2020-2021学年九年级数学下册第三章圆3.2圆的对称性同步练习新版人教版

国通用版）人教版[第三章 2 圆的对称性]一、选择题1．下列说法中，正确的是( ) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等C ．相等的圆心角所对的弦也相等D ．相等的弦所对的圆心角也相等2．如图K －20－1，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵，∠AOB ＝40°，则∠COD 的度数为( )链接听课例2归纳总结图K －20－1A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°3．在⊙O 中，已知AB ︵＝5CD ︵，那么下列结论正确的是( )A ．AB ＞5CD B ．AB ＝5CDC ．AB ＜5CD D ．以上均不正确4．把一张圆形纸片按图K －20－2所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC ︵的度数是( )图K －20－2A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°5．如图K －20－3所示，在⊙O 中，A ，C ，D ，B 是⊙O 上的四点，OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且AE ＝FB ，下列结论：①OE ＝OF ；②AC ＝CD ＝DB ；③CD ∥AB ；④AC︵＝BD ︵.其中正确的有()国通用版）人教版图K －20－3A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题6．如图K －20－4所示，在⊙O 中，若AB ︵＝CD ︵，则AB ＝______，∠AOB ＝∠______；若OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F ，则OE ______OF .图K －20－47．如图K －20－5，在⊙O 中，AB ∥CD ，AC ︵所对的圆心角的度数为45°，则∠COD 的度数为________．图K －20－58．如图K －20－6，三圆同心于点O ，AB ＝4 cm ，CD ⊥AB 于点O ，则图中阴影部分的面积为________cm 2.9．如图K －20－7，AD 是⊙O 的直径，且AD ＝6，点B ，C 在⊙O 上，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝120°，E 是线段CD 的中点，则OE ＝________.链接听课例2归纳总结国通用版）人教版图K －20－710．如图K －20－8，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，若P 是直径AB 上的一动点，则PD ＋PC 的最小值为________．图K －20－8三、解答题11．xx·海淀区期中如图K －20－9，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，求证：∠B ＝∠C .链接听课例2归纳总结图K －20－912．如图K －20－10所示，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，与AD ，BC 分别交于点E ，F ，延长BA 交⊙A 于点G .求证：GE ︵＝EF ︵.国通用版）人教版链接听课例3归纳总结图K －20－1013．如图K －20－11，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .14．如图K －20－12，点A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点． (1)连接AB ，AD ，AF ，求证：AB ＋AF ＝AD ；国通用版）人教版(2)若P 是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB ，PD ，PF ，写出这三条线段之间的数量关系(不必说明理由)．图K －20－1215．如图K －20－13，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，且CB ︵＝CD ︵，∠CAE ＝∠CAB ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E.(1)试说明：DE ＝BF ；(2)若∠DAB ＝60°，AB ＝6，求△ACD 的面积．图K －20－13国通用版）人教版开放型问题如图K －20－14，⊙O 上有A ，B ，C ，D ，E 五点，且已知AB ＝BC ＝CD ＝DE ，AB ∥DE.(1)求∠BAE ，∠DEA 的度数；(2)连接CO 并延长交AE 于点G ，交AE ︵于点H ，写出三条与直径CH 有关的正确结论(不必证明)．图K －20－14国通用版）人教版详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B “在同圆或等圆中”是弧、弦、圆心角的关系定理成立的前提条件，不可忽视．以上选项中只有“等弧”满足该条件，所以B 正确．2．[解析] B ∵AC ︵＝BD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴∠AOB ＝∠COD .∵∠AOB ＝40°，∴∠COD ＝40°.故选B.3．[解析] C ∵AB ︵＝5CD ︵，∴将弧AB 等分成5份，将每一个分点依次设为E ，F ，M ，N ，连接AE ，EF ，FM ，MN ，NB .∵5CD ＝AE ＋EF ＋FM ＋MN ＋NB ＞AB ，∴AB ＜5CD ，故选C.4．[解析] C 如图所示，连接BO ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，由题意可得EO ＝12BO ，AB ∥DC ，可得∠EBO ＝30°，故∠BOD ＝30°，则∠BOC ＝150°，故BC ︵的度数是150°.故选C.5．[解析] B ①③④正确． 6．[答案] CD COD ＝ 7．[答案] 90° 8．[答案] π[解析] AB ＝4 cm ，CO ⊥AB 于点O ，则OA ＝2 cm.根据圆的旋转不变性，把最小的圆逆时针旋转90°，把中间圆旋转180°，则阴影部分就合成了扇形OAC ，即圆面积的14，∴阴影部分的面积为14×π×(42)2＝π(cm 2)．9．