在平面直角坐标系xoy中

初中数学一题多解（试题）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为 ，16的平方根为 3、若2a =时， a 为 。

在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 。

4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。

中考数学压轴题之新定义经典题型【01】.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ¢，满足2CP CP r ¢+=，则称P ¢为点P 关于C 的反称点，下图为点P 及其关于C 的反称点P ¢的示意图。

的示意图。

(1)(1)当当O 的半径为1时。

时。

①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1(1,,3)T 关于O 的反称点是否存在，若存在？在？求其坐标；求其坐标；②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O 的反称点P ¢存在，且点P ¢不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围； (2)(2)当当C 的圆心在x 轴上，轴上，半径为半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，轴，y y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的反称点P ¢在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。

的横坐标的取值范围。

yPOCx1 1【02】.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ¹，12y y ¹，若,P Q 为某个矩形的两个顶点，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P Q ，的“相关矩形”的“相关矩形”..下图为点,P Q 的“相关矩形”的示意图意图. .（1）已知点A 的坐标为()10，，①若点B 的坐标为()31，，求点,A B 的“相关矩形”的面积；的“相关矩形”的面积；②点C 在直线3x =上，若点,A C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；式；（2）O ⊙的半径为2，点M 的坐标为(),3m .若在O ⊙上存在一点N ，使得点,M N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围的取值范围. .【03】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线的相邻线. . （1）当⊙O 的半径为1时，时， ○1分别判断在点D （，14），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有____________________；；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程相邻线，并说明你的作图过程. .○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．范围．21备用图1备用图2 图1【04】定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个）是否为这个最小值函数图象上的点；图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是的面积，其面积是 ； ②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆为半径作圆. . 在此圆上找一点P ，使22PA PB +的值最小，直接写出此最小值的值最小，直接写出此最小值. .【05】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”． （1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是；是；②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为的坐标为_________________________________________________________；； （2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线343l y x =-+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT D 的“阴影点”，直接写出NQT D 的周长的最小值．的周长的最小值．图1 图2 图3yxB A OyxCOD yx11O【06】给出如下规定：在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），以及两个无公共点的图形1W 和2W ，若在图形1W 和2W 上分别存在点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”，此时P ，M ，N 三个点的坐标满足122x x x +=，122y yy +=．（1）已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)A B C D --，连接AB ，CD ．①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为____________________；； ②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是1(2,)2Q -，求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标；“关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已知点R （－（－2,02,02,0）和抛物线）和抛物线1W ：22y x x =-，对于抛物线1W 上的每一个点M ，在抛物线2W 上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W ；（3）正方形EFGH 的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)E F G H ------，⊙T 的圆心为(3,0)T ，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．并直接写出该图形的面积．图1 图2R【06】在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图．的示意图． （1）当⊙O 的半径为1时．时．①分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（的坐标为（2,02,02,0）），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上的边上..若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；取值范围；（2）保持（）保持（11）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E的方向的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,01,0）），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答一个作答. .温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.问题1问题2若点P 关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为，则r 的最小值为的最小值为______________________________．． 若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围为的取值范围为________. ________.xOy P ¢2r PP r ¢££P ¢P¢(3,4)5(,0)2(1,2)P ¢P ¢P ¢P ¢r p P¢【07】对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零为零..例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.（1）分别判断函数1y x =-，1y x=，2y x =有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；其不变长度；（2）函数22y x bx =-.①若其不变长度为零，求b 的值；的值；②若13b ££，求其不变长度q 的取值范围；的取值范围；（3）记函数22()y x x x m =-³的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足03q ££，则m 的取值范围为的取值范围为 . .【08】P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把P A PB ×的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”．（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________________；； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．的取值范围．（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（，请参考（11）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围的“幂值”或“幂值”的取值范围________________________；； （3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，若在直线33y x b =+上存在点P ，使得点P 关于⊙O 的“幂值”为1313，，请写出b 的取值范围的取值范围________________________．．图1POBAO备用图备用图【09】在平面直角坐标系xOy 中，中，图形图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=xl ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=xl ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ££的图象，其中0a b £<．当该图形．当该图形满足1£=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．的取值范围．x yO BA 1234123x y O 1231234图1【10】.在平面直角坐标系xOy 中，对图形W 给出如下定义：若图形W 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD 的坐标角度是9090°．°．°．（1）已知点)3,0(-A ，)1,1(--B ，在点)0,2(C ，)0,1(-D ，)2,2(-E 中，选一点，使得以该点及点A ，B 为顶点的三角形的坐标角度为9090°，则满足条件°，则满足条件的点为的点为 ； （2）将函数2ax y =)31(££a 的图象在直线1=y 下方的部分沿直线1=y 向上翻折，求所得图形坐标角度m 的取值范围；的取值范围；（3）记某个圆的半径为r ，圆心到原点的距离为l ，且)1(3-=r l ，若该圆的，若该圆的坐标角度°££°9060m ．直接写出满足条件的r 的取值范围．的取值范围． O xy D C B A –1–2–312312345。

