2014届佛山一模文科数学试题

O xyA BCD2014 年广东高考文科数学逐题详解详解提供: 广东佛山市南海中学 钱耀周参考公式:椎体的体积公式 13V Sh = ,其中S 为椎体的底面积,h 为椎体的高.一组数据 12 ,,, nx x x L 的方差 ( ) ( ) ( )2222121 ns x x xxxx n éù =-+-++- êú ëûL ,其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.1．已知集合 { } 2,3,4 M = , { } 0,2,3,5 N = ,则M N = I ( )A ．{ }0,2 B ．{ }2,3 C ．{ }3,4 D ．{ }3,5 【解析】B ；M N = I { } 2,3 ,选 B .2．已知复数z 满足( ) 34i 25 z -= ,则z =( )A ． 34i --B ． 34i-+ C ．34i- D ．34i+ 【解析】D ； ( ) ( )( )2534i 2534i 34i 34i 34i z + ===+ --+ ,选 D . 3．已知向量 ( ) 1,2 = a , ( ) 3,1 = b ,则 -= b a ( )A ．( )2,1 - B ．( )2,1 - C ．( )2,0 D ．( )4,3 【解析】B ； ( ) ( ) ( ) 3,11,22,1 -=-=- b a ,选 B .4．若变量 , x y 满足约束条件 28 04 03 x y x y +£ ì  í ï ££ î,且 2 z x y =+ 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11【解析】C ；画出可行域如图所示,为一个五边形OABCD 及其内部区域,当直线 2 y x z =-+ 过点 ( )4,2 B 时,z 取得最大值 24210 z =´+= ,选 C . 5．下列函数为奇函数的是( )A ． 12 2x x y =-B ． 3 sin y x x =C ． 2cos 1 y x =+D ． 2 2xy x =+ 【解析】A ；设 ( ) 1 2 2 xx f x =-,则 ( ) f x 的定义域为R ,且 ( ) ( ) 11 22 22x xx x f x f x - - -=-=-=- ,所以 ( ) 12 2x x f x =- 为奇函数,选A .6．为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20【解析】C ；分段间隔为 100025 40= ,选 C .7．在 ABC D 中,角 ,, A B C 所对应的边分别为 ,, a b c ,则“a b £ ”是“sin sin A B £ ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件1l 2l 3l 4 l 4l 【解析】A ；结合正弦定理知sin sin 2sin 2sin A B R A R B a b £Û£Û£ ,选 A .8．若实数k 满足05 k << ,则曲线 22 1 165 x y k -= - 与曲线 221 165x y k -= - 的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】D ；因为05 k << ,所以两条曲线均为双曲线,且 2c 均为21 k - ,故选 D .9．若空间中四条两两不同的直线 1 l , 2 l , 3 l , 4 l ,满足 12 l l ^ , 23 // l l , 34 l l ^ ,则则下列结论一定正确的是()A ． 14l l ^ B ． 14// l l C ． 1 l 与 4 l 既不垂直也不平行 D ． 1 l 与 4 l 的位置关系不确定 【解析】D ；弄个正方体一目了然!10． 对任意复数 1 w , 2 w 定义 1212 w w w w *= ,其中 2 w 是 2 w 的共轭复数,对任意复数 123 ,, z z z ,有如下四个命题:① ( ) ( ) ( ) 1231323 z z z z z z z +*=*+* ； ② ( ) ( ) ( ) 1231213 z z z z z z z *+=*+* ； ③ ( ) ( ) 123123 z z z z z z **=** ； ④ 1221 z z z z *=* ；则真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】B ；①( ) ( ) ( ) ( ) 12312313231323 z z z z z z z z z z z z z z +*=+=+=*+* ,故①为真命题；② ( ) ( )( ) ( ) 12312312312131213 z z z z z z z z z z z z z z z z z *+=+=+=+=*+* ,故②为真命题； ③左边 123 z z z = ,右边 ( )( ) ( )123123123 * z z z z z z z z z === ,左边¹ 右边,故③为假命题； ④左边 12 z z = ,右边 21z z = ,左边¹ 右边,故④为假命题.故只有①②为真命题,选B . 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分） (一)必做题(11～13 题)11．曲线 53 xy e =-+ 在点( ) 0,2 - 处的切线方程为．【解析】520 x y ++= ；由 5 xy e ¢=- 得 0 5 x y = ¢ =- ,故切线方程为 25 y x +=- ,即520 x y ++= .12. 从字母 ,,,, a b c d e 中任取两个不同的字母,则取到字母a 的概率为_______.【解析】 2 5 ； 142 5 42 105C P C === .13. 等比数列{ } n a 的各项均为正数,且 15 4 a a = ,则 2122232425log log log log log a a a a a ++++=______. (二)选做题(14～15 题,考生只需从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 1 C 和 2 C 的方程分别为 22cos sinr q q = 和 cos 1 r q = . 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 1 C 和 2 C 交点的直 角坐标为______.【解析】( ) 1,1 ；由 2 2cos sin r q q = ,可得 ( ) 22cos sin r q r q = ,即 2 2 y x = .由 cos 1 r q = ,可得 1 x = .曲线 1 C 和 2 C 交点的直角坐标为() 1,2 . 15.(几何证明选讲选做题)如图 1,在平行四边形ABCD 中,点E 在 AB 上且2 EB AE = , AC 与DE 交于F ,则CDF AEF D =D 的面积的面积.【解析】9；考查相似三角形性质的应用.由题易知 CDF D ∽ AEF D 所以相似比为3:1 CD AE = ,故 CDF AEF D D 的面积的面积为相似比的平方,即为9. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分 12分)已知函数 ( ) sin 3 f x A x p æö=+ ç÷ èø ,x ÎR ,且 532122f p æö =ç÷ èø . (1) 求A 的值； (2) 若 ( ) ( ) 3,0, 2 ff p q q q æö --=Î ç÷ èø ,求 6 f p q æö - ç÷ èø.【解析】(1) 依题意 553232 sin sin 12123422 f A A A pp p p æöæö=+=== ç÷ç÷èøèø ,解得 3 A = ； (2) 由(1)知, ( ) 3sin 3 f x x p æö=+ ç÷ èø,又 ( ) ( ) 3 ff q q --=,所以3sin 3sin 3 33 p p q q æöæö +--+= ç÷ç÷ èøèø ,展开化简得 3 sin 3 q = ,又 0, 2 p q æö Î ç÷ èø,所以 26cos 1sin 3q q =-= , 所以 3sin 3sin 3cos 6632 f p p p p q q q q æöæöæö-=-+=-= ç÷ç÷ç÷ èøèøèø6 = .17.(本题满分 13分)某车间20名工人年龄数据如下表:年龄(岁)工人数(人)191 28 3 29 3 30 5 31 4 323 401 合计20(1) 求这20名工人年龄的众数与极差；(2) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图； (3) 求这20名工人年龄的方差.【解析】(1) 这20名工人年龄的众数为30,极差为401921 -= ；(2) 作出这20名工人年龄的茎叶图如下:D ABCEF 图 11 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4(3) 这20名工人年龄的平均数 192832933053143234030 20x +´+´+´+´+´+ = = ,方差 222222221 (11)3(2)3(1)50413210 20 s éù -+´-+´-+´+´+ =+´ ëû 1 (121123412100) 20 =+++++ 1 252 20=´ 12.6 = . 18.(本题满分 13分)如图 2 ,四边形 ABCD 为矩形, PD ^ 平面 ABCD , 1 AB = , 2 BC PC == ,作如图3 折叠,折痕// EF DC ,其中点 , E F 分别在线段 , PD PC 上,沿 EF 折叠后点 P 落在线段 AD 上的点记为M ,并且 MF CF ^ .(1) 证明:CF ^ 平面MDF ； (2) 求三棱锥M CDE - 的体积.【解析】(1) 因为PD ^平面 ABCD ,PD Ì 平面PCD ,所以平面PCD ^平面ABCD ,又平面PCD I 平面ABCD CD = ,MD Ì平面 ABCD ,MD CD ^ ,所以MD ^ 平面PCD , 又CF Ì平面PCD ,所以CF MD ^ ,又CF MF ^ ,MD MF M = I ,所以CF ^ 平面MDF . (2) 因为CF ^ 平面MDF ,DF Ì 平面MDF ,所以CF DF ^ , 又易知 060 PCD Ð= ,所以 030 CDF Ð= ,从而 11 22 CF CD == ,因为 // EF DC ,所以 DE CFDP CP= , 即 12 = 2 3DE ,所以 3 4 DE = ,所以 334 PE = , 13 28 CDE S CD DE D =×= ,222222 3336()() 442MD ME DE PE DE =-=-=-= , 所以 11362338216M CDE CDE V S MD - D =×=××= . 19.(本题满分 14分)设各项均为正数的数列{ } n a 的前n 项和为 n S ,且 n S 满足 ( ) ( )222 330 n n S n n S n n -+--+= , *n ÎN .(1) 求 1 a 的值；(2) 求数列{ }n a 的通项公式； ABCDP图 2PCBA DEF M 图 3(3) 证明:对一切正整数n ,有( ) ( ) ( ) 1122 11111113n n a a a a a a +++< +++ L .【解析】(1) 令 1 n = 得 211 60 S S +-= ,因为 1 0 S > ,所以 1 2 S = ,即 1 2 a = .(2) 由 () ()222330 n n S n n S n n -+--+= 得 2(3)()0 n n S S n n éù +-+= ëû ,因为 0 n a > ,所以 0 n S > ,从而 30 n S +> ,所以 2n S n n =+ ,当 2 n ³ 时, 221 (1)(1)2 n n n a S S n n n n n - éù =-=+--+-= ëû , 又 1 221 a ==´ ,所以 2 n a n = ,即数列{ } n a 的通项公式为 2 n a n = . (3) 当 2 n ³ 时,( ) ( ) ( )( ) 111111 1221212122121 n n a a n n n n n n æö=<=-ç÷ ++-+-+ èø所以( ) ( ) ( ) 1122 111 111 n n a a a a a a +++ +++ L 11111111 23235572121 n n æö <+-+-++- ç÷´-+ èøL 11111111 623216233n æö =+-<+´=ç÷ + èø 当 1 n = 时,( ) 11 11 13 a a < + ,故对一切正整数n ,有 ( ) ( ) ( ) 1122 11111113 n n a a a a a a +++< +++L .20.(本题满分 14分)已知椭圆C : 22 22 1 x y a b += ( 0 a b >> )的一个焦点为 ( )5,0 ,离心率为 53.