[答案] 323国通用版）人教版[解析] ∵AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝∠AOB ＝120°，∴∠DOC ＝60°.又∵OD ＝OC ，E 为DC 的中点，∴∠COE ＝12∠DOC ＝30°，OE ⊥DC .在Rt △OEC 中，cos30°＝OE OC .∵OC ＝12AD ＝12×6＝3，∴OE ＝323.10．[答案] 10[解析] 作点C 关于AB 的对称点C ′，连接OC ，OD ，OC ′，BC ′.∵BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝60°.∵点C 与点C ′关于AB 对称，∴BC ′＝BC ，∴∠BOC ′＝60°，∴D ，O ，C ′在同一条直线上，∴DC ′＝AB ＝10，即PD ＋PC 的最小值为10.11．证明：∵在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵， ∴∠AOB ＝∠COD .又∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴在△AOB 中，∠B ＝90°－12∠AOB ，在△COD 中，∠C ＝90°－12∠COD ，∴∠B ＝∠C .12．证明：连接AF .∵AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠EAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ， ∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝EF ︵.13．[解析] (1)由等弧所对的圆心角相等推知∠1＝∠COD ＝60°；然后根据圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径知OA ＝OC ，从而证得△AOC 是等边三角形；(2)通过证明同位角∠1＝∠B ，推知OC ∥BD .国通用版）人教版解：(1)△AOC 是等边三角形． 理由：如图，∵AC ︵＝CD ︵，∴∠1＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：由(1)得∠1＝∠COD ＝60°， ∴∠BOD ＝60°.又∵OB ＝OD ，∴∠B ＝60°. ∴∠1＝∠B ，∴OC ∥BD .14．解：(1)证明：连接OB ，OF .∵点A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O ∴AD 是⊙O 的直径， 且∠AOB ＝∠AOF ＝60°. 又∵OA ＝OB ，OA ＝OF ，∴△AOB ，△AOF 是等边三角形，∴AB ＝AF ＝OA ＝OD ，∴AB ＋AF ＝AD . (2)当点P 在BF ︵上时，PB ＋PF ＝PD ； 当点P 在BD ︵上时，PB ＋PD ＝PF ； 当点P 在DF ︵上时，PD ＋PF ＝PB .15．解：(1)∵CB ︵＝CD ︵，∴CB ＝CD .又∵∠CAE ＝∠CAB ，CF ⊥AB ，CE ⊥AD ， ∴CE ＝CF ，∴Rt △CED ≌Rt △CFB ，∴DE ＝BF .(2)连接OD ，OC .∵∠DAB ＝60°，OA ＝OD ， ∴△AOD 是等边三角形，国通用版）人教版∴AD ＝OA ＝OD ＝3，∠ADO ＝∠AOD ＝60°. ∵CB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠COB ＝60°.又∵OD ＝OC ，∴△COD 是等边三角形，∴CD ＝OD ＝3，∠ODC ＝60°，∴∠CDE ＝60°. 在Rt △CDE 中，sin60°＝CE CD ，∴CE ＝3 32， ∴S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×3×3 32＝9 34.[素养提升]解：(1)连接BE ，AD ，∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ， ∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵， ∴BCE ︵＝ABD ︵，∴BE ＝AD .又∵AB ＝DE ，AE 是公共边，∴△ABE ≌△EDA ，∴∠BAE ＝∠DEA . 又∵AB ∥DE ，∴∠BAE ＋∠DEA ＝180°， ∴∠BAE ＝∠DEA ＝90°.(2)答案不唯一，如：①CH 平分∠BCD ；②CH ∥BA ；③CH ⊥AE .【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。

第三章圆第二节圆的对称性精选练习一、单选题1．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．2．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项，然后求解即可．【详解】A 、圆是轴对称图形，正确；B 、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴，正确；C 、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴，错误；D 、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴，正确，故选：C ．【点睛】本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征，注意，语言要严密，不能说成圆的直径就是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，直径是线段．3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.【详解】①直径是圆中最长的弦，故正确；②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；③圆是中心对称图形，故正确；④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，正确的有2个，故选：B.【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.4．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是半圆O 上不同于,A B 的一点，点D 为弧AC 的中点，连结,,OD BD AC ，设,CAB BDO b a Ð=Ð=，则（ ）．