图形的相似一．选择题（共10小题）1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（）A．B．C．D．2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（）A．B．C．D．3．已知＝, 那么的值是（）A．B．﹣C．5D．﹣54．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2, 1）B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）C．（﹣8, 4）D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC ＝9, 那么的值是（）A．B．C．D．6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（）A．4B．2C．3D．67．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．3﹣8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（）A．B．C．D．10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4二．填空题（共5小题）11．已知＝, 那么＝．12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝．14．已知, 则＝．15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DF A．（不写作法, 保留作图痕迹）（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC 边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若, 求EC的长．19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD 的正切值；若不存在, 请说明理由．20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．2023年中考数学专题复习--图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图, 以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD, OA＝2, AC＝3, 则的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用位似图形的性质, 进而得出＝, 求出答案即可．【解答】解：∵以点O为位似中心, 将△OAB放大后得到△OCD,∴△BOA∽△DOC,∴＝,∵OA＝2, AC＝3,∴＝．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换, 正确得出相似三角形是解题关键．2．已知线段a、b、c、d, 如果ab＝cd, 那么下列式子中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断．【解答】解：∵ab＝cd,∴＝,故选：C．【点评】本题考查比例线段, 解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题, 属于中考基础题．3．已知＝, 那么的值是（）A．B．﹣C．5D．﹣5【分析】根据已知条件得出a＝5b, 再代入要求的式子进行计算, 即可得出答案．【解答】解：∵＝,∴3a﹣3b＝2a+2b,∴a＝5b,∴＝＝5．故选：C．【点评】此题考查了比例的性质, 熟练掌握两内项之积等于两外项之积．4．在平面直角坐标系xOy中, 以原点O为位似中心, 把△ABO缩小为原来的, 得到△CDO, 则点A（﹣4, 2）的对应点C的坐标是（）A．（﹣2, 1）B．（﹣2, 1）或（2, ﹣1）C．（﹣8, 4）D．（﹣8, 4）或（8, ﹣4）【分析】根据位似变换的性质计算, 即可解答．【解答】解：以原点O为位似中心, 把这个三角形缩小为原来的得到△CDO, 点A的坐标为（﹣4, 2）,则点A的对应点C的坐标为（﹣4×, 2×）或（4×, ﹣2×）, 即（﹣2, 1）或（2, ﹣1）,故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质, 解题关键是在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为k, 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．5．如图, AD∥BE∥FC, 它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F, 如果AB＝4, AC ＝9, 那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式, 把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥FC, AB＝4, AC＝9,∴＝＝＝,故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．6．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝6, D在BC边上, ∠ADE＝∠B, CD＝4, 若△ABD的面积等于9, 则△CDE的面积为（）A．4B．2C．3D．6【分析】过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N, 根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C, 再由三角形的外角定理推出∠DAB＝∠EDC, 从而得出△ABD∽△DCE, 根据相似三角形的性质求出EN, 即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥AB于M, 过点E作EN⊥BC于N,∵AB＝AC＝6,∴∠B＝∠C,∵∠ADE＝∠B, ∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE,∴∠BAD＝∠CDE,∴△ABD∽△DCE．∴,∵△ABD的面积等于9,∴AB•DM＝×6×DM＝9,∴DM＝3,∴,∴EN＝2．∴△CDE的面积为CD•EN＝×4×2＝4,故选：A．【点评】本题考查等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质, 利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键．7．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC）, 且AB＝2, 则AC的长为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．3﹣【分析】根据黄金分割的定义可得到AC＝AB, 然后把AB＝2代入计算即可．【解答】解：根据题意得AC＝AB＝×2＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC）, 且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC）, 叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝≈0.618AB, 并且线段AB的黄金分割点有两个．8．若3x＝2y（y≠0）, 则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立；B、由＝得, 3x＝2y, 故本选项比例式成立；C、由＝得, 2x＝3y, 故本选项比例式不成立；D、由＝得, xy＝6, 故本选项比例式不成立．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质, 主要利用了两内项之积等于两外项之积, 熟记性质是解题的关键．9．线段a, b, c, d是成比例线段, 已知a＝2, b＝, 则d＝（）A．B．C．D．【分析】根据成比例线段的概念, 可得a：b＝c：d, 再根据比例的基本性质, 即可求得d 的值．【解答】解：∵a：b＝c：d,∴ad＝bc,∵a＝2, b＝, c＝2,∴2d＝×2,∴d＝．故选：D．【点评】此题考查了成比例线段, 解题时一定要严格按照顺序写出比例式, 再根据比例的基本性质进行求解．10．若△ABC∽△A'B'C', 且相似比为2：3, 则△ABC与△A'B'C'的面积比为（）A．2：3B．3：2C．4：9D．9：4【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方, 解答即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC, 相似比为2：3,∴△ADE与△ABC的面积比为（2：3）2＝4：9．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质, 相似三角形面积的比等于相似比的平方．二．填空题（共5小题）11．已知＝, 那么＝﹣．【分析】根据已知条件得出＝, 再把化成1﹣, 然后进行计算即可．【解答】解：∵＝,∴＝,∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了比例的性质．题目比较简单, 解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．12．如图, 在矩形ABCD中, E是CD边的中点, 且BE⊥AC于点F, 连接DF, 则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是①③④（把正确结论的序号都填上）．【分析】根据E是CD边的中点, 得到CE：AB＝1：2, 根据矩形的性质得到CE∥AB, 推出△CEF∽△ABF, 求得＝（）2＝, 故选①选项正确；根据相似三角形的性质得到＝, 设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a, 于是得到＝, 故②选项错误；如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M, 根据平行四边形的判定定理得到四边形BMDE是平行四边形, 求得BM＝DE＝DC, 得到DM垂直平分AF, 根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DF, 故③选项正确；根据射影定理和矩形的性质得到AD2＝BE•BF．故④正确．【解答】解：∵E是CD边的中点,∴CE：AB＝1：2,∵四边形ABCD是矩形,∴CE∥AB,∴△CEF∽△ABF,∴＝（）2＝, 故选①选项正确；∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∠ADC＝∠BCD＝90°,∴∠CAD＝∠BCF,∵BE⊥AC,∴∠CFB＝90°,∴∠ADC＝∠CFB,∴△ADC∽△CFB,∴＝,设CE＝a, AD＝b, 则CD＝2a,∴＝,即b＝a,∴＝,∴＝, 故②选项错误；如图, 过D作DM∥BE交AC于N, 交AB于M,∵DE∥BM, BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM＝DE＝DC,∴BM＝AM,∴AN＝NF,∵BE⊥AC于点F, DM∥BE,∴DN⊥AF,∴DM垂直平分AF,∴AD＝DF, 故③选项正确；∵∠BCE＝90°, BE⊥AC,∴BC2＝BF•BE,∵AD＝BC,∴AD2＝BE•BF．故④正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质, 矩形的性质, 射影定理, 正确地作出辅助线是解题的关键．13．非零实数x, y满足2x＝3y, 则＝．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：∵2x＝3y,∴．故答案为：．【点评】本题主要考查比例的性质, 熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．14．已知, 则＝．【分析】根据比例的性质, 由, 得5x＝2（x+y）, 即3x＝2y, 即可求出答案．【解答】解：∵,∴5x＝2（x+y）,∴3x＝2y,∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质, 熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．15．如图, AB∥CD∥EF, 直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3, CE＝5, DF＝4, 则BD的长为．【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到＝, 然后利用比例性质得到BD的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF,∴＝, 即＝,解得BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例．三．解答题（共6小题）16．如图, 已知正方形ABCD, 点在边BC上, 连接AE．（1）利用尺规在AE上求作一点F, 使得△ABE∽△DF A．（不写作法, 保留作图痕迹）（2）若AE＝4, AB＝3, 求DF的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AE于点F, 点F即为所求；（2）利用勾股定理全等三角形的性质求解．【解答】解：（1）如图, 点F即为所求．（2）∵四边形ABCD是正方形,∴AD＝AB＝3,∵△ABE∽△DF A,∴＝,∴＝,∴DF＝．【点评】本题考查作图﹣相似变换, 正方形的性质等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 属于中考常考题型．17．如图, 点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点, 直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2, AE＝, S△AEF＝．①求AB的长；②求△EBC的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质, 可以得到BA∥CD, 然后即可得到∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF, 从而可以得到结论成立；（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据, 平行四边形的性质, 可以计算出AB的长；②根据相似三角形面积比等于相似比的平方, 可以计算出△EBC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BA∥CD,∴∠E＝∠FCD, ∠EAF＝∠CDF,∴△AEF∽△DCF；（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF,∴,∵AF：DF＝1：2, AE＝,∴,∴DC＝2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝DC,∴AB＝2；②∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴△EAF∽△EBC,∴＝（）2,∵S△AEF＝, AB＝2, AE＝,∴EB＝EA+AB＝3,∴＝＝,∴,解得S△EBC＝6,即△EBC的面积是6．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．18．如图, 在矩形ABCD中, E为CD边上一点, 把△ADE沿AE翻折, 使点D恰好落在BC 边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若, 求EC的长．【分析】（1）利用同角的余角相等, 先说明∠BAF＝∠EFC, 再利用相似三角形的判定得结论；（2）先利用勾股定理求出BF, 再利用相似三角形的性质得方程, 求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴∠D＝∠AFE＝90°．∵∠BAF+∠AFB＝180°, ∠AFB+∠EFC＝90°,∴∠BAF＝∠EFC．又∵∠B＝∠C,∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD＝3．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴AD＝AF＝6, DE＝EF．在Rt△ABF中,BF＝＝3．设CE的长为x, 则DE＝EF＝3﹣x．∵△ABF∽△FCE,∴＝．∴CE•AF＝BF•EF,即x×6＝3×（3﹣x）．∴x＝, 即EC＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质, 掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．19．如图1, 在△ABC中, 已知AB＝6, AC＝8, BC＝10．点D是边BC上一动点, 过点D作DE⊥BC交射线CA于点E, 把△CDE沿DE翻折, 点C落在点G处, AD和GE相交于点F．（1）若点G和点B重合, 请在图2中画出相应的图形, 并求CE的长．（2）在（1）的条件下, 求证：△AFB∽△EFD．（3）是否存在这样的点D, 使得△ABG是等腰三角形？若存在, 请直接写出这时∠CAD 的正切值；若不存在, 请说明理由．【分析】（1）先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°, 再证明△CDE∽△CAB, 得＝, 则CE＝＝；（2）由DE垂直平分BC, 得BE＝CE, 则∠DEF＝∠DEC, 由△CDE∽△CAB, 得∠DEC ＝∠ABC, 由AD＝BD＝BC, 得∠ABC＝∠BAF, 则∠BAF＝∠DEF, 而∠AFB＝∠EFD, 即可证明△AFB∽△EFD；（3）作DI⊥AC于点I, 先由△DIC∽△BAC, 求得ID：IC：DC＝3：4：5, 再分四种情况分别求出DC的长, 并且求出相应的ID和AI的长, 即可由tan∠CAD＝, 求出∠CAD的正切值, 一是△ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6, 作AH⊥BC于点H, 由×10AH＝×6×8＝S△ABC, 求得AH＝, 再由勾股定理求得GH＝BH＝, 则CD＝；二是△ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6, 则CD＝×（10﹣6）＝2；三是△ABG 是等腰三角形, 且BG＝AG, 则CG＝AG＝BG＝BC＝5, 所以CD＝CG＝；四是△ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6, DC＝×（10+6）＝8．【解答】（1）解：∵AB＝6, AC＝8, BC＝10,∴AB2+AC2＝BC2＝100,∴△ABC是直角三角形, 且∠BAC＝90°,由翻折得DG＝DC,∵DE⊥BC,∴∠GDE＝∠CDE＝∠BDE＝90°,∴点G在射线CB上,如图2, 点G和点B重合, 则DB＝DC＝BC＝5,∵∠CDE＝∠CAB＝90°, ∠C＝∠C,∴△CDE∽△CAB,∴＝,∴CE＝＝＝,∴CE的长是．（2）证明：如图2,∵DE垂直平分BC,∴BE＝CE,∴∠DEF＝∠DEC,∵△CDE∽△CAB,∴∠DEC＝∠ABC,∴AD＝BD＝BC,∴∠ABC＝∠BAF,∴∠BAF＝∠ABC＝∠DEC＝∠DEF,∵∠AFB＝∠EFD,∴△AFB∽△EFD．（3）解：存在,作DI⊥AC于点I, 则∠DIC＝∠AID＝∠BAC＝90°, ∵∠C＝∠C,∴△DIC∽△BAC,∴＝＝,∴＝＝＝, ＝＝＝,∴ID：IC：DC＝3：4：5,如图3, △ABG是等腰三角形, 且AG＝AB＝6,作AH⊥BC于点H, 则∠AHB＝90°,∵×10AH＝×6×8＝S△ABC,∴AH＝,∴GH＝BH＝＝,∴DC＝CG＝×（10﹣2×）＝,∴ID＝DC＝×＝, IC＝DC＝×＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝；如图4, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AB＝6,∴CD＝×（10﹣6）＝2,∴ID＝×2＝, IC＝×2＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝；如图5, △ABG是等腰三角形, 且BG＝AG, 则∠GAB＝∠B, ∵∠GAC+∠GAB＝90°, ∠C+∠B＝90°,∴∠GAC＝∠C,∴CG＝AG＝BG＝BC＝5,∴CD＝CG＝,∴ID＝×＝, IC＝×＝2,∴AI＝8﹣2＝6,∴tan∠CAD＝＝＝；如图6, △ABG是等腰三角形, 点G在CB的延长线上, 且BG＝AB＝6, ∴DC＝×（10+6）＝8,∴ID＝×8＝, IC＝×8＝,∴AI＝8﹣＝,∴tan∠CAD＝＝＝3,综上所述, ∠CAD的正切值为或或或3．【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法, 此题综合性强, 难度较大, 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．20．定义：一般地, 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P, P'所在的直线都经过同一点O, 且有OP'＝k⋅OP（k≠0）, 那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心,（1）如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, ∠A＝30°, AB＝6cm．点P在AB上, 点Q在AC上, 以PQ为边作菱形PQMN, 点N在线段PB上且∠APQ＝120°, 在△ABC及其内部, 以点A为位似中心, 请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N', 且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；（3）如图, 四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, CD、EF相交于点M, 连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．【分析】（1）根据定义画出图形即可；（2）当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大, 判定出△M'BN'是等边三角形, 在Rt △CM'Q'中求出BM'的长, 再求菱形的面积即可；（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO, 先求出OF＝OC, OG＝BO, 连接OM, 通过证明△MOF≌△MOC（SAS）, 得∠FOM＝∠COM, △AGO≌△ABO（SAS）, 得∠FOA＝∠BOA, 证明出A、M、O三点共线, 即GF、BC、AM的延长线交于一点O, 再由平行线的性质得到＝＝, 即可证明△ABG与△MCF位似．【解答】解：（1）如图：（2）∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内,∴当M'点在BC上时, 菱形P'Q'M'N'的面积最大,∵四边形PQMN是菱形, 四边形P'Q'M'N'是菱形,∴Q'M'∥AB, M'N'∥PQ,∵∠APQ＝120°,∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°,∵∠CAB＝30°, ∠ACB＝90°,∴∠B＝60°,∴△BM'N'是等边三角形,∴M'B＝M'N'＝Q'M',∵AB＝6cm,∴BC＝3cm,∴CM'＝3﹣BM',在Rt△CM'Q'中, ∠CQ'M'＝30°,∴Q'M'＝2CM',∴BM'＝2（3﹣BM'）,解得BM'＝2,在△BM'N'中, 过点M'作M'E⊥BN'交于点E, ∵BM'＝2, ∠B＝60°,∴M'E＝,∴菱形P'Q'M'N'的面积＝2；（3）延长GF、BC交于O点, 连接AO,∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形, ∴AG＝AB, ∠AGF＝∠ABC,∴∠OGB＝∠OBG,∴OG＝BO,∵GF＝BC,∴OF＝OC,∴＝,连接OM,∵∠GFE＝∠BCD,∴∠MFO＝∠MCO,∵∠OFC＝∠FCO,∴∠MCF＝∠FCM,∴CM＝FM,∴△MOF≌△MOC（SAS）,∴∠FOM＝∠COM,∵AG＝AB, ∠AGO＝∠ABO, GO＝BO,∴△AGO≌△ABO（SAS）,∴∠FOA＝∠BOA,∴MO与AO重合,∴A、M、O三点共线,∴GF、BC、AM的延长线交于一点O,∴MF∥AG,∴＝,∵CM∥AB,∴＝,∴＝＝,∴△ABG与△MCF位似．【点评】本题考查相似的综合应用, 掌握位似图形的定义, 平行线的定义, 菱形的性质, 直角三角形的性质, 等边三角形的性质是解题的关键．21．如图, l1∥l2∥l3, AB＝7, DE＝6, EF＝12, 求AC的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式, 把已知数据代入比例式计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3,∴,即,∴BC＝14,∴AC＝AB+BC＝7+14＝21．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理, 灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．。

