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陕西省宝鸡市2019-2020年度高三上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·抚州期中) 已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于（）A . {x|x＜﹣2}B . {x|x＞3}C . {x|﹣1＜x＜2}D . {x|2＜x＜3}2. （2分）已知复数，为虚数单位），则（）A . 1B .C . 2D .3. （2分）已知等差数列的前13项之和为，则等于（）A . -1B .C .D . 14. （2分） (2018高二下·保山期末) 《算法统宗》是中国古代数学名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端3节可盛米3.9升, 上端3节可盛米3升.要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,中间两节可盛米多少升.由以上条件,要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为（）升.A . 9.0B . 9.1C . 9.2D . 9.35. （2分） (2018高二下·集宁期末) 已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为（）X4a9P0.50.1bA . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A . x=-B . x=C . x=D . x=7. （2分） (2018高二下·牡丹江月考) 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三号盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（）A . 0.59B . 0.54C . 0.8D . 0.158. （2分）若函数y=x2﹣2x﹣1的定义域为[0，m]，值域为[﹣2，﹣1]，则m的取值范围是（）A . （0，2]B . [1，3]C . [0，3]D . [1，2]9. （2分）设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为（）A . 0B . 2C . 4D . 610. （2分） (2016高一上·承德期中) 如图所示，阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤H），则该函数的图象是下面四个图形中的（）A .B .C .D .11. （2分）已知<，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C . ln（a﹣b）＞0D . 3a﹣b＜112. （2分）设f（x）=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5 ，则其反函数的解析式为（）A . y=1+B . y=1-C . y=-1+D . y=-1-二、填空题. (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·怀仁期中) 经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y﹣2=0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4=0的直线方程为________14. （1分）(2018·河北模拟) 的展开式中含项的系数为________．15. （1分） (2019高一下·嘉定月考) 已知是关于的实系数方程的两个根，则的最小值为________.16. （1分）在20.2℃，用某种消毒溶液消毒，每小时细菌的死亡率为11%，假设消毒前有1000个细菌，则24小时后剩下的细菌数约为________个（取0.896=0.5）．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高二下·遂溪月考) 已知曲线的极坐标方程是 ,以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系, 若倾斜角为的直线经过点 .（1）写出直线的参数方程, 并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点、 ,求的值.18. （5分）(2017·南昌模拟) 在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA= ．①求的值．②若，求△ABC的面积S的最大值．19. （5分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．附表及公式P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2=．20. （15分） (2016高二上·弋阳期中) 某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？21. （10分）(2017·成都模拟) 已知等差数列{an}中，a2=6，a3+a6=27．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn= ，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围．22. （10分）已知函数在处取得极值，问（1）确定α 的值；（2）若= ,讨论的单调性。
陕西省宝鸡中学2019届高三上学期月考理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，M={x|x（x﹣3）＜0}，N={x|x＜1或x≥3}，则正确的为（）A．M⊆N B．N⊆M C．∁R N⊆M D．M⊆∁RN2．给出命题：若函数y=f（x）是幂函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．下列函数中是偶函数，且在（1，+∞）上是单调递减的函数为（）A．B．y=﹣x2+|x| C．y=ln|x| D．y=﹣x2+x4．若函数f（x+3）的定义域为[﹣5，﹣2]，则F（x）=f（x+1）•f（x﹣1）定义域为（）A．[﹣3，2] B．[﹣7，﹣6] C．[﹣9，﹣4] D．[﹣1，0]5．若sin（θ﹣）=，，则的值为（）A．B．C．D．6．等于（）A．B．C．D．7．函数y=logax，y=a x，y=x+a（a＞0，a≠1）在同一直角坐标系中的图象如图，正确的为（）A．B．C．D．8．对于∀x∈[，+∞）都有2x+a≥恒成立，则a的取值范围为（）A． B． C． D．9．若函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＞f（b）B．g（a）＜f（b）C．g（a）≤f（b）D．g（a）≥f（b）10．若函数，，则函数f（x）值域为（）A．[﹣1，1] B．[﹣2，1] C．D．11．在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M，N分别为AB，BC的中点，点P为△ABC内部任一点，则取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数，（a＜0，a≠1），若函数y=|f（x）|在上单调递增，且关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不同的实根，则a的取值范围为（）A．B．C．{2，6} D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，，BC=3，∠C=60°，则AC= ．14．若函数，则f（﹣2016）= ．15．定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则不等式f（x）＜0的解集为．16．