A ．a b=B ．290a b °+=C ．290a b °+=D ．45a b °+=【答案】C利用等腰三角形边角关系表示出∠AOD ，再根据同圆中平分弧平分弦垂直弦求出关系即可．【详解】解析 如图，设AC 与DO 交点为E ，连接BC ，OD OB = ，OBD BDO a \Ð=Ð=，2DOA OBD BDO a \Ð=Ð+Ð=，又D Q 为 AC 中点，AB 为O e 直径，,OD AC BC AC \^^，90AED ACB °\Ð=Ð=，90EAO EOA °\Ð+Ð=，即：290a b °+=．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理中同圆中平分弧平分弦垂直弦,等边对等角等有关知识点,难度一般．5．（2020·西安益新中学九年级期末）如图，AB 是O e 的直径，弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，36COD Ð=°，则AOE Ð的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．54°D ．72°【答案】D【分析】由弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，得36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，即可求AOE Ð．解：∵弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，∴36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，18036372AOE Ð=°-°´=°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系，解题关键是熟知在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．6．（2021·全国九年级课时练习）如图，已知：AB 是O e 的直径，C 、D 是 BE上的三等分点，60AOE Ð=o ，则COE Ð是（ ）A ．40oB ．60oC ．80oD ．120o【答案】C【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【详解】∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，∴»BE的度数是120°，∵C 、D 是»BE上的三等分点，∴弧CD 与弧ED 的度数都是40度，∴∠COE=80°，故选C.【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.7．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O 中，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，F 为 CBD的中点，连接AF 、BF 、AC ，A F 交CD 于M ，过F 作FH ⊥AC ，垂足为G ，以下结论：① CFDF =；②HC ＝BF ：③MF ＝FC ：④ DF AH BF AF +=+，其中成立的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：∵F为CBD的中点，∴CF DF=，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴=，CF BF∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴+＝180°，AH CF∴+＝180°，CH AF∴+=+=+=+，故④正确，AH CF AH DF CH AF AF BF故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．8．（2019·武汉市梅苑学校九年级月考）如图AB 为⊙O 的定直径，过圆上一点C 作弦CD AB ^，OCD Ð的平分线交⊙O 于点P ，当点C （不包括A ，B 两点）在⊙O 上移动时，点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分弧DBD ．随C 点移动而移动【答案】B【分析】连OP ，由CP 平分∠OCD ，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，可得2=3,ÐÐ所以有//OP CD ，则OP ⊥AB ，即可得到OP 平分半圆APB ．从而可得答案．【详解】解：连OP ，如图，∵CP 平分∠OCD ，∴∠1=∠2，OC=OP ，\ ∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴//OP CD ，又∵弦CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴OP 平分半圆APB ，即点P 是半圆的中点．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，圆的对称性，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9．（2021·全国九年级课时练习）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=BC，连结OB、OC，延长CO 交弦AB于D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为______________．【答案】【分析】如图1，当∠DOB=90°时，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到=；如图2，当∠ODB=90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC=AB=．【详解】如图1，当∠DOB =90°时，∴∠BOC=90°∴△BOC是等腰直角三角形∴=^如图2，当∠ODB=90°时，即CD AB∴ AD=BD∴ AC=BC∵ AB=BC∴△ABC是等边三角形∴∠DBO=30°∵ OB=5∴BD==∴ BC=AB=．综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．