一、解答题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A （0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0．(1)求直线AP的解析式；(2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP 的面积等于6，请求出点M的坐标；(3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，以OA，OC为边作矩形ABCO，矩形ABCO的面积是36．（1）求直线AC的解析式．（2）点P为线段AB上一点，点Q为第一象限内一点，连接PO，PQ，∠OPQ＝90°，且OP＝PQ，设AP的长为t，点Q的横坐标为d，求d与t的函数关系式．（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，过点Q作QE∥PO交AB的延长线于点E，作∠POC的平分线OF交PE于点F，交PQ于点K，若KQ＝2EF，求点Q的坐标．3．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．4．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A 为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．5．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t（1）当6t =时，点M 的坐标是 ；（2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．6．抛物线1C ：211211y x t x t ---≠＝（）（）（）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）（1）若2t -＝，求线段AB 的长；（2）猜想：随着t 的变化，A 、B 两点是否会有一定点？若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由；（3）求线段AB 的长（用t 表示）（4）若1t ＞，将抛物线1C 经过适当平移后，得到抛物线2C ：221y x t t --＝（）＋，A 、B 的对应点分别为D m （、n ），2E m （＋、n ）； ①求抛物线2C 的解析式；②将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折，连同G 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线132y x b b -＝＋（＜）与圆形G 有且只有两个公共点，求b 的取值范围．7．如图1，直线l 1：y ＝kx 与直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 相交于点A （4，3），直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 与x 轴交于点B ，点E 为线段AB 上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交直线l 1于点F ，连接BF ．（1）求k、b的值；（2）如图2，若点F坐标为（8，6），∠OFE的角平分线交x轴于点M．①求线段OM的长；②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标．8．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠ACD＝90°，E为CD中点，23AB=，求△BCE的面积；（2）如图2，若∠ACD＝90°，点E在线段CD上且∠DAE＋∠ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：2=；BC DF（3）如图3，AB＝1，∠BAC＝90°，∠ACD＝105°，若BE恰好平分∠AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当'+-''的值最小时，直接写出CQ的值．2CE AE CE9．如图1，已知数轴上的点A、B对应的数分别是﹣5和1．（1）若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；（2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧且OM＞ON），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0）和点B（5，0）．对于线段AB和直线AB外的一点C，给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角∠ACB叫做线段AB关于点C的可视角，其中点C叫做线段AB的可视点．(1)在点D（-2，2）、E（1，4）、F（3，-2）中，使得线段AB的可视角为45°的可视点是；(2)⊙P为经过A，B两点的圆，点M是⊙P上线段AB的一个可视点.① 当AB为⊙P的直径时，线段AB的可视角∠AMB为度；② 当⊙P的半径为4时，线段AB的可视角∠AMB为度；(3)已知点N为y轴上的一个动点，当线段AB的可视角∠ANB最大时，求点N的坐标．11．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在ABC中，AB AC∠=，MN分别为AB、BC边上一=，BACα点，连接MN，且MN AC∥，将ABC绕点B在平面内旋转．(1)观察猜想 ABC 绕点B 旋转到如图2所示的位置，若60α=︒，则AM CN 的值为______． (2)类比探究 若90α=︒，将ABC 绕点B 旋转到如图3所示的位置，求AM CN 的值． (3)拓展应用若90α=︒，M 为AB 的中点，4AB =，当AM BN ⊥时，请直接写出CN 的值．12．如图1，抛物线y 14=-x 2+bx +c 经过点C （6，0），顶点为B ，对称轴x ＝2与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．(1)求抛物线的解析式；(2)P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线y 14=-x 2+bx +c 只有一个交点时，求点M 的坐标．(3)△MPC 在（2）的旋转变换下，若PC 2=2）．①求证：EA ＝ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．13．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，B (4，0)，C (8，0)，tan∠ACB ＝2，抛物线y ＝ax 2+bx 经过A ，C 两点．(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；(2)如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？14．在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点A，B（点B 在点A的右侧）．抛物线顶点为C点，△ABC为等腰直角三角形．(1)求此抛物线解析式．(2)若直线与抛物线有两个交点，且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于6，求k的值．(3)若点，且点E，D关于点C对称，过点D作直线2l交抛物线于点M，N，过点E作直线轴，过点N作于点F，求证：点M，C，F三点共线．15．如图1：抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4．(1)抛物线的解析式为；(2)点P在第三象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)如图2，在（2）的条件下，当S＝6时，点G为第四象限抛物线上一点，连接PG，CH ⊥PG 于点H ，连接OH ，若tan∠OHG 34=，求GH 的长． 16．已知抛物线24y ax bx =++（a ≠0）与x 轴交于点A （3-，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，直线y mx n =+经过两点A 、C ．(1)求a ，b 的值；(2)如图1，点Р在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形PABC 的面积最大时，求点P 的坐标．(3)如图2，将已知抛物线向左平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为'y ，若抛物线'y 与原抛物线的对称轴交于点Q ．点E 是新抛物线'y 的对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE 是等腰三角形时，请直接写出点E 的坐标．17．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径DF 交BC 于点G ．(1)如图1，求证：∠BAD －∠BCF ＝90°；(2)如图2，连接AC ，当∠BAC ＝∠CFD ＋∠ACD 时，求证：CA ＝CB ；(3)如图3，在（2）的条件下，AC 交DF 于点H ，∠BAC ＝∠DGB ，45CG BG =，AC ＝9，求△CDH 的面积．18．同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在正边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点（不与点A 、C 重合），以AD 、AE 为邻边作平行四边形AEGD ，GE 交CD 于点M ，连接CG ．(1)如图1，当12AE AC <时，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接GF 并延长交AC 于点H ．求证：EB EF =；(2)在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒．过点A 作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接BD ，CD 直线BD 交直线AP 于点E ．如图2，①依题意补全图形；②请用等式表示线段EB ，ED ，BC 之间的数量关系，并予以证明．19．已知抛物线y 14=-kx 212-（k ﹣2）x +2与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C （点B 在点C 的左边）．(1)直接写出点B 的坐标；(2)当k ＝1时（如图），求：①在直线AC 上方的抛物线上一点M ，求点M 到直线AC 的最大距离及此时点M 的坐标；②将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，若线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线1x =，且与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，OB OC =．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上是否存在点Q，使得BCQ△是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设抛物线上的一点P的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使BCP的面积为最大整数时点P的坐标．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)y=3x-3；(2)（-2，3）；(3)Q的坐标为（-72，0）或（0，74）或（0，132）【解析】【分析】（1）根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性得到a+3=0，p-1=0，求出a，p，得到点P，A的坐标，设直线AP的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出函数解析式；（2）过M作MD交x轴于D，连接AD，由MD，△MAP的面积等于6，顶点△DAP的面积等于6，求出DP，得到点D坐标，求出直线DM的解析式，即可求出M的坐标；（3）设B（t，3t-3），分三种情况，①当点Q在轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，证明△BEQ≌△QNC（AAS），得到O Q=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，求出t值即可；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，证明△CQF≌△QBG（AAS），得到O Q=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，求出t即可；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），得到OQ=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，求出t值即可．(1)解：∵+（p﹣1）2＝0．∴a+3=0，p-1=0，解得a=-3，p=1，∴P(1,0)，A(0,-3)，设直线AP的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=3x-3；(2)解：过M作MD交x轴于D，连接AD，∵MD，△MAP的面积等于6，∴△DAP的面积等于6，∴，即，∴DP=4，∴D（-3，0）设直线DM的解析式为y=3x+c，则，∴c=9，∴直线DM的解析式为y=3x+9，令x=-2，得y=3，∴M（-2，3）；(3)解：存在设B（t，3t-3），①当点Q在x轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，如图，∴OE=t，BE=3-3t，∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，∴BQ=CQ，∠BQC=90°，∴∠BQE=90°-∠NQC=∠QCN，又∵∠BEQ=∠QN C，∴△BEQ≌△QNC（AAS），∴QN=BE=3-3t，QE=CN=4，∴OQ=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，∴t=12，∴OQ=72，∴Q（-72，0）；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，如图，∴BG=t，OG=3t-3，∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，∴BQ=CQ，∠BCQ=90°，∴∠CQF=90°-∠BQG=∠GBQ，又∵∠CFQ=∠BGQ=90°，∴△CQF≌△QBG（AAS），∴CF=QG=2，QF=BG=t，∴O Q=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，∴t=94，∴OQ=4-t=74，∴Q（0，74）；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，如图，∴BT=t，OT=3t-3，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），∴CF=BT=t，QF=CF=2，∴O Q=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，∴t=52，∴OQ=4+t=132，∴Q（0，132）；综上，Q的坐标为（-72，0）或（0，74）或（0，132）．【点睛】此题是一次函数与图形的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定即性质，等腰直角三角形的性质，算术平方根的非负性及偶次方的非负性，熟记全等三角形的判定即性质是解题的关键．2．（1）直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）d=4-t；（3）Q（212，1）．【解析】【分析】（1）先由解析式求出得A、C点的坐标，得OA=OC，得四边形ABCO为正方形，再根据正方形的面积求得边长，便可得b的值；（2）过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，证明Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），得到AP=GQ，进而求得结论便可；（3）过点P作PH⊥OF于点H，延长PH交EQ的延长线于点R，EQ的延长线与x轴交于点N，过Q作QM⊥x轴于点M．证明Rt△AOP≌Rt△GPQ（CCS），得PK=QR，∠R=∠OKP，再证明∠R=∠FPR，得EP=ER，再证FE=NR，设FE=NR=k，NQ=m，在Rt△PQE中，由勾股定理列出方程，得到k与m的关系，解Rt△PQE得tan∠PEQ，进而把这个函数值运用到△OAP中，求得t的值，再运用（2）中结论得Q的纵坐标d的值，再运用到△QNM中求得NM，NQ的值，进而求得ON，便可得Q的横坐标的值．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点C，A b C b，∴(,0),(0,)∴OA=OC=b，∴矩形ABCO为正方形，∵矩形ABCO的面积是36．∴b=6，即直线AC的解析式为y＝﹣x+6；（2）如图，过点Q作QG⊥AB交AB延长沿于点G，∵∠OPQ=90°，∴∠APO+∠GPQ=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠AOP=∠GPQ，∵在矩形ABCO，∠OAP=90°，QG⊥AB,∴∠QGP=∠OAP=90°，∵PQ=OP，∴Rt△AOP≌Rt△GPQ（AAS），∴AP=GQ，∵AP=t，∴GQ=t，∴d=4-t；（2）过点P 作PH ⊥OF 于点H ，延长PH 交EQ 的延长线于点R ，EQ 的延长线与y 轴交于点N ，过Q 作QM ⊥y 轴于点M ．则AP =t ，QM =d ，且d =6-t ．∵OF 平分∠POC ，∴∠POF =∠COF =∠PFO ，∴PF =PO ，∵PH ⊥OF ，∠OPQ ＝90°，∴∠OPH =∠FPH ，∠KPH =∠POH ，在△OPK 和△PQR 中，90OPK PQR PO QP POK QPR ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝， ∴△OPK ≌△PQR （ASA ），∴PK =QR ，∠R =∠OKP ，∵∠OKP +∠POK =∠POK +∠OPH =90°，∴∠OKP =∠OPH ，∴∠R =∠OPH ，∵PO =PF ，PH ⊥OF ，∴∠OPH =∠FPH ，∴∠R =∠FPR ，∴EP =ER ，∵PE ∥ON ，OP ∥EN ，∴四边形OPEN 是平行四边形，∴EN =PO =PF ，∴PE -PF =ER -EN ，∴FE =NR ，设FE=NR=k，则KQ=2FE=2k，又设NQ=m，∴PK=QR=m+k，∴PQ=m+3k，∴PO=EN=PF=m+3k，∴QE=EN-QR=m+3k-m=3k，PE=PF+FE=4k+m，在Rt△PQE中，∵PE2=PQ2+QE2，∴（4k+m）2=（3k+m）2+（3k）2，∴k1=0（舍去），k2=m，∴PQ=4m，QE=3m，∴tan∠PEN=43 PQQE=，∵OP∥EN，∴∠OPA=∠PEN，∴tan∠APO=43，∵AO=6，∴AP=4.5，∴t=4.5，∴QM=d=6-t=1.5，∵PE∥OC，∴∠QNM=∠PEN，∴tan∠QNM=tan∠PEN=43，∴NM=9 tan8QMQNM=∠，∴m=NQ158 =，∴PE=ON=4k+m=5m=758，∴OM=ON+NM=212，∴Q（212，1）．【点睛】本题是一次函数与四边形的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法．构造全等三角形是解题的关键，也是问题的突破口．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②16:15．【解析】【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．（2）如图1，证明△DCA ≌△EDG （AAS ），得AD =EG ，根据等腰三角形的判定得：DG =AB ，由平行线分线段成比例定理得：2DE DG DF AD ==，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA ≌△EDG （AAS ），得DA =EG ，再证明△ACB ∽△GEB ，列比例式可得结论；②如图3，作辅助线，构建△ABC 和△DCE 的高线，先得14AF AD EG DG ==，设AF =a ，则EG =AD =4a ，DG =16a ，根据AH ∥PD ，得123164PD BD a AH AB a ===，设PD =3h ，AH =4h ，根据EG ∥AC ，同理得41164BG BE a AB BC a ===，设BE =y ，BC =4y ，利用三角形面积公式代入可得结论．