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若动点 ( ) 00 , P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【解析】(1)由 5 c = 及 5 3 c e a == ,可得 3,952 a b ==-= ,故椭圆C 的标准方程为 22 1 94x y += .(2) 不妨设点P 引椭圆C 的两条切线对应的切点分别是 , A B ,且( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Ï---- ,设直线PA 为 ( ) 00 y y k x x -=- ,则PB 为 ( ) 00 1y y x x k-=-- . 由 ( ) 00 22 1 94y y k x x x x ì-=- ï í += ï î 消去 y 整理得( ) ( ) ( ) 2 220000 49189360 k x k y kx x y kx ++-+--= , 则 ()220000 9240x k x y k y D =-++-= 同理可得( )22 0000 11 9240 x x y y k k æöæö --+-+-= ç÷ç÷ èøèø.可知k 和 1 k- 是方程()220000 9240 x x x y x y -++-= 的两个实数根,则有20 4 1 1 9 y k k x - æö ×-=-= ç÷ - èø,整理得 22 00 13 x y += , 易知( )( ) ( ) ( ) ( ) { } 00 ,3,2,3,2,3,2,3,2 x y Î---- 也符合,故点P 的轨迹方程为 22 00 13xy += .21.(本题满分 14分)已知函数 ( ) 32 1 1 3f x x x ax =+++ ,其中a ÎR . (1) 求函数 ( ) f x 的单调区间；(2) 当 0 a < 时,试讨论是否存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèøU ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç÷ èø. 【解析】(1)求导得 2()2 f x x x a ¢ =++ ,方程 220 x x a ++= 的判别式 44a D =- ,当 0 D £ 即 1 a ³ 时, ()0 f x ¢ ³ ,此时 ( ) f x 在( ) , -¥+¥ 上递增；当 1 a < 时,方程 220 x x a ++= 的两不等实根分别为 1 11 x a =--- , 2 11 x a =-+- , 由 ()0 f x ¢ > 得 11 x a <--- 或 11 x a >-+- ； 由 ()0 f x ¢ < 得 1 1 1 1 a x a ---< -+- < . 综上,当 1 a ³ 时, ( ) f x 的递增区间为( ) , -¥+¥ ；当 1 a < 时, ( ) f x 的递增区间为 ( ) ( ),11,11, a a -¥----+-+¥ , 递减区间为 ( )11,11 a a ----+- . (2) ( ) 3232 0000 111111 1()()()1 233222 f x f x x ax a æöéù -=+++-+++ ç÷ êú èøëû3322 000 1111()()() 3222x x a x éùéù =-+-+- êúêú ëûëû 2 0 00000 111111 ()()()()() 3224222x x x x x a x éù =-+++-++- êú ëû 2 00 00 111 ()() 236122 x x x x a =-+++++ 2 000 11 ()(414712) 122 x x x a =-+++ ,若存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö= ç÷ èø,必须 200 4147120 x x a +++= 在 11 0,,1 22 æöæö ç÷ç÷ èøèøU 上有解, 因为 0 a < ,所以 21416(712)4(2148)0 a a D =-+=-> , 方程 200 4147120 x x a +++= 的两根为 142214872148 84a a-±--±- = ,又 0 0 x > ,所以 0 72148 4 a x -+- =,依题意 7+2148 01 4a-- << ,即7214811 a <-< ,所以492148121 a <-< ,即 257 1212 a -<<- ,又由 7+21481 42 a -- = ,得 54a =- , 综上,当 257 1212 a -<<- 且 5 4 a ¹- 时,存在唯一的 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö= ç÷ èø, 当 2512 a <-或 7 12 a >- 或 5 4 a =- 时,不存在 0 11 0,,1 22 x æöæö Î ç÷ç÷ èøèø U ,使得 ( ) 0 1 2 f x f æö = ç÷ èø.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.xx212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(),A .x xxx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()122f π=（1） 求A 的值；（2）若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-553:(1)()sin()sin 3.121234(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos3sin 3sin (0,),2f A A A f xx f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=∈解由得又cos ()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-===17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)504132102011(121123412100)25212.62020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅=={}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3):,()(),221644111111(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又解法一当时(1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44111111:(),.(1)2(21)(21)(21)22121(:)n n k k a a n n n n a a k k k k k k +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-=<=-++-+-+解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案2222002222220.:1(0)(1);(2)(,),,.:(1)3,954,1.94(2),,4x yC a ba bCP x y C P C Pcc e a b a cax yCx y+=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x xx yy k x x yk x k y kx x y kxk y kx y kx k y kx-±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即2222200000122220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.kyx k x y k y k kxx yP x y+=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a Rf xa x f x f=+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()322422211111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-解法一2000020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x x a x f x f x x a a a a x x +++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴<<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)(1212422a a a x a a x f x f a x f x ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().2f =00:0,10,()3,11,(1)()(0,1),111(0,)(,1),()=();222()30,()(0,1,(1,5111),()(0,),(,1),422a i a f x x f x f ii a f x a f x <∴-≤--∈-<<-+-+=-解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;512)3,11,,(14212525255(1)()0,0,,;222412124513)0,01,,(0,1421775(0)()0,0,,2224124x a x x a f f a a x a x x a f f a -<<-<-∈-+->+>>--<<--<<<-+∈-+->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007.12:25557111(,)(,),(0,)(,1)()().1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使。

图1佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则AB =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．已知,a b R ∈，i 为虚数单位,若211ia bi i-+=+,则实数a b += A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 3．设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,1A =B . 2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A = 4．已知1=a ,(0,2)=b ,且1=a b ,则向量a 与b 夹角的大小为A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π 5．给定命题p :若x R ∈,则12x x+≥； 命题q :若0x ≥，则20x ≥.则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 6．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3πB ．23πC ．πD ．2π7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：图2那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 8．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为A ．22 B．16 C ．15D ．11 9．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为A ．13 B ．12 C D ．210．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A ． 32B ．43C ． 2D ． 3二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(9～13题)11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.若()3f a ≤，则a 的取值范围是 .13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1Cρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线A. .CDBEF图5图6ABCD PEF排球队 篮球队图4ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b、c ,且2a b =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?18.