2021年高一上学期第四次周练 数学试题 含答案

2020-2021学年高一数学上学期周练试题四一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡上.）1. 若集合A=｛y| y=｝，B=｛y| y=｝，则A∪B = ( )A. B. C. D.2. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.3.若 ,则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数定义域是，则的定义域是（）A. B. C. D.5.已知函数在上既是奇函数，又是减函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.6. 已知函数（其中）的图象如下面左图所示，则函数的图象是（）f (x)7. 已知奇函数在（0，+ ∞）上为减函数，且，则不等式＞0的解集为（）A． B． C． D．8.已知函数，则满足的实数的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知函数，若存在，当时，，则的取值范围为（）A． B． C． D．10.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C． D．11.若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )A．16B．25C．36D．4912. 设函数，若存在实数(<)，使在上的值域为，则实数的取值范围是 ( )A．B． C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题卷中的横线上.）13.函数的值域为．14．已知函数;若是上的减函数,则实数的取值范围是___ ___.15．函数y＝的单调递增区间是16．若与在区间上都是减函数，则实数的取值范围是17.已知在定义域是单调函数，当时，都有，则的值是___________.18.若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是_______.三．解答题（共76分）19. (本小题满分12分）已知集合，．(Ⅰ)若，求()；(Ⅱ)若，求实数的取值范围．20（本小题15分）.已知函数，（Ⅰ）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；（Ⅱ）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.21.（本小题满分15分）已知函数.（1）讨论的奇偶性;（2）当时，求在区间的最小值.22（本小题满分15分）.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界。

