明下面推理：(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。

(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。

(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。

答案1.(1) x y(F(x)∧G(y))xF(x)∧yG(y)(F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c))(2) x y(F(x)∨G(y))xF(x)∨yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c))(3) xF(x)→yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y))xF(x,y)→yG(y)(F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c))2.(1)I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以x(F(x)→G(x))(F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。

1．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）凡有理数都能被2整除。

（2）有的有理数能被2整除。

其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。

2．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）对于任意的x，均有x2-2= (x+)(x-)。

（2）存在x，使得x+5=9。

其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。

3．在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）没有不能表示成分数的有理数。

（2）在北京卖菜的人不全是外地人。

（3）乌鸦都是黑色的。

（4）有的人天天锻炼身体。

4．在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）火车都比轮船快。

（2）有的火车比有的汽车快。

（3）不存在比所有火车都快的汽车。

（4）“凡是汽车就比火车慢”是不对的。

5．给定解释I如下：(a)个体域D I为实数集合R。

(b)D I中特定元素=0。

(c)特定函数(x,y)=x-y，x,y∈D I。

(d)特定谓词(x,y)：x=y，(x,y)：x<y，x,y∈D I。

说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：（1）xy(G(x,y)→┐F(x,y))（2）xy(F(f(x,y）,a)→G(x,y))（3）xy(G(x,y)→┐F(f(x,y),a))（4）xy(G(f(x,y),a)→F(x,y))6．给定解释I如下：（a）个体域D=N（N为自然数）。

（b）D中特定元素=2。

（c）D上函数(x,y)=x＋y，(x,y)=x·y。

（d）D上谓词(x,y)：x=y。

说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：（1）xF(g(x,a),x)（2）xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))（3）xyz(F(f(x,y),z)（4）xF(f(x,x),g(x,x))7．证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y)))（2）xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))答案1．（1）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为0。

一年级数学下册逻辑推理强化练习题练题一小明手里有5个苹果，他给了小红2个苹果，现在小明还剩下几个苹果？练题二小明和小刚是好朋友，他们一起去超市买东西。

小明买了3个饮料和4个饼干，小刚买了1个饮料和6个饼干。

他们一共买了几个东西？练题三小明家里有8个橙子，他把其中3个橙子分给了小红和小刚，每人得到几个橙子？练题四小明有一本书，小红比小明少1本书，小刚比小红多1本书。

三个人一共有几本书？练题五小红和小明一起做了10个问答题，小红做对了3个，小明做对了几个？练题六小明有8个石头，他把石头分成两堆，一堆有6个石头，另一堆有几个石头？练题七小红和小明比赛轮流丢硬币，谁先掷到正面谁就赢。

已知小红掷了5次都是反面，请问小红赢了吗？还是小明赢了？练题八小刚从家到学校骑自行车需要10分钟，小红骑自行车需要15分钟。

请问谁比较快？练题九小明家有3个蛋糕，他想请小红和小刚吃蛋糕，每人分到几个蛋糕？练题十小明有5只铅笔，他给了小红和小刚各1只铅笔，现在小明还剩下几只铅笔？练题十一小红和小明一起做作业，他们一共用了20分钟。

小红用了8分钟，小明用了几分钟？练题十二小红和小明参加了一个游戏，游戏结束后小红得到5个糖果，小明得到几个糖果？练题十三爸爸给小明买了3本书，妈妈给小明买了2本书，小明一共得到几本书？练题十四小明和小红在教室里比赛跑步，小明用了10秒，小红用了15秒，请问谁跑得更快？练题十五小红比小明先吃饭，小红吃了5分钟，小明吃了几分钟？练题十六小明和小红一起拉着绳子，小明拉了4次，小红拉了2次。

请问谁拉了更多次？练题十七小刚从家里到学校需要走20步，他已经走了11步，请问他离学校还有几步？练题十八小红和小明在一起玩了3个小时，小明又玩了5个小时，请问小红玩了多少个小时？练题十九小明家里有8个橘子，他把其中4个橘子分给了小红，现在小明家里还剩下几个橘子？练题二十小红和小明一起种了10棵树，小红种了2棵，小明种了几棵？。