(本题满分14分)如图5,矩形A B C D 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、PF ,其中PF =(Ⅰ) 求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ?若存在,求出点Q 的位置；若不存在,请说明理由.(Ⅲ) 求点A 到平面PBE 的距离.图719.(本题满分14分)如图7,椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM的最大值为2时,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,,...3,2,1=n . （Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）记1111n n n c a a +=+，证明：对一切正整数n ，有123111138n c c c c ++++<.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点.A B CDP EF Q2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．18012．(,1]-∞13．3-14．15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)因为B C=，所以c b=，……………………………………………………………2分又2a b=，所以22223cos24ba c bBac+-===，…………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B==，……………………………………………7分所以s i 63f Bππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭s33B Bππ=+………………………………………………10分12=+=……………………………………………12分17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……………………………………5分(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm的同学恰有5人,其中3人来自排球队,记为,,a b c,2人来自篮球队,记为,A B,则从5人中抽取3名同学的基本事件为:abc,abA,abB,acA,acB,aAB,bcA,bcB,bAB,cAB共10个；……………………………9分其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有:abA,abB,acA,acB,bcA,bcB共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是63105=.………………………………12分18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF,由翻折不变性可知,6PB BC==,9PE CE==,在PBF∆中,222201636PF BF PB+=+==,所以PF BF⊥………………………………2分在图1中,易得EF==排球队篮球队1817161510368925893291088328在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………4分又BFEF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .………6分(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE .证明如下:因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP ………………………………………………8分 又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE ,所以//FQ 平面PBE .………………………………10分(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ……………………11分 设点A 到平面PBE 的距离为h ,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, …………………………12分 即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=,所以36273ABE PBE S PF h S ∆∆⋅⨯===, 即点A 到平面PBE.……………14分 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>), 依题意,19242b -==,所以2b =………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=),……………………………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+, ……………………………………………………………7分因为PM QM ⊥, 所以Q M =-==……………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值,且max2QM==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值,且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =.……………………13分综上,当4t =时,QM 的最大值为2.……………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=. …………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==.…………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. …………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b的每一项都是正数，所以1n a +…②. ……………………4分于是当2n ≥时，n a .……………………………………………………5分将②、③代入①式，可得=是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n -=+，于是()241n b n =+. ……………………………………6分则()41n a n n ==+. ………………………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.……………10分 （Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ………………………………………………………14分 方法二:()()()()1111111111414122242n n n c a a n n n n n n n n +⎛⎫=+=+==- ⎪+++++⎝⎭.…………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ……………………………………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.…………………………………………………………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =. 因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=,所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.……3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=，令()0f x '=，得10x >，20x =<（舍去），……………………5分 且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =……6分 ⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a -(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………9分 ② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x，4x =且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ……12分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =x a =-，极大值点为x =当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =………………………………………14分。

广东省佛山市2014届高三教学质量检测（二）数学文试题一、选择题1、设U R =，若集合{}|12M x x =-<≤，则U C M =A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()[),12,-∞-⋃+∞D. (](),12,-∞-⋃+∞ 2、复数1z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是 A. z 的实部为1- B. z 的虚部为1 C.2z z ⋅= D.zi z= 3、已知:1,:1p x q x =-=“”“ ，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246a a +=，则5S = A. 10 B. 12 C. 15 D. 305、若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y=+的取值范围是A. [)3+∞，B. []83-，C. (],9-∞D. []89-，6、执行如图所示的程序框图，若输出1011S =，则输入()k k N *∈的值可以为A. 8B. 9C. 10D. 117、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与实轴的夹角为45，则双曲线的离心率为 A.B. C. D.8、在圆O 中，的弦AB 不经过圆心，则AO AB ⋅的值为A.12B. C. 1 D.9、已知函数()2cos ,f x x x x R =-∈，则 A. ()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()143f f f ππ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()134f f f ππ⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10、对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}|1M N M N x f x f x *=⋅=-，已知{}{}246,124A B ==，，，，，则下列结论不．正确的是 A. 1A B ∈* B. 2A B ∈* C. 4A B ∉* D. A B B A *=*二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.记函数f(x)=x 12log 的反函数为g （x ）,则函数y=g(x)在区间[]21，的值域为 12.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为13.设直线x-ky-1=0与圆()()42122=-+-y x 相交于点A,B 两点，且弦AB 的长为32，则实数k 的值是（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.已知曲线1C :sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）与曲线2x t y kt =⎧⎨=-⎩（t 为参数）有且只有一个公共点，则实数k 的值为15.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，已知CD=72，AB=BC=3，则AC 的长为16、（本题满分12分） 已知函数()sin sin(),3f x x x x R π=++∈(1) 求函数()f x 的最小正周期。