在△ABC中，，，，，点P满足，λ∈R，则为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知集合A={x|x2﹣4x+3=0}，B={x|mx+1=0，m∈R}，A∩B=B，求实数m的取值的集合．18．定义在R上的函数f（x），g（x），其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g （x）=a2x3+x2+a3（a≠0）（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）命题P：对任意x∈[1，2]，都有f（x）≥1，命题Q：存在x∈[﹣2，3]，使g（x）≥17，若P∨Q为真，求a的取值范围．19．已知函数的最大值为，图象关于对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调增区间．（2）若把f（x）的图象向左平移个单位，横坐标伸长为原来的2倍得y=g（x）图象当x ∈[0，1]时，试证明，g（x）≥x．20．某市渭河的某水域有夹角为120°的两条直线河岸l1，l2（如图所示）：在该水域中，位于该角平分线且距A地相距1公里的D处有座千年古亭，为保护古亭，沿D所在直线BC建一河堤（B，C分别在l1，l2上，河堤下方有进、出水的桥洞）；现要在△ABC水域建一个水上游乐城，如何设计AB、AC河岸的长度，AB、AC都不超过5公里（不妨令AB=x公里，AC=y公里）．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）求该游乐城的面积至少可以有多少平方公里，此时AB、AC是如何设计的．21．已知函数（1）求f（x）的单调区间和极值．（2）若g（x）=f（x）﹣1有三个零点，求实数a的取值范围．（3）若对∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣2）2+y2=9．（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程．（2）直线L的参数方程为（t为参数），L交C于A、B两点，且，求L 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，M为不等式f（x）≤4的解集．（1）求集合M．（2）当a，b∈M时，求证．陕西省宝鸡中学2019届高三上学期月考理科数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，M={x|x（x﹣3）＜0}，N={x|x＜1或x≥3}，则正确的为（）A．M⊆N B．N⊆M C．∁R N⊆M D．M⊆∁RN【考点】集合的表示法．【分析】化简集合M，即可得出结论．【解答】解：M={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，N={x|x＜1或x≥3}，∴∁RN⊆M，故选C．2．给出命题：若函数y=f（x）是幂函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系．【分析】原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同．【解答】因为命题：若函数y=f（x）是幂函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限．为真；则其逆否命题也为真．逆命题：若函数y=f（x）的图象不过第四象限，则函数y=f（x）是幂函数．假命题；反例：y=2．否命题：若函数y=f（x）不是幂函数，则函数y=f（x）的图象过第四象限．假命题，反例：y=2．故选B．3．下列函数中是偶函数，且在（1，+∞）上是单调递减的函数为（）A．B．y=﹣x2+|x| C．y=ln|x| D．y=﹣x2+x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数．【解答】解：对于A，y=﹣是非奇非偶的函数，不合题意；对于B，y=﹣x2+|x|=﹣，是R上的偶函数，且在（1，+∞）上是单调增函数，满足题意；对于C，y=ln|x|是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，不合题意；对于D，y=﹣x2+x不是偶函数，不合题意．故选：B．4．若函数f（x+3）的定义域为[﹣5，﹣2]，则F（x）=f（x+1）•f（x﹣1）定义域为（）A．[﹣3，2] B．[﹣7，﹣6] C．[﹣9，﹣4] D．[﹣1，0]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f（x+3）的定义域求出f（x）的定义域，然后再由x+1，x﹣1在函数f（x）的定义域内，联立不等式组求解x的取值集合即可．【解答】解：函数f（x+3）的定义域为[﹣5，﹣2]，即﹣5≤x≤﹣2，则﹣2≤x+3≤1，∴函数f（x）的定义域为[﹣2，1]，由，解得﹣1≤x≤0．∴F（x）=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，0]．故选：D．5．若sin（θ﹣）=，，则的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据sin（θ﹣）求出cos（θ﹣）的值，再化简=sinθ=sin[（θ﹣）+]，从而求出计算结果．【解答】解：sin（θ﹣）=，，∴θ﹣∈（0，），∴cos（θ﹣）==，∴=sinθ=sin[（θ﹣）+]=sin（θ﹣）cos+cos（θ﹣）sin=×+×=．故选：A．6．等于（）A．B．C．D．【考点】定积分．【分析】=dx﹣xdx，利用定积分的几何意义，即可得出结论．【解答】解： =dx﹣xdx=﹣=，故选A．x，y=a x，y=x+a（a＞0，a≠1）在同一直角坐标系中的图象如图，正确的为（）7．函数y=logaA．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分类讨论函数的单调性，在y轴上的交点的位置，可以选答案．【解答】解：函数y=x+a和y=a x，y=logx，a当a＞1时，y=x+a单调递增，y=a x单调递增，y=logx，且直线与y轴交点为（0，a），在（0，a1）上边，D正确，A、B、C不正确；当0＜a＜1时，一次函数单调递增，指数函数单调递减，且直线在y轴交点为在（0，1）下边，A、B、C、D都不正确故选：D．8．对于∀x∈[，+∞）都有2x+a≥恒成立，则a的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为则a≥﹣2x在[，+∞）恒成立，令f（x）=﹣2x，x∈[，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：对于∀x∈[，+∞）都有2x+a≥恒成立，则a≥﹣2x在[，+∞）恒成立，令f（x）=﹣2x，x∈[，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：≤x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在[，）递增，在（，+∞）递减，=f（）=﹣，故f（x）max故a≥﹣，故选：D．9．若函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＞f（b）B．g（a）＜f（b）C．g（a）≤f（b）D．g（a）≥f（b）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先判断函数f（x）和g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增．分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，由于g（）=ln+（）2﹣3=ln3＞0，故由 g（b）=0，可得1＜b＜．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：B．10．若函数，，则函数f（x）值域为（）A．[﹣1，1] B．[﹣2，1] C．D．【考点】三角函数的最值．【分析】化函数为正弦型函数，根据正弦函数的有界性和x的取值范围求出f（x）的最值即可．