甘肃省平凉市庄浪县第一中学2021届高三上学期第四次模拟数学试题（理）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合(){}30S x x x =-≤，1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则S T ⋃=（ ）A. [)0,+∞B. (]1,3C. [)3,+∞D. (](),01,-∞+∞『答案』D 『解析』(){}(){}(][)30=30,03,S x x x x x x =-≤-≥=-∞⋃+∞，{}()111101,2x T x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=->=+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，因此，(](),01,S T =-∞+∞.故选：D.2. 圆224x y +=上的点到直线43250x y -+=的距离的取值范围是（ ） A. []3,7 B. []1,9 C. []0,5 D. []0,3『答案』A『解析』224x y +=，圆心()0,0，半径2r，圆心到直线43250x y -+=的距离5d ==，所以圆上的点到直线的距离的最小值为523-=，最大值为527+=，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[]3,7. 故选：A.3. 据记载，欧拉公式i e cos isin ()x x x x =+∈R 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x =π时，得到一个令人着迷的优美恒等式e 10i π+=，将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数i 4ez π=的共轭复数为z ，则z =（ ）A. -B. +C.22+ D.- 『答案』D『解析』因为复数i 4ecos isin 4422z πππ==+=+，所以22i z =-， 故选：D.4. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯(p q ≤且p ､*q ∈N )是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为（ ）A. 101031-B. 10103C. 101131-D. 10113『答案』A『解析』当n 为偶数时，()30nf =；当n 为奇数时，()11122233323n n n nf +--=-=⨯；所以数列(){}3nf 的前2020项和()021*******23333S=+++⋅⋅⋅+()01010101031323113-=⨯=--.故选：A.5. 在不超过20的素数(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数)中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是（ ） A.114B.115C.116D.117『答案』A『解析』不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19，从中任取2个，有2828C =种取法，其中满足和等于20的取法有31720,71320+=+=共2，根据古典概型的概率公式得所求概率为212814=. 故选：A.6. 已知90ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABC ，若1PA AB BC ===，则四面体P ABC 的外接球（顶点都在球面上）的体积为（ ）A. πB.C. 2πD.2『答案』D『解析』取PC 的中点O ，连接OA ，OB ，由题意得PA BC ⊥，又因为,AC BC PC AC A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PB ⊥，在1,2Rt PBC OB PC ∆=， 同理12OA PC =，所以12OA OB OC PC ===，因此P ，A ，B ，C 四点在以O 为球心的球面上，在Rt ABC ∆中，AC ==在Rt PAC ∆中，PC ==球O 的半径12R PC ==，所以球的体积为34322ππ⎛⎫=⎪⎝⎭， 故选：D.7. 若曲线()ln y x a =+的一条切线为e y x b =-（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则1e 1a b+的取值范围是( ) A. [)2,e B. (],4eC. [)2,+∞D. [)e,+∞『答案』C『解析』()ln y x a =+，1y x a ∴'=+，设切点为()00,x y ，则()000ln 1e e x a x b x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，2e a b ∴+=，()e e 1e 1111122e 2e b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴.,,0e a b > ∴原式2122⎛≥+= ⎝，当且仅当e e b a a b =，即1,1ea b ==时等号成立， 即1e 12a b+≥. 故选:C.8. 在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ）A. 2ln n +B. 2(1)ln n n +-C. 2ln n n +D. 1ln n n ++『答案』A『解析』在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--ln 2n =+故选A.9. 若将函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向左平移3π个单位长度后.得到的函数图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.则函数()()cos g x x ϕ=+在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）． A.1-B. C. 12-D. 0『答案』D『解析』将函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向左平移3π个单位长度后.得到图象解析式为2()sin 2sin 233h x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣π⎦π，它的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， 则22,23k k ϕ⨯++=πππ∈Z ，又0ϕ<<π，所以3ϕ=π，所以()cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎝π⎪⎭，,26x ππ⎡⎤-⎢⎥∈⎣⎦时，,362x ⎡⎤+∈-ππ⎢⎣π⎥⎦，所以()cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎝π⎪⎭最小值为0，此时6x =π． 故选：D ．10. 已知椭圆2212516x y +=两焦点12,F F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的的内切圆半径为（ ）A.B.C.D. 『答案』B『解析』2212516x y +=，22225,16,9a b c ===， 由题意得12+210F P PF a ==，1226F F c ==，由余弦定理得()222221212121212121212+cos 222PF PF F P PF F F PF PF F F F PF PF PF F P PF +-⋅--∠⋅==⋅， 得12643F P PF ⋅=，1212116416sin sin 60223PF F S PF PF θ=⋅=⨯⨯=设内切圆的半径为r ，则()121212111622PF F SPF PF F F r r =++=⨯⨯=，所以3r =故选：B.11. 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为12O O O ，，，若一动点P 从点A 出发，按路线A O B C A D B →→→→→→运动(其中12A O O O B ，，，，五点共线)，设P 的运动路程为x ，21=y O P y ，与x 的函数关系式为(=)y f x ，则(=)y f x 的大致图象为（ ）A. B.C. D.『答案』A『解析』根据题图中信息，可将x 分为4个区间，即]022[)4[)[)4[6，，，，，，，， 当0[)x ，时，函数值不变，21=1y O P；当)2[x ，时，设2O P 与21O O 的夹角为θ，∵21O P|，212O O ，x θ=-，∴221221=54cos 5+(4c s )o x yO P O P O O －∴()y f x ＝的图象是曲线，且单调递增；根据图象排除CD 当)4[2x，时， 11O P OP OO =-，设OP 与1OO 的夹角为α,|2OP =|，11OO =，2()222x x ，221154cos54cos 2()yO PO OO xP －，函数()y f x ＝的图象是曲线，且单调递减. 根据图象排除B,结合选项知选A.12. 设实数k ，已知函数f (x )=1e ,01,1x x x x ⎧≤<⎨-≥⎩，若函数()y f x k =-在区间[)0,+∞上有两个零点1212,()x x x x <，则211()()x x f x -的取值范围是（ ） A. 2[1,e ] B. [1,]e - C. 2[e,e ) D. 2[2,e )『答案』D『解析』因为函数()y f x k =-在区间[)0,+∞上有两个零点1212,()x x x x <， 即方程()0f x k -=在区间[)0,+∞上有两个实数根1212,()x x x x <，即函数()y f x =和y k =的图象存在两个交点，画出两个函数的图象，如图所示， 由图象可得1e k ≤<，因为12e 1xx k =-=，所以12ln ,1x k x k ==+，令()2211()()(1ln )ln g k x x f x k k k k k k k =-=+-=+-，则()21ln 12ln g k k k k k '=+--=-，当1e k ≤<时，由函数2y k =与ln y k =的图象可知2ln k k >， 所以()2ln 0g k k k '=->，所以函数()g k 在区间[1,e)上单调递增， 所以()()()1e g g k g ≤<，即()22e g k ≤<，所以211()()x x f x -的取值范围是2[2,e ).故选：D.二、填空题（本大题共20分，含4小题，每小题5分.）13. 已知等差数列{}n a 前n 项的和为n S ，若12020OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线(该直线不过点O )，则2020S =________________ 『答案』1010『解析』因为12020OB a OA a OC =+，且A ,B ,C 三点共线（该直线不过点O ）, 所以120201a a +=, 因为等差数列{}n a , 所以()120202020202010102a a S +⨯==,故答案为：101014. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数()y f x =满足如下条件：（1）在闭区间[],a b 上是连续不断的； （2）在区间(),a b 上都有导数．则在区间(),a b 上至少存在一个数ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，其中ξ称为拉格朗日中值．则()xg x e =在区间[]0,1上的拉格朗日中值ξ=________．『答案』()ln 1e -『解析』()xg x e =，则()xg x e '=，所以()g e ξξ'=，由拉格朗日中值的定义可知，()()()10110g g g e ξ-'==--，即1e e ξ=-， 所以()ln 1e ξ=-． 故答案为: ()ln 1e -. 15. 设函数()()221log 12xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则使得f (12)>f (3x -1)成立的x 的取值范围是___________. 『答案』1162⎛⎫⎪⎝⎭，『解析』由题得函数的定义域为R. ()()()221log 12xf x x f x -⎛⎫⎡⎤-=-+- ⎪⎣⎦=⎝⎭，所以函数是偶函数.当0x>时，()22log 112,xy x y ⎛⎫- ⎝+=⎪⎭=都是增函数，所以()()221log 12xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，是增函数，所以函数在(0,)+∞是增函数，在0)∞（-,上是减函数. 因为f (12)>f (3x -1)，所以111>|31|262x x -∴<<，. 故答案为：1162⎛⎫⎪⎝⎭，.16. 若对任意1,12x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，都有2012212nn x a a x a x a x x x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅--，（n 为正整数），则13a a 的值等于_______. 『答案』4 『解析』2012212nn x a a x a x a x x x=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅--()()()()()2220120121033211222n n x x x a a x a x a x a aa x a a a x a a a x ∴=+-+++++=++++-++-+∴001210321012020a a a a a a a a a =⎧⎪+=⎪⎨+-=⎪⎪+-=⎩,解得：0123=0,=1,=-1,=3a a a a ，即13=4a a . 故答案为：4.三、解答题：(本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17. 如图，在圆内接ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若点D 是劣弧AC 上一点，AB =2，BC =3，AD =1，求四边形ABCD 面积解：（1）由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=， 得sin 2sin cos B B B =. 因为0,sin 0B B π<<≠，所以1cos 2B =，即3B π=.（2）在ABC 中AB =2，BC =3，3B π=，222249cos 3212AB BC AC AC AB BC π+-+-==⋅，解得AC =在ADC中，1AC AD ==，A ，B ，C ，D 在圆上， 因为3B π=，所以23ADC ∠=π，的所以22222171cos 3222AD DC AC DC AD DC DC π+-+-===-⋅， 解得2DC =或3DC =-（舍去），所以四边形ABCD 的面积121sin sin 2323ABCADCS SSAD DC AB BC ππ=+=⋅+⋅=. 18. 2018年至今，美国对“中兴”、“华为”等中国高科技公司进行疯狂的打压，引发国内“中国芯”研发热潮，但芯片的生产十分复杂，其中最重要的三种设备，刻蚀机、离子注入机、光刻机所需的核心技术仍被一些欧美国家垄断国内某知名半导体公司组织多个科研团队，准备在未来2年内全力攻关这三项核心技术已知在规定的2年内，刻蚀机、离子注入机和光刻机所需的三项核心技术，被科研团队A 攻克的概率分别为34，23，a ，各项技术攻关结果彼此独立．按照该公司对科研团队的考核标准，在规定的2年内，攻克刻蚀机离子注人机所需的核心技术，每项均可获得30分的考核分，攻克光刻机所需的核心技术，可获得60分的考核分，若规定时间结束时，某项技术未能被攻克，则扣除该团队考核分10分．已知团队A 的初始分为0分，设2年结束时，团队A 的总分为X ，求：（1）已知团队A 在规定时间内，将三项核心技术都攻克的概率为16，求该团队恰能攻克三项核心技术中的一项的概率； （2）已知12a =，求总分X 不低于50分的概率． 解：（1）三项核心技术都攻克的概率为321436a ⨯⨯=，故13a = 恰能攻克三项核心技术中的一项的概率3121221111143343343336⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （2）若三项技术都攻克，则120X =，3211(120)4324P X ==⨯⨯=；若攻克光刻机技术和刻蚀机、离子注入机中的一项， 则80X =，3111215(80)43243224P X ==⨯⨯+⨯⨯=； 若技术刻蚀机和离子注入机，但未攻克光刻机技术，则50X =，3211(50)4324P X ==⨯⨯=； 所以，15117(50)424424P X ≥=++= 19. 如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，面BEFC ⊥面ADEB ，4AB =，60DEB ∠=︒，G 是DE 的中点.（1）求证：//CE 平面AGF ； （2）求点D 到平面AGF 的距离；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45︒，若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由.（1）证明：交AF 于H ，连接HG ，根据柱体的性质可知//,AD CF AD CF =，所以四边形ADFC 是平行四边形， 所以H 是AF 的中点，由于G 是DE 的中点， 所以//HG CE ，由于HG ⊂平面AGF ，CE ⊂平面AGF ， 所以//CE 平面AGF .（2）解：因为四边形BEFC 是正方形，所以BC BE ⊥， 因为面BEFC ⊥面ADEB ，面BEFC ⋂面ADEB BE =， 所以BC ⊥平面ADEB ，则,BC BE BC BG ⊥⊥.因为60DEB ∠=︒，2,1GE BE ==，在三角形BGE 中由余弦定理得BG ==所以222BE BG GE +=，所以BG BE ⊥. 以B 为原点，建立如图所示空间直角坐标系.则)()()()(),2,0,0,1,1,1,0,0,1,0GA F D E --.()()()3,2,0,3,1,1,3,1,0AG GF DG =-=-=-.设平面AGF 的法向量为()1111,,x n y z =，则111111132030n AG y n GF yz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令12x =，则11y z ==(2,3,n=. 设D 到平面AGF 的距离为d ，则310DG n d n⋅===. （3）解：假设线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45︒.设()0,0,P h ， 则()GP h =-，()0,1,EP h =-. 设平面PGE 的法向量为()2222,,n x y z =，则22222230n GP x hz nEP y hz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21z =则22x y h ==， 所以2,,13h n h ⎛⎫=⎪⎝⎭. 由于BC ⊥平面ADEB ，所以()0,0,1BC =，是平面BGE 的一个法向量，所以222cos,BC n BC n BC n h ⋅===⋅，解得h =. 所以在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45︒，且BP =.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1P .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两直线1l 与2l 分别交椭圆C 于A ､B 两点，若直线1l 与2l 的斜率互为相反数，求AB 的最大值.解：（1）由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P .可得22222411c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩C 的方程为22163x y +=. （2）设直线1l 为()21y k x =-+，则直线2l 为()21y k x =--+，联立方程组()2221163y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()()222221488840k x k k x k k ++-+--=，由()()()()22222844218841610k kk k k k ∆=--+--=+>，解得1k ≠-，又由2288421A P k k x x k --=+，可得2244221A k k x k --=+，则()222412121A A k k y k x k --+=-+=+， 同理可得：2244221B k k x k +-=+，2224121B k k y k -++=+，所以()()()222222221281281612144A B A B k AB x x y y k k k =-+-==≤=+++， 当且仅当12k =±时，等号成立，因此，AB 的最大值为4.21. 已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性.（2）若()()2112g x x x a f x =--+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，求证:()()12152ln 28x g x g -≥-. 解：（1）由题意得，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，()11f x a x '=-+. 当0a ≤时，()101f x a x '=->+， ∴函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得11x a=-+.若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）()()21ln 12g x x x a x =+-+，0x >，()()11g x x a x '∴=+-+()211x a x x-++=.由()0g x '=得()2110x a x -++=，()240321a a ∆=+⇒-≥> 121x x a ∴+=+，121=x x ，211x x ∴=.32a ≥，512a +≥，12x x < 111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得1102x <≤.()()12x g x g ∴-()()()221121221ln12x x x a x x x =+--+-21121112ln 2x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 设()221112ln 022x h x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()22331210x h x x x x x-'=--=-<，∴函数()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.∴当112x =时，()min 1152ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 32a ∴≥时，()()12152ln 28x g x g -≥-成立.选做题：请考生在第22-23题中任选一题．．．．作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为(x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的直角坐标方程； （2）若曲线1C 、2C 交于M 、N两点，P ，求11||||PM PN +的值．解：（1）曲线1C的参数方程为(x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）sin tan cos ϕϕϕ==．所以222sin 3cos x ϕϕ=①，2212cos y ϕ=②， ②-①得：22123y x-=．曲线2C的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，转换为直角坐标方程为0x -=．（2）点P在直线0x -=上，转换为参数方程为2(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入22123y x -=，得到21240(t t ++=和2t 为点M 和N 对应的参数），所以12t t +=-，1224t t =，所以1212113t t PM PN t t ++==． 23. 已知0a >，0b >，332a b +=，证明： （1）()()554a b a b++≥；（2）2a b +≤.证明：（1）由柯西不等式得：553324a b a b a b ++≥+（）（）（）＝，当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时取等号； （2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）『（a +b ）2﹣3ab 』＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2，∴()()323a ba b+-=+ab，由均值不等式可得：()()323a ba b+-=+ab≤2()2a b+∴（a+b）3﹣2()3 34a b+≤，∴14（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．。