图1佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则AB =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．已知,a b R ∈，i 为虚数单位,若211ia bi i-+=+,则实数a b += A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 3．设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,1A =B . 2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A =4．已知1=a ,(0,2)=b ,且1=a b ,则向量a 与b 夹角的大小为A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π 5．给定命题p :若x R ∈,则12x x+≥； 命题q :若0x ≥，则20x ≥. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为图2A ．3πB ．23πC ．πD ．2π7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 8．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为A ．22B ．16C ．15 D ．11 9．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 A ．13 B ．12C D10．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A ． 32B ．43C ． 2D ． 3二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(9～13题)11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.若()3f a ≤，则a 的取值范围是 .13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.排球队 篮球队图4(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、PF ,其中PF =.(Ⅰ) 求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ?若存在,求出点Q 的位置；若不A. .CDBEF图5图6ABCD PEF图7存在,请说明理由.(Ⅲ) 求点A 到平面PBE 的距离.19.(本题满分14分)如图7,椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM 的最大值为,求t20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,,...3,2,1=n .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）记1111n n n c a a +=+，证明：对一切正整数n ，有123111138n c c c c ++++<.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．18012．(,1]-∞ 13．3- 14．15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分) 【解析】(Ⅰ)因为B C=，所以c b =，……………………………………………………………………2分又a =， 所以22co s 2a cb Bac +-===，……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==， ……………………………………………………………7分 所以s i n 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭s i n c os c o s s i n33B B ππ=+ ………………………………………………10分12=+=. …………………………………………………………12分 17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. …………………………………………………5分(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人,其中3人来自 排球队,记为,,a b c ,2人来自篮球队,记为,A B ,则从5人中抽 取3名同学的基本事件为:abc ,abA ,abB ,acA ,acB ,aAB ,bcA ,bcB ,bAB ,cAB 共10个；……………………………9分 其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有: abA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 8 93 2 9 1 0 8 8 3 2 8ABCD PE FQ 63105=.…………………………………………12分 18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF ,由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==, 所以PF BF ⊥………………………………2分在图1中,易得EF ==在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .…………………6分(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE .证明如下:因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP …………………………………………………………8分又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE ,所以//FQ 平面PBE .…………………………………………10分(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ………………………………11分 设点A 到平面PBE 的距离为h,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, ……………………………………12分即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=, 所以ABE PBE S PF h S ∆∆⋅===, 即点A 到平面PBE 的距离为.………………………14分 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>), 依题意,19242b -==,所以2b =…………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C的方程为22154x y +=. ……………………………………5分 (Ⅱ)设(),Q x y (其中22154x y +=),………………………………………………………………………6分 圆P的方程为()2221x y t t +-=+, ………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥, 所以Q M ==4t =+……………………9分当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值,且maxQM==,解得3182t =<(舍去). …………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值,且maxQM==,解得218t =,又102t <<,所以t =………………………………13分综上,当t =时,QM的最大值为.………………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.………………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==.………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②.…………………………………4分于是当2n ≥时，n a =…③.…………………………………………………………………5分将②、③代入①式，可得=+，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n =-=+，于是()241n b n =+.…………………………………………………6分则()41n a n n ===+.……………………………………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………10分（Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ……………………………………………………………………14分 方法二:()()()()1111111111414122242n n n c a a n n n n n n n n +⎛⎫=+=+==- ⎪+++++⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =. 因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=,所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.……3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x+-'=+-=， 令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），………………………………5分且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x 的极小值点为x =.……6分 ⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =2x a =-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <<，则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………9分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………12分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =.……………………………………………………14分。

CBA75°45°佛山市南海区2014届高考数学（文科）题例研究参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高； 独立性检验随机变量：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ , 其中n a b c d =+++ 为样本容量．一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.1.已知全集U Z =，集合{}1,0,1M =-，{}0,1,3N =，则(C U M )∩N ＝A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}3D ．{}1,3- 2．复数52i -的共轭复数是 A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ． 2i -3．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，且134,,a a a 成等比数列，则2a ＝ A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 4. 下列各组向量中，可以作为基底的是A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ． 12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ． 1213(2,3),(,)24e e =-=-5x）6．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该 几何体的体积是A ．203B ．6C ．4D ．437．下列命题中，错误．．命题的个数有 ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②平行于同一个平面的两个平面平行；③如果,a b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 的任何平面；④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β． A ．