【解答】解：函数=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣），当时，﹣≤x ﹣≤，所以当x ﹣=﹣，即x=﹣时，f （x ）取得最小值为2×（﹣1）=﹣2；当x ﹣=，即x=时，f （x ）取得最大值为2×=；所以函数f （x ）的值域为[﹣2，]．故选：C ．11．在等腰直角三角形ABC 中，AC=BC=1，点M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点P 为△ABC 内部任一点，则取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，设P （x ，y ），用x ，y 表示出，利用线性规划知识求出最值．【解答】解：以C 为原点建立平面直角坐标系如图所示：则A （0，1），B （1，0），M （，），N （，0），∴直线AB 的方程为x+y=1． 设P （x ，y ），则=（，﹣1），=（x ﹣，y ﹣）， ∴=（x ﹣）﹣（y ﹣）=﹣y+，令z=﹣y+，则y=x ﹣z+．∵P （x ，y ）在△ABC 内部，由图可知当直线y=x ﹣z+经过点A 时，截距最大，即z 最小，当直线y=x ﹣z+经过点B 时，截距最小，即z 最大，∴z min ==﹣，z max =﹣0+=．故选A．12．已知函数，（a＜0，a≠1），若函数y=|f（x）|在上单调递增，且关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不同的实根，则a的取值范围为（）A．B．C．{2，6} D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意求出a的范围，再画出图形，结合图形可得y=x+3与y=x2+（a+1）x+2a的图象有一个切点，再由判别式等于0求得a的范围．【解答】解：由，（a＞0，a≠1），且y=|f（x）|在上单调递增，可得，解得a．∵关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不同的实根，∴作出函数图象大致形状如图：∵x＞0，∴x2+（a+1）x+2a＞2a＞3，（x+1）+1必有一个交点，直线y=x+3与y=loga∴要使关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不同的实根，则联立，得x2+ax+2a﹣3=0．∴△=a2﹣4（2a﹣3）=a2﹣8a+12=0，解得a=2或a=6．∴a的取值范围为{2，6}．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，，BC=3，∠C=60°，则AC= 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解．【解答】解：∵，BC=3，∠C=60°，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC，可得：AC2﹣3AC+2=0，∴解得：AC=1或2．故答案为：1或2．14．若函数，则f（﹣2016）= 2 ．【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x）=f（x+5）得f（﹣2016）=f（﹣2016+5×404）=f（4）即可．【解答】解：由x≤1时，有f（x）=f（x+5）得f（﹣2016）=f（﹣2016+5×404）=f（4）=2，故答案为：215．定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【考点】导数的运算．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＜0等价于x•g（x）＜0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，∵当x＞0时总有xf'（x）﹣f（x）＜0成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵定义在R上的奇函数f（x），∴g（﹣x）=g（x）∴函数g（x）为定义域上的偶函数．又∵g（1）=0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）＜0⇔x•g（x）＜0，可得不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）．16．在△ABC中，，，，，点P满足，λ∈R，则为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直与数量积的关系可得AD⊥BC，利用向量共线定理可得||与||的值，利用勾股定理可得||的值，再建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可求出．【解答】解：△ABC中，，∴⊥，即AD⊥BC；∵||=5， =，∴||=||，即||=2，||=3；又||=3，∴||=．如图所示，建立直角坐标系．则D（0，0），A（0，），B（﹣2，0），C（3，0）．∴=（﹣2，﹣），=（3，﹣），=（0，﹣）．点P满足=λ+（1﹣λ），∴=λ（﹣2，﹣）+（1﹣λ）（3，﹣）=（3﹣5λ，﹣），∴•=（3﹣5λ，﹣）•（0，﹣）=5．故答案为：5．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知集合A={x|x2﹣4x+3=0}，B={x|mx+1=0，m∈R}，A∩B=B，求实数m的取值的集合．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中方程的解确定出A，根据A与B的交集为B，得到B为空集或B为A的子集，求出m的值即可．【解答】解：∵A={1，3}，且A∩B=B，∴B⊆A，当m=0时，B=∅，满足B⊆A；当m≠0时，B≠∅，此时x=﹣，由B⊆A，得到﹣=1或3，解得：m=﹣1或﹣，则实数m取值的集合为{﹣1，﹣，0}．18．定义在R上的函数f（x），g（x），其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g （x）=a2x3+x2+a3（a≠0）（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）命题P：对任意x∈[1，2]，都有f（x）≥1，命题Q：存在x∈[﹣2，3]，使g（x）≥17，若P∨Q为真，求a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）利用函数的奇偶性列出方程组，转化求解函数的解析式即可．（2）求出两个命题为真命题时，a的范围，然后利用复合命题求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）+g（x）=a2x3+x2+a3①，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，﹣f（x）+g（x）=﹣a2x3+x2+a3②，解得f（x）=a2x3，g（x）=x2+a3 a≠0，a∈R．≥1，x∈[1，2]，（2）若p真，f（x）min∴a2≥1⇔a≥1或a≤﹣1，≥17，若q真，g（x）min即9+a3≥17解得a≥2，P∨Q为真，则a的范围为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞]．19．已知函数的最大值为，图象关于对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调增区间．（2）若把f（x）的图象向左平移个单位，横坐标伸长为原来的2倍得y=g（x）图象当x ∈[0，1]时，试证明，g（x）≥x．【考点】正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）根据函数的最大值为，图象关于对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，求出相应的参数，即可求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调增区间．（2）当x∈[0，1]时，要证g（x）≥x，即证，令，x∈[0，1]，确定函数的单调性，求最值，即可证明结论．