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江西省宜春市20１7－2０18学年高一数学上学期第四次周练试题考试时间：10０分;总分:100分一、选择题（本大题共12小题,共４8．0分）1．已知全集，集合,则等于Ａ. B。

Ｃ. D.2.已知,则的大小关系为A。

B. Ｃ. D。

3.已知函数对任意恒有成立,则实数ａ的取值范围是A. B. C. Ｄ．４.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,则该圆锥的母线与轴所成的角为Ａ。

B。

C. Ｄ.5.如图中的几何体是由下面哪个三角形绕直线旋转所得到的Ａ．B. Ｃ. Ｄ.6．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为１：16,截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长是A. 9cmB。

1０cmC. 12cmD。

１５cｍ７．如图,正方形的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原平面图形的周长是.A.12B.1６C．D．8．已知某锥体的正视图和侧视图如图，则该锥体的俯视图不可能是Ａ. ﻩB．C. Ｄ．９．已知:空间四边形ABＣD如图所示，E、Ｆ分别是AＢ、AD的中点,Ｇ、H分别是上的点，且．,则直线ＦH与直线A。

平行ﻩﻩﻩ B. 相交C. 异面ﻩﻩﻩＤ。

垂直1０.正方体棱长为分别是棱的中点,则过三点的平面截正方体所得截面的面积为A．ﻩﻩＢ。

2021年高三上学期第四次周测数学试题含答案一．选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1．已知全集U=R，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是( )2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．3. 已知函数是定义在区间上的奇函数，若，则的最大值与最小值之和为（）A．0 B．2 C．4 D．不能确定4．设，则的大小关系是( )A．B．C．D．5．已知，，则的值为（）A．B．C．D．6. 中，角的对边分别为,设的面积为，，则角等于（）A．B．C．D．7．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（）A．B．C．D．8.在中，已知，，点在斜边上，，则的值为（）A．B．C．D．9．在中，角的对边分别为，若，则的值为（）A．B．C．D．10. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意∈，都有成立，则称和是上的“密切函数”，区间称为和的“密切区间”.若,在上是“密切函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11．椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于，两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．已知是定义在上的奇函数，当0 < x < 3时，那么不等式的解集是（）A．B．C ．D ．二．填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置．) 13．对于实数，表示不超过的最大整数，观察下列等式：910111213141521⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦按照此规律第个等式等号右边为 ． 14．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是 ．15．已知函数，则函数的零点个数为 个．16．在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．已知点 是角终边上一点，，定义．对于下列说法： ①函数的值域是； ②函数的图象关于原点对称；③函数的图象关于直线对称； ④函数是周期函数，其最小正周期为； ⑤函数的单调递减区间是 其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）三．解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足． （1）求S n 与数列{a n }的通项公式；（2）设（n ∈N *），求使不等式成立的最小正整数．18．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生都要参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为五个等级.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数； （2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为. 在至少一科成绩为的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD 平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且，点F 为PD 中点.第（18）题图（1）若，求证：直线AF 平面PEC ；（2）是否存在一个常数，使得平面PAB 平面PED ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分） 已知抛物线和直线，直线与轴的交点，过点的直线交抛物线于、两点，与直线交于点。

卜人入州八九几市潮王学校长安区第五二零二零—二零二壹高一数学上学期第4次检测试题〔总分120分〕一选择题(一共10题，每一小题5分，一共计50分)1.以下说法正确的选项是〔〕A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点2.线段AB 在平面α内，那么直线AB 与平面α的位置关系是().A.AB 真包含于αB.AB 不包含于αC.由线段AB 的长度决定D.以上都不对3.垂直于同一条直线的两条直线一定〔〕。

A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能4.一个长方体的长，宽，高的比为1:2:3，对角线长是cm ，求它的体积为()A.243cmB.483cm C.3D.336cm5.假设直线l 平行于平面α，直线a 在平面α内，那么直线l 与a 的位置关系〔〕。

A.l 与a 平行B.l 与a 异面C.l 与a 异面D.l 与a 没有公一共点6.过空间两点做直线l 的垂面〔〕。

A.能做一个B.最多只能做一个C.可做多个D.以上都不对7.长方体1111ABCD A B C D -中，底面两边:7:24BC AB =,对角面11ACC A 的面积是50，那么该长方体的侧面积是〔〕。

A.67B.160C.124D.808.如图，一个几何体的三视图，根据图中数据，可求该几何体的外表积是〔〕。

A.9πB.10πC.11πD.12π9.用与球心间隔为1().A.83πB.3C.10．如图示，在空间四边形ABCD 中，点,E H分别是, AB AD ，且23CF CG CB CD ==那么〔〕。

A.EF 与GH 互相平行B.EF 与GH 互相异面C.EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上 D.EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上二．填空题(一共5题，每一小题5分，一共计25分)11.一个几何体的三视图中，主视图，左视图和俯视图都一样，那么这个几何体是。

2021年高三上学期第四次周考（文）数学试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数( )2.已知集合22210,log 2log 3,Mx x Nx x x Z ，则( )3.等差数列中，则的前8项和为( )5.给出右面的程序框图，若输入的的值为-5，则输出的值是( )6.设满足约束条件，若目标函数的最大值是12，则的最小值是( )7.下列说法中正确的是( )命题“若，则”的否命题为：“若，则”已知是上的可导函数，则“” 是“是函数的极值点”的必要不充分条件 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有” 命题“角的终边在第一象限，则是锐角”的逆否命题为真命题 8.已知函数()3=sin 3cos ,44f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫--+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则( )最大值为2，且图象关于点对称 周期为，且图象关于点对称最大值为2，且图象关于对称 周期为，且图象关于点对称9.某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是( )10.已知中，角的对边分别是，若，则是( )等边三角形 锐角三角形 等腰直角三角形 钝角三角形11．经过双曲线的右焦点为作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于两点，若为坐标原点，的面积是，则该双曲线的离心率是( )12.已知的定义域为，且，则不等式的解集为( )第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知为奇函数，且当，则____________.14.平面向量满足，且，则在方向上的投影为____________.15.已知曲线与轴交点为，分别由两点向直线作垂线，垂足为，沿直线将平面折起，使平面，则四面体的外接球的表面积为____________.16.在正方体中，是的中点，且，函数，的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线（为自然对数的底数），则实数的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18. （本小题满分12分）甲、乙两位同学从共四所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学甲特别喜欢高校，他除选高校外，再会在余下的3所中随机选1所；同学乙对4所高校没有偏爱，在4所高校中随机选2所.（1）求乙同学选中高校的概率；（2）求甲、乙两名同学恰有一人选中高校的概率.19. （本小题满分12分）如图，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，，分别为的中点，为底面的重心.（1）求证：；（2）求证：.20. （本小题满分12分）已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为4.（1）求的值；（2）设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，当时，求的取值范围.21. （本小题满分12分）设函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，的最大值为，求的取值范围.请考生在22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为，是上任意一点，点在射线上，且满足，记点的轨迹为. （1）求曲线的极坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若函数的图象恒在函数的图象的上方，求实数的取值范围.吉安一中xx学年度上学期周考（四）高三数学参考答案（文科）一、选择题二、填空题17.（1）当时，由，得：———————1分由①② ———————2分 上面两式相减，得： ———————4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，得： ———————6分 （2） ———————7分 ———————9分1211111111=1=12233411n nT c c c n n n ———————12分（2）甲、乙两位同学选择高校的情况有以下18种:,;,;,;,;,;,;AB AB AB AC AB AD AB BC AB BD AB CD ,;,;,;,;,;,;AC AB AC AC AC AD AC BC AC BD AC CD,;,;,;,;,;,;AD AB AD AC AD AD AD BC AD BD AD CD ———————8分而甲、乙两位同学恰有一人选中高校有9种———————10分 设甲、乙两位同学恰有一人选中高校的事件为，则———————12分 19.（1），且 ———————1分 又———————2分 ，又60,3BAFBF a 根据余弦定理，———————4分 ———————5分 又,AFADF ADF CBF 平面平面平面———————6分（2）取中点，连接———————7分 ，———————9分 从而，———————10分 ———————11分为底面的重心，———————12分20. （1）由题意知交点坐标为———————2分代入抛物线解得———————4分（2）抛物线的焦点，设直线方程为与抛物线联立化简得———————6分设，则———————7分22222121214144441AB k x x x x k k k———————8分圆心到直线的距离为———————9分22221542525211kCD dk k10分222422542=81+5485941kk k k kk———————11分又，所以的取值范围为.———————12分21.（1）当时，12110,,1x xx xf x f f x fe e e，所以曲线在点处的切线方程为（2）212122x xa x a xa x a x af xe e令———————6分①当时，在递减，在递增当，②当时，在递减，在递增1201,113aaa af a a aae解得所以③当时，在递减， ④当时，在递减，在递增222454422,553a f a aae e e 解得所以⑤当时，在递增，不合题意———————11分 综上所述：的取值范围为———————12分 第（2）问另解： 当时的最大值为，等价于可化为对于恒成立———————7分 令222221,11x xxx x e x g xg x ex x exx 则于是在递增，在递减的取值范围为———————12分 22．（1）设1111,,,,sin 2,4,PM消去，得———————5分（2）将，的极坐标方程转化为直角坐标方程，得 是以为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线的距离故曲线上的点到直线的距离的最大值为———————10分 23.（1）不等式化为111122121412142114x xxx xx xx x或或———————3分，所以不等式的解集为———————5分 （2）由于函数的图象恒在函数的图象的上方 ———————6分即不等式恒成立———————7分 令12211222h xx x x x由，得———————9分所以实数的取值范围———————10分27870 6CDE 泞kX30103 7597 疗20002 4E22 丢 36438 8E56 蹖36523 8EAB 身20895 519F 冟27593 6BC9 毉30718 77FE 矾22597 5845 塅。