4 B ．3 C ．2 D ．18．一只艘船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角(从正北方向顺时针转到目标方向的水平角)为45°，行驶60海里后，船在B 点观测灯塔C 的方位角为75°，则A 到C 的距离是（ ）海里．A．30B．30C．30D．309. 若抛物线24x y =-上一点M 到焦点F 的距离为1，则点M 的横坐标为A ．78-B ．98-C ．1716-D ．1516- 10．对于非空集合A 、B ，定义运算：{},A B x x A B x A B ⊕=∈∉U I 且，已知{}M x a x b =<<，{}N x c x d =<<，其中a 、b 、c 、d 满足a b c d +=+，0ab cd <<，则M N ⊕= A.()(),,a d b c UB. (][),,a c d b UC. (][),,c a b d UD.()(),,c a d b U二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答． 11．在区间[]12-， 上任取一个数x ，则x []0,1∈ 上的概率为______． 12．执行下面的程序框图3，若p ＝0.8，则输出的n ＝ .13．已知Ω为不等式组11106x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域，E 为圆()()222x a y b r -+-=（0r >）及其内部所表示的平面区域，若“点(),x y ∈Ω”是“点(),x y E ∈”的充分条件，则区域E 的面积的最小值为_________.（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC是圆的割线，且12PB BC =，则PA BC= ． 15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线C 的方程是θρsin 4=，过点)6,4(π作曲线C 的切线，则切线长等于 .P图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(12分) 已知函数()sin 3f x A x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0A >，0ω>）在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,212π⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求A 和ω的值； （2）已知0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4sin 5α=，求()f α的值.17.（本小题满分12分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不人中抽取了45人，求n 的值；（Ⅱ）所有参与调查的人中，完成下面列联表，并由表中数据分析，能否认为持“支持”态度与“20岁以下”有关？（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总18.（14分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ,CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC =CD =CE =2AD =2BG =2.求证: （Ⅰ）EC ⊥CD ； （Ⅱ）求证：AG ∥平面BDE ； （III ）求：几何体EG BD C 的体积.19．(14分) 椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的一个焦点()12,0F-，右焦点到直线l：2x=6.（1）求椭圆C的方程；（2）若M为直线l上一点，A为椭圆C的左顶点，连结AM交椭圆于点P，求PMAP的取值范围；（3）设椭圆C另一个焦点为2F ,在椭圆上是否存在一点T，使得1122111,,TF F F TF成等差数列？若存在，求出点T的坐标;若不存在，说明理由．20.已知函数()32f x x=-，数列{}n a的前n项和为n S,且点(),2n na S在函数()y f x=的图象上;（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设nb=()nf a,数列｛nb｝的前前n项和为nT，若2142nnnT na tT n++<++对任意的*n N∈恒成立，求实数t的取值范围．21.已知函数2()ln ,(),f x a x g x x a R ==∈其中 .(1)若曲线()()y f x y g x ==与 在1x = 处的切线相互平行，求两平行直线间的距离． （2）若())1f x g x ≤-（对任意0x >恒成立，求实数a 的值；（3）当0a < 时，对于函数()()()1h x f x g x =-+ ，记在()h x 图象上任意两点A 、B 连线的斜率为AB k ,若1AB k ≥恒成立，求a 的取值范围．佛山市南海区2014届高考数学（文科）题例研究参考答案三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)已知函数()sin 3f x A x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0A >，0ω>）在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,212π⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求A 和ω的值；（2）已知0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4sin 5α=，求()f α的值.解：（1）依题意，2A =.……1分 最小正周期11521212T ππ⎛⎫=-=π ⎪⎝⎭，所以22T ωπ==.……3分 （2）由（1）得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.……4分因为0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4sin 5α=，所以3cos 5α.……5分所以24sin 22sin cos 25ααα==，27cos212sin 25αα=-=-. ……9分所以()2sin 22sin 2cos cos2sin 333f ααααπππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……12分17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n++++++=， ……………2分所以100n =. ……………3分（Ⅱ）法一：由表中可知，800900远大于6501100，所以持“支持”态度与“20岁以下”有关． 法二：计算222000(800450650100)90011001450550k ⨯-⨯=⨯⨯⨯10> 所以持“支持”态度与“20岁以下”有关．………………………8分 （Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，………9分 那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………11分 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81. ……………12分 18.（本小题满分14分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ,CE ∥BG ，且2B C D B C E π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC =CD =CE =2AD =2BG =2.求证: （Ⅰ）EC ⊥CD ； （Ⅱ）求证：AG ∥平面BDE ； （III ）求：几何体EG BD C 的体积.（Ⅰ）证明：由平面ABCD ⊥平面BCEG ，平面ABCD ∩平面BCEG =BC , ,CE BC CE ⊥⊂平面BCEG , ∴EC ⊥平面ABCD ，…………3分又CD ⊂平面BCDA , 故 EC ⊥CD …………5分（Ⅱ）证明：在平面BCDG 中，过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ，连DM ，则由已知知；MG =MN ，MN ∥BC ∥DA ,且12MN AD BC ==∴MG ∥AD ,MG =AD ， 故四边形ADMG 为平行四边形， ∴AG ∥DM ……………8分∵DM ⊆平面BDE ，AG ⊄平面BDE ， ∴AG ∥平面BDE …………………………10分（III ）解：13EGBDC D BCEG BCEG V V S DC -==⋅ …………………… 12分12122232+=⨯⨯⨯= …………………………………………14分19．(本题满分14分)椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点()12,0F -，右焦点到直线l ：2x =的距离为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）若M 为直线l 上一点，A 为椭圆C 的左顶点，连结AM 交椭圆于点P ，求PM AP的取值范围；（3）设椭圆C 另一个焦点为2F ,在椭圆上是否存在一点T ，使得1122111,,TF F F TF 成等差数列？若存在，求出点T 的坐标;若不存在，说明理由．解：（1）由题意得2c =，28a c =得216a =，212b =，所以所求椭圆方程为2211612x y +=. ……4分（2）设P 点横坐标为0x ，则000812144x PM AP x x -==-++，因为044x -<≤，所以00081211442x PM AP x x -==-≥++，所以PM AP 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. …………9分（3）12F F =2c =4,1228TF TF a +== …………10分1122111,,TF F F TF 成等差数列即：1212211F F TF TF =+ ,可化为：1212122F F TF TF TF TF ⋅=+ 1216TF TF ∴⋅=结合128TF TF +=解得：124TF TF ==…………12分由对称性知T只能是短轴端点((00，，-，经验证此时满足124TF TF ==．故存在((00T T 或，-满足题意．………………14分20.已知函数()32f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ,且点(),2n n a S 在函数()y f x = 的图象上;（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n b =()n f a ,数列｛n b ｝的前前n 项和为n T ，若2142n n n T na t T n++<++ 对任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）由题意有： 232n n S a =-① ………1分当n =1时，111232=2S a a =- 12a ∴= ………2分 当2n ≥时，11232n n S a --=- ② ………3分①-②有：1122332n n n n n S S a a a ---=-= 13n n a a -∴= ………………………5分 ∴{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，123n n a -=⋅ . ………………………6分(2)23223)(-⋅=-⋅==n n n n a a f b ． ………………………7分∴12n n T b b b =+++n n 2)333(221-+++= ………………………8分 3231--=+n n ． ………………………9分∴2121433233n n n n T n T n +++-=+-)13(3)13(32--=nn ………10分 13)13)(13(-+-=nn n 13+=n ………11分 ∴t n n +⨯<+3213恒成立，即max )13(+->n t ． ………12分1≥n 且*N n ∈ ∴33≥n 213-≤+-∴n ………13分 故2->t ． ………14分21.已知函数2()ln ,(),f x a x g x x a R ==∈其中 .