【解答】（1）解：∵，，∴ω=2又∵而，∴，∴令，（k∈Z）∴，（k∈Z）则f（x）的增区间为，（k∈Z）（2）证明：∵当x∈[0，1]时，要证g（x）≥x，即证令，x∈[0，1]，∵当φ'（x）=0，得当时，φ'（x）＞0，即φ（x）递增时，φ'（x）＜0，即φ（x）递减，∴，则φ（x）≥0，即，故g（x）≥x．20．某市渭河的某水域有夹角为120°的两条直线河岸l1，l2（如图所示）：在该水域中，位于该角平分线且距A地相距1公里的D处有座千年古亭，为保护古亭，沿D所在直线BC建一河堤（B，C分别在l1，l2上，河堤下方有进、出水的桥洞）；现要在△ABC水域建一个水上游乐城，如何设计AB、AC河岸的长度，AB、AC都不超过5公里（不妨令AB=x公里，AC=y公里）．（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）求该游乐城的面积至少可以有多少平方公里，此时AB、AC是如何设计的．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由S△ABD +S△ACD=S△ABC，将y表示成x的函数，由0＜y≤5，0＜x≤5，求其定义域；（2），变形，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）设AB=x，AC=y（单位：公里）∵S△ABC =S△ABD+S△ACD，∴即x+y=xy∴又∵∴，，∴所求定义域为（2）由（1）知令游乐城面积为=（x﹣1）++2≥4，当且仅当x﹣1=，即时，上式取等号．∴x=y=2时，S 取最小值．答：当AB 、AC 长都设计为2公里时，游乐城的面积至少为平方公里．21．已知函数（1）求f （x ）的单调区间和极值．（2）若g （x ）=f （x ）﹣1有三个零点，求实数a 的取值范围．（3）若对∀x 1∈（2，+∞），∃x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）•f （x 2）=1，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为f （x ）=1有三个不同实根，根据函数的单调性求出a 的范围即可； （3）通过讨论a 的范围，得到函数的单调性，结合集合的包含关系从而确定a 的范围即可．∴f （x ）减区间（﹣∞，0），增区间∴x=0时，f （x ）取极小值，且f （0）=0，x=a 时，f （x ）取极大值，且．（2）若g （x ）=0有三个根，即f （x ）=1有三个不同实根， 由（1）知，得则a的取值范围为．（3）∵及由（1）知：当时，f（x）＞0；时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，，已知“对∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（1，+∞），使f（x1）f（x2）=1”⇔A⊆B，若即时，，∵0∈A，而0∉B，∴不满足A⊆B；若即时，f（2）≤0，此时f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2））⊆（﹣∞，0），此时f（1）＞0，∴B⊇（﹣∞，0）满足A⊆B；若即时，有f（1）＜0，此时f（x）在（1，+∞）上单调递减，故，A=（﹣∞，f（2）），∴不满足A⊆B．综上所述，a的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣2）2+y2=9．（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程．（2）直线L的参数方程为（t为参数），L交C于A、B两点，且，求L 的斜率．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，求C的极坐标方程．（2）求出圆心（2，0）到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求L的斜率．【解答】解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣5=0．（2）∵l为y=xtanα=kx（k=tanα），圆心（2，0）到直线l的距离为，又∵∴，解得k2=1，∴k=±1．综上所述，l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，M为不等式f（x）≤4的解集．（1）求集合M．（2）当a，b∈M时，求证．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）两边平方，问题转化为证明4a2+4b2﹣a2b2﹣16≤0即可，根据a，b的范围证出即可．【解答】解：（1）∵，∵f（x）≤4，∴x∈（﹣1，1）恒成立，当x≤﹣1时，﹣2x≤4得x≥﹣2，∴﹣2≤x≤﹣1，当x≥1时，2x≤4，得x≤2，∴1≤x≤2，综上所述M={x|﹣2≤x≤2}；（2）证明：由（1）知：﹣2≤a≤2，﹣2≤b≤2，要证，只需4（a2﹣2ab+b2）≤16﹣7a2b2，只需4a2+4b2﹣a2b2﹣16≤0，只需（a2﹣4）（4﹣b2）≤0（*），∵0≤a2≤4，0≤b2≤4，∴（*）恒成立，则原不等式得证．。
2020年宝鸡市高三数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形2．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸3．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C ．122D．624．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S5．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +6．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-37．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A．23B．23C．23D．238．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．529．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-10．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8111．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．14．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，b c +=ABC V 的面积为______．15．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．16．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 17．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.18．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．19．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 222A BA B -+=+ （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值. 23．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .24．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD . 25．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.26．