《离散数学》第1章练习题参考答案2017年一、填空题1. 设命题公式)(r q p G ∨⌝∧=，则G 的成真赋值是 100 、 101 、 111 .2. 已知命题公式r q p G →∧⌝=)(，则G 的析取范式为r q p ∨⌝∨.3. 设B A ,为两个命题公式，B A ⇔当且仅当为重言式B A ↔，B A ⇒当且仅当为重言式B A →.4. 已知命题公式),,(r q p A 的主合取范式为530M M M ∧∧，则它的主析取范式为76421m m m m m ∨∨∨∨.5. 已知命题公式),,(r q p A 的成真赋值为000,001,010,100,110，则其主合取范式为357M M M ∧∧.二、选择题1. 设命题公式)(p q p G ⌝→∧=，则使G 的真值为1的p ，q 的取值是 （ C ）（A ） 00 （B ） 01 （C ） 10 （D ） 112. 与命题公式)(r q p →→等值的公式是 （ B ）（A ）r q p →∨)( （B ）r q p →∧)( （C ）)(r q p ∧→ （D ）)(r q p ∨→3. 命题公式p q p →∧)(是 （ A ）（A ）永真式 （B ）永假式 （C ）非永真式的可满足式 （D ）合取范式4. 设命题公式)(),(p q H q p G ⌝→=→⌝=，则G 与H 的关系是 （ D ）（A ）G H ⇔ （B ）G H → （C ）G H ⇒ （D ）H G ⇒5. 下列重言蕴涵式中，不正确的是 （ C ）（A ）Q P Q ∨⇒ （B ）Q P Q →⇒（C ）P Q P Q ⇒→∧⌝)( （D ）Q Q P ⌝⇒→⌝)(三、计算题1. 将下列命题符号化（1）李强不是不聪明，而是不用功 （2）如果天不下雨，我们就去郊游 解 （1）设p ：李强聪明，q ：李强用功.原命题符号化为：q p ⌝∧（2）设p ：天下雨，q ：我们去郊游.原命题符号化为：q p →⌝2.给出下列公式的真值表（1）r q p r q p ⌝∧∧→→∧)(（2）)()()(r p r q q p ⌝∧⌝→→∧∨⌝解略.3. 设命题变项q p ,为1， s r ,为0，试求出下列命题的真值（1）)(r q p ∧∨ （2）)()(s q r p →⌝∧→解 （1）101)01(1)(⇔∨⇔∧∨⇔∧∨r q p（2）010)00()01()()(⇔∧⇔→∧→⇔→⌝∧→s q r p4. 判断下列公式的类型（1）)(r q p p ∨∨→ （2）)()(q p q p ∨⌝→↔解 用真值表知（1）是重言式，（2）是可满足式.5. 求命题公式r q p →∨)(的主合取范式，并求其成假赋值. 解 用真值表可得642)(M M M r q p ∧∧⇔→∨.真值为0的赋值有三种：001，100，110.6. 求命题公式r q p ∨∧)(的主合取范式与主析取范式.解 用真值表法可知42076531)(M M M m m m m m r q p ∧∧⇔∨∨∨∨⇔∨∧四、证明题1. 用等值演算法证明q q p p →→∧)(为重言式. 证 原式q q p p q q p p →∨⌝∧⇔→→∧⇔)()( q q p q q p p ∨∧⌝⇔∨∨⌝∧⌝⇔)())((11⇔∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔p q q p2. 构造下列推理的证明（1）前提：q p q s s r q r →⌝→∨⌝→,,,，结论：p ⌝；（2）前提：s r s p q s r q p ,),)((),()(⌝∨→∧⌝→→⌝，结论：q p ↔；(3) 前提：)(,)(,t p r r q q p ∧⌝⌝⌝∧∨⌝→，结论：t ⌝. 证 （1）用归谬法证明①p 结论的否定引入 ②q p → 前提引入 ③q ①②假言推理 ④q s ⌝→ 前提引入 ⑤s ⌝ ③④拒取 ⑥ s r ∨ 前提引入⑦r ⑤⑥析取三段论 ⑧q r ⌝→ 前提引入 ⑨q ⌝ ⑦⑧假言推理 ⑩q q ⌝∧ ③⑨合取 ⑩得出矛盾，因此，p ⌝是前提的有效结论.（2）① s p q ⌝∨→)( 前提引入② s 前提引入 ③ p q → ①②析取三段论 ④ )()(s r q p ∧⌝→→⌝ 前提引入 ⑤ r 前提引入 ⑥ s r ∧ ②⑤合取 ⑦ q p → ④⑥拒取⑧)p→∧q→③⑦合取(q)(p⑨qp↔⑧置换（3）①r⌝)(前提引入∨∧q⌝r②rq∨⌝①化简③r⌝①化简④)⌝前提引入⌝p∧(t⑤tp⌝∨④置换⑥q⌝②③析取三段论⑦qp→前提引入⑧p⌝⑥⑦拒取⑨t⌝⑤⑧析取三段论。