【详解】（1）证明：∵AC =AB ，∴∠ACB =∠B ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠DEC ，∴∠ACD +∠ACB =∠B +∠BDE ，∴∠BDE =∠ACD ；（2）证明：如图1，∵EG ∥AC ，∴∠DAC =∠DGE ，∠BEG =∠ACB ，由（1）知：∠DCA =∠BDE ，∵DC =DE ，∴△DCA ≌△EDG （AAS ），∴AD =EG ，∵∠B =∠ACB =∠BEG ，∴EG =BG =AD ，∵DE =2DF ，AF ∥EG ， ∴2DE DG DF AD==， ∴DG =2AD =2AG ，∴AB =DG =2AG ；（3）解：①如图2，过点E 作EG ∥AC ，交AB 的延长线于点G ，则有∠A =∠G ，∵AB =AC ，CD =DE ，∴∠ACB =∠ABC ，∠DCE =∠DEC ，∴∠ACD +∠DCE =∠EDG +∠DEC ，∴∠ACD =∠EDG ，在△DCA 和△EDG 中，∵ACD EDG A G CD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCA ≌△EDG （AAS ）．∴DA =EG ，∵AC ∥EG ，∴△ACB ∽△GEB ，∴AC BC EG BE=， ∵EG =AD ，AC =AB ，∴AB •BE =AD •BC ；②如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，过D 作DP ⊥BC 于P ，则AH ∥PD ，∴AF AD DF EG DG DE==，∵DE=4DF，∴14 AF ADEG DG==，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴123164 PD BD aAH AB a===，设PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴41164 BG BE aAB BC a===，设BE=y，BC=4y，∴S△ABC=12BC•AH=4?42y h=162yh=8yh，S△DCE=12CE•PD=5?32y h=152yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：152yh=16：15．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强．4．（1）B2C2；（23）OA最小值为1，相应的BC=OA最大值为2，相应的BC=【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C''在x轴上方和x轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得AD OD==（3）结合题意，得当AC'为⊙O的直径时，OA取最小值；当A、B'、O三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1 ∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''== ∴1122B D B C '''==∴2232OD OB B D ''=-= ∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形，∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒∴223BC B C AC AB ''''==-=当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '== ∴1122OE OC '== ∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '== ∴2214OF OC C F ''=-= ∴34B F OB OF ''=-= ∴26BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的3BC =；OA 最大值为2，相应的62BC =． 【点睛】 本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．5．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题．（3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形．【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =，(3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =，12OE EB t ∴==，152ME OA ==， 90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒，BME CBF ∴∠=∠，BM BC =，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==， 5OF OB BF t ∴=+=+，1(5,)2C t t ∴+． （3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ，∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==，即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴． （4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =，BAD ABD ∴∠=∠，//BD y 轴，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠．tan tan OAB BAD ∴∠=∠， ∴12OB BC OA BA ==，即1102t =， 5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-，解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形．综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（1）6；（2）会，（1，0）；（3）22t -；（4）①y 2=（x -2）2+1；②52＜b ＜3． 【解析】【分析】（1）根据题意令y 1=0，解得x ，即AB 点的横坐标，进而即可求得AB 的长；（2）由题意可知当x =1时，y 1=0，进而可以得出该定点的坐标；（3）由（1）可知AB 点的横坐标，进而即可用t 表示线段AB 的长；（4）①由题意可知t ＞1时，点A 、B 的坐标分别为：（1，0），（2t -1，0），进而依据AB =DE ，即可求解；②根据题意将点D 、E 的坐标代入抛物线表达式得：m =1，故点D 、E 的坐标为：（1，2）、（3，2），当直线过点D 时，2=-12×1+b ，解得：b =52，同理直线过点E 时，b =72，而b ＜3，即可求解． 【详解】解：（1）令y 1=0，解得：x =1或2t -1，当t =-2，则x =1或-5，所以线段AB =1-（2t -1）=2-2t =6； （2）会有一定点，理由如下：当x =1时，y 1=0，所以会有一定点（1，0）；（3）由（1）可知当y 1=0，解得：x =1或2t -1，所以线段AB 的长为：1(21)22t t --=-；（4）①t ＞1时，点A 、B 的坐标分别为：（1，0），（2t -1，0），因为平移距离相等可得AB =DE ，即2t -1-1=m +2-m =2，解得：t =2，所以点B （3，1），把t =2，代入221y x t t --＝（）＋， 可得抛物线C 2的解析式为：y 2=（x -2）2+1；②将点D 、E 的坐标代入抛物线表达式得：n =（m -2）2+1=（m +2-2）2+1，解得：m =1，故点D 、E 的坐标为：（1，2）、（3，2）；图象G 如下图所示，当直线过点D 时，2=-12×1+b ，解得：b =52， 同理直线过点E 时，b =72，而b ＜3， 所以b 的取值范围为：52＜b ＜3． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形过定点等，其中（3），要注意分类讨论避免遗漏．7．（1）34k =，5b =；（2）①OM =5；②()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）分别将将(4,3)A 代入y kx =和12y x b =-+中，求解即可； （2）①设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,证明△AFD ≌△EFD ，得到AD =ED ，利用中点坐标公式求得点D 坐标，用待定系数法求得直线FD 的函数表达式，令0y =,即可求得点M 的坐标，从而求得OM ；②点N 在直线l 1的上方，当△OFN 和△OFM 全等时，满足题意的点N 有两个，分别画出相关的图形，分类讨论求解即可．【详解】解：（1）∵直线l 1：y kx =和直线l 2：12y x b =-+相交于点A ∴将(4,3)A 代入y kx =中，得：43k =解得：34k = ∴将(4,3)A 代入12y x b =-+中，得：1432b -⨯+= 解得：5b =∴3,54k b == （2）① 设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,如下图：∵34k =，5b = ∴直线l 1的函数表达式为34y x =，直线l 2的函数表达式为152y x =-+ ∵(4,3)A∴22345OA +设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D则()0,5C∴5OC =∴5OA OC ==∴∠OCA =∠OAC∵//FE y 轴∴∠OCA =∠FEA又∵∠OAC =∠FAE∴∠FAE =∠FEA∴FA =FE又∵FM 是∠OFE 的角平分线∴∠AFM =∠EFM又∵FD =FD∴△AFD ≌△EFD∴AD =ED∴点D 为AE 的中点∵//FE y 轴∴点F 和点E 的横坐标相同将8x =代入152y x =-+中，得1y = ∴()8,1E∵(4,3)A ，()8,1E∴()6,2D设线段FM 所在的直线函数表达式为()0y ax b a =+≠将()()8,6,6,2F D 代入y ax b =+中，得：8662k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：210k b =⎧⎨=-⎩∴线段FM 所在的直线函数表达式为210y x =-令0y =，得2100x -=解得：5x =∴()5,0M∴OM =5② 当,OFN FOM 全等时，有两种情况，情况一，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴∠OFN =∠FOM ，FN =OM ,ON =FM∴//FN OM∵OM =5∴FN =5,8F x =∴853N x =-=,6N F y y ==∴()3,6N情况二，当△OMF 和△ONF 关于直线l 1对称时，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴ON =OM =5，∠NOF =∠MOF∵OP =OP∴△NOP ≌△MOP∴PN =PM∵()8,6F ∴226810OF + 又∵1122OMF F S OM y OF PM =⋅=⋅ ∴F OM y OF PM ⋅=⋅ ∴56==310PM ⨯ ∴MN =2PM =6，OP 2222534OM PM -- ∵1122OMN N S MN OP OM y =⋅=⋅△ ∴642455N y ⨯== ∴2222247555N N x ON y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 综上所述，满足题意点有两个，分别是：()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数表达式，三角形全等的性质和证明，两条直角交点的求法以及三角形的等面积法等知识点，牢记相关内容并能灵活应用数形结合思想解题是本题的关键．8．（1）32；（2）见解析；（3）222- 【解析】【分析】（1）过点,,A E D 分别作BC 的垂线，垂足分别为,,H I G ，连接BE ，证明Rt AHC Rt CGD △≌△，根据含30度角的直角三角形的性质求得CE ,进而求得EI ,根据三角形的面积公式求解即可；（2）过点,A D 分别作BC 的垂线，交BC 及BC 的延长线于点,H G ，证明Rt AHC Rt CGD △≌△，进而可得HAF △是等腰直角三角形，DGF 是等腰直角三角形，即可证明2222DF DG HC BC ===，即2BC DF =； （3）延长,EA EC ，过点B 分别作,BN EN BM CM ⊥⊥，垂足分别为,N N ，解直角三角形Rt ABN △可得45ABN ∠=︒，进而可得30AEC NEM ∠=∠=︒，进求得DE 的长度，由点P 为线段AE 上的动点，点E ′与点E 关于直线DP 对称，AE ′与CD 交于点Q ，连接CE ′，构造相似三角形，在线段DC 上截取322DF =-,连接E F '，则CDE E DF ''△∽△，求得目标等量关系()21E F CE ''=-，根据()221CE AE CE CE AE E F AE AF '''''+-=-+=+≥''则当,,A E F '三点共线时，取得最小值，此时Q 点与F 点重合，根据CQ CF CD FD ==-即可求得答案．【详解】（1）如图，过点,,A E D 分别作BC 的垂线，垂足分别为,,H I G ，连接BE ，AB ＝AC ，将CA 绕点C 顺时针旋转至CD ，AC CD ∴=∠BAC ＝60°，ABC ∴是等边三角形，AC CD ∴=，60BAC ∠=︒AH BC ⊥ 1302CAH CAB ∴∠=∠=︒ ,AH HC DG GC ⊥⊥，∠ACD ＝90°，90AHC CGD ∴∠=∠=︒90ACH DCG ACH HAC ∴∠+∠=∠+∠=︒DCG HAC ∴∠=∠Rt AHC Rt CGD ∴△≌△HC GD ∴=,30CAH DCG ∠=∠=︒ E 为CD 中点，23AB =， 11322CE CD AB ∴=== 在Rt CEI △中，30ECI ∠=︒1322EI CE ∴== 1133232222BCE S BC EI ∴=⋅⋅=⨯⨯=△ （2）如图，过点,A D 分别作BC 的垂线，交BC 及BC 的延长线于点,H G ，,AH HC DG GC ⊥⊥，∠ACD ＝90°，90AHC CGD ∴∠=∠=︒90ACH DCG ACH HAC ∴∠+∠=∠+∠=︒DCG HAC ∴∠=∠Rt AHC Rt CGD ∴△≌△AH CG ∴=,DG HC =AC CD =， AH BC ⊥∴BAH HAC ∠=∠，90ABC BAH ∠+∠=︒∠DAE ＋∠ABC ＝90°，DAE HAC DCG ∴∠=∠=∠AC CD =，∠ACD ＝90°，45DAC ∴∠=︒DAE EAC CAH EAC ∴∠+∠=∠+∠45HAF =∠=︒即45HAF ∠=︒HAF ∴△是等腰直角三角形AH HF ∴=CG HF ∴=CG CF HF CF ∴-=-即HC FG =又DG HC =FG DG ∴= ∴DGF 是等腰直角三角形 2222DF DG HC BC ∴=== 即2BC DF =（3）如图，延长,EA EC ，过点B 分别作,BN EN BM CM ⊥⊥，垂足分别为,N N ，BE 恰好平分∠AEC ，BM BN ∴=∠BAC ＝90°，∠ACD ＝105°，AB ＝AC ，AB ＝1，在Rt ABC 中，2BC 45ABC ACB ∴∠=∠=︒150BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒30BCM ∴∠=︒60CBM ∴∠=︒22BM ∴= 2BN BM ∴==在Rt ABN △中21,AB BN ==2cos BN ABN AB ∴∠==45ABN ∴∠=︒90NBC ∴∠=︒9060150NBM NBC CBM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒在四边形ENBM 中，90,150M N NBM ∠=∠=︒∠=︒30AEC NEM ∴∠=∠=︒ 1152BEC AEC ∴∠==︒ 又30BCM BEC CBE ∠=∠+∠=︒15CBE CEB ∴∠=∠=︒CB CE ∴=2= 1CD CA AB ===21DE CE CD ∴=-=-如图，点P 为线段AE 上的动点，点E ′与点E 关于直线DP 对称，AE ′与CD 交于点Q ，连接CE ′， ∴21DE DE '==-211DE CD '-= 若211DF E D -='，则322DF =- 在线段DC 上截取322DF =-,连接E F '，则DF ED E D CD'='，又E DF CDE ''∠=∠ CDE E DF ''∴△∽△ 21CE CD E F E D '∴==''-()21E F CE ''= ∴()221CE AE CE CE AE E F AE AF '''''+-=+=+≥'' 则当,,A E F '三点共线时，取得最小值，此时Q 点与F 点重合，此时1(322)22CQ CF CD FD ==-=--=【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形，第三问是阿氏圆模型，找到点F 的位置是解题的关键．9．（1）点P 对应的数为-2；（2）当t =2或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍；（3）m +13n =0．【解析】【分析】（1）设点P 对应的数为x ，表示出BP 与PA ，根据BP =PA 求出x 的值，即可确定出点P 对应的数；（2）表示出点P 对应的数，进而表示出PA 与PB ，根据PA =2PB 求出t 的值即可；（3）因为OM ＞ON ，只有甲乙均反弹之后在中点相遇一种情况，设点M 对应的数为m ，点N 对应的数为n ，时间为t ，则M 、N 的中点对应的数为2m n +，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M 和点N 的距离相等列出关系式即可．【详解】解：（1）点A 、B 对应的数分别是﹣5和1，设点P 对应的数为x ，则BP =1-x ，PA =x +5，∵BP =PA ，∴1-x =x +5，解得：x =-2，∴点P 对应的数为-2；（2）P 对应的数为-5+2t ，∴PA =2t ，PB =|-5+2t -1|=|2t -6|，∵PA =2PB ，∴2t =2|2t -6|，当t =2t -6时，t =6；当t +2t -6=0时，t =2；答：当t =2或6时，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍；（3）设点M 对应的数为m ，点N 对应的数为n ，时间为t ，则M 、N 的中点对应的数为2m n +， ∴MN =n -m ，OM =-m ，ON =n ，∴()()252502t t n m m n t m m ⎧+=-⎪+⎨⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()351073352t n m n m t ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩， 化简得m +13n =0．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．10．(1)点E(2)① 90；② 30或150(3)N（00，【解析】【分析】（1）AE、BE、AB满足勾股定理，且AE=AB，可知ABE△为等腰直角三角形，则∠AEB=45°，故E点可使线段AB的可视角为45°．（2）①由半径所对的圆周角为90°即可得出∠AMB为90°．②连接AP、BP，即可得出ABP△为等边三角形，由圆周角定理即可求得∠AMB为30°或150°．（3）以AB为弦作圆M且过点N，由圆周角定理可得出当圆心角AMB最大时，圆周角ANB最大，由直线与圆的位置关系得出当y轴与圆M相切时圆心角AMB最大，进而可求得N点坐标．(1)连接AE，BE∵AE=4，AB=4，AE⊥AB∴ABE△为等腰直角三角形∴∠AEB=45°．故使得线段AB的可视角为45°的可视点是点E．(2)①有题意可知，此时AB为⊙P直径由半径所对的圆周角为90°可知∠AMB为90°②当⊙P的半径为4时，AB为⊙P一条弦，连接AP，BP∵BP=AP=4，AB=4∴ABP△为等边三角形∴∠APB=60°当点M在圆心一侧由圆周角定理知∠AMB=当点M不在圆心一侧由内切四边形性质可知∠AMB=180°-30°=150°。