浙江省衢州市某校高一（上）第四次周考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1. 已知全集U=R，集合A={x|−2≤x<3}，B={x|x<−1或x≥4}，那么集合A∩B等于（）A.{x|−1<x<3}B.{x|x≤−1或x>3}C.{x|−2≤x<−1}D.{x|−1≤x<3}2. 如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.A∩BB.A∪BC.B∩(∁U A)D.A∩(∁U B)3. 下列判断正确的是( )A.1.72.5>1.73B.0.82<0.83C.π2<π√2D.1.70.3>0.90.3的定义域是（）4. 函数y=1−√1−xA.(−∞, 1]B.(−∞, 0)∪(0, 1]C.(−∞, 0)∪(0, 1)D.[1, +∞)5. 若函数f(x)=4x2−kx+2k在[−1, 2]上为减函数，则实数k的取值范围为（）A.[16, +∞)B.(−∞, −8]C.[−8, 16]D.(−∞, −8]∩[16, +∞)在其定义域内是( )6. 函数f(x)=2x+12x−1A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（）7. 函数y=ax2+a与y=axA. B.C. D.8. 已知g(x)=1−2x ，f[g(x)]=1−x 2x 2(x ≠0)，则f(12)等于( ) A.15 B.1C.3D.309. 函数f(x)={x 2−x +1，x <11x ，x >1的值域是（ ） A.(0, +∞) B.(0, 1)C.[34, 1)D.[34, +∞)10. 已知函数f(x)=2x +a ⋅2−x (x ∈R)，则对于任意实数a ，函数f(x)不可能是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.单调递增函数 D.单调递减函数二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）设A ={x|x 2−x =0}，B ={|x|x|x ∈R, x ≠0}，则A ∪B =________．计算：(94)12−(−9.6)0−(278)−23+(1.5)−2=________．已知函数f(x)=a −x (a >0且a ≠1)满足f(−2)>f(−3)，则函数g(x)=a 1−x 2的单调增区间是________．已知2x +2−x =3，则 4x +4−x =________．定义在R 上的函数f(x)满足f(x +y)=f(x)+f(y)+2xy(x ， y ∈R )，f(1)=2，则f(−3)=________．三、解答题：（本大题共5小题，共75分）（1）设全集U =Z ，集合A ={x 2, 2x −1, −4}，B ={x −5, 1−x, 9}，若A ∩B ={9}，求A ∪B ，(∁U A)∩B ；（2）求函数f(x)=(12)x2−2x+4的定义域和值域．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a, a+1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[−1, 1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．已知函数f(x)=ax+bx2+1．（1）当a=0，b=1时，求f(x)的值域；（2）当a<0，b=0时，判断并证明f(x)在(1, +∞)上的单调性．已知函数f(x)=x2+3x|x−a|，其中a∈R．（1）当a=2时，把函数f(x)写成分段函数的形式，并画出函数f(x)的图象；（2）指出a=2时函数f(x)单调区间，并求函数在[1, 3]最大值和最小值．已知指数函数g(x)=a x满足：g(−3)=18，定义域为R的函数f(x)=g(x)−1g(x)+m是奇函数．（1）求f(x)的解析式；（2）判断f(x)在其定义域上的单调性，并求函数的值域；（3）若不等式：t⋅f(x)≥4x−2x+2+3对x∈[1, 2]恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析浙江省衢州市某校高一（上）第四次周考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】由题意全集U=R，集合A={x|−2≤x<3}，B={x|x<−1或x≥4}，根据交集的定义计算A∩B．【解答】解：∵集合A={x|−2≤x<3}，B={x|x<−1或x≥4}，∴集合A∩B={x|−2≤x<−1}，故选C．2.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算交、并、补集的混合运算【解析】由图可知(∁U A)∩B即为所求．【解答】解：由图可知，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B，故选C．3.【答案】D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用指数函数单调性的应用【解析】本题中四个选项中A，B，C三个是指数型函数，D选项中函数是幂函数类型的，依据相关的函数单调性验证那个判断是正确的即可．【解答】解：对于选项A：考察函数y=1.7x性质知1.72.5<1.73，A不正确；对于选项B：考察函数y=0.8x性质知0.82>0.83，B不正确；对于选项C：考察函数y=πx性质知π2>π√2，C不正确；对于选项D：考察函数y=x0.3性质知1.70.3>0.90.3，D正确.由上分析知，判断正确的是D．故选D．4.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】由已知中函数y=1−√1−x 的解析式，我们根据使函数y=1−√1−x的解析式有意义的原则，可以构造一个关于x的不等式组，解不等式组，可得函数的定义域．【解答】解：要使函数y=1−√1−x的解析式有意义x须满足{1−x≥01−√1−x≠0解得x∈(−∞, 0)∪(0, 1]即函数y=1−√1−x的定义域是(−∞, 0)∪(0, 1]故选B5.【答案】A【考点】二次函数的性质【解析】先将函数明确对称轴，再由函数在[−1, 2]上为减函数，则对称轴在区间的右侧求解．【解答】解：函数f(x)=4x2−kx+2k的对称轴为：x=k8，函数开口向上，∵函数在[−1, 2]上为减函数，∴k8≥2，∴k≥16，实数k的取值范围为[16, +∞)．故选：A．6.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断函数的定义域及其求法【解析】先求出函数定义域，然后根据奇偶函数的定义判断即可．【解答】解：由2x−1≠0，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，关于原点对称，又f(−x)=2−x+12−x−1=1+2x1−2x=−2x+12x−1=−f(x)，故函数f(x)为奇函数， 故选A ． 7.【答案】 D【考点】二次函数的图象 【解析】由二次函数y =ax 2+a 中一次项系数为0，我们易得函数y =ax 2+a 的图象关于Y 轴对称，然后分当a >0时和a <0时两种情况，讨论函数y =ax 2+a 的图象与函数y =a x(a ≠0)的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．【解答】解：由函数y =ax 2+a 中一次项系数为0，我们易得函数y =ax 2+a 的图象关于Y 轴对称，可排除A ；当a >0时，函数y =ax 2+a 的图象开口方向朝上，顶点(0, a)点在X 轴上方，可排除C ； 当a <0时，函数y =ax 2+a 的图象开口方向朝下，顶点(0, a)点在X 轴下方， 函数y =ax (a ≠0)的图象位于第二、四象限，可排除B ； 故选D 8.【答案】 A【考点】 函数的求值 【解析】可令g(x)=12，得出x 的值，再代入可得答案．【解答】解：令g(x)=12，得1−2x =12，解得x =14． ∴ f(12)=f[g(14)]=1−(14)2(14)2=1516116=15．故选A ． 9.【答案】 A【考点】函数的值域及其求法 【解析】本题考查的是分段函数的值域，分别运用了二次函数和幂函数（反比例函数）的单调性． 【解答】解：当x <1时，f(x)=(x −12)2+34，在(−∞, 12)上单调递减，在(12, 1)上单调递增，所以f(x)≥34，当x >1时，f(x)=1x ，单调递减，所以f(x)∈(0, 1)，综合以上得函数f(x)的值域数(0, +∞)． 故答案为A ． 10. 【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明 【解析】分别根据a 的取值，结合函数单调性和奇偶性的性质进行判断即可． 【解答】解：若a =0，则f(x)=2x +a ⋅2−x =2x ，为单调递增函数，此时C 可能． 若a =1，则f(x)=2x +2−x ，此时函数为偶函数，B 有可能．若a =−1，则f(x)=2x −2−x ，此时函数为奇函数，此时A 有可能． 故不可能是D ， 故选：D ． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 【答案】 {−1, 0, 1} 【考点】 并集及其运算 【解析】利用并集的定义求解． 【解答】解：∵ A ={x|x 2−x =0}={0, 1}， B ={|x|x |x ∈R, x ≠0}={−1, 1}， ∴ A ∪B ={−1, 0, 1}． 故答案为：{−1, 0, 1}． 【答案】 12【考点】 有理数指数幂 【解析】利用有理数指数幂的运算性质，把(94)12−(−9.6)0−(278)−23+(1.5)−2等价转化为32−1−(32)−2+(32)−2，由此能求出结果．【解答】解：(94)12−(−9.6)0−(278)−23+(1.5)−2 =32−1−(32)−2+(32)−2 =12．故答案为：1．2【答案】[0, +∞)【考点】函数单调性的判断与证明【解析】先由f(−2)>f(−3)，得到0<a<1，则复合函数g(x)=a1−x2的单调增区间即是函数t=1−x2的单调减区间，进而得到答案．【解答】解：由于函数f(x)=a−x(a>0且a≠1)满足f(−2)>f(−3)，则函数f(x)=a−x为其定义域上的增函数，故0<a<1，由于函数g(x)=a1−x2是由y=a t及t=1−x2复合而成的函数，故g(x)的单调增区间即是函数t=1−x2的单调减区间，故答案为：[0, +∞)【答案】7【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案．【解答】解：∵2x+2−x=3，∴4x+4−x=(2x+2−x)2−2=32−2=7．