21.招聘广告登出后，一共有36人应聘。

打字、速记和记账三项能力中，每个应聘者至少具备一项能力，其中会打字的有25人，会速记的有20人，会记账的有21人。

进一步统计后发现，有7人会打字和速记，有9人会打字和记账，有6人会速记和记账，但他们都不具备另一项能力。

老板面试的是具有三项能力的全部应聘者。

老板面试了多少应聘者？A．2个。

B．4个。

C．5个。

D．8个。

E．10个。

【知识点】综合推理-数理逻辑【正确选项】B设具有三项能力的全部应聘者为X，则总人数=至少会意向的人数-仅会两项的人数-2X因此，36=25+20+21-（7+9+6）-2X，解得X=422.有三个骰子，其中红色骰子上2、4、9点各两面，绿色骰子上3、5、7点各两面；蓝色骰子上1、6、8点各两面。

两个人玩掷骰子的游戏，游戏规则是两人先各选一个骰子，然后同时掷，谁的点数大谁获胜。

那么，以下说法正确的是：A．先选骰子的人获胜的概率比后选骰子的人高。

B．选红色骰子的人比选绿色骰子的人获胜概率高。

C．没有任何一种骰子的获胜概率能同时比其他两个高。

D．获胜概率的高低与选哪种颜色的骰子没有关系。

【知识点】综合推理-数理逻辑【正确选项】C假设将PK中获胜的用“1”表示，没有获胜“0”表示。

则红与绿骰子PK的情况可用下图表示：此时，红色骰子胜利的概率为5/9。

同理可画绿与蓝骰子PK的图示（略），都看完后可以得出C选项没有任何一种骰子的获胜概率能同时比其他两个高。

（注：现以红为主看获胜的概率，当红与绿PK时，红胜的概率是4/9，则绿胜的概率为5/9。

）23.某工厂实验室对3种产品A、B、C进行撞击和拉伸测试，能通过这两种测试的产品就是合格品。

结果有两种产品通过了撞击测试，有两种产品通过了拉伸测试。

根据上述测试，以下哪项一定为真？A．有两种产品是合格品。

B．至少有一种产品是合格品。

C．还应该通过其他测试。

D．有可能3种产品都不是合格品。

E．产品A是合格品。

幼儿园小班数理逻辑考试试题一、数学1. 请选出下列物品中数量最多的一个：A. 毛笔B. 铅笔C. 红颜色的绳子D. 星星2. 妈妈给小明买了5个苹果和3个橙子，一共买了多少个水果？A. 7个B. 8个C. 5个D. 3个3. 下列哪个图形是一个正方形？A. 三角形B. 四边形C. 圆形D. 方形4. 小明有3个苹果，小光有2个苹果，他们一共有多少个苹果？A. 2个B. 3个C. 5个D. 6个5. 请选出下列哪个数字是最大的？A. 5B. 9C. 3D. 7二、逻辑推理1. 小红比小李年纪大，小李比小明年纪大，那么小红比小明年纪大吗？A. 是的B. 不是2. 下列物品中，哪个不属于自然界？A. 水B. 树木C. 电视机D. 石头3. 请根据以下数字继续数列：1，4，7，10，13，...A. 15B. 16C. 18D. 194. 今天是星期一，后天是星期几？A. 星期一B. 星期三C. 星期四D. 星期日5. 小明喜欢吃苹果，小李喜欢吃香蕉，小红喜欢吃什么水果？A. 苹果B. 香蕉C. 草莓D. 橙子三、综合题1. 请从下列图案中选出与原图最相似的一个：A. 图案1B. 图案2C. 图案3D. 图案42. 婆婆给小明5块钱，妈妈给了他3块钱，爸爸给了他2块钱，小明一共有多少钱？A. 8块钱B. 10块钱C. 5块钱D. 2块钱3. 如果今天是星期五，那么十天后是星期几？A. 星期一B. 星期二C. 星期四D. 星期六4. 请选出下列水果中含有酸味的一个：A. 苹果B. 香蕉C. 葡萄D. 西瓜5. 下列哪个关系是不正确的？A. 苹果-水果B. 小说-书籍C. 猫-动物D. 鱼-汽车。