10．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，AD DE=，AB=5，BD=4，则cos∠ECB=__．【答案】3 5【分析】连接AD，BE，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用等弧所对的圆周角相等得：∠ABD=∠CBE，根据等角的余角相等得：∠ECB=∠DAB，最后利用等角的三角函数得出结论．【详解】解：连接AD， BE，AD DE=，∴EBC DBAÐ=Ð，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECB =∠DAB ．AB =5，BD =4 ，3AD \==， ∴3cos cos 5ECB DAB Ð=Ð=．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，余角的性质，以及勾股定理等知识．掌握圆周角的两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．这两个性质在圆的证明题中经常运用，要熟练掌握．11．（2021·全国九年级课时练习）如图，A 、D 是⊙O 上的两点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC ＝_______度．【答案】58【分析】根据∠D 的度数，可以得到∠ABC 的度数，然后根据BC 是直径，从而可以得到∠BAC 的度数，然后可以得到∠OCA 的度数，再根据OA=OC ，从而可以得到∠OAC 的度数．【详解】解：∵∠D=32°，∠D=∠ABC∴∠ABC=32°∵BC 是直径∴∠BAC=90°∴∠BCA=90°-∠ABC=90°-32°=58°∴∠OCA=58°∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=58°故答案为58．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2021·上海九年级专题练习）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为__________米．【答案】0.8或0.2.【分析】构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深.【详解】如图所示，作AB 的垂直平分线，垂足为E ，根据题意，得 AO=0.5，AE=0.4，根据勾股定理，得，∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），∴水深为0.2米或0.8米.故答案为：0.2米或0.8.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解答时，构造垂径定理，活用分类思想是解题的关键.三、解答题13．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：AB CD=．【答案】证明见解析【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．【详解】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PAC12=∠BOC，∠PCA12=∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，∴AD BC=n n，∴AD BD BC BD-=-，即AB CD=．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．14．（2021·全国九年级课时练习）如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．求证：（1）AB＝CD；（2）AE ＝CE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）欲证明AB=CD ，只需证得 AB ＝ CD ；（2）连接AC ，由 AB ＝ CD得出∠ACB=∠CAD ，再由等角对等边即可证的AE ＝CE.【详解】证明：（1）∵AD ＝BC∴ AD ＝ BC∴ AD －AC ＝ BC － AC 即 AB ＝ CD∴AB ＝CD（2）连接AC∵ AB ＝ CD∴∠ACB ＝∠DAC∴AE ＝CE【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.15．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级期中）如图，在O e 中， AC CB=，CD OA ^于点D ，CE OB ^于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB Ð=°，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）如图，连接OC ，先证明,AOC BOC Ð=Ð再证明：,CDO CEO V V ≌从而可得结论；（2）由120AOB Ð=°，2OA =，求解60AOC Ð=°，再利用三角函数求解,OD CD ， 利用,CDO CEO V V ≌从而可得四边形的面积．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，AC BC= ， ,AOC BOC \Ð=Ð,,CD OA CE OB ^^90CDO CEO \Ð=Ð=°，,OC OC =(),CDO CEO AAS \V V ≌.CD CE \=（2）120,AOB Ð=60AOC BOC \Ð=Ð=°，2OA OC == ，1cos 6021,sin 6022OD OC CD OC \=°=´==°==g g ,CDO CEO V V ≌12212CDO CDOE S S \==´´=V 四边形【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，圆的基本性质，两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系定理，解直角三角形的应用，四边形的面积，掌握以上知识是解题的关键．。