故答案为：7．【答案】6【考点】抽象函数及其应用【解析】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答．【解答】解：由题意可知：f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1=f(0)+f(1)，∴f(0)=0．f(0)=f(−1+1)=f(−1)+f(1)+2×(−1)×1=f(−1)+f(1)−2，∴f(−1)=0．f(−1)=f(−2+1)=f(−2)+f(1)+2×(−2)×1=f(−2)+f(1)−4，∴f(−2)=2．f(−2)=f(−3+1)=f(−3)+f(1)+2×(−3)×1=f(−3)+f(1)−6，∴f(−3)=6．故答案为：6． 三、解答题：（本大题共5小题，共75分）【答案】 解：（1）∵ A ∩B ={9}，∴ x 2=9或2x −1=9， 解得x =±3，x =5．①当x =3时，x −5=−2，1−x =−2，应舍去； ②当x =5时，x 2=2x −1=9，应舍去；③当x =−3时，A ={9, −7, −4}，B ={−8, 4, 9}，满足条件． 因此A ∪B ={9, 4, −4, −7, −8}，(∁U A)∩B ={−8, 4}． （2）∵ 函数f(x)=(12)x2−2x+4，∴ 函数f(x)的定义域为R ．∵ x 2−2x +4=(x −1)2+3≥3，∴ 0<f(x)≤(12)3=18． 因此函数f(x)的值域为(0,18]． 【考点】函数的值域及其求法 交、并、补集的混合运算 函数的定义域及其求法【解析】（1）由于A ∩B ={9}，可得x 2=9或2x −1=9，解得x =±3，x =5．利用集合的互异性可知：只有当x =−3时，A ={9, −7, −4}，B ={−8, 4, 9}，满足条件．即可得出A ∪B ，(∁U A)∩B ． （2）由于函数f(x)=(12)x2−2x+4，可得函数f(x)的定义域为R ．利用x 2−2x +4=(x −1)2+3≥3，和指数函数的单调性即可得出0<f(x)≤(12)3． 【解答】 解：（1）∵ A ∩B ={9}，∴ x 2=9或2x −1=9， 解得x =±3，x =5．①当x =3时，x −5=−2，1−x =−2，应舍去； ②当x =5时，x 2=2x −1=9，应舍去；③当x =−3时，A ={9, −7, −4}，B ={−8, 4, 9}，满足条件． 因此A ∪B ={9, 4, −4, −7, −8}，(∁U A)∩B ={−8, 4}． （2）∵ 函数f(x)=(12)x2−2x+4，∴ 函数f(x)的定义域为R ．∵ x 2−2x +4=(x −1)2+3≥3，∴ 0<f(x)≤(12)3=18． 因此函数f(x)的值域为(0,18]．【答案】解：(1)∵ f(x)是二次函数，且f(0)=f(2)， ∴ 对称轴为x =1. 又∵ 最小值为1，设f(x)=a(x −1)2+1，又f(0)=3，∴a=2，∴f(x)=2(x−1)2+1=2x2−4x+3.(2)要使f(x)在区间[2a, a+1]上不单调，则2a<1<a+1，∴0<a<1.2(3)由已知2x2−4x+3>2x+2m+1在[−1, 1]上恒成立，化简得m<x2−3x+1，设g(x)=x2−3x+1，则g(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴g(x)在区间[−1, 1]上的最小值为g(1)=−1，∴m<−1.【考点】二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）用待定系数法先设函数f(x)的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可【解答】解：(1)∵f(x)是二次函数，且f(0)=f(2)，∴对称轴为x=1.又∵最小值为1，设f(x)=a(x−1)2+1，又f(0)=3，∴a=2，∴f(x)=2(x−1)2+1=2x2−4x+3.(2)要使f(x)在区间[2a, a+1]上不单调，则2a<1<a+1，∴0<a<1.2(3)由已知2x2−4x+3>2x+2m+1在[−1, 1]上恒成立，化简得m<x2−3x+1，设g(x)=x2−3x+1，则g(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴g(x)在区间[−1, 1]上的最小值为g(1)=−1，∴m<−1.【答案】解：（1）∵a=0，b=1时，f(x)=1，x2+1∵x2+1≥1，∴1x2+1≤1，∴f(x)的值域为(0, 1]；（2）a<0，b=0时，f(x)=axx2+1在(1, +∞)上是增函数，证明：设1<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=ax1x12+1−ax2x22+1=ax1(x22+1)−ax2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=a(x1x22+x1−x12x2−x2)(x12+1)(x22+1)=a(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1)，∵a<0，x2−x1>0，x1x2−1>0，∴f(x1)−f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1, +∞)上是增函数．【考点】函数单调性的判断与证明函数的值域及其求法【解析】（1）a=0，b=1时，利用x2+1≥1，求出f(x)的值域；（2）a<0，b=0时，用单调性定义判定并证明f(x)在(1, +∞)上是增函数．【解答】解：（1）∵a=0，b=1时，f(x)=1x2+1，∵x2+1≥1，∴1x2+1≤1，∴f(x)的值域为(0, 1]；（2）a<0，b=0时，f(x)=axx2+1在(1, +∞)上是增函数，证明：设1<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=ax1x12+1−ax2x22+1=ax1(x22+1)−ax2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=a(x1x22+x1−x12x2−x2)(x12+1)(x22+1)=a(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1)，∵a<0，x2−x1>0，x1x2−1>0，∴f(x1)−f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1, +∞)上是增函数．【答案】解：（1）当a=2时，f(x)=x2+3x|x−2|={4x2−6x，x≥2−2x2+6x，x<2，画出f(x)的图象，如右图所示：（2）根据函数的图象知，当a =2时，f(x)的增区间为(−∞,32]，[2, +∞)， 减区间为(32，2)；∵ f(x)在[1, 32)上是增函数, 在(32, 2)上是减函数, 在(2, 3]上是增函数，且f(1)=4，f(32)=92，f(2)=4，f(3)=18， ∴ f(x)的最大值为18，最小值为4． 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数单调性的判断与证明 函数的最值及其几何意义【解析】（1）a =2时，去掉f(x)的绝对值，化为分段函数，画出f(x)的图象即可．（2）根据函数的图象，判定f(x)的单调区间，根据f(x)的单调性，计算f(x)在[1, 3]上的极值和端点处的函数值，从而得最值． 【解答】解：（1）当a =2时，f(x)=x 2+3x|x −2|={4x 2−6x ，x ≥2−2x 2+6x ，x <2，画出f(x)的图象，如右图所示：（2）根据函数的图象知，当a =2时，f(x)的增区间为(−∞,32]，[2, +∞)，减区间为(32，2)；∵ f(x)在[1, 32)上是增函数, 在(32, 2)上是减函数, 在(2, 3]上是增函数，且f(1)=4，f(32)=92，f(2)=4，f(3)=18， ∴ f(x)的最大值为18，最小值为4． 【答案】 解：（1）∵ g(x)=a x ，由g(−3)=18⇒a −3=18⇒a =2，∴ f(x)=2x −12x +m ， 又f(x)为奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，即2−x −12−x +m =−2x −12x +m ， 化简得1+m ⋅2x =2x +m 对x ∈R 恒成立，∴ m =1， 故f(x)=2x −12x +1；（2）f(x)=1−22x +1，其定义域为R ， 由2x 为增函数可知f(x)是R 上的增函数，∵ 2x +1>1，∴ 0<12x +1<1，−2<−22x +1<0，∴ −1<f(x)<1， 即函数f(x)的值域为(−1, 1)；（3）t ⋅f(x)≥4x −2x+2+3对x ∈[1, 2]恒成立， 等价于t ≥(2x )2−2⋅2x −3对x ∈[1, 2]恒成立，而在[1, 2]上(2x )2−2⋅2x −3=(2x −1)2−4的最大值为5． 故t ≥5．【考点】函数恒成立问题函数解析式的求解及常用方法 函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的性质 【解析】（1）直接由g(−3)=18，求得a 的值，得到g(x)的解析式，则f(x)可求，利用函数奇偶性的定义证明f(x)为奇函数；（2）∵ 2x 是定义域上的增函数，∴ −22x +1是定义域上的减函数，从而得到函数f(x)的单调性，由指数函数的值域求得f(x)的值域；（3）把f(x)的解析式代入t ⋅f(x)≥4x −2x+2+3，分离变量t 后利用配方法求得(2x )2−2⋅2x −3在[1, 2]上的值域，从而求得实数t 的取值范围． 【解答】解：（1）∵ g(x)=a x ， 由g(−3)=18⇒a−3=18⇒a =2，∴ f(x)=2x −12x +m，又f(x)为奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，即2−x −12−x +m=−2x −12x +m，化简得1+m ⋅2x =2x +m 对x ∈R 恒成立，∴ m =1， 故f(x)=2x −12x +1；（2）f(x)=1−22x +1，其定义域为R ， 由2x 为增函数可知f(x)是R 上的增函数，∵ 2x +1>1，∴ 0<12x +1<1，−2<−22x +1<0，∴ −1<f(x)<1， 即函数f(x)的值域为(−1, 1)；（3）t ⋅f(x)≥4x −2x+2+3对x ∈[1, 2]恒成立， 等价于t ≥(2x )2−2⋅2x −3对x ∈[1, 2]恒成立，而在[1, 2]上(2x )2−2⋅2x −3=(2x −1)2−4的最大值为5． 故t ≥5．。