逻辑学综合练习题参考答案一、选择题（将你认为正确的答案写在题后的括号内。

）（每题2分，共10分。

）1.“中国人占世界人口总数的22%”中，“中国人”是（AC ）A.集合概念B.非集合概念C.单独概念D.普遍概念E.负概念2.下列有关概念的限制和概括，错误的有（ABCE ）A.“湖南省人民法院”概括为“最高人民法院”B.“全国人大常委会”限制为“湖南省人大常委会”C.“工人”概括为“工人阶级”D.“张家界”概括为“旅游胜地”E.“学生”限制为“人”。

3..下列既具有对称关系的是（A B C ）A.概念之间的同一关系B. 概念之间的交叉关系C.概念之间的全异关系D.概念之间的真包含关系E. 概念之间的真包含于关系4.“A∨B”与“A∧B”这两个逻辑公式中，它们（D E ）A.逻辑常项和变项均相同B. 逻辑常项和变项均不相同C.逻辑常项相同和变项不相同D. 逻辑常项不相同和变项相同E.前者是相容选言命题，后者是联言命题5.“没有什么事物不包含矛盾”这一命题在自然语言中还可以表述为（DE ）A.没有事物不是不包含矛盾B.事物不都包含矛盾C.有些事物包含矛盾D.一切事物都包含矛盾E.所有的事物不是不包含矛盾的二、图表题（共18分）1.用欧拉图表示下列概念之间的关系（6分）（1）中国（A）在亚洲（B），这个亚洲国家（C）是发展中国家（D）。

（6分）自己画。

注意“中国”与“亚洲”是全异关系。

2.用真值表判定下列两个判断之间的关系（12分）（1）只要社会活动能力强，就能找到好工作。

（2）社会活动能力强，也不一定能找到好工作。

答：矛盾关系。

真值表自制.三、分析题（47分）（一）运用概念部分的知识，分析下列问题：（每题3分，共12分）1. “逻辑学是研究思维形式和思维规律的科学，它包括传统逻辑、数理逻辑和辩证逻辑等学科。

”哪些内容表达了“逻辑学”的内涵？哪些内容表达了“逻辑学”的外延？答“研究思维形式和思维规律的科学”是内涵，“形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑”是外延。