圆的对称性一、选择题1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为( )A．2 B．3C．4 D．52、如图3－35所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm3．下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是旋转对称图形．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图3－36所示，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB＝2CD，AB的弦心距等于CD长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是( )A．3∶2 B．5∶2C．5∶2D．5∶45．下列语句中，不正确的有( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③C．②D．②④6.下列语句中不正确的有①平分弦的直径垂直于弦②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴③长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个C.1个D.以上都不对7．如图3－37所示，在⊙O中，弦AB的长为6 cm．圆心O到AB的距离为4 cm，则⊙O的半径长为( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 8．如图3－38所示，C为»AB的中点，CN⊥OB于N，弦CD⊥OA于M．若⊙O的半径为5 cm，ON＝4 cm，则CD的长等于．二、填空题9．如图3－39所示，在⊙O中，AB和AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA的长为．10．P为⊙O内一点，且OP＝8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长为．11.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________.12．(2014•陕西,第17题3分)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．三、解答题13、如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB的长，再量中点到AB的距离CD的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径。

北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性同步测试(原卷版)一．选择题1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在△O上，若△ABC+△AOC＝75°，则△OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°2．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°3.如图所示，在△O中，AB AC，△A＝30°，则△B＝（）A．150° B．75° C．60° D．15°4．如图，AB是△O的直径，△BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD 于点E，DE＝1，则AE的长为（）A．B．C．D．5．如图，△O的半径为3，四边形ABCD内接于△O，连接OB，OD．若△BOD ＝△BCD，则的度数为（）A．60°B．90°C．120°D．150°6.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交BC于E，F 两点，则△EDF的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°7．如图，在△O中，AB＝AC，若△ABC＝57.5°，则△BOC的度数为（）A．132.5°B．130°C．122.5°D．115°8.如图，已知AB，CD是△O的两条直径，且△AOC＝50°，作AE△CD，交△O 于E，则弧AE的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°解：连接BE，OE，9.如图，MN为△O的弦，△M＝50°，则△MON等于（）A．50° B．55° C．65° D．80°10．如图，在扇形OAB中，△AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°11.如图，在△O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（）A．10组B．7组C．6组D．5组12．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD△OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．62二．填空题13．有一块三角板ABC，△C为直角，△ABC＝30°，将它放置在△O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于°14.一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm．15．如图，AB是△O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM△AB，DN△AB，则的度数．16．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数．17．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC 为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为．18．如图，已知AB、BC为△O的弦，AB＝，BC＝1，△AOC＝90°，则△O 半径为．三．解答题19．如图，在△O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．20.如图，AB是△O的直径，AC＝CD，△COD＝60°．（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；（2）求证：OC△BD．21．如图，AB、AC是△O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求△O的半径．