专题24 直角三角形存在性问题【真题精选】1．（2021·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x 轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围．2．（2020•泸州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．∠求直线BD的解析式；∠已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若∠PQR是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．3.（2018•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=52对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若AFFB=34，且∠BCG与∠BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．【例题讲解】例1.(直角不固定)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴l为直线x=1 2．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方有一点P，连接P A后满足∠P AB＝∠CAB，记∠PBC的面积为S，求当S＝10.5时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的直线y ＝x +t 与抛物线交于C ′、B ′两点（C ′在B ′的左侧），若以点C ′、B ′、P 为顶点的三角形是直角三角形，求出t 的值．例2. (直角顶点固定)抛物线y ＝x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，直 线y ＝x +2与抛物线交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上一点，若S △PAB ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；（3）将直线AB 上下平移，平移后的直线y ＝x +t 与抛物线交于A '，B '两点（A '在B '的左侧），当以点A '，B '和（2）中第二象限的点P 为顶点的三角形是直角三角形时，求t 的值．【课后训练】1.已知抛物线1l :212y ax =-的项点为P ，交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin 5ABP ∠=．(1)求抛物线1l 的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ,交y 轴于点D ,若ABC ∆的面积被y 轴分为1: 4两个部分，求直线AC 的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线2l ,点M 为抛物线2l 上一点，当点M 的横坐标为何值时，BDM ∆为直角三角形？2．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣7，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，顶点坐标为M ．（1）求抛物线的表达式和顶点M 的坐标；（2）如图1，点E （x ，y ）为抛物线上一点，点E 不与点M 重合，当﹣7＜x ＜﹣2时，过点E 作EF ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点F ，作EH ⊥x 轴与点H ，得到矩形EHDF ，求矩形EHDF 的周长的最大值；（3）如图2，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以点P 、A 、C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当∠MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与直线y ＝﹣x ﹣2相交于A （﹣2，0），B （m ，﹣6）两点，且抛物线经过点C （5，0）．点P 是直线下方的抛物线上异于A 、B 的动点．过点P 作PD ∠x 轴于点D ，交直线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）连结P A 、PB 、BD ，当S ∠ADB ═23S ∠P AB 时，求S ∠P AB ； （3）是否存在点P ，使得∠PBE 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．5.如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0，8)，点C 的坐标为(6，0)，抛物线249y x bx c =-++经过点A 、C ，与AB 交于点D ． （1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，∠CPQ 的面积为S ．∠求S 关于m 的函数表达式；∠当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上，若存在点F ，使∠DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设∠MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使∠MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．7.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B 两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出∠ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．9.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴l为直线x=1 2．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方有一点P，连接PA后满足∠PAB＝∠CAB，记△PBC的面积为S，求S＝10.5时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P恰好落在抛物线上时，将直线BC上下平移，平移后的直线y＝x+t与抛物线交于C′、B′两点（C′在B′的左侧），若以点C′、B′、P为顶点的三角形是直角三角形，求出t的值．。