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合{}0)3(<-=x x x A ，{}21<-=x x B ，则“A x ∈”是“B x ∈”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件2．如图，在复平面内，若复数21,z z 对应的向量分别是,，则 复数i z z z z z ---=2121所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若向量,的夹角为3π12==，则向量与向量2-的夹角为（ ） A.6π B.3πC.32πD.65π4. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12113=+a a ，则=13S （ ） A ．60 B ．78 C ．156 D ．不确定5．已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（ ）A ．3 B.52C ．25- D. 3- 6. 已知关于x 的不等式)0(03422><+-a a ax x 的解集为),(21x x ，则2121x x ax x ++的最小值是（ ） A.36 B.332 C. 362D.3347. 函数14)625sin(2-+=xx x y π的图象大致为（ ）8．如图所示程序框图中，输出=S （ ）A. 1-B. 0C. 1D.39.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图曲线部分是两个半径为1的圆弧，则这个几何体的体积是（ ） A. 48π- B. 28π- C. π-8 D. π28-10.由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-≥+1001x y e y x x确定的平面区域为M ，由不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤e y x 010确定的平面区域为N ，在N 内随机的取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为（ ）A.e 231-B. 231e- C. e 11- D. e 21- 11.已知函数x e e x f x 2)(-=，方程01)()(2=-++a x af x f 有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ）A. )1,(2ee +--∞ B. ),(2e -∞ C. )1,1(2e - D. )1,2(22e e -- 12．已知点P 是椭圆181622=+y x 上非顶点的动点，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是21PF F ∠的平分线上一点，且01=⋅F的取值范围是（ ）1212121俯视图侧视图正视图9题图A ．[)3,0B ．)22,0(C ．[)3,22 D ．(]4,0 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如图所示，则=)4(πf .14. 已知点)1,1(-P 在曲线ax xy +=2上，则曲线在点P 处的切线方程为_____________.15.定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值范围是 .16.给出下列四个命题： ① R ∈∃α，57cos sin =-αα； ② 函数x x x f 2cos 2sin 3)(+=图像的对称中心是)0,62(ππ-k Z k ∈； ③ 函数xxx f cos 3sin )(-=是周期函数， π2是它的一个周期；④ )129)(tan 116(tan )131)(tan 114(tan +︒+︒=+︒+︒ 其中正确命题的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分12分）数列{}n a 满足：31=a ，1111=+-++n n a a . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设na b n n -=1，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，设函数a x b a x f +--=)621sin()()(π⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈35,0πx 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,27.（1）求b a ,的值；D 1C 1B 1A 1EDCBA（2）若8<+b a ，且1872cos =C ，C 为锐角，求ABC ∆的AB 边上高h 的值．19. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，AB ∥DC ，AD AB ⊥，2,11====AB AA CD AD ，E 为棱1AA 中点.（1）证明：CE C B ⊥11；（2）求二面角11C CE B --的正弦值20．(本小题满分12分）已知抛物线)0(22>=p px y 上点),3(t T 到焦点F 的距离为4． （1）求p t ,的值；（2）设B A ,是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5=⋅（其中 O 为坐标原点）．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标；21.（本小题满分12分） 设函数ax xxx f -=ln )(. （1）若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围.22．(本小题满分10分)选修4——1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O于点D ，若BC MC =. （1）求证：△APM ∽△ABP ;（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形.23．（本小题满分10分）选修4——4：极坐标与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为θρsin 4=，22)4cos(=-πθρ．（1）求1C 与2C 的直角坐标方程，并求出1C 与2C 的交点坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1233t b y a t x （t 为参数，R t ∈），求b a ,的值．C24.（本题满分10分）选修4——5：不等式选讲 设函数313)(++-=ax x x f . （1）若1=a ，解不等式4)(≤x f ； （2）若)(x f 有最小值，求实数a 的取值范围.数 学 试 题 （理） 参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 1 14. 43+=x y 15. 1-<m 或30<<m 16. ①③④ 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.解析：（1）由条件知数列{}1+na 是首项为211=+a ，公差1=d 的等差数列，………3分所以：1121+=-+=+n n a n ，解得：n n a n 22+= ………………6分（2）由111112+-=+=-=n n n n n a b n n ………………9分所以：111111312121121+-=+-++-+-=+++=n n n b b b S n n ………………12分 18.