数理逻辑部分综合练习一、单项选择题1．设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A．P∨⌝P⌝Q→ B．QP→ C．QP↔ D．Q 2．命题公式P?Q的合取范式是 ( )．A．P?Q B．（P?Q）?（P?Q）C．P?Q D．?（?P??Q）3．命题公式)⌝的析取范式是( )．P→(QA．Q⌝ D．QP∨P⌝∨P⌝⌝ C．Q∧ B QP∧4．下列公式成立的为( )．A．?P??Q ? P?Q B．P??Q ? ?P?QC．Q?P ? P D．?P?(P?Q)?Q5．下列公式 ( )为重言式．A．?P??Q?P?Q B．(Q?(P?Q)) ?(?Q?(P?Q))C．(P?(?Q?P))?(?P?(P?Q)) D．(?P?(P?Q)) ?Q6．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)?B(x)) B．?(∃x)(A(x)?B(x))C．?(?x)(A(x)?B(x)) D．?(∃x)(A(x)??B(x))7．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A．(?x)(A(x)?B(x)) B．(?x)(A(x)?B(x))C．?(?x)(A(x)?B(x)) D．?(?x)(A(x)??B(x))8．表达式))yQyRxzx∀∨∀中x∧∃xP→((,)(y))(zQ((z),∀的辖域是( )．A．P(x, y) B．P(x, y)?Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)?R(x, y) 9．在谓词公式(?x)(A(x)→B(x)?C(x，y))中，（）．A．x，y都是约束变元 B．x，y都是自由变元C．x是约束变元，y都是自由变元 D．x是自由变元，y都是约束变元补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为 ( )A．)1∃∀y+yx(=xy⋅(=∃∀yxx B．)0C．)yxyx=+∃∀(y2yxyx=⋅∃ D．)∀(x二、填空题1．命题公式()→∨的真值是．P Q P2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P?Q的主析取范式是．4．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)xA∀∨x∃消去量词后的等值式)yB((y为．5．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为．6．谓词命题公式(?x)((A(x)?B(x)) ?C(y))中的自由变元为 .三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．命题公式P P⌝∧的真值是1．2．命题公式?P∧(P??Q)∨P为永真式．3．下面的推理是否正确，请给予说明．五．计算题1．求P?Q?R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)∃→∀∧∀．x P x y z Q y x z y R y z（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．3．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式?y?xP(x,y)消去量词后的等值式．六、证明题1．试证明命题公式 (P?(Q??R))??P?Q与?（P??Q）等价．2．试证明(?x)(P(x)?R(x))?(?x)P(x)?(?x)R(x)．。

北京科技大学远程教育学院《离散数学》综合练习(一)参考答案数理逻辑一、判断下列句子是否是命题，若是命题判断真值，并将其符号化。

1、今天天气真好！解：不是命题。

2、王华和张民是同学。

解：是命题。

真值视实际情况而定。

p：王华和张民是同学。

3、我一边吃饭，一边看电视。

解：是命题。

真值视实际情况而定。

p：我吃饭。

q：我看电视。

p∧q 4、没有不呼吸的人。

解：是命题。

真值为1。

M(x)：x是人。

F(x)：x呼吸。

∀x(M(x)→F(x))二、求命题公式的真值表和成真赋值、成假赋值。

p→∧qr∧→(p])[(r)解：成真赋值：000，001，010，011，101，111；成假赋值100，110三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。

1、r q q p →∧→])[( 解：rq q p r q q q p r q q p rq q p r q q p r q q p ∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔∨∧∨⌝⌝⇔→∧→])[()]()[()()(])[(])[(可满足式2、))((p q p q ∧∨⌝⌝∨ 解：))((p q p q A ∧∨⌝⌝∨=1)()()())((⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔⌝∨∨⌝⌝∨⇔∧∨⌝⌝∨q p q p p q p q p q p q永真式四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。

)(r q p →→ 解：∑=→→），，，，，，7543210()(r q p 成真赋值：000，001，010，011，100，101，111；成假赋值110 五、解释I 如下：D 是实数集，特定元素a =0；特定函数f (x ，y )=x -y ；特定谓词F (x ，y )：x<y 。

在解释I 下判别公式真、假。

1、)])(([x y x f F y x ，，⌝∀∀ 解：)])[()])(([)]([)])(([x y x y x x y x y x x y x F y x x y x f F y x ≥-∀∀⇔<-⌝∀∀⇔-⌝∀∀⇔⌝∀∀，，，真值为假2、)]()([)({z y f z x f F y x F z y x ，，，，→∀∀∀ 解：)]()()[()]}()([)({z y z x y x z y x z y f z x f F y x F z y x -<-→<∀∀∀⇔→∀∀∀，，，，真值为真 六、1、求前束范式)()(y x yG x xF ，∀→⌝∃ 解：)]()([)()()()()()(y t G x F y x y t yG x xF y x yG x xF y x yG x xF ，，，，∨∀∃⇔∀∨∃⇔∀∨∃⇔∀→⌝∃2、证明：B x xA B x A x →∀⇔→∃)())(( 证明：Bx xA Bx xA B x A x B x A x B x A x →∀⇔∨⌝∀⇔∨⌝∃⇔∨⌝∃⇔→∃)()()())(())((七、写出下面推理的证明，要求写出前提、结论，并注明推理规则。