(1)若曲线()()y f x y g x ==与 在1x = 处的切线相互平行，求两平行直线间的距离． （2）若())1f x g x ≤-（对任意0x >恒成立，求实数a 的值；（3）当0a < 时，对于函数()()()1h x f x g x =-+ ，记在()h x 图象上任意两点A 、B 连线的斜率为AB k ,若1AB k ≥恒成立，求a 的取值范围． 解: （Ⅰ）x x g xax f 2)(',)('==,依题意得:a =2; ……………2分 曲线y=f (x )在x =1处的切线为2x －y －2=0,曲线y=g (x )在x =1处的切线方程为2x －y －1=0. ……………3分 两直线间的距离为55……………4分 （Ⅱ）令h (x )=f (x )－g(x ) +1, ,则xx a x x a x h 222)('-=-=当a ≤0时, 注意到x>0, 所以)('x h <0, 所以h (x )在(0,+∞)单调递减, ………………5分又h (1)=0,故0<x <1时,h (x )>0,即f (x )> g(x )-1,与题设矛盾. ……………6分当a >0时,)0)(2)(2(2)('>-+=x x a x a x x h 当20a x <<,,0)('>x h 当2ax >时,0)('<x h所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 2上是增函数,在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上是减函数, ……………8分 ∴h (x )≤122ln 2)2(+-=a a a a f 因为h (1)＝0,又当a ≠2时,1≠ ,0)1()2(=>h a h 与0)2(≤a h 不符.所以a ＝2. ……………9分（Ⅲ）当a <0时,由(2)知)('x h <0,∴h (x )在(0,＋∞)上是减函数,不妨设0<x 1≤x 2,则|h (x 1)－h (x 2)|＝h (x 1)－h (x 2),|x 1－x 2|＝x 2－x 1, ……………10分∴|h (x 1)－h (x 2)|≥|x 1－x 2|等价于h (x 1)－h (x 2)≥x 2－x 1,即h (x 1)＋x 1≥h (x 2)＋x 2, ……………11分 令H (x )＝h (x )＋x ＝alnx －x 2＋x ＋1,H (x )在(0,＋∞)上是减函数,∵xax x x x a x H ++-=+-=2212)(' (x >0), ……………12分∴－2x 2＋x ＋a ≤0在x >0时恒成立,∴a ≤(2x 2－x )min ……………13分第 11 页 共 11 页 又x >0时, (2x 2－x )min =81- ∴a ≤－18,又a <0,∴a 的取值范围是]81,(--∞. ……………14分。

图12014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则A B =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．已知,a b R ∈，i 为虚数单位,若211ia bi i-+=+,则实数a b += A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 3．设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,1A =B . 2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A = 4．已知1=a ,(0,2)=b ,且1= a b ,则向量a 与b 夹角的大小为A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π5．给定命题p :若x R ∈,则12x x+≥； 命题q :若0x ≥，则20x ≥. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3πB ．23πC ．πD ．2π图27．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 8．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为A ．22B ．16 C．15 D ．11 9．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 A ．13 B ．12C D10．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A ． 32B ．43C ． 2D ． 3二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(9～13题)11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.若()3f a ≤，则a 的取值范围是 .13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ． A. .ACDBEF图5图6ACD PEF排球队 篮球队图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP、PF ,其中PF =(Ⅰ) 求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ?若存在,求出点Q 的位置；若不存在,请说明理由.(Ⅲ) 求点A 到平面PBE 的距离.图719.(本题满分14分)如图7,椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM的最大值为2时,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,,...3,2,1=n . （Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）记1111n n n c a a +=+，证明：对一切正整数n ，有123111138n c c c c ++++< .21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．180 12．(,1]-∞ 13．3-14．15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又2a =， 所以222cos 2a c b B ac+-=， ………………………………………………………3分23b=……………………………………………………………………4分4=……………………………………………………………………5分解法2：∵2a =，∴sin 2A B =……………………………………………………2分∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分 又2sin cos B B B =………………………………………4分 ∵sin 0B ≠，∴cos 4B=.……………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin 4B ==，………………………………………………………………7分 （注：直接得到sin 4B =不扣分） 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………8分 sin cos cossin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12424=+⨯ …………………………………………………………11分 38=. …………………………………………………………12分ACD PE FQ【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. …………………………………………………5分 （注：写对茎叶图3分，方差结论正确2分）(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人,其中3人来自 排球队,记为,,a b c , ……………………………6分2人来自篮球队,记为,A B ,……………………………7分则从5人中抽取3名同学的基本事件为: abc ,abA ,abB ,acA ,acB ,aAB ,bcA ,bcB ,bAB ,cAB 共10个；……………………………9分其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有: abA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分 所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是63105P ==.………………………………………12分 18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF ,由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==, 所以PF BF ⊥………………………………2分在图1中,易得EF ==……3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分 又BF EF F = ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .…………………6分 （注：学生不写BF EF F = 扣1分）(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE . ………………………………………………7分 （注：只讲存在Q 满足条件1分） 证明如下: 因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP …………………………………………………………8分 又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE ,所以//FQ 平面PBE .…………………………………………10分 （注：学生不写FQ ⊄平面PBE ,扣1分）(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ………………………………11分 设点A 到平面PBE 的距离为h ,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, ……………………………………12分即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=,所以ABE PBE S PF h S ∆∆⋅===,即点A 到平面PBE .………………………14分（注：指出V V=给1分，若能最终得到结果给4分） 排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ……………………………………………………………………1分所以2b = …………………………………………………………2分 又1c =, …………………………………………………………3分所以2225a b c =+=, …………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. ………………………………………………………………………5分(Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分圆P 的方程为()2221x y t t +-=+, ………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==…………………………………………………8分=…………………………………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且max2QM==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, …………………………………………12分且maxQM==解得218t =,又102t <<,所以t =………………………………13分综上,当t =,QM . ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=. ………………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. ………………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②. …………………………………4分于是当2n ≥时，n a .