2021届高三数学上学期第四次周考试题文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x|x∈A且1－x A}，则集合B中的元素个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则sin α的值是( ) A. B．－ C．1 D. 或－3．函数的周期、振幅、初相分别是( ) A．3π，， B．6π，，C．3π，3，－ D．6π，3，4．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )A．10 B．5 C．－1 D．－5．下列函数中是奇函数的是( )A．y＝x＋sin x B．f(x)＝|x|－cos xC．f(x)＝xsin x D．f(x)＝|x|cos x6．已知直线l：xtan α－y－3tan β＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)等于( )A．－ B. C. D．17．下列说法正确的是( )A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．若命题p：∃x0∈R，x－2x0－1>0，则綈p：∀x∈R，x2－2x－1<0C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件8．已知＝，则sin 2x等于( )A. B. C．－ D．－9．已知函数，且f(－1)＝1，则f(1)等于( )A．3 B．－3 C．0 D．4－110．已知角α是第一象限角，且cos α＝，则等于( )A. B. C. D．－11．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减12．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－∞，0)C．(－1,0) D．[－1,0)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.设计一段宽30 m的公路弯道(如图)，其中心线到圆心的距离为45 m，且公路外沿弧长为40π m，则这段公路的占地面积为________ m2.14．在△ABC中，，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是________．(填序号)①f(cos A)>f(cos B)；②f(sin A)>f(sin B)；③f(sin A)>f(cos B)；④f(sin A)<f(cos B)．15．若函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋5在区间上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．16．若，，则的值为________．解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题10分)已知p：；q：.(1)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围；(2)若，求实数m的取值范围．18．(本小题12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的部分图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，时，求x0的值．19．(本小题12分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．(1)求的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．20．(本小题12分)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．21．(本小题12分)已知函数.(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到；(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．22．(本小题12分)设定义域为R的奇函数f(x)＝－(a为实数)．(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不必证明)，并求出f(x)的值域；(3)若对任意的x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．楠杆高中2020-2021高三上学期周考试卷（四）参考答案与试题解析选择题BDBDA DCCAC AD填空题13.900π14.③ 15. 16.0解答题17.解由x2－6x－16≤0，得－2≤x≤8，即p：－2≤x≤8，q：1－m2≤x≤1＋m2.(1)若p是q的必要条件，则即即m2≤3，解得－≤m≤，即m的取值范围是[－，]．(2)∵，易知∅∴(两个等号不同时成立)，即m2≥7，解得m≥或m≤－.即m的取值范围是18.解(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos θ＝.因为0≤θ≤，所以θ＝.由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，所以点P的坐标为.又因为点P在y＝2cos的图象上，且≤x0≤π，所以cos＝，且≤4x0－≤，从而4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，或x0＝.19.解(1)由sin ＝，cos ＝－，得f ＝2－2－2××＝2.(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得，f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得，＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．20.解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋ln x，f′(x)＝x－1＋，f′(1)＝1，又f(1)＝－，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋＝x－1，即2x－2y－3＝0.(2)∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解．∴a＝x＋≥2(x>0)，当且仅当x＝1时，取等号，即a的取值范围是[2，＋∞)．21.解(1)f(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z，即此时自变量x的集合是.(2)把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin的图象，最后再把函数y ＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象．(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥.又函数y＝f(x)在上是减函数，f(0)＝－，故m的最大值为内使函数值为－的值，令2sin＝－，得x＝，所以m的取值范围是.22.解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－＝0，从而a＝1，此时f(x)＝－，经检验，f(x)为奇函数，所以a＝1满足题意．(2)由(1)知f(x)＝－，且是R上的奇函数，所以f(x)在R上单调递减．由2x>0知2x＋1>1，所以∈(0,1)，故得f(x)的值域为.(3)因为f(x)为奇函数，所以由f ＋f(2－x)>0得f >－f(2－x)＝f(x－2)．又由(2)知f(x)为R上的减函数，得k－<x－2，即k<＋x－2.令g(x)＝＋x－2，x∈[1,4]，则依题意只需k<g(x)min.易得g(x)在[1，]上单调递减，在[，4]上单调递增，所以g(x)min＝g()＝＋－2＝2－2，所以k<2－2.故实数k的取值范围是(－∞，2－2)．2021届高三数学上学期第四次周考试题文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x|x∈A且1－x A}，则集合B中的元素个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．42．角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则sin α的值是( )A. B．－ C．1 D. 或－3．函数的周期、振幅、初相分别是( )A．3π，， B．6π，，C．3π，3，－ D．6π，3，4．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )A．10 B．5 C．－1 D．－5．下列函数中是奇函数的是( )A．y＝x＋sin x B．f(x)＝|x|－cos xC．f(x)＝xsin x D．f(x)＝|x|cos x6．已知直线l：xtan α－y－3tan β＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)等于( )A．－ B. C. D．17．下列说法正确的是( )A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．若命题p：∃x0∈R，x－2x0－1>0，则綈p：∀x∈R，x2－2x－1<0C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件8．已知＝，则sin 2x等于( )A. B. C．－ D．－9．已知函数，且f(－1)＝1，则f(1)等于( )A．3 B．－3 C．0 D．4－110．已知角α是第一象限角，且cos α＝，则等于( )A. B. C. D．－11．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减12．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－∞，0)C．(－1,0) D．[－1,0)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.设计一段宽30 m的公路弯道(如图)，其中心线到圆心的距离为45 m，且公路外沿弧长为40π m，则这段公路的占地面积为________ m2.14．在△ABC中，，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是________．(填序号)①f(cos A)>f(cos B)；②f(sin A)>f(sin B)；③f(sin A)>f(cos B)；④f(sin A)<f(cos B)．15．若函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋5在区间上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．16．若，，则的值为________．解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题10分)已知p：；q：.(1)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围；(2)若，求实数m的取值范围．18．(本小题12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的部分图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，时，求x0的值．19．(本小题12分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．(1)求的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．20．(本小题12分)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．21．(本小题12分)已知函数.(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到；(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．22．(本小题12分)设定义域为R的奇函数f(x)＝－(a为实数)．(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不必证明)，并求出f(x)的值域；(3)若对任意的x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．楠杆高中2020-2021高三上学期周考试卷（四）参考答案与试题解析选择题BDBDA DCCAC AD填空题13.900π14.③ 15. 16.0解答题17.解由x2－6x－16≤0，得－2≤x≤8，即p：－2≤x≤8，q：1－m2≤x≤1＋m2.(1)若p是q的必要条件，则即即m2≤3，解得－≤m≤，即m的取值范围是[－，]．(2)∵，易知∅∴(两个等号不同时成立)，即m2≥7，解得m≥或m≤－.即m的取值范围是18.解(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos θ＝.因为0≤θ≤，所以θ＝.由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，所以点P的坐标为.又因为点P在y＝2cos的图象上，且≤x0≤π，所以cos＝，且≤4x0－≤，从而4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，或x0＝.19.解(1)由sin ＝，cos ＝－，得f ＝2－2－2××＝2.(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得，f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得，＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．20.解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x＋ln x，f′(x)＝x－1＋，f′(1)＝1，又f(1)＝－，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋＝x－1，即2x－2y－3＝0.(2)∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解．∴a＝x＋≥2(x>0)，当且仅当x＝1时，取等号，即a的取值范围是[2，＋∞)．21.解(1)f(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z，即此时自变量x的集合是.(2)把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin的图象，最后再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象．(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥.又函数y＝f(x)在上是减函数，f(0)＝－，故m的最大值为内使函数值为－的值，令2sin＝－，得x＝，所以m的取值范围是.22.解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－＝0，从而a＝1，此时f(x)＝－，经检验，f(x)为奇函数，所以a＝1满足题意．(2)由(1)知f(x)＝－，且是R上的奇函数，所以f(x)在R上单调递减．由2x>0知2x＋1>1，所以∈(0,1)，故得f(x)的值域为.(3)因为f(x)为奇函数，所以由f ＋f(2－x)>0得f >－f(2－x)＝f(x－2)．又由(2)知f(x)为R上的减函数，得k－<x－2，即k<＋x－2.令g(x)＝＋x－2，x∈[1,4]，则依题意只需k<g(x)min.易得g(x)在[1，]上单调递减，在[，4]上单调递增，所以g(x)min＝g()＝＋－2＝2－2，所以k<2－2.故实数k的取值范围是(－∞，2－2)．。