解析：（1）由条件当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈35,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,6621πππx ，所以：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-1,21)621sin(πx ………2分 （ⅰ）当b a >时，由条件知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--5)(27)(21a b a a b a ，解得：3,4==b a ………………4分（ⅱ）当b a <时，由条件知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--27)(5)(21a b a a b a ，解得：211,29==b a ………………6分（2）若8<+b a ，由（1）知：3,4==b a ，由1872cos =C ，即：1871cos 22=-C ， 所以：65cos =C （C 为锐角）且611sin =C ………………8分由余弦定理：5cos 2222=-+=C ab b a c ，所以5=c ………………10分ch C ab S ABC 21sin 21==∆，5552sin ==c C ab h ………………12分 19.解析（1）由已知条件，以A 为原点，AB AA AD ,,1所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，……1分则：)1,2,1(),1,0,1(),2,2,0(),0,2,0(111C C B A ，E 是1AA 中点， 则)0,1,0(E …………3分)1,0,1(11-=C B ，)1,1,1(--=………5分所以：010111=++-=⋅C B ，故CE C B ⊥11，即：CE C B ⊥11……………6分（2）由已知条件：111CC C B ⊥结合（1）知⊥11C B 平面1CEC ，故平面1CEC 的一个法向量为)1,0,1(11-=C B …………3分由条件：)1,2,1(1--=B ，)1,1,1(--=，设平面CE B 1的一个法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=--=⋅021z y x z y x B ，取1,2,3-===z y x 得)1,2,3(-=…………10分 所以11C CE B --的余弦值722144cos ===θ故二面角11C CE B --的正弦值为721sin =θ…………12分 20．（1）由抛物线定义得，2423=⇒=+p p…………………2分 所以抛物线方程为x y 42=，………3分代入点),3(t T ，可解得32±=t . ………5分（2）设直线AB 的方程为n my x +=，),4(121y y A ，),4(222y y B联立⎩⎨⎧+==nmy x x y 42消元得：0442=--n my y ，则：m y y 421=+，n y y 421-=…………8分由5=⋅得：516)(21221=+y y y y ，所以：2021-=y y 或421=y y （舍去） 即5204=⇒-=-n n ，所以直线AB 的方程为5+=my x ， 所以直线AB 过定点)0,5(P ………… 12分 21.解析：（1）函数定义域为：{}1,0≠>x x x 且，对函数)(x f 求导：a xx x f --='2ln 1ln )(， 若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，则0ln 1ln )(2≤--='a xx x f 在),1(+∞恒成立 所以：0)(max≤'x f ………2分 由a x a xx x f -+--=--='41)21ln 1(ln 1ln )(22，故当21ln 1=x ，即2e x =时，041)(max≤-='a x f 所以： 41≥a ，所以a 的最小值是41………………5分（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，则问题等价为：当[]221,,e e x x ∈时，a x f x f +'≤)()(maxmin 由（1）知：)(x f '在[]2,e e x ∈的最大值为a -41，所以41)(max =+'a x f 所以问题转化为：41)(min ≤x f ………………7分 （ⅰ）当41≥a 时，由（1）知：)(x f 在[]2,e e 是减函数， 所以)(x f 的最小值是412)(222≤-=ae e e f ，解得：24121ea -≥ （ⅱ）当41<a 时，a x x f -+--='41)21ln 1()(2在[]2,e e 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a a 41,①当0≥-a ，即0≤a 时， )(x f 在[]2,e e 是增函数，于是：41)()(min >≥-==e ae e e f x f ，矛盾 ②当0<-a ，即410<<a 时，由)(x f '的单调性和值域知：存在唯一的[]20.e e x ∈，使得0)(0='x f 且当()0,x e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；当()20,e x x ∈时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数所以：)(x f 的最小值为41ln )(0000≤-=ax x x x f ，即：41412141ln 141ln 1200>-=->-≥e e e x x a ，矛盾 综上有：24121ea -≥22. 证明：（1）∵PM 是圆O 的切线， NAB 是圆O 的割线， N 是PM 的中点， ∴NB NA PN MN ⋅==22， ∴PNNABN PN =， 又∵BNP PNA ∠=∠， ∴△PNA ∽△BNP ， ∴PBN APN ∠=∠， 即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =， ∴BAC MAC ∠=∠， ∴PAB MAP ∠=∠， ∴△APM ∽△ABP . ………5分（2）∵PBN ACD ∠=∠，∴APN PBN ACD ∠=∠=∠，即CPM PCD ∠=∠， ∴CD PM //， ∵△APM ∽△ABP ，∴B P A P M A ∠=∠， ∵PM 是圆O 的切线，∴MCP PMA ∠=∠， ∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=，即MCP DPC ∠=∠， ∴PD MC //， ∴四边形PMCD 是平行四边形. ………10分 23.解析：（1）由极直互化公式得：4)2(:221=-+y x C 04:2=-+y x C ………4分联立方程解得交点坐标为)2,2(),4,0( ………5分（2）由（1）知：)2,0(P ，)3,1(Q 所以直线PQ ：02=+-y x ， 化参数方程为普通方程：122+-=abx b y ， 对比系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=22112ab b，2,1=-=b a ………10分24.解析（1）1=a ，4313)(≤++-=x x x f ，即：x x -≤-113x x x -≤-≤-1131，解得：210≤≤x ，所以解集为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 ………5分C（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥++=31,4)3(31,2)3()(x x a x x a x f ，)(x f 有最小值的充要条件为：⎩⎨⎧≤-≥+0303a a ， 即：33≤≤-a ………10分2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案考试用时120分钟，满分150分。