2019年中考1.在平面直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=-k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=-k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；2018年中考：2.在平面直角坐标系xOy中，直线y=4X+4与x轴y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A将点B向右平移5个单位长度，得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;2017年中考：3.在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C.求直线BC的表达式；2016年中考：4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为A,B.（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。

当m＝1时，求线段AB上整点的个数；2015年中考：5. 在平面直角坐标系xoy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B。

(1)求点A，B的坐标；的表达式及顶点坐标；(2)求抛物线C12014年中考：6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．2013年中考：7．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx2-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。

（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；2011年中考：8.在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当∠ABC=45°时，求m的值；2019年一模（房山）9．在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(−1，a)，B(3，a)，且顶点的纵坐标为-4．求m、n和a的值；10．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+4的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）平行于x轴的直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C．（1）求点B和点C坐标；（2）已知某抛物线的表达式为y=x2-2mx+m2-m．如果该抛物线顶点在直线y=x+4上，求m的值；11．已知抛物线y=x2-2mx+m2-4，抛物线的顶点为P.（1）求点P的纵坐标．（2）设抛物线x轴交于A、B两点，A(x1,y1),B(x2,y2)x2＞x1，.判断AB长是否为定值，并证明．12．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2-3与y轴交于点A，过A作AB∥x轴与直线x=4交于B点．（1）抛物线的对称轴为x= （用含m的代数式表示）；（2）当抛物线经过点A，B时，求此时抛物线的表达式；13．在平面直角坐标系xoy中，直线y=kx+1（k≠0）经过点A（2，3），与y轴交于点B，与抛物线y=ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2）.（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；14. 已知二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等．（1）求二次函数y=x2-ax+b的对称轴；（2）过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y=x2-ax+b的图象交于不同的两点M、N.当MN=2时，求b的值；15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4ax+3a-2（a≠0）的对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B．求抛物线的对称轴及点B的坐标；16．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2-2ax-3a（a≠0）的顶点为D，与x轴交于A，Ba 时，求点A，B，D的坐标；两点(A在B的左侧)．当117．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=x2-m x+n（a≠0）．当m=2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A(-2,y1)B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是_______；18.在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=m x2+(m-3)x-3(m＞0)与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,AB=4 ，点D为抛物线的顶点.（1）求点A和顶点D的坐标；（2）将点D向左平移4个单位长度，得到点E,求直线BE的表达式；19．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=a x2+bx+c过原点和点A（-2，0）.（1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点B（0），记抛物线与直线AB围成的封闭区域（不含边界）为W．当=1a时，求出区域W内的整点个数；20．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=m x2+6mx+9m+1（m≠0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B（点A在点B的左侧），且AB=4，求m的值；21．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=a x2+bx+c(a＞0)经过点A(0,-3)和B(3,0)．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A，B两点间，从左到右上升，求a的取值范围；22．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=x2-2ax+a2+2的顶点C，过点B（0，t）作与y 轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E（x1，y1），点F（x2，y2）（x1＜x2）．（1）求抛物线顶点C的坐标；（2）当点C到直线l的距离为2时，求线段EF的长；23.在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2-2x+a-3，当a=0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4 个单位长度，得到点B.求点B的坐标；24. 在平面直角坐标系中xoy中，抛物线y=ax2-4ax+1（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A（-1，6），求二次函数的表达式；2019年二模25.在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2-2mx+m2-1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2-2mx+m2-1沿直线y=-1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD=8，求m的值；26．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=ax2+bx+a-2的对称轴是直线x=1．（1）含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，-4），B（2，-3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；27．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2-2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．求点P的坐标（用含a的代数式表示）；28．在平面直角坐标系xoy中，抛物线C：y=ax2-2ax+3与直线l：y=kx+b交于A，B两点，且点A在y轴上，点B在x轴的正半轴上．（1）求点A的坐标；（2）若a=-1，求直线l的解析式；29．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=x2-2mx+m2-1．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子去表示）；（2）若点（m 2, y1），（m, y2），（m+3,y3）都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上，则y1， y2，y3的大小关系为；30．在平面直角坐标系xoy中，抛物线C1：y=ax2-2ax-3a（a≠0）和点A(0,-3) ．将点A先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线C1的对称轴；31. 在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx2+2mx+2m-3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点D的纵坐标是-4.（1）求点A、B的坐标；（2）设直线l与直线AC关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的表达式；32.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2.[来源:Z.xx.求：（1）抛物线F的顶点坐标(用含m的式子表示)（2）若点A在抛物线上，求m的值33．在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+1与抛物线y=ax2-+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上.求点A的坐标.33.在平面直角坐标系xoy中，直线y=x与抛物线y=ax2-(3+a)x+3(a≠0)交于A，B两点，并且OA＜OB.当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标；34．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2-2ax-3a(a≠0)顶点为P，且该抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．（1）求抛物线y=ax2-2ax-3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）如果抛物线y=ax2-2ax-3a经过（1, 3）．①求a的值；②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．35．已知：二次函数C1：y=ax2+2ax+a-1．(a≠0)（1）把二次函数C1的表达式化成y=a（x-h）2+b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标；（2）已知二次函数C1的图象经过点A（－3,1）．①求a的值；②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2=k x2+kx（k≠0）．的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．2018年一模36.在平面直角坐标系xoy中，抛物线G：y=mx2+2mx+m-1（m≠0）．与y轴交于点C C，抛物线G的顶点为D，直线l：y=mx+m-1（m≠0）．．（1）当m=1时，画出直线l和抛物线G，并直接写出直线l被抛物线G截得的线段长．（2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线l上并说明理由．37．在平面直角坐标系xoy中，将抛物线G1：y=mx2+23（m≠0抛物线G2，点A是抛物线G2的顶点．（1）直接写出点A的坐标；（2）过点(0,3)且平行于x轴的直线l与抛物线2G交于B，C两点．①当∠BAC=90°时，求抛物线G2的表达式；38．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=-x 2+2bx-3的对称轴为直线x =2． （1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中x 1＜x 2 ．当x 2-x 1=3时，结合函数图象，求出m 的值；39.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ． (1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线y=21x+m 与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．40．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=x 2-2ax+b 的顶点在 x 轴上，P(x 1,m)，Q(x 2,m)（x 1＜x 2）是此抛物线上的两点．若a=1， 求：（1）当m=b 时，求x 1，x 2的值；（2）将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；41. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2-4ax-4（a ≠0）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .求点A ，B 的坐标；42．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a-2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；43．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a的最高点的纵坐标是2．求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；44. 抛物线y=ax2+bx-3分别交x轴于点A（－1,0），C（3，0），交y轴于点B，抛物线的对称轴与x轴相交于点D. 点P为线段OB上的点，点E为线段AB上的点，且PE⊥AB.（1）求抛物线的表达式；（2）计算PEPB的值；45.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x2,y2)(1,0)A， (点B在点A的右侧)；②对称轴是x=3；③该函数有最小值是-2.请根据以上信息求出二次函数表达式；46. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <. （1）求1223-+x x 的值；47．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．48. 在平面直角坐标系xOy 中，点C 是二次函数2441y mx mx m =+++的图象的顶点，一次函数4+=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . （1）请你求出点A ,B ,C 的坐标；2018年二模东城49．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，． （1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；西城50. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式； 朝阳51.已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ． （1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M的纵坐标为211，求点M 和点N 的坐标；52．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y x hx h =-+的图象的顶点为点D ． 当1h =-时，求点D 的坐标；石景山53．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =++≠经过点()34,A -和()02,B ． （1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线3x =翻折，得到图象N ．若过点()94,C 的直线y kx b =+与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．昌平54.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤，求抛物线的表达式；l房山55. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过A （0，4），B（2，0），C （－2，0）三点. （1）求二次函数的表达式；（2）在x 轴上有一点D （－4，0），将二次函数的图象沿射线DA 方向平移，使图象再次经过点B .①求平移后图象顶点E 的坐标；2017年一模西城. 56.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数5)12(2-++-=m x m mx y 的图象与x 轴有两个公共点. （1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是-6≤y ≤4-n ，求n 的值；东城．57.二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>． （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；朝阳．58.在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2211222y x mx m m =-++-的顶点在x 轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）点Q 是x 轴上一点，①若在抛物线上存在点P ，使得∠POQ =45°，求点P 的坐标房山. 59.在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C. （1）求点C 的坐标；顺义．60.如图，已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A （-2，0），B 两点，与y 轴交于C 点，OC ：OB=2：1．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围．平谷．61.直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ． （1）求点C 的坐标；（2）若抛物线()230y mx nx m m =+-≠经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式；海淀．62.平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y mx m x =-+交y 轴于A 点，交直线x =4于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）； （2）若AB ∥x 轴，求抛物线的表达式；丰台．63.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()01242≠-+-=m m mx mx y 与平行于x 轴的一条直线交于A ，B 两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A 的坐标是（-1，-2），求点B 的坐标；石景山．64.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ． （1）求顶点A 的坐标；（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线 2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ，C 两点．当2a =时，求线段BC 的长；通州．65.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222+-+-=m m mx x y 的顶点为D.线段AB 的两个端点分别为A （-3，m ），B （1，m ）.（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）若该抛物线经过点B （1，m ），求m 的值；怀柔．66.已知二次函数122-++=a ax ax y （a>0）. （1）求证：抛物线与x 轴有两个交点； （2）求该抛物线的顶点坐标；2017年二模67.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+. （1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；68.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx 2-2mx +2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．求点A ，B 的坐标；69．抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为x =1． （1）求抛物线的表达式；（2）若CD ∥x 轴，点D 在点C 的左侧，12CD AB =，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线在直线x =t 右侧的部分沿直线x =t 翻折后的图形记为G ，若图形G 与线段CD 有公共点，请直接写出t 的取值范围．70. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与y 轴交于点A ,并且经过点B(3，n).求点B 的坐标；71．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线2y x bx c =-++在第一象限内的部分记为图象G ，如果过点P （-3，4）的直线y =mx +n（m ≠0）与图象G 有唯一公共点，请结合图象，求n 的取值范围．72．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线12212+-+=a x ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P ′，求点P ′的坐标；73．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），对称轴与x 轴交于点3,0（），且4AB =.（1）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；74．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24440y mx mx m m =-++≠的顶点为P ．P ，M 两点关于原点O 成中心对称．（1）求点P ，M 的坐标；（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x 轴翻折，翻折后的图象在05x ≤≤的部分记为图象H ，点N 为抛物线对称轴上的一个动点，经过M ，N 的直线与图象H 有两个公共点，结合图象求出点N 的纵坐标n 的取值范围．75．已知：二次函数1422-++=m x x y ，与x 轴的公共点为A ，B .（1）如果A 与B 重合，求m 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点；①当1=m 时，求线段AB 上整点的个数；76. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+2ax -3a (a > 0)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B的左侧).（1）求抛物线的对称轴及线段AB 的长；（2）若抛物线的顶点为P ，若∠APB =120 °错误！未找到引用源。