22．如图，△O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PB＝PD．求证：AB＝CD．23．如图，AB，AC是△O的两条弦，且＝．（1）求证：AO平分△BAC；（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．24．如图，在△O中，弦AC△BD于点E，连接AB，CD，BC（1）求证：△AOB+△COD＝180°；（2）若AB＝8，CD＝6，求△O的直径．25.如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的△O交AC于点D，若D是AC中点，△ABC＝120°．（1）求△ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性同步测试(解析版)一．选择题1．如图，△ABC的顶点A、B、C均在△O上，若△ABC+△AOC＝75°，则△OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°解：△根据圆周角定理得：△AOC＝2△ABC，△△ABC+△AOC＝75°，△△AOC＝×75°＝50°，△OA＝OC，△△OAC＝△OCA＝（180°﹣△AOC）＝65°，故选：C．2．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：如图，△OA＝OB＝AB，△△OAB是等边三角形，△△AOB＝60°．故选：C．3.如图所示，在△O中，AB AC，△A＝30°，则△B＝（）A．150° B．75° C．60° D．15°解：△在△O 中，AB AC =，△AB ＝AC ，△△B ＝△C ；又△A ＝30°，△△B ＝00180302-＝75°． 故选：B ．4．如图，AB 是△O 的直径，△BOD ＝120°，点C 为弧BD 的中点，AC 交OD 于点E ，DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ． 解：连接OC ．△△DOB ＝120°，△△AOD ＝60°，△＝，△△DOC ＝△BOC ＝60°，△＝，△OD△AC ，设OA ＝r ，则OE ＝r ＝DE ＝1，△OA ＝2，△AE＝＝，故选：A．5．如图，△O的半径为3，四边形ABCD内接于△O，连接OB，OD．若△BOD ＝△BCD，则的度数为（）A．60°B．90°C．120°D．150°解：△四边形ABCD内接于△O，△△BCD+△A＝180°，△△BOD＝2△A，△BOD＝△BCD，△2△A+△A＝180°，解得：△A＝60°，△△BOD＝120°，△的度数为120°故选：C．6.如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交BC于E，F 两点，则△EDF的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°解：△AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11，△AB＝12121311++×360°＝120°，CA＝11121311++×360°＝110°，△△ACB＝12×120°＝60°，△ABC＝12×110°＝55°，△AC△ED，AB△DF，△△FED＝△ACB＝60°，△EFD＝△ABC＝55°，△△EDF＝180°－60°－55°＝65°．故选：C．7．如图，在△O中，AB＝AC，若△ABC＝57.5°，则△BOC的度数为（）A．132.5°B．130°C．122.5°D．115°解：△AB＝AC，△ABC＝57.5°，△△ACB＝△ABC＝57.5°，△△A＝180°﹣△ABC﹣△ACB＝65°，△由圆周角定理得：△BOC＝2△A＝130°，故选：B．8.如图，已知AB，CD是△O的两条直径，且△AOC＝50°，作AE△CD，交△O 于E，则弧AE的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°解：连接BE，OE，△AE△CD△△A＝△AOC＝50°，△AB是直径，△△E＝90°，△B＝40°，△△AOE＝80°，即弧AE的度数为80°．故选：D．9.如图，MN为△O的弦，△M＝50°，则△MON等于（）A．50° B．55° C．65° D．80°解：△OM＝ON，△△N＝△M＝50°．再根据三角形的内角和是180°，得：△MON＝180°－50°×2＝80°．故选：D．10．如图，在扇形OAB中，△AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°解：连结OD，如图，△扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，△BC垂直平分OD，△BD＝BO，△OB＝OD，△△OBD为等边三角形，△△DOB＝60°，△△AOD＝△AOB﹣△DOB＝110°﹣60°＝50°，△的度数为50°，故选：B．11.如图，在△O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（）A．10组B．7组C．6组D．5组解：线段OA，OB，OC，OD每两条都相等，因而有6对；△AOB＝△COD，△AOC＝△BOD，=，AC BD=．故选：A．AB CD12．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD△OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．62解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，△AD△OC，△△1＝△2，△弧AM＝弧DC＝62°，△弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：A．二．填空题13．有一块三角板ABC，△C为直角，△ABC＝30°，将它放置在△O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于120°解：如图，连接OA．.△OA＝OB，△△OAB＝△B＝30°，△△AOB＝120°，△弧AC的度数为120°．故答案为120．14.一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm．解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，135180r＝2π×5×3，解得，r＝40cm．