陕西省宝鸡市高三上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A . 圆、直线B . 直线、圆C . 圆、圆D . 直线、直线2. （2分）(2017·厦门模拟) 已知m为实数，i为虚数单位，若复数z= ，则“m＞﹣2”是“复数z 在复平面上对应的点在第四象限”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2016高一上·酒泉期中) 下列函数在（﹣∞，0）上是增函数的是（）A .B . f（x）=x2﹣1C . f（x）=1﹣xD . f（x）=|x|4. （2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数f（x）＝a（a＞0）．使得＝λ·（＋）（λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P（1，f（1）），Q（k，f（k）），则k的取值范围为（）A . （2，＋∞）B . （3，＋∞）C . [4，＋∞）D . [8，＋∞）二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2019高二上·上海期中) 过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是________.6. （1分） (2019高三上·上海期中) 设函数的反函数为，则 ________7. （1分） (2018·广东模拟) 在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是________．8. （1分）已知tanα、tanβ是方程的两根，并且α、，则α+β的值是________．9. （1分）平面直角坐标系中，双曲线C1:的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 ________ .10. （1分） (2016高二上·杭州期中) 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为________，表面积为________．11. （1分） (2018高一上·长春月考) 已知集合，则实数的值为________;12. （1分）(2014·江苏理) 从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．13. （1分） (2016高二下·龙海期中) 计算 =________．14. （1分） (2018高一下·栖霞期末) 在中，内角所对的边分别为，若，则的值为________．15. （1分） (2019高一上·河南期中) 已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是________．16. （1分） (2019高一下·蛟河月考) 设，则的最大值为________三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分） (2016高一上·宁波期中) 已知函数f（x）=x|x﹣a|（1）若函数y=f（x）+x在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图像恒在y=1图像的下方，求实数a的取值范围；（3）设a≥2时，求f（x）在区间[2，4]内的值域．18. （10分） (2017高二下·彭州期中) 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsin A．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a= ，c=5，求△ABC的面积及b．19. （5分）(2017·成武模拟) 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．20. （15分） (2018高二下·普宁月考) 已知焦点在轴上的椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，且椭圆过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设依次为椭圆的上下顶点，动点满足，且直线与椭圆另一个不同于的交点为 .求证：为定值，并求出这个定值.21. （15分） (2017高一下·黄冈期末) 已知曲线f（x）= （x＞0）上有一点列Pn（xn ， yn）（n∈N*），过点Pn在x轴上的射影是Qn（xn ， 0），且x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2．（n∈N*）（1）求数列{xn}的通项公式；（2）设四边形PnQnQn+1Pn+1的面积是Sn，求Sn；（3）在（2）条件下，求证： + +…+ ＜4．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、17-2、17-3、18-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。
2019-2020年高三上学期期中测试数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1页至第2页；第Ⅱ卷从第3页至第4页；答题纸从第1页至第6页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共40分）第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）在锐角中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得 ----------2分因为所以 ------------------------5分在锐角中， ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得 -------------------------9分又因为，所以，即 -------------------------11分解得， ---------------------------12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去. --------------------13分16.（本小题满分13分）已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）当时，求的最大值．16．解：（Ⅰ）由，得，即……4分则，∵,得或，．……………………………5分∴ 或为所求．………………………………6分（Ⅱ），………10分∵，∴，由图象性质，当即时，有最大值为12，有最大值为．……………………13分17.（本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式 已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.17.解：（Ⅰ）由题意可得： …………2分因为时，，所以. ……………………………………4分所以. ……………………………………5分（Ⅱ）当时，.18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--（）≤. ……………………………………9分 当且仅当，即时取得等号.……………………………………10分当时，. ……………………………………12分所以当时，取得最大值.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元. …………………13分18.（本小题满分13分） 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．解：（Ⅰ）由三角函数定义，得 ，…………2分因为 ，，所以 ． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α （Ⅱ）解：依题意得 ，．所以 ， ………………7分2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα ……9分 依题意得 ，整理得 ． ………………11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分19.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ)若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.19. 