2021年高一上学期第四次周考（A卷）数学试题含答案一、选择题：共12小题，每小题4分，共48分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.函数的定义域是( )A．{x|2<x<3} B．{x|x<2或x>3}C．{x|x≤2或x≥3} D．{x|x<2或x≥3}2.设集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|2＜2x＜8}，则A∪B=( )A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜4} D．{x|3＜x＜4}3.己知，则m等于（）A．B．C． D.4.已知函数，则( )A．0 B．1 C．2 D．35.若幂函数的图像不过原点,且关于原点对称,则的取值是（）A． B．C． D．6.是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的（）A. B. C . D.7.已知函数，则方程的解集为( )A．{3，－2,2} B．{－2,2} C．{3,2} D．{3，－2}8.函数的定义域为R，则实数k的取值范围为 ( )A．k<0或k>4 B．k≥4或k≤0 C．0<k<4 D．0≤k<49.如果定义在（，0）∪（0，）上的奇函数，在（0，）内是减函数，又有，则的解集为（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|x＜﹣3或x＞3}10.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．11.若函数且在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（）12.若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－2)＜f(lg x)的解集是 ( )A．(0, 100) B．C． D．∪(100，＋∞)二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分。

13.已知函数的图像与的图象关于直线对称，则 .14.方程的解是______________．15.设M、N是非空集合，定义M⊙N＝{x|x∈M∪N且xM∩N}．已知M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝2x，x>0}，则M⊙N等于________15．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点，，，．若，则实数的值为．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤18．（本题满分12分）已知函数f（x）=（a、b为常数），且f（1）=，f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；（3）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m•4x恒成立，求实数m的取值范围．19．（本题满分12分）定义域为的函数满足，当时，（1）当时，求的解析式（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。