故应填40．15．如图，AB是△O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM△AB，DN△AB，则的度数60°．解：△AB是△O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，△2OM＝OC，2ON＝OD，△CM△AB，DN△AB，△△CMO＝△DNO＝90°，△△MCO＝△NDO＝30°，△△MOC＝△NOD＝60°，△△COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，△的度数是60°，故答案为：60°16．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数72°．解：连接CD，如图所示：△△ACB＝90°，△B＝36°，△△A＝90°﹣△A＝54°，△CA＝CD，△△CDA＝△A＝54°，△△ACD＝180°﹣54°﹣54°＝72°；故答案为：72°．17．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC 为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为或2．解：过B作直径，连接AC交AO于E，△点B为的中点，△BD△AC，如图△，△点D恰在该圆直径的三等分点上，△BD＝×2×3＝2，△OD＝OB﹣BD＝1，△四边形ABCD是菱形，△DE＝BD＝1，△OE＝2，连接OC，△CE＝＝，△边CD＝＝；如图△，BD＝×2×3＝4，同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，连接OC，△CE＝＝＝2，△边CD＝＝＝2，故答案为或2．18．如图，已知AB、BC为△O的弦，AB＝，BC＝1，△AOC＝90°，则△O 半径为．解：作AH△CB交CB的延长线于H，连接AC．由△AOC＝90°，可得△ABC＝135°，在Rt△AHB中，△AB＝，△ABH＝45°，△AH＝BH＝1，在Rt△AHC中，△CH＝CB+BH＝2，AH＝1，△AC＝＝，△OA＝OC，△AOC＝90°，△OA＝OC＝，故答案为．三．解答题19．如图，在△O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．证明：连接BD．如图：△AB＝CD，△，△＝，即，△△B＝△D，△BM＝DM．20.如图，AB是△O的直径，AC＝CD，△COD＝60°．（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；（2）求证：OC△BD．解：（1）△AOC是等边三角形.证明：△AC＝CD，△△1＝△COD＝60°△OA＝OC△△AOC是等边三角形；（2）△ AC＝CD，△OC△AD又△AB是△O的直径，△△ADB＝90°，即BD△AD△OC△BD.21．如图，AB、AC是△O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求△O的半径．（1）证明：连接AD，△点D是的中点，△△CAD＝△BAD，△CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，△△CAD△△BAD（SAS），△△ACD＝△ABD，△△DCE＝△DBF，在△CED和△BFD中，，△△CED△△BFD（ASA），△DF＝DE；（2）解：△四边形ABDC是圆内接四边形，△△DBF＝△ACD，△△ACD＝△ABD，△△ABD＝△DBF，△△ABD＝90°，△△ECD＝△ABD＝90°，△AD是△O的直径，△CD＝BD＝6，CE＝8，△DE＝＝10，△EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，△AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，△AD＝＝6，△△O的半径为3．22．如图，△O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PB＝PD．求证：AB＝CD．证明：如图，连结BD△PB＝PD△△PBD＝△PDB，△优弧＝优弧，△﹣＝﹣，即＝，△AB＝CD．23．如图，AB，AC是△O的两条弦，且＝．（1）求证：AO平分△BAC；（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．证明：（1）连接OB、OC，△AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，△△AOB△△AOC（SSS），△△1＝△2，△AO平分△BAC；（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，△AB＝AC，AO平分△BAC，△AE△BC，设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，解得：x＝5，OE＝3，△半径OA的长＝5．24．如图，在△O中，弦AC△BD于点E，连接AB，CD，BC （1）求证：△AOB+△COD＝180°；（2）若AB＝8，CD＝6，求△O的直径．（1）证明：延长BO交△O 于F，连接DF，AD．△BF是直径，△△BDF＝90°，△DF△BD，△AC△BD，△AC△DF，△△CAD＝△ADF，△＝，△△COD＝△AOF，△△AOB+△AOF＝180°，△△AOB+△COD＝180°．（2）解：连接AF．由（1）可知：＝，△AF＝CD＝6，△BF是直径，△△BAF＝90°，△BF＝＝＝10，△△O的直径为10．25.如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的△O交AC于点D，若D是AC中点，△ABC＝120°．（1）求△ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．解：（1）连接BD ，△以BC 为直径的△O 交AC 于点D ， △△BDC ＝90°，△D 是AC 中点，△BD 是AC 的垂直平分线， △AB ＝BC ，△△A ＝△C ，△△ABC ＝120°，△△A ＝△C ＝30°，即△ACB ＝30°；（2）过点A 作AE△BC 于点E ，△BC ＝3，△ACB ＝30°，△BDC ＝90°， △cos30°＝3CD CD BC ，△CD ， △AD ＝CD ，△AC ＝△在Rt△AEC 中，△ACE ＝30°，△AE ＝12．。