解：（Ⅰ）∵，∴，定义域 ，减 增∴无极大值， ……3分（Ⅱ）， 定义域 ，∴ ………4分①当时，在上恒成立，∴在上递增； ………6分②当时，令得，减 增∴在上递减，在上递增； …………8分（Ⅲ）∵区间上存在一点，使得成立，即： 在上有解，即：当时， …………9分由（Ⅱ）知①当时，在上增，∴；……10分②当时，在上递减，在上递增（ⅰ）当即时， 在上增， ∴， ∴无解 ……11分（ⅱ）当即时， 在上递减∴2min 11()01a e h h e e a a e e ++==-+<⇒>- ∴ …………12分 （ⅲ）当即时， 在上递减，在上递增∴， 令2ln(1)2()1ln(1)a a a F a a a a+-+==+-+，则 ∴在递减 ∴ ∴无解即无解 ………14分综上：或20．（本小题满分14分）已知是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点.若点B 的坐标为（2，0），且上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在一点在点M 处的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的取值范围.20．解：（Ⅰ） ……………………………………2分依题意上有相反的单调性.所以的一个极值点.故 ………………4分（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得………………………2分因为上有相反的单调性，所以上有相反的符号.故………………………………………………7分假设存在点使得在点M 处的切线斜率为3b ，则即 因为),9(4364)3(34)2(22+=+=-⨯-=∆ab ab ab b b a b 且、b 异号.所以故不存在点使得在点M 处的切线斜率为3b .………………10分（Ⅲ）设),)(2)(()(),0,(),0,(βαβα---=x x x a x f C A 依题意可令即]2)22()2([)(23αβαββαβα-+++++-=x x x a x f .2)22()2(23αβαββαβαa x a x a ax -+++++-=所以即…………………………12分所以因为max 63,6,b b AC a a-≤≤-=-=所以当时当………………………14分。
陕西省宝鸡市金台区2019届上学期期中教学质量检测高三数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，则复数在复平面对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】，对应的点位于第二象限，选B.2. 设集合则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由集合，，得，则，故选D.3. 设实数满足且实数满足则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：“若且则”是真命题，其逆命题是假命题，故是的充分不必要条件,故选A.考点：充分必要条件.4. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为1，高为2，∴圆锥的母线长为，∴几何体的表面积S=×π×12+×π×1×+×2×2=.故选：A.5. 若实数满足约束条件，则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】可行域为一个直角三角形ABC及其内部，其中 ,所以直线过点时取最大值，选B.6. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】分派类型为311或221，所以不同分派方法种数为 ,选A.7. 甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子. 已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小. 根据以上情况，下列判断正确的是（）A. 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D. 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【答案】C【解析】由题意可知丙不是知识分子，甲不是农民，乙不是农民，所以丙是农民，丙的年龄比乙小，比知识分子大，所以甲是知识分子，乙是工人，丙是农民，选C.8. 宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，，继续循环；结束输出.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.9. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆，所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 在直角三角形中，角为直角，且，点是斜边上的一个三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】建立直角坐标系，设,则，选B.11. 在三棱锥中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由条件知：，取BC,PB,AC,AB中点分别为：F,E,H,K,FE为的中位线，FE=，同理H F=，中，EH=，E K=，EH=，中，三边关系满足勾股定理，角为所求角，在直角三角形中，角的余弦值为．故选A.点睛：发现三棱锥的线线间的垂直关系，将异面直线通过做平行线移到同一平面中，将要求的角放到了直角三角形中求解．12. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得,因为，所以, ,所以当时，；当时，，不满足，因此实数的取值范围为，选B.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数在区间上任取一个实数，则使得的概率为________；【答案】【解析】当时，概率故答案为。
绝密★启用前陕西省宝鸡中学2020届高三上学期期中质量检测数学(理)试题(解析版)2019年11月 一、选择题（本题共12小题，共60分）1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A. {|0}A B x x =<IB. A B R =UC. {|1}A B x x =>UD. A B =∅I【答案】A【解析】∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<,{}|1A B x x ⋃=<故选A2.已知sin 35m =o ,则cos 70-o 等于（ ） A. 212m - B. 212m- C. 212m -D. 221m -【答案】D【解析】【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可化简求值得解．【详解】解：∵sin35°＝m ,∴﹣cos70°＝﹣cos2×35°＝﹣（1﹣2sin 235°）＝﹣（1﹣2m 2）＝2m 2﹣1．故选D ．【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．3.设复数1z =（i 是虚数单位）,则z z z ⋅+的值为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】 分析：根据共轭复数的定义求得z ,利用复数乘法的运算法则求得212i 3z z ⋅=-=,根据复数模的公式可得结果.详解：因为11z z ==Q , 212i 3z z ∴⋅=-=,4z z z ∴⋅+=,4∴==故选A.点睛：复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.4.向量()1,0a =r ,()2,1b =r ,(),1c x =r ,若3a b -r r 与c r 共线,则x =（ ）A. 1B. -3C. -2D. -1【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理,列方程求出x 的值． 【详解】解：向量()10a =r ，,()21b =r ，,()1c x =r ，, 则3a b -=r r （1,﹣1）,。