学2020-2021学年高一数学上学期第四次周考试题函数和的图象关于A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 直线对称如图，中不属于函数，，的一个是A. B. C. D.如图，中不属于函数，，的一个是A. B. C. D.用“”“”“”填空：______；______；______；______；______；______．借助信息技术，用二分法求：方程的最大的根精确度为；函数和交点的横坐标精确度为．已知函数，求使方程的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围．已知集合，，则A. B. C. D.已知，若，，，则A. B. C. D.已知函数，，的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.设，，求证：；；．指数函数的图象如图所示，求二次函数的顶点的横坐标的取值范围．1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时原有的锶90还剩百分之几？某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么后还剩百分之几的污染物？污染物减少需要花多少时间精确到？画出P关于t变化的函数图象．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么tmin后物体的温度单位：可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，1min以后物体的温度是．求k的值精确到；若要将物体的温度降为，，则求分别需要冷却的时间．已知函数，且．求的定义域；判断函数的奇偶性，并证明．对于函数：探索函数的单调性；是否存在实数a使函数为奇函数？如图，函数的图象由曲线段OA和直线段AB构成．写出函数的一个解析式；提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题．答案和解析1.【答案】B【解析】解：的图象与的图象关于y轴对称，函数和的图象关于y轴对称故选：B．由函数的图象与的图象关于y轴对称，即可知已知两函数的对称性，也可利用指数函数的图象判断其对称性本题考查了抽象函数与函数对称性的关系，指数函数的图象性质2.【答案】B【解析】解：任何一个指数函数都过定点，则图象不过定点，故选：B．根据指数函数过定点的性质进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数过定点的性质是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：结合对数函数的底数对单调性的影响可知，为，为，根据函数的对称性可知，为，为，中不属于函数，，的一个是．故选：C．根据对数函数的底数与单调性的关系及底数的大小对图象的影响即可判断．本题主要考查了对数函数的图象与底数的关系的简单应用，属于基础试题．4.【答案】【解析】解：用“”“”“”填空：，因此；，；；；；；．故答案为：，，，，，．利用指数函数与对数函数单调性即可判断出大小关系．本题考查了指数函数与对数函数单调性、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】解：令则该函数的部分对应值表为因为三次方程最多有3个实根，所以函数最多有三个零点，且分别应在区间、和区间内，这说明方程的最大的根应在区间内．由下面的表格：由于，所以原方程的最大根约为．交点的横坐标即为方程的根，由图象可知两函数只有一个交点，令因为，，，于是可知，交点在内．，交点的横坐标为．【解析】根据三次方程最多有3个实根先分析三个实根的大体位置，结合零点存在定理分析出最大的实根在区间内，再由二分法，结合精确度得到最大根的估计值，令，即得方程，再令，用二分法求得交点的横坐标约为．本题考查的知识点是二方法求函数的近似解，本题运算量大，必须借助计算器才能完成，熟练掌握二分法的步骤及零点存在定理，是解答的关键．6.【答案】解，根据题意，函数的图象如下图：故：当时，方程有一个解；当或时，方程有两个解；当时，方程有三个解．【解析】本题要把方程看作两个函数：和，在同一个坐标系中画出图象分析即可．本题考查了数学结合的思想，分段函数的画法．关键的正确画出的图象，在做数学题中画图能力是一项基本功，要认真训练，提高解题能力．7.【答案】A【解析】解：由题意可得：，．故选：A．由题意首先求得集合A和集合B，然后进行交集运算即可求得最终结果．本题考查了集合的表示方法，交集的定义及其运算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．8.【答案】D【解析】解：依题意，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以，故选：D．将写成分段函数的形式，根据各段上的单调性比较即可．本题考查了分段函数的单调性，函数值的大小比较，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标．在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图：由图可知，，，．．故选：B．把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案．本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．10.【答案】证明：，，；，，；，，【解析】把已知式子整体代要证的等式化简可得．本题考查函数解析式的求解，整体代入是解决问题的关键，属基础题．11.【答案】解：由图可知指数函数是减函数，所以．而二次函数的顶点的横坐标为，所以，即二次函数的顶点的横坐标的取值范围是【解析】由图象知函数为减函数，可得，再表示出顶点横坐标可求出答案．本题主要考查指数函数的单调性问题，即当底数大于1时指数函数单调递增，当底数大于0小于1时指数函数单调递减．12.【答案】解：设n年后的锶90的剩余含量为，则，．【解析】根据题意得出n年后的含量，计算即可．本题考查了函数值的计算，属于基础题．13.【答案】解：由题意可知，，，小时后的污染物含量为，故10小时后还剩的污染物．令，又，令，则，，即，．所以污染物减少需要花33小时．，作出函数图象如图：【解析】根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案；令，根据指数运算性质求出t的值；求出P的解析式，根据指数函数单调性作出大致图象．本题考查了函数值的计算，指数与对数的运算性质，属于基础题．14.【答案】解：由题意可知：，，，令可得，令可得．要将物体的温度降为，，分别需要冷却的时间为分钟和分钟．【解析】代入公式计算k的值；令函数值分别等于42，32，计算t的值即可．本题考查了函数值的计算，属于基础题．15.【答案】由函数的定义，解得函数的定义域为分令，定义域为在上是偶函数分【解析】由函数的定义，从而可解得的定义域；令，定义域为，根据已知求得即可证明在上是偶函数．本题主要考察了对数函数的图象与性质，考察了函数的奇偶性的证明，属于基础题．16.【答案】解：根据题意，函数的定义域为R，设，，且，．，，且，，．，即函数在R上单调递增．假设存在实数a使函数为奇函数．则有，即，解得．故存在实数a使函数为奇函数．【解析】根据题意，分析函数的定义域，由作差法分析可得结论；根据题意，假设存在实数a使函数为奇函数，则有，即，分析可得a的值．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a的值，属于基础题．17.【答案】解：当时，设，由图知，，；．当时，设，由图知，，，，，；．例如，一辆车从甲地到乙地去办事，时间用小时表示，位移用公里表示，去时匀加速前进，用时2小时，回来时，匀速直线运动，用时3小时，图象如图所示，求位移关于时间的函数关系式．【解析】根据图象，要求写出函数的一个解析式；因此当时，可能是一元二次函数的图象，当时，可能是一元一次函数的图象，用待定系数法求得解析式即可；物理中位移与时间函数关系复合此图象，可设计关于A，B两地运动的题目，符合要求．本题考查了分段函数解析式求法，待定系数法求函数解析式，函数与实际问题的联系等，属于中档题．学2020-2021学年高一数学上学期第四次周考试题函数和的图象关于A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 直线对称如图，中不属于函数，，的一个是A. B. C. D.如图，中不属于函数，，的一个是A. B. C. D.用“”“”“”填空：______；______；______；______；______；______．借助信息技术，用二分法求：方程的最大的根精确度为；函数和交点的横坐标精确度为．已知函数，求使方程的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围．已知集合，，则A. B. C. D.已知，若，，，则A. B. C. D.已知函数，，的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.设，，求证：；；．指数函数的图象如图所示，求二次函数的顶点的横坐标的取值范围．1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时原有的锶90还剩百分之几？某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前5h消除了的污染物，那么后还剩百分之几的污染物？污染物减少需要花多少时间精确到？画出P关于t变化的函数图象．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么tmin后物体的温度单位：可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，1min以后物体的温度是．求k的值精确到；若要将物体的温度降为，，则求分别需要冷却的时间．已知函数，且．求的定义域；判断函数的奇偶性，并证明．对于函数：探索函数的单调性；是否存在实数a使函数为奇函数？如图，函数的图象由曲线段OA和直线段AB构成．写出函数的一个解析式；提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题．答案和解析1.【答案】B【解析】解：的图象与的图象关于y轴对称，函数和的图象关于y轴对称故选：B．由函数的图象与的图象关于y轴对称，即可知已知两函数的对称性，也可利用指数函数的图象判断其对称性本题考查了抽象函数与函数对称性的关系，指数函数的图象性质2.【答案】B【解析】解：任何一个指数函数都过定点，则图象不过定点，故选：B．根据指数函数过定点的性质进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数过定点的性质是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：结合对数函数的底数对单调性的影响可知，为，为，根据函数的对称性可知，为，为，中不属于函数，，的一个是．故选：C．根据对数函数的底数与单调性的关系及底数的大小对图象的影响即可判断．本题主要考查了对数函数的图象与底数的关系的简单应用，属于基础试题．4.【答案】【解析】解：用“”“”“”填空：，因此；，；；；；；．故答案为：，，，，，．利用指数函数与对数函数单调性即可判断出大小关系．本题考查了指数函数与对数函数单调性、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】解：令则该函数的部分对应值表为因为三次方程最多有3个实根，所以函数最多有三个零点，且分别应在区间、和区间内，这说明方程的最大的根应在区间内．由下面的表格：由于，所以原方程的最大根约为．交点的横坐标即为方程的根，由图象可知两函数只有一个交点，令因为，，，于是可知，交点在内．，交点的横坐标为．【解析】根据三次方程最多有3个实根先分析三个实根的大体位置，结合零点存在定理分析出最大的实根在区间内，再由二分法，结合精确度得到最大根的估计值，令，即得方程，再令，用二分法求得交点的横坐标约为．本题考查的知识点是二方法求函数的近似解，本题运算量大，必须借助计算器才能完成，熟练掌握二分法的步骤及零点存在定理，是解答的关键．6.【答案】解，根据题意，函数的图象如下图：故：当时，方程有一个解；当或时，方程有两个解；当时，方程有三个解．【解析】本题要把方程看作两个函数：和，在同一个坐标系中画出图象分析即可．本题考查了数学结合的思想，分段函数的画法．关键的正确画出的图象，在做数学题中画图能力是一项基本功，要认真训练，提高解题能力．7.【答案】A【解析】解：由题意可得：，．故选：A．由题意首先求得集合A和集合B，然后进行交集运算即可求得最终结果．本题考查了集合的表示方法，交集的定义及其运算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．8.【答案】D【解析】解：依题意，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以，故选：D．将写成分段函数的形式，根据各段上的单调性比较即可．本题考查了分段函数的单调性，函数值的大小比较，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标．在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图：由图可知，，，．．故选：B．把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案．本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．10.【答案】证明：，，；，，；，，【解析】把已知式子整体代要证的等式化简可得．本题考查函数解析式的求解，整体代入是解决问题的关键，属基础题．11.【答案】解：由图可知指数函数是减函数，所以．而二次函数的顶点的横坐标为，所以，即二次函数的顶点的横坐标的取值范围是【解析】由图象知函数为减函数，可得，再表示出顶点横坐标可求出答案．本题主要考查指数函数的单调性问题，即当底数大于1时指数函数单调递增，当底数大于0小于1时指数函数单调递减．12.【答案】解：设n年后的锶90的剩余含量为，则，．【解析】根据题意得出n年后的含量，计算即可．本题考查了函数值的计算，属于基础题．13.【答案】解：由题意可知，，，小时后的污染物含量为，故10小时后还剩的污染物．令，又，令，则，，即，．所以污染物减少需要花33小时．，作出函数图象如图：【解析】根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案；令，根据指数运算性质求出t的值；求出P的解析式，根据指数函数单调性作出大致图象．本题考查了函数值的计算，指数与对数的运算性质，属于基础题．14.【答案】解：由题意可知：，，，令可得，令可得．要将物体的温度降为，，分别需要冷却的时间为分钟和分钟．【解析】代入公式计算k的值；令函数值分别等于42，32，计算t的值即可．本题考查了函数值的计算，属于基础题．15.【答案】由函数的定义，解得函数的定义域为分令，定义域为在上是偶函数分【解析】由函数的定义，从而可解得的定义域；令，定义域为，根据已知求得即可证明在上是偶函数．本题主要考察了对数函数的图象与性质，考察了函数的奇偶性的证明，属于基础题．16.【答案】解：根据题意，函数的定义域为R，设，，且，．，，且，，．，即函数在R上单调递增．假设存在实数a使函数为奇函数．则有，即，解得．故存在实数a使函数为奇函数．【解析】根据题意，分析函数的定义域，由作差法分析可得结论；根据题意，假设存在实数a使函数为奇函数，则有，即，分析可得a的值．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a的值，属于基础题．17.【答案】解：当时，设，由图知，，；．当时，设，由图知，，，，，；．例如，一辆车从甲地到乙地去办事，时间用小时表示，位移用公里表示，去时匀加速前进，用时2小时，回来时，匀速直线运动，用时3小时，图象如图所示，求位移关于时间的函数关系式．【解析】根据图象，要求写出函数的一个解析式；因此当时，可能是一元二次函数的图象，当时，可能是一元一次函数的图象，用待定系数法求得解析式即可；物理中位移与时间函数关系复合此图象，可设计关于A，B两地运动的题目，符合要求．本题考查了分段函数解析式求法，待定系数法求函数解析式，函数与实际问题的联系等，属于中档题．。