…………………………………………………………5分将②、③代入①式，可得6分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列， …………………………………………………7分2则()41n a n n ==+. ……………………………………………………………9分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………10分 （Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ……………………………………………………………………14分 方法二:()()()()1111111111414122242n n n c a a n n n n n n n n +⎛⎫=+=+==- ⎪+++++⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ………………………………………………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, …………………………………………………………………2分 所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.………………………………………………………3分（注：有求导思想，虽然运算不对，给1分）（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=， 令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），………………………………5分 且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()fx 的极小值点为x =.……6分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ………………………………7分① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a -(舍去). ………………………………8分a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………9分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， ……………………………………10分若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………12分综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-； ……………………………………………………13分当a >,()f x 的极小值点为x =……………………………………………………14分注：第二问：3大类，每类全正确给3分；（1）若步骤清晰（即求导，解方程，比较两根大小，明确单调区间，得到极值），但计算不全对，给2分；（2）有这个思路，但步骤不清晰，给1分；。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年广东，文1，5分】已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =（ ）（A ）{}0,2 （B ）{}2,3 （C ）{}3,4 （D ）{}3,5 【答案】B 【解析】{}2,3MN =，故选B ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． （2）【2014年广东，文2，5分】已知复数z 满足(34i)25z -=，则z =（ ）（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】D【解析】2525(34i)25(34i)=34i 34i (34i)(34i)25z ++===+--+，故选D ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． （3）【2014年广东，文3，5分】已知向量(1,2)a =，(3,1)b =，则b a -=（ ）（A ）(2,1)- （B ）(2,1)- （C ）(2,0) （D ）(4,3) 【答案】B【解析】()2,1b a -=-，故选B ．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．（4）【2014年广东，文4，5分】若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（ ）（A ）7 （B ）8 （C ）10 （D ）11 【答案】C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+，得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+， 由图象可知当直线2y x z =-+经过点()4,2B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大，此时24210z ==⨯+=，故选C ． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． （5）【2014年广东，文5，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A ）122x x - （B ）3sin x x （C ）2cos 1x + （D ）22x x +【答案】A【解析】对于函数()122x x f x =-，()()112222x x x x f x f x ---=-=-=-，故此函数为奇函数；对于函数()3sin f x x x =，()()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，故此函数为偶函数；对于函数()2cos 1f x x =+，()()()2cos 12cos 1f x x x f x -=-+=+=，故此函数为偶函数；对于函数()22x f x x =+，()()()2222x x f x x x f x ---=-+=+≠-，同时()()f x f x -=≠故此函数为非奇非偶函数，故选A ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．（6）【2014年广东，文6，5分】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）（A ）50 （B ）40 （C ）25 （D ）20 【答案】C【解析】∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25，故选C ． 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础． （7）【2014年广东，文7，5分】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 【答案】A【解析】由正弦定理可知sin sin a bA B=，∵ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∴a ，b ，sin A ，sin B 都是正数，sin sin a b A B ≤⇔≤．∴“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的充分必要条件，故选A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．（8）【2014年广东，文8，5分】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k-=-与曲线221165x y k -=-的（ ） （A ）实半轴长相等 （B ）虚半轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】当05k <<，则055k <-<，111616k <-<，即曲线221165x y k-=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a =，25b k =-，221c k =-，曲线221165x y k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线，其中216a k =-，25b =，221c k =-，即两个双曲线的焦距相等，故选D ．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键． （9）【2014年广东，文9，5分】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,//,l l l l l l ⊥⊥，则下列结论一定正确的是（ ）（A ）14l l ⊥ （B ）14//l l （C ）1l 与4l 既不垂直也不平行 （D ）1l 与4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】在正方体中，若AB 所在的直线为2l ，CD 所在的直线为3l ，AE 所在的直线为1l ， 若GD 所在的直线为4l ，此时14//l l ，若BD 所在的直线为4l ，此时14l l ⊥，故1l 与4l 的位 置关系不确定，故选D ．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．（10）【2014年广东，文10，5分】对任意复数12,ωω，定义1212*ωωωω=，其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题： ①1231323()()()z z z z z z z +=**+*②1231213()()()z z z z z z z +=**+*； ③123123()()z z z z z z *=***④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】①12312313231323()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z +++*===*+*，正确；②12312312312131213()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z +=+=+=+=**+*，正确；③123123123123123(),()()(),z z z z z z z z z z z z z z z ===≠左边=*=右边*左边右边，等式不成立，故错误；④12122121,,z z z z z z z z ==≠左边=*右边=*左边右边，等式不成立，故错误； 综上所述，真命题的个数是2个，故选B ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题． 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11~13） （11）【2014年广东，文11，5分】曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为 ． 【答案】520x y ++= 【解析】'5x y e =-，'5x y =∴=-，因此所求的切线方程为：25y x +=-，即520x y ++=．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题． （12）【2014年广东，文12，5分】从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为 ．【答案】25【解析】142542105C P C ===．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．（13）【2014年广东，文13，5分】等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++= ． 【答案】5【解析】设2122232425log log log log log S a a a a a =++++，则2524232221log log log log log S a a a a a =++++，215225log ()5log 410S a a ∴===，5S ∴=．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos =1ρθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,2)【解析】由22cos sin ρθθ=得22cos =sin ρθρθ（），故1C 的直角坐标系方程为：22y x =，2C 的直角坐标系方程为：1x =，12,C C ∴交点的直角坐标为(1,2)．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题． （15）【2014年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且2EB AE =，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆=∆的周长的周长． 【答案】3【解析】由于CDF AEF ∆∆∽，3CDF CD EB AEAEF AE AE∆+∴===∆的周长的周长．