在平面直角坐标系xoy中,已知点a
点a是一个平凡的点，它有着平凡的位置，位置就是在平面直角坐标系xoy中。

点a被写成坐标形式，它的横坐标为x，纵坐标为y。

在平面直角坐标系xoy中，点a的位置可以由x和y轴决定，我们可以使用点a的横坐标和纵坐标来计算它在xoy平面上的位置。

其实，点a还有更多有趣的信息，它也可以被用
来对xoy平面中的物体进行补充和分析。

点a所在的位置也可以用一些函数来描述，比如可以用圆心为原点、半径为2的圆来描述点a，也可以用一元二次函数来表示，比如y = 3x2 - 1。

由于x和y轴的定位，点a为平
面图形的锚点，它的位置也可以用于标记物体的位置或变形。

点a在xoy平面上的位置是它所属的空间中的位置，它可以被用来表示一个给定点相对于xoy平面上其他点的位置。

这一点也可以抽象为一个数学公式，表示点a在xoy平面上的
物理位置。

点a是一个一般的点，它的位置在平面直角坐标系xoy中，它的横坐标为x，纵坐标为y。

由点a的横纵坐标，我们可以计算它在xoy平面上的位置，而且点a的位置也可以用一些函数描述，它也可以被用来表示一个给定点相对于xoy平面上其他点的位置。

专题32函数与几何综合问题（25题）一、填空题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x --，可得MK NJ x ==-，266212KN AJ x x ==---=--，而8KJ AB ==，则2128x x ---=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B -，则()4,3H -，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，【答案】392【分析】作出点()32C -，，作CD 直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用待定系数法求得直线DG y ⊥轴于点G ，此时35BH +【详解】解：∵直线123y x =-+则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠=∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan tan FCP FAD ∠=∠，∴PF OB PC OA=，即226PF =，∴23PF =，则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线CD 的解析式为y kx =+则321103k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得311k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD 的解析式为3y x =联立，311123y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为1522y x=-+，AC中点坐标为910a=；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为()3,0，5⑤如图5，直线ME ∥AC ，MN CO ∥，则EMN ACO∽∴12BE AB =，又4AB =，∴22BE =，∵53222BN =-=<，∴不成立；⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得12AE AB =，∴22AE =，222NE =-，tan tan MEN CBO ∠∠=，∴155222a =-，解得212a +=；综上所述，910a =或225+或212+．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCD Y 的顶点B ，C 在x 轴上，D(1)求点B 的坐标；(2)若:2:1OD OC =，直线y x b =-+分别交x DC 延长线于点N ，求tan MND ∠的值；(3)在（2）的条件下，点P 在y 轴上，在直线存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点【答案】(1)()4,0B -(2)1tan 3MND ∠=(3)存在，等腰三角形的个数是8个，1652Q ⎛- ⎝【分析】（1）解方程得到OB ，OC 的长，从而得到点（2）由:2:1OD OC =，2OC =，得4OD =线y x b =-+中，求得b 的值，从而得到直线的解析式，进而求得点45FEO ∠=︒．过点C 作CH EN ⊥于H ，过点::2:1DO OC NK CK ==，进而得到2NK CK =EC CK =，由211EC OC OE =-=-=可得CK 得到22cos EK EN KEN ==∠，在Rt ECH △中，322NH EN EH =-=，最终可得结果tan MND ∠（3）分PN PQ =，PN NQ =，PQ NQ =三大类求解，共有【详解】（1）解方程2680x x -+=，得14x =OB OC > ，（3）解：由（2）知：直线EF 解析式为设()0,P p ，(),1Q q q -+，①当5PN QN ==时，()()2223025p -+--=，()23q -+解得6p =-或2p =，6522q +=或∴1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652Q ⎛+ ⎝如图，11PQ N 、12PQ N 、21P Q N ；②当5PQ QN ==时，由①知：1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652,2Q ⎛+ ⎝；③当5PN PQ ==时，由①知：()10,6P -，()20,2P ，当()10,6P -时，()()22061q q -+-+-解得13q =（舍去），24q =，∴()34,3Q -，如图，当()20,2P 时，()()220215q q -++-=解得13q =（舍去），24q =-，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q 坐标为16525,2Q ⎛- ⎝【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点使得DBC CAB ∠=∠，点E 是弦AC 上一动点（不与点交BC 的延长线于点N ，交O 于点M (1)BD 是O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记BDC ABC ADB ，，的面积分别为(3)若O 的半径为1，设FM x =，FE 自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是O 的切线，证明见解析(2)152+∴在Rt OFM △中，2OF OM =∴211BF BO OF x =+=+-，AF2②若a c=，则A、B关于y轴对称，以综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形(2)当点P 在线段AB 上移动时，设【答案】(1)438+(2)23234312x S x =++【分析】（1）连接BD 、可得PBQ 为等腰直角三角形，则 四边形ABCD 为菱形，∠PB x=，23BQ=，PBQ(1)求点,A B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，【答案】(1)()20A ，，()13B ，；∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∵2OA OB AC BC ====，∴四边形OACB 是菱形，∴BC OA ∥，∵DH BN ⊥，AN BN ⊥，∴DH BC OA ∥∥，∴MBE MHD ∠∠=，MEB MDH ∠∠=∵DE 的中点为点M ，∴MD ME =，∴MBE MHD ≌，∴DH BE =，∵90ANM ∠=︒，∴1809090MBE ANM ∠∠=︒-︒=︒=，∵DE 的中点为点M ，DAE 是等边三角形，∴AM DE ⊥，∴90AME ∠=︒，∴180BME NMA ∠∠+=︒，∴BME NAM ∠∠=，(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,AF DF ①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线坐标．【答案】(1)(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E (2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,3【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解，m-①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==，,OF EF < 2,m ∴=2OF ∴=，(2,0)F ∴．(0,2),D 2OD ∴=，OD OF ∴=．DOF ∴ 是等腰直角三角形，45OFD ∴∠=︒．过点C 作CG x ⊥轴，垂足为G ．(3,1),C 1,3CG OG ∴==，1,GF OG OF =-= ,CG GF ∴=CGF ∴ 是等腰直角三角形，45,GFC ∴∠︒=90,DFC ∴∠=︒DFC ∴ 是直角三角形．②FK 平分,90,DFC DFC ∠∠=︒(1)BP 的长为__________，CM 的长为_________(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 【答案】(1)()4x -；x(2)()(241216024162x x y x x ⎧-+⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x =【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出OM ANP CQM ≌即可；（2）分02x <≤，2<两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意，1AP x x =⨯=()cm ，则∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB ∠=∠=︒∥，∵点O 是正方形对角线的中点，∴,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ PN =，MQ NP ∥∴PNQ MQN ∠=∠，又AD BC ∥，∴ANQ CQN ∠=∠，∴ANP MQC ∠=∠，在,ANP CQM 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ANP CQM ≌，∴()cm MC AP x ==故答案为：()4x -；x ．（2）解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =-==，42QC x =-，则222MCQ BPQy AB S S =-- ()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==-=-，()244PN AP AN x x x =-=--=-+，∴()44416y x x =-+⨯=-+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；当四边形PQMN 是菱形时，则∴()()2242x x x -+=解得：0x =（舍去）②如图所示，当PB =424x x -=-，解得x 当四边形PQMN 是菱形时，则综上所述，当四边形【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．(1)当旋转角COF ∠为多少度时，OE OF =；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)若点(4,3)A ，求FC 的长；(3)如图3，对角线AC 交y 轴于点M ，交直线y x =于点N ，连接FN ，将OFN △1S 与2S ，设12S S S =-，AN n =，求S 关于n 的函数表达式．【答案】(1)22.5︒(2)154FC =(3)212S n =【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出AOG ∠=45EOG ∠=︒，即可求解；（2）过点A 作AP x ⊥轴，根据勾股定理及点的坐标得出5OA =，再由相似三角形的判定和性质求解即可；（3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O 、C 、F 、N 四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN ON =，90FNO ∠=︒，过点N 作GQ BC ⊥于点G ，交OA 于点形的判定和性质得出,CG OQ CO QG ==，结合图形分别表示出1S ，2S ，得出（2）过点A 作AP x ⊥轴，如图所示：∵(4,3)A ，∴3,4AP OP ==，∴5OA =，∵正方形OABC ，∴5OC OA ==，90C ∠=∴90C APO ∠∠==︒，∵AOP COF ∠∠=，∴OCF OPA ∽ ，∴OC FC OP AP=即543FC =，∴154FC =；（3）∵正方形OABC ，∵BC OA ∥，∴GQ OA ⊥，∵90FNO ∠=︒，∴1290∠∠+=︒，∵1390∠∠+=︒，∴23∠∠=，∴(AAS)FGN NQO ≌ ∴,GN OQ FG QN ==，∵GQ BC ⊥，FCO COQ ∠∠=∴四边形COQG 为矩形，∴,CG OQ CO QG ==，∴(211S S ON OQ ===(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，()1,0-，12(2)()2,3（3）解：①如图2，作DH ⊥∵90BQD BDQ ︒∠+∠=，HDF ∠∴QD HDF ∠=∠，∵QE DF =，DH BQ =，∴(SAS)BQE HDF ≌，∴BE FH =，∴BE QF FH QF QH +=+≥，∴Q ，F ，H 共线时，BE Q F +②如图3，作PT y ∥轴，交设22,1T a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，,P a ⎛ ⎝则21132222S a a ⎛=-+++ ⎝∴04S <≤，∴21044m k <-≤，∴0174k <-≤，∴1317k ≤<．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；②若抛物线2y 的顶点P 在直线EA 上，求t 的值；③将抛物线2y 再向下平移，22(1)t -个单位，得到抛物线3y ．若点D 在抛物线【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①3t =；②6t =；③126,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由(0,2),(2,0)A B 得到2OA OB ==，又由90AOB ∠=︒，即可得到结论；（2）由90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒得到AOE BOD ∠=∠，又有AO OB =AOE BOD △≌△；（3）①求出直线AC 的解析式和抛物线1y 的解析式，联立得()23x t -+22(3)43(3)0t t t ∆=+-⨯=-=即可得到t 的值；∵90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒，AOB AOD DOE ∴∠-∠=∠-∠AOE BOD ∴∠=∠，∵,AO OB OD OE ==，(SAS)AOE BOD ∴△≌△；（3）①设直线AC 的解析式为(0,2),(,0)A C t ，∴90EMO OND ∠=∠=︒，90DOE ∠=︒ ，∴EOM MEO EOM NOD ∠+∠=∠+∠∴MEO NOD ∠=∠，∵OD OE =，∴(AAS)ODN EOM ≌，∴,ON EM DN OM ==，∵OE 的解析式为2y x =-，∴设22EM OM m ==,∴DN OM m ==，EM x ⊥ 轴,∴OA EM ∥,∴~CAO CEM ，::OC CM OA EM ∴=,22t t m m∴=+,1t m t ∴=-,∴2221t EM ON OM m t ====-，DN 2,11t t D t t ⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭, 抛物线2y 再向下平移22(1)t -个单位，得到抛物线2222(2)y x t x(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)23232S x x =-+(2)当2x =时，S 的最大值为23∵顶点A 的坐标为()2,23，∴()222234OA =+=，2OG =，∴1cos 2OG AOG AO ∠==，①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)①332t <≤；②3316S ≤≤【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；（2）①由题意易得3,1EF E F EH E H ''''====，然后可得60ABO ∠=︒，则有32EM =，进而根据割补∵四边形ABCD 是菱形，且(3,0),(0,1),(2A B D ∴()()2230012AB AD ==-+-=，AC BD ⊥∴2AC =，∴()3,2C ，故答案为()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）解：①∵点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点13,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点∴矩形EFGH 中，EF x ∥轴，EH x ⊥轴，EF ∴矩形E F G H ''''中，E F x ''∥轴，E H x ''⊥轴，由点()3,0A ，点()0,1B ，得3,1OA OB ==．在Rt ABO △中，tan 3OA ABO OB ∠==，得ABO ∠在Rt BME △中，由1tan 60,12EM EB EB =⋅︒=-此时面积S 最大，最大值为133S =⨯=当1134t =时，矩形E F G H ''''和菱形ABCD 由（1）可知B 、D 之间的水平距离为23，则有点由①可知：60D B ∠=∠=︒，(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH PN<，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与(3)延长PN交半圆O于点Q，当1534NQ x=-时，求【答案】(1)165CE=，25412y x=-+(2)1615或2740或6041(3)17 8【分析】（1）如图1，连接OD，根据切线的性质得出出165CE=；证明四边形APMC是平行四边形，得出MN（2）根据BCE三边之比为3:4:5，可分为三种情况．当:3:4PH PN=时，分别列出比例式，进而即可求解．∵CD 切半圆O 于点D ，∴OD CE ⊥．∵32OA =，1AC =，∴52OC =，∴2CD =．∵BE CE ⊥，∴OD BE ∥，∴CD CO CE CB=，即5224CE =，∴165CE =．∵MN CB ∥，∴四边形APMC 是平行四边形，∴sin 1sin PH PH CM PA ===∠∵MN ME BC CE =，则90AQB AGQ ∠=∠=︒，∴QAB BQG ∠=∠．∵1534NQ x =-，PN y =。

一次函数压轴题精选（含详细答案答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：；点B的坐标：；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG的坐标．折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y 轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．第1页（共99页）的坐标为 ；（1）点C的坐标为的坐标为 ，点B的坐标为（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．两题中任选一题作答，我选择 题．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．8．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC 边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求点D的坐标；（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x﹣2上？请说明理由；（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．10．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣，0）的两条直线分别交y轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD 上寻找点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．11．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CB=CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y=x +4与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y=2x ﹣6上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰Rt △，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．12．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，3），点O（0，0）（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△AʹOP，连接BAʹ，当BAʹ取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B 分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P 与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点Bʹ恰好落在AC边上，求点P 的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，当点C移动到点O时，得是等边三角形，当点始终保持△ACP是等边三角形，轴上移动时，始终保持△点C在x轴上移动时，到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组，请你求出它的解；（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．16．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．17．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．18．平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．（1）当k=1时，求点P的坐标；（2）如图1，点D为P A的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．19．如图，直线y=kx+k交x轴，y轴分别于A，C，直线BC过点C交x轴于B，OC=3OA，∠CBA=45°．（1）求直线BC的解析式；（2）动点P从A出发沿射线AB匀速运动，速度为2个单位/秒，连接CP，设△PBC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在AB的延长线上运动时，过点O作OD⊥PC于D，交BC于点E，连接AE，当∠EAB=∠CPA时，在坐标轴上有点K，且KC=KP，求点K的坐标．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x 轴于点B，过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动，设PD=n．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）若以P为直角顶点，PB为直角边在第一象限作等腰直角△BPC，请问随着点P的运动，点C是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．21．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE=EF．（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．①在点E滑动过程中，AE=EF是否一定成立？请说明理由；②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y=﹣2x+6上，求此时点F的坐标．22．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与，与 对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．23．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，为坐标原点，点点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．（1）当t=时，求直线DE的函数表达式：（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD 2+DE2取最小值时，求点E的坐标．24．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC 上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=﹣3x+b，点B的坐标为．点P沿折线OA﹣AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．（1）请直接写出b的值．（2）求点A的坐标．（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a 2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若QO=QA，求P点的坐标．（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，平面直角坐标系中，已知直线连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B；直线AB与直线y=x交于点A，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q．（1）求证：OB=OC；（2）当点C坐标为（0，3）时，求点Q的坐标；（3）当△OPC≌△ADP时，直接写出C点的坐标．29．如图1，直线AB：y=﹣x﹣b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B 的直线交x轴负半轴与C，且OB：OC=3：1．（1）求直线BC的函数表达式；（2）直线EF：y=x﹣k（k≠0）交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为Pʹ（点Pʹ不在y轴上），连接PPʹ，PʹA，PʹC．设点P的横坐标为m．（1）若点P在第一象限，记直线AB与PʹC的交点为D．当PʹD：DC=5：13时，求m的值；（2）若∠ACPʹ=60°，试用m的代数式表示n；（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△PʹCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．31．如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y 轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．32．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x 对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于y=2x+2，分别令x与y为0求出A与B坐标，根据CO=CD=4，求出D坐标，确定出直线AD解析式即可；（2）存在，如图所示，设出P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时；当BP3=BD时；当BP4=DP4，分别求出P坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=2x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣1，0），又∵CO=CD=4，∴点D的坐标为（﹣4，4），设直线AD的函数表达式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=﹣x+2；（2）存在，设P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时，可得（﹣1+4）2+（0﹣4）2=（p﹣4）2，解得：p=9或p=﹣1，此时P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣1）；当BP3=BD时，则有（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（﹣1+4）2+（0﹣4）2，解得：p=﹣4，此时P 3（﹣4，﹣4）；当BP 4=DP 4时，（﹣1+4）2+（0﹣p ）2=（p ﹣4）2，解得：p=，此时P 4（﹣4，），综上，共有四个点满足要求．分别是P 1（﹣4，9），P 2（﹣4，﹣4），P 3（﹣4，﹣1），P 4（﹣4，）．【点评】此题属于一次函数综合题，此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：涉及的知识有：涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．2．如图，直线L ：y=﹣x +2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点N （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度匀速沿x 轴向左移动． （1）点A 的坐标：的坐标： （4，0） ；点B 的坐标：的坐标： （0，2） ；（2）求△NOM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）在y 轴右边，当t 为何值时，△NOM ≌△AOB ，求出此时点M 的坐标； （4）在（3）的条件下，若点G 是线段ON 上一点，连结MG ，△MGN 沿MG 折叠，点N 恰好落在x 轴上的点H 处，求点G 的坐标．【分析】（1）在y=﹣x+2中，令别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标；（2）利用t可表示出OM，则可表示出S，注意分M在y轴右侧和左侧两种情况；（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2，则可求得M点的坐标；（4）由折叠的性质可知MG平分∠OMN，利用角平分线的性质定理可得到=，则可求得OG的长，可求得G点坐标．【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，∴A（4，0），B（0，2），故答案为：（4，0）；（0，2）；（2）由题题意可知AM=t，①当点M在y轴右边时，OM=OA﹣AM=4﹣t，∵N（0，4），∴ON=4，∴S=OM•ON=×4×（4﹣t）=8﹣2t；②当点M在y轴左边时，则OM=AM﹣OA=t﹣4，∴S=×4×（t﹣4）=2t﹣8；（3）∵△NOM≌△AOB，∴MO=OB=2，∴M（2，0）；（4）∵OM=2，ON=4，∴MN==2，∵△MGN沿MG折叠，∴∠NMG=∠OMG，∴=，且NG=ON﹣OG，∴=，解得OG=﹣1，∴G（0，﹣1）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．的坐标为 （﹣4，2）；（1）点C的坐标为的坐标为 （0，3），点B的坐标为（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3中得y=3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=﹣4代入y=x+3中得y=2，即可求出B点的坐标；（2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD=∠MCD，故MD=CD，所以CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可．【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y=x+3经过点B、C，设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3x+3中得y=3，∴C（0，3）；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y=x+3中得y=2，∴B（﹣4，2）；故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；（2）①证明：∵AB∥y轴，∴∠OCM=∠CMD．∵∠OCM=∠MCD，∴∠CMD=∠MCD，∴MD=CD，∴CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP==3，∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，∴点M的坐标是（﹣4，1）．设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得，解得，故直线l的解析式为y=x+3．【点评】此题考查了一次函数综合题，此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，需要综合利用勾股定理，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点A ，过点C 作CB ⊥y 轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．（1）线段AB ，BC ，AC 的长分别为AB= 8 ，BC= 4 ，AC= 4 ；（2）折叠图1中的△ABC ，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2． 请从下列A 、B 两题中任选一题作答，我选择两题中任选一题作答，我选择 A 题． A ：①求线段AD 的长；②在y 轴上，是否存在点P ，使得△APD 为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． B ：①求线段DE 的长；②在坐标平面内，是否存在点P （除点B 外），使得以点A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出OA=4，OC=8，进而得出AB=8，BC=4，利用勾股定理即可得出AC ；（2）A 、①利用折叠的性质得出BD=8﹣AD ，最后用勾股定理即可得出结论； ②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；B 、①利用折叠的性质得出AE ，利用勾股定理即可得出结论； ②先判断出∠APC=90°，再分情况讨论计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣2x +8的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，∴A （4，0），C （0，8）， ∴OA=4，OC=8，∵AB ⊥x 轴，CB ⊥y 轴，∠AOC=90°， ∴四边形OABC 是矩形， ∴AB=OC=8，BC=OA=4，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AC==4，故答案为：8，4，4；（2）A 、①由（1）知，BC=4，AB=8， 由折叠知，CD=AD ，在Rt △BCD 中，BD=AB ﹣AD=8﹣AD ， 根据勾股定理得，CD 2=BC 2+BD 2， 即：AD 2=16+（8﹣AD ）2， ∴AD=5，②由①知，D （4，5）， 设P （0，y ）， ∵A （4，0），∴AP 2=16+y 2，DP 2=16+（y ﹣5）2， ∵△APD 为等腰三角形， ∴Ⅰ、AP=AD ， ∴16+y 2=25，∴y=±3，∴P （0，3）或（0，﹣3） Ⅱ、AP=DP ， ∴16+y2=16+（y ﹣5）2，∴y=， ∴P （0，），Ⅲ、AD=DP ，25=16+（y ﹣5）2， ∴y=2或8，∴P （0，2）或（0，8）．B 、①、由A ①知，AD=5， 由折叠知，AE=AC=2，DE ⊥AC 于E ，在Rt △ADE 中，DE==，②、∵以点A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 全等， ∴△APC ≌△ABC ，或△CPA ≌△ABC ， ∴∠APC=∠ABC=90°， ∵四边形OABC 是矩形，∴△ACO ≌△CAB ，此时，符合条件，点P 和点O 重合， 即：P （0，0）， 如图3，过点O 作ON ⊥AC 于N ， 易证，△AON ∽△ACO ， ∴，∴， ∴AN=，过点N 作NH ⊥OA ， ∴NH ∥OA ，∴△ANH ∽△ACO ， ∴，∴，∴NH=，AH=， ∴OH=， ∴N （，），而点P 2与点O 关于AC 对称， ∴P 2（，），同理：点B 关于AC 的对称点P 1，同上的方法得，P 1（﹣，）， 即：满足条件的点P 的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，主要考查了矩形的性质和判定，主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，对称的性质，解（1）的关键是求出AC ，解（2）的关键是利用分类讨论的思想解决问题．5．如图，一次函数y=x +6的图象交x 轴于点A 、交y 轴于点B ，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D ，交y 轴于点E ． （1）求直线CE 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与点A ，B 重合），过点P 分别作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足为点M 、N ，是否存在点P ，使线段MN 的长最小？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；（2）设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN 2 =（m﹣）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO，∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA ﹣AC=3， ∴C （﹣3，0），∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO ，∠EBD=∠ABO ， ∴△EBD ≌△ABO ， ∴BE=AB=10， ∴OE=BE ﹣OB=4， ∴E （0，﹣4），设直线CE 的解析式为y=kx ﹣4， ∴﹣3k ﹣4=0， ∴k=﹣，∴直线CE 的解析式为y=﹣x ﹣4，（2）解：存在，（﹣，），如图，∵点P 在直线y=x +6上，∴设P （﹣m ，﹣m +6），∴PN=m ，PM=﹣m +6，根据勾股定理得，MN 2=PN2+PM2=m2+（﹣m +6）2=（m ﹣）2+，∴当m=时，MN 2有最小值，则MN 有最小值，当m=时，y=﹣x +6=﹣×+6=，∴P （﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，主要考查了待定系数法，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C 的坐标，解（2）的关键是得出MN 2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．6．如图1，已知▱ABCD ，AB ∥x 轴，AB=6，点A 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B 在第四象限，点P 是▱ABCD 边上的一个动点． （1）若点P 在边BC 上，PD=CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB ，AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q 落在直线y=x ﹣1上，求点P 的坐标．（3）若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标．（直接写出答案）【分析】（1）由题意点P 与点C 重合，可得点P 坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P 在边AD 上时，②当点P 在边AB 上时，分别列出方程即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当点P 在线段CD 上时．②如图2中，当点P 在AB 上时．③如图3中，当点P 在线段AD 上时．分别求解即可； 【解答】解：（1）∵CD=6， ∴点P 与点C 重合， ∴点P 坐标为（3，4）．（2）①当点P 在边AD 上时， ∵直线AD 的解析式为y=﹣2x ﹣2， 设P （a ，﹣2a ﹣2），且﹣3≤a ≤1，若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．在Rt△PNMʹ中，∵PM=PMʹ=6，PN=4，∴NMʹ==2，在Rt△OGMʹ中，∵OG 2+OMʹ2=GMʹ2，∴22+（2+m）2=m2，解得m=﹣， ∴P （﹣，4）根据对称性可知，P （，4）也满足条件．②如图2中，当点P 在AB 上时，易知四边形PMGMʹ是正方形，边长为2，此时P （2，﹣4）．③如图3中，当点P 在线段AD 上时，设AD 交x 轴于R ．易证∠MʹRG=∠MʹGR ，推出MʹR=MʹG=GM ，设MʹR=MʹG=GM=x ．∵直线AD 的解析式为y=﹣2x ﹣2， ∴R （﹣1，0），在Rt △OGMʹ中，有x 2=22+（x ﹣1）2，解得x=，。