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2014年广东，文16，12分】已知函数()sin ,3f x A x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求A 的值；（2）若()()0,2f f πθθθ⎛⎫--=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）553()sin()sin 121234f A A ππππ=+==3A ∴．（2）由（1）得：()3sin()3f x x π=+，()()3sin()3sin()33f f ππθθθθ∴--=+--+3(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )6sin cos 3sin 3333πππππθθθθθθ=+--+-===sin 0,2πθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，cos θ∴==()3sin()3sin()3cos 36632f ππππθθθθ∴-=-+=-==【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查． （17）【2014年广东，文17，12分】某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差． 解：（1）这这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21．（2）茎叶图如下： （3）年龄的平均数为：(1928329330531432340)3020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=，这20名工人年龄的方差为：2222222111(11)3(2)3(1)50413210(121123412100)25212.6202020⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+=+++++=⨯=⎣⎦【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题． （18）【2014年广东，文18，14分】如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ABCD ⊥平面，1,2AB BC PC ===，做如图2折叠：折痕//EF DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥． （1）证明：CF MDF ⊥平面； （2）求三棱锥M CDE -的体积． 解：（1）PD ⊥平面ABCD ，PD PCD ⊂，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，MD ⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，MD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF MD ∴⊥，又 CF MF ⊥，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD MF M =，CF ∴⊥平面MDF ．（2）CF ⊥平面MDF ，CF DF ∴⊥，又易知060PCD ∠=，030CDF ∴∠=，从而11==22CF CD ，EF DC ∥，DE CFDP CP ∴=122，DE ∴=，PE ∴=12CDE S CD DE ∆=⋅=，2MD ===，1133M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅== 【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．（19）【2014年广东，文19，14分】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足222(3)3()0,n n S n n S n n n N *-+--+=∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++．解：（1）令1n =得：211(1)320S S ---⨯=，即21160S S +-=，11(3)(2)0S S ∴+-=，10S >，12S ∴=，即12a =．（2）由222(3)3()0nn S n n S n n -+--+=，得：2(3)()0n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦，0()n a n N *>∈，0n S ∴>，从而30n S +>，2n S n n ∴=+，∴当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，又1221a ==⨯，2()n a n n N *∴=∈． （3）当k N *∈时，22313()()221644k k k k k k +>+-=-+， 111111111111131111(1)2(21)4444()()()(1)()(1)2444444k k a a k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥∴==⋅<⋅=⋅=⋅-⎢⎥++⎡⎤⎢⎥+-+-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦11221111111111()()111111(1)(1)(1)41223(1)444444n n a a a a a a n n ⎡⎤⎢⎥∴+++<-+-++-⎢⎥+++⎢⎥-----+-⎣⎦1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0111111()11434331(1)44n n =-=-<+-+-． 【点评】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．（20）【2014年广东，文20，14分】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：（1）cc e a ===3a ∴=，222954b a c =-=-=，∴椭圆C 的标准方程为：22194x y +=． （2）若一切线垂直x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则这样的点P 共4个，它们坐标分别为(3,2)-±，(3,2)±．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-，即00()y k x x y =-+，将之代入椭圆方程22194x y +=中并整理得：2220000(94)18()9()40k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，依题意，0∆=， 即22220000(18)()36()4(94)0k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦，即22004()4(94)0y kx k --+=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=，两切线相互垂直，121k k ∴=-，即2020419y x -=--，220013x y ∴+=， 显然(3,2)-±，(3,2)±这四点也满足以上方程，∴点P 的轨迹方程为2213x y +=．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y 关系．（21）【2014年广东，文21，14分】已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()=()2f x f ．解：（1）'2()2f x x x a =++，方程220x x a ++=的判别式：44a ∆=-，∴当1a ≥时，0∆≤，'()0f x ∴≥，此时()f x 在(,)-∞+∞上为增函数．当1a <时，方程220x xa ++=的两根为1-(,1x ∈-∞-时，'()0f x >，∴此时()f x为增函数，当(11x ∈--，'()0f x <，此时()f x 为减函数，当(1)x ∈-+∞时，'()0f x >，此时()f x 为增函数，综上，1a ≥时，()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，当1a <时，()f x 的单调增函数区间为(,1-∞-，(1)-++∞，()f x的单调递减区间为(11---．（2）3232332200000001111111111()()1()()()1()()()2332223222f x f x x ax a x x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+++-+++=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦200011()(414712)122x x x a =-+++∴若存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =， 必须2004147120x x a +++=在11(0,)(,1)2上有解．0a <，21416(712)4(2148)0a a ∴∆=-+=->，00x >，0x ∴ 01<，即711<，492148121a ∴<-<，即2571212a -<<-，12，得54a =-，故欲使满足题意的0x 存在，则54a ≠-，∴当25557(,)(,)124412a ∈----时，存在唯一的011(0,)(,1)22x ∈满足01()()2f x f =．当2575(,][,0)12124a ⎧⎫∈-∞---⎨⎬⎩⎭时，不存在011(0,)(,1)22x ∈使01()()2f x f =．【点评】（1）求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．（2）对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．。

佛山市南海区2014届高三数学（文）8月质量检测试题参考公式：13V Sh =锥 （其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） 一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．已知集合{}|3M x x =<，{}2|680N x x x =-+<，则MN =（ ）A ．∅B ．{}|03x x << C ．{}|13x x <<D ．{}|23x x <<2．复数1ii+的虚部是（ ） A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．已知向量(1,)a m =，(,2)b m = , 若a //b , 则实数m 等于（ ）A．BC．D ．04．已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4πα-=（ ） A ．17- B ．7- C ．71 D ．75．设曲线21y x =+在点(),()x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分A B C D6．一个正四棱锥的正(主)视图如右图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A ．8B ．83C ．1)，83D ．8，87．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）A ． 假设a ，b ，c 都是偶数B ． 假设a ，b ，c 都不是偶数C ． 假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ． 假设a ，b ，c 至多有两个偶数8．下列说法中正确的有（ ）（1）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； （2）“2x >”是 “2320x x -+>”的充分不必要条件； （3）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题；（4）对于命题p ：x R ∃∈，210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x ++≥.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知数列{}n a 为等差数列，若m a a =，n a b =（1n m -≥，*,m n N ∈），则m n nb ma a n m+-=-。